第三章 随机向量及其分布定义 设 E,Ω={ω},X1,X2,…,Xn是定义在 Ω上的 n个随机变量，称随机变量组
（ X1,X2,…,Xn）为定义在 Ω上的 n维随机向量。
e
X(e)
Y(e)
考虑最多的是二维随机向量 (X,Y)
2、火箭在空中的飞行姿态，水平位置和高度，经度（ X）
，纬度（ Y），高度（ Z）是定义在 Ω上的三个随机变量。即每一个点对应三个实数值，称向量（ X,Y,Z）为三维随机向量。
1、体检时每个人有身高和体重两个指标,分别用 X和 Y表示。
随机向量的例子二维随机向量的样本空间
(1) 二维随机向量（ X,Y）的一个可能值可以用平面上的一个点表示 D
(2)样本空间是平面上的一些离散点或者平面区域 D
一、二维随机向量（ X,Y）的联合分布函数
1,定义,设 （ X,Y）,x,y为两个任意实数，则称二元函数
F（ x,y） =P{X≤x,Y≤y }
为二维随机向量（ X,Y）的分布函数，或称 X,Y的联合分布函数。
2,几何意义,F（ x,y） 表示随机点 （ X,Y） 落在以
（ x,y） 为顶点,且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率 。
对于任意的 x1＜ x2,y1＜ y2，
P{x1＜ X≤x 2,y1＜ Y≤y 2}＝ F（ x2,y2） -F(x2,y1)
-F(x1,y2)+F(x1,y1)
3 矩形区域内的概率计算：
4,F（ x,y）的基本性质：
（ 1） F(x,y) 是 x和 y的单调不减函数 。 即对于任意固定的 y,当 x1＜ x2时,F（ x1,y） ≤F（ x2,y） ；
对于任意固定的 x,当 y1＜ y2时,F（ x,y1） ≤F( x,y2)
（ 2） 0≤F（ x,y） ≤1,F(-∞,-∞)=0,F（ +∞,+∞） =1
对任意固定的 y,F（ -∞,y） =0
对任意固定的 x,F（ x,-∞） =0
（ 3） F（ x,y） 关于 x 右连续,关于 y 也 是右连续的,即
F（ x+0,y） =F（ x,y）,F（ x,y+0） = F（ x,y）
（ 4） 对于任意的 x1＜ x2,y1＜ y2有下列不等式
F（ x2,y2） -F（ x2,y1） -F（ x1,y2） + F（ x1,y1） ≥0
,F ( -,+ ) =思 考例 1、设（ X,Y）的分布函数
(,) ( a r c t a n ) ( a r c t a n )xxF x y A B C34
求 A,B,C 的值及概率 P{X≤3,Y≤4}
解,由分布函数的性质,
(,),F 1 (,),F 0 (,),F 0得
( ) ( )22A B C 1 ( ) ( )22A B C 0
( ) ( )22A B C 0
解得 A
2
1
2B
2C
{,} ( ) ( ) ( )P X Y F2193 4 3,4 4 2 2 4 1 6
(,)xy
二,离散型随机向量的概率分布
1,定义 若随机向量 （ X,Y） 所有可能取值只有有限对或可列对,则称 （ X,Y） 为二维离散型随机向量 。
2,（ X,Y）的联合分布列若 （ X,Y） 的所有可能取值为 （ xi,yj）,
i,j =1,2,… ；且取这些值时的概率表示为
pij=P { X = xi,Y = yj },(i,j =1,2,… )，
则称这一列式子为 （ X,Y） 的联合概率分布或联合分布律 。
3,（ X,Y） 的联合分布律 pij的性质：
（ 1） pij≥ 0； i,j=1,2,… ; (2)
（ 4） (X,Y)的联合分布律可用下列形式的联合分布表表示,
（ 5）（ X,Y）的联合分布函数为：
xx yy
ij
i j
pyxF ),(
其中和式是对一切满足 xi≤x,yj≤y的 i,j来求和的。
y1 y2 … y j yj+1 …
x1 p11 p12 … p 1j p 1j+1 …
x2 p21 p22 … p 2j p 2j+1 …
：,,,,
xi pi1 pi2 … pij pij+1 …
xi+1 pi+11 pi+12 … pi+1j pi+1j+1 …
：,,,,
X Y
例题 3
设随机变量 X在 1,2,3,4四个数中等可能地取一个数，另一个随机变量 Y在 1～ X中等可能地取一个数，
试求（ X,Y）的分布律
x y 1 2 3 4
1
2
3
4
1/4 0 0 0
1/8 1/8 0 0
1/12 1/12 1/12 0
1/16 1/16 1/16 1/16
的分布列。
由乘法公式得解 可能取值分别都为 1,2,3
一袋中有四个球,上面分别标有数字 1,2,2,3
从袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球，以分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，
求例 4
同理可得
6
1
3
1
4
2
21p 6
1
3
1
4
2
22p 6
1
3
1
4
2
23p
12
1
3
1
4
1
31p 6
1
3
2
4
1
32p 00
4
1
33p
所以 的分布列为 可见三,二维连续型随机向量的概率分布
1,定义 设 （ X,Y） 的分布函数为 F（ x,y）,如果存在非负函数 f(x,y),使得对于任意实数 x,y 有则称 （ X,Y） 为二维连续型随机向量,f(x,y)为
（ X,Y） 的 （ 联合 ） 概率密度或 （ 联合 ） 分布密度 。
2,概率密度 p(x,y) 的性质
（ 1） f（ x,y） ≥0
（ 3） 若 f(x,y)在 （ x,y） 处连续则有
f(x,y) =
（ 4）点（ X,Y）落在 xoy的平面区域 D内的概率为,
例 5 已知二维连续型随机向量（ X,Y）的联合概率密度，
求 (1)K ; (2)F(x,y);(3)P{0<X<1,0<Y<1}; (4) P{X+Y ≤1}
(),0,0
(,)
0,
xyk e x y
p x y
当其 它解 （ 1） 因为
1),( d x d yyxp
所以
kekdyedxek
d x d yek
xyx
yx
2
00 0
0 0
)(
)|(
1
（ 2）当 x>0,y>0时：
()0 0 0 0 ( 1 ) ( 1 )x y x yu v u v x ye d ud v e d u e d v e e
( 1 ) ( 1 ),0,0(,)
0,
xye e x y
F x y
其 他
（ 3） 记 D = {（ x,y） | 0＜ x＜ 1,0＜ y＜ 1},则
{0 1,0 1 }P X Y
(,) xy
DD
p x y d x d y e d x d y
11 1200 ( 1 ) 0,3 9 9 6xye d x e d y e
（ 4） 记 D={（ X,Y） |X+Y ≤ 1},则有
x+y=1
例 6、设（ X,Y）的分布函数
),( yx
试求,(1)(X,Y)的分布密度 (2) P{0≤ X≤3}
解、
2( ) (,) ( ) ( )f x y xy 22
121
9 1 6
33
200
( ) { 0 3 } { 0 3,}
(,)
( ) ( )
P X P X Y
f x y d x d y
xy?
22
2
1 2 d x d y 1
9 1 6 4
四、两个重要分布
1 均匀分布
（ 1） 设平面区域 D 的面积为 A,若随机向量
（ X,Y） 的概率密度为则称随机向量 （ X,Y） 在区域 D上服从均匀分布 。
（ 2）若区域 D内任一部分区域 D1，其面积为 A1，则有
G = { (
( X,Y ) G,
( X,Y )
例题 设区域 x,y ) | 0 < x 1,0 < y x }
二维随机向量 在 上服从均匀分布试求 的分布函数
2 (,),(,)
0
x y Gf x y
解 其他
( 1 ) x 0 y 0,F ( X,Y ) = 0或时
( 2 ) 0 1,0 y,(,) ( 2 )x x F x y y x y
2( 3 ) 0 1,,(,)x y x F X Y x时
( 4 ) 1,0 1,(,) ( 2 )x y F x y y y
( 5 ) 1,1 F ( x,y ) = 1xy
的二维正态分布，记为若二维随机变量 的概率密度为其中 都是常数,且则称 服从参数为
一,二维随机向量（ X,Y）的联合分布函数：
F（ x,y） =P{X≤x,Y≤y}
y x d u d vvupyxF ),(),(
四,两个重要分布 。
二、已知 pij=P { X = xi,Y = yj 或 p（ x,y），确定常数，
分布函数，求概率
xx yy
ij
i j
pyxF ),(
三,F（ x,y）,pij,p(x,y) 的性质小 结：
一、边缘分布函数的概念二、离散型随机变量的边缘分布列三、连续型随机变量的边缘分布概率密度
§ 3.2 边 缘 分 布边缘分布函数的背景一个人有身高、体重两个指标，有时讲：大个子、小个子，胖子、瘦子等，此时有意忽视另一个指标以上说明，对于（ X,Y）有时候需要把 X,Y单独考虑,单独考虑一个随机变量的概率分布，称为边缘分布随机向量 (X,Y)的两个分量,分别从不同的侧面刻画随机现象，有时只需要关注某一个侧面，即其中的一个分量,
一,边缘分布函数的概念设（ X,Y）的联合分布函数 F（ x,y）
则 X 和 Y 的边缘分布函数 FX(x),FY(y) 分别定义为,
(,)
li m (,)
y
Fx
F x y
例 1 已知（ X,Y）的联合分布函数求 X 和 Y 的边缘分布函数 FX(x),FY(y)
解、
二、二维离散型随机向量的边缘分布
y1 y2 …
yj … …………
P{X=xi}
x1
x2
xi
p11 p12 … p1j …
p21 p22 … p2j …
pi1 pi2 … pij …
…
…
p1.
p2.
pi.
P{Y=yj} p.1 p.2 … p.j … 1
X
Y
(i = 1,2,… ) (j =1,2,… )
设 (X,Y) 的联合分布列为 pij = P{X=xi,Y=yj}
则 (X,Y) 的边缘分布列为
FX(x) = F(x,+∞) =
(X,Y) 的边缘分布函数为：
即
X x1 x2 ··· xi ··· …
pi,p1.p2,··· pi,···
例 3、已知随机变量 X和 Y的分布列分别为
X -1 0 1
pi · 1/4 1/2 1/4
Y 0 1
,p· j 1/2 1/2
且 P{XY=0}=1，求 (X,Y)的分布律
X Y 0 1
-1
0
1
pi ·
p· j
1/2 1/2
1/4
1/2
1/4
解、
P{XY=0}= P({X=0} ∪ {Y=0})
=P{X=0}+ P{Y=0}- P{X=0,Y=0}
=1,从而 P{X=0,Y=0}=0
0P{XY≠0}=0= P{X≠0,Y≠0}=P{X=-1,Y=1}+ P{X=1,Y=1}
从而 P{X=-1,Y=1}=P{X=1,Y=1}=0
0
0
1/2
1/4
1/4
三,二维连续型随机变量边缘概率密度函数设 （ X,Y） 的联合概率密度 p(x,y)
由于所以
{,}P X x Y [ (,) ]x p u v d v d u
边缘密度函数的几何解释例 4 已知（ X,Y）的联合概率密度求（ X,Y）边缘概率密度解解 由于 D的面积为故 X,Y联合概率密度为
X,Y边缘概率密度：当 0≤ x≤ 1时当 0≤ y≤1 时即即
0
例 5 设（ X,Y）服从区域 D：抛物线 y =x2和直线 y= x所围成的区域上的均匀分布，求 X和 Y的联合、边缘概率密度。
例 6 已知（ X,Y）的联合概率密度求（ X,Y）边缘概率密度解、
X~ N（ 0,1),Y~ N（ 0,1)
的概率密度为在 上服从均匀分布,求 关于 和的边缘概率密度解例 7 设
G
思考题,1、二维随机变量的样本空间怎样描述？
2、描述二维随机变量的分布规律用什么函数？
3、二维随机变量（二维随机向量）能否单独考虑其中的一个变量？
4、随机点落在某个区域上的概率怎样求？
( ) ( 0 1 )X,Y y x x
X,Y
已 知 在 线 段 上 均 匀 分 布,
求 的 边 缘 密 度 函 数思考题
§ 3.3 条件分布与独立性
i j i jij
jj
P ( X x,Y y ) pP X x Y y i,,,
P { Y y } p?
12
定义,设 (X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的 j,
若 P{Y=yj}>0,则称为在 Y=yj条件下随机变量 X的条件分布
i j i jji
ij
P ( X x,Y y ) pP Y y X x j,,,
P { X x } p?
12
同样,对于固定的 i,若 P{X=xi}>0,则称为在 X=xi条件下随机变量 X的条件分布一、条件分布
y1 y2 … yj … P{X=xi}
x1
x2
x i
p11 p12 … p1j …
p21 p22 … p2j …
pi1 pi2 …
pij …
… …
p1.
p2.
pi.
P{Y=yj} p.1 p.2 …
p.j …
1
i j i jij
jj
P ( X x,Y y ) pP X x Y y i,,,
P { Y y } p?
12
例 1 已知随机向量（ X,Y）的分布如下表，
求关于 X 和 Y 的边缘分布。及 x=1条件下 Y的分布列
1 2 3
y
0 0
1 1/16
2
x
1/16
4
3/16
1/8 1/8 0
1/16 1/16 3/16 1/8
0
/p( Y | X )
/
1 8 211
5 1 6 5 /p( Y | X ) /1 8 221 5 1 6 5
/p( Y | X )
/
1 1 6 131
5 1 6 5p( Y | X ) /
0241
5 1 6 5
y
( X,Y )
e,x,y x
f ( x,y )
,P { X> 2| Y < 4}
0
0
例题 随机变量 的概率密度为其他求
G
y y
,p X,Y f ( x,y ) d x d y
d y e d x e e
4 24
22
24
3
解
p { y } e 44 1 5
p{ x,y } e ep{ x | y }
p{ y } e
24
4
2 4 324
4 1 5故
x
y
2
4
P { X x y Y y } xy
y
y
Yy
[ f ( x,y ) d y ] d xP X x,y Y y
P { y Y y } f ( y ) d y
对于连续型随机变量（ X,Y） P(X<x|Y=y)的含义为在 Y=y的条件下,X<x的概率。其几何意义非常明确。
P ( X x,Y y )P X x Y y P { Y y }
但是，如果继续使用是不恰当的 我们考虑
y
y
x
x
y
f ( x,y ) d x
f ( y )
定义 3.7 给定 y，对于任意给定的 >0，
,若对任意的实数 x，极限
存在，则称此极限为在条件下的 条件分布函数,记为,
0}{yYyP
}{lim 0 yYyxXP
}{
,lim
0?
yYyP
yYyxXP
yY?
)( yxF YX
)( yxF YX?
x
Y
xyf yxf d)( ),(
设 (X,Y) 的联合概率密度函数为 f(x,y),Y的边缘概率密度函数为 fy(y),若对于固定的 y,有 fy(y) >0
XY
y
f ( x,y )f ( x y )
f ( y )?则称 为在 Y＝ y的条件下
X的概率密度函数
(,) ( ) ( ) ( ) 0XXf x y f x f y x f x
( ) ( ) ( ) 0YYf y f x y f y
类似于乘法公式，有：
Y
4 X 0 1 X= x ( 0< x< 1)
Y x 1) Y f ( y )
例题,设 在区间（,）上随机取值，当观察到时，数 在区间（,上随机的取值，求 的概率密度
X解：根据题意,具有概率密度
X
0 < x < 1 f ( x )
0
1
其他
Y | X
x y
f ( y | x ) x
1 1
1
0 其他
Y | X X f ( x,y ) f ( y | x ) f ( x )?所以 0< x< y < 1
x
0
1
1
其他
Y
y
0
f ( y ) f ( x,y ) dx
dx ln ( y ) 0 < y < 1
x
1
1
1
0
＝
其他
2 X N m,r X x
Y N x Y? 2
例题 设随机变量 ～ （ ),在 ＝ 的条件下的条件分布是 （,),求 的概率密度。
( y x )
Y | X f ( y | x ) e
2
221
2解 已知
( x m )
r
Xf ( x ) er?
2
221
2
Y | X Xf ( x,y ) f ( y | x ),f ( x )?
Yf ( y ) f ( x,y ) dx
( y m )
( r )e
( r )
2
222
22
1
2
以上公式类似于全概率公式
( ) (,) ( ) ( )XYf x f x y d y f x y f y d y
( ) (,) ( ) ( )YXf y f x y d x f y x f x d x
(,) ( ) ( )Xf x y f x f y x?( ) ( )Yf y f x y?
X
|
y
X ( ),
( | )
( ) Y
xy
fx
f x y
f y dy
以 上 公 式 解 释 为,的 无 条 件 密 度 是 其 条 件 密 度对 条 件 y 的 平 均,更 确 切 的 说,是 按 其 概 率 大小 为 权 的 加 权 平 均,因 为 正 是 在 y 附 近 dy 这 么长 区 间 内 的 概 率 。
11( ) ( | ) ( )P A P A B P B( | ) ( ) nnP A B P B?
思考题,请以体重 X，身高 Y对上述公式作出直观解释以上类似于 Bayes公式
)(
),(
yf
yxf
Y
()f x y
( ) ( )
()
X
Y
f y x f x
fy?
)(
),(
xf
yxf
X
()f y x
( ) ( )
()
Y
X
f x y f y
fx
XY
X |Y Y | X
R
f ( x ),f ( y )
f ( x | y ),f ( y | x )
雷达的圆形屏幕半径为,设目标出现点
（x,y ) 在屏幕上呈现均匀分布求：
X,Y D思考题：（ ）在 上服从均匀分布，
则边缘分布，条件分布是否均匀分布？
作业 p 104 8 7 11 12
§ 3.4 随机变量的独立性
1,定义,设 （ X,Y）,F（ x,y）,FX（ x）,FY（ y）
若 对所有的 x,y 有 F（ x,y） = FX（ x） FY（ y）
P{X≤ x,Y≤ y}= P{X≤ x}P{Y≤ y}
则 称随机变量 X与 Y是相互独立的。
即
2,（ X,Y）是离散型若（ X,Y）的所有可能取值为（ xi,yj）,（ i,j=1,… 2,… ）
P{X = xi,Y= yj}= P{X= xi}·P{Y= yi}
则 X 与 Y 相互独立的充分必要条件是对一切 i,j = 1,2,…
有
X 1 2
pi · 1/3 2/3
例 1 已知（ X,Y）的边缘分布律，且 X与 Y 相互独立，
求（ X,Y）的联合分布律。
Y 1 2 3
,p· j? 1/3 1/6
解 由独立性 p11= p1· p·1 = 1/6,p23= p2· p·3= 2/18
1 2 3
1 1/6 1/9 1/18
2 2/6 2/9 2/18
X Y
依次类推可得例题,已知 X,Y 相互独立，联合分布律如下：
X
Y x1 x2 x3
y1
y2
a 1/9 c
1/9 b 1/3
求,a,b c
X
Y x1 x2 x3
y1
y2
a 1/9 c
1/9 b 1/3
a+1/9+c
1/9+b+1/3
a+1/9 1/9+b 1/3+c
因为 X,Y相互独立,pij=pi.*p.j
(1/9+b)(1/9+b+1/3)=b b=2/9
(1/9+b+1/3)(1/3+c)=1/3 c=1/6
a+1/9+1/9+b+1/3+c=1 a=1/18
定理 2 若 （ X,Y） 的 f(x,y)处处连续,则 X和 Y相互独立的充分必要条件是
f (x,y) = fX(x)·fY (y)
(,) (,) ( ) ( )x y x y XYF x y f u v d u d y f u f v d u d v
( ) ( ) ( ) ( )xyX Y X Yf u d u f v d v F x F y
(,)xy f u v d u d v
( ) ( ) ( ) ( )x y x yX Y X Yf u d u f v d v f u f v d u d v
3.（ X,Y）是连续型证明 充分性 若 f (x,y) = fX(x)· fY (y)
则必要性 若 X,Y互相独立，则有 F（ x,y） = FX(x) · FY(y)，
故 f (x,y) = fX(x)·fY (y)
即已知二维随机变量 ( X,Y )的概率密度为
.,0;10,8),(
其他
xyxyyxf
问 X,Y 是否相互独立？
解 dyyxfxf X
),()(
.10,4;10,0
3 xx
xorx
.10,8;10,0
0 xx y d y
xorx
x
x
0
1
( 1,1 )
y
G
例 18
.10,44;10,0
3 yyy
yory
yf Y
yfxfyxfG YX,中在区域
10)yx,( xyG ＝记
.,不相互独立故 YX
解 由题意 1,(,)(,)
0,
x y Df x y
其 他
2 ( 1 )
0
1 2 ( 1 ),0 1
( ) (,)
0,
x
X
d y x x
f x p x y d y
其 他
1
2
0
1 1,0 2( ) (,)
2
0,
y
Y
yd x y
f y p x y d x
其 他因为显然
fX(x) fY(y) ≠ f (x,y),故 X 与 Y 不是相互独立的例 4,设（ X,Y）服从区域 D上的均匀分布，判断 X,Y的独立性
x+y/2=12
1
例 5、
U,V不相互独立。
0 1
0
UV
1
1/3 1/3
0 1/3
2/3
1/3
1/3 2/3
例 4,设（ X,Y）服从 N（ μ 1,σ 12； μ 2,σ 22； ρ ），
求边缘密度。
2
1
2
1
()
2
1
1()
2
x
Xf x e
2
2
2
2
()
2
2
1()
2
y
Yf y e
二维正态随机向量 （ X,Y） 的两个分量独立的充要条件是 ρ= 0
X~ N（ μ1,σ12 ),Y~ N（ μ2,σ22 )
2
221 1 2 2
2
1 1 2 212
11(,) e x p { ( ( ) 2 ( ) ) }
2 ( 1 )21
x x y yf x y
1 2 3
3 1/6 1/9 1/18
5 A Β 1/9
XY
练 习
A =1/3,B =
2/9
2,设二维随机变量 （ X,Y） 的概率密度为
,0 2
(,)
0,
k x y y x
f x y
其 它求（１）常数 k；（２）Ｐ｛Ｘ＋Ｙ ≥１｝；
（３） X与Ｙ是否独立。
1,若 X,Y相互独立，且已知（ X,Y）的联合分布律，求 A,B
3、在国际市场上甲种产品的需求量均匀分布在 2t~4t之间，乙种产品的需求量均匀分布在 3t~6t之间，且两种产品的需求量是独立的，求两种产品的需求量相差不超过
1t的概率二,多维随机变量的独立性定义 设 n 维随机变量 （ X1,X2,… Xn )的联合分布函数 为 F(x1,x2,…,xn ),若对任意实数 x1,x2,…,xn 均有称 X1,X2,… Xn 相互独立,
,)(),,,(
1
21
n
i
iin xFxxxF?
若 n 维随机变量 （ X1,X2,…,Xn ) 相互独立,则
1) 任意 k个随机变量 ( 2? k?n )也 相互独立,
2),随机变量 g1(X1),g2(X2),…,gn(Xn)也 相互独立,
4) 随机变量 h (X1,X2,…,Xm ) 与 g(Xm+1,Xm+2,…,Xn )
也 相互独立,
定理
3维随机变量 X1,X2,X3 相互独立,则
X12,X22,X32 也 相互独立,
X1 +X2与 X3也 相互独立,
sinX1 与 X3也 相互独立,
随机变量的独立性本质上是事件的独立性
X1 +X2与 X1 － X2 不一定相互独立,
例 16
设随机变量 X 的概率密度为
xexf x,21
问 X 与 ︱ X︱ 是否相互独立,
例 17
分析 1) 判定 X 与 ︱ X︱ 相互独立，则需验证
bXPaXPbX,aXP
2) 随机事件 { X≤ a } 与 {︱ X︱ ≤ a } 有下述关系：
对所有实数对 (a,b) 均成立,
aXaXaaX
}{},{ aXPaXaXP从而解 对于任意给定的实数 a > 0 有
}{}{}{ aXaXaaX
)1(},{},{ aXPaXaXP从而
1}{01}{0 aXPaXP,又
)2(},{}{}{ aXPaXPaXP
}{}{},{ aXPaXPaXaXP
即 X 与 ︱ X︱ 不相互独立,
多维随机变量函数的分布例题 1 yx － 1 0 1
1
2
0.07 0.28 0.15
0.09 0.22 0.19
求,z=xy的分布列
Z的取值 -1 0 1 -2 0 2
于是,我们可以得到 Z的分布律
z
p
-2 -1 0 1 2
0.09 0.07 0.50 0.15 0.19
例题 3 在区间 (0,1) 中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6/5”的概率为?
解,用 x和 y分别表示随机抽取的两个数，则 x
和 y 均服从 (0,1)上的均匀分布 且相互独立
4
5
6 1 4 4 1 7P{Z }= 1 - =
5 2 5 5 2 5
（ X,Y）的联合密度函数为
1 0 1 0 1 f ( x,y ) =
0
xy
其 他
x
y
续问：对于任意的 z，求,
{ } p Z z? 即 F(z)
解：
（上例续） 求,Z=X+Y的密度函数例题 4 求 z 的概率密度 。
22
21 (,) ~ (,),
2
xy
X Y f x y e
设
22 YXZ
的分布函数为,22 YXZ解：
① 当 Z<0时,0)(?zF
Z
zYX
yx
Z d x d yezF
22
22
2
2
1)(
s in,c o s ryrx
2
0
2
0
2
22
1
2
1 zz r
er d red
0,0
0,)()( 2'
2
z
zzezFzf
z
ZZ
设二维随机变量 (X,Y )的联合概率密度为,
.,0;0,,2
),(
)2(
其它
yxe
yxf
yx
求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数和概率密度,
解 FZ(z)=P{Z?z}= P{X+2Y?z}
zyx
d x d yyxf
2
),(
例 6
x
y
x+2y=z
f(x,y)的非 0区域
;0,0 z
,0,]2[
0 0
22?
zdxdyez yx
xz
.0,1;0.0
zzee
z
zz
.0,;0,0
)()(
zze
z
zFzf
z
ZZ
例题 5
设随机变量 X,Y 相互独立，其概率密度分别为
其他,0
10,1)( xxf
X
0,0
0,)(
y
yeyf y
Y
求随机变量 Z概率密度函数，
基本步骤：
第二步 求 z的分布函数第三步 求密度函数第一步 求联合密度由于 X,Y相互独立，因此 Z的概率密度为：
,0 1,0(,) ( ) ( )
0,
y
XY
e x yf x y f x f y
其 他因此,Z=2X+Y 分布函数为,
2
( ) 2 (,)z
x y z
F z P X Y z f x y d x d y
2
2
00
12
2
00
0,0
1 1 1
,0 2
2 2 2
11
1,2
22
z
zx
yz
zx
y z z
z
dx e dy z e z
dx e dy e e z
所以,Z的概率密度函数为
)()( zFzf ZZ
2
0,0
1
( 1 ),0 2
2
1
( 1 ),2
2
z
z
z
ez
e e z
YXZ
)()()( zYXPzZPzF Z
其中区域,则 的概率密度zyx Z
dyyyzfzFdzdzf ZZ ),()()(
YXZ1） 的分布
),( YX ),( yxf设 的概率密度为,则的分布函数二维随机变量函数的分布（公式法）
zyx
dx dyyxf ),( dydxyxfyz ),(
如果将上面的累次积分交换顺序,又可得
dxxzxfzf Z ),()(
( ) (,)Zf z f z y y d y
dyyfyzfzf YXZ )()()(
dxxzfxf YX )()(
X Y特别，当 与 相互独立时，有设随机变量 X,Y 相互独立,均服从区间 (0,1)
上的均匀分布,求,Z = X +Y 的解,,相互独立随机变量 YX?
dxxzfxfzf YXz )()()(
在 XOZ平面上作出区域 G
10,10),( xzxzxG
Gzx
Gzx
xzfxf YX
),(1
),(0
)()(则例 8
概率密度 fZ(z).
x
z
1
1
z = x
z = 1+x
（ 1,2）
（ 1,1）
当 0<z ≤1时
,1)( 0 zdxzf zz
当 z≤0或 z > 2 时 fZ(z) ＝ 0,
当 1<z ≤2时
,21)( 1 1 zdxzf zz
的概率密度为：综上得 YXZ
.,0;21,2;10,
其他
zz
zz
zf z
概率密度曲线为
z
fz(z)
1
1
2
称为辛普生分布
o
已知二维随机变量（ X,Y）的联合
.,0;10),(2
),(
其他
yxyx
yxf
求 Z=X+Y 的概率密度,
解 在 XOZ 平面上作出区域
}10),{( xzxzxG
xzxxzx 12,10,
例 9
概率密度为
x
z
(1,2)
(0,1)
z =2x
z =1+x?
.,0;),(,2
),(
其他
Gzxz
xzxf
O
当 z≤0或 z > 2 时 fZ(z) ＝ 0
当 0<z ≤1时
xzxxzx 12,10,
,2)( 220 zdxzzf
z
z
当 1<z ≤2时
21 2)( z zz dxzzf
的概率密度为：综上得 YXZ
,2 2zz
.,0;21,2;10,
2
2
其他
zzz
zz
zf z
2
2
2
)(
2
1
)(?
x
X exf
2
2
2
)(
2
1
)(?
y
Y eyf
)(zf Z dxe xzx
])()[(
2
1
2
22
2
2
1
X Y解 由题意知 与 的概率密度为
Z因此 的概率密度
dtext
tzt
])2([
2
1
2
22
2
2
1
令
),( 2N YXZ
的概率密度,)( zf Z
X Y设 和 相互独立，
且都服从正态分布,求例 7
dte
zzt
])
2
2()
2
2[(2
2
1
2
22
2
2
1
dtee
zz
t
2
)2(
2
1
)
2
2
(2
2
1 2
2
2
2
)
2
(2
1
)
2
(2
1
2
2
)2(2
)2(
)2(2
1?
z
e
)2,2(~ 2NYXZ YX?
也服从正态分布，其均值和方差都是原来的二倍。
故,即则
nXXX,,,21?
),(~ 2kkk NX nk,,2,1
),(~
1
22
11
n
k
kk
n
k
kk
n
k
kk NXZ
其中 为常数。
k?
以上结果可推广到一般情况：若相互独立，且例题 10 Y
X 0 1
0
1
2
求 M=Max(X,Y)
N=Min(X,Y) 的分布律
P(M=1)=1/20+2/20+3/20=6/20
M
p
0 1 2
N
p
0 1
例题 11 M=Max(X,Y) X,Y 相互独立 求 F M(z)
解,
例题 12 N=Min(X,Y) X,Y 相互独立 求 F N(z)
解,
例题分析 13
设 X,Y 服从区域 G = { ( x,y ) | 0 1,0 2 }XY
的均匀分布,Z =Max(X,Y) 求 P(Z>1/2)=?
11
,{ } 1 { }
22
11
1 { }
22
p z p z
p X Y
解且
1 1 71
2 4 8
例题 15
设 x1,X2,X3… Xn 独立同分布,
求 Y=Min(X1,..Xn)× n 的分布函数
0 1例 题 16 在 区 间 ［,］ 上,随 机 的 取 两 点 x,y,求 两 点间 距 离 的 概 率 密 度
X Y U 0 1 0 1解,（,） ～ （,；,）1 0 1 0 1(,) 0 xyf x y 其 他
||Z X Y
0 ( ) 0 Zz F z当
2Z 0 1 F ( ) 2 z- z
D
z z d x d y当 时 ＝
Z 1 F ( ) 1zz当 时
2
Z
0 0
F ( ) 2 0 1
1 z 1
z
z z z z
故 2 ( 1 ) 0 1
() 0 z zzfz
其 他
X,,X ~ N( 0,1),Y~ U( 0,1)Y
Z = X / Y
例 题 设 随 机 变 量 相 互 独 立求 的 概 率 密 度 函 数
2
221
2
x
f x e x
解 因 为
1 0 1()
0 Y
yfy
其 他
( ) ( )ZF z p Z z( / )p X Y z ()p X z Y
X zY?
x
y
2
1 2
0
1
2
xzy
dy e dx
2()
1 2
0
1()
2
zy
Zf z e y dy?
0z?当 时
2
2
2
1( ) ( 1 )
2
z
Zf z ez?
1()
22Zfz0z?当 时
(请思考）
2
Y
X Y
0 0
( ) ( )
0 0 0 0
xy
X
e x e y
f x f y
xy
例 题 设,相 互 独 立,
( ) ( )ZF z p Z z解,( / )p X Y z ()p X z Y
x
y X=yz
(,)yz f x y d x d y＋－ － 22yz xyd y e d x＋－ －
2( ) 2 y z yZf z y e d y
＋
－
22 /( 2 )z
0 ( ) 0Zz f z当 时,
0z?当 时
Z X /Y求 ＝
( ) ( )ZF z p Z z( / )p X Y z()p X z Y
z = x / y一 般 求 的 密 度 函 数 的 基 本 步 骤
（ 1）
x
y x/y=z
(y>0)
()p X z Y?＋ (y<0)2 ( )
zfz（ ） 求 导 得
3x 0 < x < 1 0 < y < x X Y
0
例 题 分 析 设 （,） ～ 其 他求 Z=X-Y 的 随 机 变 量
Z F ( ) ( )z p X Y z解
x
(1,1)
y
()P Y X z
1z当 0 时
11 3 ( )
z x x z d x
1
Z 0 F ( ) 1 3
xz
zz d x x d y
23( ) ( 1 )
2zf z z 1z当 0 时
X,Y
0
()
0 t 0
1 U X Y
2 V = X /Y
3 U V
t
et
ft
练 习 题 设 相 互 独 立,且 同 分 布,密 度 函 数 为
（ ） 求 ＝ ＋
（ ） 求
（ ） 证 明,相 互 独 立
X U ( 0,2 Y U 0 1
1U X V U,V )
2
练 习 题 设 ～ ）,～ （,）
＝ ＝ 2Y 求 （ 的 联 合 密 度 函 数
1 2 1 1 1 2
2 2 1 2 1 2
X,X Y Y ( X,X
Y Y ( X,X Y Y
一 般 设 相 互 独 立,＝ ）
＝ ）,求 （,） 的 联 合 分 布
1 2 1 1 2 2 1 2(,) ( (,),(,) ) | |f y y f X y y X y y J?
11
12
22
12
XX
YY
J
XX
YY
的泊松分布
。
YXZ 21
证 由题意知例 10 X Y设随机变量 与 相互独立，
1? 2?服从参数 和 的泊松分布,证明随机变量服从参数为它们分别
,2,1,0,
!
}{ 1
1
1
1
1
1
ke
k
kXP
k
,2,1,0,
!
}{ 2
2
2
2
2
2
ke
k
kYP
k
的所有可能取值为,而Z?,2,1,0
故
i
k
i
k
kiYPkXPkiYkXP
iYXPiZP
00
}{}{)},{
}{}{
21
!)(!
2
0
1
e
ki
e
k
kii
k
k
ki
i
k
kk
iCie
2
0
1
)(
!
1
21
)(21 21
!
)( e
i
i
,2,1,0?i
)(~ 21 YXZ
2
12
X 1 X 2,,
Y X X
1B ( n,p ) B ( n,p )例 题 设,独 立,分 别 服 从 二 项 分 布 求
＝ ＋ 的 分 布
Y 0 1 2 12n + n解,的 可 能 的 取 值 为,,,
k对 于 上 述 范 围 内 的,有
12
1 1 2 2( ) ( ) ( )k k kp Y k p X k p X k
1 1 1 1 2 2 2 2
12
12
( 1 ) ( 1 )k k n k k k n knn
k k k
c p p c p p
1 2 1 2 1 2
12
12
( 1 )k k k k n n knn
k k k
c c p p
12
12 ( 1 )
n n kkknnc p p 12(,,)b k n n p?
作业
P106 16,17 18,20,21
第三章 多维随机变量主要知识点
1、二维随机变量的密度函数、分布函数
2、求 Z=X+Y Z=Max(X,Y) Z=Min(X,Y)的密度函数
3,X,Y 独立的条件
4、边缘密度函数一、填空题
1,设随机变量 X,Y相互独立,
22~,,~ 0,2X N Y N
P X Y求,＝
2、在区间（ 0,1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6/5的概率
3,X,Y相互独立，将空白处填上数字
Y y1 y 2 y3 P{X=xi}=pi.
x1 1/8
x2 1/8
P{Y=yj}=p..j 1/6 1
X
4,设二维随机变量 服从区域上的均匀分布,令,求 =
(,)XY
{ (,),0 1,0 2 }G x y x y
m a x {,}Z X Y?
1{ }
2PZ? ＝
1 1 1 1 1 / 4 7{ } 1 { } 1 {,} 1
2 2 2 2 2 8P Z P Z P X Y
1,设随机变量 X,Y 相互独立，其概率密度分别为
其他,0
10,1)( xxf
X
0,0
0,)(
y
yeyf y
Y
2Z X Y求随机变量 Z概率密度函数，
基本步骤：
第二步 求 z的分布函数第三步 求密度函数第一步 求联合密度由于 X,Y相互独立，因此 Z的概率密度为：
其他,0
0,10,)()(),( yxeyfxfyxf y
YX
因此,Z=2X+Y 分布函数为,
zyx
z d x d yyxfzYXPzF
2
),(2)(
1
0
2
2
0
2
0
2
0
2,
2
1
2
1
1
20,
2
1
2
1
2
1
0,0
zeedyedx
zezdyedx
z
zz
xz
y
z
z
xz
y
所以,Z的概率密度函数为
)()( zFzf ZZ
2,)1(
2
1
20),1(
2
1
0,0
2
zee
ze
z
z
z
(,) G,) | | |,1 }
X Y
X Y x y y x x2,设 在区域 ＝｛（
均匀分布，确定,的独立性强调：对于二维随机变量，通常在平面上画出密度函数不为零的区域
3、
1 x 0()
0 0
xe
Fx
x
设 x1,X2,X3…X n 独立同分布,
求 Y=Min(X1,..Xn)× n 的分布函数
Y,F ( y ) = P ( Y y ) = 1 - P ( Y > y ) ( y > 0 )?解
1 2 n
y= 1 - P{M in ( x,x,.,,x ) > }
n
n - yy=1 - [ 1- F ( ) ] =1 - e
n
1 0
()
0
y
Y
ey
Fy
其他
4,设 ( X,Y ) 的概率密度是
其它,0
0,
),(
yxc x e
yxf
y
求 (1) c 的值 ;(2)两个边缘密度,是否独立？YX,)3(
}1{)4( YXP 的密度。YXZ)5(
10 0y y dxc x edy dxdyyxf ),(解,(1)
c =1
1)3(22
0
2 cdyeyc y
x
y
0
y=x
4（续）,设 ( X,Y ) 的概率密度是
其它,0
0,
),(
yxc x e
yxf
y
求 (1) c 的值 ;(2)两个边缘密度,
解,(2)?)( yf
Y
其它,0
0,
2
1 2
yy
ye
dxyxf ),(
其它,0
0,
0
ydxxe
y y
)( yfY
其它,0
0,xdyxe
x
y
其它,0
0,xxe x
)()(),()3( yfxfyxf YX? 不相互独立。与 YX?
}1{)4( YXP
x
y
0
y=x
X+y=1
d x d yyxf ),(
12
1
2
1
0
1 1 eedyxedx x
x
y
dxxzfxfzf YXZ)5(
xzx0
的区域：被积函数不为 0
xzzx 2,20
z
0
Z=2x
,0?z⑴．若 0?zf Z
，⑵．若 0?z
2
0
)(
z
xz
Z dxxezf
的密度函数为可得综上所述 YXZ,
0?,
0,0
z
z
zf Z
x
z
0
Z=2x
1,( )
3X Y P X i k设随机变量 独立同分布,（k = 1,2,3 i = 1,2 )
2
22
m i n
1
2
3 3 ) ( )
1 1 2 1 1 2
12
1
11
Y = max ( X,X ) Y = ( X,X )
Y,Y
Y,Y
P( Y Y P Y Y
记 随机变量求：（ ）（ )的联 合分布列
（ ）判断 是否相互独立
（ ）求
其它,0
,)]([)( yyhyhfyf
Y
其中,),(m in xg
bxa ),(m a x xgbxa
此定理的证明与前面的解题思路类似,
是一个 连续型 随机变量，
0)( xg 0)( xg
设 X 是一个取值于区间ba,具有概率密度
o t h e r
bxaxxf
X 0
的连续型随机变量，又设XgY? 处处可导，且对于任意 x 恒有 或恒有 则
XgY?
.YhX?
其反函数为
Y 的概率密度为定理
（ X1,X2,…,Xn）为定义在 Ω上的 n维随机向量。
e
X(e)
Y(e)
考虑最多的是二维随机向量 (X,Y)
2、火箭在空中的飞行姿态，水平位置和高度，经度（ X）
，纬度（ Y），高度（ Z）是定义在 Ω上的三个随机变量。即每一个点对应三个实数值，称向量（ X,Y,Z）为三维随机向量。
1、体检时每个人有身高和体重两个指标,分别用 X和 Y表示。
随机向量的例子二维随机向量的样本空间
(1) 二维随机向量（ X,Y）的一个可能值可以用平面上的一个点表示 D
(2)样本空间是平面上的一些离散点或者平面区域 D
一、二维随机向量（ X,Y）的联合分布函数
1,定义,设 （ X,Y）,x,y为两个任意实数，则称二元函数
F（ x,y） =P{X≤x,Y≤y }
为二维随机向量（ X,Y）的分布函数，或称 X,Y的联合分布函数。
2,几何意义,F（ x,y） 表示随机点 （ X,Y） 落在以
（ x,y） 为顶点,且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率 。
对于任意的 x1＜ x2,y1＜ y2，
P{x1＜ X≤x 2,y1＜ Y≤y 2}＝ F（ x2,y2） -F(x2,y1)
-F(x1,y2)+F(x1,y1)
3 矩形区域内的概率计算：
4,F（ x,y）的基本性质：
（ 1） F(x,y) 是 x和 y的单调不减函数 。 即对于任意固定的 y,当 x1＜ x2时,F（ x1,y） ≤F（ x2,y） ；
对于任意固定的 x,当 y1＜ y2时,F（ x,y1） ≤F( x,y2)
（ 2） 0≤F（ x,y） ≤1,F(-∞,-∞)=0,F（ +∞,+∞） =1
对任意固定的 y,F（ -∞,y） =0
对任意固定的 x,F（ x,-∞） =0
（ 3） F（ x,y） 关于 x 右连续,关于 y 也 是右连续的,即
F（ x+0,y） =F（ x,y）,F（ x,y+0） = F（ x,y）
（ 4） 对于任意的 x1＜ x2,y1＜ y2有下列不等式
F（ x2,y2） -F（ x2,y1） -F（ x1,y2） + F（ x1,y1） ≥0
,F ( -,+ ) =思 考例 1、设（ X,Y）的分布函数
(,) ( a r c t a n ) ( a r c t a n )xxF x y A B C34
求 A,B,C 的值及概率 P{X≤3,Y≤4}
解,由分布函数的性质,
(,),F 1 (,),F 0 (,),F 0得
( ) ( )22A B C 1 ( ) ( )22A B C 0
( ) ( )22A B C 0
解得 A
2
1
2B
2C
{,} ( ) ( ) ( )P X Y F2193 4 3,4 4 2 2 4 1 6
(,)xy
二,离散型随机向量的概率分布
1,定义 若随机向量 （ X,Y） 所有可能取值只有有限对或可列对,则称 （ X,Y） 为二维离散型随机向量 。
2,（ X,Y）的联合分布列若 （ X,Y） 的所有可能取值为 （ xi,yj）,
i,j =1,2,… ；且取这些值时的概率表示为
pij=P { X = xi,Y = yj },(i,j =1,2,… )，
则称这一列式子为 （ X,Y） 的联合概率分布或联合分布律 。
3,（ X,Y） 的联合分布律 pij的性质：
（ 1） pij≥ 0； i,j=1,2,… ; (2)
（ 4） (X,Y)的联合分布律可用下列形式的联合分布表表示,
（ 5）（ X,Y）的联合分布函数为：
xx yy
ij
i j
pyxF ),(
其中和式是对一切满足 xi≤x,yj≤y的 i,j来求和的。
y1 y2 … y j yj+1 …
x1 p11 p12 … p 1j p 1j+1 …
x2 p21 p22 … p 2j p 2j+1 …
：,,,,
xi pi1 pi2 … pij pij+1 …
xi+1 pi+11 pi+12 … pi+1j pi+1j+1 …
：,,,,
X Y
例题 3
设随机变量 X在 1,2,3,4四个数中等可能地取一个数，另一个随机变量 Y在 1～ X中等可能地取一个数，
试求（ X,Y）的分布律
x y 1 2 3 4
1
2
3
4
1/4 0 0 0
1/8 1/8 0 0
1/12 1/12 1/12 0
1/16 1/16 1/16 1/16
的分布列。
由乘法公式得解 可能取值分别都为 1,2,3
一袋中有四个球,上面分别标有数字 1,2,2,3
从袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球，以分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，
求例 4
同理可得
6
1
3
1
4
2
21p 6
1
3
1
4
2
22p 6
1
3
1
4
2
23p
12
1
3
1
4
1
31p 6
1
3
2
4
1
32p 00
4
1
33p
所以 的分布列为 可见三,二维连续型随机向量的概率分布
1,定义 设 （ X,Y） 的分布函数为 F（ x,y）,如果存在非负函数 f(x,y),使得对于任意实数 x,y 有则称 （ X,Y） 为二维连续型随机向量,f(x,y)为
（ X,Y） 的 （ 联合 ） 概率密度或 （ 联合 ） 分布密度 。
2,概率密度 p(x,y) 的性质
（ 1） f（ x,y） ≥0
（ 3） 若 f(x,y)在 （ x,y） 处连续则有
f(x,y) =
（ 4）点（ X,Y）落在 xoy的平面区域 D内的概率为,
例 5 已知二维连续型随机向量（ X,Y）的联合概率密度，
求 (1)K ; (2)F(x,y);(3)P{0<X<1,0<Y<1}; (4) P{X+Y ≤1}
(),0,0
(,)
0,
xyk e x y
p x y
当其 它解 （ 1） 因为
1),( d x d yyxp
所以
kekdyedxek
d x d yek
xyx
yx
2
00 0
0 0
)(
)|(
1
（ 2）当 x>0,y>0时：
()0 0 0 0 ( 1 ) ( 1 )x y x yu v u v x ye d ud v e d u e d v e e
( 1 ) ( 1 ),0,0(,)
0,
xye e x y
F x y
其 他
（ 3） 记 D = {（ x,y） | 0＜ x＜ 1,0＜ y＜ 1},则
{0 1,0 1 }P X Y
(,) xy
DD
p x y d x d y e d x d y
11 1200 ( 1 ) 0,3 9 9 6xye d x e d y e
（ 4） 记 D={（ X,Y） |X+Y ≤ 1},则有
x+y=1
例 6、设（ X,Y）的分布函数
),( yx
试求,(1)(X,Y)的分布密度 (2) P{0≤ X≤3}
解、
2( ) (,) ( ) ( )f x y xy 22
121
9 1 6
33
200
( ) { 0 3 } { 0 3,}
(,)
( ) ( )
P X P X Y
f x y d x d y
xy?
22
2
1 2 d x d y 1
9 1 6 4
四、两个重要分布
1 均匀分布
（ 1） 设平面区域 D 的面积为 A,若随机向量
（ X,Y） 的概率密度为则称随机向量 （ X,Y） 在区域 D上服从均匀分布 。
（ 2）若区域 D内任一部分区域 D1，其面积为 A1，则有
G = { (
( X,Y ) G,
( X,Y )
例题 设区域 x,y ) | 0 < x 1,0 < y x }
二维随机向量 在 上服从均匀分布试求 的分布函数
2 (,),(,)
0
x y Gf x y
解 其他
( 1 ) x 0 y 0,F ( X,Y ) = 0或时
( 2 ) 0 1,0 y,(,) ( 2 )x x F x y y x y
2( 3 ) 0 1,,(,)x y x F X Y x时
( 4 ) 1,0 1,(,) ( 2 )x y F x y y y
( 5 ) 1,1 F ( x,y ) = 1xy
的二维正态分布，记为若二维随机变量 的概率密度为其中 都是常数,且则称 服从参数为
一,二维随机向量（ X,Y）的联合分布函数：
F（ x,y） =P{X≤x,Y≤y}
y x d u d vvupyxF ),(),(
四,两个重要分布 。
二、已知 pij=P { X = xi,Y = yj 或 p（ x,y），确定常数，
分布函数，求概率
xx yy
ij
i j
pyxF ),(
三,F（ x,y）,pij,p(x,y) 的性质小 结：
一、边缘分布函数的概念二、离散型随机变量的边缘分布列三、连续型随机变量的边缘分布概率密度
§ 3.2 边 缘 分 布边缘分布函数的背景一个人有身高、体重两个指标，有时讲：大个子、小个子，胖子、瘦子等，此时有意忽视另一个指标以上说明，对于（ X,Y）有时候需要把 X,Y单独考虑,单独考虑一个随机变量的概率分布，称为边缘分布随机向量 (X,Y)的两个分量,分别从不同的侧面刻画随机现象，有时只需要关注某一个侧面，即其中的一个分量,
一,边缘分布函数的概念设（ X,Y）的联合分布函数 F（ x,y）
则 X 和 Y 的边缘分布函数 FX(x),FY(y) 分别定义为,
(,)
li m (,)
y
Fx
F x y
例 1 已知（ X,Y）的联合分布函数求 X 和 Y 的边缘分布函数 FX(x),FY(y)
解、
二、二维离散型随机向量的边缘分布
y1 y2 …
yj … …………
P{X=xi}
x1
x2
xi
p11 p12 … p1j …
p21 p22 … p2j …
pi1 pi2 … pij …
…
…
p1.
p2.
pi.
P{Y=yj} p.1 p.2 … p.j … 1
X
Y
(i = 1,2,… ) (j =1,2,… )
设 (X,Y) 的联合分布列为 pij = P{X=xi,Y=yj}
则 (X,Y) 的边缘分布列为
FX(x) = F(x,+∞) =
(X,Y) 的边缘分布函数为：
即
X x1 x2 ··· xi ··· …
pi,p1.p2,··· pi,···
例 3、已知随机变量 X和 Y的分布列分别为
X -1 0 1
pi · 1/4 1/2 1/4
Y 0 1
,p· j 1/2 1/2
且 P{XY=0}=1，求 (X,Y)的分布律
X Y 0 1
-1
0
1
pi ·
p· j
1/2 1/2
1/4
1/2
1/4
解、
P{XY=0}= P({X=0} ∪ {Y=0})
=P{X=0}+ P{Y=0}- P{X=0,Y=0}
=1,从而 P{X=0,Y=0}=0
0P{XY≠0}=0= P{X≠0,Y≠0}=P{X=-1,Y=1}+ P{X=1,Y=1}
从而 P{X=-1,Y=1}=P{X=1,Y=1}=0
0
0
1/2
1/4
1/4
三,二维连续型随机变量边缘概率密度函数设 （ X,Y） 的联合概率密度 p(x,y)
由于所以
{,}P X x Y [ (,) ]x p u v d v d u
边缘密度函数的几何解释例 4 已知（ X,Y）的联合概率密度求（ X,Y）边缘概率密度解解 由于 D的面积为故 X,Y联合概率密度为
X,Y边缘概率密度：当 0≤ x≤ 1时当 0≤ y≤1 时即即
0
例 5 设（ X,Y）服从区域 D：抛物线 y =x2和直线 y= x所围成的区域上的均匀分布，求 X和 Y的联合、边缘概率密度。
例 6 已知（ X,Y）的联合概率密度求（ X,Y）边缘概率密度解、
X~ N（ 0,1),Y~ N（ 0,1)
的概率密度为在 上服从均匀分布,求 关于 和的边缘概率密度解例 7 设
G
思考题,1、二维随机变量的样本空间怎样描述？
2、描述二维随机变量的分布规律用什么函数？
3、二维随机变量（二维随机向量）能否单独考虑其中的一个变量？
4、随机点落在某个区域上的概率怎样求？
( ) ( 0 1 )X,Y y x x
X,Y
已 知 在 线 段 上 均 匀 分 布,
求 的 边 缘 密 度 函 数思考题
§ 3.3 条件分布与独立性
i j i jij
jj
P ( X x,Y y ) pP X x Y y i,,,
P { Y y } p?
12
定义,设 (X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的 j,
若 P{Y=yj}>0,则称为在 Y=yj条件下随机变量 X的条件分布
i j i jji
ij
P ( X x,Y y ) pP Y y X x j,,,
P { X x } p?
12
同样,对于固定的 i,若 P{X=xi}>0,则称为在 X=xi条件下随机变量 X的条件分布一、条件分布
y1 y2 … yj … P{X=xi}
x1
x2
x i
p11 p12 … p1j …
p21 p22 … p2j …
pi1 pi2 …
pij …
… …
p1.
p2.
pi.
P{Y=yj} p.1 p.2 …
p.j …
1
i j i jij
jj
P ( X x,Y y ) pP X x Y y i,,,
P { Y y } p?
12
例 1 已知随机向量（ X,Y）的分布如下表，
求关于 X 和 Y 的边缘分布。及 x=1条件下 Y的分布列
1 2 3
y
0 0
1 1/16
2
x
1/16
4
3/16
1/8 1/8 0
1/16 1/16 3/16 1/8
0
/p( Y | X )
/
1 8 211
5 1 6 5 /p( Y | X ) /1 8 221 5 1 6 5
/p( Y | X )
/
1 1 6 131
5 1 6 5p( Y | X ) /
0241
5 1 6 5
y
( X,Y )
e,x,y x
f ( x,y )
,P { X> 2| Y < 4}
0
0
例题 随机变量 的概率密度为其他求
G
y y
,p X,Y f ( x,y ) d x d y
d y e d x e e
4 24
22
24
3
解
p { y } e 44 1 5
p{ x,y } e ep{ x | y }
p{ y } e
24
4
2 4 324
4 1 5故
x
y
2
4
P { X x y Y y } xy
y
y
Yy
[ f ( x,y ) d y ] d xP X x,y Y y
P { y Y y } f ( y ) d y
对于连续型随机变量（ X,Y） P(X<x|Y=y)的含义为在 Y=y的条件下,X<x的概率。其几何意义非常明确。
P ( X x,Y y )P X x Y y P { Y y }
但是，如果继续使用是不恰当的 我们考虑
y
y
x
x
y
f ( x,y ) d x
f ( y )
定义 3.7 给定 y，对于任意给定的 >0，
,若对任意的实数 x，极限
存在，则称此极限为在条件下的 条件分布函数,记为,
0}{yYyP
}{lim 0 yYyxXP
}{
,lim
0?
yYyP
yYyxXP
yY?
)( yxF YX
)( yxF YX?
x
Y
xyf yxf d)( ),(
设 (X,Y) 的联合概率密度函数为 f(x,y),Y的边缘概率密度函数为 fy(y),若对于固定的 y,有 fy(y) >0
XY
y
f ( x,y )f ( x y )
f ( y )?则称 为在 Y＝ y的条件下
X的概率密度函数
(,) ( ) ( ) ( ) 0XXf x y f x f y x f x
( ) ( ) ( ) 0YYf y f x y f y
类似于乘法公式，有：
Y
4 X 0 1 X= x ( 0< x< 1)
Y x 1) Y f ( y )
例题,设 在区间（,）上随机取值，当观察到时，数 在区间（,上随机的取值，求 的概率密度
X解：根据题意,具有概率密度
X
0 < x < 1 f ( x )
0
1
其他
Y | X
x y
f ( y | x ) x
1 1
1
0 其他
Y | X X f ( x,y ) f ( y | x ) f ( x )?所以 0< x< y < 1
x
0
1
1
其他
Y
y
0
f ( y ) f ( x,y ) dx
dx ln ( y ) 0 < y < 1
x
1
1
1
0
＝
其他
2 X N m,r X x
Y N x Y? 2
例题 设随机变量 ～ （ ),在 ＝ 的条件下的条件分布是 （,),求 的概率密度。
( y x )
Y | X f ( y | x ) e
2
221
2解 已知
( x m )
r
Xf ( x ) er?
2
221
2
Y | X Xf ( x,y ) f ( y | x ),f ( x )?
Yf ( y ) f ( x,y ) dx
( y m )
( r )e
( r )
2
222
22
1
2
以上公式类似于全概率公式
( ) (,) ( ) ( )XYf x f x y d y f x y f y d y
( ) (,) ( ) ( )YXf y f x y d x f y x f x d x
(,) ( ) ( )Xf x y f x f y x?( ) ( )Yf y f x y?
X
|
y
X ( ),
( | )
( ) Y
xy
fx
f x y
f y dy
以 上 公 式 解 释 为,的 无 条 件 密 度 是 其 条 件 密 度对 条 件 y 的 平 均,更 确 切 的 说,是 按 其 概 率 大小 为 权 的 加 权 平 均,因 为 正 是 在 y 附 近 dy 这 么长 区 间 内 的 概 率 。
11( ) ( | ) ( )P A P A B P B( | ) ( ) nnP A B P B?
思考题,请以体重 X，身高 Y对上述公式作出直观解释以上类似于 Bayes公式
)(
),(
yf
yxf
Y
()f x y
( ) ( )
()
X
Y
f y x f x
fy?
)(
),(
xf
yxf
X
()f y x
( ) ( )
()
Y
X
f x y f y
fx
XY
X |Y Y | X
R
f ( x ),f ( y )
f ( x | y ),f ( y | x )
雷达的圆形屏幕半径为,设目标出现点
（x,y ) 在屏幕上呈现均匀分布求：
X,Y D思考题：（ ）在 上服从均匀分布，
则边缘分布，条件分布是否均匀分布？
作业 p 104 8 7 11 12
§ 3.4 随机变量的独立性
1,定义,设 （ X,Y）,F（ x,y）,FX（ x）,FY（ y）
若 对所有的 x,y 有 F（ x,y） = FX（ x） FY（ y）
P{X≤ x,Y≤ y}= P{X≤ x}P{Y≤ y}
则 称随机变量 X与 Y是相互独立的。
即
2,（ X,Y）是离散型若（ X,Y）的所有可能取值为（ xi,yj）,（ i,j=1,… 2,… ）
P{X = xi,Y= yj}= P{X= xi}·P{Y= yi}
则 X 与 Y 相互独立的充分必要条件是对一切 i,j = 1,2,…
有
X 1 2
pi · 1/3 2/3
例 1 已知（ X,Y）的边缘分布律，且 X与 Y 相互独立，
求（ X,Y）的联合分布律。
Y 1 2 3
,p· j? 1/3 1/6
解 由独立性 p11= p1· p·1 = 1/6,p23= p2· p·3= 2/18
1 2 3
1 1/6 1/9 1/18
2 2/6 2/9 2/18
X Y
依次类推可得例题,已知 X,Y 相互独立，联合分布律如下：
X
Y x1 x2 x3
y1
y2
a 1/9 c
1/9 b 1/3
求,a,b c
X
Y x1 x2 x3
y1
y2
a 1/9 c
1/9 b 1/3
a+1/9+c
1/9+b+1/3
a+1/9 1/9+b 1/3+c
因为 X,Y相互独立,pij=pi.*p.j
(1/9+b)(1/9+b+1/3)=b b=2/9
(1/9+b+1/3)(1/3+c)=1/3 c=1/6
a+1/9+1/9+b+1/3+c=1 a=1/18
定理 2 若 （ X,Y） 的 f(x,y)处处连续,则 X和 Y相互独立的充分必要条件是
f (x,y) = fX(x)·fY (y)
(,) (,) ( ) ( )x y x y XYF x y f u v d u d y f u f v d u d v
( ) ( ) ( ) ( )xyX Y X Yf u d u f v d v F x F y
(,)xy f u v d u d v
( ) ( ) ( ) ( )x y x yX Y X Yf u d u f v d v f u f v d u d v
3.（ X,Y）是连续型证明 充分性 若 f (x,y) = fX(x)· fY (y)
则必要性 若 X,Y互相独立，则有 F（ x,y） = FX(x) · FY(y)，
故 f (x,y) = fX(x)·fY (y)
即已知二维随机变量 ( X,Y )的概率密度为
.,0;10,8),(
其他
xyxyyxf
问 X,Y 是否相互独立？
解 dyyxfxf X
),()(
.10,4;10,0
3 xx
xorx
.10,8;10,0
0 xx y d y
xorx
x
x
0
1
( 1,1 )
y
G
例 18
.10,44;10,0
3 yyy
yory
yf Y
yfxfyxfG YX,中在区域
10)yx,( xyG ＝记
.,不相互独立故 YX
解 由题意 1,(,)(,)
0,
x y Df x y
其 他
2 ( 1 )
0
1 2 ( 1 ),0 1
( ) (,)
0,
x
X
d y x x
f x p x y d y
其 他
1
2
0
1 1,0 2( ) (,)
2
0,
y
Y
yd x y
f y p x y d x
其 他因为显然
fX(x) fY(y) ≠ f (x,y),故 X 与 Y 不是相互独立的例 4,设（ X,Y）服从区域 D上的均匀分布，判断 X,Y的独立性
x+y/2=12
1
例 5、
U,V不相互独立。
0 1
0
UV
1
1/3 1/3
0 1/3
2/3
1/3
1/3 2/3
例 4,设（ X,Y）服从 N（ μ 1,σ 12； μ 2,σ 22； ρ ），
求边缘密度。
2
1
2
1
()
2
1
1()
2
x
Xf x e
2
2
2
2
()
2
2
1()
2
y
Yf y e
二维正态随机向量 （ X,Y） 的两个分量独立的充要条件是 ρ= 0
X~ N（ μ1,σ12 ),Y~ N（ μ2,σ22 )
2
221 1 2 2
2
1 1 2 212
11(,) e x p { ( ( ) 2 ( ) ) }
2 ( 1 )21
x x y yf x y
1 2 3
3 1/6 1/9 1/18
5 A Β 1/9
XY
练 习
A =1/3,B =
2/9
2,设二维随机变量 （ X,Y） 的概率密度为
,0 2
(,)
0,
k x y y x
f x y
其 它求（１）常数 k；（２）Ｐ｛Ｘ＋Ｙ ≥１｝；
（３） X与Ｙ是否独立。
1,若 X,Y相互独立，且已知（ X,Y）的联合分布律，求 A,B
3、在国际市场上甲种产品的需求量均匀分布在 2t~4t之间，乙种产品的需求量均匀分布在 3t~6t之间，且两种产品的需求量是独立的，求两种产品的需求量相差不超过
1t的概率二,多维随机变量的独立性定义 设 n 维随机变量 （ X1,X2,… Xn )的联合分布函数 为 F(x1,x2,…,xn ),若对任意实数 x1,x2,…,xn 均有称 X1,X2,… Xn 相互独立,
,)(),,,(
1
21
n
i
iin xFxxxF?
若 n 维随机变量 （ X1,X2,…,Xn ) 相互独立,则
1) 任意 k个随机变量 ( 2? k?n )也 相互独立,
2),随机变量 g1(X1),g2(X2),…,gn(Xn)也 相互独立,
4) 随机变量 h (X1,X2,…,Xm ) 与 g(Xm+1,Xm+2,…,Xn )
也 相互独立,
定理
3维随机变量 X1,X2,X3 相互独立,则
X12,X22,X32 也 相互独立,
X1 +X2与 X3也 相互独立,
sinX1 与 X3也 相互独立,
随机变量的独立性本质上是事件的独立性
X1 +X2与 X1 － X2 不一定相互独立,
例 16
设随机变量 X 的概率密度为
xexf x,21
问 X 与 ︱ X︱ 是否相互独立,
例 17
分析 1) 判定 X 与 ︱ X︱ 相互独立，则需验证
bXPaXPbX,aXP
2) 随机事件 { X≤ a } 与 {︱ X︱ ≤ a } 有下述关系：
对所有实数对 (a,b) 均成立,
aXaXaaX
}{},{ aXPaXaXP从而解 对于任意给定的实数 a > 0 有
}{}{}{ aXaXaaX
)1(},{},{ aXPaXaXP从而
1}{01}{0 aXPaXP,又
)2(},{}{}{ aXPaXPaXP
}{}{},{ aXPaXPaXaXP
即 X 与 ︱ X︱ 不相互独立,
多维随机变量函数的分布例题 1 yx － 1 0 1
1
2
0.07 0.28 0.15
0.09 0.22 0.19
求,z=xy的分布列
Z的取值 -1 0 1 -2 0 2
于是,我们可以得到 Z的分布律
z
p
-2 -1 0 1 2
0.09 0.07 0.50 0.15 0.19
例题 3 在区间 (0,1) 中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6/5”的概率为?
解,用 x和 y分别表示随机抽取的两个数，则 x
和 y 均服从 (0,1)上的均匀分布 且相互独立
4
5
6 1 4 4 1 7P{Z }= 1 - =
5 2 5 5 2 5
（ X,Y）的联合密度函数为
1 0 1 0 1 f ( x,y ) =
0
xy
其 他
x
y
续问：对于任意的 z，求,
{ } p Z z? 即 F(z)
解：
（上例续） 求,Z=X+Y的密度函数例题 4 求 z 的概率密度 。
22
21 (,) ~ (,),
2
xy
X Y f x y e
设
22 YXZ
的分布函数为,22 YXZ解：
① 当 Z<0时,0)(?zF
Z
zYX
yx
Z d x d yezF
22
22
2
2
1)(
s in,c o s ryrx
2
0
2
0
2
22
1
2
1 zz r
er d red
0,0
0,)()( 2'
2
z
zzezFzf
z
ZZ
设二维随机变量 (X,Y )的联合概率密度为,
.,0;0,,2
),(
)2(
其它
yxe
yxf
yx
求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数和概率密度,
解 FZ(z)=P{Z?z}= P{X+2Y?z}
zyx
d x d yyxf
2
),(
例 6
x
y
x+2y=z
f(x,y)的非 0区域
;0,0 z
,0,]2[
0 0
22?
zdxdyez yx
xz
.0,1;0.0
zzee
z
zz
.0,;0,0
)()(
zze
z
zFzf
z
ZZ
例题 5
设随机变量 X,Y 相互独立，其概率密度分别为
其他,0
10,1)( xxf
X
0,0
0,)(
y
yeyf y
Y
求随机变量 Z概率密度函数，
基本步骤：
第二步 求 z的分布函数第三步 求密度函数第一步 求联合密度由于 X,Y相互独立，因此 Z的概率密度为：
,0 1,0(,) ( ) ( )
0,
y
XY
e x yf x y f x f y
其 他因此,Z=2X+Y 分布函数为,
2
( ) 2 (,)z
x y z
F z P X Y z f x y d x d y
2
2
00
12
2
00
0,0
1 1 1
,0 2
2 2 2
11
1,2
22
z
zx
yz
zx
y z z
z
dx e dy z e z
dx e dy e e z
所以,Z的概率密度函数为
)()( zFzf ZZ
2
0,0
1
( 1 ),0 2
2
1
( 1 ),2
2
z
z
z
ez
e e z
YXZ
)()()( zYXPzZPzF Z
其中区域,则 的概率密度zyx Z
dyyyzfzFdzdzf ZZ ),()()(
YXZ1） 的分布
),( YX ),( yxf设 的概率密度为,则的分布函数二维随机变量函数的分布（公式法）
zyx
dx dyyxf ),( dydxyxfyz ),(
如果将上面的累次积分交换顺序,又可得
dxxzxfzf Z ),()(
( ) (,)Zf z f z y y d y
dyyfyzfzf YXZ )()()(
dxxzfxf YX )()(
X Y特别，当 与 相互独立时，有设随机变量 X,Y 相互独立,均服从区间 (0,1)
上的均匀分布,求,Z = X +Y 的解,,相互独立随机变量 YX?
dxxzfxfzf YXz )()()(
在 XOZ平面上作出区域 G
10,10),( xzxzxG
Gzx
Gzx
xzfxf YX
),(1
),(0
)()(则例 8
概率密度 fZ(z).
x
z
1
1
z = x
z = 1+x
（ 1,2）
（ 1,1）
当 0<z ≤1时
,1)( 0 zdxzf zz
当 z≤0或 z > 2 时 fZ(z) ＝ 0,
当 1<z ≤2时
,21)( 1 1 zdxzf zz
的概率密度为：综上得 YXZ
.,0;21,2;10,
其他
zz
zz
zf z
概率密度曲线为
z
fz(z)
1
1
2
称为辛普生分布
o
已知二维随机变量（ X,Y）的联合
.,0;10),(2
),(
其他
yxyx
yxf
求 Z=X+Y 的概率密度,
解 在 XOZ 平面上作出区域
}10),{( xzxzxG
xzxxzx 12,10,
例 9
概率密度为
x
z
(1,2)
(0,1)
z =2x
z =1+x?
.,0;),(,2
),(
其他
Gzxz
xzxf
O
当 z≤0或 z > 2 时 fZ(z) ＝ 0
当 0<z ≤1时
xzxxzx 12,10,
,2)( 220 zdxzzf
z
z
当 1<z ≤2时
21 2)( z zz dxzzf
的概率密度为：综上得 YXZ
,2 2zz
.,0;21,2;10,
2
2
其他
zzz
zz
zf z
2
2
2
)(
2
1
)(?
x
X exf
2
2
2
)(
2
1
)(?
y
Y eyf
)(zf Z dxe xzx
])()[(
2
1
2
22
2
2
1
X Y解 由题意知 与 的概率密度为
Z因此 的概率密度
dtext
tzt
])2([
2
1
2
22
2
2
1
令
),( 2N YXZ
的概率密度,)( zf Z
X Y设 和 相互独立，
且都服从正态分布,求例 7
dte
zzt
])
2
2()
2
2[(2
2
1
2
22
2
2
1
dtee
zz
t
2
)2(
2
1
)
2
2
(2
2
1 2
2
2
2
)
2
(2
1
)
2
(2
1
2
2
)2(2
)2(
)2(2
1?
z
e
)2,2(~ 2NYXZ YX?
也服从正态分布，其均值和方差都是原来的二倍。
故,即则
nXXX,,,21?
),(~ 2kkk NX nk,,2,1
),(~
1
22
11
n
k
kk
n
k
kk
n
k
kk NXZ
其中 为常数。
k?
以上结果可推广到一般情况：若相互独立，且例题 10 Y
X 0 1
0
1
2
求 M=Max(X,Y)
N=Min(X,Y) 的分布律
P(M=1)=1/20+2/20+3/20=6/20
M
p
0 1 2
N
p
0 1
例题 11 M=Max(X,Y) X,Y 相互独立 求 F M(z)
解,
例题 12 N=Min(X,Y) X,Y 相互独立 求 F N(z)
解,
例题分析 13
设 X,Y 服从区域 G = { ( x,y ) | 0 1,0 2 }XY
的均匀分布,Z =Max(X,Y) 求 P(Z>1/2)=?
11
,{ } 1 { }
22
11
1 { }
22
p z p z
p X Y
解且
1 1 71
2 4 8
例题 15
设 x1,X2,X3… Xn 独立同分布,
求 Y=Min(X1,..Xn)× n 的分布函数
0 1例 题 16 在 区 间 ［,］ 上,随 机 的 取 两 点 x,y,求 两 点间 距 离 的 概 率 密 度
X Y U 0 1 0 1解,（,） ～ （,；,）1 0 1 0 1(,) 0 xyf x y 其 他
||Z X Y
0 ( ) 0 Zz F z当
2Z 0 1 F ( ) 2 z- z
D
z z d x d y当 时 ＝
Z 1 F ( ) 1zz当 时
2
Z
0 0
F ( ) 2 0 1
1 z 1
z
z z z z
故 2 ( 1 ) 0 1
() 0 z zzfz
其 他
X,,X ~ N( 0,1),Y~ U( 0,1)Y
Z = X / Y
例 题 设 随 机 变 量 相 互 独 立求 的 概 率 密 度 函 数
2
221
2
x
f x e x
解 因 为
1 0 1()
0 Y
yfy
其 他
( ) ( )ZF z p Z z( / )p X Y z ()p X z Y
X zY?
x
y
2
1 2
0
1
2
xzy
dy e dx
2()
1 2
0
1()
2
zy
Zf z e y dy?
0z?当 时
2
2
2
1( ) ( 1 )
2
z
Zf z ez?
1()
22Zfz0z?当 时
(请思考）
2
Y
X Y
0 0
( ) ( )
0 0 0 0
xy
X
e x e y
f x f y
xy
例 题 设,相 互 独 立,
( ) ( )ZF z p Z z解,( / )p X Y z ()p X z Y
x
y X=yz
(,)yz f x y d x d y＋－ － 22yz xyd y e d x＋－ －
2( ) 2 y z yZf z y e d y
＋
－
22 /( 2 )z
0 ( ) 0Zz f z当 时,
0z?当 时
Z X /Y求 ＝
( ) ( )ZF z p Z z( / )p X Y z()p X z Y
z = x / y一 般 求 的 密 度 函 数 的 基 本 步 骤
（ 1）
x
y x/y=z
(y>0)
()p X z Y?＋ (y<0)2 ( )
zfz（ ） 求 导 得
3x 0 < x < 1 0 < y < x X Y
0
例 题 分 析 设 （,） ～ 其 他求 Z=X-Y 的 随 机 变 量
Z F ( ) ( )z p X Y z解
x
(1,1)
y
()P Y X z
1z当 0 时
11 3 ( )
z x x z d x
1
Z 0 F ( ) 1 3
xz
zz d x x d y
23( ) ( 1 )
2zf z z 1z当 0 时
X,Y
0
()
0 t 0
1 U X Y
2 V = X /Y
3 U V
t
et
ft
练 习 题 设 相 互 独 立,且 同 分 布,密 度 函 数 为
（ ） 求 ＝ ＋
（ ） 求
（ ） 证 明,相 互 独 立
X U ( 0,2 Y U 0 1
1U X V U,V )
2
练 习 题 设 ～ ）,～ （,）
＝ ＝ 2Y 求 （ 的 联 合 密 度 函 数
1 2 1 1 1 2
2 2 1 2 1 2
X,X Y Y ( X,X
Y Y ( X,X Y Y
一 般 设 相 互 独 立,＝ ）
＝ ）,求 （,） 的 联 合 分 布
1 2 1 1 2 2 1 2(,) ( (,),(,) ) | |f y y f X y y X y y J?
11
12
22
12
XX
YY
J
XX
YY
的泊松分布
。
YXZ 21
证 由题意知例 10 X Y设随机变量 与 相互独立，
1? 2?服从参数 和 的泊松分布,证明随机变量服从参数为它们分别
,2,1,0,
!
}{ 1
1
1
1
1
1
ke
k
kXP
k
,2,1,0,
!
}{ 2
2
2
2
2
2
ke
k
kYP
k
的所有可能取值为,而Z?,2,1,0
故
i
k
i
k
kiYPkXPkiYkXP
iYXPiZP
00
}{}{)},{
}{}{
21
!)(!
2
0
1
e
ki
e
k
kii
k
k
ki
i
k
kk
iCie
2
0
1
)(
!
1
21
)(21 21
!
)( e
i
i
,2,1,0?i
)(~ 21 YXZ
2
12
X 1 X 2,,
Y X X
1B ( n,p ) B ( n,p )例 题 设,独 立,分 别 服 从 二 项 分 布 求
＝ ＋ 的 分 布
Y 0 1 2 12n + n解,的 可 能 的 取 值 为,,,
k对 于 上 述 范 围 内 的,有
12
1 1 2 2( ) ( ) ( )k k kp Y k p X k p X k
1 1 1 1 2 2 2 2
12
12
( 1 ) ( 1 )k k n k k k n knn
k k k
c p p c p p
1 2 1 2 1 2
12
12
( 1 )k k k k n n knn
k k k
c c p p
12
12 ( 1 )
n n kkknnc p p 12(,,)b k n n p?
作业
P106 16,17 18,20,21
第三章 多维随机变量主要知识点
1、二维随机变量的密度函数、分布函数
2、求 Z=X+Y Z=Max(X,Y) Z=Min(X,Y)的密度函数
3,X,Y 独立的条件
4、边缘密度函数一、填空题
1,设随机变量 X,Y相互独立,
22~,,~ 0,2X N Y N
P X Y求,＝
2、在区间（ 0,1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6/5的概率
3,X,Y相互独立，将空白处填上数字
Y y1 y 2 y3 P{X=xi}=pi.
x1 1/8
x2 1/8
P{Y=yj}=p..j 1/6 1
X
4,设二维随机变量 服从区域上的均匀分布,令,求 =
(,)XY
{ (,),0 1,0 2 }G x y x y
m a x {,}Z X Y?
1{ }
2PZ? ＝
1 1 1 1 1 / 4 7{ } 1 { } 1 {,} 1
2 2 2 2 2 8P Z P Z P X Y
1,设随机变量 X,Y 相互独立，其概率密度分别为
其他,0
10,1)( xxf
X
0,0
0,)(
y
yeyf y
Y
2Z X Y求随机变量 Z概率密度函数，
基本步骤：
第二步 求 z的分布函数第三步 求密度函数第一步 求联合密度由于 X,Y相互独立，因此 Z的概率密度为：
其他,0
0,10,)()(),( yxeyfxfyxf y
YX
因此,Z=2X+Y 分布函数为,
zyx
z d x d yyxfzYXPzF
2
),(2)(
1
0
2
2
0
2
0
2
0
2,
2
1
2
1
1
20,
2
1
2
1
2
1
0,0
zeedyedx
zezdyedx
z
zz
xz
y
z
z
xz
y
所以,Z的概率密度函数为
)()( zFzf ZZ
2,)1(
2
1
20),1(
2
1
0,0
2
zee
ze
z
z
z
(,) G,) | | |,1 }
X Y
X Y x y y x x2,设 在区域 ＝｛（
均匀分布，确定,的独立性强调：对于二维随机变量，通常在平面上画出密度函数不为零的区域
3、
1 x 0()
0 0
xe
Fx
x
设 x1,X2,X3…X n 独立同分布,
求 Y=Min(X1,..Xn)× n 的分布函数
Y,F ( y ) = P ( Y y ) = 1 - P ( Y > y ) ( y > 0 )?解
1 2 n
y= 1 - P{M in ( x,x,.,,x ) > }
n
n - yy=1 - [ 1- F ( ) ] =1 - e
n
1 0
()
0
y
Y
ey
Fy
其他
4,设 ( X,Y ) 的概率密度是
其它,0
0,
),(
yxc x e
yxf
y
求 (1) c 的值 ;(2)两个边缘密度,是否独立？YX,)3(
}1{)4( YXP 的密度。YXZ)5(
10 0y y dxc x edy dxdyyxf ),(解,(1)
c =1
1)3(22
0
2 cdyeyc y
x
y
0
y=x
4（续）,设 ( X,Y ) 的概率密度是
其它,0
0,
),(
yxc x e
yxf
y
求 (1) c 的值 ;(2)两个边缘密度,
解,(2)?)( yf
Y
其它,0
0,
2
1 2
yy
ye
dxyxf ),(
其它,0
0,
0
ydxxe
y y
)( yfY
其它,0
0,xdyxe
x
y
其它,0
0,xxe x
)()(),()3( yfxfyxf YX? 不相互独立。与 YX?
}1{)4( YXP
x
y
0
y=x
X+y=1
d x d yyxf ),(
12
1
2
1
0
1 1 eedyxedx x
x
y
dxxzfxfzf YXZ)5(
xzx0
的区域：被积函数不为 0
xzzx 2,20
z
0
Z=2x
,0?z⑴．若 0?zf Z
，⑵．若 0?z
2
0
)(
z
xz
Z dxxezf
的密度函数为可得综上所述 YXZ,
0?,
0,0
z
z
zf Z
x
z
0
Z=2x
1,( )
3X Y P X i k设随机变量 独立同分布,（k = 1,2,3 i = 1,2 )
2
22
m i n
1
2
3 3 ) ( )
1 1 2 1 1 2
12
1
11
Y = max ( X,X ) Y = ( X,X )
Y,Y
Y,Y
P( Y Y P Y Y
记 随机变量求：（ ）（ )的联 合分布列
（ ）判断 是否相互独立
（ ）求
其它,0
,)]([)( yyhyhfyf
Y
其中,),(m in xg
bxa ),(m a x xgbxa
此定理的证明与前面的解题思路类似,
是一个 连续型 随机变量，
0)( xg 0)( xg
设 X 是一个取值于区间ba,具有概率密度
o t h e r
bxaxxf
X 0
的连续型随机变量，又设XgY? 处处可导，且对于任意 x 恒有 或恒有 则
XgY?
.YhX?
其反函数为
Y 的概率密度为定理
