上一章，介绍了随机现象、样本空间、样本点、事件、概率等概率论的基本概念一、随机变量的概念随机现象的认识
（随机现象的分布规律）
所有可能的取值
（样本空间）
取各个值的可能性
（概率）
从现在开始，我们用为微积分的知识研究随机现象的分布规律一、随机变量的概念举例：掷骰子 s={1,2,3,4,5,6}
用 X表示投掷的结果,X的取值事先并不知道，只能知道是六个数之中的一个。
再举例：每天来听课的人数,用 Y表示,Y具有随机性质随机变量的直观定义：
事先不能够确定取得什么值的量 X称为随机变量问题：如果试验的结果不是数字，能不能也用数字表示呢？
比如：投掷硬币观察正反面记录新生婴儿的性别、考试合格不合格等问题做法：可以把样本点和数字建立一一对应关系样本点 ←→ 数字比如 正面 ←→ 1 反面 ←→ 0
X=1 表示取正面 X =0表示取反面数字和样本点对应，类似于运动员通常说号码例如 掷骰子，
{X＞ 3}
再如：灯泡的寿命 大于 3000小时为合格用 Y表示灯泡寿命，则 A＝｛ Y≥3000 ｝
通过样本点和数字的一一对应样本空间是一个数字集合，事件也是数字集合事件 A＝,点数大于 3‖ 可以写为：
{ 1,2,,6 }s?
事件的表达变得简洁、明了灯泡合格记为事件 A A＝,灯泡寿命大于 3000小时”
再如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高,
我们可以把可能的身高然后我们可以提出关于 X 的各种问题,
如 P(X >1.7)=？ P( X ≤1.5)=?
P(1.5< X <1.7)=
注意：一旦我们实际选定了一个学生并量了他的身高之后，
我们就得到 X 的一个具体的值，记作,x
看作随机变量 X,
小结,对于随机试验的所有结果，通过建立样本点和数量 x的一一对应关系，这样就把 样本点发生的概率转化为取得某个数字的概率,
一般 事件发生的概率转化为数字集合的概率和样本点对应的数 X称为随机数，因为他的取值事先不能确定，要依赖于随机试验的结果，随机数也称为随机变量这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数,
e,X(e)
s R
设 是 E 的样本空间,若对于每一个有一个实数 和它对应为随机变量。
ieS?
,SeeX,eXX? 则称
eX
为了区别不同的随机变量,也可用 Y,Z 来表示。
定义
e,X(e)
s R
这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？
对于随机变量，我们不过多关注 e和 X（ e)的对应关系，而是把关心 X（ e）的取值概率而表示随机变量所取的值时,
随机变量通常用大写字母
X,Y,Z 或希腊字母 ζ,η 等表示一般采用小写字母 等zyx,,
引入随机变量的目的是为了便于以数量形式全面地研究随机试验的全部结果的概率分布情况,及其他的特征。 所以要完全刻化随机变量必须知道下列两方面的问题。
1,随机变量能取什么样的值。 （取值范围）
2,随机变量以多大的概率取这些值。 （概率分布）
1、离散型 随机变量按 X 的取值情况，
X所有可能值（有限、无限）是可以一、一列举的。
如袋中有 4个合格品,2个次品。 今有放回地取两件，
取出的次品数为,210 XXX
可以将其分为两类,（主要研究）
二、随机变量的分类：
X
2、连续性随机变量
X所有可能值是不可一一列举的。
),( 内的一个区间。
（ ）
X
第二节离散型随机变量及其分布规律对于随机变量 X,全部可能的取值是有限个或者可列个，则称这种随机变量为 离散型随机变量掷骰子,用 X 表示掷出的点数网站一天访问的人数 Y
例如定义
1、定义称为 X的分布律 (列 )或概率分布。
1,2,kkP X x P k
分布列也可以用列表法表示一、离散型随机变量分布律的定义
nkk
nk
ppppP
xxxxX
21
21
设离散型随机变量 X可能取且取这些值的概率依次为 p1,p2,…,p n,,
12,,,.nx x x
2,分布列的性质
1,0 1,2,kP X x k
1
2,1
n
k
k
P
（非负性）
（归一性）
给定了,1,2,,
kkx P k n?我们就能很好的描述 X.
即可以知道 X 取什么值，以及以多大的概率取这些值。
解,依据分布律的性质,
k
kXP 1)(
P(X =k)≥0,
1
!0
ae
k
a
k
k
解得 ea
0k
k
k
e
!
这里用到了常见的幂级数展开式设随机变量 X的概率函数为：
,
!
)(
k
akXP
k?
k =0,1,2,…,
试确定常数
0
.a
0?a
例 1.
例题 2
设 X 为离散型随机变量，其分布律为：
x
p
-1 0 1
1/2 1-2q q2
解,
某射手连续向一目标射击,直到命中为止,
解,显然,X 可能取的值是 1,2,…,
P(X =1)=P(A1)=p,
为计算 P(X =k ),k = 1,2,…,
Ak = {第 k 次命中 },k =1,2,…,设于是
pp )1( )()2( 21 AAPXP
)()3( 321 AAAPXP pp 2)1(
已知他每发命中的概率是 p,求 射击次数 X 的分布列,
例 5.
,2,1?k ppkXP k 1)1()(可见这就是所求 射击次数 X 的分布列,
若随机变量 X的分布律如上式,
不难验证,
1)1(
1
1
k
k pp
几何分布,
则称 X 服从几个重要的离散型随机变量模型
(0,1)分布二项分布波松分布一,(0-1)分布 （二点分布）
随机变量 X 只取 0与 1两个值
1( ) ( 1 ),0,1 kkP X k p p k
pp
X
1
10~
10 p
分布列二点分布非常有用，
如检查产品质量是否合格,电路,通、断,等。
它的分布列是
A
A
X
0
1 发生发生掷骰子：“掷出 4点”，,未掷出 4点,
―成功,和,失败,,
,A
新生儿：“是男孩”，,是女孩,
抽验产品：“是正品”，,是次品,
一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果,A 或 或者形象地把两个互逆结果叫做将一枚均匀硬币抛掷 1次，
111{ } ( ) ( ),0,1
22
kkP X k k
则 X 的分布列是：
反面 正面
X = 0 X = 1
,正面”的次数令 X 表示 1次中出现例 6
0 1X
P 1/2 1/2
伯努利试验 和 二项分布即在试验 E 的样本空间 S 只有两个基本事件有一类十分广泛存在的只有相互对立的两个结果我们称这只有两个对立的试验结果的试验为的试验。
且每次试验中
.AA 与例如,试验,成功,,,失败,。种子,发芽,,,不发芽生,男孩,,,女孩,
考试,及格,,,不及格,
产品,合格,,,不合格,买彩票,中奖,,,不中奖
101)()( pqpAPpAP
伯努里试验。
则称 X 服从参数为 n,p 的 二项分布 。
事件 A 发生的概率均为 P，
定义 设将试验独立重复进行 n 次，
n 重贝努里试验,
若以 X 表示 n 重 贝努里试验事件 A 发生的次数，
记作pnBX,~
则称这 n 次试验为每次试验中，
用 X 表示 n 重贝努里试验中事件 A（成功）出现
nkppCkXP knkkn,,1,0,)1()(
1)(
0
n
k
kXP（ 2）
不难验证：
0)( kXP（ 1）
的次数，则
{ } ( 1 ),( 0,1,.,,,)k k n knP X k C p p k n
若其分布列为：
~,X B n p
knkk
n ppC
)1(? 正好是二项式 nqp )(? 的展开式中的通项,因此该分布称为二项分布。
显然,n = 1 时,二项分布化为二点分布。
(0-1) 分布记为pBX,1~
二项分布的分布列例 某人射击每次命中的概率为 0.7,现独立射击 5
次，求正好命中 2 次的概率。
解2?XP
13.03.07.0 3225 C
例 7 某车间有 50台机床,一天内每台需要维修的概率均为 0.02,求一天内需维修的机床不多于 2台的概率。
解 02.050 pn
2?XP
4915050 98.002.098.0 C
0 XP1 XP2 XP
1 8 6.098.002.0 482250 C
例 8
}1{ XP
n99.01
99.0ln
05.0ln?n
01.0?p购买一张彩票中奖的概率为
,
问需要买多少张彩票才使至少中一次奖的概率不小于 0.95？
解,设 n需要买 张彩票,X 表示中奖的次数则
nn ppC )1(1 00
}0{1 XP
95.0?
57.299?
因此至少要买 300 张彩票才行
0 0 7 1 2 5.0)95.0()05.0()2( 223 CXP
已知 100个产品中有 5个次品，现从中 有放回解,因为这是有放回地取 3次，因此这 3 次试验的依题意，每次试验取到次品的概率为 0.05.
设 X 为所取的 3个中的次品数，
于是，所求概率为：则 X ～ B(3,0.05)，
例 10
地取 3次，每次任取 1个，求在所取的 3个中恰有 2个次品的概率,
条件完全相同且独立，它是贝努里试验,
注,若将本例中的,有放回,改为,无放回,,那么各
0 0 6 1 8.0)2( 3
100
2
5
1
95
C
CCXP
次试验条件就不同了，
古典概型求解,
不是贝努里概型,此时只能用直至达到最大值,随后单调减少,
( [x] 表示不超过 x 的最大整数 )
...
n=10,p=0.7
k
Pk
0
对于固定 n 及 P,当 k 增加时,
概率 P (X = k ) 先是随之增加当pn 1? 不为整数时，
pn 1? 二项概率kXP?
达到最大值；在[ 1 ]k n p
pnBX,~二项分布的图形特点,
(,,) ( 1 ) ( 1 )1
( 1,,)
b k n p n k p n p k
b k n p k q k q
( 1 ),(,,),
( 1 ),(,,),
k n p b k n p
k n p b k n p
时 大 于 前 面 一 项 增 加时 大 于 前 面 一 项 下 降
= ( 1 ),k n p? 整 数 时 前 后 两 项 相 等
= ( 1 ),[ ( 1 ) ]k n p n p非 整 数 时 取 得 最 大 值简要说明
,,2,1,0,
!
)( k
k
ekXP
k?
设随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2,…,
其中 >0 是常数,λ
且概率分布为：
泊松分布,记作
λ则称 X 服从参数为 的
~ ~ ( )Xp或者x
泊松分布
)(~?PX
泊松分布的图形特点：
...
n=10,p=0.7
k
Pk
0
X~B(n,p)
当 n 很大,p 很小时
，
图形可以看出,泊松分布是二项分布的极限分布,
参数? = n p 的 泊松分布二项分布就可近似看成是设某国每对夫妇的子女数 X服从参数为?的泊
2 ~ ( ),1 { 0 } { 1 } 3 X P X P X P X e且
{ 3 } 1 { 0 } { 1 } { 2 } P X P X P X P X
12
2 2 2 2221 1 5 0,3 2 3
1 ! 2 !e e e e
解,由题意,
23 2 e e e
求任选一对夫妇,至少有 3个孩子的概率。
松分布,且知一对夫妇有不超过 1个孩子的概率为 3e-2.
例 12
例 13 有产品 15000件，其中次品 150件,今抽取 100
件，求有 2件是次品的概率。
解法一 超几何分布
100
15000
98
14850
2
1502
C
CC
XP
10015015000 nMN
解法二 二项 分布 01.0 NMp 为次品率
9822100 99.001.02 CXP
1839.03678.021!212
12
e
XP
解法三 泊松 分布 1 pn?
历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于 1837
年由法国数学家泊松引入的,
近数十年来,泊松分布 日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一,
在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布,
泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位,
都可以看作服从泊松分布,
某电话交换台收到的电话呼叫数；
到某机场降落的飞机数 ;
一个售货员接待的顾客数 ;
一台纺纱机的断头数 ; …
一放射性源放射出的 粒子数；?
例如作业
P69 1; 4; 6;12
离散型随机变量的概率分布
1,0—1分布
（ k=0,1,2,…,n）
（ k =0,1,
2,… ）
!k
e
qpC
k
knkk
n
1,0,}{ 1 kqpkXP kk
knkk
n qpCkXP
}{
!
}{
k
ekXP k
2,二项分布
3,Poisson分布
pk = P{X = xk} (k=1,2,… )
§ 2.4 随机变量的分布函数
1,分布函数的定义及性质
2,由分布函数求事件的概率
3,连续型随机变量及其概率密度函数的概念。
4,连续型随机变量概率密度函数的性质
5,常见的连续型随机变量的概率分布定义,设 X为随机变量，对于任意实数 x，称函数一、分布函数的概念
x
F（ 5） = P{X≤5} = P{-∞ ＜ X≤5}
F（ x）的定义域,(-∞,+∞ ）
为随机变量 X的分布函数。
F（ x）的值域,[0,1]
分 布,求 的 分1 布 函例 题 数~ ( 0,1 )XX
0 ) 0解：,x F ( x
01 时，x F ( x ) p
11 时，x F ( x )
0
00
( ) 1
11
x
F x p x
x
F（ x）可用来确定随机变量取某个值和取值落入某一个区间的概率。
1,{ } { } { } ( ) ( ) P a X b P X b P X a F b F a
0
2,{ } { } lim
x
P X a P a x X a
[ ( ) ( ) ] ( ) ( 0 ) lim
xo
F a F a x F a F a
3,{ } { } { } P a X b P X a P a X b
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F a F a o F b F a F b F a o
4,{ } 1 { } 1 ( ) P X b P X b F b
aa-△ x
二、分布函数具有如下性质
)(}{)( xxXPxF
( 2 ) ( ) l im ( ) 0,( ) l im ( ) 1xxF F x F F x
（ 1） 0 ≤ F（ x） ≤1
（ 3） F（ x）是 x 的单调不减函数；
（ 4） F（ x+0） =F（ x），即 F（ x）是右连续函数。
例 2 已知 X的分布函数。求（ 1）常数 A,B；
（ 2） P{X≤0} ； P{X=1}； P{0 ≤ X ≤ 1} 。
解,⑴ 由 F（ - ∞） =0,F（ ∞） =1得
A –π/2 B=0,A + π/2 B= 1
∴ A=1/2,B = 1/ π
⑵ P{X≤0} = F（ 0） =1/2 ；
P{X=1} = F（ 1） - F（ 1-0） = 3/4-? = 0
P{0 ≤ X ≤ 1} = F（ 1） - F（ 0-0）
=? -1/2 = 1/4
( ),( ) F x A B a r c t g x x
例 3 随机变量 X的所有可能取值为 1,2,3，且 P{X=k}=kα
（ 1）求 α,由即
F(x)的图像为,X 1 2 3
p a 2a 3a
（ 2）求 X 的分布函数 F（ x）
解得 α =1/6
（ 3）求下列事件的概率
6
1
2
3}
2
3{?
FXP
0
6
1
6
1)1(
2
3}
2
31{
FFXP
3
1
6
1
2
1)02(
2
5}
2
52{
FFXP
练 习 题 分 析 下 列 函 数 中 哪 个 是 随 机 变 量 的 的 分 布 函 数,,X?
1
0,2
( 1 ) ( ) 1 / 2,-2 0
2,0
x
F x x
x
2
0,0
( 2 ) ( ) si n ( ),0
1,
x
F x x x
x
3
0,0
( 3 ) ( ) 1 / 2,0 1 / 2
1,1 / 2
x
F x x x
x
练 习 题 设 随 机 变 量 的 分 布 函 数 如 下 X,
2
1
() 1
xFx x
①
② x ③
试填上①②③项
这里和式是对所有 xk ≤ x 的 k 求和。 F(x)
的图形是阶梯形，在 x = xk (k=1,2,… )处具有跳跃，
其跳跃值为 pk=P{X=xk}
三、离散型随机变量的分布函数
一般地，设离散型随机变量 X的概率分布为
pk = P{X = xk} (k=1,2,… )
则 其分布函数为
( ) ( )
k
k
xx
F x p x x
例 4、已知离散型随机变量 X的分布函数为：
求 X的分布律，并求 P{1/2≤X≤3}
11,
11b,a
-1,
8
1
1c,
x
xx
x
x
xF )(
例 5、已知随机变量 X的分布函数为：
又已知 P{X=1}=1/4，试求 a,b,c的值。
解,0F )(
F（－ 1+0） =F（－ 1）
P{X=1}=F（ 1）－ F（ 1－ 0）
0c
1 = 1- ( )
4 ab
例 3 在区间 [0,2]上随机投掷一个质点，用 X 表示落点坐标，设这个质点落在 [0,2]中任意小区间内的概率与小区间的长度成正比，求 X 的分布函数。
解 若 x<0，则 F(x) =P {X≤ x}=0
若 0≤ x≤2,则 F(x) =P {X≤ x}=P{X <0}+P{0 ≤ X≤ x}=k x
取 x=2，由 P {X≤ 2}=2k=1,得 k=1/2,于是 F(x) =1/2
若 x>2，则 F(x) =P {X≤x} =1，所以例 3(续） 在区间 [0,2]上随机投掷一个质点，用 X 表示落点坐标，设这个质点落在 [0,2]中任意小区间内的概率与小区间的长度成正比，求 X 的分布函数。
连续型随机变量定义 1,对于随机变量 X,若存在非负函数
( ) ( ) ( ) xF x P X x f u d u＝ ＝
使对任意实数,f x x
则称 X为连续型随机变量, f x x为 的概率密度函数，
简称概率密度或密度,
常记为~,,X f x x
都有,x
面积为 1
这两条性质是判定一个函数 是否为某随机变量
X的概率密度函数的充要条件。
( ) 1,f x d x ＝
性质 (1),(2)是密度函数的充要性质；
0,f x x
(2) 归一性
(1) 非负性
f (x)
0 x
1
二,密度函数的性质
f (x)
0 xx
)(xF
()fx
1 2 2 13 ( ) P x X x F x F x＝2
1
( ) xx f t d t?＝
12 xx?
即 X落在 ],[ ba 上的概率 ],[ ba?
上曲线xfy? 之下的曲边梯形的面积。
f (x)
x0
1x 2x
密度函数的几何意义
（ 4）若xf 在点 x 处连续，
则有( ) F x f x
0
lim
x
F x x F xfx
x
0
lim
x
P x X x x
x
P x X x x f x x
这表示 X 落在小区间 [x,x+Δ x]上的概率近似地等于
,f x x?
若不计高阶无穷小，有：
（ 5） 对任意实数 b,则 0 bXP
称 A 为几乎不可能事件,B 为几乎必然事件,
可见,由 P(A )=0,不能推出A
由 P(B )=1,不能推出 B = S
的高度反映了随机点集中在该点附近的密集程度,
要注意的是,密度函数
()fx
()fa 并不是 aX? 的概率,
但是这个高度越大,则 X 取 a
附近的值的概率就越大,也可以说,在某点密度曲线
f (x)
0 x
1 在某点处 的高度a
)()( bXaPbXaP
)( bXaP
对连续型随机变量 X,有
)( bXaP
X设 连 续 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数 为
xxxF a r c t a n1
2
1
X试 求 的 密 度 函 数,
解, X f x设 的 密 度 函 数 为,则
f x F x211 1 xx
例 1
例 2 设 X 的分布函数为
00
01 2
x
xexF x
求2 3,P X P X f x
解2 PX?
3 PX?
2 F? 41 e
1 3 F1 3 PX 6 e
f x F x
220
00
xex
x
例 3 设 X是连续性随机变量，其分布密度为
28 3 0 2
0
A x x x
fx
o the r
（ 1）确定常数 A的值。 （ 2） 求 F(x).
( 3 ) 1 3 PX( 4 ) 1 PX?
解( 1 ) 1 f x d x
2
2
0
0
2 2
0 ( 8 3 ) A x x d x
23 2( 4 ) 8
0A x x A8
1 A
( 2) 0 x F x P X x 0 0 x dx
0 2 x 0 0 F x P X x d x
0
x f x d x
231 ( 4 )
8 xx
2
0
10 ( 8 3 )
8
x x x d x
2 x当
0 0 F x P X x d x2 2
0
1 ( 8 3 )
8 x x d x
2 3 2
0
1 ( 4 ) 1
8 xx
2 0 dx
23
00
1
( ) ( 4 ) 0 2
8
12
x
F x x x x
x
3 1 3 PX3 1 FF1 ( 4 3 3 3 ) 0 8
33 3
28
4 1 PX1 1 PX1 1 F 5 8?
例 4 某种晶体管的寿命（ h)是随机变量 X，其密度
2 100
0
k x xfx
o th e r
求 1、常数 k,
2,该晶体管不能工作 150 h 的概率。
3、一台仪器中装有 4只此种晶体管，
至少有 1只失效的概率。
工作 150h后，
解 1、
100
k?2
1001 k x d x
1
100
k
x
1 0 0 k
2,1 5 0 PX? 150 2
1001 0 0 x d x
1111 0 0 ( )
1 0 0 1 5 0 3
3、设 Ai ―第 i只晶体管 150h 失效,,4,3,2,1?i
由于
1 5 0 iP A P X31?
1 2 3 4 A A A A
相互独立,则所求的概率为
1 2 3 4( ) P A A A A 1 2 3 41 ( ) ( ) ( ) ( ) P A P A P A P A
42 1 51 ( )
3 8 1
( ) ( )xF x f t d t
求 F(x).
,0 1
~ ( ) 2,1 2
0,
xx
X f x x x
其 它设例 5
=
0
1
0
x tdt?
1
01
( 2 ) xt d t t d t
0?x
10 x
21 x
2?x
F(x)
解也可求出
2,1
21,
2
12
10,
2
0,0
)(
2
2
x
x
x
x
x
x
x
xF即对连续型随机变量,若已知xF,我们通过求导
.xf
密度函数复习
1、定义域？值域？
2、几何意义？
3、反映什么内容？
4、是否连续？值有什么意义？
5、密度一词如何理理解？
密度函数反映随机点在数轴上的分布疏密练 习 题 已 知
0 0
( ) 1 / 2 0 1 / 2
1 1 / 2
x
F x x x
x
则F( X) 是( )随 机变量的分布函数
( 1) (2)
( 3) ( 4)
连续型 离散型非连续型 非连续亦非离散型
D
练 习 题 设 在 区 间 上 随 机 变 量 的 密 度 函 数而 在 外 则 区 间 等 于
[,],X ( ) si n ( )
[,],( ) 0,[,] ( )
a b f x x
a b f x a b
( 1 ) [ 0,/ 2 ] ( 2 ) [ 0,]
3( 3 ) [ - / 2,0 ] ( 4 ) [ 0,]
2
1
练 习 题 设 连 续 型 随 机 变 量 的 密 度 函 数 为其 他
2
2
1
0
( )
0
x
c
X
x e x
fx c
1 2
3 1 4
c则式中 为（ ）
（ ）任意实数 （ ）正数
（ ） （ ）任意非零实数
3
若随机变量 X 的概率密度为：
则称 X 服从区间 (a,b)上的均匀分布，记作：
)(xf
a b
其它,0
,
1
)(
bxa
abxf
~,X U a b
均匀分布
{ } ( ) clcP c X c l f x d x
1,cl
c
ldx
b a b a
随机变量 X 取值在区间上，并且取值在
ba,
ba,中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比,
说明,
均匀分布的分布函数
X
X
若随机变量 服从区间（a,b ) 上的均匀分布，
则 的密度函数为
0
1
xa
xa
F x a x b
ba
bx
a b x
F (x)
0
1
1
,
( )
0,
a x b
fx ba
其 它
X则 的分布函数为练习题设 随机变量 X服从 [1,6]上的均匀分布，求一元二次方程 t2+Xt+1=0有实根的概率。
思考题银行取款，一般要排队等待，等待时间是一个随机变量，如何描述该随机变量的分布规律？
直观想象,该随机变量的密度函数应该是什么形状?
指数分布如果随机变量 X 的密度函数为
1 0
00
x
exfx
x
的指数分布．记为为常数，则称随机变量 X服从参数为其中 ( 0)
x
0
指数分布的分布函数
1
00
10
x
x
Fx
ex?
1~XE
说明 指数分布的另一形式如果随机变量 X 的密度函数为
00
0
x
xexp x
的指数分布．记为为常数，则称随机变量 X服从参数为其中 )0(
x
0
上页 下页
EX ~
例 7 设随机变量 X的概率密度为
（ 1）试确定常数 C：由
2,0
( )
0,0
xc e x
px
x
2
0
1 ( ) 2x cp x d x c e d x
得 c=2
1
2
0,5
21
0
11
{ } 1 { } 1 ( )
22
12
x
P X P X p x d x
e d x e
（ 2）
（ 3）
(2)已知该电子元件已使用了 1.5年，求它还能使用两解
330
( )
0 0,
xex
fx
x
36
2
( 1 ) { 2 } 3,,xp X e d x e
3
63,5
3
1,5
3
{ 3,5,1,5 }
{ 1,5 }
3
x
x
e d x
p X X
e
X
e d x
2 3,5 1,5 P X X
.电子元件的寿命 X(年） 服从参数为 θ ＝ 1/3的指数分布例 8
(1)求该电子元件寿命超过 2年的概率。
年的概率为多少？
例 9 顾客在某银行窗口等待服务的时间（分钟） X服从参数 θ =5的指数分布。若等待服务的时间超过 10分钟，
则他就离开，假设他一个月内要来银行 5次。以 Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求 Y的分布律及至少有一次他没有等到服务的概率。
解 Y是离散型,~ ( 5,)Y B p，其中 { 1 0 }p P X=>
现在 X 的概率密度为
/51 / 5 0
()
0 0,
xex
px
x
思考题
对男生的身高进行抽查,结果 X是一个随机变量,X
的分布规律有什么特点?
某门课的考试成绩也可以看作一个随机变量,
他也具有中间多、极端少的特点正态分布的定义
X如果连续型随机变量 的密度函数为
2
221
2
x
f x e x
0? x
)(xf
作 正态曲线,
F(x) 所确定的曲线叫
2
2
X
N
则称随机变量 服从参数为,的正态分布．记作X,
正态分布密度函数的图形性质
2
221
2
x
f x e x
对 于 正 态 分 布 的 密 度 函 数由 高 等 数 学 中 的 知 识,我 们 有,
0
x
h
P h X P X h
⑴,曲 线 关 于 直 线 对 称,
这 表 明,对 于 任 意 的,有
x
f (x)
0?h h
1
2
x f x
f
x f x
X
⑵,当 时,取 到 最 大 值离 越 远,的 值 就 越 小,这 表 明,对 于 同 样 长 度的 区 间,当 区 间 离 越 远 时,随 机 变 量 落 在 该 区 间中 的 概 率 就 越 小,
x
f (x)
0?h h
y f x x
y f x O x
⑶,曲 线 在处 有 拐 点 ； 曲 线 以轴 为 渐 近 线,
fx
x
y f x
⑷,若 固 定,而 改 变 的 值,则 的图 形 沿 轴 平 行 移 动,但 不 改 变 其 形 状,
因 此 图 形 的 位 置 完 全 由 参 数 所确 定,μ称为 位置参数。
1
2
fx
f
y f x X
y f x
X
⑸,若 固 定,而 改 变 的 值,由 于 的 最 大 值 为可 知,当 越 小 时,图 形 越 陡,因 而 落 在附 近 的 概 率 越 大 ； 反 之,当 越 大 时,的 图形 越 平 坦,这 表 明 的 取 值 越 分 散,
决定了图形中峰的陡峭程度,?
正态分布由它的两个参数
μ 和 σ 唯一确定,当 μ 和 σ
不同时，是不同的正态分布,
称为形状参数。
设 ),(~ 2NX X 的分布函数是
xdtexF
x
t
,
2
1)( 2
2
2
)(
标准正态分布
0 1 0 1N若,,我 们 称,为 标 准 正 态 分 布,
标 准 正 态 分 布 的 密 度 函 数 为
2
21
2
x
x e x?
下面我们介绍一种最重要的正态分布分布函数为
2
21
2
xx t
x t d t e d t x?
)(x?
0x x P X x对 于 我 们 可 直 接 查 表 求 出
2
21
2
xx t
x t d t e d t?
0x?如 果,我 们 可 由 公 式
2
21
2
u
x
e d u
2
211
2
x u
e d u
1 x
x0
)(x?
x-x
1xx
正态分布表
P439页 正态分布表查 P(z<0.2)
P(z>0.55)
P(z<-0.55)
( ) 1 ( )P X x x x
2
21()
2
tx
x e dt
表中给的是 x > 0时,Φ(x )的值,
当 x < 0 时
x? x
()P X x
P X x P x X x
( ) ( )xx 2 ( ) 1x
P{X
~ ( 0,1 ),
},0 1,
X N z
z
z
设 若 满 足 条 件则 称 点 为 标 准 正 态 分 布 的 上 分 位 点 。
0.05
1-
0.95
z
z
z
0.005
0.995
1,6 4 5,2,5 7,
,
1,6 4 5,2,5 7,
z
z
z
查 表 可 知
0 x
)(x?
z1z
例 9
~ 0 1
1 2 1 2
XN
P X P X
设 随 机 变 量,,试 求,
⑴,； ⑵,,
1221 XP⑴．
8 4 1 3 4.09 7 7 2 5.0 13591.0?
1221 XP⑵,112
8 4 1 3 4.019 7 7 2 5.0 81859.0?
解
14.1424.13 XPXP
24.13XP24.124.11
1075.08925.01
14.14?XP 114.12
7458.018729.02
由标准正态分布的查表计算可以求得，
这说明,X 的取值几乎全部集中在 [-3,3]区间内，
当 X～ N(0,1)时，
3 准则?
6 8 2 6.01121XP
9544.01222XP
9 9 7 4.01323XP
超出这个范围的可能性仅占不到 0.3%.
将上述结论推广到一般的正态分布,
),(~ 2NY 时，
6826.0)|(|YP
9544.0)2|(|YP
9 9 7 4.0)3|(|YP
]3,3[可以认为,Y 的取值几乎全部集中在的区间内。 这在统计学上称为?3" 准则,
它的依据是下面的引理：
正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布,
就可以解决一般正态分布的概率计算问题,
),(~ 2NX
1,0~ NXY则设定理标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的根据引理,只要将标准正态分布的分布函数制成表，
2~ ~ ( 0,1 )XX N Z N设,,则
{}Z XF x P Z x P x
2
221
2
tx
e d t
t d tu d u作 变 换,则,代 入 上 式,得
2
21
2
x u
zF x e d u?
x
{}P X x
( ) { }XF x P X x { } ( )X x xP
引理证标准化
2 ~ (,),XN若若
()abPZ
()P a X b
( ) ( ) ( )P a X b b a
)()(
ab
~ 0,1XN
~ 0,1XZN
~ 2 9
1 5 2 6 0
XN
P X P X P X
设 随 机 变 量,,试 求,
⑴,； ⑵,； ⑶,,
15PX⑴,
5 2 1 2( ) ( )33 11
3
111 3
0,8 4 1 3 4 0,6 2 9 3 0 1 0,4 7 0 6 4?
解例 10
1 2 2 5 23 3 3XP
2 ~ ( 2,3 ),2 3,XN
~ 2 9
1 5 2 6 0
XN
P X P X P X
设 随 机 变 量,,试 求,
⑴,； ⑵,； ⑶,,
2 6 1 2 6P X P X⑵,
1 6 2 6PX 1 4 8PX
8 2 4 21 [ ( ) ( ) ]33 1 2 2
2 1 2 2 1 0,9 7 7 2 5 0,0 4 5 5
例 10
解
0 1 0P X P X⑶,021 ( )3
21 3 2 0,7 4 8 63
已知 2~ 1 0,2 0,0 6 8X N P X d
1 0 0,9 5P X C求,,cd
解 10 0,0 6 8
2
dP X d
10 1,4 92d 1 2,9 8,d?
1 0 1 010 2cP X C 1 0 1 02c
2 1 0,9 52c
0,9 7 52c
1,96 3,922c c
例 12
例 13 某地区 18至 22岁的男子身高为 X,
从该地区随机地抽查一青年男子的身高，
25.5,170~ NX
1,他身高超过 168cm 的概率为多少。
2、若抽查 10个青年男子测其身高恰有 k（ 0<k<10)个人的身高大于 168cm 的概率为多少？
解
1 6 8 1 1 6 8P X P X 1 6 8 1 7 01 5,5
0,3 6 4 0,6 4
1,设该地区男子的身高为 X,
2,设该地区身高高于 168cm的为 X, ~,X B n p
1 0 0,6 4np
1010 0,6 4 0,3 5 0,1,1 0,K K KP Y k C k
公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01以下来设计的,设男子身高 X～ N (170,62),
问车门高度应如何确定?
解,设车门高度为 h cm,按设计要求或 01.0 hXP 99.0 hXP
因为 X～ N(170,62),)1,0(~
6
1 70 NX?
)6170( h? 0.99hXP?
(2.33)=0.9901>0.99 33.2
6
170 h
1 8 498.131 7 0h 即 设计车门高度为 184厘米时，
可使男子与车门碰头机会不超过 0.01.
故查表得例 14
一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布 Ｎ (100,152),某仪器上装有 3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的,求：使用的最初 90小时内无一元件损坏的概率,
解,设 Y为使用的最初 90小时内 损坏 的元件数,
9 0 1 0 0( ) ( 0,6 7 ) 0,2 5 1 415
故 3{ 0 } ( 1 ) 0,4 1 9 5P Y p
则其中
~ 3,Y B p
90P P X
例 15
练习：
1,若
其它,0
10,
)(
xCx
xp
求（ 1） C ；（ 2） {0.3≤X≤0.7} ；（ 3） F（ x）
C=2 ； 0.4 ；
1,1
10,
0,0
)( 2
x
xx
x
xF?
2,设 X的分布列为,P{X=1}=1/4,P{X=2}=a,P{X=3}=b
求 a,b,c,d,e
(?,?,0,?,1 )
分布函数为：
x
x
xd
x
xF
3e,
32,
4
3
21,
1c,
)(
作业
P71 23,24,25,20
问题,圆盘 半径用 X表示,x在 (0,1)之内等可能取值，是一个随机数，因此圆盘的面积 Y
也是一个随机变量
§ 2.5 随机变量的函数问题：
面积 Y小于意味着半径 X<1/2
11YX
42即 事 件 ｛ 面 积 ｝ 等 价 于 事 件 ｛ 半 径 ｝
1 ) ( )
42P( Y P X
所 以 1
2?
0 1
) 9 P(Y思 考 题,？
()9PY
答案：
1( 0 )
3PX
1
3?
2()
9PX
( ) ( )YF y P Y y
2()P X y
2 1()P X y
1()P X y
1 y
X服从 U(0,1)分布,求 截面面积 Y 的分布密度
1( ) 1 )
2
f y y
y?
（ 0
随机变量的函数
YY的 取 值 事 先 也 不 能 确 定,也 是 一 个 随 机 变 量,
X x Y y g x?当 取 值 时,取 值本 节 的 任 务 就 是,
X Y g X
Y
已 知 随 机 变 量 的 分 布,并 且 已 知,
要 求 随 机 变 量 的 分 布,
X Y X设 是 一 随 机 变 量,是 的 函 数,,Y g X?
(分布律或分布密度）。
X取值不能事先确定一,离散型随机变量 函数的概率分布当 X为离散型随机变量时,Y g X? 也是离散型随机变量。 求 Y的分布列是容易的。
例 1 已知 X的分布列为
3.03.01.01.02.0
32101
kP
X?
求 212Y X Y X Y X的分布列。
并且在 X 的分布列已知的情况下，
解 由 Y 的分布列可列出
1
2
2
3
1 0 1 2 3
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
1 2 1 0 1 2
2 2 0 2 4 6
1 0 1 4 9
K
X
P
YX
YX
YX
3.03.01.01.02.0
210121
kP
Y
3.03.03.01.0
94103
kP
Y
注,1、设 1,2,
kg x k?互不相等时，则事件
kkY g x X x
由
kk
k
pppP
xxxX
21
21
kk
k
pppP
xgxgxgY
21
21 )()()(?
2、当 ijg x g x i j
则把那些相等的值合并起来。
二,连续型随机变量函数的分布
XX f x设 是 一 连 续 型 随 机 变 量,其 密 度 函 数 为,
Y g X X Y?再 设 是 的 函 数,我 们 假 定 也 是 连 续 型
YY g X f y?我 们 要 求 的 是 的 密 度 函 数,
随机变量 。
知识回顾设随机变量 X 具有 概率密度求 Y = X 2 的概率密度,
解,(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：
021 0,0 ( ) 0,YY X y F y由 于 故 当 时
2( ) { } { }
YF y P Y y P X y
( 2 ) ( ) ( )YYF y f y利 用 及 变 限 定 积 分 求 导 公 式 得,
1
[ ( ) ( ),0,
2()
0,0,
XX
Y
f y f y y
yfy
y
例 1
y XyP y X y f x d x
020y?当 时
(等价事件 )
()Xfx
设 X ~U(-1,1),求 Y =X 2的分布函数与概率密度。
2
1
11
()2
0
X
x
f x y g x x
其 它
1
2
y
Y
y
F d x y
1
01
2( ) '( )
0
YY
y
yf y F y
其 它当 y < 0时 0)(?yF
Y
当 0 ≤ y < 1 时当 y ≥ 1 时 1)(?yF
Y
y? y
解例 2
2
YX
xy
F y f x d x
,0 4,
() 8
0,.
X
x
x
fx
其 它设随机变量 X 具有 概率密度：
解,(1) 先求 Y =2X +8 的分布函数 FY(y)：
}{)( yYPyF Y
2
8
.)()(
y
XY dxxfyF
例 3
}2 8{}82{ yXPyXP
试求 Y =2X +8 的概率密度,yfY
( 2 ) ( ) ( )YYF y f y利 用 可 以 求 得,
88( ) ( ) ( )22YX yyf y f
,0 4,
() 8
0,.
X
x x
fX
其 它
8
,8 16,
() 32
0,.
Y
y
y
fy
其 它整理得 Y =2X +8 的概率密度为,
8
2( ) ( ),
y
YXF y f x d x
1 8 1 8
( ),0 4,
8 2 2 2
0,.
yy
其 它解题思路总结
Y g X?⑴,先 求 的 分 布 函 数
Y g X?⑵,利 用 的 分 布 函 数 与 密 度 函 数 之 间 的 关 系
YF y P Y y P g X y
YYY g X f y F y求 的 密 度 函 数
()
()X
g x y
f x dx
2~ ~ ( 0,1 )XX N Y N设,,则
{}Y XF y P Y y P y
2
221
2
ty
e d t
{}P X y
上页 下页定理证求导得到,
设随机变量 X 的概率密度为
2
2
0
()
0
x
x
fx
其 它求 Y = sinX 的概率密度,
时,
当 1?y
10 y x0当 时故 当解：注意到,
x
sinx
0 π
1
0?y
时,
当 0<y <1 时,
XyPyXP a r c s i na r c s i n0
例 10
dy
ydFyf Y
Y
)()(?而求导得,
这样就可以利用已知的 X 的分布，
利用随机变量的函数的分布求其密度函数是常用的一种方法,称为分布函数法从上述各例中可以看到，
关键的一步是设法从yXg?)( 中解出 X,从而得到
()g X y?满 足 的 X 的 取 值 范 围内的概率。
在求 P(Y≤ y) 的过程中，
求出 X在 相应范围,
设 X ~U(-2,1),求 Y =X 2的分布函数与概率密度。
思考题
y
1) Y的取值范围?
x1-1-2
思路,
2) {Y<y} 对应的 {X<x}
3)求 F(y)
其它,0
,)]([)( yyhyhfyf
Y
其中，
此定理的证明与前面的解题思路类似,
是一个 连续型 随机变量，
0)( xg 0)( xg
设 X 具有概率密度的连续型随机变量，又设XgY? 处处可导，且对于任意 x 恒有 或恒有 则
XgY?
.YhX?
其反函数为
Y 的概率密度为定理 ()
Xfx（ －,＋ ）
例 2 设 X 的密度为
t h e r
xxxxf
00
10)1(6
求 3XY? 的概率密度.yf
Y
解 13 3Y X X Y
当 00 Yy F y
11 Yy F y
0?yf
Y
1 1 2
3 3 3
1
6 1 0 1
3
00
X
y y y y
fy
th e r
取值在 (0,1) 时,y 的取值也在 (0,1),x
1
32 1 0 1
00
X
yy
fy
th e r
是单调可导函数，则
|)(|)]([)(~)( yhyhfyfXgY XY
2 注意定义域的选择其中 X=h(y) 为 y＝ g(x) 的反函数,
若XgYxfX
X?~
注,1 只有当 g(x)是 x的单调可导函数时,才可用以上公式推求 Y的密度函数。
公式法：
一般地
y
x1 x2 x3
y = g(x)
x? xn
例 7 设 X 的 p.d.f.为求 的 p.d.f.
解故当 y? 0
或 y?1 时
y?f Y (y) = 0
x
)0(s in xxy
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y?
由图可知,Y 的取值范围为 (0,1)
y?
arcsiny? - arcsiny
1
x
)0(s in xxy
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
当 0? y < 1 时故设关于 x严单,反函数为 () ybx h y
a
故 1( ) [ ( ) ] | ( ) | ( )
YX
ybf y f h y h y f
aa
而 1 0 1() 0X xfx o the r s
故
1
01
()
0
Y
yb
aafy
o the r s
的概率密度,
,1,0~ UX 求解,Y a X b
Y a X b0?a
例 6
1
1
()
0
Y
b y b
afy
o the r s
设随机变量 X在 (0,1)上服从均匀分布，求解,在区间 (0,1)上,函数故于是 y 在区间 (0,1)上单调下降，
由前述定理得
/2
/ 2 / 2()( ),0 1
()
0,
y
yy
X
Y
de
f e e
fy dy
其 它注意取绝对值例 8
Y =-2lnX 的概率密度,
,0ln?X
0ln2 XY
有反函数
/2
/ 2 / 2()( ),0 1
()
0,
y
yy
X
Y
de
f e e
fy dy
其 它
1,0 1()
0,X
xfx
其 它
（续） 已知 X 在 (0,1)上服从均匀分布，
代入 )( yfY
/21,0
() 2
0,
y
Y
ey
fy
其 它得即 Y服从参数为 1/2的指数分布,
的表达式中例 9
2~ X
Y
X N Y e
Y f y
设 随 机 变 量,,,试 求 随 机 变 量的 密 度 函 数,
X由 题 设,知 的 密 度 函 数 为
xye?因 为 函 数 是 严 格 增 加 的,它 的 反 函 数 为
2
221
2
x
f x e x
解,
0
XX Y e
并 且 当 随 机 变 量 在 区 间,上 变 化 时,
在 区 间,上 变 化,
lnXY?
0y所 以,当,时,
l n l nYXf y f y y
2
2
ln11e x p
22
y
y
2
2
ln1
e x p 0
22
00
Y
y
y
fy y
y
XYe?由 此 得 随 机 变 量 的 密 度 函 数 为已知随机变量 X的分布函数 F(x)是严格单调的其反函数 F-1 存在且严格递增,
证明,设 Y 的分布函数是于是对对
10 y由于连续函数,证明 Y = F(X )服从 [0,1]上的均匀分布,
.yG
;0,0 yGy
> 1,1 ;y G y?
又由于 X 的分布函数 F(x）是严格递增的连续函数,
10 y对于
)}({ 1 yFXp yyFF )}({ 1
yYPYGyxFp
例 11
求导得 Y 的密度函数可见,Y 服从 [0,1]上的均匀分布,
本例的结论在计算机模拟中有重要的应用,
1,1
10,
0,0
)(
y
yy
y
yG即 Y 的分布函数是知识点随机变量函数的密度函数的求法
1、分布函数法求密度函数
2、公式法作业,P73 27,28,29,30,31
第二章 随机变量及其分布函数主要知识点：
1、密度函数、分布函数的性质
2、六个随机变量模型
3、随机变量函数的密度函数求法
2 1 2
2
1,
1
1
F x F ( x ) X X
a F x F ( x )
、设（ ）,分别是 的分布函数，为使
（ ）- b 成为某一随机变量的分布函数，则（ ）
一、填空题
32,
55ab（A )
22C,
33ab（）
13D ),
22ab（
13( ),
22B a b
2,如果随机变量的可能值充满区间（ ），那么可以成为一个随机变量的概率密度。
sin x
( ) ]?A [ 0,2 ( B ) [ 0,]?
( C ) [ 0,2 ]? 13
(D) [,]22
23 ~ (,) { } X N P X、设,则随着 的增大概率 应（ ）
（ A) 保持不变 （ B）增大
(C) 变小 （ D) 不确定
4 X F ( X )
( ) ( p a X b
、已知离散型随机变量 的分布函数为,
则）
A ) ( ) ( )
F b F a ( B ) F ( b ) - F ( a ) - P ( X = a )
( C) F ( b ) - F ( a ) - P ( X = b ) ( D ) F ( b ) - F ( a ) P ( X = a )
（
5 X F
G
、设随机变量 的分布函数 （x ),则随机变量
Y=2X+1 的分布函数 （y ) 是（ ）
1
) ) 1 )
2
11
) 1 ( ) F ( y ) -
22
b
d
yy
（a) F ( （ F(
22
(c) 2F(y
二、填空题
1、设 X～ b(2,p) Y~b(3,p) 且 P(X≥1)=5/9 则
P(Y ≥9)=( )
22 ~ ( 2,),
{ 2 4 } 0,3,{ 0 } _ _ _ _ _ _ _ _
XN
P X P X
、设且则
,1 3
3 ~ ( )
0,
{ 2 3 } 2 { 1 2 }
ax b x
X f x
P X P X a b
其它
、设且 则常数
2
4 X U
10x X x
、设随机变量 服从 ( 1,6 ),则方程有实根的概率是
-2
5X
e
、设随机变量 服从参数 的泊松分布且p ( x = 0 ) = 则p ( x > 1 ) =
.,0
,40,
8)(
其它
x
x
xf X
1、设随机变量 X 具有 概率密度：
解,(1) 先求 Y =2X +8 的分布函数 FY(y)：
}{)( yYPyF Y
2
8
.)()(
y
XY dxxfyF
}2 8{}82{ yXPyXP
试求 Y =2X +8 的概率密度,yfY
可以求得：利用 )()()2( yfyF YY
)2 8()2 8()( yyfyf XY
.,0
,40,
8)(
其它
x
x
Xf X
.,0
,168,
32
8
)(
其它
y
y
yf Y
整理得 Y =2X +8 的概率密度为：
2
8
.)()(
y
XY dxxfyF
.,0
,4
2
8
0,
2
1
)
2
8
(
8
1
其它
yy
解题思路总结
的分布函数⑴．先求 XgY?
之间的关系的分布函数与密度函数⑵．利用 XgY?
yXgPyYPyF Y
yFyfXgY YY 的密度函数求
yxg
X dxxf
)(
)(
〈 解一 〉 由于 y = -2lnx 在（ 0,1）是 x 的单调可导函数，其反函数 x = e- y/2 存在、可导且导数恒不为零,
h(y) = e- y/2,
21()
2
y
h y e
所以 pY(y)=| h’(y)|pX[h(y)]
22
1
( ),y 0
2
0,,y 0
yy
Xe p e
1
,y 02
2
0,y 0
y
e
2,设 X在（ 0,1）内服从均匀分布，求 Y = － 2lnX的概率密度。
3,设 X在（ 0,1）内服从均匀分布,求 Y = － 2lnX
的概率密度。
,解二,因 X～ U（ 0,1）,故 X 的密度函数为
( ) { } { 2 l n }YF y P Y y P X y
2{ l n } { }
2
yy
P X P X e
221 { } 1 ( )
yy
XP X e F e
1 0 10X xpx
其他
22
YY
1
( ),y 0
p ( y ) F ( y ) 2
0,,y 0
yy
Xe p e
1
,y 02
2
0,y 0
y
e
当 y>0时，
当 y≤0时,FY(y)=0
5,设 X 的密度为
0
00
0?
x
xexf x
求 12 XY 的概率密度.yfY
解 12 XXgY
2
1 YYhX
2
1
2
1 yfyf
Y?
由 X的分布密度的定义有
o t h e r
y
e
yf
y
Y
0
0
2
1
2
2
1
10
1
2
2
1
y
ye
yf
y
Y
即例 6
．的密度函数
，试求随机变量，，设随机变量
yfY
eYNX
Y
X?2~
的密度函数为，知题设由 X
函数为是严格增加的，它的反因为函数 xey?
xexf
x
2
2
2
2
1
解,
上变化．，在区间
，上变化时，在区间并且当随机变量
0
XeYX
YX ln?
时，，所以，当 0y
yyfyf XY lnln yy 12lne x p2 1 2
2
00
0
2
ln
e x p
2
1
2
2
y
y
y
yyf Y?
的密度函数为由此得随机变量 XeY?
.0,0
,0,
2
1
)(
22
1
y
yey
yf
y
Y?
其概率密度为：
.,
2
1)( 2
2
xex
x
则 Y = X 2 的概率密度为：
分布。的服从自由度为此时称 21?Y
7,设1,0~ NX
已知随机变量 X的分布函数 F(x)是严格单调的其反函数 F-1 存在且严格递增,
证明,设 Y 的分布函数是于是对对
10 y由于连续函数,证明 Y = F(X )服从 [0,1]上的均匀分布,
.yG
;0,0 yGy
;1,1 yGy
又由于 X 的分布函数 F(x）是严格递增的连续函数,
10 y对于
)}({ 1 yFXp yyFF )}({ 1
yYPYGyxFp
8、
其它,0
10,1)( yyg
求导得 Y 的密度函数可见,Y 服从 [0,1]上的均匀分布,
本例的结论在计算机模拟中有重要的应用,
1,1
10,
0,0
)(
y
yy
y
yG即 Y 的分布函数是
9、设连续型随机变量 X的分布函数为：
2
2
,0
,0 1
() 1
1,1 2
2
1,2
Ax
B x x
Fx
Cx x x
x
（ 1）求 A,B,C的值 （ 2）求 X的密度函数
解：F ( x ) 在（－,＋ ）内连续
( ) 0F由 l i m ( ) 0xA F x
( 1 ) ( 1 ),( 2 ) ( 2 )F F F F由
111,2 2 1 1,,2
22B C C B C
2
2
00
1
01
2
()
1
2 1 1 2
2
12
x
xx
Fx
x x x
x
,0 1
( ) ( ) 2,1 2
0,
xx
f x F x x x
其它
（随机现象的分布规律）
所有可能的取值
（样本空间）
取各个值的可能性
（概率）
从现在开始，我们用为微积分的知识研究随机现象的分布规律一、随机变量的概念举例：掷骰子 s={1,2,3,4,5,6}
用 X表示投掷的结果,X的取值事先并不知道，只能知道是六个数之中的一个。
再举例：每天来听课的人数,用 Y表示,Y具有随机性质随机变量的直观定义：
事先不能够确定取得什么值的量 X称为随机变量问题：如果试验的结果不是数字，能不能也用数字表示呢？
比如：投掷硬币观察正反面记录新生婴儿的性别、考试合格不合格等问题做法：可以把样本点和数字建立一一对应关系样本点 ←→ 数字比如 正面 ←→ 1 反面 ←→ 0
X=1 表示取正面 X =0表示取反面数字和样本点对应，类似于运动员通常说号码例如 掷骰子，
{X＞ 3}
再如：灯泡的寿命 大于 3000小时为合格用 Y表示灯泡寿命，则 A＝｛ Y≥3000 ｝
通过样本点和数字的一一对应样本空间是一个数字集合，事件也是数字集合事件 A＝,点数大于 3‖ 可以写为：
{ 1,2,,6 }s?
事件的表达变得简洁、明了灯泡合格记为事件 A A＝,灯泡寿命大于 3000小时”
再如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高,
我们可以把可能的身高然后我们可以提出关于 X 的各种问题,
如 P(X >1.7)=？ P( X ≤1.5)=?
P(1.5< X <1.7)=
注意：一旦我们实际选定了一个学生并量了他的身高之后，
我们就得到 X 的一个具体的值，记作,x
看作随机变量 X,
小结,对于随机试验的所有结果，通过建立样本点和数量 x的一一对应关系，这样就把 样本点发生的概率转化为取得某个数字的概率,
一般 事件发生的概率转化为数字集合的概率和样本点对应的数 X称为随机数，因为他的取值事先不能确定，要依赖于随机试验的结果，随机数也称为随机变量这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数,
e,X(e)
s R
设 是 E 的样本空间,若对于每一个有一个实数 和它对应为随机变量。
ieS?
,SeeX,eXX? 则称
eX
为了区别不同的随机变量,也可用 Y,Z 来表示。
定义
e,X(e)
s R
这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？
对于随机变量，我们不过多关注 e和 X（ e)的对应关系，而是把关心 X（ e）的取值概率而表示随机变量所取的值时,
随机变量通常用大写字母
X,Y,Z 或希腊字母 ζ,η 等表示一般采用小写字母 等zyx,,
引入随机变量的目的是为了便于以数量形式全面地研究随机试验的全部结果的概率分布情况,及其他的特征。 所以要完全刻化随机变量必须知道下列两方面的问题。
1,随机变量能取什么样的值。 （取值范围）
2,随机变量以多大的概率取这些值。 （概率分布）
1、离散型 随机变量按 X 的取值情况，
X所有可能值（有限、无限）是可以一、一列举的。
如袋中有 4个合格品,2个次品。 今有放回地取两件，
取出的次品数为,210 XXX
可以将其分为两类,（主要研究）
二、随机变量的分类：
X
2、连续性随机变量
X所有可能值是不可一一列举的。
),( 内的一个区间。
（ ）
X
第二节离散型随机变量及其分布规律对于随机变量 X,全部可能的取值是有限个或者可列个，则称这种随机变量为 离散型随机变量掷骰子,用 X 表示掷出的点数网站一天访问的人数 Y
例如定义
1、定义称为 X的分布律 (列 )或概率分布。
1,2,kkP X x P k
分布列也可以用列表法表示一、离散型随机变量分布律的定义
nkk
nk
ppppP
xxxxX
21
21
设离散型随机变量 X可能取且取这些值的概率依次为 p1,p2,…,p n,,
12,,,.nx x x
2,分布列的性质
1,0 1,2,kP X x k
1
2,1
n
k
k
P
（非负性）
（归一性）
给定了,1,2,,
kkx P k n?我们就能很好的描述 X.
即可以知道 X 取什么值，以及以多大的概率取这些值。
解,依据分布律的性质,
k
kXP 1)(
P(X =k)≥0,
1
!0
ae
k
a
k
k
解得 ea
0k
k
k
e
!
这里用到了常见的幂级数展开式设随机变量 X的概率函数为：
,
!
)(
k
akXP
k?
k =0,1,2,…,
试确定常数
0
.a
0?a
例 1.
例题 2
设 X 为离散型随机变量，其分布律为：
x
p
-1 0 1
1/2 1-2q q2
解,
某射手连续向一目标射击,直到命中为止,
解,显然,X 可能取的值是 1,2,…,
P(X =1)=P(A1)=p,
为计算 P(X =k ),k = 1,2,…,
Ak = {第 k 次命中 },k =1,2,…,设于是
pp )1( )()2( 21 AAPXP
)()3( 321 AAAPXP pp 2)1(
已知他每发命中的概率是 p,求 射击次数 X 的分布列,
例 5.
,2,1?k ppkXP k 1)1()(可见这就是所求 射击次数 X 的分布列,
若随机变量 X的分布律如上式,
不难验证,
1)1(
1
1
k
k pp
几何分布,
则称 X 服从几个重要的离散型随机变量模型
(0,1)分布二项分布波松分布一,(0-1)分布 （二点分布）
随机变量 X 只取 0与 1两个值
1( ) ( 1 ),0,1 kkP X k p p k
pp
X
1
10~
10 p
分布列二点分布非常有用，
如检查产品质量是否合格,电路,通、断,等。
它的分布列是
A
A
X
0
1 发生发生掷骰子：“掷出 4点”，,未掷出 4点,
―成功,和,失败,,
,A
新生儿：“是男孩”，,是女孩,
抽验产品：“是正品”，,是次品,
一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果,A 或 或者形象地把两个互逆结果叫做将一枚均匀硬币抛掷 1次，
111{ } ( ) ( ),0,1
22
kkP X k k
则 X 的分布列是：
反面 正面
X = 0 X = 1
,正面”的次数令 X 表示 1次中出现例 6
0 1X
P 1/2 1/2
伯努利试验 和 二项分布即在试验 E 的样本空间 S 只有两个基本事件有一类十分广泛存在的只有相互对立的两个结果我们称这只有两个对立的试验结果的试验为的试验。
且每次试验中
.AA 与例如,试验,成功,,,失败,。种子,发芽,,,不发芽生,男孩,,,女孩,
考试,及格,,,不及格,
产品,合格,,,不合格,买彩票,中奖,,,不中奖
101)()( pqpAPpAP
伯努里试验。
则称 X 服从参数为 n,p 的 二项分布 。
事件 A 发生的概率均为 P，
定义 设将试验独立重复进行 n 次，
n 重贝努里试验,
若以 X 表示 n 重 贝努里试验事件 A 发生的次数，
记作pnBX,~
则称这 n 次试验为每次试验中，
用 X 表示 n 重贝努里试验中事件 A（成功）出现
nkppCkXP knkkn,,1,0,)1()(
1)(
0
n
k
kXP（ 2）
不难验证：
0)( kXP（ 1）
的次数，则
{ } ( 1 ),( 0,1,.,,,)k k n knP X k C p p k n
若其分布列为：
~,X B n p
knkk
n ppC
)1(? 正好是二项式 nqp )(? 的展开式中的通项,因此该分布称为二项分布。
显然,n = 1 时,二项分布化为二点分布。
(0-1) 分布记为pBX,1~
二项分布的分布列例 某人射击每次命中的概率为 0.7,现独立射击 5
次，求正好命中 2 次的概率。
解2?XP
13.03.07.0 3225 C
例 7 某车间有 50台机床,一天内每台需要维修的概率均为 0.02,求一天内需维修的机床不多于 2台的概率。
解 02.050 pn
2?XP
4915050 98.002.098.0 C
0 XP1 XP2 XP
1 8 6.098.002.0 482250 C
例 8
}1{ XP
n99.01
99.0ln
05.0ln?n
01.0?p购买一张彩票中奖的概率为
,
问需要买多少张彩票才使至少中一次奖的概率不小于 0.95？
解,设 n需要买 张彩票,X 表示中奖的次数则
nn ppC )1(1 00
}0{1 XP
95.0?
57.299?
因此至少要买 300 张彩票才行
0 0 7 1 2 5.0)95.0()05.0()2( 223 CXP
已知 100个产品中有 5个次品，现从中 有放回解,因为这是有放回地取 3次，因此这 3 次试验的依题意，每次试验取到次品的概率为 0.05.
设 X 为所取的 3个中的次品数，
于是，所求概率为：则 X ～ B(3,0.05)，
例 10
地取 3次，每次任取 1个，求在所取的 3个中恰有 2个次品的概率,
条件完全相同且独立，它是贝努里试验,
注,若将本例中的,有放回,改为,无放回,,那么各
0 0 6 1 8.0)2( 3
100
2
5
1
95
C
CCXP
次试验条件就不同了，
古典概型求解,
不是贝努里概型,此时只能用直至达到最大值,随后单调减少,
( [x] 表示不超过 x 的最大整数 )
...
n=10,p=0.7
k
Pk
0
对于固定 n 及 P,当 k 增加时,
概率 P (X = k ) 先是随之增加当pn 1? 不为整数时，
pn 1? 二项概率kXP?
达到最大值；在[ 1 ]k n p
pnBX,~二项分布的图形特点,
(,,) ( 1 ) ( 1 )1
( 1,,)
b k n p n k p n p k
b k n p k q k q
( 1 ),(,,),
( 1 ),(,,),
k n p b k n p
k n p b k n p
时 大 于 前 面 一 项 增 加时 大 于 前 面 一 项 下 降
= ( 1 ),k n p? 整 数 时 前 后 两 项 相 等
= ( 1 ),[ ( 1 ) ]k n p n p非 整 数 时 取 得 最 大 值简要说明
,,2,1,0,
!
)( k
k
ekXP
k?
设随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2,…,
其中 >0 是常数,λ
且概率分布为：
泊松分布,记作
λ则称 X 服从参数为 的
~ ~ ( )Xp或者x
泊松分布
)(~?PX
泊松分布的图形特点：
...
n=10,p=0.7
k
Pk
0
X~B(n,p)
当 n 很大,p 很小时
，
图形可以看出,泊松分布是二项分布的极限分布,
参数? = n p 的 泊松分布二项分布就可近似看成是设某国每对夫妇的子女数 X服从参数为?的泊
2 ~ ( ),1 { 0 } { 1 } 3 X P X P X P X e且
{ 3 } 1 { 0 } { 1 } { 2 } P X P X P X P X
12
2 2 2 2221 1 5 0,3 2 3
1 ! 2 !e e e e
解,由题意,
23 2 e e e
求任选一对夫妇,至少有 3个孩子的概率。
松分布,且知一对夫妇有不超过 1个孩子的概率为 3e-2.
例 12
例 13 有产品 15000件，其中次品 150件,今抽取 100
件，求有 2件是次品的概率。
解法一 超几何分布
100
15000
98
14850
2
1502
C
CC
XP
10015015000 nMN
解法二 二项 分布 01.0 NMp 为次品率
9822100 99.001.02 CXP
1839.03678.021!212
12
e
XP
解法三 泊松 分布 1 pn?
历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于 1837
年由法国数学家泊松引入的,
近数十年来,泊松分布 日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一,
在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布,
泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位,
都可以看作服从泊松分布,
某电话交换台收到的电话呼叫数；
到某机场降落的飞机数 ;
一个售货员接待的顾客数 ;
一台纺纱机的断头数 ; …
一放射性源放射出的 粒子数；?
例如作业
P69 1; 4; 6;12
离散型随机变量的概率分布
1,0—1分布
（ k=0,1,2,…,n）
（ k =0,1,
2,… ）
!k
e
qpC
k
knkk
n
1,0,}{ 1 kqpkXP kk
knkk
n qpCkXP
}{
!
}{
k
ekXP k
2,二项分布
3,Poisson分布
pk = P{X = xk} (k=1,2,… )
§ 2.4 随机变量的分布函数
1,分布函数的定义及性质
2,由分布函数求事件的概率
3,连续型随机变量及其概率密度函数的概念。
4,连续型随机变量概率密度函数的性质
5,常见的连续型随机变量的概率分布定义,设 X为随机变量，对于任意实数 x，称函数一、分布函数的概念
x
F（ 5） = P{X≤5} = P{-∞ ＜ X≤5}
F（ x）的定义域,(-∞,+∞ ）
为随机变量 X的分布函数。
F（ x）的值域,[0,1]
分 布,求 的 分1 布 函例 题 数~ ( 0,1 )XX
0 ) 0解：,x F ( x
01 时，x F ( x ) p
11 时，x F ( x )
0
00
( ) 1
11
x
F x p x
x
F（ x）可用来确定随机变量取某个值和取值落入某一个区间的概率。
1,{ } { } { } ( ) ( ) P a X b P X b P X a F b F a
0
2,{ } { } lim
x
P X a P a x X a
[ ( ) ( ) ] ( ) ( 0 ) lim
xo
F a F a x F a F a
3,{ } { } { } P a X b P X a P a X b
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F a F a o F b F a F b F a o
4,{ } 1 { } 1 ( ) P X b P X b F b
aa-△ x
二、分布函数具有如下性质
)(}{)( xxXPxF
( 2 ) ( ) l im ( ) 0,( ) l im ( ) 1xxF F x F F x
（ 1） 0 ≤ F（ x） ≤1
（ 3） F（ x）是 x 的单调不减函数；
（ 4） F（ x+0） =F（ x），即 F（ x）是右连续函数。
例 2 已知 X的分布函数。求（ 1）常数 A,B；
（ 2） P{X≤0} ； P{X=1}； P{0 ≤ X ≤ 1} 。
解,⑴ 由 F（ - ∞） =0,F（ ∞） =1得
A –π/2 B=0,A + π/2 B= 1
∴ A=1/2,B = 1/ π
⑵ P{X≤0} = F（ 0） =1/2 ；
P{X=1} = F（ 1） - F（ 1-0） = 3/4-? = 0
P{0 ≤ X ≤ 1} = F（ 1） - F（ 0-0）
=? -1/2 = 1/4
( ),( ) F x A B a r c t g x x
例 3 随机变量 X的所有可能取值为 1,2,3，且 P{X=k}=kα
（ 1）求 α,由即
F(x)的图像为,X 1 2 3
p a 2a 3a
（ 2）求 X 的分布函数 F（ x）
解得 α =1/6
（ 3）求下列事件的概率
6
1
2
3}
2
3{?
FXP
0
6
1
6
1)1(
2
3}
2
31{
FFXP
3
1
6
1
2
1)02(
2
5}
2
52{
FFXP
练 习 题 分 析 下 列 函 数 中 哪 个 是 随 机 变 量 的 的 分 布 函 数,,X?
1
0,2
( 1 ) ( ) 1 / 2,-2 0
2,0
x
F x x
x
2
0,0
( 2 ) ( ) si n ( ),0
1,
x
F x x x
x
3
0,0
( 3 ) ( ) 1 / 2,0 1 / 2
1,1 / 2
x
F x x x
x
练 习 题 设 随 机 变 量 的 分 布 函 数 如 下 X,
2
1
() 1
xFx x
①
② x ③
试填上①②③项
这里和式是对所有 xk ≤ x 的 k 求和。 F(x)
的图形是阶梯形，在 x = xk (k=1,2,… )处具有跳跃，
其跳跃值为 pk=P{X=xk}
三、离散型随机变量的分布函数
一般地，设离散型随机变量 X的概率分布为
pk = P{X = xk} (k=1,2,… )
则 其分布函数为
( ) ( )
k
k
xx
F x p x x
例 4、已知离散型随机变量 X的分布函数为：
求 X的分布律，并求 P{1/2≤X≤3}
11,
11b,a
-1,
8
1
1c,
x
xx
x
x
xF )(
例 5、已知随机变量 X的分布函数为：
又已知 P{X=1}=1/4，试求 a,b,c的值。
解,0F )(
F（－ 1+0） =F（－ 1）
P{X=1}=F（ 1）－ F（ 1－ 0）
0c
1 = 1- ( )
4 ab
例 3 在区间 [0,2]上随机投掷一个质点，用 X 表示落点坐标，设这个质点落在 [0,2]中任意小区间内的概率与小区间的长度成正比，求 X 的分布函数。
解 若 x<0，则 F(x) =P {X≤ x}=0
若 0≤ x≤2,则 F(x) =P {X≤ x}=P{X <0}+P{0 ≤ X≤ x}=k x
取 x=2，由 P {X≤ 2}=2k=1,得 k=1/2,于是 F(x) =1/2
若 x>2，则 F(x) =P {X≤x} =1，所以例 3(续） 在区间 [0,2]上随机投掷一个质点，用 X 表示落点坐标，设这个质点落在 [0,2]中任意小区间内的概率与小区间的长度成正比，求 X 的分布函数。
连续型随机变量定义 1,对于随机变量 X,若存在非负函数
( ) ( ) ( ) xF x P X x f u d u＝ ＝
使对任意实数,f x x
则称 X为连续型随机变量, f x x为 的概率密度函数，
简称概率密度或密度,
常记为~,,X f x x
都有,x
面积为 1
这两条性质是判定一个函数 是否为某随机变量
X的概率密度函数的充要条件。
( ) 1,f x d x ＝
性质 (1),(2)是密度函数的充要性质；
0,f x x
(2) 归一性
(1) 非负性
f (x)
0 x
1
二,密度函数的性质
f (x)
0 xx
)(xF
()fx
1 2 2 13 ( ) P x X x F x F x＝2
1
( ) xx f t d t?＝
12 xx?
即 X落在 ],[ ba 上的概率 ],[ ba?
上曲线xfy? 之下的曲边梯形的面积。
f (x)
x0
1x 2x
密度函数的几何意义
（ 4）若xf 在点 x 处连续，
则有( ) F x f x
0
lim
x
F x x F xfx
x
0
lim
x
P x X x x
x
P x X x x f x x
这表示 X 落在小区间 [x,x+Δ x]上的概率近似地等于
,f x x?
若不计高阶无穷小，有：
（ 5） 对任意实数 b,则 0 bXP
称 A 为几乎不可能事件,B 为几乎必然事件,
可见,由 P(A )=0,不能推出A
由 P(B )=1,不能推出 B = S
的高度反映了随机点集中在该点附近的密集程度,
要注意的是,密度函数
()fx
()fa 并不是 aX? 的概率,
但是这个高度越大,则 X 取 a
附近的值的概率就越大,也可以说,在某点密度曲线
f (x)
0 x
1 在某点处 的高度a
)()( bXaPbXaP
)( bXaP
对连续型随机变量 X,有
)( bXaP
X设 连 续 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数 为
xxxF a r c t a n1
2
1
X试 求 的 密 度 函 数,
解, X f x设 的 密 度 函 数 为,则
f x F x211 1 xx
例 1
例 2 设 X 的分布函数为
00
01 2
x
xexF x
求2 3,P X P X f x
解2 PX?
3 PX?
2 F? 41 e
1 3 F1 3 PX 6 e
f x F x
220
00
xex
x
例 3 设 X是连续性随机变量，其分布密度为
28 3 0 2
0
A x x x
fx
o the r
（ 1）确定常数 A的值。 （ 2） 求 F(x).
( 3 ) 1 3 PX( 4 ) 1 PX?
解( 1 ) 1 f x d x
2
2
0
0
2 2
0 ( 8 3 ) A x x d x
23 2( 4 ) 8
0A x x A8
1 A
( 2) 0 x F x P X x 0 0 x dx
0 2 x 0 0 F x P X x d x
0
x f x d x
231 ( 4 )
8 xx
2
0
10 ( 8 3 )
8
x x x d x
2 x当
0 0 F x P X x d x2 2
0
1 ( 8 3 )
8 x x d x
2 3 2
0
1 ( 4 ) 1
8 xx
2 0 dx
23
00
1
( ) ( 4 ) 0 2
8
12
x
F x x x x
x
3 1 3 PX3 1 FF1 ( 4 3 3 3 ) 0 8
33 3
28
4 1 PX1 1 PX1 1 F 5 8?
例 4 某种晶体管的寿命（ h)是随机变量 X，其密度
2 100
0
k x xfx
o th e r
求 1、常数 k,
2,该晶体管不能工作 150 h 的概率。
3、一台仪器中装有 4只此种晶体管，
至少有 1只失效的概率。
工作 150h后，
解 1、
100
k?2
1001 k x d x
1
100
k
x
1 0 0 k
2,1 5 0 PX? 150 2
1001 0 0 x d x
1111 0 0 ( )
1 0 0 1 5 0 3
3、设 Ai ―第 i只晶体管 150h 失效,,4,3,2,1?i
由于
1 5 0 iP A P X31?
1 2 3 4 A A A A
相互独立,则所求的概率为
1 2 3 4( ) P A A A A 1 2 3 41 ( ) ( ) ( ) ( ) P A P A P A P A
42 1 51 ( )
3 8 1
( ) ( )xF x f t d t
求 F(x).
,0 1
~ ( ) 2,1 2
0,
xx
X f x x x
其 它设例 5
=
0
1
0
x tdt?
1
01
( 2 ) xt d t t d t
0?x
10 x
21 x
2?x
F(x)
解也可求出
2,1
21,
2
12
10,
2
0,0
)(
2
2
x
x
x
x
x
x
x
xF即对连续型随机变量,若已知xF,我们通过求导
.xf
密度函数复习
1、定义域？值域？
2、几何意义？
3、反映什么内容？
4、是否连续？值有什么意义？
5、密度一词如何理理解？
密度函数反映随机点在数轴上的分布疏密练 习 题 已 知
0 0
( ) 1 / 2 0 1 / 2
1 1 / 2
x
F x x x
x
则F( X) 是( )随 机变量的分布函数
( 1) (2)
( 3) ( 4)
连续型 离散型非连续型 非连续亦非离散型
D
练 习 题 设 在 区 间 上 随 机 变 量 的 密 度 函 数而 在 外 则 区 间 等 于
[,],X ( ) si n ( )
[,],( ) 0,[,] ( )
a b f x x
a b f x a b
( 1 ) [ 0,/ 2 ] ( 2 ) [ 0,]
3( 3 ) [ - / 2,0 ] ( 4 ) [ 0,]
2
1
练 习 题 设 连 续 型 随 机 变 量 的 密 度 函 数 为其 他
2
2
1
0
( )
0
x
c
X
x e x
fx c
1 2
3 1 4
c则式中 为（ ）
（ ）任意实数 （ ）正数
（ ） （ ）任意非零实数
3
若随机变量 X 的概率密度为：
则称 X 服从区间 (a,b)上的均匀分布，记作：
)(xf
a b
其它,0
,
1
)(
bxa
abxf
~,X U a b
均匀分布
{ } ( ) clcP c X c l f x d x
1,cl
c
ldx
b a b a
随机变量 X 取值在区间上，并且取值在
ba,
ba,中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比,
说明,
均匀分布的分布函数
X
X
若随机变量 服从区间（a,b ) 上的均匀分布，
则 的密度函数为
0
1
xa
xa
F x a x b
ba
bx
a b x
F (x)
0
1
1
,
( )
0,
a x b
fx ba
其 它
X则 的分布函数为练习题设 随机变量 X服从 [1,6]上的均匀分布，求一元二次方程 t2+Xt+1=0有实根的概率。
思考题银行取款，一般要排队等待，等待时间是一个随机变量，如何描述该随机变量的分布规律？
直观想象,该随机变量的密度函数应该是什么形状?
指数分布如果随机变量 X 的密度函数为
1 0
00
x
exfx
x
的指数分布．记为为常数，则称随机变量 X服从参数为其中 ( 0)
x
0
指数分布的分布函数
1
00
10
x
x
Fx
ex?
1~XE
说明 指数分布的另一形式如果随机变量 X 的密度函数为
00
0
x
xexp x
的指数分布．记为为常数，则称随机变量 X服从参数为其中 )0(
x
0
上页 下页
EX ~
例 7 设随机变量 X的概率密度为
（ 1）试确定常数 C：由
2,0
( )
0,0
xc e x
px
x
2
0
1 ( ) 2x cp x d x c e d x
得 c=2
1
2
0,5
21
0
11
{ } 1 { } 1 ( )
22
12
x
P X P X p x d x
e d x e
（ 2）
（ 3）
(2)已知该电子元件已使用了 1.5年，求它还能使用两解
330
( )
0 0,
xex
fx
x
36
2
( 1 ) { 2 } 3,,xp X e d x e
3
63,5
3
1,5
3
{ 3,5,1,5 }
{ 1,5 }
3
x
x
e d x
p X X
e
X
e d x
2 3,5 1,5 P X X
.电子元件的寿命 X(年） 服从参数为 θ ＝ 1/3的指数分布例 8
(1)求该电子元件寿命超过 2年的概率。
年的概率为多少？
例 9 顾客在某银行窗口等待服务的时间（分钟） X服从参数 θ =5的指数分布。若等待服务的时间超过 10分钟，
则他就离开，假设他一个月内要来银行 5次。以 Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求 Y的分布律及至少有一次他没有等到服务的概率。
解 Y是离散型,~ ( 5,)Y B p，其中 { 1 0 }p P X=>
现在 X 的概率密度为
/51 / 5 0
()
0 0,
xex
px
x
思考题
对男生的身高进行抽查,结果 X是一个随机变量,X
的分布规律有什么特点?
某门课的考试成绩也可以看作一个随机变量,
他也具有中间多、极端少的特点正态分布的定义
X如果连续型随机变量 的密度函数为
2
221
2
x
f x e x
0? x
)(xf
作 正态曲线,
F(x) 所确定的曲线叫
2
2
X
N
则称随机变量 服从参数为,的正态分布．记作X,
正态分布密度函数的图形性质
2
221
2
x
f x e x
对 于 正 态 分 布 的 密 度 函 数由 高 等 数 学 中 的 知 识,我 们 有,
0
x
h
P h X P X h
⑴,曲 线 关 于 直 线 对 称,
这 表 明,对 于 任 意 的,有
x
f (x)
0?h h
1
2
x f x
f
x f x
X
⑵,当 时,取 到 最 大 值离 越 远,的 值 就 越 小,这 表 明,对 于 同 样 长 度的 区 间,当 区 间 离 越 远 时,随 机 变 量 落 在 该 区 间中 的 概 率 就 越 小,
x
f (x)
0?h h
y f x x
y f x O x
⑶,曲 线 在处 有 拐 点 ； 曲 线 以轴 为 渐 近 线,
fx
x
y f x
⑷,若 固 定,而 改 变 的 值,则 的图 形 沿 轴 平 行 移 动,但 不 改 变 其 形 状,
因 此 图 形 的 位 置 完 全 由 参 数 所确 定,μ称为 位置参数。
1
2
fx
f
y f x X
y f x
X
⑸,若 固 定,而 改 变 的 值,由 于 的 最 大 值 为可 知,当 越 小 时,图 形 越 陡,因 而 落 在附 近 的 概 率 越 大 ； 反 之,当 越 大 时,的 图形 越 平 坦,这 表 明 的 取 值 越 分 散,
决定了图形中峰的陡峭程度,?
正态分布由它的两个参数
μ 和 σ 唯一确定,当 μ 和 σ
不同时，是不同的正态分布,
称为形状参数。
设 ),(~ 2NX X 的分布函数是
xdtexF
x
t
,
2
1)( 2
2
2
)(
标准正态分布
0 1 0 1N若,,我 们 称,为 标 准 正 态 分 布,
标 准 正 态 分 布 的 密 度 函 数 为
2
21
2
x
x e x?
下面我们介绍一种最重要的正态分布分布函数为
2
21
2
xx t
x t d t e d t x?
)(x?
0x x P X x对 于 我 们 可 直 接 查 表 求 出
2
21
2
xx t
x t d t e d t?
0x?如 果,我 们 可 由 公 式
2
21
2
u
x
e d u
2
211
2
x u
e d u
1 x
x0
)(x?
x-x
1xx
正态分布表
P439页 正态分布表查 P(z<0.2)
P(z>0.55)
P(z<-0.55)
( ) 1 ( )P X x x x
2
21()
2
tx
x e dt
表中给的是 x > 0时,Φ(x )的值,
当 x < 0 时
x? x
()P X x
P X x P x X x
( ) ( )xx 2 ( ) 1x
P{X
~ ( 0,1 ),
},0 1,
X N z
z
z
设 若 满 足 条 件则 称 点 为 标 准 正 态 分 布 的 上 分 位 点 。
0.05
1-
0.95
z
z
z
0.005
0.995
1,6 4 5,2,5 7,
,
1,6 4 5,2,5 7,
z
z
z
查 表 可 知
0 x
)(x?
z1z
例 9
~ 0 1
1 2 1 2
XN
P X P X
设 随 机 变 量,,试 求,
⑴,； ⑵,,
1221 XP⑴．
8 4 1 3 4.09 7 7 2 5.0 13591.0?
1221 XP⑵,112
8 4 1 3 4.019 7 7 2 5.0 81859.0?
解
14.1424.13 XPXP
24.13XP24.124.11
1075.08925.01
14.14?XP 114.12
7458.018729.02
由标准正态分布的查表计算可以求得，
这说明,X 的取值几乎全部集中在 [-3,3]区间内，
当 X～ N(0,1)时，
3 准则?
6 8 2 6.01121XP
9544.01222XP
9 9 7 4.01323XP
超出这个范围的可能性仅占不到 0.3%.
将上述结论推广到一般的正态分布,
),(~ 2NY 时，
6826.0)|(|YP
9544.0)2|(|YP
9 9 7 4.0)3|(|YP
]3,3[可以认为,Y 的取值几乎全部集中在的区间内。 这在统计学上称为?3" 准则,
它的依据是下面的引理：
正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布,
就可以解决一般正态分布的概率计算问题,
),(~ 2NX
1,0~ NXY则设定理标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的根据引理,只要将标准正态分布的分布函数制成表，
2~ ~ ( 0,1 )XX N Z N设,,则
{}Z XF x P Z x P x
2
221
2
tx
e d t
t d tu d u作 变 换,则,代 入 上 式,得
2
21
2
x u
zF x e d u?
x
{}P X x
( ) { }XF x P X x { } ( )X x xP
引理证标准化
2 ~ (,),XN若若
()abPZ
()P a X b
( ) ( ) ( )P a X b b a
)()(
ab
~ 0,1XN
~ 0,1XZN
~ 2 9
1 5 2 6 0
XN
P X P X P X
设 随 机 变 量,,试 求,
⑴,； ⑵,； ⑶,,
15PX⑴,
5 2 1 2( ) ( )33 11
3
111 3
0,8 4 1 3 4 0,6 2 9 3 0 1 0,4 7 0 6 4?
解例 10
1 2 2 5 23 3 3XP
2 ~ ( 2,3 ),2 3,XN
~ 2 9
1 5 2 6 0
XN
P X P X P X
设 随 机 变 量,,试 求,
⑴,； ⑵,； ⑶,,
2 6 1 2 6P X P X⑵,
1 6 2 6PX 1 4 8PX
8 2 4 21 [ ( ) ( ) ]33 1 2 2
2 1 2 2 1 0,9 7 7 2 5 0,0 4 5 5
例 10
解
0 1 0P X P X⑶,021 ( )3
21 3 2 0,7 4 8 63
已知 2~ 1 0,2 0,0 6 8X N P X d
1 0 0,9 5P X C求,,cd
解 10 0,0 6 8
2
dP X d
10 1,4 92d 1 2,9 8,d?
1 0 1 010 2cP X C 1 0 1 02c
2 1 0,9 52c
0,9 7 52c
1,96 3,922c c
例 12
例 13 某地区 18至 22岁的男子身高为 X,
从该地区随机地抽查一青年男子的身高，
25.5,170~ NX
1,他身高超过 168cm 的概率为多少。
2、若抽查 10个青年男子测其身高恰有 k（ 0<k<10)个人的身高大于 168cm 的概率为多少？
解
1 6 8 1 1 6 8P X P X 1 6 8 1 7 01 5,5
0,3 6 4 0,6 4
1,设该地区男子的身高为 X,
2,设该地区身高高于 168cm的为 X, ~,X B n p
1 0 0,6 4np
1010 0,6 4 0,3 5 0,1,1 0,K K KP Y k C k
公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01以下来设计的,设男子身高 X～ N (170,62),
问车门高度应如何确定?
解,设车门高度为 h cm,按设计要求或 01.0 hXP 99.0 hXP
因为 X～ N(170,62),)1,0(~
6
1 70 NX?
)6170( h? 0.99hXP?
(2.33)=0.9901>0.99 33.2
6
170 h
1 8 498.131 7 0h 即 设计车门高度为 184厘米时，
可使男子与车门碰头机会不超过 0.01.
故查表得例 14
一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布 Ｎ (100,152),某仪器上装有 3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的,求：使用的最初 90小时内无一元件损坏的概率,
解,设 Y为使用的最初 90小时内 损坏 的元件数,
9 0 1 0 0( ) ( 0,6 7 ) 0,2 5 1 415
故 3{ 0 } ( 1 ) 0,4 1 9 5P Y p
则其中
~ 3,Y B p
90P P X
例 15
练习：
1,若
其它,0
10,
)(
xCx
xp
求（ 1） C ；（ 2） {0.3≤X≤0.7} ；（ 3） F（ x）
C=2 ； 0.4 ；
1,1
10,
0,0
)( 2
x
xx
x
xF?
2,设 X的分布列为,P{X=1}=1/4,P{X=2}=a,P{X=3}=b
求 a,b,c,d,e
(?,?,0,?,1 )
分布函数为：
x
x
xd
x
xF
3e,
32,
4
3
21,
1c,
)(
作业
P71 23,24,25,20
问题,圆盘 半径用 X表示,x在 (0,1)之内等可能取值，是一个随机数，因此圆盘的面积 Y
也是一个随机变量
§ 2.5 随机变量的函数问题：
面积 Y小于意味着半径 X<1/2
11YX
42即 事 件 ｛ 面 积 ｝ 等 价 于 事 件 ｛ 半 径 ｝
1 ) ( )
42P( Y P X
所 以 1
2?
0 1
) 9 P(Y思 考 题,？
()9PY
答案：
1( 0 )
3PX
1
3?
2()
9PX
( ) ( )YF y P Y y
2()P X y
2 1()P X y
1()P X y
1 y
X服从 U(0,1)分布,求 截面面积 Y 的分布密度
1( ) 1 )
2
f y y
y?
（ 0
随机变量的函数
YY的 取 值 事 先 也 不 能 确 定,也 是 一 个 随 机 变 量,
X x Y y g x?当 取 值 时,取 值本 节 的 任 务 就 是,
X Y g X
Y
已 知 随 机 变 量 的 分 布,并 且 已 知,
要 求 随 机 变 量 的 分 布,
X Y X设 是 一 随 机 变 量,是 的 函 数,,Y g X?
(分布律或分布密度）。
X取值不能事先确定一,离散型随机变量 函数的概率分布当 X为离散型随机变量时,Y g X? 也是离散型随机变量。 求 Y的分布列是容易的。
例 1 已知 X的分布列为
3.03.01.01.02.0
32101
kP
X?
求 212Y X Y X Y X的分布列。
并且在 X 的分布列已知的情况下，
解 由 Y 的分布列可列出
1
2
2
3
1 0 1 2 3
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
1 2 1 0 1 2
2 2 0 2 4 6
1 0 1 4 9
K
X
P
YX
YX
YX
3.03.01.01.02.0
210121
kP
Y
3.03.03.01.0
94103
kP
Y
注,1、设 1,2,
kg x k?互不相等时，则事件
kkY g x X x
由
kk
k
pppP
xxxX
21
21
kk
k
pppP
xgxgxgY
21
21 )()()(?
2、当 ijg x g x i j
则把那些相等的值合并起来。
二,连续型随机变量函数的分布
XX f x设 是 一 连 续 型 随 机 变 量,其 密 度 函 数 为,
Y g X X Y?再 设 是 的 函 数,我 们 假 定 也 是 连 续 型
YY g X f y?我 们 要 求 的 是 的 密 度 函 数,
随机变量 。
知识回顾设随机变量 X 具有 概率密度求 Y = X 2 的概率密度,
解,(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：
021 0,0 ( ) 0,YY X y F y由 于 故 当 时
2( ) { } { }
YF y P Y y P X y
( 2 ) ( ) ( )YYF y f y利 用 及 变 限 定 积 分 求 导 公 式 得,
1
[ ( ) ( ),0,
2()
0,0,
XX
Y
f y f y y
yfy
y
例 1
y XyP y X y f x d x
020y?当 时
(等价事件 )
()Xfx
设 X ~U(-1,1),求 Y =X 2的分布函数与概率密度。
2
1
11
()2
0
X
x
f x y g x x
其 它
1
2
y
Y
y
F d x y
1
01
2( ) '( )
0
YY
y
yf y F y
其 它当 y < 0时 0)(?yF
Y
当 0 ≤ y < 1 时当 y ≥ 1 时 1)(?yF
Y
y? y
解例 2
2
YX
xy
F y f x d x
,0 4,
() 8
0,.
X
x
x
fx
其 它设随机变量 X 具有 概率密度：
解,(1) 先求 Y =2X +8 的分布函数 FY(y)：
}{)( yYPyF Y
2
8
.)()(
y
XY dxxfyF
例 3
}2 8{}82{ yXPyXP
试求 Y =2X +8 的概率密度,yfY
( 2 ) ( ) ( )YYF y f y利 用 可 以 求 得,
88( ) ( ) ( )22YX yyf y f
,0 4,
() 8
0,.
X
x x
fX
其 它
8
,8 16,
() 32
0,.
Y
y
y
fy
其 它整理得 Y =2X +8 的概率密度为,
8
2( ) ( ),
y
YXF y f x d x
1 8 1 8
( ),0 4,
8 2 2 2
0,.
yy
其 它解题思路总结
Y g X?⑴,先 求 的 分 布 函 数
Y g X?⑵,利 用 的 分 布 函 数 与 密 度 函 数 之 间 的 关 系
YF y P Y y P g X y
YYY g X f y F y求 的 密 度 函 数
()
()X
g x y
f x dx
2~ ~ ( 0,1 )XX N Y N设,,则
{}Y XF y P Y y P y
2
221
2
ty
e d t
{}P X y
上页 下页定理证求导得到,
设随机变量 X 的概率密度为
2
2
0
()
0
x
x
fx
其 它求 Y = sinX 的概率密度,
时,
当 1?y
10 y x0当 时故 当解：注意到,
x
sinx
0 π
1
0?y
时,
当 0<y <1 时,
XyPyXP a r c s i na r c s i n0
例 10
dy
ydFyf Y
Y
)()(?而求导得,
这样就可以利用已知的 X 的分布，
利用随机变量的函数的分布求其密度函数是常用的一种方法,称为分布函数法从上述各例中可以看到，
关键的一步是设法从yXg?)( 中解出 X,从而得到
()g X y?满 足 的 X 的 取 值 范 围内的概率。
在求 P(Y≤ y) 的过程中，
求出 X在 相应范围,
设 X ~U(-2,1),求 Y =X 2的分布函数与概率密度。
思考题
y
1) Y的取值范围?
x1-1-2
思路,
2) {Y<y} 对应的 {X<x}
3)求 F(y)
其它,0
,)]([)( yyhyhfyf
Y
其中，
此定理的证明与前面的解题思路类似,
是一个 连续型 随机变量，
0)( xg 0)( xg
设 X 具有概率密度的连续型随机变量，又设XgY? 处处可导，且对于任意 x 恒有 或恒有 则
XgY?
.YhX?
其反函数为
Y 的概率密度为定理 ()
Xfx（ －,＋ ）
例 2 设 X 的密度为
t h e r
xxxxf
00
10)1(6
求 3XY? 的概率密度.yf
Y
解 13 3Y X X Y
当 00 Yy F y
11 Yy F y
0?yf
Y
1 1 2
3 3 3
1
6 1 0 1
3
00
X
y y y y
fy
th e r
取值在 (0,1) 时,y 的取值也在 (0,1),x
1
32 1 0 1
00
X
yy
fy
th e r
是单调可导函数，则
|)(|)]([)(~)( yhyhfyfXgY XY
2 注意定义域的选择其中 X=h(y) 为 y＝ g(x) 的反函数,
若XgYxfX
X?~
注,1 只有当 g(x)是 x的单调可导函数时,才可用以上公式推求 Y的密度函数。
公式法：
一般地
y
x1 x2 x3
y = g(x)
x? xn
例 7 设 X 的 p.d.f.为求 的 p.d.f.
解故当 y? 0
或 y?1 时
y?f Y (y) = 0
x
)0(s in xxy
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y?
由图可知,Y 的取值范围为 (0,1)
y?
arcsiny? - arcsiny
1
x
)0(s in xxy
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
当 0? y < 1 时故设关于 x严单,反函数为 () ybx h y
a
故 1( ) [ ( ) ] | ( ) | ( )
YX
ybf y f h y h y f
aa
而 1 0 1() 0X xfx o the r s
故
1
01
()
0
Y
yb
aafy
o the r s
的概率密度,
,1,0~ UX 求解,Y a X b
Y a X b0?a
例 6
1
1
()
0
Y
b y b
afy
o the r s
设随机变量 X在 (0,1)上服从均匀分布，求解,在区间 (0,1)上,函数故于是 y 在区间 (0,1)上单调下降，
由前述定理得
/2
/ 2 / 2()( ),0 1
()
0,
y
yy
X
Y
de
f e e
fy dy
其 它注意取绝对值例 8
Y =-2lnX 的概率密度,
,0ln?X
0ln2 XY
有反函数
/2
/ 2 / 2()( ),0 1
()
0,
y
yy
X
Y
de
f e e
fy dy
其 它
1,0 1()
0,X
xfx
其 它
（续） 已知 X 在 (0,1)上服从均匀分布，
代入 )( yfY
/21,0
() 2
0,
y
Y
ey
fy
其 它得即 Y服从参数为 1/2的指数分布,
的表达式中例 9
2~ X
Y
X N Y e
Y f y
设 随 机 变 量,,,试 求 随 机 变 量的 密 度 函 数,
X由 题 设,知 的 密 度 函 数 为
xye?因 为 函 数 是 严 格 增 加 的,它 的 反 函 数 为
2
221
2
x
f x e x
解,
0
XX Y e
并 且 当 随 机 变 量 在 区 间,上 变 化 时,
在 区 间,上 变 化,
lnXY?
0y所 以,当,时,
l n l nYXf y f y y
2
2
ln11e x p
22
y
y
2
2
ln1
e x p 0
22
00
Y
y
y
fy y
y
XYe?由 此 得 随 机 变 量 的 密 度 函 数 为已知随机变量 X的分布函数 F(x)是严格单调的其反函数 F-1 存在且严格递增,
证明,设 Y 的分布函数是于是对对
10 y由于连续函数,证明 Y = F(X )服从 [0,1]上的均匀分布,
.yG
;0,0 yGy
> 1,1 ;y G y?
又由于 X 的分布函数 F(x）是严格递增的连续函数,
10 y对于
)}({ 1 yFXp yyFF )}({ 1
yYPYGyxFp
例 11
求导得 Y 的密度函数可见,Y 服从 [0,1]上的均匀分布,
本例的结论在计算机模拟中有重要的应用,
1,1
10,
0,0
)(
y
yy
y
yG即 Y 的分布函数是知识点随机变量函数的密度函数的求法
1、分布函数法求密度函数
2、公式法作业,P73 27,28,29,30,31
第二章 随机变量及其分布函数主要知识点：
1、密度函数、分布函数的性质
2、六个随机变量模型
3、随机变量函数的密度函数求法
2 1 2
2
1,
1
1
F x F ( x ) X X
a F x F ( x )
、设（ ）,分别是 的分布函数，为使
（ ）- b 成为某一随机变量的分布函数，则（ ）
一、填空题
32,
55ab（A )
22C,
33ab（）
13D ),
22ab（
13( ),
22B a b
2,如果随机变量的可能值充满区间（ ），那么可以成为一个随机变量的概率密度。
sin x
( ) ]?A [ 0,2 ( B ) [ 0,]?
( C ) [ 0,2 ]? 13
(D) [,]22
23 ~ (,) { } X N P X、设,则随着 的增大概率 应（ ）
（ A) 保持不变 （ B）增大
(C) 变小 （ D) 不确定
4 X F ( X )
( ) ( p a X b
、已知离散型随机变量 的分布函数为,
则）
A ) ( ) ( )
F b F a ( B ) F ( b ) - F ( a ) - P ( X = a )
( C) F ( b ) - F ( a ) - P ( X = b ) ( D ) F ( b ) - F ( a ) P ( X = a )
（
5 X F
G
、设随机变量 的分布函数 （x ),则随机变量
Y=2X+1 的分布函数 （y ) 是（ ）
1
) ) 1 )
2
11
) 1 ( ) F ( y ) -
22
b
d
yy
（a) F ( （ F(
22
(c) 2F(y
二、填空题
1、设 X～ b(2,p) Y~b(3,p) 且 P(X≥1)=5/9 则
P(Y ≥9)=( )
22 ~ ( 2,),
{ 2 4 } 0,3,{ 0 } _ _ _ _ _ _ _ _
XN
P X P X
、设且则
,1 3
3 ~ ( )
0,
{ 2 3 } 2 { 1 2 }
ax b x
X f x
P X P X a b
其它
、设且 则常数
2
4 X U
10x X x
、设随机变量 服从 ( 1,6 ),则方程有实根的概率是
-2
5X
e
、设随机变量 服从参数 的泊松分布且p ( x = 0 ) = 则p ( x > 1 ) =
.,0
,40,
8)(
其它
x
x
xf X
1、设随机变量 X 具有 概率密度：
解,(1) 先求 Y =2X +8 的分布函数 FY(y)：
}{)( yYPyF Y
2
8
.)()(
y
XY dxxfyF
}2 8{}82{ yXPyXP
试求 Y =2X +8 的概率密度,yfY
可以求得：利用 )()()2( yfyF YY
)2 8()2 8()( yyfyf XY
.,0
,40,
8)(
其它
x
x
Xf X
.,0
,168,
32
8
)(
其它
y
y
yf Y
整理得 Y =2X +8 的概率密度为：
2
8
.)()(
y
XY dxxfyF
.,0
,4
2
8
0,
2
1
)
2
8
(
8
1
其它
yy
解题思路总结
的分布函数⑴．先求 XgY?
之间的关系的分布函数与密度函数⑵．利用 XgY?
yXgPyYPyF Y
yFyfXgY YY 的密度函数求
yxg
X dxxf
)(
)(
〈 解一 〉 由于 y = -2lnx 在（ 0,1）是 x 的单调可导函数，其反函数 x = e- y/2 存在、可导且导数恒不为零,
h(y) = e- y/2,
21()
2
y
h y e
所以 pY(y)=| h’(y)|pX[h(y)]
22
1
( ),y 0
2
0,,y 0
yy
Xe p e
1
,y 02
2
0,y 0
y
e
2,设 X在（ 0,1）内服从均匀分布，求 Y = － 2lnX的概率密度。
3,设 X在（ 0,1）内服从均匀分布,求 Y = － 2lnX
的概率密度。
,解二,因 X～ U（ 0,1）,故 X 的密度函数为
( ) { } { 2 l n }YF y P Y y P X y
2{ l n } { }
2
yy
P X P X e
221 { } 1 ( )
yy
XP X e F e
1 0 10X xpx
其他
22
YY
1
( ),y 0
p ( y ) F ( y ) 2
0,,y 0
yy
Xe p e
1
,y 02
2
0,y 0
y
e
当 y>0时，
当 y≤0时,FY(y)=0
5,设 X 的密度为
0
00
0?
x
xexf x
求 12 XY 的概率密度.yfY
解 12 XXgY
2
1 YYhX
2
1
2
1 yfyf
Y?
由 X的分布密度的定义有
o t h e r
y
e
yf
y
Y
0
0
2
1
2
2
1
10
1
2
2
1
y
ye
yf
y
Y
即例 6
．的密度函数
，试求随机变量，，设随机变量
yfY
eYNX
Y
X?2~
的密度函数为，知题设由 X
函数为是严格增加的，它的反因为函数 xey?
xexf
x
2
2
2
2
1
解,
上变化．，在区间
，上变化时，在区间并且当随机变量
0
XeYX
YX ln?
时，，所以，当 0y
yyfyf XY lnln yy 12lne x p2 1 2
2
00
0
2
ln
e x p
2
1
2
2
y
y
y
yyf Y?
的密度函数为由此得随机变量 XeY?
.0,0
,0,
2
1
)(
22
1
y
yey
yf
y
Y?
其概率密度为：
.,
2
1)( 2
2
xex
x
则 Y = X 2 的概率密度为：
分布。的服从自由度为此时称 21?Y
7,设1,0~ NX
已知随机变量 X的分布函数 F(x)是严格单调的其反函数 F-1 存在且严格递增,
证明,设 Y 的分布函数是于是对对
10 y由于连续函数,证明 Y = F(X )服从 [0,1]上的均匀分布,
.yG
;0,0 yGy
;1,1 yGy
又由于 X 的分布函数 F(x）是严格递增的连续函数,
10 y对于
)}({ 1 yFXp yyFF )}({ 1
yYPYGyxFp
8、
其它,0
10,1)( yyg
求导得 Y 的密度函数可见,Y 服从 [0,1]上的均匀分布,
本例的结论在计算机模拟中有重要的应用,
1,1
10,
0,0
)(
y
yy
y
yG即 Y 的分布函数是
9、设连续型随机变量 X的分布函数为：
2
2
,0
,0 1
() 1
1,1 2
2
1,2
Ax
B x x
Fx
Cx x x
x
（ 1）求 A,B,C的值 （ 2）求 X的密度函数
解：F ( x ) 在（－,＋ ）内连续
( ) 0F由 l i m ( ) 0xA F x
( 1 ) ( 1 ),( 2 ) ( 2 )F F F F由
111,2 2 1 1,,2
22B C C B C
2
2
00
1
01
2
()
1
2 1 1 2
2
12
x
xx
Fx
x x x
x
,0 1
( ) ( ) 2,1 2
0,
xx
f x F x x x
其它
