第四节衍射光栅一,衍射光栅
1,光栅反射光栅透射光栅透光宽度不透光宽度
2,光栅常数 d
bad a
b
— 大量等宽等间距的平行狭缝 (或反射面 )构成的光学元件光栅宽度为 l,每毫米缝数为 m,则 总缝数
lmN
1? 0 1 k
1 0II
2? 2x
2s
d
P
1s
oa
ad 3?
只考虑单缝衍射强度分布只考虑双缝干涉强度分布双缝光栅强度分布
f
3,光栅衍射的基本特点屏上的强度为 单缝衍射 和 缝间干涉 的共同结果。
以二缝光栅为例
x
结论,
1? 0 1 k
1 0II
3? 0 3 k6? 6
0II1
sin?d
二,多缝干涉
1,五 缝干涉例子
kds in
主极大角位置条件
,2,1,0?k
k 称为 主极大级数
π2s i nπ2 kdδ
A
AA5 IAI 22 5
相邻两缝在 P点 引起 的光振动相位差为
主极大强度为主极条件下单缝在 P 点引起光振动矢量的振幅
P
ba?
L
f
o?
A?
mds in5,11,9,,6,4,,2,1m
π2 5 mδ1A?5A?
4A? 3A?
2A?
暗纹条件各缝光振幅矢量,5321,..,,,AAAA
相邻矢量相位差,s in
π2?
dδ?
暗纹条件
(1) 对五缝干涉，相邻两主极大间有 4个极小,3个次极大。
结论
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
I/?I?
(2)主极大光强是相应位置处单缝引起光强的 52 倍。
k
对 N 缝干涉两主极大间有 N - 1个 极小,N - 2
个次极大。
1m 0?m 1?m
081I?I
1m 0?m 1?m
04I?I
2?N
5?N
9?N
衍射屏上总能量 NE?
主极大的强度 2NI?
由能量守恒，主极大的宽度 N1?
随着 N的增大，主极大变得更为尖锐，且主极大间为暗背景
2,N 缝干涉
1m 0?m 1?m
025I?I
缝干涉强度分布缝干涉强度分布缝干涉强度分布三,光栅的夫琅禾费衍射
1,单缝衍射和缝间干涉的共同结果
1?N
20?N
6?N
5?N
3?N
2?N
几种缝的光栅衍射缝间干涉主极大就是光栅衍射主极大，其位置满足
kds in?,3,2,1,0?k — 光栅方程多缝干涉主极大光强受单缝衍射光强调制，使得主极大光强大小不同，在单缝衍射光强极小处的 主极大 缺级。
kasi n dkaks i n
a
dkk
2?ad
3?ad
6,4,2k?9,6,3k
缺级条件如缺级缺级
3,缺级条件分析
,3,2,1k
2,光栅方程
kds in
缺级光栅光谱单缝衍射单缝衍射缝间干涉暗 暗明纹 暗纹明 暗加强 减弱
4,暗纹条件设光栅总缝数为 N，各缝在观察屏上某点 P 引起的光振动矢量为
12,,,,,iNE E E E
光栅衍射中，两主极大条纹之间分布着一些暗纹，这是缝间干涉相消而成。
mNds i n 2,1,1,2,,2,1 NNNNm
π2 mδN
为相邻光振动矢量夹角
s inπ2 dδ?
暗纹条件当这些振动矢量组成的多边形封闭时，合矢量为零，对应点为暗纹，则其中
)1(s i n 1 kNNd kN
)1(s i n 1 kNNd kN
2)(c o s 111 kNkNkNNd
c o s2
kNd 明?
设光栅常数为 d,总缝数为 N 的光栅,当入射光波长 为?
时，分析其 夫琅禾费衍射 主 极大条纹角宽度与 N 的关系。
mbaN s i n)(,1,1,,2,1 NNm
第 k 级主极大相邻的两暗纹有
2)s i ns i n( 11 kNkNNd
N 越大，主极大角宽度越小，条纹越细。
例解 暗纹位置满足条件
1 kNm
1 kNm
第 k 级主极大角宽度
11 kNkNk
四,光栅光谱及分辨本领
1,光栅光谱
0级 1级 2级-2级 -1级
3级-3级 白光的光栅光谱
2,光栅的色分辨本领
( 将波长相差很小的两个波长? 和?+分开的能力 )
色谱仪的色分辨率?
R
设两波长?1 和?2 =?1+在第 k 级刚好能被光栅分辨，则有
1,1s in kd k?
2,2s in kd k?
(1 ),2,1,1c o s kd kk
根据瑞利判据,当 kk,1,2,1
(2 ) c o s
,1
,1
k
k Nd?
kNR( 光栅的色分辨本领 )由 (1),(2) 得时刚能 分辨
kkk,1,2,2,1其中
k,1 为波长?1第 k 级主极大半角宽度，且光栅的色分辨率讨论增大主极大级次 k 和总缝数 N,可提高光栅的分辨率。
五,斜入射的光栅方程
kd )s i n( s i n主极大条件
k = 0,1,2,3…
N
缺级条件
')s i n( s i n ka
kd )s i n( s i n
最多明条纹数 )2
π
2
π(
)s i n2
π( s i n
m a x
dk
)s i n2
π ( s i n
m a x -
dk
1m a xm a x kkN
A
B
θasin?sina
p
当? = -90o 时当? = 90o 时一束波长为 480 nm 的单色平行光，照射在每毫米内有 600
条刻痕的平面透射光栅上。
求 (1) 光线垂直入射时，最多能看到第几级光谱？
(2) 光线以 30o入射角入射时，最多能看到第几级光谱？
kds in m 10611060 0 1 53d
dk?m a x 3108.46 10 7
5
kd )03s i n( s i n o
5m axk
例解
1m axk
(1)
(2)
(2) 斜入射时，可得到更高级次的光谱，提高分辨率。
(1) 斜入射级次分布不对称
(3) 垂直入射和斜入射相比,完整级次数不变。
(4) 垂直入射和斜入射相比,缺级级次相同。
kd )s i n( s i n
')s i n( s i n ka a
dkk,3,2,1k
上题中垂直入射级数 3,2,1,0,1,2,3k
斜入射级数 5,4,3,2,1,0,1k
说明时，第二级主极大也发生缺级，不符题意，舍去。
每毫米均匀刻有 100条线的光栅，宽度为 D =10 mm，当波长为 500 nm的平行光垂直入射时，第四级主极大谱线刚好消失，第二级主极大的光强不为 0 。
(1) 光栅狭缝可能的宽度； (2) 第二级主极大的半角宽度。
例
(1) 光栅常数第四级主极大缺级，故有 a
bak4 41 k mm 10110 0
1 2 ba求解时1k mm 105.24
101
4
32 baa
2k
时，3k mm 105.734
1013
4
32 baa
(2) 光栅总的狭缝数
3
2 1010
10
ba
DN
设第二级主极大的衍射角为?2N,与该主极大相邻的暗纹
( 第 2N +1 级或第 2N - 1 级 ) 衍射角为?2N -1,由光栅方程及暗纹公式有
NbaN N 2s i n)( 2
)12(s i n)( 12 NbaN N
代入数据后，得?739.52?N742.512N?
第二级主极大的半角宽度
003.0212 NN
符合题意的缝宽有两个，分别是 2.5× 10-3 mm和 2.5× 10-3 mm
例题 1.已知光栅 5000条 /cm，,缝宽 。求：0A5900 ma 6101
(1),光垂直入射光栅，最多有几级明纹？
(2),光以入射角射至光栅，最多有几级明纹？
解,(1) 50001?
ba mcmba 61025 0 0 01
明纹条件, kba s i n)(
s i n)( bak
能看到最多级 1sin 090
4.31059 102 8
6
bak 3kk 取整数又 缺级 '2 kk
a
bak
故 2,4,6…… 缺级所以实际看到 0,?1,? 3
i?
看到最多 1sin 090
1sin
)30s in1)(( 0 bak 08.5
1059
2
3102
8
6
取 k=5
1sin
)30s in1)(( 0 bak 69.11059
)21(102
8
6
取 k=-1
考虑缺级,实际看到 -1,0,1,3,5
(2),入射光以 i入射
s i n)(s i n)( baiba
)s i n) ( s i n( iba?k?
030?i
由斜入射的光栅方程知：
k确定时，调节 i，则? 相应改变 。
例如,令 k = 0
则 dsin? = dsin?
相邻入射光的相位差
2 π 2 πs i n s i ndd
si n 2 π d
上式表明,改变相位差即可改变零级衍射光的方向 (此结论就是,相控阵雷达,的基本原理 )。
N
B
θasin?sina
p kd )s i n( s i n
微波源移相器辐射单元
d
n?
靶目标一维阵列的相控阵雷达
* 相控阵雷达图示为一维阵列的相控阵雷达。
1.扫描方式
·相位控制扫描用电子学方法周期性地连续改变相邻辐射单元的位相差,则零级主极大的 衍射角?也连续变化,从而实现扫描 。
·频率控制扫描也可以固定 相位差 而连续改变?来改变?,实现扫描 。
2.回波接收靶目标反射的回波也可通过同样的天线阵列接收 。 改变 相位差就能接收来自不同方位的波束 。 然后用计算机处理,提供靶目标的多种信息 — 大小,速度,方位? 实际的相控阵雷达是由多个辐射单元组成的平面阵列,以扩展扫描范围和提高雷达束强度 。
3.相控阵雷达的优点
(1)无机械惯性,可高速扫描,一次全程扫描仅需几?s。
(2)由计算机控制可形成多种波束,同时搜索,跟踪多个目标 。
(3)不转动,天线孔径可做得很大,从而有 效地提高辐射功率,作用距离,分辨率 。
4.应用我国和世界上许多大国都拥有相控阵雷达,
· 军用 (如,爱国号,导弹的雷达 )
·设在美国鳕角 (Cape cod)的相控阵雷达照片 (阵列宽 31m,有
1792个辐射单元,覆盖 240o视野 。 能探测到 5500公里范围内的 10m2大小的物体 。 用于搜索洲际导弹和跟踪人造卫星 。 )
设在澳大利亚 Sydney大学的一维射电望远镜阵列 (N=32，
=21cm,a = 2m,d = 21m,阵列长 213m)
民用,如地形测绘,气象控测,导航,测速 (反射波的多普勒频移 ),?
设在美国鳕角 (Cape cod)的相控阵雷达照片 (
阵列宽 31m,有 1792个辐射单元,覆盖 240o
视野 。 能探测到 5500公里范围内的 10m2大小的物体 。 用于搜索洲际导弹和跟踪人造卫星
。 )
设在澳大利亚 Sydney大学的一维射电望远镜阵列 (N=32,?=21cm，
a = 2m,d = 21m，
阵列长 213m)
例题 2,已知光栅 6500条 /cm，白光垂直入射，缝宽 ma 7107.7
求,(1),第三级谱线的衍射角？
(2),对于 光入射,能看到衍射条纹的级数？04 3 0 0 A
解,(1),白光波长范围 00 A7 0 0 0~A4 0 0 0
65001 ba mcmba 61054.16 5 0 01
3?k
ba
3s in
04 0 0 0 A紫光
7 7 9 2.01054.1 1043s in 6
7
1
01 19.51
07 0 0 0 A红光
136.11054.1 1073s in 6
7
2
090
对于 k=3红光级不存在。那么，对于白光 k=3能看到的光谱的波长为：
1sin 090
076 5 1 3 3101 3 3.5
3
1054.1 Am
k
ba 在绿光附近
(2).对于 光入射,能看到衍射条纹的级数04300 A
明纹条件, kba s i n)(
s i n)( bak
能看到最多级 1sin 090
6.31043 1054.1 8 6 bak 3kk 取整数，
又 缺级
'2 kka bak 故 2,4,6…… 缺级所以实际看到 0,1,3
例题 3,已知 光垂直入射光栅,k=2的明纹出现在06000 A,2.0sin
054.11 第四级为第一次出现的缺级。求：
(1)a+b (2),缝宽 a (3),实际呈现的级数解, kba s i n)()1(,
s i n
2)( ba m67 1062.0 1062
(2),k=4 为第一次出现的缺级 k'=1
4s i n)( ba
sina
4a ba
mbaa 6105.14
mb 666 105.4105.1106
(3)、实际能看到的级数 kba s i n)(
1sin 090
10106 106 76 bak
又 缺级
4' kka ba 故 4,8…… 缺级所以实际看到 0,?1,? 2,? 3,缺级,? 5,? 6,? 7,缺级,? 9
1,光栅反射光栅透射光栅透光宽度不透光宽度
2,光栅常数 d
bad a
b
— 大量等宽等间距的平行狭缝 (或反射面 )构成的光学元件光栅宽度为 l,每毫米缝数为 m,则 总缝数
lmN
1? 0 1 k
1 0II
2? 2x
2s
d
P
1s
oa
ad 3?
只考虑单缝衍射强度分布只考虑双缝干涉强度分布双缝光栅强度分布
f
3,光栅衍射的基本特点屏上的强度为 单缝衍射 和 缝间干涉 的共同结果。
以二缝光栅为例
x
结论,
1? 0 1 k
1 0II
3? 0 3 k6? 6
0II1
sin?d
二,多缝干涉
1,五 缝干涉例子
kds in
主极大角位置条件
,2,1,0?k
k 称为 主极大级数
π2s i nπ2 kdδ
A
AA5 IAI 22 5
相邻两缝在 P点 引起 的光振动相位差为
主极大强度为主极条件下单缝在 P 点引起光振动矢量的振幅
P
ba?
L
f
o?
A?
mds in5,11,9,,6,4,,2,1m
π2 5 mδ1A?5A?
4A? 3A?
2A?
暗纹条件各缝光振幅矢量,5321,..,,,AAAA
相邻矢量相位差,s in
π2?
dδ?
暗纹条件
(1) 对五缝干涉，相邻两主极大间有 4个极小,3个次极大。
结论
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
I/?I?
(2)主极大光强是相应位置处单缝引起光强的 52 倍。
k
对 N 缝干涉两主极大间有 N - 1个 极小,N - 2
个次极大。
1m 0?m 1?m
081I?I
1m 0?m 1?m
04I?I
2?N
5?N
9?N
衍射屏上总能量 NE?
主极大的强度 2NI?
由能量守恒，主极大的宽度 N1?
随着 N的增大，主极大变得更为尖锐，且主极大间为暗背景
2,N 缝干涉
1m 0?m 1?m
025I?I
缝干涉强度分布缝干涉强度分布缝干涉强度分布三,光栅的夫琅禾费衍射
1,单缝衍射和缝间干涉的共同结果
1?N
20?N
6?N
5?N
3?N
2?N
几种缝的光栅衍射缝间干涉主极大就是光栅衍射主极大，其位置满足
kds in?,3,2,1,0?k — 光栅方程多缝干涉主极大光强受单缝衍射光强调制，使得主极大光强大小不同，在单缝衍射光强极小处的 主极大 缺级。
kasi n dkaks i n
a
dkk
2?ad
3?ad
6,4,2k?9,6,3k
缺级条件如缺级缺级
3,缺级条件分析
,3,2,1k
2,光栅方程
kds in
缺级光栅光谱单缝衍射单缝衍射缝间干涉暗 暗明纹 暗纹明 暗加强 减弱
4,暗纹条件设光栅总缝数为 N，各缝在观察屏上某点 P 引起的光振动矢量为
12,,,,,iNE E E E
光栅衍射中，两主极大条纹之间分布着一些暗纹，这是缝间干涉相消而成。
mNds i n 2,1,1,2,,2,1 NNNNm
π2 mδN
为相邻光振动矢量夹角
s inπ2 dδ?
暗纹条件当这些振动矢量组成的多边形封闭时，合矢量为零，对应点为暗纹，则其中
)1(s i n 1 kNNd kN
)1(s i n 1 kNNd kN
2)(c o s 111 kNkNkNNd
c o s2
kNd 明?
设光栅常数为 d,总缝数为 N 的光栅,当入射光波长 为?
时，分析其 夫琅禾费衍射 主 极大条纹角宽度与 N 的关系。
mbaN s i n)(,1,1,,2,1 NNm
第 k 级主极大相邻的两暗纹有
2)s i ns i n( 11 kNkNNd
N 越大，主极大角宽度越小，条纹越细。
例解 暗纹位置满足条件
1 kNm
1 kNm
第 k 级主极大角宽度
11 kNkNk
四,光栅光谱及分辨本领
1,光栅光谱
0级 1级 2级-2级 -1级
3级-3级 白光的光栅光谱
2,光栅的色分辨本领
( 将波长相差很小的两个波长? 和?+分开的能力 )
色谱仪的色分辨率?
R
设两波长?1 和?2 =?1+在第 k 级刚好能被光栅分辨，则有
1,1s in kd k?
2,2s in kd k?
(1 ),2,1,1c o s kd kk
根据瑞利判据,当 kk,1,2,1
(2 ) c o s
,1
,1
k
k Nd?
kNR( 光栅的色分辨本领 )由 (1),(2) 得时刚能 分辨
kkk,1,2,2,1其中
k,1 为波长?1第 k 级主极大半角宽度，且光栅的色分辨率讨论增大主极大级次 k 和总缝数 N,可提高光栅的分辨率。
五,斜入射的光栅方程
kd )s i n( s i n主极大条件
k = 0,1,2,3…
N
缺级条件
')s i n( s i n ka
kd )s i n( s i n
最多明条纹数 )2
π
2
π(
)s i n2
π( s i n
m a x
dk
)s i n2
π ( s i n
m a x -
dk
1m a xm a x kkN
A
B
θasin?sina
p
当? = -90o 时当? = 90o 时一束波长为 480 nm 的单色平行光，照射在每毫米内有 600
条刻痕的平面透射光栅上。
求 (1) 光线垂直入射时，最多能看到第几级光谱？
(2) 光线以 30o入射角入射时，最多能看到第几级光谱？
kds in m 10611060 0 1 53d
dk?m a x 3108.46 10 7
5
kd )03s i n( s i n o
5m axk
例解
1m axk
(1)
(2)
(2) 斜入射时，可得到更高级次的光谱，提高分辨率。
(1) 斜入射级次分布不对称
(3) 垂直入射和斜入射相比,完整级次数不变。
(4) 垂直入射和斜入射相比,缺级级次相同。
kd )s i n( s i n
')s i n( s i n ka a
dkk,3,2,1k
上题中垂直入射级数 3,2,1,0,1,2,3k
斜入射级数 5,4,3,2,1,0,1k
说明时，第二级主极大也发生缺级，不符题意，舍去。
每毫米均匀刻有 100条线的光栅，宽度为 D =10 mm，当波长为 500 nm的平行光垂直入射时，第四级主极大谱线刚好消失，第二级主极大的光强不为 0 。
(1) 光栅狭缝可能的宽度； (2) 第二级主极大的半角宽度。
例
(1) 光栅常数第四级主极大缺级，故有 a
bak4 41 k mm 10110 0
1 2 ba求解时1k mm 105.24
101
4
32 baa
2k
时，3k mm 105.734
1013
4
32 baa
(2) 光栅总的狭缝数
3
2 1010
10
ba
DN
设第二级主极大的衍射角为?2N,与该主极大相邻的暗纹
( 第 2N +1 级或第 2N - 1 级 ) 衍射角为?2N -1,由光栅方程及暗纹公式有
NbaN N 2s i n)( 2
)12(s i n)( 12 NbaN N
代入数据后，得?739.52?N742.512N?
第二级主极大的半角宽度
003.0212 NN
符合题意的缝宽有两个，分别是 2.5× 10-3 mm和 2.5× 10-3 mm
例题 1.已知光栅 5000条 /cm，,缝宽 。求：0A5900 ma 6101
(1),光垂直入射光栅，最多有几级明纹？
(2),光以入射角射至光栅，最多有几级明纹？
解,(1) 50001?
ba mcmba 61025 0 0 01
明纹条件, kba s i n)(
s i n)( bak
能看到最多级 1sin 090
4.31059 102 8
6
bak 3kk 取整数又 缺级 '2 kk
a
bak
故 2,4,6…… 缺级所以实际看到 0,?1,? 3
i?
看到最多 1sin 090
1sin
)30s in1)(( 0 bak 08.5
1059
2
3102
8
6
取 k=5
1sin
)30s in1)(( 0 bak 69.11059
)21(102
8
6
取 k=-1
考虑缺级,实际看到 -1,0,1,3,5
(2),入射光以 i入射
s i n)(s i n)( baiba
)s i n) ( s i n( iba?k?
030?i
由斜入射的光栅方程知：
k确定时，调节 i，则? 相应改变 。
例如,令 k = 0
则 dsin? = dsin?
相邻入射光的相位差
2 π 2 πs i n s i ndd
si n 2 π d
上式表明,改变相位差即可改变零级衍射光的方向 (此结论就是,相控阵雷达,的基本原理 )。
N
B
θasin?sina
p kd )s i n( s i n
微波源移相器辐射单元
d
n?
靶目标一维阵列的相控阵雷达
* 相控阵雷达图示为一维阵列的相控阵雷达。
1.扫描方式
·相位控制扫描用电子学方法周期性地连续改变相邻辐射单元的位相差,则零级主极大的 衍射角?也连续变化,从而实现扫描 。
·频率控制扫描也可以固定 相位差 而连续改变?来改变?,实现扫描 。
2.回波接收靶目标反射的回波也可通过同样的天线阵列接收 。 改变 相位差就能接收来自不同方位的波束 。 然后用计算机处理,提供靶目标的多种信息 — 大小,速度,方位? 实际的相控阵雷达是由多个辐射单元组成的平面阵列,以扩展扫描范围和提高雷达束强度 。
3.相控阵雷达的优点
(1)无机械惯性,可高速扫描,一次全程扫描仅需几?s。
(2)由计算机控制可形成多种波束,同时搜索,跟踪多个目标 。
(3)不转动,天线孔径可做得很大,从而有 效地提高辐射功率,作用距离,分辨率 。
4.应用我国和世界上许多大国都拥有相控阵雷达,
· 军用 (如,爱国号,导弹的雷达 )
·设在美国鳕角 (Cape cod)的相控阵雷达照片 (阵列宽 31m,有
1792个辐射单元,覆盖 240o视野 。 能探测到 5500公里范围内的 10m2大小的物体 。 用于搜索洲际导弹和跟踪人造卫星 。 )
设在澳大利亚 Sydney大学的一维射电望远镜阵列 (N=32，
=21cm,a = 2m,d = 21m,阵列长 213m)
民用,如地形测绘,气象控测,导航,测速 (反射波的多普勒频移 ),?
设在美国鳕角 (Cape cod)的相控阵雷达照片 (
阵列宽 31m,有 1792个辐射单元,覆盖 240o
视野 。 能探测到 5500公里范围内的 10m2大小的物体 。 用于搜索洲际导弹和跟踪人造卫星
。 )
设在澳大利亚 Sydney大学的一维射电望远镜阵列 (N=32,?=21cm，
a = 2m,d = 21m，
阵列长 213m)
例题 2,已知光栅 6500条 /cm，白光垂直入射，缝宽 ma 7107.7
求,(1),第三级谱线的衍射角？
(2),对于 光入射,能看到衍射条纹的级数？04 3 0 0 A
解,(1),白光波长范围 00 A7 0 0 0~A4 0 0 0
65001 ba mcmba 61054.16 5 0 01
3?k
ba
3s in
04 0 0 0 A紫光
7 7 9 2.01054.1 1043s in 6
7
1
01 19.51
07 0 0 0 A红光
136.11054.1 1073s in 6
7
2
090
对于 k=3红光级不存在。那么，对于白光 k=3能看到的光谱的波长为：
1sin 090
076 5 1 3 3101 3 3.5
3
1054.1 Am
k
ba 在绿光附近
(2).对于 光入射,能看到衍射条纹的级数04300 A
明纹条件, kba s i n)(
s i n)( bak
能看到最多级 1sin 090
6.31043 1054.1 8 6 bak 3kk 取整数，
又 缺级
'2 kka bak 故 2,4,6…… 缺级所以实际看到 0,1,3
例题 3,已知 光垂直入射光栅,k=2的明纹出现在06000 A,2.0sin
054.11 第四级为第一次出现的缺级。求：
(1)a+b (2),缝宽 a (3),实际呈现的级数解, kba s i n)()1(,
s i n
2)( ba m67 1062.0 1062
(2),k=4 为第一次出现的缺级 k'=1
4s i n)( ba
sina
4a ba
mbaa 6105.14
mb 666 105.4105.1106
(3)、实际能看到的级数 kba s i n)(
1sin 090
10106 106 76 bak
又 缺级
4' kka ba 故 4,8…… 缺级所以实际看到 0,?1,? 2,? 3,缺级,? 5,? 6,? 7,缺级,? 9
