典型例题分析
1,随 机 向 量 同 一 般 向 量 的 区 别
2,? 二 维 随 机 向 量 的 样 本 空 间 事 件 的 表 达
3.,联 合 分 布 函 数 密 度 函 数
4.,,边 缘 密 度 函 数 条 件 分 布 函 数 条 件 分 布 密 度
5,Z = Z ( X,Y ),的 分 布 函 数 密 度 函 数 的 求 法本 章 的 主 要 知 识 点 回 顾
i
1 2 1 2
1 0 1
1 ( 1 6 7 N O 1 ) X 1,2
1 /4 1 /2 1 /4
{ 0 } 1,P { X X }
i
p X X




例题 设随机变量 ～
且满足 则 ＝ ＝（ ）
A 0 B 1 / 4 ( C ) 1 / 2 ( D ) 1（ ） ； （ ）
2 ( P 1 6 7 2 )
P { X 1 } P { Y 1 } = 1 /2
例题 设两个随机变量X,Y 独立同分布，
＝－ ＝ ＝－ ）,
P(X=1)=P(Y=1)=1/2,则下列各式中成立的是（ ）
1 P ( X = Y ) = 1 /2 ( 2 ) P ( X = Y ) = 1
( 3 ) P ( X + Y = 0 ) = 1 /4 ( 4 ) P ( X Y = 1 ) = 1 /4
（ ）
2
1
3 ( 1 6 8 - 3 ) D 0,1,
D
X,Y X = 2,
y y x
x
xe
x

例题 设平面区域 由曲线 及直线所围城，二维随机变量（X,Y ) 在 上服从均匀分布，
则（ ）关于 的边缘概率密度在 处的值为
4 ( P 168 - 4) ( X,Y),
( X,Y) X,Y
,
例题 设随机向量 相互独立 下表列出了二维随机向量 的联合分布列及关于 的边缘分布列的部分数值 试将其余数值填入空白处
X
Y y
1 y2 y3
x1
x2
1/6
1/8
1/8
1.j p
1/24 1/41/12
3/4
1/2
3/8 1/4
1/3
12
12
5( 169- 5) X,X
- 1 0 1 0 1
X ~ X ~1 1 1 1 1
4 2 4 2 2




例题 已知随机变量 的概率分布
12
12
12
{ 0} 1
( 1 ) X,X
( 2 ),X X
P X X而 且求 的 联 合 分 布问 和 是 否 独 立 为 什 么
( 171- 9) X
( > 0),
,,
Y,:
( 1) n,m
.
( 2) ( X,Y ),
p

例题 设某班车起点站上客人数 服从参数为 的泊松分布 每位乘客在途中下车的概率为 且中途下车与否是相互独立的以 表示在中途下车的人数 求在发车时有 个乘客的条件下 中途有人下车的概率二维随机变量 的概率分布
( 1 7 2 - 2 ) X,Y N ( 0,1 ),
N ( 1,1 ),( )
例题 设两个相互独立的随机变量 分别服从正态分布 则
11
( 1 ) { 0} ( 2 ) { 1 }
22
11
( 3 ) { - 0} ( 4 ) { - 1 }
22
p X Y p X Y
p X Y p X Y


( 1 7 2 - 2 ) X Y,
34
P { X 0,Y 0 } = P { X 0 } = P { Y 0 } =
77
P { Ma x ( X,Y ) 0 } = ( )

例题 设 和 为两个随机变量 且则
( - 3) ( X,Y )
G= { | 0 2,0 1 }
,X,Y S
()
x,y x y
fs

例题 1 7 2 设二维随机变量 在矩形域上服从均匀分布 试求边长为 的矩形面积 的概率密度
X U ( 0,2 Y U 0 1
1U X V U,V )
2
练 习 题 设 ～ ）,～ （,）
＝ ＝ 2Y 求 （ 的 联 合 密 度 函 数
(,X,Y
(,),X Y
例题 P 1 7 5 - 7 ) 一电子仪器由两部件组成 以 分别表示部件的寿命 单位 千小时 已知 和 的联合分布函数
0,5 0,5 0,5 ( )1 0,0
(,) 0
x y x ye e e x y
F x y


其 他
( 1 ) X Y?
( 2 ) 1 0 0
问 和 是 否 相 互 独 立求 两 个 部 件 的 寿 命 都 超 过 小 时 的 概 率
Y
X,Y,
1 0 x 1
()
0
y > 0
()
0
x
y
fx
e
fy



例题( 1 7 5 - 8 ) 设随机变量 相互独立 其概率密度函数其他其他
Z = 2 X + Y求 的 概 率 密 度 函 数
X,Y,X ~ N ( 0,2 ),Y ~ N ( 0,1 )
,Z = 2 X - Y + 3
例题( 1 7 5 - 1 0 ) 设随机变量 相互独立求 的概率密度
X,Y
,X
例题( 1 7 5 - 1 1 ) 设相互独立的两个随机变量 具有同分布且 的分布列为
X
P
0 1
1/2 1/2
Z = max {,}?XY则 随 机 变 量 的 分 布 列 为
X,Y,Y Yf ( y )例题 设随机变量 相互独立 的概率密度为
,X 是 离 散 型 随 机 变 量 其 分 布 规 律 为
X
P
1 2 3
0.2 0.3 0.5
Z = X + Y求 的 概 率 密 度
( X,Y )
1 0 < 1,0 2
(,)
0
x y x
f x y


补充作业 设随机变量 的概率密度其他
||
( 1)
( 2) ( | ),( | )X Y Y Xf x y f y x
求 边 缘 概 率 密 度求 条 件 概 率 密 度( 3 ) 2
( 4) { 1 / 2 | 1 / 2 }
( 5 ) { 1 / 2 | = 1 / 2 }
Z X Y
p Y X
p Y X


的概率密度求求
P108 28