第五章 二次型
§1 二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示设是一个数域,一个系数在数域中的的二次齐次多项式
称为数域上的一个元二次型，简称二次型.
定义1 设是两组文字，系数在数域P中的一组关系式
 (2)
称为由到的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式,那么线性替换(2)就称为非退化的.
线性替换把二次型变成二次型.
令由于所以二次型(1)可写成

把(3)的系数排成一个矩阵
 (4)
它称为二次型(3)的矩阵.因为所以

把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.令

或

应该看到二次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的一半,而是项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型

且,则.
令
,
于是线性替换（4）可以写成

或者
.
经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型，替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系，即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系.
设
 (7)
是一个二次型，作非退化线性替换
 (8)
得到一个的二次型
 ，
二、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.
把（8）代入（7），有

易看出，矩阵也是对称的，由此即得
.
这是前后两个二次型的矩阵的关系。
定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得
.
合同是矩阵之间的一个关系，具有以下性质:
1) 自反性:任意矩阵都与自身合同.
2) 对称性:如果与合同,那么与合同.
3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.
因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的。这样把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供了有力的工具。
最后指出，在变换二次型时，总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何上看，这一点是自然的因为坐标变换一定是非退化的。一般地，当线性替换

是非退化时，由上面的关系即得
.
这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次型的性质可以推知原来二次型的一些性质.