数字特征典型题目例题 1
X [ ( 1 ) ( 2 ) ] = 1
E X X
设 随 机 变 量 ～ （ ）,且 已 知,
则 ＝？
例题 2
X Y N 0 1 /2设 随 机 变 量,相 互 独 立,且 都 服 从 （,）
XY求 随 机 变 量 ｜ － ｜ 的 方 差例题 4
X U 0 1 Y U 1 3设 随 机 变 量 ～ （,） ～ （,） 相 互 独 立
E ( X Y ) D ( X Y )求,
例题 5
2X N 0,E ( X? n设 随 机 变 量 服 从 （,） 求 )
X N 0 1,E ( X n设随机变量 服从 （,）求 )
例题 6
X Y 1N0设 随 机 变 量,相 互 独 立,且 都 服 从 （,）
X,Y ) ] X,Y ) ]求 E[max( 与 E[min(
例题 7
X Y ) G = { ( 22设 随 机 变 量 (,服 从 x,y ) | y 0,x + y 1 }
,U,V,
0 X < 0
0 X 3 Y
U= 1 0 X < Y V=
1 X < 3 Y
2 X Y
上 的 均 匀 分 布 定 义 随 机 变 量 如 下
( U,V ) E ( U V ),P ( U V = 0 )求 的 联 合 分 布 及例题 8
X D X Y
( xy
已 知 随 机 变 量 的 方 差 （ ） 有 限,设 ＝ aX+b
(a 0,a,b 常 数 ）,则 ）
XYA 1 ( B) - 1 ( C ) a / a ( D ) < 1?（ ）
例题 9
2X Y E ( X ) = 2,E ( X ) = 2 0设 随 机 变 量,,有
2 XYE ( Y ) = 3,E ( Y ) = 3 4,= 0,5?
,E( 3 X + 2 Y ),D ( 3 X + 2 Y )
E ( X - Y ),D ( X - Y )
求例题 10
XY
XY
4 - 3
c = X,Y
- 3 9
设 随 机 变 量,的 协 方 差 矩 阵 为求 的 相 关 系 数例题 11
X,设 随 机 变 量 服 从 拉 普 拉 斯 分 布 其 概 率 密 度 为
||1( ) - <
2
xf x e x ( 1) E ( |X |),D( |X |)
( 2) Cov( X,|X |),X,|X |?
求问 与 是 否 独 立是 否 不 相 关例题 12
( X Y)
1 | |,0 1
(,)
0
,( ),( )
E ( X ),E ( Y),D( X ),D( Y)
Cov(X,Y)
XY
y x x
f x y
f x f y
设 随 机 变 量,的 概 率 密 度 为其 他求例题 13
1 2 2 n
1 2 n+ 1 n+ 2 2
X,X,X,1
Y = X + X + X,Z = X + X + X
nn
yz
设 的数学期望为零 方差为且任何两个随机变量的相关系数为令求例题 14
X X |X - 1|
C
U设 随 机 变 量 ～ （ 0,2 ）,求 与 的 相 关 系 数与 协 方 差 矩 阵例题 16
XY
( X Y)
1
0,
(,) 4
0
,E ( X,Y),D( X,Y)
si n xsi n y x y
f x y
设 随 机 变 量,的 概 率 密 度 为其 他求 及例题 17
X
1
()
!
,( ) ( ) 1
mx
f x x e
m
E X D X m
设 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为证 明例题 18
X [ | ]
1
C l n 2,C
1
( ) ( )
2
e E X C
p X C P X C
设 随 机 变 量 ～ （ ）,证 明 使 ｜
取 得 最 小 值 的 常 数 ＝ 且 满 足例题 19 XY
,U = X Y V X Y
U,V
设 随 机 变 量,独 立 同 分 布,令证 明,必 然 不 相 关例题 20
2
X C C E X )
[ ( ) ] D ( X ) < E X C
设 为 随 机 变 量,常 数,且 （,
证 明例题 21 2X ( ) = D ( X ) =
C,:
EX设 随 机 变 量 且,
则 对 任 意 的 常 数 必 有
2 2 2
22
22
22
( A ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
E X - C E X C
B E X - C E X
C E X - C E X
D E X - C E X
例题 22
X Y E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y )对 任 意 两 个 随 机 变 量,,若
( A ) D ( X Y ) = D ( X ) D ( Y )
( B) D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y )
( C ) X,Y
( D ) X,Y
则相 互 独 立不 相 互 独 立例题 23
ij
11 12 1
21 22 2
12
X (,1,2,2 )
,E ( X ) 2,
Y=
ij
n
n
n n n n
i j n n
X X X
X X X
X X X
设 随 机 变 量独 立 同 分 布 则 行 列 式
E ( Y ) =?的 数 学 期 望例题 24
22
1
X N 1 3,Y N 0 4
2
XY
Z = +,:
32
( 1) E( Z ),( )
( 2 ) ( 3) X,Z
XY
XZ
DZ
设 ～ （,） ～ （,）
对 于 求的 独 立 性例题 25
X Y [ 1,3]
,},{ }
7
( 1 ) { },
9
1
( 2 )
X
A X a B Y a
p A B a
设 随 机 变 量,相 互 独 立,且 都 在 区 间 上服 从 均 匀 分 布 引 进 事 件 ={
已 知 求 常 数求 的 数 学 期 望例题 26
12
12
Y1
0 Y
X k = 1,2
1 Y>
,( 1) X X
( 2) E ( X + X )
E
k
k
k
设 随 机 变 量 ～ （ ）,随 机 变 量求 和 的 联 合 分 布例题 27
X - 1
1,X > 0
Y= 0,X = 0 D( Y) =
- 1,X 0
U
设 随 机 变 量 ～ （,2 ）,
则例题 28 X,Y ( 0,1 )
( 1,0 ),( 1,1 )
,U = X + Y
设 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 在 以 点为 顶 点 的 三 角 形 区 域 上 服 从 均 匀分 布 试 求 随 机 变 量 的 方 差例题 29
X,Y,设 随 机 变 量 的 联 合 分 布 列 如 下
X
Y -1 0 1
0
1
0.07 0.18 0.15
0.08 0.32 0.20
2 2 2 2
,( 1 ) X Y =?
( 2 ) X,Y C (,)o v X Y
则 和 的 相 关 系 数的 协 方 差例题 30
:
- 1 U - 1 - 1 U 1
X = Y =
1 U > 1 1 U > - 1
定 义 随 机 变 量若若
( 1 ) ( X,Y )
( 2 ) D ( X + Y )
求 的 联 合 分 布
- 2 2 )U(设 随 机 变 量 在,上 服 从 均 匀 分 布等品分别为 80,10,10件,现从中任取一件，记
12
1,; ( 1,2,3 )
0,.i X X
iXi
抽 到 等 品 求其 它
12
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
c o v,
XX
X X E X X E X E X
D X D X D X D X
关键是求 E(X1X2)
需求例 32 某集装箱中放有 100件产品,其中一、二、三解 由已知可得
1 0,8 1 0,8 0,1 6 DX
1( ) 0 { }
1 { } 0,8
E X P
P
抽 到 非 一 等 品抽 到 一 等 品
220,1 0,0 9 E X D X同 理
12
1,;
X X
0,.
抽 到 一 等 品 同 时 抽 到 二 等 品其 它
E(X1X2)=1× P{X1X2=1}＋ 0× P{X1X2=0}
=1× 0 ＋ 0× 1=0
12
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
c o v,2,
3XX
X X E X X E X E X
D X D X D X D X
9、一辆交通车送 20名乘客到 10个站，假设每一位乘客都可能在任一站下车,并且他门下车与否相对独立。又知交通车只在有人下车时才停车。求该交通车停车次数的数学期望。
8、某人用把钥匙逐个试着开门，只有一把能打开,X
为打开门的试开次数。分别就下面两种情况求 EX，
DX。（ 1）不放回；（ 2）放回。
G={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1} 上服从均匀分布．记
0,; 0,2 ;
1,,1,2,
X Y X YUV
X Y X Y
求 ρ UV,
x
G
y
O
c ov,
UV
UV
D U D V
E U V E U E V
D U D V
分 析例 31 设二维随机变量（ X,Y）在矩形关键是求 E(UV) 可先求出 UV分布律,
解 由已知可得 1 / 2,(,) ;
,
0,.
x y Gf x y
其 它
2E U 0 P X Y 1 P X Y 3 4 ( ) / E U
22 3 9 3D ( U ) E( U ) [ E( U ) ],
4 1 6 1 6
1 / 2,1 / 4,E V D V同 理 G
x
y
O UV 的 分 布 律 为
0,2 ;
1,2,
XYU V V
XY
1 / 2,E U V E V故
VDUD
VEUEUVE
VDUD
VU,c o vρ
UV
3
3
4
1
16
3
2
1
4
3
2
1
例题 10
X N 0 1,E ( X n设 随 机 变 量 服 从 （,） 求 )
( ) ( )nnE X x f x d x
2
21
2
x
nx e d x
,( ) = 0nN E X当 为 奇 数 时
,2
2x
N u =当 为 偶 数 时 令
12 1
2
0
2()
2
n
n
nuE X u e d u
221
()
22
n
n
( 1 ) !!n ( 1 ) ! ! n()
0
n nEX
偶 数奇 数
X [ ( 1 ) ( 2 ) ] = 1
E X X
设 随 机 变 量 ～ （ ）,且 已 知,
则 ＝？
例题 2
X Y N 0 1 /2设 随 机 变 量,相 互 独 立,且 都 服 从 （,）
XY求 随 机 变 量 ｜ － ｜ 的 方 差例题 4
X U 0 1 Y U 1 3设 随 机 变 量 ～ （,） ～ （,） 相 互 独 立
E ( X Y ) D ( X Y )求,
例题 5
2X N 0,E ( X? n设 随 机 变 量 服 从 （,） 求 )
X N 0 1,E ( X n设随机变量 服从 （,）求 )
例题 6
X Y 1N0设 随 机 变 量,相 互 独 立,且 都 服 从 （,）
X,Y ) ] X,Y ) ]求 E[max( 与 E[min(
例题 7
X Y ) G = { ( 22设 随 机 变 量 (,服 从 x,y ) | y 0,x + y 1 }
,U,V,
0 X < 0
0 X 3 Y
U= 1 0 X < Y V=
1 X < 3 Y
2 X Y
上 的 均 匀 分 布 定 义 随 机 变 量 如 下
( U,V ) E ( U V ),P ( U V = 0 )求 的 联 合 分 布 及例题 8
X D X Y
( xy
已 知 随 机 变 量 的 方 差 （ ） 有 限,设 ＝ aX+b
(a 0,a,b 常 数 ）,则 ）
XYA 1 ( B) - 1 ( C ) a / a ( D ) < 1?（ ）
例题 9
2X Y E ( X ) = 2,E ( X ) = 2 0设 随 机 变 量,,有
2 XYE ( Y ) = 3,E ( Y ) = 3 4,= 0,5?
,E( 3 X + 2 Y ),D ( 3 X + 2 Y )
E ( X - Y ),D ( X - Y )
求例题 10
XY
XY
4 - 3
c = X,Y
- 3 9
设 随 机 变 量,的 协 方 差 矩 阵 为求 的 相 关 系 数例题 11
X,设 随 机 变 量 服 从 拉 普 拉 斯 分 布 其 概 率 密 度 为
||1( ) - <
2
xf x e x ( 1) E ( |X |),D( |X |)
( 2) Cov( X,|X |),X,|X |?
求问 与 是 否 独 立是 否 不 相 关例题 12
( X Y)
1 | |,0 1
(,)
0
,( ),( )
E ( X ),E ( Y),D( X ),D( Y)
Cov(X,Y)
XY
y x x
f x y
f x f y
设 随 机 变 量,的 概 率 密 度 为其 他求例题 13
1 2 2 n
1 2 n+ 1 n+ 2 2
X,X,X,1
Y = X + X + X,Z = X + X + X
nn
yz
设 的数学期望为零 方差为且任何两个随机变量的相关系数为令求例题 14
X X |X - 1|
C
U设 随 机 变 量 ～ （ 0,2 ）,求 与 的 相 关 系 数与 协 方 差 矩 阵例题 16
XY
( X Y)
1
0,
(,) 4
0
,E ( X,Y),D( X,Y)
si n xsi n y x y
f x y
设 随 机 变 量,的 概 率 密 度 为其 他求 及例题 17
X
1
()
!
,( ) ( ) 1
mx
f x x e
m
E X D X m
设 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为证 明例题 18
X [ | ]
1
C l n 2,C
1
( ) ( )
2
e E X C
p X C P X C
设 随 机 变 量 ～ （ ）,证 明 使 ｜
取 得 最 小 值 的 常 数 ＝ 且 满 足例题 19 XY
,U = X Y V X Y
U,V
设 随 机 变 量,独 立 同 分 布,令证 明,必 然 不 相 关例题 20
2
X C C E X )
[ ( ) ] D ( X ) < E X C
设 为 随 机 变 量,常 数,且 （,
证 明例题 21 2X ( ) = D ( X ) =
C,:
EX设 随 机 变 量 且,
则 对 任 意 的 常 数 必 有
2 2 2
22
22
22
( A ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
E X - C E X C
B E X - C E X
C E X - C E X
D E X - C E X
例题 22
X Y E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y )对 任 意 两 个 随 机 变 量,,若
( A ) D ( X Y ) = D ( X ) D ( Y )
( B) D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y )
( C ) X,Y
( D ) X,Y
则相 互 独 立不 相 互 独 立例题 23
ij
11 12 1
21 22 2
12
X (,1,2,2 )
,E ( X ) 2,
Y=
ij
n
n
n n n n
i j n n
X X X
X X X
X X X
设 随 机 变 量独 立 同 分 布 则 行 列 式
E ( Y ) =?的 数 学 期 望例题 24
22
1
X N 1 3,Y N 0 4
2
XY
Z = +,:
32
( 1) E( Z ),( )
( 2 ) ( 3) X,Z
XY
XZ
DZ
设 ～ （,） ～ （,）
对 于 求的 独 立 性例题 25
X Y [ 1,3]
,},{ }
7
( 1 ) { },
9
1
( 2 )
X
A X a B Y a
p A B a
设 随 机 变 量,相 互 独 立,且 都 在 区 间 上服 从 均 匀 分 布 引 进 事 件 ={
已 知 求 常 数求 的 数 学 期 望例题 26
12
12
Y1
0 Y
X k = 1,2
1 Y>
,( 1) X X
( 2) E ( X + X )
E
k
k
k
设 随 机 变 量 ～ （ ）,随 机 变 量求 和 的 联 合 分 布例题 27
X - 1
1,X > 0
Y= 0,X = 0 D( Y) =
- 1,X 0
U
设 随 机 变 量 ～ （,2 ）,
则例题 28 X,Y ( 0,1 )
( 1,0 ),( 1,1 )
,U = X + Y
设 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 在 以 点为 顶 点 的 三 角 形 区 域 上 服 从 均 匀分 布 试 求 随 机 变 量 的 方 差例题 29
X,Y,设 随 机 变 量 的 联 合 分 布 列 如 下
X
Y -1 0 1
0
1
0.07 0.18 0.15
0.08 0.32 0.20
2 2 2 2
,( 1 ) X Y =?
( 2 ) X,Y C (,)o v X Y
则 和 的 相 关 系 数的 协 方 差例题 30
:
- 1 U - 1 - 1 U 1
X = Y =
1 U > 1 1 U > - 1
定 义 随 机 变 量若若
( 1 ) ( X,Y )
( 2 ) D ( X + Y )
求 的 联 合 分 布
- 2 2 )U(设 随 机 变 量 在,上 服 从 均 匀 分 布等品分别为 80,10,10件,现从中任取一件，记
12
1,; ( 1,2,3 )
0,.i X X
iXi
抽 到 等 品 求其 它
12
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
c o v,
XX
X X E X X E X E X
D X D X D X D X
关键是求 E(X1X2)
需求例 32 某集装箱中放有 100件产品,其中一、二、三解 由已知可得
1 0,8 1 0,8 0,1 6 DX
1( ) 0 { }
1 { } 0,8
E X P
P
抽 到 非 一 等 品抽 到 一 等 品
220,1 0,0 9 E X D X同 理
12
1,;
X X
0,.
抽 到 一 等 品 同 时 抽 到 二 等 品其 它
E(X1X2)=1× P{X1X2=1}＋ 0× P{X1X2=0}
=1× 0 ＋ 0× 1=0
12
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
c o v,2,
3XX
X X E X X E X E X
D X D X D X D X
9、一辆交通车送 20名乘客到 10个站，假设每一位乘客都可能在任一站下车,并且他门下车与否相对独立。又知交通车只在有人下车时才停车。求该交通车停车次数的数学期望。
8、某人用把钥匙逐个试着开门，只有一把能打开,X
为打开门的试开次数。分别就下面两种情况求 EX，
DX。（ 1）不放回；（ 2）放回。
G={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1} 上服从均匀分布．记
0,; 0,2 ;
1,,1,2,
X Y X YUV
X Y X Y
求 ρ UV,
x
G
y
O
c ov,
UV
UV
D U D V
E U V E U E V
D U D V
分 析例 31 设二维随机变量（ X,Y）在矩形关键是求 E(UV) 可先求出 UV分布律,
解 由已知可得 1 / 2,(,) ;
,
0,.
x y Gf x y
其 它
2E U 0 P X Y 1 P X Y 3 4 ( ) / E U
22 3 9 3D ( U ) E( U ) [ E( U ) ],
4 1 6 1 6
1 / 2,1 / 4,E V D V同 理 G
x
y
O UV 的 分 布 律 为
0,2 ;
1,2,
XYU V V
XY
1 / 2,E U V E V故
VDUD
VEUEUVE
VDUD
VU,c o vρ
UV
3
3
4
1
16
3
2
1
4
3
2
1
例题 10
X N 0 1,E ( X n设 随 机 变 量 服 从 （,） 求 )
( ) ( )nnE X x f x d x
2
21
2
x
nx e d x
,( ) = 0nN E X当 为 奇 数 时
,2
2x
N u =当 为 偶 数 时 令
12 1
2
0
2()
2
n
n
nuE X u e d u
221
()
22
n
n
( 1 ) !!n ( 1 ) ! ! n()
0
n nEX
偶 数奇 数
