§5 线性方程组有解判别定理设线性方程组为
 (1)
引入向量
,(2)
于是线性方程组(1)可以改写成向量方程
,(3)
显然，线性方程组(1)有解的充要条件为向量可以表成向量组的线性组合.用秩的概念，线性方程组(1)有解的条件可以叙述如下：
定理7(线性方程组有解判别定理) 线性方程组(1)有解的充要条件为它的系数矩阵

与增广矩阵

有相同的秩.
应该指出，这个判别条件与以前的消元法是一致的.用消元法解线性方程组(1)的第一步就是用初等行变换把增广矩阵化成阶梯形.这个阶梯形矩阵在适当调动前列的顺序之后可能有两种情形：

或者

其中.在前一种情形，原方程组无解，而在后一种情形方程组有解.实际上，把这个阶梯形矩阵最后一列去掉，那就是线性方程组(1)的系数矩阵经过初等行变换所化成的阶梯形.这就是说，当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解；当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时，方程组无解.
以上的说明可以认为是判别定理的另一个证明.
根据克拉默法则，也可以给出一般线性方程组的一个解法.
设线性方程组(1)有解，矩阵与的秩都等于，而是矩阵的一个不为零的级子式(当然它也是的一个不为零的子式)，为了方便起见，不妨设位于的左上角.
显然，在这种情况下，的前行就是一个极大线性无关组，第行都可以经它们线性表出.因此，线性方程组(1)与
 (4)
同解.
当时，由克拉默法则，线性方程组(4)有唯一解，也就是线性方程组(1)有唯一解.
当时，将线性方程组(4)改写为
 (5)
(5)作为的一个方程组，它的系数行列式.由克拉默法则，对于的任意一组值，线性方程组(5)，也就是线性方程组(1)，都有唯一的解,就是线性方程组(1)的一组自由未知量.对(5)用克拉默法则，可以解出：
 (6)
(6)就是线性方程组(1)的一般解.
例 取怎样的数值时，线性方程组

有唯一解，没有解，有无穷多解？