二、中心极限定律一,大数定律第五章大数定律与中心极限定律大数定律与中心极限定理研究两类问题：
（ 大数定律 ）
（ 中心极限定理 ）
为相互独立的随机变量序列
（ 2） n充分大时,服从什么分布？
（ 1）
大数定理背景解释如果测量课桌的高度，为了消除偶然（随机）因素的影响，往往测量 n次或者由 n个人一起测，然后测量其平均值。这样做法的理论依据是什么？
假定测量值 x是一个随机变量，为了简单，假定每次测量的 x独立且均为正态分布，期望值就是课桌的真正高度思考题
1.随机变量很小怎样理解？
2,X
0 | <
a
Xa
如 果 与 非 常 靠 近,是 否对 任 意 的,都 有 ｜ 永 远 成 立？
,结 论 否正 确 的 说 法 是,x 的 绝 大 部 分 取 值 都 在 a 的 附 近 。
,X x x - a由 于 是 随 机 的 可 能 偶 尔 会 取 到 使
P { } 1x - a即 应 该 很 小,几 乎 为定义 1：
依概率收敛于,a
设 随机变量序列，
是一个常数； 若对任意,
有,
则称记为设 是 随 机 变 量 序 列,{} nX
若 对 任 意 实 数 有 0,
定义
1
1
li m 1,
n
kn
k
P X a
n
即
1
1 0,n P
k
k
Xan
服从大数定律。则称 }{ nX
1、大数定律若 随机变量 X1,X2…,Xn,… 相互独立，具有相同的数学期望 μ 和方差 σ 2
定理一 1.切贝谢夫大数定律（ 1866）
对于任意 ε ＞ 0,有
12
2
1
,,,
),) 1,2 )
1
N
kk
n
k
k
P
X X X
E ( X D ( X k
XX
n
X
定理一 （切比雪夫大数定理）
设随机变量 相互独立，并且具有相同的数学期望和方差,（
则序列 依概率收敛于即定理二（贝努里大数定律） （ 1713）
设 n 次贝努里试验中事件 A 发生 nA次，每次试验事件 A
发生的概率 p，则对任意 ε ＞ 0,有定律从理论上证明了当重复独立的试验次数 n 很大时，随机事件发生的频率与其概率有较大偏差的可能性很小。即证明了随机事件频率的稳定性。
由于各次试验是独立的，因此 X1,X2,X3,…,Xn,…
是相互独立的。
1,第 k次试验中 A发生
0,第 k次试验中 A不发生证明 定义随机变量
1lim?
pnnP A
n
Xk=
k = 1,2,…,n
显然 nA= X1+X1+… +Xn,且 Xk服从（ 0—1）分布由切贝谢夫大数定律（或推论）得
E(Xk) = p,D(Xk) = p(1－ p) （ k=1,2,…,n,… ）有定理三 辛钦大数定律即,对任意 ε ＞ 0，有设随机变量 X1,X2,…,Xn,… 独立同分布，期望存在。记 μ 为它们共同的数学期望，即 E(Xi) =μ,i
=1,2,…
§ 5.2 中心极限定理
2
21
2
xx t
x t d t e d t x?
)(x?
2
21
2
x
x e x?
2
221
2
x
f x e x
2 ~ (,),XN若
()abPZ
()P a X b
)()(
ab
~ 0,1XZN
11
( ) ( ) ( )
nn
kk
kk
E X E X E X n?
2
1
( ) ( )
n
k
k
D X D X n?
kX 相 互 独 立
2 ~ (,) iXN设
2 ~ (,) X N n n则
1 1 1
( ) ( ) ( )
n n n
k k k
k k k
E X E X E X?
2
11
( ) ( )
nn
kk
kk
D X D X?
iX对 于 任 意 的 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量思 考 题但 会 不 会 是 近 似 正 态 分 布？
已 得 到 证 明,一 定 条 件 下 大 量 随 机 变 量 和 分 布 近 似 于 正 态 分 布中 心 极 限 定 理 说 明 2
11
(,)
nn
kk
kk
XN
近 似这 一 类 定 理 称 为 中 心 极 限 定 理
}{lim 1 x
n
nX
P
n
i
i
n
（独立同分布下的中心极限定理）
x- 2t- dte21 2?
定理四 p147
设 X1,X2,… Xn,… 相互独立,且服从同一分布，
具有期望和方差
,,,2,12 nkXDXE kk
则x
定理四中
nXXX,,,21?,同分布,的条件不易满足则把此条件去掉，保留它们相互独立,并有有限的期望和方差。 当它们的总和 当 n 充分大时就近似服从正态分布。
( ) 1 4 9p定 理 五 李 雅 普 诺 夫 定 理
(棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理）
}
)1(
{lim x
pnp
npYP n
n
dte
x t
2
2
2
1
的分布近似正态分布nY
定理六
nY
设随机变量 服从参数为10, ppn 的二项分布则对任意的,有x
定理表明，当 n 很大,0< p <1 是一个定值时二项变量
x
n
k
kn XY
1
注：此处,,,2,1,1~ nkpBX
k
证明
pnBXY
n
k
kn,~
1
n
k
kn XY
1
出现次中不出现次中
Ak
Ak
k 1
0
,,,2,1 nknpqYDnpYE kk
}
)1(
{lim x
pnp
npYP n
n
dte
x t
2
2
2
1
x
)()(
n p q
npa
n p q
npb?
说明：
).,(~ pnBnY推论,设随机变量当 n 充分大时有：
计算方法。
knk
bka
k
nn qpCbYaP
}{
这个公式给出了 n 较大时二项分布的概率
nY
是 n 次独立重复试验中事件 A发生的次数。
此表明正态分布是二项分布的极限分布,当 n 充分大时可用此公式来计算二项分布的概率。
例 1 报童沿街向行人兜售报纸,设每位行人买报的概率为 0.2,且他们是否买报是相互独立的。求报童向 100位行人兜售之后，卖掉 15－ 30份报纸的概率。
解 设报童卖掉报纸的份数为 X,pnBX,~
416202.0100 npqnppn
3015 XP 4 20154 2030
2,5 1,2 5 0,9 9 1 8 0,1 0 5 6 0,8 8 6 2
某车间有 200台车床，它们独立地工作着，开工率为
0.6,开工时耗电各为 1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以 99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。
解,X记 某 时 在 工 作 着 的 车 床 数 为,则保证这个车间不会因供电不足而影响生产。
200
200
0
{ } ( 0,6 ) ( 0,4 )
r
k k k
k
P X r C?
6.0,2 0 0~ BX
设至少要供给这个车间 r千瓦电才能以 99.9%的概率由题意有：
)
4.06.0200
6.0200
()
4.06.0200
6.0200
(
r
例 2
,999.0)
48
120
()32.17()
48
120
(?
rr
即供给 141千瓦电就能以 99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。
141.r
120-r
所以1.3
48
查表得某单位有 200台电话分机，每台分机有 5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以 90%以上的概率保证分机用外线时不等待？
解：设有 X部分机同时使用外线，则有 ),,(~ pnBX
.08.3p)-n p ( 110,np0,0 5,p200,n其中设有 N 条外线。由题意有 9.0}{ NXP
由德莫佛 -拉普拉斯定理有
1 3,9 4,1 4,1 4NN即 取 即至少要安装 条外线。
.90.0)28.1(查表得,28.1?
3,0 8
10-N 应满足条件故 N
例 3
解,)20,,2,1(12105
2
kDVEV kk,，,由定理 1 知,
设它们是互相独立的随机变量,且都在区间 (0,10)上
)20,,2,1(kV k
.
20
1
k
kVV
P { V 1 0 5 }?
348.0)387.0(1
例 4 一加法器同时收到 20个噪声电压服从均匀分布，记 求 P(V>105)的近似值。
2
1 0 5 2 0 51 ( )
1 0 / 1 2 2 0
例 5 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的,假设每箱平均重 50千克，标准差为 5千克,若用最大载重量为 5吨的汽车装运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977.
解 设 Xi,i=1,2,…,n 是装运的第 i 箱重量 (单位,千克 ),
n 箱的总重量为
nn XXXT21
n是所求箱数,
,5)(,50)( ii XDXE
):(,5)(,50)( 千克单位nTDnTE nn
可将 Xi,i=1,2,…,n 视为独立同分布的随机变量,
),2(77.9)101 0 0 0(
n
n
故,2101 0 0 0
n
n
解得,0199.98?n 即一辆车最多可以装 98箱,
由独立同分布中心极限定理知,Tn 近似服从正态分布,)25,50( nnN
}
5
505 0 0 0
5
50{}5 0 0 0{
n
n
n
nTPTP n
n
例 6 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 3° 的概率为 p = 1/3，
若船舶遭受了 90000次波浪冲击，问其中有
29600 ~ 30500 次纵摇角大于 3° 的概率是多少？
解 假定船舶遭受波浪的各次冲击是独立的，
记 X 为 90000次冲击下纵摇角大于 3° 的次数，
故有
3
1,9 0 0 0 0 ),
3
1,9 0 0 0 0(~ pnBX
所求事件的概率为
)3050029500( XP
)1(
3 0 50 0
)1()1(
2 9 50 0
pnp
np
pnp
npX
pnp
npP
)1(
2 95 0 0
)1(
3 05 0 0
pnp
npΦ
pnp
npΦ
2
25
2
25 ΦΦ
99 5.01
2
252
Φ
课堂练习,对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长,1名家长,2名家长来参加会议的概率为 0.05,0.8,0.15,若学校共有 400
名家长，设各学生参加会议的家长数相对独立，且服从同一分布：
（ 1）求参加会议的家长数 X超过 450的概率
（ 2）求有 1名家长来参加会议的学生数不多于 340的概率。
练习 p 154 5,6,7 8,9
第五章 中心极限定理主要内容,1、独立同分布中心极限定理
2、车贝雪夫不等式
3、德莫佛－拉普拉斯中心极限定理
4、正态分布的求法
)C h e b y s h e v( 不等式或
2, DXEX 方差
,0 22 /}|{|XP
22 /1}|{|XP
定理：（切比雪夫不等式）
设随机变量 X 有数学期望对任意 不等式成立，
则称此式为 切比晓夫不等式
}{lim 1 x
n
nX
P
n
i
i
n
（独立同分布下的中心极限定理）
x- 2t- dte21 2?
定理设 X1,X2,… Xn,… 相互独立,且服从同一分布，
具有相同的期望和方差
,,,2,12 nkXDXE kk
则x
(棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理）
}
)1(
{lim x
pnp
npYP n
n
dte
x t
2
2
2
1
定理
nY
设随机变量 服从参数为10, ppn 的二项分布则对任意的,有x
x
n
k
kn XY
1
16.2 棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理
)()(
n p q
npa
n p q
npb?
).,(~ pnBnY推论,设随机变量当 n 充分大时有：
knk
bka
k
nn qpCbYaP
}{
15 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%，以 X表示在随意抽查的
100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的数。
（ 1）写出 X的概率分布；
（ 2）求被盗索赔户不少于 14户且不多于 30户的概率的近似值。
根据棣莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理
1 2 n
1
X X X
)
CC
n
pn
k
X C n
k=1
例题 设,为独立同分布的随机变量序列，服从U(0,1),证明：
（
其中 为常数，并求出 的值
n,Y ln Y ( 1 ) nn Xn解 令 独 立 同 分 布
1
0( ) ln 1nE Y x d x
1
1 n
n
p
n
k
Y
1由辛 大定理有 n1
1
11
1 e x p{ }nn n p
kn
kk
X Y e
n
所以 C=1故
1 2 3
2
1
11
X X X
1
l i m ( ) 0
0
11
l i m { | ( ) | } 1
n
k
n
k
nn
kk
n
kk
DX
n
P X E X
nn
例题 证明马尔可夫大数定理：如果随机变量序列
，,满足则对于任意 有
1 2 n
2
1
X,X X X
( 1,2,3,4 ),
i
k
n
i
E X k n
X
k
n
例题 设 是来自总体 的简单样本已知 （ ）＝ 证明：当 充分大的时候，随机变量
1
Z= 近似正态分布，并求其参数
n
22 4 2,(,( ) / )nZ N n答案
（ 大数定律 ）
（ 中心极限定理 ）
为相互独立的随机变量序列
（ 2） n充分大时,服从什么分布？
（ 1）
大数定理背景解释如果测量课桌的高度，为了消除偶然（随机）因素的影响，往往测量 n次或者由 n个人一起测，然后测量其平均值。这样做法的理论依据是什么？
假定测量值 x是一个随机变量，为了简单，假定每次测量的 x独立且均为正态分布，期望值就是课桌的真正高度思考题
1.随机变量很小怎样理解？
2,X
0 | <
a
Xa
如 果 与 非 常 靠 近,是 否对 任 意 的,都 有 ｜ 永 远 成 立？
,结 论 否正 确 的 说 法 是,x 的 绝 大 部 分 取 值 都 在 a 的 附 近 。
,X x x - a由 于 是 随 机 的 可 能 偶 尔 会 取 到 使
P { } 1x - a即 应 该 很 小,几 乎 为定义 1：
依概率收敛于,a
设 随机变量序列，
是一个常数； 若对任意,
有,
则称记为设 是 随 机 变 量 序 列,{} nX
若 对 任 意 实 数 有 0,
定义
1
1
li m 1,
n
kn
k
P X a
n
即
1
1 0,n P
k
k
Xan
服从大数定律。则称 }{ nX
1、大数定律若 随机变量 X1,X2…,Xn,… 相互独立，具有相同的数学期望 μ 和方差 σ 2
定理一 1.切贝谢夫大数定律（ 1866）
对于任意 ε ＞ 0,有
12
2
1
,,,
),) 1,2 )
1
N
kk
n
k
k
P
X X X
E ( X D ( X k
XX
n
X
定理一 （切比雪夫大数定理）
设随机变量 相互独立，并且具有相同的数学期望和方差,（
则序列 依概率收敛于即定理二（贝努里大数定律） （ 1713）
设 n 次贝努里试验中事件 A 发生 nA次，每次试验事件 A
发生的概率 p，则对任意 ε ＞ 0,有定律从理论上证明了当重复独立的试验次数 n 很大时，随机事件发生的频率与其概率有较大偏差的可能性很小。即证明了随机事件频率的稳定性。
由于各次试验是独立的，因此 X1,X2,X3,…,Xn,…
是相互独立的。
1,第 k次试验中 A发生
0,第 k次试验中 A不发生证明 定义随机变量
1lim?
pnnP A
n
Xk=
k = 1,2,…,n
显然 nA= X1+X1+… +Xn,且 Xk服从（ 0—1）分布由切贝谢夫大数定律（或推论）得
E(Xk) = p,D(Xk) = p(1－ p) （ k=1,2,…,n,… ）有定理三 辛钦大数定律即,对任意 ε ＞ 0，有设随机变量 X1,X2,…,Xn,… 独立同分布，期望存在。记 μ 为它们共同的数学期望，即 E(Xi) =μ,i
=1,2,…
§ 5.2 中心极限定理
2
21
2
xx t
x t d t e d t x?
)(x?
2
21
2
x
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2
221
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()P a X b
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k k k
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iX对 于 任 意 的 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量思 考 题但 会 不 会 是 近 似 正 态 分 布？
已 得 到 证 明,一 定 条 件 下 大 量 随 机 变 量 和 分 布 近 似 于 正 态 分 布中 心 极 限 定 理 说 明 2
11
(,)
nn
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XN
近 似这 一 类 定 理 称 为 中 心 极 限 定 理
}{lim 1 x
n
nX
P
n
i
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（独立同分布下的中心极限定理）
x- 2t- dte21 2?
定理四 p147
设 X1,X2,… Xn,… 相互独立,且服从同一分布，
具有期望和方差
,,,2,12 nkXDXE kk
则x
定理四中
nXXX,,,21?,同分布,的条件不易满足则把此条件去掉，保留它们相互独立,并有有限的期望和方差。 当它们的总和 当 n 充分大时就近似服从正态分布。
( ) 1 4 9p定 理 五 李 雅 普 诺 夫 定 理
(棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理）
}
)1(
{lim x
pnp
npYP n
n
dte
x t
2
2
2
1
的分布近似正态分布nY
定理六
nY
设随机变量 服从参数为10, ppn 的二项分布则对任意的,有x
定理表明，当 n 很大,0< p <1 是一个定值时二项变量
x
n
k
kn XY
1
注：此处,,,2,1,1~ nkpBX
k
证明
pnBXY
n
k
kn,~
1
n
k
kn XY
1
出现次中不出现次中
Ak
Ak
k 1
0
,,,2,1 nknpqYDnpYE kk
}
)1(
{lim x
pnp
npYP n
n
dte
x t
2
2
2
1
x
)()(
n p q
npa
n p q
npb?
说明：
).,(~ pnBnY推论,设随机变量当 n 充分大时有：
计算方法。
knk
bka
k
nn qpCbYaP
}{
这个公式给出了 n 较大时二项分布的概率
nY
是 n 次独立重复试验中事件 A发生的次数。
此表明正态分布是二项分布的极限分布,当 n 充分大时可用此公式来计算二项分布的概率。
例 1 报童沿街向行人兜售报纸,设每位行人买报的概率为 0.2,且他们是否买报是相互独立的。求报童向 100位行人兜售之后，卖掉 15－ 30份报纸的概率。
解 设报童卖掉报纸的份数为 X,pnBX,~
416202.0100 npqnppn
3015 XP 4 20154 2030
2,5 1,2 5 0,9 9 1 8 0,1 0 5 6 0,8 8 6 2
某车间有 200台车床，它们独立地工作着，开工率为
0.6,开工时耗电各为 1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以 99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。
解,X记 某 时 在 工 作 着 的 车 床 数 为,则保证这个车间不会因供电不足而影响生产。
200
200
0
{ } ( 0,6 ) ( 0,4 )
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k k k
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P X r C?
6.0,2 0 0~ BX
设至少要供给这个车间 r千瓦电才能以 99.9%的概率由题意有：
)
4.06.0200
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()
4.06.0200
6.0200
(
r
例 2
,999.0)
48
120
()32.17()
48
120
(?
rr
即供给 141千瓦电就能以 99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。
141.r
120-r
所以1.3
48
查表得某单位有 200台电话分机，每台分机有 5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以 90%以上的概率保证分机用外线时不等待？
解：设有 X部分机同时使用外线，则有 ),,(~ pnBX
.08.3p)-n p ( 110,np0,0 5,p200,n其中设有 N 条外线。由题意有 9.0}{ NXP
由德莫佛 -拉普拉斯定理有
1 3,9 4,1 4,1 4NN即 取 即至少要安装 条外线。
.90.0)28.1(查表得,28.1?
3,0 8
10-N 应满足条件故 N
例 3
解,)20,,2,1(12105
2
kDVEV kk,，,由定理 1 知,
设它们是互相独立的随机变量,且都在区间 (0,10)上
)20,,2,1(kV k
.
20
1
k
kVV
P { V 1 0 5 }?
348.0)387.0(1
例 4 一加法器同时收到 20个噪声电压服从均匀分布，记 求 P(V>105)的近似值。
2
1 0 5 2 0 51 ( )
1 0 / 1 2 2 0
例 5 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的,假设每箱平均重 50千克，标准差为 5千克,若用最大载重量为 5吨的汽车装运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977.
解 设 Xi,i=1,2,…,n 是装运的第 i 箱重量 (单位,千克 ),
n 箱的总重量为
nn XXXT21
n是所求箱数,
,5)(,50)( ii XDXE
):(,5)(,50)( 千克单位nTDnTE nn
可将 Xi,i=1,2,…,n 视为独立同分布的随机变量,
),2(77.9)101 0 0 0(
n
n
故,2101 0 0 0
n
n
解得,0199.98?n 即一辆车最多可以装 98箱,
由独立同分布中心极限定理知,Tn 近似服从正态分布,)25,50( nnN
}
5
505 0 0 0
5
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n
n
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nTPTP n
n
例 6 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 3° 的概率为 p = 1/3，
若船舶遭受了 90000次波浪冲击，问其中有
29600 ~ 30500 次纵摇角大于 3° 的概率是多少？
解 假定船舶遭受波浪的各次冲击是独立的，
记 X 为 90000次冲击下纵摇角大于 3° 的次数，
故有
3
1,9 0 0 0 0 ),
3
1,9 0 0 0 0(~ pnBX
所求事件的概率为
)3050029500( XP
)1(
3 0 50 0
)1()1(
2 9 50 0
pnp
np
pnp
npX
pnp
npP
)1(
2 95 0 0
)1(
3 05 0 0
pnp
npΦ
pnp
npΦ
2
25
2
25 ΦΦ
99 5.01
2
252
Φ
课堂练习,对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长,1名家长,2名家长来参加会议的概率为 0.05,0.8,0.15,若学校共有 400
名家长，设各学生参加会议的家长数相对独立，且服从同一分布：
（ 1）求参加会议的家长数 X超过 450的概率
（ 2）求有 1名家长来参加会议的学生数不多于 340的概率。
练习 p 154 5,6,7 8,9
第五章 中心极限定理主要内容,1、独立同分布中心极限定理
2、车贝雪夫不等式
3、德莫佛－拉普拉斯中心极限定理
4、正态分布的求法
)C h e b y s h e v( 不等式或
2, DXEX 方差
,0 22 /}|{|XP
22 /1}|{|XP
定理：（切比雪夫不等式）
设随机变量 X 有数学期望对任意 不等式成立，
则称此式为 切比晓夫不等式
}{lim 1 x
n
nX
P
n
i
i
n
（独立同分布下的中心极限定理）
x- 2t- dte21 2?
定理设 X1,X2,… Xn,… 相互独立,且服从同一分布，
具有相同的期望和方差
,,,2,12 nkXDXE kk
则x
(棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理）
}
)1(
{lim x
pnp
npYP n
n
dte
x t
2
2
2
1
定理
nY
设随机变量 服从参数为10, ppn 的二项分布则对任意的,有x
x
n
k
kn XY
1
16.2 棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理
)()(
n p q
npa
n p q
npb?
).,(~ pnBnY推论,设随机变量当 n 充分大时有：
knk
bka
k
nn qpCbYaP
}{
15 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%，以 X表示在随意抽查的
100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的数。
（ 1）写出 X的概率分布；
（ 2）求被盗索赔户不少于 14户且不多于 30户的概率的近似值。
根据棣莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理
1 2 n
1
X X X
)
CC
n
pn
k
X C n
k=1
例题 设,为独立同分布的随机变量序列，服从U(0,1),证明：
（
其中 为常数，并求出 的值
n,Y ln Y ( 1 ) nn Xn解 令 独 立 同 分 布
1
0( ) ln 1nE Y x d x
1
1 n
n
p
n
k
Y
1由辛 大定理有 n1
1
11
1 e x p{ }nn n p
kn
kk
X Y e
n
所以 C=1故
1 2 3
2
1
11
X X X
1
l i m ( ) 0
0
11
l i m { | ( ) | } 1
n
k
n
k
nn
kk
n
kk
DX
n
P X E X
nn
例题 证明马尔可夫大数定理：如果随机变量序列
，,满足则对于任意 有
1 2 n
2
1
X,X X X
( 1,2,3,4 ),
i
k
n
i
E X k n
X
k
n
例题 设 是来自总体 的简单样本已知 （ ）＝ 证明：当 充分大的时候，随机变量
1
Z= 近似正态分布，并求其参数
n
22 4 2,(,( ) / )nZ N n答案
