吕建聚概率论与数理统计
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二,样本空间一,随机试验第一、二节随机试验、样本空间三、随机事件四、事件间的关系及其运算概率论与数理统计课程简介在一定条件下，并不总是出现相同结果，但又有一定统计规律的现象称为 随机现象。
抛硬币、掷 骰 子是两个简单而最早研究的随机现象。
某网站某时点的访问人数，也是随机现象按照能否对将来进行预知的标准，自然界的现象分为两大类：
将来可以预知：条件一定、结果一定将来不可以预知：条件一定、结果不定
（ 1）确定现象
（ 2）不确定现象概率统计是一门研究随机现象未来结果出现的规律性的课程因经济、金融、保险、自然科学、工程中存在大量随即现象，概率统计的应用范围极广。
为处理随机现象提供一种工具
2、通过概率统计课程的思维训练，提高大家对解决生活中一些 复杂问题的决策能力学习这门课程的收获
1、为认识大量存在的随机现象和后续课程的学习提供一种数学工具学习方法和教学目标这门课程学习过程中，大家注意 对基本概念、基本原理的理解和体会,多看教材，辅之以多做练习,
教学目标：基本满足考研的需要
1、浙江大学,概率统计,及其配套参考资料
4、概率统计及数理统计（内容、方法和技巧）
华中科大参考书,
3、概率统计及数理统计 中山大学
2,概率统计及数理统计 陈希孺
(一 ) 随机试验随机试验应该广义理解，是对随机现象的一次观察、
（简称试验记作 E ）。
也可以是一次测量、一次统计等等认识自然规律，通过物理、化学试验等等认识随机现象各种结果的出现规律，也要通过随机试验随机试验的典型例子有：
E1：抛一枚硬币，观察正面 H（ Heads）,反面 T
E2,同时 掷三枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
E3：记录股票收盘点数。
（ Tails）出现的情况。
E4：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
随机试验（ Experimet ）的例子注意,随机试验具有特定的观察动机随机试验应该具有以下几点：
（可重复性）(1) 可以在相同情况下重复进行
(2) 每次试验可能出现的试验结果具有多种可能性，
(3) 每次试验前不能确定会出现哪种结果,
但能事先知道试验的所有可能结果。
(结果具有随机性）
具有上述三个特点的试验称为随机试验。
(结果具有多个性）
定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合，称为 E 的样本空间 (记作 Ω或者 S) 。
（二）样本空间 (Space)
样本空间 的元素,即 E 的每个结果，称为样本点。
S1,{ H,T }
认识一个随机现象首先从认识它的 所有可能发生的结果 开始。
E1：抛一枚硬币，观察正面 H,反面 T出现的情况。
样本空间 (Space)
S2,{ HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT }
S = { 0,1,2,}
E2,将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。
E：记录某网站每天的访问人数
E,记录一台电视机的使用寿命
s = {t|t 0}
随机现象的认识所有可能的取值取各个值的可能性关注一组可能的值更有实际意义试验 E 的样本空间 Ω 的子集称为随机事件
（简称事件）。 用 A,B,C,D等表示。
（三）事件定义比如：掷骰子试验、点数是偶数、奇数、大于 3等都是事件事件的表示方法,语言定性描述或者集合的语言比如：掷骰子试验中，掷出点数是偶数可表示为：
A=｛ 2,4,6｝＝,点数为偶数,
样本空间是客观的 事件是人为设定的事件 B1={t|t?2000}＝,灯泡是次品”
事件 B2={t|t? 2000} ＝“灯泡是合格品”
灯泡的寿命试验，寿命大于等于 2000小时为合格在试验中,这个事件中的一个样本点出现,则称 事件发生 。
事件的发生再比如：在掷骰子试验中,S＝｛ 1,2,3,4,5,6，｝
S1＝｛ 1,2,3｝ S2＝｛ 2,4,6｝
S3＝｛ 4,5,6｝
如果掷出的数字是 4，则 S2,S3发生思考题一次随机试验，会有多少个结果发生？
一次随机试验，是不是只有一个事件发生？
1）基本事件,
E 中只含有一个样本点的事件，称为 E 的基本事件。
2、随机事件中几种具有特殊意义的事件,
1 1A2 2A?
为六个基本事件。
例如：在掷骰子试验中
6 6A?
2） 必然事件,
3） 不可能事件,在每次试验中一定不发生的结果,
由于样本空间 Ω包含所有的样本点,每次试验中它总是发生的,样本空间称为必然事件。
记为,?
.?即为空集 其中不包含任何样本点。
例如 E4 中 { 点数 }1? 为必然事件。
}6? 为不可能事件。{ 点数
1.2事件间的关系及事件的运算事件是一个集合,因而事件间的关系和运算,自然按照集合论中的集合之间的关系和运算来处理。
下面给出这些关系和运算，及在概率论中的提法，
从,事件发生,的角度来理解他们在概率论中的含义。
S
1、事件的包含与相等
B
A
记为,BA?
Ax? Bx?
若事件 A 发生必导致事件定义,
B 发生,则称 B包含了 A 。
（ A的每一个样本点都是 B 的样本点）
或,AB?
即定义,若 BA? 且,AB? 则称 A与 B 相等记为 A = B,
如在编号 1到 10的袋子中摸球 }2{ 取到的球号A
}4{ 取到的球号B }{ 取到的球号是偶数?C
}1{ 取到的球号D 有 CABA
AD?,SD?
S
2、事件的和 （和运算）
A B
BA?
Ax? Bx?或定义事件BA?
例如dcbaA,,,fedcB,,,?
fedcbaBA,,,,,
称为 A 与 B的和事件当且仅当 A,B中至少有一个发生时 事 件 发 生AB
经 常 与 至 少 有 一 个 发 生,表 示 为A B A B
2、事件的和 （和运算）
类似，由,事件 nAAA,,,21?,中至少有一个发生所构成的事件，称为 nAAA,,,21? 的和，记为
nAAA 21
例如
A1={开关 K1 合上 } A2={开关 K2 合上 }
A3={开关 K3 合上 } B={灯亮 }
1 2 3B A A A
三个开关至少有一个合上。
1K
2K
3K B
3、事件的积 （积运算 ）
S
A
BA?
B
BA?
Ax?
当且仅当事件 A 与事件 B 同时发生时
Bx?且BA?
或,AB
定义记为例 电路图
21 AAB?
1K 2K
B
A1={开关 K1 合上 }
A2={开关 K2 合上 }
称为事件 A与 B的积。
BA? 发生例如,设以
nAAA,,,21?
表示毕业班某一位学生的各门课程的学习成绩为合格。
以 B 表示学生可以拿到毕业证书。
则
nAAAB?21?
(表示门门课程都合格了 )。
类似，由,事件
nAAA,,,21?
” 中同时发生所构成的事件，称为
nAAA,,,21? 的积，记为
nAAA?21
或 nAAA21
4、事件的差 （差事件）
Ax?
当且仅当,事件 A 发生且事件 B 不发生
Bx?且
S
B
A
BA?
定义 事 件 {}AB
例如dcbaA,,,fedcB,,,?
baBA,
称为事件 A 与 B 的差事件。
时，事件 A－ B发生
S
5,互不相容事件
A
B
表示,事件 A 与事件 B 不能同时发生定义 若BA? 则称 A 与 B 相容注,基本事件是两两互不相容的 (互斥 ) 。
如：产品检验是一等品、二等品、次品是互不相容的。
否则，称为不相容
S
6,对立事件
B
A
则称 A 与 B为 对立事件 (互逆 )
SBA 且BA?
即：事件 A,B 必有且仅有一个发生。
定义 事件 A,B 满足记为 BAAB
可见：若 E 只有两个互不相容的结果，那么这两个结果构成对立事件。
nAAA,,,21?
表示毕业班某一位学生的以 C 表示学生拿不到毕业证书。
则
nAAAB?21?
(表示门门课程都合格了 )。
例如,设以
12 nC A A A?
表示至少有一门课程不及格。
以 B 表示该学生可以拿到毕业证书。
各 课的学习为成绩 合格。
事件运算规律
1,交换律 ABBA ABBA
2,结合律 )( CBA CBA )(?
)( CBA CBA )(?
3,分配律 )( CBA )()( CABA
)( CBA )()( CABA
4,德摩根律 BA? BA
AB BA
即 A,B 中 至少 有一个发生的对立面,就是两个 都不 发生。
A,B 两个 同时 发生的对立面,就是两个 至少 有一个不发生。
例 1,设 A,B,C 表示三个事件,试表示下列事件
(1) A 发生,B 与 C 不发生
(2) A 与 B 发生,C 不发生
(3) A,B 与 C 都发生
(4) A,B 与 C 至少有一个发生
(5) A,B 与 C 全不发生
(6) A,B 与 C 至少有两个发生
)( CBA
)( CAB
)( A BC
)( CBA
)( CBA
A B C( )CABCBABCA
还有没有其他表示方法?
例 2 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道 1,2,3 组成。 每个水源都可以供应城市的用水。
设事件 Ak 表示第 k 号管道正常工作,k=1,2,3。
B 表示,城市能正常供水,,B表示,城市断水,。
城市甲乙
1
2
3
解
1 2 3B A A A
1 2 3B A A A
1 2 3A A A
试用 321,,AAA 表示,,BB
例 3 从一批 100件的产品中每次取出一个（取后不放回）,假设 100件产品中有 5件是次品,用事件 AK 表示第 k 次取到次品（ k=1,2,3),试用 321 AAA 表示下列事件。
1、三次全取到次品。
321 AAA
2、只有第一次取到次品
321 AAA
3、三次中至少有一次取到次品
1 2 3A A A
4、三次中恰有两次取到次品
1 2 3A A A?1 2 3A A A?1 2 3 A A A
5、三次中至多有一次取到次品
1 2 3A A A?1 2 3A A A? 321 AAA 1 2 3A A A?
或
1 2 1 3 2 3A A A A A A
A B A B注意
,
(
例题 设A,B为 任意的两个事件 则
A+B)(A+B)(A+ B)( A+ B)=?
,( A + B ) ( A + B ),
( a ) ( b ) A B
( C ) ( d ) A B
例设A,B为 任意两个事件则 表示必然事件 与 恰有一个发生不可能事件 与 不同时发生请 选 择,以 A 表 示 事 件,甲 种 产 品 畅 销,乙 种 产 品 滞 销,,
则 其 对 立 事 件 A 为 （ ）
A 甲种产品滞销,乙种产品畅销
B 甲乙两种产品均畅销
C 甲种产品畅销
D 甲重产品滞销或乙种产品畅销本节知识要点
1、随机现象的认识
2、基本概念：样本空间、事件、事件发生
3、事件的关系运算（集合的语言和概率的语言,文氏图）
作业,p32 1,2
注意,互逆事件和对立事件的区别第一章二、概率的定义一,概率的求法第三节频率与概率三、概率的计算对随机现象发生规律的研究上节指出，概率论研究随机现象的发生规律随机现象发生规律是指 各种可能结果 及 发生的可能性,
按照习惯,可能性用大于 0小于 1的数量指标描述强调一点,概率是 指将来发生 的可能性,
这种可能性用数字进行定量描述就是概率生活经验 抽检 100只产品中,5只不合格，合格率 95％，
随机选取一件产品，合格品的可能性为 95％
概率求法的简要说明
1、频率方法 (经验方法 )
一般,在 n 次试验中事件 A发生的次数是 k，事件 A发生的频率为 这个数量指标可以描述事件发生的可能性，就是通常所说的概率
k
n
2、古典方法每个基本事件发生的可能性相同 。
样本空间的元素只有有限个；
的可能性都应该是一样的。 可以认为每掷一颗质量均匀的正六面体骰子问题，每一面出现
1.
6
一面出现的可能性都是 这类问题有两个特征：
PA
A所占基本事件的个数所有基本事件的个数?
例 1 在一口袋中装有编号依次为 10,,2,1?
的 10 个形状相同的球。 从这袋中任取一球。
1,A,,取到 1 号球,求.AP
2,B,,取到 的是偶数号球,求.BP
解 所有可能出现的基本事件共有 10 个，即
10}10,,2,1{ nS?
1,A 事件只占有一个机会,,
10
1,1 APA
}10,8,6,4,2{.2?B
10
55 BPn
B
3、主观方法一个事件发生的概率是人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人判断。
比如：高考填报志愿时，很费头脑，考生对录取的可能性有一个判断，也是主观概率。
这些是对客观现象发生可能性的一个 经验判断
S设随机试验 在相同条件下，
An发生了
n
nA 称为事件 A 发生的 频率,记
)( Af n作
E 的样本空间为次重复独立试验，在这进行 次试验中事件 An n
次，则比值即
)( Af n
n
nA
经验和一些试验数据指出：
1,频率有随机波动性,即对于同样的 n,所得的
)(Afn 不尽相同。
2,试验的次数 n 较小时,频率 )( Afn 随机波动的幅度较大,但随着 n 增大,)( Afn 呈现出稳定性。
频率方法剖析
1 ) 0 ( ) 1 nfA
2) ( ) 1 nfS?
123 ),,kA A A若 两两不相容 则
12( ) nkf A A A?1( ) nfA
2( ) nfA? ( ) nkfA
概率的统计定义（频率）、古典定义、主观定义都不能称为数学概念，概率的定义一直困扰着概率论学科的发展
，直到 1933年苏联数学家柯莫哥洛夫才给出概率的公理化定义。概率的公理化定义参照、体现了频率的如下一些性质：
概率的公理化定义
E S设随机试验定义：
法则对于 E 中的每一个事件 A 赋予一个实数 p,
记为 P(A),称为事件 A 的概率,
1.非负性 0)(?AP
1)(?SP
12,,AA若 是两两互不相容的事件 则
12( ) P A A?1( ) PA 2( ) PA
3、可列可加性的样本空间为 按照某种其基本性质：
2、规范性（归一性）
概率是以“事件”为自变量的函数 其几何表示为文氏图面积概率的性质
0)(P性质 1,不可能事件的概率为 0。
性质 2、
1 2 1 2,A A A A?是不相容事件，即 ＝
P ( A B ) = P ( A ) + P ( B )?则
1 2 n A,A,.,,,,A 推广,两两互不相容
12(,,,,,,)nP A A A则：
12( ) ( ),,,,,,( )np A P A P A
性质 3,ApAp 1
AASAA?
ApAPAApSp1
,BA?若
( ) ( ) ( ) 0P B A P B P A则有证,BA )( ABAB
)()( APBP?
)( BP )()( ABPAP
性质 4、
A B
思考题 若 A与 B相容
( ) B A B B A
A B
A B 与 B-A 互不相容，
p B P A B p B A
P B A P B p A B
P B A？
可推广到多个事件的情形,如三个事件性质 5 BA,对于任意的事件,都有
)()()()( ABPBPAPBAP
证,)( ABBABA
)( ABBA BAB?
)( BAP?
)( AP? )()( ABPBP
)()( ABBPAP
)()()()( 321321 APAPAPAAAP
)()()()( 321323121 AAAPAAPAAPAAP
A B
例 1
1K
2K B
如图：
1K 合上的概率为 0.6
2K 合上的概率为 0.7
1K 2K 同时合上的概率为 0.5
求灯亮的概率。
解 设
11,AK 合上 22,AK
合上
1 0,6 pA2 0,7 pA12 0,5 p A A?
B,灯亮。
12p B p A A
1 2 1 2 0,8 p A p A P A A
已知 3.0?AP 6.0?BP
求BAP?
例 2
解
( ) ( ) 0 P A B P
0,3 P A B P A
在下列两种情形下和ABP?
1,A,B互不相容
A B A B A B A B
0,6 P B A P B
2,A,B 有包含关系
P A P B? AB
0,3 P B A P B P A
解已知 0,5 pA 0,3 pB 0,6p A B
求BAp?
例 3
解 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B
( ) ( ) ( ) ( ) 0,2P A B P A P B P A B
P A B P A p A B3.02.05.0
,25.0)()()( CPBPAP
1 2 5.0)(?ACP,0)()( BCPABP
求 ABC 中至少有一个发生的概率。
解,?)( CBAP )()()( CPBPAP
)()()( BCPACPABP )( AB CP?
ABAB C )()( ABPA B CP 0?
0)( AB CP
)( CBAP 125.075.0? 625.0?
例 4,已知例 5,CBA,,某地发行 三种报纸,A已知订阅 报的
45％,订阅 B 报的 35%,订阅 C 报的 30%,同时订阅 AB 报的 10％,AC 报的 8％,BC 报的 5%,ABC
报的 3％,现任取一市民，试求下列事件的概率,
(1) 只订 A 报
(3) 至少订一种报
(4) 不订任何报解：设 分别用 A,B,C表示市民订 A报,B报,
)( CBAP
)( CABP
)( CBAP
)( CBAP 或 )( CBAP
C报的事件。
(2) 只订 AB 报已知,,45.0)(?AP,35.0)(?BP 30.0)(?CP
10.0)(?ABP08.0)(?ACP 05.0)(?BCP
03.0)(?AB CP
1) )( CBAP )( CBAP
)()( ACABPAP
)()()()( AB CPACPABPAP 30.0?
))(( CBAAP
)( CABP )( AB CABP? )()( AB CPABP2) 07.0?
)( CBAP )()()( CPBPAP3)
)()()( BCPACPABP 9.0)( AB CP
4)?)( CBAP )(1 CBAP)(1 CBAP? 10.0?
或?)( CBAP )(1 CBAP
本节主要知识点
1、概率的公理化定义
2、求概率的常用计算公式
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A B P A P A B
( ) 1 ( )P A P A
( ) ( ) 1 ( )P A B P A B P A B
古典概率
1) 样本空间 S 中样本点的总数有限
2) 每个样本点出现的可能性相同计算公式 )(AP?
A中样本点的个数
S中样本点的总数古典概型：
设随机试验 E 满足如下两个条件,
则称 E 为 等可能概型,也称为 古典概型 。
例题分析一副标准的扑克牌由 52张组成，它有两种颜色、四种花色和 13种牌形。（不考虑大小王）
看下面一些问题：
问题 1,抽出两张牌（有放回），两张全是红桃的概率
()PB?
52 52?
1 3 1 3?
问题 2,抽出两张牌（无放回），两张全是红桃的概率
()PB?
52 51?
1 3 1 2?
2
13
2
52
C 1 3 1 2 2 P ( A ) =
C 5 2 5 1 2
或者
()PB?
52 51?
1 3 1 3?
()PB?
52 51?
1 3 1 3 2 ＝
2
52c
1113 13CC
问题 4,抽出两张牌（不放回），一张红桃，另一张是黑桃的概率问题 5：一次抽出 5张牌,3张红桃,2张黑桃的概率
()PB?
552C
32
13 13CC
问题 6：抽出 5张牌，恰有 3张红桃的概率
()PB?
552C
32
13 39CC
例 7,一口袋中装有 10只球,其中 6只蓝球,4 只红球现从袋中取球两次,
放回 和 无放回 两种方式取球,就以上两种情况求,
1) 取到的两只都是蓝球的概率 ;
2) 取到两只球颜色相同的概率
3) 取到的两只球中至少有一只是蓝球的概率解,设 A=,两只球都是蓝球,B=,两只球都是红球,
C =,取到的两只球中至少有一只是蓝球,
a) 有放回的抽样
)( AP 259?
1010?
66?
)( BP 254?
1010?
44?
)(AP
)( BAP?
)(BP
AB? 0)( ABP
每次随机的取一只,分别按 有
)( BAP?2) )()()( ABPBPAP
25
13?
)( AP
)(1 BP)(CP3) )(BP
25
21?
b) 无放回的抽样
)( BP
910?
56?
910?
34?1)
)( BAP?2) )()()( ABPBPAP
15
7?
)(1 BP)(CP3) )(BP
15
13?
设有 N 件产品，其中有 D 件次品，今从中任取 n
种，nNC
又在 D 件次品中取 k件，所有可能的取法有种，kn DNC在 N-D 件正品中取 n-k 件,所有可能的取法有种，kDC
解：在 N 件产品中抽取 n 件，取法共有件，问其中恰有 k( k? D )件次品的概率是多少?
于是所求的概率为：
n
N
kn
DN
k
D
C
CCp
此式即为超几何分布的概率公式。
由乘法原理知：在 N 件产品中取 n 件，其中恰有 k 件种，kn DNkD CC次品的取法共有例 8
例 6,把甲、乙、丙三位学生依次随机地分配到 5间宿舍中去。 假定每间宿舍可住 4人，求下列事件的概率：
1,A,这三位学生住不同宿舍。
2,B,这三位学生中至少有两位住同一宿舍,
解 由于每位学生都可能分配到这 5间宿舍的任意一间,因此共有 1255 3n 种分配方案。
1,A,这三位学生住不同宿舍。 对甲有 5 种分配方案后，乙有 4 种，丙有 3 种。 60345An
48.012560AP
2、分析可知 B 是 A 的对立事件
52.01 APAPBP
例题：投球问题将 n只球随机地放入 N（ N≥n) 个盒子中，试求每个盒子中至多有一只球的概率（盒子的容量不限）
将 n只 球放入 N个盒子中,每一种方法是一基本事件
n
N
n
A
P
N
三、几何概率在等可能概型中,样本空间的基本事件除等可能性要求外，还受 n 为有限的限制。 下面介绍一种样本空间的基本事件数为无限的几何概率。
例 9 某十字路口自动交通信号的红、绿灯,其周期为 60秒,其中由南至北方向红灯为 15 秒,求随机到达
（由南至北）该路口的一辆汽车恰遇红灯的概率。
直观可得 25.0
60
15P
例 10 一片面积为 S 的树林中有一块面积为 S0 的空地。
一架飞机随机地往树林内空投一只包裹。 求这包裹落在空地上的概率。
S
SP 0?
几何概率问题：谁有办法计算右边图形的面积，假设方框的面积为 1
我们规定 A的概率定义为
)(
)()(
Su
AuAP?
Su 为样本空间的度量。
Au 为构成 A 的子区域的度量。
此为几何概率,其满足概率的三个公理及性质。
知识点总结
1、概率的定义
2、古典概型的求法
（ 1）依次摸球问题：有放回、无放回
（乘法公式）
（ 2）一次摸出多个球的问题（组合问题）
（ 3）投球问题（只能是依次投，乘法问题）
作业 5,6,7,8,11
二、全概公式与贝叶斯公式一,条件概率与乘法公式第三节 条件概率概率的相关知识回顾
1、对随机现象,我们更关心的是事件发生的概率,什么是事件?
概率的直观含义是事件发生的可能性,数学定义的 实质是什么?
2、求概率的常用计算公式
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A B P A P A B
( ) 1 ( )P A P A
( ) ( ) 1 ( )P A B P A B P A B
10 5
8 2
A:甲车间生产
A,乙 车 间 生 产
:B 有 缺 陷B无 缺 陷例题 1 仓库中某产品来自甲乙两个车间，数量及质量情况如下表
A
B
=
=
,选 出 的 产 品 是 甲 车 间 生 产,
,选 出 的 产 品 有 缺 陷,
分析：
AB事 件,既 是 甲 车 间 又 是 次 品,可 以 用 表 示一、条件概率
1 5 5=,=,=
2 5 2 5 2 5P ( A ) P ( B ) P ( A B )
7
1 5 7 5( ),( ),( )
2 5 2 5 2 5P A P B P A B= = =
已知选定的是甲车间的产品，问是次品的概率是多？
A即 事 件 已 发 生 的 条 件 下 事 件 发 生 的 概 率 是 多 少,B?
( 2 5
,( 1 5A
A
A?
(1) 事 件 的 发 生 改 变 了 基 本 空 间,从 原 来 的 基 本 空 间 含 有 个基 本 结 果 ) 缩 减 为 新 的 基 本 空 间 含 有 个 基 本 结 果 ）
B A B?(2) 事 件
( ) 5 ( ) / ( ) ( ) 5 / 2 5( | )
( ) 1 5 ( ) / ( ) ( ) 1 5 / 2 5
N A B N A B N P A BP B A
N A N A N P A
( ) ( ) / ( ) ( )( | )
( ) ( ) / ( ) ( )
N A B N A B N P A BP B A
N A N A N P A
条 件 概 率 可 以 用 两 个 特 定 的 无 条 件 概 率 之 商 表 示 。 以 上 公 式不 仅 在 等 可 能 场 合 成 立,,以 至 于 把上 式 公 认在 一 般 场 合 也 是 合 理为 条 件 概 率的的 定 义 。
2,定义 设 A,B是两个事件，且 P(A) > 0,则称
()( | )
( )
P A BP B A
PA?
B 发生的的条件概率,
为在事件 A 发生的条件下,事件
S
BABA
思考题粉笔盒中有 5只红粉笔,5只白粉笔,现从中依次抽取两只,已知第一次抽取的是红粉笔,求第二次抽取的是红粉笔的概率是多少?
例 题 3 下 表 是 给 出 的 乌 龟 寿 命 表 。 寻 求 下 面 一 些 事 件 的条 件 概 率 乌龟寿命表年龄 存活概率 年龄 存活概率
0
20
40
60
80
100
120
1.00
0.92
0.90
0.89
0.87
0.83
0.78
140
160
180
200
220
240
260
0.70
0.61
0.51
0.39
0.08
0.004
0.0003
求：活到 60岁的乌龟再活 40年的概率是多少？
1 0 0 6 0 1 0 0
1 0 0 6 0
6 0 6 0
( ) ( ) 0,8 3( | ) = 0,9 3
( ) ( ) 0,8 9
P A A P AP A A
P A P A解例 4.为防止意外，在矿井内同时安装两种报警系统 A与 B。每种系统单独使用时，其有效的概率：系统 A为 0.92，系统 B为
0.93；在 A失灵的情况下 B有效的概率为 0.85。求
（ 1）在 B失灵的情况下 A有效的概率
（ 2）当发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率解,设 A={A有效 },B={B有效 }
P ( A B ) P ( A ) - P ( A B )P ( A | B ) = =
P ( B ) 1 - P ( B )
分析例 4.为防止意外，在矿井内同时安装两种报警系统 A与 B。每种系统单独使用时，其有效的概率：系统 A为 0.92，系统 B为
0.93；在 A失灵的情况下 B有效的概率为 0.85。求
（ 1）在 B失灵的情况下 A有效的概率
（ 2）当发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率解,设 A={A有效 },B={B有效 }
P(A) = 0.92,P(B) =0.93
（ 1）在 B失灵的情况下 A有效的概率,
P ( AB ) P ( A ) - P ( A B )P ( A | B ) = =
1 P ( B )P ( B ) = 0,8 2 9－
（ 2）当发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率
( ) ( ) ( ) ( ) 0,9 8 8P A B P A P B P A B
P ( B | A ) = 0,8 5
( ) ( ) ( )( | )
( ) 1 ( )
P B A P B P A BP B A
P A P A
( ) 0,8 6 2P A B
3,性质
1) 对于任一事件 B,( | ) 0 P B A?
2) 1)|(?ASP
)|(
1
ABP i
i
)|(
1
ABP i
i
3) 设 互不相容?
21 BB
4) )|( ABP )|(1 ABP
1 2 1 2 1 25 ) [ ( ) | ] ( | ) ( | ) ( | )P B B A P B A P B A P B B A
S
BABA,( ) P B A说 明 ｜ 的 理 解
1,空间缩小 事件 A发生,可 把事件 A 看成新的样本空间 (前面解释的那样 )
2,P(B|A)理解新概率 P(B|A)定义域为任一事件 B，
是关于事件的函数，因此是一新的概率的定义（可以验证他满足概率的定义）
3 ( A | B ),P 的 计 算 方 法二,.乘法公式由条件概率的定义 ()( | )
()
P A BP B A
PA?
立刻可得下述定理
( ) ( ) ( | )P A B P A P B A?
可推广
( ) ( ) ( | )P A B P B P A B?
P ( A B C ) = P ( A ) P ( B / A ) P ( C / A B )
乘法定理,( ) 0PA设? 则有
( ) [ ( ) ] ( ) ( / )P A B C P A B C P A B P C A B证明
( ) 0PB? 则有
P ( A B C ) = P ( A ) P ( B / A ) P ( C / A B )
乘法公式的记忆
P(ABC)表示 A,B,C同时发生的概率，首先是
A发生，因此有 P(A),A发生之后 B又发生，又有
P(B|A),再次,C 又发生，有 P(C|BA)
因此 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|BA)
例 5,一批零件共 100件,其中有 10 件次品,每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：
2) 若依次抽取 3 次,求第 3 次才抽到合格品的概率
3) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在 3 次内取到合格品的概率
iA,第 次抽到合格品,i解,设 3,2,1?i
1) 前三次都抽到合格品的概率。
1 2 3 1 2 1 3 1 2P ( A A A ) = P A P A / A P A / A A
9 0 8 9 8 8= 1 0 0 9 9 9 8
1)
例 5(续 ).一批零件共 100件,其中有 10 件次品,每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：
2) 若依次抽取 3 次,求第 3 次才抽到合格品的概率
3) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在 3 次内取到合格品的概率
iA,第 次抽到合格品,i解,设 3,2,1?i
1) 前三次都抽到正品的概率。
12 3()P A A A
10=
100
2)
3 1 2( | )P A A A)|( 12 AAP?1= ( )PA
99
9? 90
98
0083.0?
例 5(续 ).一批零件共 100件,其中有 10 件次品,每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：
2) 若依次抽取 3 次,求第 3 次才抽到合格品的概率
3) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在 3 次内取到合格品的概率解,
1) 前三次都抽到正品的概率。
3) 设?A,三次内取到合格品,
1 1 21 2 3A A A A A A A?
则
)( 1AP?
9993.0?
)|()( 121 AAPAP?
)|()|()( 213121 AAAPAAPAP?
例 5(续 ),一批零件共 100件,其中有 10 件次品,每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：
2) 若依次抽取 3 次,求第 3 次才抽到合格品的概率
3) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在 3 次内取到合格品的概率解,
1) 前三次都抽到合格品的概率。
3) (方法二 ) 利用对立事件
A,三次都取到次品,
1 2 3A A A A? 仿照前面的过程求解即可例 6 设一个班中 10名学生采用抓阄的办法分一张电影票的机率是否相等解：设?
iA
“第 名学生抓到电影票,i
1( ) PA? 101
2( ) PA? 91?12P ( A A ) 21( ) P A A?
1( ) PA? 10
9?
10
1?
3( ) PA? 1 2 3 P ( A A A )
3 1 2,( ) P A A A21( ) P A A?1= ( ) PA
9 8 1 1
10 9 8 10
10,2,1i
例 7.某灯泡厂制造的灯泡，第一次落下被打破的概率是 1/2，
若第一次落下未打破，第二次落下被打破的概率是 7/10，
若前两次落下未打破，第三次落下被打破的概率是 9/10，
试求灯泡落下三次未打破的概率。
iAi解,设 表 示 第 次 灯 泡 被 打 破1 2 1
3 1 2
17
( ) 1 -,( | ) 1
2 1 0
9
( | ) 1
10
P A P A A
P A A A
以 题 意 有,
1 2 3
1 7 9( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
2 1 0 1 0P A A A
例题 8 设袋中装有 r只红球,t只白球,每次自袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入 a只与所取出的那只球同色的球,若在袋中连续取球 4次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
A i解,设 第 i 次 取 得 红 球 i=1,2,3,4
1 2 3 4( ),,,23
r r a t t aP A A A A
r t r a t r a t r a t
练习题,甲给乙打电话，但忘了电话号码的最后一位数字，
因而对最后一位数字随意拨号，求：
（ 1）到第 k次才拨通的概率
（ 2）不超过 k次而拨通的概率
321
解：
i B = i i = 1,2,3设,球 取 自 号 箱,红A =,取 得 球,
引例 现有三个箱子，分别编号为 1,2,3,箱内所放东西如图所示,某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率,
1 1 2 1 1P ( A ) = × + × + 1 ×
5 3 5 3 3
1 1 2 2 3 3= P ( B ) P ( A ｜B ) + P ( B ) P ( A ｜B ) + P ( B ) P ( A ｜B )
1P(A ｜B )
1P(B )
2P(B )
2P(A｜B )
三、全概率公式和贝叶斯公式如果两个盒子是混合在一起的，显然是 6/13
321
即 1 2 3A = B A U B A U B A
1 2 3P ( A ) = P ( B A ) + P ( B A ) + P ( B A )
且 1 2 3B A,B A,B A 两两互斥
)()()()()()( 332211 BAPBPBAPBPBAPBP ｜｜｜
同时,事件 A可以拆分成 B1 A,B2 A,B3 A
以上过程的进一步分析样本空间 S可以划分为 B1,B2,B3
B1 B2 B3
这就是全概率公式划分的概念
S
1B
2B
3B
nB设 S 是随机试验 E 的样本空间
12,,,nB B B E是 一组事件若,1 )
ijBB
122) nB B B S?
12,,,nB B B S则称 是样本空间 的一个划分划分也被称为分割、剖分等
3,全概率公式
S
A1B
2B
3B
nB设随机试验 E 的样本空间 S
nB 0)(?iBP且
),,2,1( ni
11( ) ( | ) ( )P A P A B P B
定理,
A 为 E 的任意一个事件,
为 S 的一个划分,
则
,,,21?BB
( | ) ( ) nnP A B P B?
全概率公式的意义,通过将样本空间划分成几个部分 (事件 )，事件 A也随之划分成几个,更小,的事件 (ABi),概率
P(A)转换成了几个,更小,事件的概率和,
例 9,设某工厂甲,乙,丙 3 个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的 45％,35％,20％,且各车间的合格品率为 0.96,0.98,0.95,现在从仓库中抽查一件,
问抽出的是次品概率是多大？
思考题：（ 1）样本空间是什么？
（ 2）样本空间如何划分？
例 10.设某工厂甲,乙,丙 3 个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的 45％,35％,20％,且各车间的合格品率为 0.96,0.98,0.95,现在从仓库中抽查一件,
问抽出的是次品概率是多大？
解,
分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产设 A =,任取一件产品为次品,
45.0)( 1?BP 35.0)( 2?BP 20.0)( 3?BP
04.0)|( 1?BAP 02.0)|( 2?BAP 05.0)|( 3?BAP
由题意,
321 BBB
( ) PA?
45.004.0
3
1
( | ) ( ) ii
i
P A B P B
35.002.0 20.005.0 035.0?
例 10.设某工厂甲,乙,丙 3 个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的 45％,35％,20％,且各车间的合格品率为 0.96,0.98,0.95,现在从仓库中抽查一件,
问抽出的是次品概率是多大？
( ) PA?
45.004.0
3
1
( | ) ( ) ii
i
P A B P B
35.002.0 20.005.0 035.0?
全概率公式的进一步的认识抽出一件是次品的概率，即整个车间的次品率 p＝？
2 % 5 %p
能否取平均？
最合理的做法应该是以各个车间所占比例取加权平均某厂生产的仪器每台以 0.7 的概率可以出厂，
以 0.3 的概率需要进一步调试,经调试后以 0.8 的概率可以出厂,以 0.2 的概率为不合格品，不能出厂。 求每台仪器能出厂的概率。
例 11
思考题：（ 1）样本空间是什么？
（ 2）样本空间如何划分？
分析,这里把全部仪器分为两大类某厂生产的仪器每台以 0.7 的概率可以出厂，
以 0.3 的概率需要进一步调试,经调试后以 0.8 的概率可以出厂,以 0.2 的概率为不合格品，不能出厂。 求每台仪器能出厂的概率。
解 设 A,仪器能出厂,
B1,仪器需要调试,B2,仪器不需要调试,
3.01?BP 7.02?BP 8.0/ 1?BAP 1/ 2?BAP
)|()|()( 2211 BAPBPBAPBPAP
例 12
0,8 0,3 0,7 1 0,9 4=
例 13.
1
七红 三黄
2
五蓝 五白
3
八蓝 两白现在三个盒子,先在第一个盒子中任取一球,若取到红球,
则在第二个盒子中任取两球 ;
若在第一个盒子中取到黄球，则在第三个盒子中任取两球,求 第二次取到的两球都是蓝球 的概率解,设 1B =,从第一盒子取红球,
2B =,从第一盒子取黄球,A
=,第二次取两只蓝球,
10
7)(
1?BP 10
3)(
2?BP
)|( 1BAP?)|( 2BAP
则
2
10
2
5
C
C
2
10
2
8
C
C
45
28?
9
2?
)()|()()|()( 2211 BPBAPBPBAPAP 342.0?
思考题
1,举例说明条件概率
2、全概率公式的含义把Ｂ i看作为导致事件Ａ发生的一种途径，对于不同途径，
Ａ发生的概率即条件概率 P(A|B)各不相同，而采取哪个途径却是随机的直观例子,各班考研升学率不同，总升学率应为各班升学率的加权平均
3,贝叶斯公式问题,
2 3
从如图所示的箱子中任取一球,发现是红球,
问取自一号箱的概率,
解,设 i
iB
=,球取自 号箱,
A =,取得红球,求 P(B1|A)
)|( 1 ABP?
运用全概率公式计算 P(A)
)(
)( 1
AP
ABP
3
1
)(
i
iBP
)|()( 11 BAPBP
)( kBAP ｜
1
贝叶斯公式,
nBBB,,,21?
,0)(?AP 0)(?iBP ),,2,1( ni
)|( ABP i ),,2,1( ni
设随机试验 E 的样本空间为 S,A是
E 的任意一个事件,为 S 的一个划分,且
)(
)(
AP
ABP i
则
n
i
ii BPBAP
1
)()|(
)()|( ii BPBAP
A 发生的每个原因的概率,
贝叶斯公式常常用在观察到事件 A 已发生的条件下，寻找导致例 14.设某工厂甲,乙,丙 3 个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的 45％,35％,20％,且各车间的合格品率为 0.96,0.98,0.95,现在从待出厂的产品中检查出
1个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？
解,
分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产设 A =,任取一件产品为次品,
45.0)( 1?BP 35.0)( 2?BP 20.0)( 3?BP
04.0)|( 1?BAP 02.0)|( 2?BAP 05.0)|( 3?BAP
由题意,
由贝叶斯公式?)|( ABP
i )(
)()|(
AP
BPBAP ii 3,2,1?i
321 BBB
例 14.（续） 设某工厂甲,乙,丙 3 个车间生产同一种产品,
产量 依次占全厂的 45％,35％,20％,且各车间的合格品率为 0.96,0.98,0.95,现在从待出厂的产品中检查出
1个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？
解（续）?)(AP
45.004.0 35.002.0 20.005.0 035.0?
)|( 1 ABP
)|( 2 ABP
)|( 3 ABP
45.004.0?
035.0
35.002.0?
035.0
20.005.0?
035.0
甲车间生产的可能性最(最大 )
)|( 1 ABP
3
1
)()|(
i
ii BPBAP
)|( 1 ABP 甲车间生产的可能性最大(最大 )
例题 15 商店论箱出售玻璃杯，每箱 20只，其中每箱含 0
,1,2只次品的概率分别为 0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选 4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱,问这一箱含有一个次品的概率是多少？
B0,B1,B2分别表示事件每箱含 0,1,2只次品已知,P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1
0P(A | B ) = 1
4
19
1 4
20
C 4P ( A | B ) = =
C5
4
18
2 4
20
C 12P ( A | B ) = =
C 1 9
解,设 A:从一箱中任取 4只检查,结果都是好的,
1
2
3
B0
B1B2
例题 15(续） 商店论箱出售玻璃杯，每箱 20只，其中每箱含 0,1,2只次品的概率分别为 0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选 4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱,问这一箱含有一个次品的概率是多少？
已知,P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1
0P(A | B ) = 1
4
19
1 4
20
C 4P ( A | B ) = =
C5
4
18
2 4
20
C 12P ( A | B ) = =
C 1 9
由 Ba2yes公式,
11
1 2
ii
i = 0
P ( B ) P ( A | B )P ( B | A ) =
P ( B ) P ( A | B )
40,1 ×
5= 0,0 8 4 8
4 1 20,8 × 1 + 0,1 × + 0,1 ×
5 1 9
解,
2 ii
i = 0
4 12P(A) = P(B )P(A | B ) = 0.8 × 1 + 0.1 × + 0.1 ×5 19
例题 16 甲袋中有 4个红球,4个白球，乙袋中 2个红球,3
个白球，任取一个袋子并从中摸出两球，两个全是红球，
问从甲袋中摸出球的概率是多少？
AA解,设 表 示 球 是 从 甲 袋 中 摸 出 的,表 示 球 是 从 乙 袋 中 摸 出 的
B 表 示 摸 出 的 两 球 均 为 红 球 。
( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )P B P B A P A P B A P A
4 3 1 2 1 1 0,1 5 7
8 7 2 5 4 2
( ) ( | ) ( )( | ) 0.68 3
( ) ( )
P AB P B A P AP A B
P B P B
临 记 录 诊 断 试 验题 16 根 据 以 往 的 床,例 某 种 癌 症 的 有 如 下 效 果
A " "," " 如 以 表 示 事 件 试 验 反 映 为 阳 性 以 C 表 示 事 件 被 诊 断
," ( | ) 0,9 5 ( | ) 0,9 5,P A C P A C者 患 有 癌 症 则 有
,现 在 对 自 然 人 群 进 行 普 查 设 被 实 验 的 人 患 有 癌 症 的 概 率
0,0 0 5,P ( C | A )为 即 P(C)=0.005,试 求
,分 析癌症患者健 康 人呈阳性 (即 A)
,首 先 确 定 呈 阳 性 的 概 率 即 P(A)
临 记 录 诊 断 试 验题 16 根 据 以 往 的 床,例 某 种 癌 症 的 有 如 下 效 果
A " "," " 如 以 表 示 事 件 试 验 反 映 为 阳 性 以 C 表 示 事 件 被 诊 断
," ( | ) 0,9 5 ( | ) 0,9 5,P A C P A C者 患 有 癌 症 则 有
,现 在 对 自 然 人 群 进 行 普 查 设 被 实 验 的 人 患 有 癌 症 的 概 率
0,0 0 5,P ( C | A )为 即 P(C)=0.005,试 求
,( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )P A P A C P C P A C P C解
= 0,9 5 0,0 0 5 + ( 1 - 0,9 5 ) ( 1 - 0,0 0 5 ) = 0,0 5 4 5
( | ) ( ) 0,9 5 0,0 0 5( | ) 0,0 8 7 1 5
( ) 0,0 5 4 5
P A C P CP C A
PA
本节知识点
1、条件概率、乘法公式
2、全概率公式
3、贝叶斯公式练习,p33 13,17,19,20
第六节事件的独立性一、事件的独立性二、贝努利概型
1,掷一颗均匀的 骰子 两次,
B = {第二次 掷出 6 点 }A = {第一次掷出 6 点 }
|P ( B A ) =可知 P(B)
2,掷甲乙两枚 骰子,
B = {乙 掷出 偶数点 }A = {甲掷出偶数点 }
P ( B A ) =可知 P(B)
1、引例
AB事 件 的 发 生 与 否,不 影 响 事以 上 两 个 例 子 件 发说 明,生 的 概 率
| ( )P ( B A ) = P B
| ( )P ( B A ) = P B
A
样本空间如右图
P(A)=P(B)=1/2
P(A|B)= P(A|B)＝ 1/2=P(A)
说明,事件 B发生与否,不影响事件 A发生的概率事件 A 发生与否,并不影响事件 B发生的概率,
这时称事件 A,B 独立,
显然事件 A表示左半边,事件 B代表上半边
B
( ) ( ) P A P B| P A B P A P B A?
在上述独立性概念下,
由于此式中,并不要求 P(A)或 P(B)不等于零，
作为事件的独立的定义更合适
2、定义
P ( A B ) = P ( A ) P ( B )
设 A,B是两个事件,如果有如下等式成立则称事件 A,B 相互独立
S?与 与任何事件 都是相互独立例 1,一副不含大小王的扑克牌问事件 A,B是否独立？
解：
记 A = { 抽到 K },B = { 抽到的牌是黑色的 }
说明事件 A,B 独立,
由题意?)( AP
52
4?)( BP
52
26
)( ABP 522?)( ABP )()( BPAP
例 2.
BAC
)(CP
)()( BPAP
4.05.04.05.0
甲,乙两人的命中率为 0.5 和 0.4,现两人独立地向目标射击一次,
解,设 A =,甲射击一次命中目标,
B =,乙射击一次命中目标,
C =,目标被命中,
BA,则 相互独立,且
)( BAP? )()()( ABPBPAP
)()( BPAP?
7.0?
求目标被命中的概率例 2.
BAC
)(CP
甲,乙两人的命中率为 0.5 和 0.4,现两人独立地向目标射击一次,
解,设 A =,甲射击一次命中目标,
的概率是多少?
B =,乙射击一次命中目标,
C =,目标被命中,
BA,则 相互独立,且
)( BAP? ( ) ( ) ( ) 0,7P A P B P A B
)|( CBP 57.0
7.0
4.0)( BCP
)(CP
)(BP
)(CP
已知目标被命中,则它是乙命中思考,如图所示的事件独立吗?
则 A 与 B 不相互独立,
则 A,B不互斥,
故 A,B不独立
A B0)(?ABP
而 0)(?AP 0)(?BP
)()()( BPAPABP?
即 若 A,B互斥,且,0)(?AP 0)(?BP
反之,若 A 与 B 相互独立,,0)(?AP 0)(?BP且定理一,
)()|( BPABP?
BA,设 是两个事件
0)(?AP1) 若,BA,则 相互独立的充分必要条件为,
BA,2) 若 相互独立,BA 与,BA 与,BA 与,都相互独立
)()( ABPBP
)()](1[ BPAP
)( ABBP?2)?)( BAP
))()( BPAPBP
)()( BPAP? 其余同理可证证,1）略
3,多个事件的独立性
)()()( BPAPABP?
,,,三个事件对于 CBA 若下面四个等式同时成立
)()()( CPAPACP?
)()()()( CPBPAPAB CP?
)()()( CPBPBCP?
相互独立则称 CBA,,
这个概念可推广到 n 个事件的独立性定义 (见 p27)
实质,任何事件发生的概率都不受其它事件发生与否的影响思考,两两独立与相互独立的区别两两独立相互独立对 n ( n >2 ) 个事件
1 2 nA,A,,A n设 是 个 事 件
kiii AAA,,,21? )2( nk
推论,
nAAA,,,21?
1) 若 相互独立,则其中任意 k 个事件也相互独立,
,,,,21 相互独立若 nAAA?2) 则其中任意 k 个事件的对立事件与其它的事件组成的 n 个事件也相互独立,
例 4 设每门炮射击一飞机的命中率为 0.6,现有若干门炮同时独立地对飞机进行一次射击,问需要多少门炮才能以 0.99 的把握击中一飞机。
解 设需要 n 门炮。
Ak,第 k 门炮击中飞机,,,,2,1 nk
B,飞机被击落,
99.0)()( 21 nAAAPBP?
)(1)( 21 nAAAPBP)(1 21 nAAAP
)()()(1 21 nAPAPAP 99.04.01 n
01.04.0?n 06.504.0lg 01.0lgn
故至少需要 6门炮才能以 0.99 的把握击中飞机。
注,相互独立事件至少发生一次的概率计算
)()( 21 nAAAPBP
)(1 21 nAAAP
)(1 21 nAAAP
)()()(1 21 nAPAPAP
例 5,某电路如图所示,
A
C
B
CBA,,已知
7.09.0,8.0 和正常工作的概率为假定 CBA,,能否正常工作是相互独立的,
试求,1) 整个电路正常工作的概率
CBA,,解,设 表示 CBA,,
2) 若整个电路正常工作,求 BA,
D =,电路正常工作,?D
)( DP
)()()()()()()( CPBPAPCPAPBPAP 776.0?
则相互独立
ACABA )( CB?
)( ACABP? )()()( A B CPACPABP
)|( DAP
)(
)(
DP
DP?
)(
)(
DP
ADP 1?
)|( DBP
)(
)(
DP
ABP?
)(
)(
DP
BDP
)(
)()(
DP
BPAP? 9278.0?
正常工作的概率正常工作,
例题 6
加工某一产品需要有三道工序,设第一、第二、第三道工序的次品率分别为 2％,3％,5％。假定各道工序相互独立，求完成的产品的次品率例 7 (可靠性问题 ) 设有 6个元件，每个元件在单位时间内能正常工作的概率均为 0.9，且各元件能否正常工作是相互独立，试求下面系统能正常工作的概率。
1
2 4
3
6
5
解 设 Ak={第 k个元件能正常工作 },k=1,2,…,6，
A ={整个系统能正常工作 }
=(A1∪ A2)(A3 ∪ A4)(A5 ∪ A6)
A1,A2,…,A6相互独立，可以证明
A1∪ A2,A3 ∪ A4,A5 ∪ A6 也相互独立,
970299.0])9.01(1[ 32 ≈--=
)]()(1)][()(1)][()(1[ 654321 ---= APAPAPAPAPAP
)](1)][(1)][(1[ 654321 ---= AAPAAPAAP
)()()()( 654321= AAPAAPAAPAP UUU
例 6 已知一批玉米种子的发芽率为 0.9,现每穴种两粒,求 （ 1） 两粒都能发芽的概率； （ 2） 至少有一粒种子发芽的概率； （ 3） 恰好有一粒种子发芽的概率 。
解 设两粒种子为甲和乙,A={甲发芽 }，
B={乙发芽 },则所求的概率为
（ 1） P(AB)=P(A)P(B)=0.9× 0.9=0.81
（ 2） P(A B) =P(A)+P(B)－ P(AB)?
例 6 已知一批玉米种子的发芽率为 0.9,现每穴种两粒,求 （ 1） 两粒都能发芽的概率； （ 2） 至少有一粒种子发芽的概率； （ 3） 恰好有一粒种子发芽的概率 。
解 设两粒种子为甲和乙,A={甲发芽 }，
B={乙发芽 },则所求的概率为
= 0.9+0.9－ 0.81= 0.99
( 3 ) ( ) ( ) ( )P A B A B P A B P A B
= 0,9 0,1 + 0,1 0,9 = 0,1 8
例 6 已知一批玉米种子的发芽率为 0.9,现每穴种两粒,求 （ 1） 两粒都能发芽的概率； （ 2） 至少有一粒种子发芽的概率； （ 3） 恰好有一粒种子发芽的概率 。
解 设两粒种子为甲和乙,A={甲发芽 }，
B={乙发芽 },则所求的概率为例 4.
为 0.01，
一批产品共 100件,其中有 4件次品,每次抽取一件检验,有放回,连续抽取检验 3 次,如发现次品,
则认为这批产品不合格,但检验时,
次品的概率为 0.05，
解,设 A =,任取一件被认为是合格品,
B =,任取一件是次品,C =,这批产品被认为合格品,
04.0)(?BP 96.0)(?BP
01.0)|(?BAP 95.0)|(?BAP
由题意
)( AP )()|()()|( BPBAPBPBAP?9124.0?
)( CP 39 1 2 4.0 7595.0?
一正品被误判为而一次品被误判为正品的概率求这批产品是合格品的概率。
例题设 10件产品中有 4件不合格品，不放回抽取取两件，
已知两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。
[解 ] 用 分别表示取出的第 1件和第 2
件为不合格品。则所求概率为
,AB
22
64
22
1 0 1 0
( ) ( ) 1( | ) 1
5( ) 1 ( )
P A B P A B AAP A B A B
AAP A B P A B
例２,
)3,2,1(?i
)|( 1ABP则 2.0
)()|()()|()( 2211 APABPAPABPBP
甲乙丙三人同时向飞机进行射击,三人击中飞机的概率分别为 0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而击落的为 0.2,被两人击中而击落的概率为 0.6,若三人都击中,飞机必被击落,求飞机被击落的概率,
解,设 iiA =,飞机被 人击中,
B =,飞机被击落,
)|( 2ABP 6.0?)|( 3ABP 1
)()|( 33 APABP? 458.0?
iiC =,飞机被第 人击中,
)( 1AP?321( CCCP 321 CCC )321 CCC?
)( 2AP?321( CCCP 321 CCC )321 CCC?
)( 3AP )( 321 CCCP
36.0?
41.0?
14.0?
例 1 某仪器有 3个灯泡,烧坏第一、第二、第三个灯泡的概率分别为 0.1,0.2,0.3.当烧坏一个灯泡时，仪器发生故障的概率为 0.25.
烧坏二个灯泡时，仪器发生故障的概率为 0.6.
烧坏三个灯泡时，仪器发生故障的概率为 0.9.
求仪器发生故障的概率,
解 设 Bk,恰有 k 个灯泡烧坏,k = 1,2,3.
A,仪器发生故障,,
398.03.08.09.07.02.09.03.012.011.01BP
092.03.02.09.03.08.01.07.02.01.02BP
0 0 6.03.02.01.03BP
主要知识点
1、条件概率、乘法公式
2、事件的独立性
3、全概率公式、贝叶斯公式
4、作业 P34 22 23 24 29 34
五,伯努利概型即在试验 E 的样本空间 S 只有两个基本事件有一类十分广泛存在的只有相互对立的两个结果我们称这只有两个对立的试验结果的试验为的试验。
且每次试验中
.AA 与例如,试验,成功,,,失败,。 种子,发芽,,,不发芽,
生,男孩,,,女孩
”
考试,及格,,,不及格,
产品,合格,,,不合格,买彩票,中奖,,,不中奖,
101)()( pqpAPpAP
若只有两个对立结果的试验可在相同伯努里试验。
的条件下进行，则有
n重伯努里试验：
)10( pp
k
knkknn qpCkP)( ),,2,1,0( nkpq 1
设在一次试验中事件 A 发生的概率为则在 n 重伯努利试验中事件 A 恰好发生 次的概率为证,设 事件 A 在 n 次试验中发生了 X 次
i=,在第 次试验中事件发生,iA设
)( 121 nkk AAAAAP
knk pp )1( )()()()( 1
1 nkk APAPAPAP
}{ kXP ),,2,1,0( nkk
nC
knk pp )1(
伯努里定理设在试验 E 中事件 A发生的概率为 p,现将 E重复独立的进行 n 次,称这 n 次试验为 n 重伯努里试验伯努里试验 是一种很重要的数学模型,用途广泛。
在 n 重贝努利试验中,事件 A 正好出现 k 次的概率有一个一般的求法。 由于 n 次试验是相互独立的，事件
A 发生的次数为 X,则 X 的取值为,,,2,1,0 n?
而kX? 就表示一个事件，
}{ kXP
),,2,1,0( nk
knC knk pp )1(
在 n 重贝努利试验中，
事件 A 正好出现 k 次的概率有例 1 某人射击每次命中的概率为 0.7,现独立射击 5
次，求正好命中 2 次的概率。
解2?XP 13.03.07.0 322
5 C
例 2 从学校乘汽车去火车站一路上有 4 个交通岗，
到各个岗遇到红灯是相互独立的,且概率均为 0.3,求某人从学校到火车站途中 2次遇到红灯的概率。
解 途中遇到 4次经交通岗为 4重贝努利试验，其中
3.04 pn
2?XP 2787.03.0 2224 C
例 4 某车间有 50台机床,一天内每台需要维修的概率均为 0.02,求一天内需维修的机床不多于 2台的概率。
解 02.050 pn
2?XP
4915050 98.002.098.0 C
0 XP1 XP2 XP
1 8 6.098.002.0 482250 C
例 5,袋中装有 30只红球,70只蓝球,现从袋中有放回地抽取 5 次,每次取 1 只球,试求,
1) 取出的 5只球中恰有 2 只红球的概率 ;
2) 取出的 5只球中至少有 2 只红球的概率；
解,取到红球的概率为 0.3,
}{ kXP 5,4,3,2,1,0?k
}2{ XP
}2{ XP
4155005 7.03.07.03.01 CC
4718.0?
5 次取球相互独立故为 5 重伯努里概型,设 X 为取到红球的次数
1)
2)
1?
kkkC 55 7.03.0
3225 7.03.0C 3087.0?
}2{1 XP
}0{ XP }1{ XP
例 6.
}1{ XP
n99.01
99.0ln
05.0ln?n
01.0?p购买一张彩票中奖的概率为
,
问需要买多少张彩票才使至少中一次奖的概率不小于 0.95？
解,设 n需要买 张彩票,X 表示中奖的次数则
nn ppC )1(1 00
}0{1 XP
95.0?
57.299?
因此至少要买 300 张彩票才行作业
P29 26 27 32
主要知识点
1、条件概率、乘法公式
2、事件的独立性
3、全概率公式、贝叶斯公式第一章 主要知识点
1、事件的关系运算
2、概率的运算
3、事件的独立性
4、条件概率
5、全概率公式及贝叶斯公式一、选择题
1 A B,
,( )
、设 与 是任意两个概率不为零的不相容的事件则下列结论中肯定不正确的是
A ) A B ( B ) A B
( C ) P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) ( D ) P ( A - B ) = P ( A )
（ 与 不相容 与 相容
2
、以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，
则其对立事件A 为（ ）
A 甲种产品滞销,乙种产品畅销
B 甲乙两种产品均畅销
C 甲种产品畅销
D 甲重产品滞销或乙种产品畅销
3、对于任意两个事件 A,B，有 P（ A - B）＝（ ）
) ( ) ( )C P A P B?（ ) ( ) ( ) ( )D P A P B P A B（
) ( ) ( )B P A P A B?（
A ( ) ( ) ( )P A P B P A B（）
4、设事件 A,B满足 P（ B｜ A)=1 则 （ ）
（ A） A是必然事件 （ B） P（ B｜ A)＝ 0
（ C） AB? ( ) D A B?
5,P ( A B ) = 0、若 则（ ）
A ) A B（ 与 不相容 B A B（ ） 和 独立
C P ( A ) = 0 P ( B ) = 0（ ） 或 ( ( ) ( )D P A B P A
6 ( ) 0,8 ( ) 0,7 ( | ) 0,8 P A P B P A B、由 则（ ）
( ) A A B与 相互独立
（B ) A 与B 互斥
C ) B A?（ ( ) ( ) ( ) ( )D P A B P A P B
二、填空或计算题
1,袋中有 10个球，其中 6个红球,4个白球，从中任取 3个，则至少有 2个红球的概率是 ___________ 。
[解 ] 记 Hi＝ {3个球中有 i个红球 }（ i=1,2,3,4 ），则所求概率为,
2 3 2 3 2 3p P H H P H P H P H H
2 1 3
6 4 6
33
1 0 1 0
1 1 20
2 6 3
C C C
CC
2.已知 )()(,5.0)()( BAPABPBPAP 证明
)( BAP证明,)( BAP? )(1 BAP
)()()(1 ABPBPAP )( ABP?
3,0,5,0,2P A P A B,求
P A B
解：
0.3?
1P A B P A B 0.7?
)()( BAPBAP )()( ABPAP
)()()( BAPAPABP
4,)
,( | )
P ( A ) = a P ( B b P ( A U B ) C
P ( A B ) P A B
、已知,
求：
5,设三次独立试验中，事件 A出现的概率相等．若已知至少出现一次的概率等于 19/27，则事件 A在一次试验中出现的概率为 。
6,甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6和 0.5．现已知目标命中，则它是甲射中的概率为 。
B解：设A =,甲命中目标” ＝“乙命中目标”
AB?则 表示目标命中
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B P A P B P A P B
0,5 0,6 0,5 0,6 0,8
( ) 0,6 3( | )
( ) 0,8 4
PAP A A B
P A B
7,设 10件产品中有 4件不合格品，不放回抽取取两件，已知两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。
[解 ] 用 A,B分别表示取出的第 1件和第 2件为不合格品。则所求概率为
22
64
22
1 0 1 0
()
( | )
()
() 1
1
51 ( )
P A B
P A B A B
P A B
P A B AA
AAP A B
8,现有两箱同类产品，第一箱装 50件，其中有 10件一等品；
第二箱装 30件，其中有 18件一等品。现从两箱中任取一箱，
然后再从该箱中任取两次，每次取 1件，不放回，求下列事件的概率：
（ 1）第一次取到的产品是一等品；
（ 2）第二次取到的产品是一等品；
（ 3）在第一次取到一等品的条件下，第二次取到一等品；
（ 4）在第二次取到一等品的条件下，第一次取到一等品。
解,记 Ai ={第 I次取得一等品｝ (i=1,2)
B j = { j j = 1,2取到第箱｝
，，
12 12P B P B
11
10 1
50 5P A B12
18 3
30 5P A B
（ 1）由全概率公式
1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 3 0.42 5 2 5P A P B P A B P B P A B
21( ) ( ) 0,4P A P A
(2)根据抽签原理
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2( 3 ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )P A A P A A B P B P A A B P B
1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2( | ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) ( )P A B P A B A P B P A B P A B A P B
1 9 1 3 1 7 1 2 7 6
5 4 9 2 5 2 9 2 4 9 2 9
1221
1
0,1 9 4 2 0,4 8 5 6
0,4
P A AP A A
PA
1212
2
0,1 9 4 2( 4 ) 0,4 8 5 6
0,4
P A AP A A
PA
9,同一种产品由甲、乙、丙三个厂家供应，由长期经验知，
他们的正品率分别为 0.95,0.90,0.80，三家产品所占比例为 2：
3,5，将他们的产品混合在一起。（ 1）从中任取 1件，求此件产品为正品的概率；（ 2）现取 1件产品为正品，问它是甲、
乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大？
[解 ]（此题是结果是正品，造成的原因中有三家生产）
10、设箱子中共有 N个球，其中红色球 1个，求第 n次摸出红球的概率是多少？（ n<N)
解法一：乘法公式设A i ( i = 1,2,,,N ) 第i 次摸出红球
11 2 n nn A A A A?则第 次摸出红球可表示为
1
31
()
( ) ( | ) ( | ),,,( | )
1 2 n n
1 2 1 1 2 n 1 2 n
P A A A A
P A P A A P A A A P A A A A
由乘法公式得：
1 2 1 1
1 ( 1 ) 2
NN
N N N n
Tel,13952161620
E-mail,jjlu@cumt.edu.cn
二,样本空间一,随机试验第一、二节随机试验、样本空间三、随机事件四、事件间的关系及其运算概率论与数理统计课程简介在一定条件下，并不总是出现相同结果，但又有一定统计规律的现象称为 随机现象。
抛硬币、掷 骰 子是两个简单而最早研究的随机现象。
某网站某时点的访问人数，也是随机现象按照能否对将来进行预知的标准，自然界的现象分为两大类：
将来可以预知：条件一定、结果一定将来不可以预知：条件一定、结果不定
（ 1）确定现象
（ 2）不确定现象概率统计是一门研究随机现象未来结果出现的规律性的课程因经济、金融、保险、自然科学、工程中存在大量随即现象，概率统计的应用范围极广。
为处理随机现象提供一种工具
2、通过概率统计课程的思维训练，提高大家对解决生活中一些 复杂问题的决策能力学习这门课程的收获
1、为认识大量存在的随机现象和后续课程的学习提供一种数学工具学习方法和教学目标这门课程学习过程中，大家注意 对基本概念、基本原理的理解和体会,多看教材，辅之以多做练习,
教学目标：基本满足考研的需要
1、浙江大学,概率统计,及其配套参考资料
4、概率统计及数理统计（内容、方法和技巧）
华中科大参考书,
3、概率统计及数理统计 中山大学
2,概率统计及数理统计 陈希孺
(一 ) 随机试验随机试验应该广义理解，是对随机现象的一次观察、
（简称试验记作 E ）。
也可以是一次测量、一次统计等等认识自然规律，通过物理、化学试验等等认识随机现象各种结果的出现规律，也要通过随机试验随机试验的典型例子有：
E1：抛一枚硬币，观察正面 H（ Heads）,反面 T
E2,同时 掷三枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
E3：记录股票收盘点数。
（ Tails）出现的情况。
E4：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
随机试验（ Experimet ）的例子注意,随机试验具有特定的观察动机随机试验应该具有以下几点：
（可重复性）(1) 可以在相同情况下重复进行
(2) 每次试验可能出现的试验结果具有多种可能性，
(3) 每次试验前不能确定会出现哪种结果,
但能事先知道试验的所有可能结果。
(结果具有随机性）
具有上述三个特点的试验称为随机试验。
(结果具有多个性）
定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合，称为 E 的样本空间 (记作 Ω或者 S) 。
（二）样本空间 (Space)
样本空间 的元素,即 E 的每个结果，称为样本点。
S1,{ H,T }
认识一个随机现象首先从认识它的 所有可能发生的结果 开始。
E1：抛一枚硬币，观察正面 H,反面 T出现的情况。
样本空间 (Space)
S2,{ HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT }
S = { 0,1,2,}
E2,将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。
E：记录某网站每天的访问人数
E,记录一台电视机的使用寿命
s = {t|t 0}
随机现象的认识所有可能的取值取各个值的可能性关注一组可能的值更有实际意义试验 E 的样本空间 Ω 的子集称为随机事件
（简称事件）。 用 A,B,C,D等表示。
（三）事件定义比如：掷骰子试验、点数是偶数、奇数、大于 3等都是事件事件的表示方法,语言定性描述或者集合的语言比如：掷骰子试验中，掷出点数是偶数可表示为：
A=｛ 2,4,6｝＝,点数为偶数,
样本空间是客观的 事件是人为设定的事件 B1={t|t?2000}＝,灯泡是次品”
事件 B2={t|t? 2000} ＝“灯泡是合格品”
灯泡的寿命试验，寿命大于等于 2000小时为合格在试验中,这个事件中的一个样本点出现,则称 事件发生 。
事件的发生再比如：在掷骰子试验中,S＝｛ 1,2,3,4,5,6，｝
S1＝｛ 1,2,3｝ S2＝｛ 2,4,6｝
S3＝｛ 4,5,6｝
如果掷出的数字是 4，则 S2,S3发生思考题一次随机试验，会有多少个结果发生？
一次随机试验，是不是只有一个事件发生？
1）基本事件,
E 中只含有一个样本点的事件，称为 E 的基本事件。
2、随机事件中几种具有特殊意义的事件,
1 1A2 2A?
为六个基本事件。
例如：在掷骰子试验中
6 6A?
2） 必然事件,
3） 不可能事件,在每次试验中一定不发生的结果,
由于样本空间 Ω包含所有的样本点,每次试验中它总是发生的,样本空间称为必然事件。
记为,?
.?即为空集 其中不包含任何样本点。
例如 E4 中 { 点数 }1? 为必然事件。
}6? 为不可能事件。{ 点数
1.2事件间的关系及事件的运算事件是一个集合,因而事件间的关系和运算,自然按照集合论中的集合之间的关系和运算来处理。
下面给出这些关系和运算，及在概率论中的提法，
从,事件发生,的角度来理解他们在概率论中的含义。
S
1、事件的包含与相等
B
A
记为,BA?
Ax? Bx?
若事件 A 发生必导致事件定义,
B 发生,则称 B包含了 A 。
（ A的每一个样本点都是 B 的样本点）
或,AB?
即定义,若 BA? 且,AB? 则称 A与 B 相等记为 A = B,
如在编号 1到 10的袋子中摸球 }2{ 取到的球号A
}4{ 取到的球号B }{ 取到的球号是偶数?C
}1{ 取到的球号D 有 CABA
AD?,SD?
S
2、事件的和 （和运算）
A B
BA?
Ax? Bx?或定义事件BA?
例如dcbaA,,,fedcB,,,?
fedcbaBA,,,,,
称为 A 与 B的和事件当且仅当 A,B中至少有一个发生时 事 件 发 生AB
经 常 与 至 少 有 一 个 发 生,表 示 为A B A B
2、事件的和 （和运算）
类似，由,事件 nAAA,,,21?,中至少有一个发生所构成的事件，称为 nAAA,,,21? 的和，记为
nAAA 21
例如
A1={开关 K1 合上 } A2={开关 K2 合上 }
A3={开关 K3 合上 } B={灯亮 }
1 2 3B A A A
三个开关至少有一个合上。
1K
2K
3K B
3、事件的积 （积运算 ）
S
A
BA?
B
BA?
Ax?
当且仅当事件 A 与事件 B 同时发生时
Bx?且BA?
或,AB
定义记为例 电路图
21 AAB?
1K 2K
B
A1={开关 K1 合上 }
A2={开关 K2 合上 }
称为事件 A与 B的积。
BA? 发生例如,设以
nAAA,,,21?
表示毕业班某一位学生的各门课程的学习成绩为合格。
以 B 表示学生可以拿到毕业证书。
则
nAAAB?21?
(表示门门课程都合格了 )。
类似，由,事件
nAAA,,,21?
” 中同时发生所构成的事件，称为
nAAA,,,21? 的积，记为
nAAA?21
或 nAAA21
4、事件的差 （差事件）
Ax?
当且仅当,事件 A 发生且事件 B 不发生
Bx?且
S
B
A
BA?
定义 事 件 {}AB
例如dcbaA,,,fedcB,,,?
baBA,
称为事件 A 与 B 的差事件。
时，事件 A－ B发生
S
5,互不相容事件
A
B
表示,事件 A 与事件 B 不能同时发生定义 若BA? 则称 A 与 B 相容注,基本事件是两两互不相容的 (互斥 ) 。
如：产品检验是一等品、二等品、次品是互不相容的。
否则，称为不相容
S
6,对立事件
B
A
则称 A 与 B为 对立事件 (互逆 )
SBA 且BA?
即：事件 A,B 必有且仅有一个发生。
定义 事件 A,B 满足记为 BAAB
可见：若 E 只有两个互不相容的结果，那么这两个结果构成对立事件。
nAAA,,,21?
表示毕业班某一位学生的以 C 表示学生拿不到毕业证书。
则
nAAAB?21?
(表示门门课程都合格了 )。
例如,设以
12 nC A A A?
表示至少有一门课程不及格。
以 B 表示该学生可以拿到毕业证书。
各 课的学习为成绩 合格。
事件运算规律
1,交换律 ABBA ABBA
2,结合律 )( CBA CBA )(?
)( CBA CBA )(?
3,分配律 )( CBA )()( CABA
)( CBA )()( CABA
4,德摩根律 BA? BA
AB BA
即 A,B 中 至少 有一个发生的对立面,就是两个 都不 发生。
A,B 两个 同时 发生的对立面,就是两个 至少 有一个不发生。
例 1,设 A,B,C 表示三个事件,试表示下列事件
(1) A 发生,B 与 C 不发生
(2) A 与 B 发生,C 不发生
(3) A,B 与 C 都发生
(4) A,B 与 C 至少有一个发生
(5) A,B 与 C 全不发生
(6) A,B 与 C 至少有两个发生
)( CBA
)( CAB
)( A BC
)( CBA
)( CBA
A B C( )CABCBABCA
还有没有其他表示方法?
例 2 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道 1,2,3 组成。 每个水源都可以供应城市的用水。
设事件 Ak 表示第 k 号管道正常工作,k=1,2,3。
B 表示,城市能正常供水,,B表示,城市断水,。
城市甲乙
1
2
3
解
1 2 3B A A A
1 2 3B A A A
1 2 3A A A
试用 321,,AAA 表示,,BB
例 3 从一批 100件的产品中每次取出一个（取后不放回）,假设 100件产品中有 5件是次品,用事件 AK 表示第 k 次取到次品（ k=1,2,3),试用 321 AAA 表示下列事件。
1、三次全取到次品。
321 AAA
2、只有第一次取到次品
321 AAA
3、三次中至少有一次取到次品
1 2 3A A A
4、三次中恰有两次取到次品
1 2 3A A A?1 2 3A A A?1 2 3 A A A
5、三次中至多有一次取到次品
1 2 3A A A?1 2 3A A A? 321 AAA 1 2 3A A A?
或
1 2 1 3 2 3A A A A A A
A B A B注意
,
(
例题 设A,B为 任意的两个事件 则
A+B)(A+B)(A+ B)( A+ B)=?
,( A + B ) ( A + B ),
( a ) ( b ) A B
( C ) ( d ) A B
例设A,B为 任意两个事件则 表示必然事件 与 恰有一个发生不可能事件 与 不同时发生请 选 择,以 A 表 示 事 件,甲 种 产 品 畅 销,乙 种 产 品 滞 销,,
则 其 对 立 事 件 A 为 （ ）
A 甲种产品滞销,乙种产品畅销
B 甲乙两种产品均畅销
C 甲种产品畅销
D 甲重产品滞销或乙种产品畅销本节知识要点
1、随机现象的认识
2、基本概念：样本空间、事件、事件发生
3、事件的关系运算（集合的语言和概率的语言,文氏图）
作业,p32 1,2
注意,互逆事件和对立事件的区别第一章二、概率的定义一,概率的求法第三节频率与概率三、概率的计算对随机现象发生规律的研究上节指出，概率论研究随机现象的发生规律随机现象发生规律是指 各种可能结果 及 发生的可能性,
按照习惯,可能性用大于 0小于 1的数量指标描述强调一点,概率是 指将来发生 的可能性,
这种可能性用数字进行定量描述就是概率生活经验 抽检 100只产品中,5只不合格，合格率 95％，
随机选取一件产品，合格品的可能性为 95％
概率求法的简要说明
1、频率方法 (经验方法 )
一般,在 n 次试验中事件 A发生的次数是 k，事件 A发生的频率为 这个数量指标可以描述事件发生的可能性，就是通常所说的概率
k
n
2、古典方法每个基本事件发生的可能性相同 。
样本空间的元素只有有限个；
的可能性都应该是一样的。 可以认为每掷一颗质量均匀的正六面体骰子问题，每一面出现
1.
6
一面出现的可能性都是 这类问题有两个特征：
PA
A所占基本事件的个数所有基本事件的个数?
例 1 在一口袋中装有编号依次为 10,,2,1?
的 10 个形状相同的球。 从这袋中任取一球。
1,A,,取到 1 号球,求.AP
2,B,,取到 的是偶数号球,求.BP
解 所有可能出现的基本事件共有 10 个，即
10}10,,2,1{ nS?
1,A 事件只占有一个机会,,
10
1,1 APA
}10,8,6,4,2{.2?B
10
55 BPn
B
3、主观方法一个事件发生的概率是人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人判断。
比如：高考填报志愿时，很费头脑，考生对录取的可能性有一个判断，也是主观概率。
这些是对客观现象发生可能性的一个 经验判断
S设随机试验 在相同条件下，
An发生了
n
nA 称为事件 A 发生的 频率,记
)( Af n作
E 的样本空间为次重复独立试验，在这进行 次试验中事件 An n
次，则比值即
)( Af n
n
nA
经验和一些试验数据指出：
1,频率有随机波动性,即对于同样的 n,所得的
)(Afn 不尽相同。
2,试验的次数 n 较小时,频率 )( Afn 随机波动的幅度较大,但随着 n 增大,)( Afn 呈现出稳定性。
频率方法剖析
1 ) 0 ( ) 1 nfA
2) ( ) 1 nfS?
123 ),,kA A A若 两两不相容 则
12( ) nkf A A A?1( ) nfA
2( ) nfA? ( ) nkfA
概率的统计定义（频率）、古典定义、主观定义都不能称为数学概念，概率的定义一直困扰着概率论学科的发展
，直到 1933年苏联数学家柯莫哥洛夫才给出概率的公理化定义。概率的公理化定义参照、体现了频率的如下一些性质：
概率的公理化定义
E S设随机试验定义：
法则对于 E 中的每一个事件 A 赋予一个实数 p,
记为 P(A),称为事件 A 的概率,
1.非负性 0)(?AP
1)(?SP
12,,AA若 是两两互不相容的事件 则
12( ) P A A?1( ) PA 2( ) PA
3、可列可加性的样本空间为 按照某种其基本性质：
2、规范性（归一性）
概率是以“事件”为自变量的函数 其几何表示为文氏图面积概率的性质
0)(P性质 1,不可能事件的概率为 0。
性质 2、
1 2 1 2,A A A A?是不相容事件，即 ＝
P ( A B ) = P ( A ) + P ( B )?则
1 2 n A,A,.,,,,A 推广,两两互不相容
12(,,,,,,)nP A A A则：
12( ) ( ),,,,,,( )np A P A P A
性质 3,ApAp 1
AASAA?
ApAPAApSp1
,BA?若
( ) ( ) ( ) 0P B A P B P A则有证,BA )( ABAB
)()( APBP?
)( BP )()( ABPAP
性质 4、
A B
思考题 若 A与 B相容
( ) B A B B A
A B
A B 与 B-A 互不相容，
p B P A B p B A
P B A P B p A B
P B A？
可推广到多个事件的情形,如三个事件性质 5 BA,对于任意的事件,都有
)()()()( ABPBPAPBAP
证,)( ABBABA
)( ABBA BAB?
)( BAP?
)( AP? )()( ABPBP
)()( ABBPAP
)()()()( 321321 APAPAPAAAP
)()()()( 321323121 AAAPAAPAAPAAP
A B
例 1
1K
2K B
如图：
1K 合上的概率为 0.6
2K 合上的概率为 0.7
1K 2K 同时合上的概率为 0.5
求灯亮的概率。
解 设
11,AK 合上 22,AK
合上
1 0,6 pA2 0,7 pA12 0,5 p A A?
B,灯亮。
12p B p A A
1 2 1 2 0,8 p A p A P A A
已知 3.0?AP 6.0?BP
求BAP?
例 2
解
( ) ( ) 0 P A B P
0,3 P A B P A
在下列两种情形下和ABP?
1,A,B互不相容
A B A B A B A B
0,6 P B A P B
2,A,B 有包含关系
P A P B? AB
0,3 P B A P B P A
解已知 0,5 pA 0,3 pB 0,6p A B
求BAp?
例 3
解 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B
( ) ( ) ( ) ( ) 0,2P A B P A P B P A B
P A B P A p A B3.02.05.0
,25.0)()()( CPBPAP
1 2 5.0)(?ACP,0)()( BCPABP
求 ABC 中至少有一个发生的概率。
解,?)( CBAP )()()( CPBPAP
)()()( BCPACPABP )( AB CP?
ABAB C )()( ABPA B CP 0?
0)( AB CP
)( CBAP 125.075.0? 625.0?
例 4,已知例 5,CBA,,某地发行 三种报纸,A已知订阅 报的
45％,订阅 B 报的 35%,订阅 C 报的 30%,同时订阅 AB 报的 10％,AC 报的 8％,BC 报的 5%,ABC
报的 3％,现任取一市民，试求下列事件的概率,
(1) 只订 A 报
(3) 至少订一种报
(4) 不订任何报解：设 分别用 A,B,C表示市民订 A报,B报,
)( CBAP
)( CABP
)( CBAP
)( CBAP 或 )( CBAP
C报的事件。
(2) 只订 AB 报已知,,45.0)(?AP,35.0)(?BP 30.0)(?CP
10.0)(?ABP08.0)(?ACP 05.0)(?BCP
03.0)(?AB CP
1) )( CBAP )( CBAP
)()( ACABPAP
)()()()( AB CPACPABPAP 30.0?
))(( CBAAP
)( CABP )( AB CABP? )()( AB CPABP2) 07.0?
)( CBAP )()()( CPBPAP3)
)()()( BCPACPABP 9.0)( AB CP
4)?)( CBAP )(1 CBAP)(1 CBAP? 10.0?
或?)( CBAP )(1 CBAP
本节主要知识点
1、概率的公理化定义
2、求概率的常用计算公式
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A B P A P A B
( ) 1 ( )P A P A
( ) ( ) 1 ( )P A B P A B P A B
古典概率
1) 样本空间 S 中样本点的总数有限
2) 每个样本点出现的可能性相同计算公式 )(AP?
A中样本点的个数
S中样本点的总数古典概型：
设随机试验 E 满足如下两个条件,
则称 E 为 等可能概型,也称为 古典概型 。
例题分析一副标准的扑克牌由 52张组成，它有两种颜色、四种花色和 13种牌形。（不考虑大小王）
看下面一些问题：
问题 1,抽出两张牌（有放回），两张全是红桃的概率
()PB?
52 52?
1 3 1 3?
问题 2,抽出两张牌（无放回），两张全是红桃的概率
()PB?
52 51?
1 3 1 2?
2
13
2
52
C 1 3 1 2 2 P ( A ) =
C 5 2 5 1 2
或者
()PB?
52 51?
1 3 1 3?
()PB?
52 51?
1 3 1 3 2 ＝
2
52c
1113 13CC
问题 4,抽出两张牌（不放回），一张红桃，另一张是黑桃的概率问题 5：一次抽出 5张牌,3张红桃,2张黑桃的概率
()PB?
552C
32
13 13CC
问题 6：抽出 5张牌，恰有 3张红桃的概率
()PB?
552C
32
13 39CC
例 7,一口袋中装有 10只球,其中 6只蓝球,4 只红球现从袋中取球两次,
放回 和 无放回 两种方式取球,就以上两种情况求,
1) 取到的两只都是蓝球的概率 ;
2) 取到两只球颜色相同的概率
3) 取到的两只球中至少有一只是蓝球的概率解,设 A=,两只球都是蓝球,B=,两只球都是红球,
C =,取到的两只球中至少有一只是蓝球,
a) 有放回的抽样
)( AP 259?
1010?
66?
)( BP 254?
1010?
44?
)(AP
)( BAP?
)(BP
AB? 0)( ABP
每次随机的取一只,分别按 有
)( BAP?2) )()()( ABPBPAP
25
13?
)( AP
)(1 BP)(CP3) )(BP
25
21?
b) 无放回的抽样
)( BP
910?
56?
910?
34?1)
)( BAP?2) )()()( ABPBPAP
15
7?
)(1 BP)(CP3) )(BP
15
13?
设有 N 件产品，其中有 D 件次品，今从中任取 n
种，nNC
又在 D 件次品中取 k件，所有可能的取法有种，kn DNC在 N-D 件正品中取 n-k 件,所有可能的取法有种，kDC
解：在 N 件产品中抽取 n 件，取法共有件，问其中恰有 k( k? D )件次品的概率是多少?
于是所求的概率为：
n
N
kn
DN
k
D
C
CCp
此式即为超几何分布的概率公式。
由乘法原理知：在 N 件产品中取 n 件，其中恰有 k 件种，kn DNkD CC次品的取法共有例 8
例 6,把甲、乙、丙三位学生依次随机地分配到 5间宿舍中去。 假定每间宿舍可住 4人，求下列事件的概率：
1,A,这三位学生住不同宿舍。
2,B,这三位学生中至少有两位住同一宿舍,
解 由于每位学生都可能分配到这 5间宿舍的任意一间,因此共有 1255 3n 种分配方案。
1,A,这三位学生住不同宿舍。 对甲有 5 种分配方案后，乙有 4 种，丙有 3 种。 60345An
48.012560AP
2、分析可知 B 是 A 的对立事件
52.01 APAPBP
例题：投球问题将 n只球随机地放入 N（ N≥n) 个盒子中，试求每个盒子中至多有一只球的概率（盒子的容量不限）
将 n只 球放入 N个盒子中,每一种方法是一基本事件
n
N
n
A
P
N
三、几何概率在等可能概型中,样本空间的基本事件除等可能性要求外，还受 n 为有限的限制。 下面介绍一种样本空间的基本事件数为无限的几何概率。
例 9 某十字路口自动交通信号的红、绿灯,其周期为 60秒,其中由南至北方向红灯为 15 秒,求随机到达
（由南至北）该路口的一辆汽车恰遇红灯的概率。
直观可得 25.0
60
15P
例 10 一片面积为 S 的树林中有一块面积为 S0 的空地。
一架飞机随机地往树林内空投一只包裹。 求这包裹落在空地上的概率。
S
SP 0?
几何概率问题：谁有办法计算右边图形的面积，假设方框的面积为 1
我们规定 A的概率定义为
)(
)()(
Su
AuAP?
Su 为样本空间的度量。
Au 为构成 A 的子区域的度量。
此为几何概率,其满足概率的三个公理及性质。
知识点总结
1、概率的定义
2、古典概型的求法
（ 1）依次摸球问题：有放回、无放回
（乘法公式）
（ 2）一次摸出多个球的问题（组合问题）
（ 3）投球问题（只能是依次投，乘法问题）
作业 5,6,7,8,11
二、全概公式与贝叶斯公式一,条件概率与乘法公式第三节 条件概率概率的相关知识回顾
1、对随机现象,我们更关心的是事件发生的概率,什么是事件?
概率的直观含义是事件发生的可能性,数学定义的 实质是什么?
2、求概率的常用计算公式
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A B P A P A B
( ) 1 ( )P A P A
( ) ( ) 1 ( )P A B P A B P A B
10 5
8 2
A:甲车间生产
A,乙 车 间 生 产
:B 有 缺 陷B无 缺 陷例题 1 仓库中某产品来自甲乙两个车间，数量及质量情况如下表
A
B
=
=
,选 出 的 产 品 是 甲 车 间 生 产,
,选 出 的 产 品 有 缺 陷,
分析：
AB事 件,既 是 甲 车 间 又 是 次 品,可 以 用 表 示一、条件概率
1 5 5=,=,=
2 5 2 5 2 5P ( A ) P ( B ) P ( A B )
7
1 5 7 5( ),( ),( )
2 5 2 5 2 5P A P B P A B= = =
已知选定的是甲车间的产品，问是次品的概率是多？
A即 事 件 已 发 生 的 条 件 下 事 件 发 生 的 概 率 是 多 少,B?
( 2 5
,( 1 5A
A
A?
(1) 事 件 的 发 生 改 变 了 基 本 空 间,从 原 来 的 基 本 空 间 含 有 个基 本 结 果 ) 缩 减 为 新 的 基 本 空 间 含 有 个 基 本 结 果 ）
B A B?(2) 事 件
( ) 5 ( ) / ( ) ( ) 5 / 2 5( | )
( ) 1 5 ( ) / ( ) ( ) 1 5 / 2 5
N A B N A B N P A BP B A
N A N A N P A
( ) ( ) / ( ) ( )( | )
( ) ( ) / ( ) ( )
N A B N A B N P A BP B A
N A N A N P A
条 件 概 率 可 以 用 两 个 特 定 的 无 条 件 概 率 之 商 表 示 。 以 上 公 式不 仅 在 等 可 能 场 合 成 立,,以 至 于 把上 式 公 认在 一 般 场 合 也 是 合 理为 条 件 概 率的的 定 义 。
2,定义 设 A,B是两个事件，且 P(A) > 0,则称
()( | )
( )
P A BP B A
PA?
B 发生的的条件概率,
为在事件 A 发生的条件下,事件
S
BABA
思考题粉笔盒中有 5只红粉笔,5只白粉笔,现从中依次抽取两只,已知第一次抽取的是红粉笔,求第二次抽取的是红粉笔的概率是多少?
例 题 3 下 表 是 给 出 的 乌 龟 寿 命 表 。 寻 求 下 面 一 些 事 件 的条 件 概 率 乌龟寿命表年龄 存活概率 年龄 存活概率
0
20
40
60
80
100
120
1.00
0.92
0.90
0.89
0.87
0.83
0.78
140
160
180
200
220
240
260
0.70
0.61
0.51
0.39
0.08
0.004
0.0003
求：活到 60岁的乌龟再活 40年的概率是多少？
1 0 0 6 0 1 0 0
1 0 0 6 0
6 0 6 0
( ) ( ) 0,8 3( | ) = 0,9 3
( ) ( ) 0,8 9
P A A P AP A A
P A P A解例 4.为防止意外，在矿井内同时安装两种报警系统 A与 B。每种系统单独使用时，其有效的概率：系统 A为 0.92，系统 B为
0.93；在 A失灵的情况下 B有效的概率为 0.85。求
（ 1）在 B失灵的情况下 A有效的概率
（ 2）当发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率解,设 A={A有效 },B={B有效 }
P ( A B ) P ( A ) - P ( A B )P ( A | B ) = =
P ( B ) 1 - P ( B )
分析例 4.为防止意外，在矿井内同时安装两种报警系统 A与 B。每种系统单独使用时，其有效的概率：系统 A为 0.92，系统 B为
0.93；在 A失灵的情况下 B有效的概率为 0.85。求
（ 1）在 B失灵的情况下 A有效的概率
（ 2）当发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率解,设 A={A有效 },B={B有效 }
P(A) = 0.92,P(B) =0.93
（ 1）在 B失灵的情况下 A有效的概率,
P ( AB ) P ( A ) - P ( A B )P ( A | B ) = =
1 P ( B )P ( B ) = 0,8 2 9－
（ 2）当发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率
( ) ( ) ( ) ( ) 0,9 8 8P A B P A P B P A B
P ( B | A ) = 0,8 5
( ) ( ) ( )( | )
( ) 1 ( )
P B A P B P A BP B A
P A P A
( ) 0,8 6 2P A B
3,性质
1) 对于任一事件 B,( | ) 0 P B A?
2) 1)|(?ASP
)|(
1
ABP i
i
)|(
1
ABP i
i
3) 设 互不相容?
21 BB
4) )|( ABP )|(1 ABP
1 2 1 2 1 25 ) [ ( ) | ] ( | ) ( | ) ( | )P B B A P B A P B A P B B A
S
BABA,( ) P B A说 明 ｜ 的 理 解
1,空间缩小 事件 A发生,可 把事件 A 看成新的样本空间 (前面解释的那样 )
2,P(B|A)理解新概率 P(B|A)定义域为任一事件 B，
是关于事件的函数，因此是一新的概率的定义（可以验证他满足概率的定义）
3 ( A | B ),P 的 计 算 方 法二,.乘法公式由条件概率的定义 ()( | )
()
P A BP B A
PA?
立刻可得下述定理
( ) ( ) ( | )P A B P A P B A?
可推广
( ) ( ) ( | )P A B P B P A B?
P ( A B C ) = P ( A ) P ( B / A ) P ( C / A B )
乘法定理,( ) 0PA设? 则有
( ) [ ( ) ] ( ) ( / )P A B C P A B C P A B P C A B证明
( ) 0PB? 则有
P ( A B C ) = P ( A ) P ( B / A ) P ( C / A B )
乘法公式的记忆
P(ABC)表示 A,B,C同时发生的概率，首先是
A发生，因此有 P(A),A发生之后 B又发生，又有
P(B|A),再次,C 又发生，有 P(C|BA)
因此 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|BA)
例 5,一批零件共 100件,其中有 10 件次品,每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：
2) 若依次抽取 3 次,求第 3 次才抽到合格品的概率
3) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在 3 次内取到合格品的概率
iA,第 次抽到合格品,i解,设 3,2,1?i
1) 前三次都抽到合格品的概率。
1 2 3 1 2 1 3 1 2P ( A A A ) = P A P A / A P A / A A
9 0 8 9 8 8= 1 0 0 9 9 9 8
1)
例 5(续 ).一批零件共 100件,其中有 10 件次品,每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：
2) 若依次抽取 3 次,求第 3 次才抽到合格品的概率
3) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在 3 次内取到合格品的概率
iA,第 次抽到合格品,i解,设 3,2,1?i
1) 前三次都抽到正品的概率。
12 3()P A A A
10=
100
2)
3 1 2( | )P A A A)|( 12 AAP?1= ( )PA
99
9? 90
98
0083.0?
例 5(续 ).一批零件共 100件,其中有 10 件次品,每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：
2) 若依次抽取 3 次,求第 3 次才抽到合格品的概率
3) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在 3 次内取到合格品的概率解,
1) 前三次都抽到正品的概率。
3) 设?A,三次内取到合格品,
1 1 21 2 3A A A A A A A?
则
)( 1AP?
9993.0?
)|()( 121 AAPAP?
)|()|()( 213121 AAAPAAPAP?
例 5(续 ),一批零件共 100件,其中有 10 件次品,每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：
2) 若依次抽取 3 次,求第 3 次才抽到合格品的概率
3) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在 3 次内取到合格品的概率解,
1) 前三次都抽到合格品的概率。
3) (方法二 ) 利用对立事件
A,三次都取到次品,
1 2 3A A A A? 仿照前面的过程求解即可例 6 设一个班中 10名学生采用抓阄的办法分一张电影票的机率是否相等解：设?
iA
“第 名学生抓到电影票,i
1( ) PA? 101
2( ) PA? 91?12P ( A A ) 21( ) P A A?
1( ) PA? 10
9?
10
1?
3( ) PA? 1 2 3 P ( A A A )
3 1 2,( ) P A A A21( ) P A A?1= ( ) PA
9 8 1 1
10 9 8 10
10,2,1i
例 7.某灯泡厂制造的灯泡，第一次落下被打破的概率是 1/2，
若第一次落下未打破，第二次落下被打破的概率是 7/10，
若前两次落下未打破，第三次落下被打破的概率是 9/10，
试求灯泡落下三次未打破的概率。
iAi解,设 表 示 第 次 灯 泡 被 打 破1 2 1
3 1 2
17
( ) 1 -,( | ) 1
2 1 0
9
( | ) 1
10
P A P A A
P A A A
以 题 意 有,
1 2 3
1 7 9( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
2 1 0 1 0P A A A
例题 8 设袋中装有 r只红球,t只白球,每次自袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入 a只与所取出的那只球同色的球,若在袋中连续取球 4次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
A i解,设 第 i 次 取 得 红 球 i=1,2,3,4
1 2 3 4( ),,,23
r r a t t aP A A A A
r t r a t r a t r a t
练习题,甲给乙打电话，但忘了电话号码的最后一位数字，
因而对最后一位数字随意拨号，求：
（ 1）到第 k次才拨通的概率
（ 2）不超过 k次而拨通的概率
321
解：
i B = i i = 1,2,3设,球 取 自 号 箱,红A =,取 得 球,
引例 现有三个箱子，分别编号为 1,2,3,箱内所放东西如图所示,某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率,
1 1 2 1 1P ( A ) = × + × + 1 ×
5 3 5 3 3
1 1 2 2 3 3= P ( B ) P ( A ｜B ) + P ( B ) P ( A ｜B ) + P ( B ) P ( A ｜B )
1P(A ｜B )
1P(B )
2P(B )
2P(A｜B )
三、全概率公式和贝叶斯公式如果两个盒子是混合在一起的，显然是 6/13
321
即 1 2 3A = B A U B A U B A
1 2 3P ( A ) = P ( B A ) + P ( B A ) + P ( B A )
且 1 2 3B A,B A,B A 两两互斥
)()()()()()( 332211 BAPBPBAPBPBAPBP ｜｜｜
同时,事件 A可以拆分成 B1 A,B2 A,B3 A
以上过程的进一步分析样本空间 S可以划分为 B1,B2,B3
B1 B2 B3
这就是全概率公式划分的概念
S
1B
2B
3B
nB设 S 是随机试验 E 的样本空间
12,,,nB B B E是 一组事件若,1 )
ijBB
122) nB B B S?
12,,,nB B B S则称 是样本空间 的一个划分划分也被称为分割、剖分等
3,全概率公式
S
A1B
2B
3B
nB设随机试验 E 的样本空间 S
nB 0)(?iBP且
),,2,1( ni
11( ) ( | ) ( )P A P A B P B
定理,
A 为 E 的任意一个事件,
为 S 的一个划分,
则
,,,21?BB
( | ) ( ) nnP A B P B?
全概率公式的意义,通过将样本空间划分成几个部分 (事件 )，事件 A也随之划分成几个,更小,的事件 (ABi),概率
P(A)转换成了几个,更小,事件的概率和,
例 9,设某工厂甲,乙,丙 3 个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的 45％,35％,20％,且各车间的合格品率为 0.96,0.98,0.95,现在从仓库中抽查一件,
问抽出的是次品概率是多大？
思考题：（ 1）样本空间是什么？
（ 2）样本空间如何划分？
例 10.设某工厂甲,乙,丙 3 个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的 45％,35％,20％,且各车间的合格品率为 0.96,0.98,0.95,现在从仓库中抽查一件,
问抽出的是次品概率是多大？
解,
分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产设 A =,任取一件产品为次品,
45.0)( 1?BP 35.0)( 2?BP 20.0)( 3?BP
04.0)|( 1?BAP 02.0)|( 2?BAP 05.0)|( 3?BAP
由题意,
321 BBB
( ) PA?
45.004.0
3
1
( | ) ( ) ii
i
P A B P B
35.002.0 20.005.0 035.0?
例 10.设某工厂甲,乙,丙 3 个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的 45％,35％,20％,且各车间的合格品率为 0.96,0.98,0.95,现在从仓库中抽查一件,
问抽出的是次品概率是多大？
( ) PA?
45.004.0
3
1
( | ) ( ) ii
i
P A B P B
35.002.0 20.005.0 035.0?
全概率公式的进一步的认识抽出一件是次品的概率，即整个车间的次品率 p＝？
2 % 5 %p
能否取平均？
最合理的做法应该是以各个车间所占比例取加权平均某厂生产的仪器每台以 0.7 的概率可以出厂，
以 0.3 的概率需要进一步调试,经调试后以 0.8 的概率可以出厂,以 0.2 的概率为不合格品，不能出厂。 求每台仪器能出厂的概率。
例 11
思考题：（ 1）样本空间是什么？
（ 2）样本空间如何划分？
分析,这里把全部仪器分为两大类某厂生产的仪器每台以 0.7 的概率可以出厂，
以 0.3 的概率需要进一步调试,经调试后以 0.8 的概率可以出厂,以 0.2 的概率为不合格品，不能出厂。 求每台仪器能出厂的概率。
解 设 A,仪器能出厂,
B1,仪器需要调试,B2,仪器不需要调试,
3.01?BP 7.02?BP 8.0/ 1?BAP 1/ 2?BAP
)|()|()( 2211 BAPBPBAPBPAP
例 12
0,8 0,3 0,7 1 0,9 4=
例 13.
1
七红 三黄
2
五蓝 五白
3
八蓝 两白现在三个盒子,先在第一个盒子中任取一球,若取到红球,
则在第二个盒子中任取两球 ;
若在第一个盒子中取到黄球，则在第三个盒子中任取两球,求 第二次取到的两球都是蓝球 的概率解,设 1B =,从第一盒子取红球,
2B =,从第一盒子取黄球,A
=,第二次取两只蓝球,
10
7)(
1?BP 10
3)(
2?BP
)|( 1BAP?)|( 2BAP
则
2
10
2
5
C
C
2
10
2
8
C
C
45
28?
9
2?
)()|()()|()( 2211 BPBAPBPBAPAP 342.0?
思考题
1,举例说明条件概率
2、全概率公式的含义把Ｂ i看作为导致事件Ａ发生的一种途径，对于不同途径，
Ａ发生的概率即条件概率 P(A|B)各不相同，而采取哪个途径却是随机的直观例子,各班考研升学率不同，总升学率应为各班升学率的加权平均
3,贝叶斯公式问题,
2 3
从如图所示的箱子中任取一球,发现是红球,
问取自一号箱的概率,
解,设 i
iB
=,球取自 号箱,
A =,取得红球,求 P(B1|A)
)|( 1 ABP?
运用全概率公式计算 P(A)
)(
)( 1
AP
ABP
3
1
)(
i
iBP
)|()( 11 BAPBP
)( kBAP ｜
1
贝叶斯公式,
nBBB,,,21?
,0)(?AP 0)(?iBP ),,2,1( ni
)|( ABP i ),,2,1( ni
设随机试验 E 的样本空间为 S,A是
E 的任意一个事件,为 S 的一个划分,且
)(
)(
AP
ABP i
则
n
i
ii BPBAP
1
)()|(
)()|( ii BPBAP
A 发生的每个原因的概率,
贝叶斯公式常常用在观察到事件 A 已发生的条件下，寻找导致例 14.设某工厂甲,乙,丙 3 个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的 45％,35％,20％,且各车间的合格品率为 0.96,0.98,0.95,现在从待出厂的产品中检查出
1个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？
解,
分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产设 A =,任取一件产品为次品,
45.0)( 1?BP 35.0)( 2?BP 20.0)( 3?BP
04.0)|( 1?BAP 02.0)|( 2?BAP 05.0)|( 3?BAP
由题意,
由贝叶斯公式?)|( ABP
i )(
)()|(
AP
BPBAP ii 3,2,1?i
321 BBB
例 14.（续） 设某工厂甲,乙,丙 3 个车间生产同一种产品,
产量 依次占全厂的 45％,35％,20％,且各车间的合格品率为 0.96,0.98,0.95,现在从待出厂的产品中检查出
1个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？
解（续）?)(AP
45.004.0 35.002.0 20.005.0 035.0?
)|( 1 ABP
)|( 2 ABP
)|( 3 ABP
45.004.0?
035.0
35.002.0?
035.0
20.005.0?
035.0
甲车间生产的可能性最(最大 )
)|( 1 ABP
3
1
)()|(
i
ii BPBAP
)|( 1 ABP 甲车间生产的可能性最大(最大 )
例题 15 商店论箱出售玻璃杯，每箱 20只，其中每箱含 0
,1,2只次品的概率分别为 0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选 4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱,问这一箱含有一个次品的概率是多少？
B0,B1,B2分别表示事件每箱含 0,1,2只次品已知,P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1
0P(A | B ) = 1
4
19
1 4
20
C 4P ( A | B ) = =
C5
4
18
2 4
20
C 12P ( A | B ) = =
C 1 9
解,设 A:从一箱中任取 4只检查,结果都是好的,
1
2
3
B0
B1B2
例题 15(续） 商店论箱出售玻璃杯，每箱 20只，其中每箱含 0,1,2只次品的概率分别为 0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选 4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱,问这一箱含有一个次品的概率是多少？
已知,P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1
0P(A | B ) = 1
4
19
1 4
20
C 4P ( A | B ) = =
C5
4
18
2 4
20
C 12P ( A | B ) = =
C 1 9
由 Ba2yes公式,
11
1 2
ii
i = 0
P ( B ) P ( A | B )P ( B | A ) =
P ( B ) P ( A | B )
40,1 ×
5= 0,0 8 4 8
4 1 20,8 × 1 + 0,1 × + 0,1 ×
5 1 9
解,
2 ii
i = 0
4 12P(A) = P(B )P(A | B ) = 0.8 × 1 + 0.1 × + 0.1 ×5 19
例题 16 甲袋中有 4个红球,4个白球，乙袋中 2个红球,3
个白球，任取一个袋子并从中摸出两球，两个全是红球，
问从甲袋中摸出球的概率是多少？
AA解,设 表 示 球 是 从 甲 袋 中 摸 出 的,表 示 球 是 从 乙 袋 中 摸 出 的
B 表 示 摸 出 的 两 球 均 为 红 球 。
( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )P B P B A P A P B A P A
4 3 1 2 1 1 0,1 5 7
8 7 2 5 4 2
( ) ( | ) ( )( | ) 0.68 3
( ) ( )
P AB P B A P AP A B
P B P B
临 记 录 诊 断 试 验题 16 根 据 以 往 的 床,例 某 种 癌 症 的 有 如 下 效 果
A " "," " 如 以 表 示 事 件 试 验 反 映 为 阳 性 以 C 表 示 事 件 被 诊 断
," ( | ) 0,9 5 ( | ) 0,9 5,P A C P A C者 患 有 癌 症 则 有
,现 在 对 自 然 人 群 进 行 普 查 设 被 实 验 的 人 患 有 癌 症 的 概 率
0,0 0 5,P ( C | A )为 即 P(C)=0.005,试 求
,分 析癌症患者健 康 人呈阳性 (即 A)
,首 先 确 定 呈 阳 性 的 概 率 即 P(A)
临 记 录 诊 断 试 验题 16 根 据 以 往 的 床,例 某 种 癌 症 的 有 如 下 效 果
A " "," " 如 以 表 示 事 件 试 验 反 映 为 阳 性 以 C 表 示 事 件 被 诊 断
," ( | ) 0,9 5 ( | ) 0,9 5,P A C P A C者 患 有 癌 症 则 有
,现 在 对 自 然 人 群 进 行 普 查 设 被 实 验 的 人 患 有 癌 症 的 概 率
0,0 0 5,P ( C | A )为 即 P(C)=0.005,试 求
,( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )P A P A C P C P A C P C解
= 0,9 5 0,0 0 5 + ( 1 - 0,9 5 ) ( 1 - 0,0 0 5 ) = 0,0 5 4 5
( | ) ( ) 0,9 5 0,0 0 5( | ) 0,0 8 7 1 5
( ) 0,0 5 4 5
P A C P CP C A
PA
本节知识点
1、条件概率、乘法公式
2、全概率公式
3、贝叶斯公式练习,p33 13,17,19,20
第六节事件的独立性一、事件的独立性二、贝努利概型
1,掷一颗均匀的 骰子 两次,
B = {第二次 掷出 6 点 }A = {第一次掷出 6 点 }
|P ( B A ) =可知 P(B)
2,掷甲乙两枚 骰子,
B = {乙 掷出 偶数点 }A = {甲掷出偶数点 }
P ( B A ) =可知 P(B)
1、引例
AB事 件 的 发 生 与 否,不 影 响 事以 上 两 个 例 子 件 发说 明,生 的 概 率
| ( )P ( B A ) = P B
| ( )P ( B A ) = P B
A
样本空间如右图
P(A)=P(B)=1/2
P(A|B)= P(A|B)＝ 1/2=P(A)
说明,事件 B发生与否,不影响事件 A发生的概率事件 A 发生与否,并不影响事件 B发生的概率,
这时称事件 A,B 独立,
显然事件 A表示左半边,事件 B代表上半边
B
( ) ( ) P A P B| P A B P A P B A?
在上述独立性概念下,
由于此式中,并不要求 P(A)或 P(B)不等于零，
作为事件的独立的定义更合适
2、定义
P ( A B ) = P ( A ) P ( B )
设 A,B是两个事件,如果有如下等式成立则称事件 A,B 相互独立
S?与 与任何事件 都是相互独立例 1,一副不含大小王的扑克牌问事件 A,B是否独立？
解：
记 A = { 抽到 K },B = { 抽到的牌是黑色的 }
说明事件 A,B 独立,
由题意?)( AP
52
4?)( BP
52
26
)( ABP 522?)( ABP )()( BPAP
例 2.
BAC
)(CP
)()( BPAP
4.05.04.05.0
甲,乙两人的命中率为 0.5 和 0.4,现两人独立地向目标射击一次,
解,设 A =,甲射击一次命中目标,
B =,乙射击一次命中目标,
C =,目标被命中,
BA,则 相互独立,且
)( BAP? )()()( ABPBPAP
)()( BPAP?
7.0?
求目标被命中的概率例 2.
BAC
)(CP
甲,乙两人的命中率为 0.5 和 0.4,现两人独立地向目标射击一次,
解,设 A =,甲射击一次命中目标,
的概率是多少?
B =,乙射击一次命中目标,
C =,目标被命中,
BA,则 相互独立,且
)( BAP? ( ) ( ) ( ) 0,7P A P B P A B
)|( CBP 57.0
7.0
4.0)( BCP
)(CP
)(BP
)(CP
已知目标被命中,则它是乙命中思考,如图所示的事件独立吗?
则 A 与 B 不相互独立,
则 A,B不互斥,
故 A,B不独立
A B0)(?ABP
而 0)(?AP 0)(?BP
)()()( BPAPABP?
即 若 A,B互斥,且,0)(?AP 0)(?BP
反之,若 A 与 B 相互独立,,0)(?AP 0)(?BP且定理一,
)()|( BPABP?
BA,设 是两个事件
0)(?AP1) 若,BA,则 相互独立的充分必要条件为,
BA,2) 若 相互独立,BA 与,BA 与,BA 与,都相互独立
)()( ABPBP
)()](1[ BPAP
)( ABBP?2)?)( BAP
))()( BPAPBP
)()( BPAP? 其余同理可证证,1）略
3,多个事件的独立性
)()()( BPAPABP?
,,,三个事件对于 CBA 若下面四个等式同时成立
)()()( CPAPACP?
)()()()( CPBPAPAB CP?
)()()( CPBPBCP?
相互独立则称 CBA,,
这个概念可推广到 n 个事件的独立性定义 (见 p27)
实质,任何事件发生的概率都不受其它事件发生与否的影响思考,两两独立与相互独立的区别两两独立相互独立对 n ( n >2 ) 个事件
1 2 nA,A,,A n设 是 个 事 件
kiii AAA,,,21? )2( nk
推论,
nAAA,,,21?
1) 若 相互独立,则其中任意 k 个事件也相互独立,
,,,,21 相互独立若 nAAA?2) 则其中任意 k 个事件的对立事件与其它的事件组成的 n 个事件也相互独立,
例 4 设每门炮射击一飞机的命中率为 0.6,现有若干门炮同时独立地对飞机进行一次射击,问需要多少门炮才能以 0.99 的把握击中一飞机。
解 设需要 n 门炮。
Ak,第 k 门炮击中飞机,,,,2,1 nk
B,飞机被击落,
99.0)()( 21 nAAAPBP?
)(1)( 21 nAAAPBP)(1 21 nAAAP
)()()(1 21 nAPAPAP 99.04.01 n
01.04.0?n 06.504.0lg 01.0lgn
故至少需要 6门炮才能以 0.99 的把握击中飞机。
注,相互独立事件至少发生一次的概率计算
)()( 21 nAAAPBP
)(1 21 nAAAP
)(1 21 nAAAP
)()()(1 21 nAPAPAP
例 5,某电路如图所示,
A
C
B
CBA,,已知
7.09.0,8.0 和正常工作的概率为假定 CBA,,能否正常工作是相互独立的,
试求,1) 整个电路正常工作的概率
CBA,,解,设 表示 CBA,,
2) 若整个电路正常工作,求 BA,
D =,电路正常工作,?D
)( DP
)()()()()()()( CPBPAPCPAPBPAP 776.0?
则相互独立
ACABA )( CB?
)( ACABP? )()()( A B CPACPABP
)|( DAP
)(
)(
DP
DP?
)(
)(
DP
ADP 1?
)|( DBP
)(
)(
DP
ABP?
)(
)(
DP
BDP
)(
)()(
DP
BPAP? 9278.0?
正常工作的概率正常工作,
例题 6
加工某一产品需要有三道工序,设第一、第二、第三道工序的次品率分别为 2％,3％,5％。假定各道工序相互独立，求完成的产品的次品率例 7 (可靠性问题 ) 设有 6个元件，每个元件在单位时间内能正常工作的概率均为 0.9，且各元件能否正常工作是相互独立，试求下面系统能正常工作的概率。
1
2 4
3
6
5
解 设 Ak={第 k个元件能正常工作 },k=1,2,…,6，
A ={整个系统能正常工作 }
=(A1∪ A2)(A3 ∪ A4)(A5 ∪ A6)
A1,A2,…,A6相互独立，可以证明
A1∪ A2,A3 ∪ A4,A5 ∪ A6 也相互独立,
970299.0])9.01(1[ 32 ≈--=
)]()(1)][()(1)][()(1[ 654321 ---= APAPAPAPAPAP
)](1)][(1)][(1[ 654321 ---= AAPAAPAAP
)()()()( 654321= AAPAAPAAPAP UUU
例 6 已知一批玉米种子的发芽率为 0.9,现每穴种两粒,求 （ 1） 两粒都能发芽的概率； （ 2） 至少有一粒种子发芽的概率； （ 3） 恰好有一粒种子发芽的概率 。
解 设两粒种子为甲和乙,A={甲发芽 }，
B={乙发芽 },则所求的概率为
（ 1） P(AB)=P(A)P(B)=0.9× 0.9=0.81
（ 2） P(A B) =P(A)+P(B)－ P(AB)?
例 6 已知一批玉米种子的发芽率为 0.9,现每穴种两粒,求 （ 1） 两粒都能发芽的概率； （ 2） 至少有一粒种子发芽的概率； （ 3） 恰好有一粒种子发芽的概率 。
解 设两粒种子为甲和乙,A={甲发芽 }，
B={乙发芽 },则所求的概率为
= 0.9+0.9－ 0.81= 0.99
( 3 ) ( ) ( ) ( )P A B A B P A B P A B
= 0,9 0,1 + 0,1 0,9 = 0,1 8
例 6 已知一批玉米种子的发芽率为 0.9,现每穴种两粒,求 （ 1） 两粒都能发芽的概率； （ 2） 至少有一粒种子发芽的概率； （ 3） 恰好有一粒种子发芽的概率 。
解 设两粒种子为甲和乙,A={甲发芽 }，
B={乙发芽 },则所求的概率为例 4.
为 0.01，
一批产品共 100件,其中有 4件次品,每次抽取一件检验,有放回,连续抽取检验 3 次,如发现次品,
则认为这批产品不合格,但检验时,
次品的概率为 0.05，
解,设 A =,任取一件被认为是合格品,
B =,任取一件是次品,C =,这批产品被认为合格品,
04.0)(?BP 96.0)(?BP
01.0)|(?BAP 95.0)|(?BAP
由题意
)( AP )()|()()|( BPBAPBPBAP?9124.0?
)( CP 39 1 2 4.0 7595.0?
一正品被误判为而一次品被误判为正品的概率求这批产品是合格品的概率。
例题设 10件产品中有 4件不合格品，不放回抽取取两件，
已知两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。
[解 ] 用 分别表示取出的第 1件和第 2
件为不合格品。则所求概率为
,AB
22
64
22
1 0 1 0
( ) ( ) 1( | ) 1
5( ) 1 ( )
P A B P A B AAP A B A B
AAP A B P A B
例２,
)3,2,1(?i
)|( 1ABP则 2.0
)()|()()|()( 2211 APABPAPABPBP
甲乙丙三人同时向飞机进行射击,三人击中飞机的概率分别为 0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而击落的为 0.2,被两人击中而击落的概率为 0.6,若三人都击中,飞机必被击落,求飞机被击落的概率,
解,设 iiA =,飞机被 人击中,
B =,飞机被击落,
)|( 2ABP 6.0?)|( 3ABP 1
)()|( 33 APABP? 458.0?
iiC =,飞机被第 人击中,
)( 1AP?321( CCCP 321 CCC )321 CCC?
)( 2AP?321( CCCP 321 CCC )321 CCC?
)( 3AP )( 321 CCCP
36.0?
41.0?
14.0?
例 1 某仪器有 3个灯泡,烧坏第一、第二、第三个灯泡的概率分别为 0.1,0.2,0.3.当烧坏一个灯泡时，仪器发生故障的概率为 0.25.
烧坏二个灯泡时，仪器发生故障的概率为 0.6.
烧坏三个灯泡时，仪器发生故障的概率为 0.9.
求仪器发生故障的概率,
解 设 Bk,恰有 k 个灯泡烧坏,k = 1,2,3.
A,仪器发生故障,,
398.03.08.09.07.02.09.03.012.011.01BP
092.03.02.09.03.08.01.07.02.01.02BP
0 0 6.03.02.01.03BP
主要知识点
1、条件概率、乘法公式
2、事件的独立性
3、全概率公式、贝叶斯公式
4、作业 P34 22 23 24 29 34
五,伯努利概型即在试验 E 的样本空间 S 只有两个基本事件有一类十分广泛存在的只有相互对立的两个结果我们称这只有两个对立的试验结果的试验为的试验。
且每次试验中
.AA 与例如,试验,成功,,,失败,。 种子,发芽,,,不发芽,
生,男孩,,,女孩
”
考试,及格,,,不及格,
产品,合格,,,不合格,买彩票,中奖,,,不中奖,
101)()( pqpAPpAP
若只有两个对立结果的试验可在相同伯努里试验。
的条件下进行，则有
n重伯努里试验：
)10( pp
k
knkknn qpCkP)( ),,2,1,0( nkpq 1
设在一次试验中事件 A 发生的概率为则在 n 重伯努利试验中事件 A 恰好发生 次的概率为证,设 事件 A 在 n 次试验中发生了 X 次
i=,在第 次试验中事件发生,iA设
)( 121 nkk AAAAAP
knk pp )1( )()()()( 1
1 nkk APAPAPAP
}{ kXP ),,2,1,0( nkk
nC
knk pp )1(
伯努里定理设在试验 E 中事件 A发生的概率为 p,现将 E重复独立的进行 n 次,称这 n 次试验为 n 重伯努里试验伯努里试验 是一种很重要的数学模型,用途广泛。
在 n 重贝努利试验中,事件 A 正好出现 k 次的概率有一个一般的求法。 由于 n 次试验是相互独立的，事件
A 发生的次数为 X,则 X 的取值为,,,2,1,0 n?
而kX? 就表示一个事件，
}{ kXP
),,2,1,0( nk
knC knk pp )1(
在 n 重贝努利试验中，
事件 A 正好出现 k 次的概率有例 1 某人射击每次命中的概率为 0.7,现独立射击 5
次，求正好命中 2 次的概率。
解2?XP 13.03.07.0 322
5 C
例 2 从学校乘汽车去火车站一路上有 4 个交通岗，
到各个岗遇到红灯是相互独立的,且概率均为 0.3,求某人从学校到火车站途中 2次遇到红灯的概率。
解 途中遇到 4次经交通岗为 4重贝努利试验，其中
3.04 pn
2?XP 2787.03.0 2224 C
例 4 某车间有 50台机床,一天内每台需要维修的概率均为 0.02,求一天内需维修的机床不多于 2台的概率。
解 02.050 pn
2?XP
4915050 98.002.098.0 C
0 XP1 XP2 XP
1 8 6.098.002.0 482250 C
例 5,袋中装有 30只红球,70只蓝球,现从袋中有放回地抽取 5 次,每次取 1 只球,试求,
1) 取出的 5只球中恰有 2 只红球的概率 ;
2) 取出的 5只球中至少有 2 只红球的概率；
解,取到红球的概率为 0.3,
}{ kXP 5,4,3,2,1,0?k
}2{ XP
}2{ XP
4155005 7.03.07.03.01 CC
4718.0?
5 次取球相互独立故为 5 重伯努里概型,设 X 为取到红球的次数
1)
2)
1?
kkkC 55 7.03.0
3225 7.03.0C 3087.0?
}2{1 XP
}0{ XP }1{ XP
例 6.
}1{ XP
n99.01
99.0ln
05.0ln?n
01.0?p购买一张彩票中奖的概率为
,
问需要买多少张彩票才使至少中一次奖的概率不小于 0.95？
解,设 n需要买 张彩票,X 表示中奖的次数则
nn ppC )1(1 00
}0{1 XP
95.0?
57.299?
因此至少要买 300 张彩票才行作业
P29 26 27 32
主要知识点
1、条件概率、乘法公式
2、事件的独立性
3、全概率公式、贝叶斯公式第一章 主要知识点
1、事件的关系运算
2、概率的运算
3、事件的独立性
4、条件概率
5、全概率公式及贝叶斯公式一、选择题
1 A B,
,( )
、设 与 是任意两个概率不为零的不相容的事件则下列结论中肯定不正确的是
A ) A B ( B ) A B
( C ) P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) ( D ) P ( A - B ) = P ( A )
（ 与 不相容 与 相容
2
、以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，
则其对立事件A 为（ ）
A 甲种产品滞销,乙种产品畅销
B 甲乙两种产品均畅销
C 甲种产品畅销
D 甲重产品滞销或乙种产品畅销
3、对于任意两个事件 A,B，有 P（ A - B）＝（ ）
) ( ) ( )C P A P B?（ ) ( ) ( ) ( )D P A P B P A B（
) ( ) ( )B P A P A B?（
A ( ) ( ) ( )P A P B P A B（）
4、设事件 A,B满足 P（ B｜ A)=1 则 （ ）
（ A） A是必然事件 （ B） P（ B｜ A)＝ 0
（ C） AB? ( ) D A B?
5,P ( A B ) = 0、若 则（ ）
A ) A B（ 与 不相容 B A B（ ） 和 独立
C P ( A ) = 0 P ( B ) = 0（ ） 或 ( ( ) ( )D P A B P A
6 ( ) 0,8 ( ) 0,7 ( | ) 0,8 P A P B P A B、由 则（ ）
( ) A A B与 相互独立
（B ) A 与B 互斥
C ) B A?（ ( ) ( ) ( ) ( )D P A B P A P B
二、填空或计算题
1,袋中有 10个球，其中 6个红球,4个白球，从中任取 3个，则至少有 2个红球的概率是 ___________ 。
[解 ] 记 Hi＝ {3个球中有 i个红球 }（ i=1,2,3,4 ），则所求概率为,
2 3 2 3 2 3p P H H P H P H P H H
2 1 3
6 4 6
33
1 0 1 0
1 1 20
2 6 3
C C C
CC
2.已知 )()(,5.0)()( BAPABPBPAP 证明
)( BAP证明,)( BAP? )(1 BAP
)()()(1 ABPBPAP )( ABP?
3,0,5,0,2P A P A B,求
P A B
解：
0.3?
1P A B P A B 0.7?
)()( BAPBAP )()( ABPAP
)()()( BAPAPABP
4,)
,( | )
P ( A ) = a P ( B b P ( A U B ) C
P ( A B ) P A B
、已知,
求：
5,设三次独立试验中，事件 A出现的概率相等．若已知至少出现一次的概率等于 19/27，则事件 A在一次试验中出现的概率为 。
6,甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6和 0.5．现已知目标命中，则它是甲射中的概率为 。
B解：设A =,甲命中目标” ＝“乙命中目标”
AB?则 表示目标命中
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B P A P B P A P B
0,5 0,6 0,5 0,6 0,8
( ) 0,6 3( | )
( ) 0,8 4
PAP A A B
P A B
7,设 10件产品中有 4件不合格品，不放回抽取取两件，已知两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。
[解 ] 用 A,B分别表示取出的第 1件和第 2件为不合格品。则所求概率为
22
64
22
1 0 1 0
()
( | )
()
() 1
1
51 ( )
P A B
P A B A B
P A B
P A B AA
AAP A B
8,现有两箱同类产品，第一箱装 50件，其中有 10件一等品；
第二箱装 30件，其中有 18件一等品。现从两箱中任取一箱，
然后再从该箱中任取两次，每次取 1件，不放回，求下列事件的概率：
（ 1）第一次取到的产品是一等品；
（ 2）第二次取到的产品是一等品；
（ 3）在第一次取到一等品的条件下，第二次取到一等品；
（ 4）在第二次取到一等品的条件下，第一次取到一等品。
解,记 Ai ={第 I次取得一等品｝ (i=1,2)
B j = { j j = 1,2取到第箱｝
，，
12 12P B P B
11
10 1
50 5P A B12
18 3
30 5P A B
（ 1）由全概率公式
1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 3 0.42 5 2 5P A P B P A B P B P A B
21( ) ( ) 0,4P A P A
(2)根据抽签原理
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2( 3 ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )P A A P A A B P B P A A B P B
1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2( | ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) ( )P A B P A B A P B P A B P A B A P B
1 9 1 3 1 7 1 2 7 6
5 4 9 2 5 2 9 2 4 9 2 9
1221
1
0,1 9 4 2 0,4 8 5 6
0,4
P A AP A A
PA
1212
2
0,1 9 4 2( 4 ) 0,4 8 5 6
0,4
P A AP A A
PA
9,同一种产品由甲、乙、丙三个厂家供应，由长期经验知，
他们的正品率分别为 0.95,0.90,0.80，三家产品所占比例为 2：
3,5，将他们的产品混合在一起。（ 1）从中任取 1件，求此件产品为正品的概率；（ 2）现取 1件产品为正品，问它是甲、
乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大？
[解 ]（此题是结果是正品，造成的原因中有三家生产）
10、设箱子中共有 N个球，其中红色球 1个，求第 n次摸出红球的概率是多少？（ n<N)
解法一：乘法公式设A i ( i = 1,2,,,N ) 第i 次摸出红球
11 2 n nn A A A A?则第 次摸出红球可表示为
1
31
()
( ) ( | ) ( | ),,,( | )
1 2 n n
1 2 1 1 2 n 1 2 n
P A A A A
P A P A A P A A A P A A A A
由乘法公式得：
1 2 1 1
1 ( 1 ) 2
NN
N N N n
