四、随机变量函数的数学期望一,数学期望的概念第一节随机变量的数学期望五、数学期望的性质二、离散型数学期望三,连续性数学期望关于数字特征的概述分布函数和密度函数是对随机变量的精密刻画,在对具体问题的研究中中，求出随机变量的具体分布函数或密度函数有时，也没有必要。
看一下大家普遍关注的问题,就是大学生初次就业的起薪起薪可以看作是一个随机变量，要明确的写出来他的分布函数是一件不可能的事情 实际上，我们更关注平均数以及高低差额问题平均数和高低差用 一个数字 在某种意义上对随机变量
(起薪 )进行了刻画 我们称之为随机变量的 数字特征是一件相当困难的事情，
若统计 100天,
车工小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量,
27.11 0 02131 0 01721 0 03011 0 0320
可以得到这 100天中每天的平均废品数为引例 某车间对工人的生产情况进行考察。
现在考虑 X 的平均值X 的取值为 0,1,2,3。
)33()22()11()00(100 1
1 离散型随机变量的数学期望
n
n
n
n
n
n
n
n 3210 3210
可以得到 n 天中平均每天的废品数为一般来说,若统计 n天,
由频率和概率的关系用概率代替频率，得平均值为
N取得非常大时,频率趋向于概率这是一个以概率作为权重，对各个可能取值进行的加权平均一般在概率论里把这种加权平均称为数学期望。
1k
kk pxEX
1
||
k
kk px若级数 绝对收敛 。
设离散型随机变量 X 的分布律为
),3,2,1(,}{ kpxXP kk
简称期望或均值，记为 EX,或 E(X)
则称此级数的和为 X 的数学期望。
即定义某人的一串钥匙上有 n 把钥匙,其中只有一把能打开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门,若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试开次数的数学期望,
解,设试开次数为 X,
n
k n
kEX
1
1
2
)1(1 nn
n
2
1于是例 1
,,,2,11 nknkXP
甲,乙 两 人 射 击,他 们 的 射 击 水 平 由 下 表 给 出,
X,甲 击 中 的 环 数 ； Y,乙 击 中 的 环 数 ；
试 问 哪 一 个 人 的 射 击 水 平 较 高？
6.03.01.0
1098
kp
X
8 9 1 0
0,2 0,5 0,3k
Y
p
解,甲,乙 的 平 均 环 数 可 写 为
5.96.0103.091.08EX
1.93.0105.092.08EY
因 此,从 平 均 环 数 上 看,甲 的 射 击 水 平 要 比 乙 的 好,
例 2
（ 0,1）分布的数学期望设 X~(0,1) 求 E(X)
常 用 级 数 求 和 公 式 技 巧
23
1,= 1 + 2 ! 3 !x xxex
0
=
!
k
k
x
k
1
n = 1
2,nnn a x
n = 1
()nnax
泊松分布的数学期望已知 X服从泊松分布,求数学期望
,.2
,
某 射 手 对 同 一 目 标 进 行 射 击 直 到 命 中 为 止设 每 次 射 击 的 命 中 率 为 p 求 该 射 手 射 击 次例 题数 的 数 学 期 望
,X解 以 记 录 设 计 次 数
11( ) ( 1 ) kkp X k p p p q
11
11
() kk
KK
E X kpq p kq
1
()k
K
pq
1()1p q
2
1
( 1 )
p
qp
期望值在决策中有着广泛的应用假如，有一家个体户，有资金一笔，如经营西瓜
，风险大但利润高 (成功的概率为 0.7，获利 2000
元 )； 如经营工艺品，风险小但获利少 (95％会赚，但利润为 1000元 )．究竟该如何决策？
所以权衡下来，情愿,搏一记,,去经营西瓜，因它的期望值高．
计算期望值：
若经营西瓜，期望值 E1=0.7× 2000=1400元．
而经营工艺品期望值 E2＝ 0.95× 1000＝ 950元．
再如,考试中经常碰到选择题，选对 3分，错了扣一分没有任何线索的情况下，能不能碰碰运气计算得分的期望值蒙对答案的概率 0.25
3 0,2 5 + ( - 1 ) 0,7 5 = 0得 分 的 期 望 值此种情况下，蒙不蒙效果都一样但 是,如 果 肯 定 可 以 排 除 一 个,效 果 就 不 一 样 了
,,1 0 0,
.,.
再 看 一 个 例 子 假 如 甲 乙 二 人 赌 博 胜 者 获 得 元规 则 为 三 局 两 胜 制 现 假 定 甲 先 赢 一 局 此 刻 停 住赌 资 如 何 分 配 假 设 二 人 每 局 获 胜 的 概 率 相 同
,分 析 平 分 或 者 全 部 给 甲 均 不 合 理
0.7 5,0.2 5甲 获 胜 的 概 率 乙 获 胜 的 概 率
75,25因 此 按 照 甲 乙 分 配 比 较 合 理甲获得 100 0
概率 0.75 0.25
7 5 = 1 0 0 0,7 5 + 0 0,2 5于 是 正 是 甲 期 望 得 到 的
,,
,
期 望 值 正 来 源 于 赌 博 虽 然 字 面 含 义 不 清 但 也 成 为 了习 惯 名 称 相 对 而 言 均 值 更 直 观关于期望值的理解,
1、随机现象大量次试验的平均值
2、期望值的计算公式为各种可能取值的加权平均
dxxfxEX )(
设连续型随机变量 X 的概率密度为
()x f x d x
则称 为 X 的数学期望。()x f x d x
定义如果
.xf
绝对收敛，
简称期望或均值，记为 E (X).
即
2,连续型随机变量的数学期望
X设 随 机 变 量 的 密 度 函 数 为由于 x f x dx
xxxf 21 11?
2
1
1
x dx
x?
2
0
2
1
x dx
x?
2
0
1 ln 1 x
x f x d x
这 表 明 积 分 不 绝 对 收 敛,
例 3
指数分布的数学期望 已知某电子元件的寿命 X服从参数为
002.0 的指数分布 (单位：小时）。
求这类电子元件的平均寿命 E(X)。
解,0( )
0,0
xex
fx
x
0
( ) E X x f x d x 0 xx e d x 1
0 0 2.0 500 EX 小时。
均匀分布的数学期望设 X~u(a,b) 求 E(x)
正态分布的数学期望问题的提出：
那么应该如何计算呢？
设已知随机变量 X 的分布,我们需要计算的不是 X
的期望,而是 X 的某个函数 g(X)的期望,
3 随机变量函数的数学期望引例分析 X
P
X2
0 1 2 3
0.4 0.3 0.2 0.1
0 1 4 9
一般情况
x
g(x)
p
x1 x2 x3 x4
g(x1) g(x2) g(x3) g(x4)
P1 p2 p3 p4
对于连续型随机变量定理,p115
1
( ),
( ) [ ( ) ]
( ) ( ),
kk
k
g x p X
E Y E g X
g x f x d x X
离 散 型连 续 型若 ),( YX 是二维随机变量,),( yxg 是二元连续函数,
(1),若 ),( YX 的分布律为 ijji PyYxXP },{,
( 2 ),若 ),( YX 的概率密度为 ),( yxf,
则 Z =
(,) (,)g x y f x y d x d y
。
定理 ),( yxgZ?
且?
1,
),(
ji
ijji Pyxg 绝对收敛；则 EZ=?
1,
),(
ji
ijji Pyxg 。
且 (,) (,)g x y f x y d x d y
绝对收敛,
例 11 甲、乙二人分别看管两台机床,在一个月内发生故障次数分别记为 X1,X2。 已知故障次数的分布律为,
1.02.03.04.0
32101
kP
X 2 0 1 2 3
0,2 0,5 0,2 0,1k
X
P
若奖金函数为（单位元）
050
01 2
X
XXY
求甲、乙二人在一月内获该项奖金额的数学期望。
解 直接用公式
1
1
kk
k
E Y g x p?
5 0 0,2 0 0,5 3 0,2 8 0,1 8,6
5 0 0,4 0 0,3 3 0,2 8 0,1 1 8,6
2
1
kk
k
E Y g x p?
x
y 0 1 2
0
1
0.1 0.25 0.15
0.15 0.2 0.15
例题 6
=0.25
xy 0 1 2
0
1
0.1 0.25 0.15
0.15 0.2 0.15
例题 7
设 X 服从 N (0,1) 分布，求 E (X2),E (X3),E (X4)
2
21( )
2
x
f x e
22
2 2( )
2
xx
E X e d x
2
2
2
xx
de
2
21
2
x
e d x
1?
例 5
解：
23
3 2( )
2
xx
E X e d x
0?
24
4 2( )
2
xx
E X e d x
23
2
2
xx
de
3?
x
已知 的概率密度),( YX
( ),( ),( ) E X E Y E X Y
( ) EX?
2( )
7EY?
( ) E X Y?
,0 1,0 1(,)
0,
x y x yf x y
o th e r
(,) x f x y d x d y 1100 2( ) 7x x y d x d y解：
11
00 ( ) x y x y d x d y
3
1?
(,) x y f x y d x d y
( ) ( ) E X E Y?
例 8
求
E X =
00
11
1
(,) 2
3x
x f x y d x d y d x x d y
E( - 3 X + 2 Y ) = 31)23(2
0
1
0
1
x
dyyxdx
其它；,0
),(,2),( Ayxyxf解：
求 EX,E(-3X+2Y),E(XY)。
例 9 设 (X,Y)在区域 A上服从均匀分布，
其中 A为 x轴,y轴和直线 x+y+1=0所围成的区域。
0 x
y
01 yx
0011 1( ),2 12xE X Y x y f x y d x d y x d x y d y
一般来说，,何时相等？
看下面数学期望性质
)()()( YEXEXYE?
1,设 C 是常数，则 E(C )=C;
4,设 X,Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y );
2,若 k是常数，则 E(k X )=k E(X );
3,E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);
n
i
i
n
i
i XEXE
11
)(][:推广
11
,[ ] ( )
nn
ii
ii
E X E X
推 广 （诸 Xi独立时）
注意,由 E(XY )=E(X )E(Y )不一定能推出 X,Y独立
4 数学期望的性质
3,E( X +Y )=E(X )+E(Y );
证明,设
( ) ( ) (,) E X Y x y f x y d x d y
(,) xf x y dxd y
(,) y f x y dx dy
[ (,) ] x f x y d y d x
[ (,) ] y f x y d x d y
( ) Xxf x dx
( ) Yy f y dy
( ) ( ) E X E Y
,~,X Y f x y
E( X + Y ) = E( X ) + E( Y )对 于 的 另 一 证 明
Z = X + Y ( ) (,)z f z f x z x d x证 明
( ) ( (,) )E X Y z f x z x d x d z
z x y令
( ) ( (,) )y x f x y d x d y
(,) (,)y f x y d x d y x f x y d x d y
( ) ( (,) )yy f y d y x f x y d y d x
( ) ( )YXy f y d y x f x d x( ) ( )E X E Y
4,若 X 与 Y 独立，则 E(X Y )=E(X )E(Y ).
证明,设
( ) (,) E XY x y f x y d x d y
( ) ( ) XYx y f x f y d x d y
( ) ( ) XYx f x d x y f y d y
( ) ( ) E X E Y?
,~,X Y f x y
例 10 求二项分布的数学期望 若数学期望性质的应用
~,X B n p
解：设则 X = X1+X2+…+ Xn
1
0i
iX
i
如 第 次 试 验 成 功如 第 次 试 验 失 败因为所以
E(Xi)= )1(01 pp = p
1
N
i
i
E X E X n p
1 iP X p0 1 iP X p
.,,2,1 ni
20)10/9(}0{iXP,20)10/9(1}1{iXP,10,,1i,
20)10/9(1iEX,10,,1i,
)(7 8 4.8])10/9(1[10 20 次EX 。
例 12 一民航送客载有 20位旅客自机场开出，旅客有 10个车站可以下车，
就不停车。 以 X表示停车的次数。 求 EX（设每个旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立）。
如到达一个车站没有旅客下车
12 nX X X X
:,iXi解 设 为 第 个 车 站 下 车 的 人 数
0,
1,i
iX
i
第 站 没 人 下 车第 站 有 人 下 车例题 14,在 长 度 为 h 的 线 段 上 任 取 两 点 试 求 这 两 点 间 距 离的 数 学 期 望
[ 0,],,
,
h h X,Y
XY
将 线 段 放 在 数 轴 区 间 上 设 任 取 两 点 的 坐 标 为则 相 互 独 立
2
1
0,0
(,)
0
x h y h
f x y h
其 他解
( | | ) | | (,)E X Y x y f x y d x d y
200
1||hh x y d x d y
h
D1
D2
2
12
1 ( ) ( )
DD
x y d x d y y x d x d yh
2 0 0 01 ( ) ( ) 3h x h hx hx y d y d x y x d y d xh
数学期望的回顾对于离散性随机变量,),3,2,1(,}{ kpxXP
kk
1
kk
k
E X x p
对于连续形随机变量
dxxfxEX )(
1
( ),
( ) [ ( ) ]
( ) ( ),
kk
k
g x p X
E Y E g X
g x f x d x X
离 散 型连 续 型则 Z =
(,) (,)g x y f x y d x d y
。
作业 p139
9 8 10 13
数学期望的回顾对于离散性随机变量,),3,2,1(,}{ kpxXP
kk
1k
kk pxEX
期望值的实质是对随机变量可能取值的加权平均
,权数取各个可能值的概率对于连续形随机变量
dxxfxEX )(
在实际问题中常关心随机变量分散的程度（不确定性）。
一、方差的直观认识两只股票上升幅度分别用 X,Y记录
x
p
-1% 1%
1/2 1/2
y
p
-10% 10%
1/2 1/2
二者中,EX=0,EY=0 但二者的特性仍有很大区别
X相对集中于 0,y 则比较分散,不确定性更高一些
1,
1
)(
i
ii pEXx
()E X E X ＝０存在正负相消，不可行
2,|][| EXXE? 带绝对值的运算，不利于分析
3,}]{[ 2EXXE?
采用平方是为了保证一切差值不确定性 (分散程度 )的衡量都起正的作用,
方差的算术平方根 称为标准差)( XD
为 X 的方差,
设 X 是一个随机变量,若 存在，则称若 X 的取值比较分散，
若方差 D(X )=0,则 X 以概率 1取常数值,
方差刻划了随机变量的取值对于若 X 的取值比较集中，
则方差较小；
则方差较大,
二、方差的定义其数学期望的离散程度离散型 已知 X 分布律连续型 已知 X 的密度的 数学期望,
由定义知，方差是随机变量 X 的函数
kk pxXP
xf
计算方差的简便公式：
展开利用期望性质三、方差的计算公式
22()D X E X E X
2D X E X E X
22 2E X E X X E X
22( ) 2E X E X E X E X
222( ) 2E X E X E X
22()E X E X
证明设随机变量 X的概率密度为
1 1 0()
1 0 1
xxfx
xx
求 DX,
01
10
( ) ( 1 ) ( 1 ) 0 E X x x d x x x d x
01
2 2 2
10
1( ) ( 1 ) ( 1 )
6
E X x x d x x x d x
1( )
6DX
例 1：
解
22( ) D X E X E X
1,（ 0-1） 分布 参数为 P
EX
X
p p?1 p
0 1
pp 1)1(0 p?
四 常见分布的数学期望和方差
22 ][)( EXXEDX 2pp )1( pp
)(~X
0 !k
k
k
ekEX
1 !k
k
k
ek
1
1
)!1(k
k
ke
ee
3．泊松分布：
分布律参数为
1 )!1()11(k
k
k
ek
eeee 2
),(~ baUX
o t h e r
bxa
xf ab
,0
,
)(
1
EX
dxxxf )(
b
a dxab
x
2
ba
密度函数
2
baEX
4．均匀分布,参数为,,ba
)( 2XE
12
)( 2abDX
3
22 baba
dxxfx )(2
22()D X E X E X
)(~?EX
0,0
0,)( 1
x
xexf
x
0
dxxfxEX )(
]|[ 00 dtete tt?
0 1 dxxe
x
00 ttx t d edttet
0 dte t
密度函数
5．指数分布,参数为,?
0 21 dxex
x
0 22 dtet t
EX
dxxfxXE )()( 22
0 dtt t et t
x
分部 22?
2DX
例 2 已知 X 的分布律为
kp
X -1 0 1 2
6
1
3
1 ba
求,,,DXba
.61?EX
解 16
1
3
1 ba
.61261 baEX
2
1 ba
6
1 ba?
6
1?b
3
1?a
.67)( 2?XE 36416167
2
DX
例 3 已知 2 01
0
a b x xfx
o th e r
3,
5EX?
求,,,a b D X
解 1 2
01 ( ) a b x d x
1
3ab
1 3
0
3 ( )
5 a x b x d x
11
24ab
3
5
6
5
a
b
2( ),EX? 1 24
0 ( ) a x b x d x
11
25?
25
2 22( ) D X E X E X
1,设 C 是常数,则 D C =0 ;
2,若 C 是常数,则 D(CX )=C 2D(X );
3,若 X1与 X2 独立,则
13.3 方差的性质
2121 DXDXXXD
常用结论,a,b 是常数，若 X,Y 相互独立注意条件,X,Y 相互独立如果 X,Y相互独立,则
4,D(X )=0 P(X =C )=1,这里 C =E(X )?
xC
1
则 X 表示 n 重贝努里试验中的,成功,次数,
若设
次试验失败如第次试验成功如第
i
iX
i 0
1
故是 n 次试验中,成功,的次数
1
n
i
i
XX
设则
1,2,3,,.in?
( ) ( 1 )iiE X P X p2()iE X p?
22( ) ( ) [ ( ) ]i i ID X E X E X 2 ( 1 )p p p p
于是由于 X1,X2,…,Xn 相互 独立
n
i
iXDXD
1
)()( (1 )n p p
1,2,3,,.in?
例 4 二项分布的期望值和方差正态分布的方差
EX=0 xex
x
2
2
2
1
常见随机变量的方差 (P,)
分布 方差概率分布参数为 p 的
0-1分布 pXP
pXP
1)0(
)1(
p(1-p)
B(n,p) nk
ppCkXP knkkn
,,2,1,0
)1()(
np(1-p)
P(?)
,2,1,0
!
)(
k
k
e
kXP
k
分布 方差概率密度区间 (a,b)上的均匀分布
其它,0
,,
1
)(
bxa
abxf
12
)( 2ab?
E(θ)
11
,0,()
0,
x
exfx?
其它2?
N(?,? 2)
2
2
2
)(
2
1)(
x
exf 2?
例 6 设随机变量
nXX,...,1 相互独立，且均服从
),( 2N 分布，求随机变量?
n
i
iXnX
1
1 的数学期望答,?
n
i
iXEnXE
1
)(1)( nn1
例 7 已知
21
41
2
x
f x e x
求,,DXEX
解
2
2
1
221
22
x
f x e
12
1EX?
2 2,DX
22( 3 )?E X Y
证明：对任意常数 C,D (X )? E(X – C)2,
当且仅当 C = E(X )时等号成立例题
22 ))(())(( XECXEXECXE证明：
22 ))(())(( XECXEXE
当 C = E(X )时，显然等号成立；
当 C? E(X )时,0))(( 2 XEC
)(2 XDCXE
2))(()( XECXD
例 在 [0,1] 中随机地取两个数 X,Y,
求 D (min{ X,Y })
解
其它,0
10,10,1
),(
yx
yxf
1
1
0
10
10
},m in {
y
x
d x d yyx
.3/1?
dydxydxdyx
yx
1
0
11
0
1
}),( m in { YXE
dydxydxdyx
YXE
yx
1
0
1 21
0
1 2
2 }),{( m in
.6/1?
},m in {},{m in
}),( m in {
22 YXEYXE
YXD
.18/1?
方差对随机变量取值的影响分析以前讲过,方差越大,数据越分散,方差越小,数据越集中在数学期望附近,
问题,集中到何种程度,能不能定量表示?
,X
数 据 的 集 中 程 度 直 观 看 可 以 用 随 机 质 点 落 在附 近 的 多 少 来 表 示
P { |x - | }或 来 反 映
P { | x - | < } =而 落 在 附 近 的 多 少 可 以 用 来 表 示
( )?
或
2,E X D X方 差
,0 22{ | | } / PX
22{ | | } 1 / PX
定理：（切比雪夫不等式）
p139 切比雪夫不等式）
设随机变量 X 有数学期望对任意 不等式成立，
则称此式为切比晓夫不等式
22{ | | } / PX
22{ | | } 1 / PX
证明,设 X为连续性（离散型类似），其密度为.xf
2
2
||
|| ( )
x
x f x d x
22 { | | } 1 / PX于 是
{ | | }PX
2
2
|| ( ) x f x d x?
2
2
1 ( ) ( ) x f x d x?
2
2
22{ | | } / PX
22{ | | } 1 / PX
切比雪夫不等式说明 （ 1）证明切贝谢夫大数定律；
（ 2）表明 D（ X）描述了 X偏离 E（ X）的离散程度；
（ 3）给出 X的分布未知时，事件 |X-E（ X） |＜ ε 的概率的一个大致估计。
22 /}|{|XP
22 /1}|{|XP
对未知分布 X，取,2,3
22{ | | 3 } 1 / 3 PX8 0,8 9 9
22{ | | 2 } 1 / 2 PX3 0,7 5 4
不等式的其它形式例 估计 的概率解设 X 服从几何分布，概率函数为
P(X =k )=p(1-p)k-1,k = 1,2,…,n
其中 0 <p <1,求 DX,
解,记 q =1-p
1
1
k
kqpkEX
1
)'(
k
kqp )'
1( q
qp
p
1?
例 9
1
122 )(
k
kpqkXE ])1([
1
1
1
1
k
k
k
k kqqkkp
1
)(
k
kqqp +E(X)
pq
qqp 1)
1(
pqqp
1
)1(
2
3 pp
q 12
2 2
2
p
p
2
2
p
p
2
1
p? 2
1
p
p 22()D X E X E X
例 1 已知 X,Y 相互独立,且都服从
N (0,0.5),求 E( | X – Y | ).
解 )5.0,0(~),5.0,0(~ NYNX
1)(,0)( YXDYXE
故 )1,0(~ NYX?
dzezYXE
z
2
2
2
1|||)(|
2
2
2 2
0
2
dzez
z
一,协方差及其性质第三节协方差、相关系数及矩二、相关系数及其性质三,矩特征中，最重要的就是本讲要讨论的协方差和相关系数前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，
数学期望反映了随机变量在概率意义下的 平均值,
方差则反映了随机变量相对于其均值的 离散程度，
这对我们了解随机变量有一定的帮助，
YX,随机变量,
但对于二维
YX,我们除了关心 的期望和方差外，
还希望知道他们的关系,在反映分量之间关系的数字在讨论这个问题之前，我们先看一个例子。
在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系,
收集了 1078个父亲及其成年儿子身高的数据,画出了这里有两个变量,一个是父亲的身高,一个是成年儿子身高,为了研究二者关系,英国统计学家皮尔逊一张散点图,
从图上看出,父亲及其成年儿子身高有关系,但没有明确的函数关系,
类似的问题有：
受教育程度和收入有什么关系？
高考入学分数和大学学习成绩有什么关系？
需要给出度量两变量的相互关系的指标,
为了研究诸如此类的两变量的相互关系问题，
E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} = E（ XY） - E（ X） E（ Y)
若 X,Y相互独立，则 E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} =0
若 X,Y不相互独立，则 E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]}
不一定等于零 于是
E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}在一定程度上反映了 X与
Y的关 系,称之为 X与 Y的协方差一 协方差的定义
1、定义：若 E{[X－ E( X )][Y－ E(Y )]} 存在，称
E{[X－ E( X )][Y－ E( Y )]}
为随机变量 X,Y 的协方差,
2 ( ) ( )( ) ( ) [ ]D X E X E X E X E X X E X
2 ( ) ( )( ) ( ) [ ]D X E X E Y E Y E Y Y E Y
即 Cov ( X,Y )=E{[X－ E( X )][Y－ E( Y )]}
记做 Cov ( X,Y )
大家由此体会协方差的由来
Cov ( X,Y )=E{[X－ E( X )][Y－ E( Y )]}
(1),D(X)= cov(X,X )；
(2),D(X士 Y)=D(X)+D(Y)士 2Cov(X,Y )
D(X+Y) = E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}
= D(X)+D(Y) + 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
说明
1,Cov( X,Y )＝ Cov( Y,X ) ；
2,Cov( aX,bY )＝ ab Cov( X,Y ),a,b是常数；
3,Cov( X1+X2,Y )＝ Cov( X1,Y )+Cov( X2,Y ).
二、协方差的性质问题,Cov(X,C)=?
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
证明：由协方差的定义及期望的性质，可得
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)
=E(XY)-E(X)E(Y)
即
Cov( X,Y )＝ E(XY) － E(X)E(Y)三,计算公式：
若 X1,X2,…,Xn两两独立,，上式化为
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)
n
i
n
i
ii XDXD
1 1
)()(
常用上式计算相依随机变量和的方差,
四 方差与协方差的关系思考题 Y=5X+6 D(X)=3 Cov(X,Y)=?
Cov(X,Y)=Cov(X,5X+6)
=5Cov(X,X)=15
(X,Y)在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布故 Cov(X,Y)=E (XY)－ E (X) E(Y) = E (XY）
求 Cov(X,Y),
解 因例 1
可以证明 X,Y 不独立相互独立同分布，且其方差为,令计算协方差解例 2 设随机变量但它还受 X 与 Y 本身度量单位的影响,
Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)
为了克服这一缺点，对协方差进行标准化,
)()(
)]}()][({[
)()(
),(
YDXD
YEYXEXE
YDXD
YXC o v
这就引入了相关系数,
协方差的大小在一定程度上反映了 X 和 Y 相互间的关系，
例如：
为随机变量 X 和 Y 的相关系数,
定义,设 D(X )>0,D(Y )>0,
)()(
),(
YDXD
YXC o v
XY
称在不致引起混淆时，记 为,XY
相关系数及其性质已知二维随机变量 的联合分布列为求：,
0.30 0.12 0.18
0.10 0.18 0.12
－ 1
1
-2 0 1YX
例 3
解 边缘分布律为
X Y与 的协方差为,
0.30 0.12 0.18
0.10 0.18 0.12
－ 1
1
-2 0 1YX
下面求 的方差,YX,
X Y与 的相互关系数为,
2[ ( ( ) ) ]e E Y a b X
2 2 2 2( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )E Y b E X a b E X Y a b E X a E Y
为使e 取得最小值,令
2 2 ( ) 2 ( ) 0e a b E X E Ya
22 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0e b E X E X Y a E X
b
解 得 0 C (,),()ov X Yb DX?0 ov (,)( ) ( ) ()C X Ya E Y E X DX
考虑用 X的线性函数 a+bX近似的表示 Y
00,ab将 代入得
22 00 m i n { [ ( ) ] } { [ ( ) ] }E Y a b X E Y a b X
2( 1 ) ( )XY DY
0 1 | | 1XY定理
02 | | 1,XY 的充要条件是 存在常数a,b,使
{ } 1P Y a b X
即 X 和 Y 以概率 1线性相关,
若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 X 与 Y 不相关，
(X,Y) ~ N (μ1,σ 21; μ2,σ22; ρ),则
X,Y 相互独立 ρ＝ 0,
此定理的逆定理不成立,即由 ρ XY＝ 0 不能得到 X 与 Y 相互独立,(见下面的例题 )
但是,对于二维正态分布,则有定理
XY = 0?即 有设 X 服从 (-1/2,1/2)内的均匀分布,而 Y=cos X,
因而 =0，? 即 X 和 Y 不相关,
但 Y 与 X 有严格的函数关系,即 X 和 Y 不独立,
Cov(X,Y)=0
例 4
c o v (,) c o v (,c o s X )X Y X?
( c o s ) ( ) ( c o s X )E X X E X E
1
2
1
2
c o s,1,0x x d x
0?
EX=0 E(XY)=0
Cov(X,Y)=0
X,Y 具有明显的函数关系,只是没有线性关系例题 5 X -2 -1 1 2
1
4
0 0
0 0 1/4
Y
相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关程度的数字特征,
定义 设随机变量 X,Y 的相关系数存在,
2） ρ XY＝－ 1,称 X,Y 负相关；
1） ρ XY＝ 1,称 X,Y 正相关；
3） ρ XY＝ 0,称 X,Y 不相关,
注 ρ XY＝ 0 仅说明 X,Y 之间没有线性关系，但可以有其他非线性关系,
例 7,~ ( ),~ ( ),X N Y N22设 1,3 0,4
（ 1）求 E（ Z）和 D（ Z）（ 2）求 ρXZ
解：
所以 D（ Z） =3
=0
定义 设 X 为随机变量,若 E(|X|k) < +∞,称定义 设 X 为随机变量,若 E[|X－ E(X)|k] < +∞,
四,矩
γk= E(Xk) k=1,2,3….,为 X的 k 阶原点矩,
称 μk= E{[X－ E(X)]k} k=1,2,3…..
为 X的 k 阶中心矩,
称 βk =E[|X－ E(X)|k] k=1,2,3….,为 X 的
k 阶绝对中心矩,
设 n 维随机变量 (X1,X2,…,Xn) 的协方差均存在,称矩阵 为 (X1,X2,…,Xn)
的协方差矩阵,
Cij = cov( Xi,Xj )定义其中 cov( X,Y )=E{[X－ E(X)][Y－ E(Y)]}
D(X)= cov(X,X )
3） C是非负定矩阵； 对称阵三、协方差矩阵的性质例题 10
XY
XY
4 - 3
c = X,Y
- 3 9
设 随 机 变 量,的 协 方 差 矩 阵 为求 的 相 关 系 数作业 p142
24,27,28,29,30
第四章 随机变量的数字特征主要知识点
1、几种常用概率模型的数字特征
2、期望值、方差的计算
3、协方差的计算
1,设 X 表示 10次独立重复射击中命中目标的次数,
每次击中目标的概率为 0.4，
则 =____________2()EX
~ (1 0,0,4 )Xb 2 2 2( ) ( 1 ) ( ) 1 8,4E X D X E X n p p n p
2 ~ ( )X、设
2 ( 2 4 ) 0E X X解：由
{ 0 }PX?则＝2( 2 4 ) 0E X X
2 3 4 0 1 4 （舍去）
1{ 0 } 1 { 0 } 1P X P X e
2 211
~ ( )
( ) D ( X ) = ( )
xxX f x e
EX
3,设则 ＝（ ）
2( 1 )
2 ( 1 2 )1()
2 ( 1 2 )
x
f x e
1,0
4 ~ [ 1,2] 0,0
1,0
E( X) = D( X) =
X
X U Y X
X
、设则
1
5 ~ ( 3,4 ) ~ ( ) 0,5
9
( 2 3 ) _ _ _ _ _
XYX N Y E
D X Y
、设,,
则
( ) 4 ( ) 9
( 2 3 ) ( 2 ) ( 3 ) 2 ( 2,3 )
4 ( ) 9 ( ) 12 (,)
4 ( ) 9 ( ) 12 ( ) ( ) 61
XY
D X D Y
D X Y D X D Y Cov X Y
D X D Y Cov X Y
D X D Y D X D Y?
解：
44 E ( sin x )
6,若X 服从区间（－,）上的均匀分布，则
16 ~ ( 1,9 ),~ ( 0,1 6 ),,
2 3 2
1
XY
XYX N Y N Z?
XY
、设
（ ）求E ( Z ),D ( Z ) ( 2 )
（ 3） 问 X与 Z是否相互独立？ 为什么？
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 2 3
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 2 (,)
3 2 9 4 3 2
1 1 1 1 1
9 16 ( ) ( ) 1 4 ( ) 3 4 3
9 4 3 3 2
11
(,) (,) (,)
32
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 9 ( ) 12 0
3 2 3 2 2
xy
XY
XY
E Z E E X E Y
XY
D Z D D X D Y Cov X Y
D X D Y
Cov X Z Cov X X Cov X Y
D X D X D Y
解：
0XZ
7,假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，
机器发生故障时全天停止工作。若一周 5个工作日里无故障，可获利 10万元；发生一次故障仍可获利
5万元；发生二次故障所获利 0元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2万元，求一周内期望利润是多少？
8、某人用把钥匙逐个试着开门，只有一把能打开,X
为打开门的试开次数。分别就下面两种情况求 EX,DX。
（ 1）不放回；（ 2）放回。
9,一辆交通车送 20名乘客到 10个站，假设每一位乘客都可能在任一站下车,并且他门下车与否相对独立。又知交通车只在有人下车时才停车。求该交通车停车次数的数学期望。
10 设随机变量的概率密度为
23,0 2,0
(,) 16
0,
xy x y x
f x y
其它
1 ( ) E ( Y ) ( 2 ) D ( X ) D ( Y )EX求：（ ）
XY( 3 ) C O V ( X,Y )?
0 1 0 1
1 1 ~ ~ c o v (,) 1 8
1 4 3 4 1 2 1 2
X Y X Y
、设 且则X,Y 的联合分布律为
看一下大家普遍关注的问题,就是大学生初次就业的起薪起薪可以看作是一个随机变量，要明确的写出来他的分布函数是一件不可能的事情 实际上，我们更关注平均数以及高低差额问题平均数和高低差用 一个数字 在某种意义上对随机变量
(起薪 )进行了刻画 我们称之为随机变量的 数字特征是一件相当困难的事情，
若统计 100天,
车工小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量,
27.11 0 02131 0 01721 0 03011 0 0320
可以得到这 100天中每天的平均废品数为引例 某车间对工人的生产情况进行考察。
现在考虑 X 的平均值X 的取值为 0,1,2,3。
)33()22()11()00(100 1
1 离散型随机变量的数学期望
n
n
n
n
n
n
n
n 3210 3210
可以得到 n 天中平均每天的废品数为一般来说,若统计 n天,
由频率和概率的关系用概率代替频率，得平均值为
N取得非常大时,频率趋向于概率这是一个以概率作为权重，对各个可能取值进行的加权平均一般在概率论里把这种加权平均称为数学期望。
1k
kk pxEX
1
||
k
kk px若级数 绝对收敛 。
设离散型随机变量 X 的分布律为
),3,2,1(,}{ kpxXP kk
简称期望或均值，记为 EX,或 E(X)
则称此级数的和为 X 的数学期望。
即定义某人的一串钥匙上有 n 把钥匙,其中只有一把能打开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门,若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试开次数的数学期望,
解,设试开次数为 X,
n
k n
kEX
1
1
2
)1(1 nn
n
2
1于是例 1
,,,2,11 nknkXP
甲,乙 两 人 射 击,他 们 的 射 击 水 平 由 下 表 给 出,
X,甲 击 中 的 环 数 ； Y,乙 击 中 的 环 数 ；
试 问 哪 一 个 人 的 射 击 水 平 较 高？
6.03.01.0
1098
kp
X
8 9 1 0
0,2 0,5 0,3k
Y
p
解,甲,乙 的 平 均 环 数 可 写 为
5.96.0103.091.08EX
1.93.0105.092.08EY
因 此,从 平 均 环 数 上 看,甲 的 射 击 水 平 要 比 乙 的 好,
例 2
（ 0,1）分布的数学期望设 X~(0,1) 求 E(X)
常 用 级 数 求 和 公 式 技 巧
23
1,= 1 + 2 ! 3 !x xxex
0
=
!
k
k
x
k
1
n = 1
2,nnn a x
n = 1
()nnax
泊松分布的数学期望已知 X服从泊松分布,求数学期望
,.2
,
某 射 手 对 同 一 目 标 进 行 射 击 直 到 命 中 为 止设 每 次 射 击 的 命 中 率 为 p 求 该 射 手 射 击 次例 题数 的 数 学 期 望
,X解 以 记 录 设 计 次 数
11( ) ( 1 ) kkp X k p p p q
11
11
() kk
KK
E X kpq p kq
1
()k
K
pq
1()1p q
2
1
( 1 )
p
qp
期望值在决策中有着广泛的应用假如，有一家个体户，有资金一笔，如经营西瓜
，风险大但利润高 (成功的概率为 0.7，获利 2000
元 )； 如经营工艺品，风险小但获利少 (95％会赚，但利润为 1000元 )．究竟该如何决策？
所以权衡下来，情愿,搏一记,,去经营西瓜，因它的期望值高．
计算期望值：
若经营西瓜，期望值 E1=0.7× 2000=1400元．
而经营工艺品期望值 E2＝ 0.95× 1000＝ 950元．
再如,考试中经常碰到选择题，选对 3分，错了扣一分没有任何线索的情况下，能不能碰碰运气计算得分的期望值蒙对答案的概率 0.25
3 0,2 5 + ( - 1 ) 0,7 5 = 0得 分 的 期 望 值此种情况下，蒙不蒙效果都一样但 是,如 果 肯 定 可 以 排 除 一 个,效 果 就 不 一 样 了
,,1 0 0,
.,.
再 看 一 个 例 子 假 如 甲 乙 二 人 赌 博 胜 者 获 得 元规 则 为 三 局 两 胜 制 现 假 定 甲 先 赢 一 局 此 刻 停 住赌 资 如 何 分 配 假 设 二 人 每 局 获 胜 的 概 率 相 同
,分 析 平 分 或 者 全 部 给 甲 均 不 合 理
0.7 5,0.2 5甲 获 胜 的 概 率 乙 获 胜 的 概 率
75,25因 此 按 照 甲 乙 分 配 比 较 合 理甲获得 100 0
概率 0.75 0.25
7 5 = 1 0 0 0,7 5 + 0 0,2 5于 是 正 是 甲 期 望 得 到 的
,,
,
期 望 值 正 来 源 于 赌 博 虽 然 字 面 含 义 不 清 但 也 成 为 了习 惯 名 称 相 对 而 言 均 值 更 直 观关于期望值的理解,
1、随机现象大量次试验的平均值
2、期望值的计算公式为各种可能取值的加权平均
dxxfxEX )(
设连续型随机变量 X 的概率密度为
()x f x d x
则称 为 X 的数学期望。()x f x d x
定义如果
.xf
绝对收敛，
简称期望或均值，记为 E (X).
即
2,连续型随机变量的数学期望
X设 随 机 变 量 的 密 度 函 数 为由于 x f x dx
xxxf 21 11?
2
1
1
x dx
x?
2
0
2
1
x dx
x?
2
0
1 ln 1 x
x f x d x
这 表 明 积 分 不 绝 对 收 敛,
例 3
指数分布的数学期望 已知某电子元件的寿命 X服从参数为
002.0 的指数分布 (单位：小时）。
求这类电子元件的平均寿命 E(X)。
解,0( )
0,0
xex
fx
x
0
( ) E X x f x d x 0 xx e d x 1
0 0 2.0 500 EX 小时。
均匀分布的数学期望设 X~u(a,b) 求 E(x)
正态分布的数学期望问题的提出：
那么应该如何计算呢？
设已知随机变量 X 的分布,我们需要计算的不是 X
的期望,而是 X 的某个函数 g(X)的期望,
3 随机变量函数的数学期望引例分析 X
P
X2
0 1 2 3
0.4 0.3 0.2 0.1
0 1 4 9
一般情况
x
g(x)
p
x1 x2 x3 x4
g(x1) g(x2) g(x3) g(x4)
P1 p2 p3 p4
对于连续型随机变量定理,p115
1
( ),
( ) [ ( ) ]
( ) ( ),
kk
k
g x p X
E Y E g X
g x f x d x X
离 散 型连 续 型若 ),( YX 是二维随机变量,),( yxg 是二元连续函数,
(1),若 ),( YX 的分布律为 ijji PyYxXP },{,
( 2 ),若 ),( YX 的概率密度为 ),( yxf,
则 Z =
(,) (,)g x y f x y d x d y
。
定理 ),( yxgZ?
且?
1,
),(
ji
ijji Pyxg 绝对收敛；则 EZ=?
1,
),(
ji
ijji Pyxg 。
且 (,) (,)g x y f x y d x d y
绝对收敛,
例 11 甲、乙二人分别看管两台机床,在一个月内发生故障次数分别记为 X1,X2。 已知故障次数的分布律为,
1.02.03.04.0
32101
kP
X 2 0 1 2 3
0,2 0,5 0,2 0,1k
X
P
若奖金函数为（单位元）
050
01 2
X
XXY
求甲、乙二人在一月内获该项奖金额的数学期望。
解 直接用公式
1
1
kk
k
E Y g x p?
5 0 0,2 0 0,5 3 0,2 8 0,1 8,6
5 0 0,4 0 0,3 3 0,2 8 0,1 1 8,6
2
1
kk
k
E Y g x p?
x
y 0 1 2
0
1
0.1 0.25 0.15
0.15 0.2 0.15
例题 6
=0.25
xy 0 1 2
0
1
0.1 0.25 0.15
0.15 0.2 0.15
例题 7
设 X 服从 N (0,1) 分布，求 E (X2),E (X3),E (X4)
2
21( )
2
x
f x e
22
2 2( )
2
xx
E X e d x
2
2
2
xx
de
2
21
2
x
e d x
1?
例 5
解：
23
3 2( )
2
xx
E X e d x
0?
24
4 2( )
2
xx
E X e d x
23
2
2
xx
de
3?
x
已知 的概率密度),( YX
( ),( ),( ) E X E Y E X Y
( ) EX?
2( )
7EY?
( ) E X Y?
,0 1,0 1(,)
0,
x y x yf x y
o th e r
(,) x f x y d x d y 1100 2( ) 7x x y d x d y解：
11
00 ( ) x y x y d x d y
3
1?
(,) x y f x y d x d y
( ) ( ) E X E Y?
例 8
求
E X =
00
11
1
(,) 2
3x
x f x y d x d y d x x d y
E( - 3 X + 2 Y ) = 31)23(2
0
1
0
1
x
dyyxdx
其它；,0
),(,2),( Ayxyxf解：
求 EX,E(-3X+2Y),E(XY)。
例 9 设 (X,Y)在区域 A上服从均匀分布，
其中 A为 x轴,y轴和直线 x+y+1=0所围成的区域。
0 x
y
01 yx
0011 1( ),2 12xE X Y x y f x y d x d y x d x y d y
一般来说，,何时相等？
看下面数学期望性质
)()()( YEXEXYE?
1,设 C 是常数，则 E(C )=C;
4,设 X,Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y );
2,若 k是常数，则 E(k X )=k E(X );
3,E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);
n
i
i
n
i
i XEXE
11
)(][:推广
11
,[ ] ( )
nn
ii
ii
E X E X
推 广 （诸 Xi独立时）
注意,由 E(XY )=E(X )E(Y )不一定能推出 X,Y独立
4 数学期望的性质
3,E( X +Y )=E(X )+E(Y );
证明,设
( ) ( ) (,) E X Y x y f x y d x d y
(,) xf x y dxd y
(,) y f x y dx dy
[ (,) ] x f x y d y d x
[ (,) ] y f x y d x d y
( ) Xxf x dx
( ) Yy f y dy
( ) ( ) E X E Y
,~,X Y f x y
E( X + Y ) = E( X ) + E( Y )对 于 的 另 一 证 明
Z = X + Y ( ) (,)z f z f x z x d x证 明
( ) ( (,) )E X Y z f x z x d x d z
z x y令
( ) ( (,) )y x f x y d x d y
(,) (,)y f x y d x d y x f x y d x d y
( ) ( (,) )yy f y d y x f x y d y d x
( ) ( )YXy f y d y x f x d x( ) ( )E X E Y
4,若 X 与 Y 独立，则 E(X Y )=E(X )E(Y ).
证明,设
( ) (,) E XY x y f x y d x d y
( ) ( ) XYx y f x f y d x d y
( ) ( ) XYx f x d x y f y d y
( ) ( ) E X E Y?
,~,X Y f x y
例 10 求二项分布的数学期望 若数学期望性质的应用
~,X B n p
解：设则 X = X1+X2+…+ Xn
1
0i
iX
i
如 第 次 试 验 成 功如 第 次 试 验 失 败因为所以
E(Xi)= )1(01 pp = p
1
N
i
i
E X E X n p
1 iP X p0 1 iP X p
.,,2,1 ni
20)10/9(}0{iXP,20)10/9(1}1{iXP,10,,1i,
20)10/9(1iEX,10,,1i,
)(7 8 4.8])10/9(1[10 20 次EX 。
例 12 一民航送客载有 20位旅客自机场开出，旅客有 10个车站可以下车，
就不停车。 以 X表示停车的次数。 求 EX（设每个旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立）。
如到达一个车站没有旅客下车
12 nX X X X
:,iXi解 设 为 第 个 车 站 下 车 的 人 数
0,
1,i
iX
i
第 站 没 人 下 车第 站 有 人 下 车例题 14,在 长 度 为 h 的 线 段 上 任 取 两 点 试 求 这 两 点 间 距 离的 数 学 期 望
[ 0,],,
,
h h X,Y
XY
将 线 段 放 在 数 轴 区 间 上 设 任 取 两 点 的 坐 标 为则 相 互 独 立
2
1
0,0
(,)
0
x h y h
f x y h
其 他解
( | | ) | | (,)E X Y x y f x y d x d y
200
1||hh x y d x d y
h
D1
D2
2
12
1 ( ) ( )
DD
x y d x d y y x d x d yh
2 0 0 01 ( ) ( ) 3h x h hx hx y d y d x y x d y d xh
数学期望的回顾对于离散性随机变量,),3,2,1(,}{ kpxXP
kk
1
kk
k
E X x p
对于连续形随机变量
dxxfxEX )(
1
( ),
( ) [ ( ) ]
( ) ( ),
kk
k
g x p X
E Y E g X
g x f x d x X
离 散 型连 续 型则 Z =
(,) (,)g x y f x y d x d y
。
作业 p139
9 8 10 13
数学期望的回顾对于离散性随机变量,),3,2,1(,}{ kpxXP
kk
1k
kk pxEX
期望值的实质是对随机变量可能取值的加权平均
,权数取各个可能值的概率对于连续形随机变量
dxxfxEX )(
在实际问题中常关心随机变量分散的程度（不确定性）。
一、方差的直观认识两只股票上升幅度分别用 X,Y记录
x
p
-1% 1%
1/2 1/2
y
p
-10% 10%
1/2 1/2
二者中,EX=0,EY=0 但二者的特性仍有很大区别
X相对集中于 0,y 则比较分散,不确定性更高一些
1,
1
)(
i
ii pEXx
()E X E X ＝０存在正负相消，不可行
2,|][| EXXE? 带绝对值的运算，不利于分析
3,}]{[ 2EXXE?
采用平方是为了保证一切差值不确定性 (分散程度 )的衡量都起正的作用,
方差的算术平方根 称为标准差)( XD
为 X 的方差,
设 X 是一个随机变量,若 存在，则称若 X 的取值比较分散，
若方差 D(X )=0,则 X 以概率 1取常数值,
方差刻划了随机变量的取值对于若 X 的取值比较集中，
则方差较小；
则方差较大,
二、方差的定义其数学期望的离散程度离散型 已知 X 分布律连续型 已知 X 的密度的 数学期望,
由定义知，方差是随机变量 X 的函数
kk pxXP
xf
计算方差的简便公式：
展开利用期望性质三、方差的计算公式
22()D X E X E X
2D X E X E X
22 2E X E X X E X
22( ) 2E X E X E X E X
222( ) 2E X E X E X
22()E X E X
证明设随机变量 X的概率密度为
1 1 0()
1 0 1
xxfx
xx
求 DX,
01
10
( ) ( 1 ) ( 1 ) 0 E X x x d x x x d x
01
2 2 2
10
1( ) ( 1 ) ( 1 )
6
E X x x d x x x d x
1( )
6DX
例 1：
解
22( ) D X E X E X
1,（ 0-1） 分布 参数为 P
EX
X
p p?1 p
0 1
pp 1)1(0 p?
四 常见分布的数学期望和方差
22 ][)( EXXEDX 2pp )1( pp
)(~X
0 !k
k
k
ekEX
1 !k
k
k
ek
1
1
)!1(k
k
ke
ee
3．泊松分布：
分布律参数为
1 )!1()11(k
k
k
ek
eeee 2
),(~ baUX
o t h e r
bxa
xf ab
,0
,
)(
1
EX
dxxxf )(
b
a dxab
x
2
ba
密度函数
2
baEX
4．均匀分布,参数为,,ba
)( 2XE
12
)( 2abDX
3
22 baba
dxxfx )(2
22()D X E X E X
)(~?EX
0,0
0,)( 1
x
xexf
x
0
dxxfxEX )(
]|[ 00 dtete tt?
0 1 dxxe
x
00 ttx t d edttet
0 dte t
密度函数
5．指数分布,参数为,?
0 21 dxex
x
0 22 dtet t
EX
dxxfxXE )()( 22
0 dtt t et t
x
分部 22?
2DX
例 2 已知 X 的分布律为
kp
X -1 0 1 2
6
1
3
1 ba
求,,,DXba
.61?EX
解 16
1
3
1 ba
.61261 baEX
2
1 ba
6
1 ba?
6
1?b
3
1?a
.67)( 2?XE 36416167
2
DX
例 3 已知 2 01
0
a b x xfx
o th e r
3,
5EX?
求,,,a b D X
解 1 2
01 ( ) a b x d x
1
3ab
1 3
0
3 ( )
5 a x b x d x
11
24ab
3
5
6
5
a
b
2( ),EX? 1 24
0 ( ) a x b x d x
11
25?
25
2 22( ) D X E X E X
1,设 C 是常数,则 D C =0 ;
2,若 C 是常数,则 D(CX )=C 2D(X );
3,若 X1与 X2 独立,则
13.3 方差的性质
2121 DXDXXXD
常用结论,a,b 是常数，若 X,Y 相互独立注意条件,X,Y 相互独立如果 X,Y相互独立,则
4,D(X )=0 P(X =C )=1,这里 C =E(X )?
xC
1
则 X 表示 n 重贝努里试验中的,成功,次数,
若设
次试验失败如第次试验成功如第
i
iX
i 0
1
故是 n 次试验中,成功,的次数
1
n
i
i
XX
设则
1,2,3,,.in?
( ) ( 1 )iiE X P X p2()iE X p?
22( ) ( ) [ ( ) ]i i ID X E X E X 2 ( 1 )p p p p
于是由于 X1,X2,…,Xn 相互 独立
n
i
iXDXD
1
)()( (1 )n p p
1,2,3,,.in?
例 4 二项分布的期望值和方差正态分布的方差
EX=0 xex
x
2
2
2
1
常见随机变量的方差 (P,)
分布 方差概率分布参数为 p 的
0-1分布 pXP
pXP
1)0(
)1(
p(1-p)
B(n,p) nk
ppCkXP knkkn
,,2,1,0
)1()(
np(1-p)
P(?)
,2,1,0
!
)(
k
k
e
kXP
k
分布 方差概率密度区间 (a,b)上的均匀分布
其它,0
,,
1
)(
bxa
abxf
12
)( 2ab?
E(θ)
11
,0,()
0,
x
exfx?
其它2?
N(?,? 2)
2
2
2
)(
2
1)(
x
exf 2?
例 6 设随机变量
nXX,...,1 相互独立，且均服从
),( 2N 分布，求随机变量?
n
i
iXnX
1
1 的数学期望答,?
n
i
iXEnXE
1
)(1)( nn1
例 7 已知
21
41
2
x
f x e x
求,,DXEX
解
2
2
1
221
22
x
f x e
12
1EX?
2 2,DX
22( 3 )?E X Y
证明：对任意常数 C,D (X )? E(X – C)2,
当且仅当 C = E(X )时等号成立例题
22 ))(())(( XECXEXECXE证明：
22 ))(())(( XECXEXE
当 C = E(X )时，显然等号成立；
当 C? E(X )时,0))(( 2 XEC
)(2 XDCXE
2))(()( XECXD
例 在 [0,1] 中随机地取两个数 X,Y,
求 D (min{ X,Y })
解
其它,0
10,10,1
),(
yx
yxf
1
1
0
10
10
},m in {
y
x
d x d yyx
.3/1?
dydxydxdyx
yx
1
0
11
0
1
}),( m in { YXE
dydxydxdyx
YXE
yx
1
0
1 21
0
1 2
2 }),{( m in
.6/1?
},m in {},{m in
}),( m in {
22 YXEYXE
YXD
.18/1?
方差对随机变量取值的影响分析以前讲过,方差越大,数据越分散,方差越小,数据越集中在数学期望附近,
问题,集中到何种程度,能不能定量表示?
,X
数 据 的 集 中 程 度 直 观 看 可 以 用 随 机 质 点 落 在附 近 的 多 少 来 表 示
P { |x - | }或 来 反 映
P { | x - | < } =而 落 在 附 近 的 多 少 可 以 用 来 表 示
( )?
或
2,E X D X方 差
,0 22{ | | } / PX
22{ | | } 1 / PX
定理：（切比雪夫不等式）
p139 切比雪夫不等式）
设随机变量 X 有数学期望对任意 不等式成立，
则称此式为切比晓夫不等式
22{ | | } / PX
22{ | | } 1 / PX
证明,设 X为连续性（离散型类似），其密度为.xf
2
2
||
|| ( )
x
x f x d x
22 { | | } 1 / PX于 是
{ | | }PX
2
2
|| ( ) x f x d x?
2
2
1 ( ) ( ) x f x d x?
2
2
22{ | | } / PX
22{ | | } 1 / PX
切比雪夫不等式说明 （ 1）证明切贝谢夫大数定律；
（ 2）表明 D（ X）描述了 X偏离 E（ X）的离散程度；
（ 3）给出 X的分布未知时，事件 |X-E（ X） |＜ ε 的概率的一个大致估计。
22 /}|{|XP
22 /1}|{|XP
对未知分布 X，取,2,3
22{ | | 3 } 1 / 3 PX8 0,8 9 9
22{ | | 2 } 1 / 2 PX3 0,7 5 4
不等式的其它形式例 估计 的概率解设 X 服从几何分布，概率函数为
P(X =k )=p(1-p)k-1,k = 1,2,…,n
其中 0 <p <1,求 DX,
解,记 q =1-p
1
1
k
kqpkEX
1
)'(
k
kqp )'
1( q
qp
p
1?
例 9
1
122 )(
k
kpqkXE ])1([
1
1
1
1
k
k
k
k kqqkkp
1
)(
k
kqqp +E(X)
pq
qqp 1)
1(
pqqp
1
)1(
2
3 pp
q 12
2 2
2
p
p
2
2
p
p
2
1
p? 2
1
p
p 22()D X E X E X
例 1 已知 X,Y 相互独立,且都服从
N (0,0.5),求 E( | X – Y | ).
解 )5.0,0(~),5.0,0(~ NYNX
1)(,0)( YXDYXE
故 )1,0(~ NYX?
dzezYXE
z
2
2
2
1|||)(|
2
2
2 2
0
2
dzez
z
一,协方差及其性质第三节协方差、相关系数及矩二、相关系数及其性质三,矩特征中，最重要的就是本讲要讨论的协方差和相关系数前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，
数学期望反映了随机变量在概率意义下的 平均值,
方差则反映了随机变量相对于其均值的 离散程度，
这对我们了解随机变量有一定的帮助，
YX,随机变量,
但对于二维
YX,我们除了关心 的期望和方差外，
还希望知道他们的关系,在反映分量之间关系的数字在讨论这个问题之前，我们先看一个例子。
在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系,
收集了 1078个父亲及其成年儿子身高的数据,画出了这里有两个变量,一个是父亲的身高,一个是成年儿子身高,为了研究二者关系,英国统计学家皮尔逊一张散点图,
从图上看出,父亲及其成年儿子身高有关系,但没有明确的函数关系,
类似的问题有：
受教育程度和收入有什么关系？
高考入学分数和大学学习成绩有什么关系？
需要给出度量两变量的相互关系的指标,
为了研究诸如此类的两变量的相互关系问题，
E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} = E（ XY） - E（ X） E（ Y)
若 X,Y相互独立，则 E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} =0
若 X,Y不相互独立，则 E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]}
不一定等于零 于是
E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}在一定程度上反映了 X与
Y的关 系,称之为 X与 Y的协方差一 协方差的定义
1、定义：若 E{[X－ E( X )][Y－ E(Y )]} 存在，称
E{[X－ E( X )][Y－ E( Y )]}
为随机变量 X,Y 的协方差,
2 ( ) ( )( ) ( ) [ ]D X E X E X E X E X X E X
2 ( ) ( )( ) ( ) [ ]D X E X E Y E Y E Y Y E Y
即 Cov ( X,Y )=E{[X－ E( X )][Y－ E( Y )]}
记做 Cov ( X,Y )
大家由此体会协方差的由来
Cov ( X,Y )=E{[X－ E( X )][Y－ E( Y )]}
(1),D(X)= cov(X,X )；
(2),D(X士 Y)=D(X)+D(Y)士 2Cov(X,Y )
D(X+Y) = E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}
= D(X)+D(Y) + 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
说明
1,Cov( X,Y )＝ Cov( Y,X ) ；
2,Cov( aX,bY )＝ ab Cov( X,Y ),a,b是常数；
3,Cov( X1+X2,Y )＝ Cov( X1,Y )+Cov( X2,Y ).
二、协方差的性质问题,Cov(X,C)=?
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
证明：由协方差的定义及期望的性质，可得
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)
=E(XY)-E(X)E(Y)
即
Cov( X,Y )＝ E(XY) － E(X)E(Y)三,计算公式：
若 X1,X2,…,Xn两两独立,，上式化为
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)
n
i
n
i
ii XDXD
1 1
)()(
常用上式计算相依随机变量和的方差,
四 方差与协方差的关系思考题 Y=5X+6 D(X)=3 Cov(X,Y)=?
Cov(X,Y)=Cov(X,5X+6)
=5Cov(X,X)=15
(X,Y)在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布故 Cov(X,Y)=E (XY)－ E (X) E(Y) = E (XY）
求 Cov(X,Y),
解 因例 1
可以证明 X,Y 不独立相互独立同分布，且其方差为,令计算协方差解例 2 设随机变量但它还受 X 与 Y 本身度量单位的影响,
Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)
为了克服这一缺点，对协方差进行标准化,
)()(
)]}()][({[
)()(
),(
YDXD
YEYXEXE
YDXD
YXC o v
这就引入了相关系数,
协方差的大小在一定程度上反映了 X 和 Y 相互间的关系，
例如：
为随机变量 X 和 Y 的相关系数,
定义,设 D(X )>0,D(Y )>0,
)()(
),(
YDXD
YXC o v
XY
称在不致引起混淆时，记 为,XY
相关系数及其性质已知二维随机变量 的联合分布列为求：,
0.30 0.12 0.18
0.10 0.18 0.12
－ 1
1
-2 0 1YX
例 3
解 边缘分布律为
X Y与 的协方差为,
0.30 0.12 0.18
0.10 0.18 0.12
－ 1
1
-2 0 1YX
下面求 的方差,YX,
X Y与 的相互关系数为,
2[ ( ( ) ) ]e E Y a b X
2 2 2 2( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )E Y b E X a b E X Y a b E X a E Y
为使e 取得最小值,令
2 2 ( ) 2 ( ) 0e a b E X E Ya
22 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0e b E X E X Y a E X
b
解 得 0 C (,),()ov X Yb DX?0 ov (,)( ) ( ) ()C X Ya E Y E X DX
考虑用 X的线性函数 a+bX近似的表示 Y
00,ab将 代入得
22 00 m i n { [ ( ) ] } { [ ( ) ] }E Y a b X E Y a b X
2( 1 ) ( )XY DY
0 1 | | 1XY定理
02 | | 1,XY 的充要条件是 存在常数a,b,使
{ } 1P Y a b X
即 X 和 Y 以概率 1线性相关,
若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 X 与 Y 不相关，
(X,Y) ~ N (μ1,σ 21; μ2,σ22; ρ),则
X,Y 相互独立 ρ＝ 0,
此定理的逆定理不成立,即由 ρ XY＝ 0 不能得到 X 与 Y 相互独立,(见下面的例题 )
但是,对于二维正态分布,则有定理
XY = 0?即 有设 X 服从 (-1/2,1/2)内的均匀分布,而 Y=cos X,
因而 =0，? 即 X 和 Y 不相关,
但 Y 与 X 有严格的函数关系,即 X 和 Y 不独立,
Cov(X,Y)=0
例 4
c o v (,) c o v (,c o s X )X Y X?
( c o s ) ( ) ( c o s X )E X X E X E
1
2
1
2
c o s,1,0x x d x
0?
EX=0 E(XY)=0
Cov(X,Y)=0
X,Y 具有明显的函数关系,只是没有线性关系例题 5 X -2 -1 1 2
1
4
0 0
0 0 1/4
Y
相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关程度的数字特征,
定义 设随机变量 X,Y 的相关系数存在,
2） ρ XY＝－ 1,称 X,Y 负相关；
1） ρ XY＝ 1,称 X,Y 正相关；
3） ρ XY＝ 0,称 X,Y 不相关,
注 ρ XY＝ 0 仅说明 X,Y 之间没有线性关系，但可以有其他非线性关系,
例 7,~ ( ),~ ( ),X N Y N22设 1,3 0,4
（ 1）求 E（ Z）和 D（ Z）（ 2）求 ρXZ
解：
所以 D（ Z） =3
=0
定义 设 X 为随机变量,若 E(|X|k) < +∞,称定义 设 X 为随机变量,若 E[|X－ E(X)|k] < +∞,
四,矩
γk= E(Xk) k=1,2,3….,为 X的 k 阶原点矩,
称 μk= E{[X－ E(X)]k} k=1,2,3…..
为 X的 k 阶中心矩,
称 βk =E[|X－ E(X)|k] k=1,2,3….,为 X 的
k 阶绝对中心矩,
设 n 维随机变量 (X1,X2,…,Xn) 的协方差均存在,称矩阵 为 (X1,X2,…,Xn)
的协方差矩阵,
Cij = cov( Xi,Xj )定义其中 cov( X,Y )=E{[X－ E(X)][Y－ E(Y)]}
D(X)= cov(X,X )
3） C是非负定矩阵； 对称阵三、协方差矩阵的性质例题 10
XY
XY
4 - 3
c = X,Y
- 3 9
设 随 机 变 量,的 协 方 差 矩 阵 为求 的 相 关 系 数作业 p142
24,27,28,29,30
第四章 随机变量的数字特征主要知识点
1、几种常用概率模型的数字特征
2、期望值、方差的计算
3、协方差的计算
1,设 X 表示 10次独立重复射击中命中目标的次数,
每次击中目标的概率为 0.4，
则 =____________2()EX
~ (1 0,0,4 )Xb 2 2 2( ) ( 1 ) ( ) 1 8,4E X D X E X n p p n p
2 ~ ( )X、设
2 ( 2 4 ) 0E X X解：由
{ 0 }PX?则＝2( 2 4 ) 0E X X
2 3 4 0 1 4 （舍去）
1{ 0 } 1 { 0 } 1P X P X e
2 211
~ ( )
( ) D ( X ) = ( )
xxX f x e
EX
3,设则 ＝（ ）
2( 1 )
2 ( 1 2 )1()
2 ( 1 2 )
x
f x e
1,0
4 ~ [ 1,2] 0,0
1,0
E( X) = D( X) =
X
X U Y X
X
、设则
1
5 ~ ( 3,4 ) ~ ( ) 0,5
9
( 2 3 ) _ _ _ _ _
XYX N Y E
D X Y
、设,,
则
( ) 4 ( ) 9
( 2 3 ) ( 2 ) ( 3 ) 2 ( 2,3 )
4 ( ) 9 ( ) 12 (,)
4 ( ) 9 ( ) 12 ( ) ( ) 61
XY
D X D Y
D X Y D X D Y Cov X Y
D X D Y Cov X Y
D X D Y D X D Y?
解：
44 E ( sin x )
6,若X 服从区间（－,）上的均匀分布，则
16 ~ ( 1,9 ),~ ( 0,1 6 ),,
2 3 2
1
XY
XYX N Y N Z?
XY
、设
（ ）求E ( Z ),D ( Z ) ( 2 )
（ 3） 问 X与 Z是否相互独立？ 为什么？
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 2 3
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 2 (,)
3 2 9 4 3 2
1 1 1 1 1
9 16 ( ) ( ) 1 4 ( ) 3 4 3
9 4 3 3 2
11
(,) (,) (,)
32
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 9 ( ) 12 0
3 2 3 2 2
xy
XY
XY
E Z E E X E Y
XY
D Z D D X D Y Cov X Y
D X D Y
Cov X Z Cov X X Cov X Y
D X D X D Y
解：
0XZ
7,假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，
机器发生故障时全天停止工作。若一周 5个工作日里无故障，可获利 10万元；发生一次故障仍可获利
5万元；发生二次故障所获利 0元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2万元，求一周内期望利润是多少？
8、某人用把钥匙逐个试着开门，只有一把能打开,X
为打开门的试开次数。分别就下面两种情况求 EX,DX。
（ 1）不放回；（ 2）放回。
9,一辆交通车送 20名乘客到 10个站，假设每一位乘客都可能在任一站下车,并且他门下车与否相对独立。又知交通车只在有人下车时才停车。求该交通车停车次数的数学期望。
10 设随机变量的概率密度为
23,0 2,0
(,) 16
0,
xy x y x
f x y
其它
1 ( ) E ( Y ) ( 2 ) D ( X ) D ( Y )EX求：（ ）
XY( 3 ) C O V ( X,Y )?
0 1 0 1
1 1 ~ ~ c o v (,) 1 8
1 4 3 4 1 2 1 2
X Y X Y
、设 且则X,Y 的联合分布律为
