第三章 线性方程组
§1 消元法一、线性方程组的初等变换现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为
(1)
的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，称为线性方程组的系数，称为常数项.方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等.系数的第一个指标表示它在第个方程，第二个指标表示它是的系数.
所谓方程组(1)的一个解就是指由个数组成的有序数组，当分别用代入后，(1)中每个等式都变成恒等式,方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.
显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵
(2)
来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.
例如，解方程组
第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成
第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得
这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）.
分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：
1,用一非零数乘某一方程；
2,把一个方程的倍数加到另一个方程；
3,互换两个方程的位置.
定义1 变换1，2，3称为线性方程组的初等变换.
二、线性方程组的解的情形消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组.
下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组.
对于方程组(1)，首先检查的系数.如果的系数全为零，那么方程组(1)对没有任何限制，就可以取任何值，而方程组(1)可以看作的方程组来解.如果的系数不全为零，那么利用初等变换3，可以设.利用初等变换2，分别把第一个方程的倍加到第个方程().于是方程组(1)就变成
(3)
其中
这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组
(4)
的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出的值，这就得出(3)的一个解；(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1)有解的充要条件为方程组(4)有解.
对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为
(5)
其中.方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的.
现在考虑(5)的解的情况.
如(5)中有方程，而.这时不管取什么值都不能使它成为等式.故(5)无解，因而(1)无解.
当是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况：
1）.这时阶梯形方程组为
(6)
其中.由最后一个方程开始，的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解.
例1 解线性方程组
2）.这时阶梯形方程组为
其中.把它改写成
(7)
由此可见，任给一组值，就唯一地定出的值，也就是定出方程组(7)的一个解.一般地，由(7)我们可以把通过表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而称为一组自由未知量.
例2 解线性方程组
从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子.
以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解.
定理1 在齐次线性方程组
中，如果，那么它必有非零解.
矩阵
(10)
称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然，用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解.
例3 解线性方程组
§1 消元法一、线性方程组的初等变换现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为
(1)
的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，称为线性方程组的系数，称为常数项.方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等.系数的第一个指标表示它在第个方程，第二个指标表示它是的系数.
所谓方程组(1)的一个解就是指由个数组成的有序数组，当分别用代入后，(1)中每个等式都变成恒等式,方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.
显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵
(2)
来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.
例如，解方程组
第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成
第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得
这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）.
分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：
1,用一非零数乘某一方程；
2,把一个方程的倍数加到另一个方程；
3,互换两个方程的位置.
定义1 变换1，2，3称为线性方程组的初等变换.
二、线性方程组的解的情形消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组.
下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组.
对于方程组(1)，首先检查的系数.如果的系数全为零，那么方程组(1)对没有任何限制，就可以取任何值，而方程组(1)可以看作的方程组来解.如果的系数不全为零，那么利用初等变换3，可以设.利用初等变换2，分别把第一个方程的倍加到第个方程().于是方程组(1)就变成
(3)
其中
这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组
(4)
的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出的值，这就得出(3)的一个解；(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1)有解的充要条件为方程组(4)有解.
对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为
(5)
其中.方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的.
现在考虑(5)的解的情况.
如(5)中有方程，而.这时不管取什么值都不能使它成为等式.故(5)无解，因而(1)无解.
当是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况：
1）.这时阶梯形方程组为
(6)
其中.由最后一个方程开始，的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解.
例1 解线性方程组
2）.这时阶梯形方程组为
其中.把它改写成
(7)
由此可见，任给一组值，就唯一地定出的值，也就是定出方程组(7)的一个解.一般地，由(7)我们可以把通过表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而称为一组自由未知量.
例2 解线性方程组
从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子.
以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解.
定理1 在齐次线性方程组
中，如果，那么它必有非零解.
矩阵
(10)
称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然，用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解.
例3 解线性方程组
