分布函数,密度函数典型例题
1 例题
X b p Y b p P X
~ ( 2,),~ ( 3,),1 5 / 9设随机变量 若则P { Y 1 } =
例题 2
假设一厂家生产的每台仪器,以概率 0.7可以直接出厂,以概率
0.3需要进一步调试,经过调试后以概率 0.8可以出厂,以概率 0.2
定为不合格产品不能出厂,现该厂生产了 n台 (n≥2)仪器 (假设各台仪器的生产过程相互独立 ),求,
(1)全部出厂的概率 α
(2)其中恰好有两台不能出厂的概率 β
(3)至少有两台不能出厂的概率?
例题 3
12
12
,
( ) ( ) ( )
12F ( x ) F ( x ) X X,
F x a F x b F x,
设 与 分别为随机变量 的分布函数为使是某一随机变量的分布函数在下列给定的各组数值中应取
( A ) a = 3 / 5 b = - 2 / 5 ( B ) a = 2 / 3,b = 2 / 3
( C ) a = - 1 / 2 b = 3 / 2 ( d ) a = 1 / 2,b = - 3 / 2
例题 4
12,
1 2 1 2
X X,
f ( x ),f ( x ),F ( x ),F ( x ),( )
设 是任意两个相互独立的连续性随机变量他们的概率密度函数分别为 分布函数分别为 则
( 1 ) f x f x
( 2 ) f x f x
( 3 ) F x F x
( 4 ) F x F x
12
12
12
12
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
必为某一随机变量的概率密度必为某一随机变量的概率密度必为某一随机变量的分布函数必为某一随机变量的分布函数例题 5
2
2
12
X,Y,X ~ N (,4 )
Y ~ N (,5 ),p = P ( X - 4 ),p = P ( Y + 5 ),( )
设随机变量 均服从正态分布记则
12
12
12
12
( 1 ),p p
( 2 ),p p
( 3 ),p p
( 4 ),p > p
对于任意实数 都有对于任意实数 都有只对 的个别值才有对于任意实数 都有
X f ( x ),f ( x ) = f ( - x ),
F ( x ) X,a,( )
设随机变量 的密度函数为 且是 的分布函数则对于任意实数 有
a
0
a
0
( 1 ) F ( - a ) = 1 - f ( x ) d x
( 2 ) F ( - a ) = 1 /2 - f ( x ) d x
( 3 ) F ( - a ) = F ( a )
( 4 ) F ( - a ) = 2 F ( a ) - 1
例题 6
X,Y = M in ( X,2 )
( )
( 1) ( 2)
( 2) ( 4)
设随机变量 服从指数分布则随机变量的分布函数是连续函数 至少有两个间断点是阶梯函数 恰好有一个间断点例题 7
X
/ x
f ( x ) / x
13
29
0
[ 0,1 ]
[ 3,6 ]
设随机变量 的概率密度函数为若若其他
k P ( X k ) = 2 / 3,k 如 使得 则 的取值范围是?
例题 8
例题 9
x
X
e x
f ( x )
x
Y=
0
00
x
设随机变量 的概率密度函数求随机变量 e 的概率密度
例题 10
X 2,
Y = 1 - 0 1-2x
假设随机变量 服从参数为 的指数分布证明
e 在区间（,）上服从均匀分布例题 11
,,
,
,,,
T.
假设一电路装有三个同种电器元件 其工作状态相互独立且无故障工作时间都服从参数为 的指数分布当三个元件都无故障时电路正常工作否则整个电路不能正常工作式求电路正常工作时间 的概率分布例题 12
2X N ( 2,),P ( 2 < X < 4 ) = 0,3,:
P ( X < 0 ) =?
设 且 求
yX
2
2
X N (,),
y 4 0
=?
设随机变量 服从正态分布二次方程 无实根的概率为1 / 2,则例题 13
k
1 2 3
,
0,2,0,3 0,5,( 0,1 ],
H,H,H 0,,,X
1 2 3
例题分析1 4
向直线上掷随机点 已知随机点落入区间
H = ( -,0 ],H = ( 0,1 ],H = ( 1,+ ) 的概率分别为和 且随机点在 上是均匀的设随机点落入区间 分别得,1 分 以X 记得分 求 的分布函数 k()是落点坐标
1 例题
X b p Y b p P X
~ ( 2,),~ ( 3,),1 5 / 9设随机变量 若则P { Y 1 } =
例题 2
假设一厂家生产的每台仪器,以概率 0.7可以直接出厂,以概率
0.3需要进一步调试,经过调试后以概率 0.8可以出厂,以概率 0.2
定为不合格产品不能出厂,现该厂生产了 n台 (n≥2)仪器 (假设各台仪器的生产过程相互独立 ),求,
(1)全部出厂的概率 α
(2)其中恰好有两台不能出厂的概率 β
(3)至少有两台不能出厂的概率?
例题 3
12
12
,
( ) ( ) ( )
12F ( x ) F ( x ) X X,
F x a F x b F x,
设 与 分别为随机变量 的分布函数为使是某一随机变量的分布函数在下列给定的各组数值中应取
( A ) a = 3 / 5 b = - 2 / 5 ( B ) a = 2 / 3,b = 2 / 3
( C ) a = - 1 / 2 b = 3 / 2 ( d ) a = 1 / 2,b = - 3 / 2
例题 4
12,
1 2 1 2
X X,
f ( x ),f ( x ),F ( x ),F ( x ),( )
设 是任意两个相互独立的连续性随机变量他们的概率密度函数分别为 分布函数分别为 则
( 1 ) f x f x
( 2 ) f x f x
( 3 ) F x F x
( 4 ) F x F x
12
12
12
12
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
必为某一随机变量的概率密度必为某一随机变量的概率密度必为某一随机变量的分布函数必为某一随机变量的分布函数例题 5
2
2
12
X,Y,X ~ N (,4 )
Y ~ N (,5 ),p = P ( X - 4 ),p = P ( Y + 5 ),( )
设随机变量 均服从正态分布记则
12
12
12
12
( 1 ),p p
( 2 ),p p
( 3 ),p p
( 4 ),p > p
对于任意实数 都有对于任意实数 都有只对 的个别值才有对于任意实数 都有
X f ( x ),f ( x ) = f ( - x ),
F ( x ) X,a,( )
设随机变量 的密度函数为 且是 的分布函数则对于任意实数 有
a
0
a
0
( 1 ) F ( - a ) = 1 - f ( x ) d x
( 2 ) F ( - a ) = 1 /2 - f ( x ) d x
( 3 ) F ( - a ) = F ( a )
( 4 ) F ( - a ) = 2 F ( a ) - 1
例题 6
X,Y = M in ( X,2 )
( )
( 1) ( 2)
( 2) ( 4)
设随机变量 服从指数分布则随机变量的分布函数是连续函数 至少有两个间断点是阶梯函数 恰好有一个间断点例题 7
X
/ x
f ( x ) / x
13
29
0
[ 0,1 ]
[ 3,6 ]
设随机变量 的概率密度函数为若若其他
k P ( X k ) = 2 / 3,k 如 使得 则 的取值范围是?
例题 8
例题 9
x
X
e x
f ( x )
x
Y=
0
00
x
设随机变量 的概率密度函数求随机变量 e 的概率密度
例题 10
X 2,
Y = 1 - 0 1-2x
假设随机变量 服从参数为 的指数分布证明
e 在区间（,）上服从均匀分布例题 11
,,
,
,,,
T.
假设一电路装有三个同种电器元件 其工作状态相互独立且无故障工作时间都服从参数为 的指数分布当三个元件都无故障时电路正常工作否则整个电路不能正常工作式求电路正常工作时间 的概率分布例题 12
2X N ( 2,),P ( 2 < X < 4 ) = 0,3,:
P ( X < 0 ) =?
设 且 求
yX
2
2
X N (,),
y 4 0
=?
设随机变量 服从正态分布二次方程 无实根的概率为1 / 2,则例题 13
k
1 2 3
,
0,2,0,3 0,5,( 0,1 ],
H,H,H 0,,,X
1 2 3
例题分析1 4
向直线上掷随机点 已知随机点落入区间
H = ( -,0 ],H = ( 0,1 ],H = ( 1,+ ) 的概率分别为和 且随机点在 上是均匀的设随机点落入区间 分别得,1 分 以X 记得分 求 的分布函数 k()是落点坐标
