1
光栅衍射
2
大量等宽等间距平行狭缝 (或反射面 )构成的光学元件。
衍射光栅 (透射光栅 )
反射光栅 (闪耀光栅 )
从工作原理分一、光栅光栅制作
机制光栅：在玻璃片上刻划出一系列平行等距的划痕,刻过的地方不透光，未刻地方透光。
全息光栅：通过全息照相，将激光产生的干涉条纹在干板上曝光，经显影定影制成全息光栅。
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝。
3
光栅常数
bad
ba透光缝宽度 a
不透光缝宽度 b
光栅常数,
d
f
衍射角相同的光线，会聚在接收屏的相同位置上。
单缝的夫琅和费衍射图样与缝在垂直于透镜 L的光轴方向上的位置无关 。
光栅常数与光栅单位长度的刻痕数 N的关系
Nbad
1 单缝的夫琅和费衍射图样，不随缝的上下移动而变化。
4
光栅衍射谱线：
光栅衍射图样是由来自 每一个单缝上 许多子波以及来自 各单缝 对应的子波彼此相干叠加而形成。
因此，它是单缝衍射和多缝干涉的 总效果。
如果让平行光照射整个光栅，那么每个单缝在屏上所产生的振幅情况是完全一样的。
光栅形成的光谱线，
尖锐、明亮若干平行的单狭缝所分割的波面具有相同的面积。
各狭缝上的子波波源一一对应，且满足相干条件，会产生干涉现象。
二、光栅衍射在单缝的情况下振幅为零的地方迭加起来的合振幅仍为零。但振幅不为零的地方，其位置仍没有变，
但振幅变大了，光强变大了。
5
当平行光垂直照射在光栅上时，
s i ns i n)( dba
两两相邻光线的光程差都相同。相邻的子光源在 P点引起的振动的位相差为,?
s i n)(2 ba
这样,N个子光源在 P点引起的振动便是 N个振幅相等，
频率相同，相邻两个振动位相依次相差的简谐振动的合成。?
s i n)(2 ba?
1.干涉相长、相消条件
相邻两条光线的光程差：
1.光栅干涉的情况
f
ba
d
P
6
ba
d
k
)2,,0( 的整数取不等于?NNk?
)2,1,0(k kba s i n)(
干涉相长，屏上呈现明纹。
f
这 N 个振动迭加后的振幅为：
2
s in
2
s in
0?
N
AA
0A
每个子光源的振幅。
讨论：
0NAA? N
kba s i n)(
0?A
多缝干涉明条纹也称为主极大明纹。 K称为主极大。
k2当 时
N
k 2当时干涉相消，屏上呈现暗纹。
光栅方程
7
2.干涉图样
N=6
在第 k 级主极大明条纹与第 k+1级 主极大明条纹间有（ N-1)个暗条纹。
相邻两个主极大之间的光程差为 k?，位相差为 2k?，
各个主极大的强度是相等的，且各个主极大的强度与 N有关。
在相邻暗条纹之间必定有明纹，称为次极大。相邻主极大之间有 (N-2)个次极大。
当 N 很大时，次极大的个数很多，在主极大明条纹之间实际上形成一片相当暗的背底。
N=2
在研究光栅问题时，主要研究主极大明纹。
8
这样，斜入射光栅的光栅方程为：
k
f
3.光栅斜入射情况
s i n)(s i n)( baba
两两相邻光线的光程差仍都相同。
P
式中?角的正负规定：
衍射光线和入射光线在光栅平面法线同侧时?> 0，反之?<0。
kbaba s i n)(s i n)(
)2,1,0(k 明纹
9
d?
f
o
x
P
4.主极大的位置主极大的位置可以用衍射角来表示。
由光栅方程
kba s i n)(
)2,1,0(k
可以求出各级的衍射角，从而可以表示出它的位置。
主极大的位置也可以用距离来表示。
tg fx? 当? 角很小时 tgs in
由光栅方程 kba s i n)(
)2,1,0(k
ba
fkx
)2,1,0(k
明纹
10
例 1.波长范围在 450? 650nm 之间的复色平行光垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，屏幕放在透镜的焦面处，屏上的第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm。求透镜的焦距 f。 (1nm=10-9 m)
解,光栅常数,m1021051 65 --d
设?1=450nm,?2=650nm,则据光栅方程,?1 和?2 的第 2 级谱线有：;2s in 11d 22 2s ind
据上式得,?74.262s i n 111 - d
54.402s i n 212 - d
第 2级光谱的宽度1212 tgtg -?- fxx
透镜的焦距1212 tgtg --? xxf cm1 0 0?
11
例 2.一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每条透光缝宽为 a = 2× 10-3 cm,在光栅后放一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以600nm 的单色平行光垂直照射光栅。 求：
（ 1）透光缝 a 的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？（ 2）
在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
为中央明条纹的半角宽度解,)1(
a
2
0 102/106 57 -- r a d103 2-
52/0 x / f tgs i n
由单缝暗纹公式, ka?s i n?kf
ax?
个主极大。等所以共有取 5,2,1,0'.2' kk
m03.0/1 afx?
中央明条纹宽度为由光栅方程：( 2) 5.2/)('fxbak
,1?k取
m06.02 1 xx?
,') s i n( kba
12
d
f
o
x
P
5.最多可看到的主极大条数。
令
2
代入光栅方程：
取整
)(
m a x
bak
一共可看到的谱线为 条（包括中央明纹）12
ma x?k
kba s i n)(
将得到的 K值取整，就得到最大的 K值,
注意,若当 时，
2
bakm a x 恰为整数，
则一共可看到的谱线为 条
1)1(2 m a x?-k
13
例 3,分光计作光栅实验，用波长? = 632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300 mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解,在分光计上观察谱线，最大衍射角为 90°,
k s in)( ba
90s i n)(
m a x
bak d
f
o
x
P 9
3
108.632300
101
-
-
取 5m axk
能观察到的谱线为 11条：
。，，，，，，，，，,5 4 3 2 1 0 12345 -----
3.5
14
例 4.波长为 500nm 的单色光，以 30° 入射角照射在光栅上，发现原在垂直入射时的中央明条纹的位置现在改变为第二级光谱的位置，求此光栅每 1cm 上共有多少条缝？最多能看到几级光谱？共可看到几条谱线？
kba )s in) ( s in()1( 斜入射时解：
,0
)s i n/ ( s i n)( kba
原中央明纹处 30,2且已知第二级光谱 k
)s in/(s i n105002 9 -
)m(102 6-
)/(101 2 baN - cm/5 0 0 0 条?
]/)2/s i n30) ( s i n[(baI N Tk m 5?
令? =? /2，得
102/101 62 --
，同理令 2/ -?1-?mK得共七条明线5,4,3,2,1,0 k
15
每个单缝的衍射光强决定于来自各单缝的光振幅矢量 Ai 的大小，它随衍射角
而变化。
只考虑每个单缝衍射的效果。
ka s i n )3,2,1(k
屏上的光强为零。 0
0?A
整个光栅衍射时的光强分布如图所示。
sin?
I
光栅衍射条纹的亮线位置由多光束干涉的光栅方程决定，但亮线强度要受到单缝衍射的制约。
单 缝衍射多缝干涉
2.衍射的情况
3.综合考虑干涉和衍射的效果多缝干涉主极大的光强决定于 N·Ai,受 Ai 大小 的制约。
16
当光栅明纹处恰满足单缝衍射暗纹条件，该处光强为 0,这样就使本来应出现干涉亮线的位置，却变成了强度为零的暗点了。这种现象称为缺级现象。
缺级现象缺级条件,
光栅衍射加强条件, kba s i n)(
单缝衍射减弱条件, 's i n ka
两式相比
'k
k
a
ba
'k
k
a
ba )( 必须为整数和式中 kk?
缺级条件,
17
0
I单
-2 -1 1 2
I
0 4 8-4-8
单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线谱线中的第 –8,– 4,4,8级条纹缺级。
当 时
4' kka ba
ka bak
缺级级数为：
)3,2,1(k
考虑缺级：
(1).a的值给出。
(2).题目明确要求。
18
播放动画
19
播放动画
20
播放动画光栅光谱,如果让白光照射光栅，就能获得彩色光谱，这种光谱称为光栅光谱。
相同级次的各色光，其衍射角展开的宽度随着级次
k的增高、衍射角的增大而增加：
所以，级次高的 光谱中发生重叠。从而分辨不出干涉条纹。 k
k ba
k
c o s)(?
21
例 5.用每毫米有 300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光谱。已知红谱线波长?R
在 0.63— 0.76?m 范围内,蓝谱线波长?B 在 0.43— 0.49
m 范围内。当光垂直入射到光栅时，发现在 24.46?角度处，红蓝两谱线同时出现。问,(1)在什么角度下红蓝两谱线还会同时出现？ (2)在什么角度下只有红谱线出现？
m33.3mm3 0 01 ba
kba s in ( 1 )?
kba m38.146.24s i n?
解：
m;76.063.0 μ-?R m49.043.0 μ-?B?
对于红光,mk
R 69.0 2
22
红光的第 4 级与蓝光的第 6 级还会重合,重合处的衍射角?’
828.04's in baR9.55'
(2)红光的第二、四级与蓝光重合，且最多只能看到四级，所以纯红光谱的第一、三级将出现,
9.11 207.0s i n
11
ba
R
4.38 621.03s i n
33
ba
R
红光最大级次 8.4m a x Rbak?
取 4ma x?k
对于蓝光,mk
B 46.0 3
23
例 6.在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长?1 和?2,并垂直入射于单缝上，假如?1 的第一级衍射极小与?2 的第二级衍射极小相重合，试问：（ 1）这两种波长之间有何关系？（ 2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？
解,（ 1）由单缝衍射的暗纹公式：
,21 21 2代入可得由题意知
22 2s i na11s i na
，相应的两暗纹重合。则对于 2112,2 kk
222s i n ka又211 2s i n ka?
)3,2,1( 1k,2s i n 21111 kka（ 2）
光栅衍射
2
大量等宽等间距平行狭缝 (或反射面 )构成的光学元件。
衍射光栅 (透射光栅 )
反射光栅 (闪耀光栅 )
从工作原理分一、光栅光栅制作
机制光栅：在玻璃片上刻划出一系列平行等距的划痕,刻过的地方不透光，未刻地方透光。
全息光栅：通过全息照相，将激光产生的干涉条纹在干板上曝光，经显影定影制成全息光栅。
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝。
3
光栅常数
bad
ba透光缝宽度 a
不透光缝宽度 b
光栅常数,
d
f
衍射角相同的光线，会聚在接收屏的相同位置上。
单缝的夫琅和费衍射图样与缝在垂直于透镜 L的光轴方向上的位置无关 。
光栅常数与光栅单位长度的刻痕数 N的关系
Nbad
1 单缝的夫琅和费衍射图样，不随缝的上下移动而变化。
4
光栅衍射谱线：
光栅衍射图样是由来自 每一个单缝上 许多子波以及来自 各单缝 对应的子波彼此相干叠加而形成。
因此，它是单缝衍射和多缝干涉的 总效果。
如果让平行光照射整个光栅，那么每个单缝在屏上所产生的振幅情况是完全一样的。
光栅形成的光谱线，
尖锐、明亮若干平行的单狭缝所分割的波面具有相同的面积。
各狭缝上的子波波源一一对应，且满足相干条件，会产生干涉现象。
二、光栅衍射在单缝的情况下振幅为零的地方迭加起来的合振幅仍为零。但振幅不为零的地方，其位置仍没有变，
但振幅变大了，光强变大了。
5
当平行光垂直照射在光栅上时，
s i ns i n)( dba
两两相邻光线的光程差都相同。相邻的子光源在 P点引起的振动的位相差为,?
s i n)(2 ba
这样,N个子光源在 P点引起的振动便是 N个振幅相等，
频率相同，相邻两个振动位相依次相差的简谐振动的合成。?
s i n)(2 ba?
1.干涉相长、相消条件
相邻两条光线的光程差：
1.光栅干涉的情况
f
ba
d
P
6
ba
d
k
)2,,0( 的整数取不等于?NNk?
)2,1,0(k kba s i n)(
干涉相长，屏上呈现明纹。
f
这 N 个振动迭加后的振幅为：
2
s in
2
s in
0?
N
AA
0A
每个子光源的振幅。
讨论：
0NAA? N
kba s i n)(
0?A
多缝干涉明条纹也称为主极大明纹。 K称为主极大。
k2当 时
N
k 2当时干涉相消，屏上呈现暗纹。
光栅方程
7
2.干涉图样
N=6
在第 k 级主极大明条纹与第 k+1级 主极大明条纹间有（ N-1)个暗条纹。
相邻两个主极大之间的光程差为 k?，位相差为 2k?，
各个主极大的强度是相等的，且各个主极大的强度与 N有关。
在相邻暗条纹之间必定有明纹，称为次极大。相邻主极大之间有 (N-2)个次极大。
当 N 很大时，次极大的个数很多，在主极大明条纹之间实际上形成一片相当暗的背底。
N=2
在研究光栅问题时，主要研究主极大明纹。
8
这样，斜入射光栅的光栅方程为：
k
f
3.光栅斜入射情况
s i n)(s i n)( baba
两两相邻光线的光程差仍都相同。
P
式中?角的正负规定：
衍射光线和入射光线在光栅平面法线同侧时?> 0，反之?<0。
kbaba s i n)(s i n)(
)2,1,0(k 明纹
9
d?
f
o
x
P
4.主极大的位置主极大的位置可以用衍射角来表示。
由光栅方程
kba s i n)(
)2,1,0(k
可以求出各级的衍射角，从而可以表示出它的位置。
主极大的位置也可以用距离来表示。
tg fx? 当? 角很小时 tgs in
由光栅方程 kba s i n)(
)2,1,0(k
ba
fkx
)2,1,0(k
明纹
10
例 1.波长范围在 450? 650nm 之间的复色平行光垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，屏幕放在透镜的焦面处，屏上的第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm。求透镜的焦距 f。 (1nm=10-9 m)
解,光栅常数,m1021051 65 --d
设?1=450nm,?2=650nm,则据光栅方程,?1 和?2 的第 2 级谱线有：;2s in 11d 22 2s ind
据上式得,?74.262s i n 111 - d
54.402s i n 212 - d
第 2级光谱的宽度1212 tgtg -?- fxx
透镜的焦距1212 tgtg --? xxf cm1 0 0?
11
例 2.一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每条透光缝宽为 a = 2× 10-3 cm,在光栅后放一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以600nm 的单色平行光垂直照射光栅。 求：
（ 1）透光缝 a 的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？（ 2）
在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
为中央明条纹的半角宽度解,)1(
a
2
0 102/106 57 -- r a d103 2-
52/0 x / f tgs i n
由单缝暗纹公式, ka?s i n?kf
ax?
个主极大。等所以共有取 5,2,1,0'.2' kk
m03.0/1 afx?
中央明条纹宽度为由光栅方程：( 2) 5.2/)('fxbak
,1?k取
m06.02 1 xx?
,') s i n( kba
12
d
f
o
x
P
5.最多可看到的主极大条数。
令
2
代入光栅方程：
取整
)(
m a x
bak
一共可看到的谱线为 条（包括中央明纹）12
ma x?k
kba s i n)(
将得到的 K值取整，就得到最大的 K值,
注意,若当 时，
2
bakm a x 恰为整数，
则一共可看到的谱线为 条
1)1(2 m a x?-k
13
例 3,分光计作光栅实验，用波长? = 632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300 mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解,在分光计上观察谱线，最大衍射角为 90°,
k s in)( ba
90s i n)(
m a x
bak d
f
o
x
P 9
3
108.632300
101
-
-
取 5m axk
能观察到的谱线为 11条：
。，，，，，，，，，,5 4 3 2 1 0 12345 -----
3.5
14
例 4.波长为 500nm 的单色光，以 30° 入射角照射在光栅上，发现原在垂直入射时的中央明条纹的位置现在改变为第二级光谱的位置，求此光栅每 1cm 上共有多少条缝？最多能看到几级光谱？共可看到几条谱线？
kba )s in) ( s in()1( 斜入射时解：
,0
)s i n/ ( s i n)( kba
原中央明纹处 30,2且已知第二级光谱 k
)s in/(s i n105002 9 -
)m(102 6-
)/(101 2 baN - cm/5 0 0 0 条?
]/)2/s i n30) ( s i n[(baI N Tk m 5?
令? =? /2，得
102/101 62 --
，同理令 2/ -?1-?mK得共七条明线5,4,3,2,1,0 k
15
每个单缝的衍射光强决定于来自各单缝的光振幅矢量 Ai 的大小，它随衍射角
而变化。
只考虑每个单缝衍射的效果。
ka s i n )3,2,1(k
屏上的光强为零。 0
0?A
整个光栅衍射时的光强分布如图所示。
sin?
I
光栅衍射条纹的亮线位置由多光束干涉的光栅方程决定，但亮线强度要受到单缝衍射的制约。
单 缝衍射多缝干涉
2.衍射的情况
3.综合考虑干涉和衍射的效果多缝干涉主极大的光强决定于 N·Ai,受 Ai 大小 的制约。
16
当光栅明纹处恰满足单缝衍射暗纹条件，该处光强为 0,这样就使本来应出现干涉亮线的位置，却变成了强度为零的暗点了。这种现象称为缺级现象。
缺级现象缺级条件,
光栅衍射加强条件, kba s i n)(
单缝衍射减弱条件, 's i n ka
两式相比
'k
k
a
ba
'k
k
a
ba )( 必须为整数和式中 kk?
缺级条件,
17
0
I单
-2 -1 1 2
I
0 4 8-4-8
单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线谱线中的第 –8,– 4,4,8级条纹缺级。
当 时
4' kka ba
ka bak
缺级级数为：
)3,2,1(k
考虑缺级：
(1).a的值给出。
(2).题目明确要求。
18
播放动画
19
播放动画
20
播放动画光栅光谱,如果让白光照射光栅，就能获得彩色光谱，这种光谱称为光栅光谱。
相同级次的各色光，其衍射角展开的宽度随着级次
k的增高、衍射角的增大而增加：
所以，级次高的 光谱中发生重叠。从而分辨不出干涉条纹。 k
k ba
k
c o s)(?
21
例 5.用每毫米有 300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光谱。已知红谱线波长?R
在 0.63— 0.76?m 范围内,蓝谱线波长?B 在 0.43— 0.49
m 范围内。当光垂直入射到光栅时，发现在 24.46?角度处，红蓝两谱线同时出现。问,(1)在什么角度下红蓝两谱线还会同时出现？ (2)在什么角度下只有红谱线出现？
m33.3mm3 0 01 ba
kba s in ( 1 )?
kba m38.146.24s i n?
解：
m;76.063.0 μ-?R m49.043.0 μ-?B?
对于红光,mk
R 69.0 2
22
红光的第 4 级与蓝光的第 6 级还会重合,重合处的衍射角?’
828.04's in baR9.55'
(2)红光的第二、四级与蓝光重合，且最多只能看到四级，所以纯红光谱的第一、三级将出现,
9.11 207.0s i n
11
ba
R
4.38 621.03s i n
33
ba
R
红光最大级次 8.4m a x Rbak?
取 4ma x?k
对于蓝光,mk
B 46.0 3
23
例 6.在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长?1 和?2,并垂直入射于单缝上，假如?1 的第一级衍射极小与?2 的第二级衍射极小相重合，试问：（ 1）这两种波长之间有何关系？（ 2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？
解,（ 1）由单缝衍射的暗纹公式：
,21 21 2代入可得由题意知
22 2s i na11s i na
，相应的两暗纹重合。则对于 2112,2 kk
222s i n ka又211 2s i n ka?
)3,2,1( 1k,2s i n 21111 kka（ 2）
