,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析第 2章 连续系统的时域分析
2.1 线性连续系统的描述及其响应
2.2 奇异函数
2.3 冲激响应和阶跃响应
2.4 卷积积分
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.1 线性连续系统的描述及其响应
2.1.1 系统的描述描述线性非时变连续系统的数学模型是线性常系数微分方程 。 对于电系统,列写数学模型的基本依据有如下两方面 。
1,元件约束 VAR
在电流,电压取关联参考方向条件下：
(1)电阻 R,uR(t)=R·iR(t)；
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(2)电感 L，
(3)电容 C，
(4)互感 (同、异名端连接 )、理想变压器等原、副边电
00
( ) 1( ),( ) ( )tL
L L L Lt
d i tu t L i i t u d
d t L
0
0
( ) 1( ),( ) ( ) ( )tC
C C C Ct
d u ti t C u t u t i d
d t C
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2,结构约束 KCL与 KVL
下面举例说明。
例 2― 1 图 2.1所示电路,输入激励是电流源 iS(t),试列出电流 iL(t)及 R1 u1(t) 为输出响应变量的方程式 。
图 2.1 例 2―1 图
i
S
( t )
i
C
( t )
u
1
( t )
i
L
( t )
R
2
R
1
L
＋
－
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析解 由 KVL,列出电压方程
12
2
2
1
12 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
()
()
1 ( ) ( ) ( )
()
C L L
L
L
LL
u t u t u t R i t
d i t
L R i t
dt
d i t d i t d i t
u t L R
R C d t d t d t
对上式求导，考虑到
11
()( ) ( ) ( )C
CC
d u ti t C R i t u t
dt
（ 2-1）
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析根据 KCL,有 iC(t)=iS(t)-iL(t),因而
u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t)) 2
12 2
2
1 2 1
2
1 ( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) ( )
( ) ( ) 1 ( ) 1
( ) ( )
S L L L
SL
L L S
LS
d i t d i t d i t d i t
i t i t R L R
C d t d t d t d t
d i t R R d i t R d i t
i t i t
d t L d t L C L d t L C
(2―2)
整理上式后,可得
22
1 1 2 1 1 2
1122
( ) ( ) 1 ( ) ( )() SSd i t R R d i t d i t R R d i ti t R
d t L d t L C d t L d t
(2―3)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 2图 2.2所示电路,i1(t)、
电流 i2(t)和电压 uO(t)的数学模型 。
解
1 2 2
1 2 2
2
1
,( ) ( ) ( ) ( )
2
:
1
3 ( ) ( ( ) ) ( ) ( )
2
:
( ) ( )
t
S
t
O
t
O
K C L i t i t i d i t
KCL
d
i t i t i d u t
dt
VAR
u t i d
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析解此联立方程，最后求得
22
11
122
2
22
22
2
2
( ) 7 ( ) 5 ( ) 1 ( )
( ) ( )
2 2 2
( ) 7 ( ) 5 ( )
( ) 3
22
( ) 7 5
( ) 3 ( )
22
SS
S
S
OO
OS
d i t d i t d i t d i t
i t i t
d t d t d t d t
d i t d i t d i t
it
d t d t d t
d u t u
u t i t
d t d t
(2―4)
(2―5)
(2―6)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.2 例 2―2 图
i
S
( t )
i
1
( t ) i
2
( t )
u
O
( t )
2?3?
1 F
1 H
＋
－
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(1)解得的数学模型,即求得的微分方程的阶数与动态电路的阶数 (即独立动态元件的个数 )是一致的 。
(2)输出响应无论是 iL(t),u1(t),或是 uC(t),i1(t)，
还是其它别的变量,它们的齐次方程都相同 。
这表明，同一系统当它的元件参数确定不变时，
它的自由频率是唯一的。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.1.2
我们将上面两个例子推广到一般,如果单输入,
单输出线性非时变的激励为 f(t),其全响应为 y(t),则描述线性非时变系统的激励 f(t)与响应 y(t)之间关系的是 n
阶常系数线性微分方程,它可写为
y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1
f (m-1)(t)+… +b1f(1)(t)+b0f(t) (2―7)
式中 an-1,…,a1,a0和 bm,bm-1,…,b1,b0均为常数 。 该方程的全解由齐次解和特解组成 。 齐次方程的解即为齐次解,用 yh(t)表示 。 非齐次方程的特解用 yp(t)表示 。 即有
y(t)=yh(t)+yp(t) (2―8)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
1.
齐次解满足齐次微分方程
y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 (2― 9)
由高等数学经典理论知,该齐次微分方程的特征方程为
λn+a n-1λn-1+…+a1λ+a0=0 (2― 10)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(1)特征根均为单根 。 如果几个特征根都互不相同
(即无重根 ),则微分方程的齐次解
(2) 特征根有重根 。 若 λ1是特征方程的 γ重根,即有 λ1=λ2=λ3=…=λγ,而其余 (n-γ)个根 λγ+1,λγ+2,…,λn都是单根,则微分方程的齐次解
1
() i
n
t
hi
i
y t c e?
(2―11)
1
() j
n
ti
hi
i
y t c t e
(2―12)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(3)特征根有一对单复根 。 即 λ1,2=a± jb,则微分方程的齐次解
yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt (2― 13)
(4)特征根有一对 m重复根 。 即共有 m重 λ1,2=a± jb的复根,则微分方程的齐次解
1
12
1
12
( ) co s co s co s
s i n s i n s i n
a t m a t
hm
a t a t m a t
m
y t c d t c t e d t c t e d t
d e b t d t e b t d t e d t
(2―14)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 3 求微分方程 y″(t)+3y′(t)+2
y(t)=f(t)的齐次解 。
解 由特征方程 λ2+3λ+2=0解得特征根 λ1=-1,λ2=-
2。
因此该方程的齐次解
yh(t)=c1e-t+c2e-2t
例 2― 4求微分方程 y″(t)+2y′(t)+y(t)=f(t)的齐次解 。
解 由特征方程 λ2+2λ+1=0解得二重根 λ1=λ2=-1,因此该方程的齐次解
yh(t)=c1e-t+c2te-t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 5求微分方程 y″(t)+y(t)=f(t)的齐次解 。
解由特征方程 λ2+1=0解得特征根是一对共轭复数
λ1,2=± j,因此,该方程的齐次解
yh(t)=c1cost+c2sint
2.
特解的函数形式与激励函数的形式有关 。 表 2― 1
列出了几种类型的激励函数 f(t)及其所对应的特征解
yp(t)。 选定特解后,将它代入到原微分方程,求出其待定系数 Pi,就可得出特解 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析表 2―1 激励函数及所对应的解
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 6 若输入激励 f(t)=e-t,试求微分方程
y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的特解 。
解查表 2― 1,因为 f(t)=e-t,α=-1与一个特征根 λ1=-
1相同,因此该方程的特解
10
2
1 0 1 0 1 02
()
( ) 3 ( ) 2( )
tt
p
t t t t t t t
y t P t e P e
dd
P t e P e P t e P e P t e P e e
d t d t
将特解 yp(t)代入微分方程,有
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
3.
根据式 (2― 8),完全解是齐次解与特解之和,如果微分方程的特征根全为单根,则微分方程的全解为
1
( ) ( )i
n
t
ip
i
y t c e y t?
(2―15)
当特征根中 λ1为 γ重根,而其余 (n-γ)个根均为单根时,方程的全解为
1
11
( ) ( )i
n
t t
i i p
ij
y t c t e c e j y t
(2―16)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析如果微分方程的特征根都是单根,则方程的完全解为式 (2― 15),将给定的初始条件分别代入到式 (2― 15)及其各阶导数,可得方程组
y(0)=c1+c2+…+cn+yp(0)
y′(0)=λ1c1+λ2c2+…+λncn+y′p(0)
…
y(n-1)(0)=λn-1 1c1+ λn-1 2c2+…+λn-1 ncn+y(n-1)p(0)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 7描述某线性非时变连续系统的微分方程为
y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t),已知系统的初始条件是
y(0)=y′(0)=0,输入激励 f(t)=e-tu(t),试求全响应 y(t)。
解 在例 2― 3和例 2― 6中已求得该方程的齐次解和特解,它们分别是
yh(t)=c1e-t+c2e-2t
yp(t)=te-t
因此,完全解是
y(t)=c1e-t+c2e-2t+te-t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析由初始条件 y(0)=y′(0)=0,有
y(0)=c1+c2=0
y′(0)=-c1-2c2+1=0
解得 c1=-1,c2=1,所以,全响应为
y(t)=(-e-t+e-2t+te-t)·u(t)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.1.3
线性非时变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应 。 零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态 {x(0)}所引起的响应,用 yx(t)表示；零状态响应是系统的初始状态为零 (即系统的初始储能为零 )时,
仅由输入信号所引起的响应,用 yf(t)表示 。 这样,线性非时变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和,即
y(t)=yx(t)+yf(t) (2― 17)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析在零输入条件下,式 (2― 7)等式右端均为零,化为齐次方程 。 若其特征根全为单根,则其零输入响应式中 cxi为待定常数 。
若系统的初始储能为零,亦即初始状态为零,这时式 (2― 7)仍为非齐次方程 。 若其特征根均为单根,则其零状态响应
1
() i
n
t
x x i
i
y t c e?
(2―18)
1
( ) ( )i
n
t
f fi p
i
y t c e y t?
(2―19)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析式中 cfi为待定常数 。
系统的完全响应即可分解为自由响应和强迫响应,
也可分解为零输入响应和零状态响应,它们的关系为：
1 1 1
( ) ( ) ( )i i i
n n n
t t t
i p x i f i p
i i i
y t c e y t c e c e y t
(2―20)
式中
1 1 1
i i i
n n n
t t t
i x i f i
i i i
c e c e c e
(2―21)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析在电路分析中,为确定初始条件,常常利用系统内部储能的连续性,即电容上电荷的连续性和电感中磁链的连续性 。 这就是动态电路中的换路定理 。 若换路发生在 t=t0时刻,有
00
00
( ) ( )
( ) ( )
CC
CL
u t u t
i t i t
(2― 22)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 8 如图 2.3(a) 所示的电路,已知 L=2H,
C=0.25F,R1=1Ω,R2=5Ω；电容上初始电压 uC(0-)=3
V,电感初始电流 iL(0-)=1A；激励电流源 iＳ (t)是单位阶跃函数,即 iＳ (t)=u(t)A。 试求电感电流 iL(t)的零输入响应和零状态响应 。
解 图 2.3(a)即例 2― 1题 。 若以 iL(t)为输出变量,已知其微分方程为
2
1 2 1
2
( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1( ) ( ) ( 0)L L S
LS
d i t R R d i t R d i ti t i t t
d t L d t L C L d t L C
将各元件数值代入得
1( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( 0 )
2
n
L L L S Si t i t i t i t i t t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.3 例 2―8 图
u
C
( t )
＋
－
u
L
( t )＋ －
i
S
( t )
i
L
( t )
R
1
R
2
C ＋
－
＋ －
R
1
R
2
u
C x
( 0
＋
)
i
L x
( 0
＋
)
u
L x
( 0
＋
)
3 V
1 A
i
S
( 0
＋
) R
1
R
2
i
L f
( 0
＋
)
u
L f
( 0
＋
)＋ －
( a ) ( b ) ( c )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(1)零输入响应 。 当输入为零时,电感电流的零输入应满足齐次方程
2
12
( ) 3 ( ) 2 ( ) 0 ( 0 )
( ) ( 0 )
Lx Lx Lx
tt
Lx x x
i t i t i t t
i t c e c e t
其特征根 λ1=-1,λ2=-2,因此零输入响应已知 iLx(0+)=1A,由 KVL：
12( 0 ) ( ) ( 0 ) 3 6 1 3 3L x L xu R R i V
再由 可得( 0 ) ( )L x L xd i u t
d t L
1 3 3( 0 ) ( 0 ) /
22L x L xi u A sL
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
12
12
( 0 ) 1
3
( 0 )
2
Lx x x
Lx x x
i c c
i c c
解得,故而
12
11,
22xxcc
211( ) ( 0 )
22
tt
Lxi t e e t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(2)零状态响应。输入 iS(t)=u(t)A。在 t>0时，
iS(t)=1A,代入零状态响应方程其齐次解为 cf1e-t+cf2e-2t,特解 yp(t)=P0。 代入原微分方程得 P0=1,所以,系统的零状态响应
iLf(t)=cf1e-t+cf2e-2t+1 (t≥0)
() 0Sdi t
dt?
2
22
( ) ( )3 2 ( ) 2( 0 )LL
Lf
d i f t d i f t i t t
d t d t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析已知 iLf(0+)=0，
1
( 0 ) 1 1 1( 0 ) ( ) /
2
LF
L f S
di u R i t A s
d t L L
有
12
12
( 0 ) 1 0
1
( 0 )
2
Lf f f
Lf f f
i c c
i c c
解得
1
2
3
2
1
2
f
f
c
c
231( ) 1 ( 0 )
22
tt
Lfi t e e t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(3) 完全响应 。
22
2
( ) ( ) ( )
1 1 3 1
1
2 2 2 2
1 ( 0)
L L x L
t t t t
tt
i t i t i t
e e e e
e e t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.2 奇异函数
2.2.1 奇异信号 (函数 )的时域描述
1.
冲激信号记为 δ(t),其一般定义式为
( ) 0 0
( ) 0
( ) 1
tt
tt
t dt
(2―23)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.4 冲激信号及延时冲激信号
0
( 1 )
( t )
0
( 1 )
( t － t
0
)
t tt
0
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析冲激信号也可用泛函定义为图 2.5就是 δ(t)的两个工程信号模型 。 尽管图中 P1(t)
与 P2(t)不尽相同,但两者都满足上述要求 。 当 ε→ 0时的极限情况都可形成冲激信号 δ(t)。 即
( ) ( ) ( )t f t d t f t
(2―24)
12 0( ) l i m ( ) l i m ( )t P t P t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.5 δ(t)的两个工程信号
0
p
1
( t )
0t t
( a ) ( b )
p
2
( t )
1
1
2
2
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(1)冲激信号的作用不一定仅是 t=0时刻,可以延时至任意时刻 t0。 以符号 δ(t-t0)表示,其波形图如图 2.4(b)
所示 。 δ(t-t0)的定义式为
δ(t- t0)=0,t≠t0
δ(t- t0)→∞,t=t0
且
0( ) 1t t d t?
(2―25)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析仿照式 (2― 24)同样有 δ(t-t0)的泛函数定义
(2)冲激信号具有强度,其强度就是冲激信号对时间的定积分值,如 Aδ(t)表示该冲激信号的强度为 A，
。 冲激信号的强度在图中以括号注明,以示与信号的幅值相区分 。
00( ) ( ) ( )t t f t d t f t?
(2―26)
()A t d t A
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.
阶跃信号以符号 u(t)表示，其定义为
10
()
00
t
ut
t
其波形如图 2.6(a)所示 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.6 阶跃信号与延时阶跃信号
0 t
u ( t )
1
0 t
u ( t － t
0
)
1
t
0
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析阶跃信号 u(t)在 t=0处存在间断点,在此点 u(t)没有定义 。 同样,阶跃信号也可延时任意时刻 t0,以符号
u(t-t0)表示,其波形如图 2.6(b)所示,对应的表示式为
0
0
0
1
()
0
tt
u t t
tt
(2―27)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 9 试用阶跃函数表示图 2.7所示的延时脉冲信号和方波信号 。
解 w1(t)=u(t-t0)-2u(t-2t0)+u(t-3t0)
w2(t)=u(t)-u(t-1)+u(t-2)-u(t-3)+u(t-4)-u(t-5)
w3(t)=u(t)+u(t-t0)+u(t-2t0)-u(t-3t0)-u(t-4t0)-u(t-5t0)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.7 例 2―9 图
t
0
2 t
0
3 t
0
t
1
w
3
( t )
0 4 t
0
5 t
0
( c )
2
3
t
1
w
2
( t )
1 2 3 4 50
( b )
t
0
2 t
0
3 t
0
t
1
－ 1
w
1
( t )
( a )
0
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析阶跃信号最重要的特性是有单边性 。 任意连续时间信号 f(t)(-∞<t<∞),一旦与阶跃信号相乘,即成为单边信号 f(t)(t>0),而 t<0时,信号为零,如图 2.8所示 。
图 2.8 阶跃信号的单边特性
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析从阶跃信号与冲激信号的定义,可以导出阶跃信号与冲激信号之间的关系,即有
( ) ( )
()
()
t
u t d
d u t
t
dt
(2― 28)
(2― 29)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析这表明冲激信号是阶跃信号的一阶导数,阶跃信号是冲激信号的时间积分 。 从它们的波形可见,阶跃信号 u(t)在 t=0处有间断点,对其求导后,即产生冲激信号 δ(t)。 以后对信号求导时,凡不连续点的导数就用冲激信号或延时冲激信号来表示,冲激信号的强度就是不连续点的跳跃值,如图 2.9所示 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.9 冲激信号与阶跃信号之间的关系
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
3.
斜坡信号以符号 γ(t)表示,其定义为
0
()
00
tt
t
t
(2―30)
还可以表示为
( ) ( ) ( )t tu t t(2―31)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.10 斜坡信号与延迟斜坡信号
1
1 t0
( t )
1
t
0
t0
( t － t
0
)
t
0
＋ 1
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析还可以表示为
γ(t-t0)=(t-t0)·u(t-t0) (-∞<t<∞) (2 ― 33)
应用斜坡信号与阶跃信号,可以表示任意的三角脉冲信号,如图 2.11所示 。 此时 f(t)可写为
f(t)=(t-1)u(t-1)-(t-2)u(t-2)-u(t-2)
()
0
o
o
o
t t t
tt
tt
(2―32)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.11 斜坡信号表示三角脉冲信号
1
1 t0
f ( t )
2
1
1 t0
f ( t )
2
－ 1
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析从阶跃信号与斜坡信号的定义,同样可以导出阶跃信号与斜坡信号之间的关系,即有
( ) ( )
()
()
t
t u d
dt
ut
dt
(2―34)
(2―35)
4.
对冲激信号 δ(t)求时间导数,得到一个新的奇异信号,即冲激偶信号,其表示式为
()() dtt
dt
(2―36)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.12 冲激偶信号
0 t
( t )′
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.2.2
1.筛选特性如果信号 f(t)是一个在 t=t0处连续的普通函数,则有
2.
如果信号 f(t)是一个在 t=t0处连续的普通函数,则有
f(t)·δ(t-t0)=f(t0)·δ(t-t0) (2― 38)
00( ) ( ) ( )f t t t dt f t?
(2― ３７ )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
3,展缩特性 1
( ) ( ) ( 0 )
1
( ) ( ) ( ) ( )
b
at b t a
aa
b
f t at b dt f t t dt
aa
上式的证明可利用冲激函数的泛涵定义，即只需证明
(2―39)
(2―40)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
4.
如果信号 f(t)是一个任意连续时间函数,则有上式表明任意连续时间信号 f(t)与冲激信号 δ(t)相卷积,其结果还是信号 f(t)本身 。
在信号与系统的分析中具有重要的作用,下面举例说明冲激信号特性的应用 。
( ) ( ) ( )f t d f t (2―41)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2―10 计算下列各式的值：
3
5
2
6
2
4
2
2
2
32
4
2
( 1 ) sin( ) ( )
4
( 2 ) ( 1 )
( 3 ) ( 8 )
( 4 ) ( 2 2 )
( 5 ) ( 3 ) ( 1 )
3
( 6 ) ( 2 3 ) ( 2 )
( 7 ) ( 2 2 )
(8 ) ( ) ( 1 )
t
t
t
t
t
t t dt
e t dt
e t dt
e t dt
t
t t dt
t t t
et
e u t t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析解
3
5 5 1
5
2
6
2
4
22
2 2 2
22
2 2 3 2
2
( 1 ) sin( ) ( ) sin( )
4 4 2
1
( 2 ) ( 1 )
( 3 ) ( 8 ) 0
11
( 4 ) ( 2 2 ) ( 1 )
22
( 5 ) ( 2 3 ) ( 1 ) ( 3 ) 3 ( 3 ) 0
3
( 6 ) ( 2 3 ) ( 2 ) ( 2 2 2
t
t
tt
t t dt
e t dt e
e
e t dt
e t dt e t
e
t
t t dt t t t dt
t t t
4 4 4 ( 1 ) 4
2 2 ( 1 )
3 ) ( 2 ) 19 ( 2 )
1 1 1
( 7 ) ( 2 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
2 2 2
( 8 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0 ( 1 ) 0
tt
t
tt
e e t e t e t
e u t t e u t t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.2.3
引入奇异函数概念之后,我们进一步讨论电容和电感上电压和电流的关系 。 t,图 2.13(a)
中电容端口电压 uC(t)与电容电流 iＣ (t)的关系是
1( ) ( )t
CCu t i dC
如果选初始时刻为 t=0,那么,在 t>0的任意时刻,
上式可写为
0_
0 _ 0 _
1 1 1( ) ( ) ( ) ( 0 _ ) ( ) ( 0 _ )tt
C C C C Cu t i d i d u i d tC C C
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析式中 u(t)为单位阶跃信号 。 积分下限取 0-是考虑到
iC(t)可能包括冲激信号 (t=0时的冲激 )。 如果 iC(t)不包含冲激信号,即 iC(t)连续有界,则可不必区分 0-与 0+。
或写为
0_
1( ) ( 0 ) ( ) ( )t
C C Cu t u u t i dC
(2―42)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.13 t≥0时，电容的时域模型
＋
－
u
C
( t )
u
C
( 0
－
)
＋
－
i
C
( t )
C
＋
－
u
C
( t )
u
C
( 0
－
) u ( t )
i
C
( t )
C
＋
－
i
C
( t )
C
u
C
( t )
＋
－
Cu
C
(0
－
)?
(
t)
t
tu
C
d
)(d C
( a ) ( b ) ( c )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析将式 (2―42) 求导数并乘以 C，得
()
( 0 _ ) ( ) ( )
()
( ) ( 0 _ ) ( )
C
CC
C
CC
d u t
C Cu t i t
dt
d u t
i t C Cu t
dt
(2―43)
移项，有
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.1３中 (a),(b),(c)三个电路对于端口电压 uC(t)
和电流 iC(t)来说是互相等效的 。 同理,对于电感 L,也有对偶的等效公式和等效电路模型图如图 2.14所示：
0_
1
( ) ( 0 _ ) ( ) ( )
()
( ) ( 0 _ ) ( )
t
L L L
L
LL
i t i u t u d
L
d i t
u L L i t
dt
(2―44)
(2―45)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析从式 (2― 44),式 (2― 45)和图 2.14中可知,具有初始电流 iL(0-)的电感 L,在 t>0-的时间范围内,可用初始状态为零的电感 L与电流源 iL(0-)相并联表示,或与电压源 LiL(0-)δ(t)相串联表示 。 图 2.14中 (a),(b),(c)三个电路是互相等效的 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.14 t≥0时，电感的时域模型
u
L
( t )
i
L
( t )
i
L
( 0
－
)
L
＋
－
L
i
L
( t )
u
L
( t )
i L
(0
－
)u
(t
)
＋
－
L
＋
－
i
L
( t )
＋
－
u
L
( t )
Lu
L
( 0
－
) ( t )
( a ) ( b ) ( c )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.3
2.3.1
一线性非时变系统,当其初始状态为零时,输入为单位冲激信号 δ(t)所引起的响应称为单位冲激响应,
简称冲激响应,用 h(t)表示 。 亦即,冲激响应是激励为单位冲激信号 δ(t)时,系统的零状态响应 。 其示意图如图 2.15所示 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.15 冲激响应示意图
0 t
( t )
( 1 )
线性非时变系统
( t ) h ( t )
{ × ( 0 ) } ＝ { 0 }
t
h ( t )
0
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
1.
冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等,方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等 。 根据此规则即可求得系统的冲激响应 h(t)。
例 2― 11已知某线性非时变系统的动态方程式为
() 3 ( ) 2 ( ) ( 0 )d y t y t f t t
dt
试求系统的冲激响应 h(t)。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析解 根据系统冲激响应 h(t)的定义,当 f(t)=δ(t)时,
即为 h(t),即原动态方程式为由于动态方程式右侧存在冲激信号 δ(t),为了保持动态方程式的左右平衡,等式左侧也必须含有 δ(t)。 这样冲激响应 h(t)必为 Aeλtu(t)的形式 。 考虑到该动态方程的特征方程为
() 3 ( ) 2 ( ) ( 0 )d h t h t t t
dt
30
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析特征根 λ1=-3,因此可设 h(t)=Ae-3tu(t),式中 A为待定系数,将 h(t)代入原方程式有
33
3 3 3
[ ( )] 3 ( ) 2 ( )
( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( )
( ) 2 ( )
tt
t t t
d
A e u t A e u t t
dt
A e t A e u t A e u t t
A t t
即解得 A=2,因此,系统的冲激响应为
3( ) 2 ( )th t e u t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( 0 ) ( )
d
f t g t f t g t f t g t
dt
f t g t f t?
求导后,对含有 δ(t)的项利用冲激信号 δ(t)的取样特性进行化简,即
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 12 已知某线性非时变系统的动态方程式为试求系统的冲激响应 h(t)。
解 由原方程可得
() 6 ( ) 3 ( ) 2 ( )d y t y t f t f t
dt
() 6 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( 0 )d y t y t t t t
dt
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析由于动态方程式右侧存在冲激信号 δ′(t),为了保持动态方程式的左右平衡,等式左侧 h(t)最高次 h′(t)也必须含有 δ′(t)。 这样,冲激响应 h(t)必含有 δ(t)项 。 考虑到动态方程式的特征方程为特征根为 λ1=-6,因此设式中 A,B为待定系数,将 h(t)代入原方程式有
60
6( ) ( ) ( )th t A e u t B t
66[ ( ) ( )] 6 [ ( ) ( )] 3 ( ) 2 ( )
( 6 ) ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( )
ttd A e u t B t A e u t B t t t
dt
A B t B t t t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
62
3
16
3
AB
B
A
B
解得即因此,
6( ) 3 ( ) 1 6 ( )th t t e u t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 13 已知某线性非时变系统的动态方程式为
2
2
( ) ( )3 2 ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( 0)d y t d y t y t f t f t t
d t d t
试求系统的冲激响应 h(t)。
解 由原方程可得
2
2
( ) ( )3 2 ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( 0)d y t d y t y t t t t
d t d t
考虑到该动态方程的特征方程为 λ2+3λ+2=0,特征根 λ1=-1,λ2=-2,因此设
2( ) ( ) ( )tth t Ae u t e t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析式中 A,B为待定系数,将 h(t)代入原方程式,解得
A=1,B=1。 因此,系统的冲激响应为
2( ) ( ) ( )tth t e u t e t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 14 RLC串联电路如图 2.16所示 。 R=3Ω，
L=0.5H,C=0.25F,电路输入激励为单位冲激电压 δ(t)。
电路的初始状态为零,试求系统的冲激响应电容电压
uC(t)
解 由 KVL
( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 )R C Lu t u t u t t
由 VAR
2
2
()
( ) ( )
( ) ( )
()
R
RC
CC
L
du t
u t R i t RC
dt
di t d u t
u t L L C
dt dt
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.16 RLC串联电路
＋
－
＋ －
＋
－
＋－
R
L
C ( t )
u
R
u
L
u
C
( t )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析考虑到该动态方程的特征方程为
( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 )
( ) 6 ( ) 8 ( ) 8 ( ) ( 0 )
C C C
C C C
L C u t RC u t u t t t
u t u t u t t t
代入 R,L,C元件参数值并化简得
2
12
6 8 0
2,4
特征根
24( ) ( ) ( )ttCu t Ae Be u t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析式中 A,B为待定系数 。 则有
u′C(t)=(-2Ae-2t-4Be-4t)u(t)+(A+B)δ(t)
u″C(t)=(4Ae-2t+16Be-4t)u(t)-(2A+4B)δ(t)+(A+B)δ′(t)
将 u″C(t),u′C(t)及 u(t)代入原动态方程式解得
A=4,B=-4
因此,系统的冲激响应电容电压为
uC(t)=(4e-2t-4e-4t)u(t)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析根据系统动态方程式两边冲激信号的平衡来设定系统的冲激响应 h(t)时,若等式左边求导的最高阶次为
n次,等式右边求导的最高阶次为 m次,且动态方程的特征方程的特征根全为单根时,
1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
i
i
n
t
i
i
n
t
i
i
h t c e u t
h t B t c e u t
(2―46)
(2―47)
n>m时，
n=m时，
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.
系统冲激响应 h(t)的求解还有另一种方法,称为等效初始条件法 。 冲激响应 h(t)是系统在零状态条件下,受单位冲激信号 δ(t)激励所产生的响应,它属于零状态响应 。
例 2― 15 已知某线性非时变 (LTI)系统的动态方程式为
y′(t)+3y(t)=2f(t)t≥0
试求系统的冲激响应 h(t)。
解 冲激响应 h(t)满足动态方程式
h′(t)+3h(t)=2δ(t)t≥0
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析由于动态方程式右边最高次为 δ(t),故方程左边的最高次 h′(t)中必含有 δ(t),故设
h′(t)=Aδ(t)+Bu(t)
因而有 h(t)=Au(t)
将 h′(t)与 h(t)分别代入原动态方程有
Aδ(t)+Bu(t)+3Au(t)=2δ(t)
Aδ(t)+(B+3A)u(t)=2δ(t)
A=2,B=-6
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 16 已知某线性非时变 (LTI)系统的动态方程式为
y″(t)+5y′(t)+4y(t)=2f′(t)+3f(t)t≥0
试求系统的冲激响应 h(t)。
解 冲激响应 h(t)满足动态方程式
h″(t)+5h′(t)+4h(t)=2δ′(t)+3δ(t)t≥0
由于动态方程式右边最高次为 δ′(t),故方程左边的最高次 h″(t)中必含有 δ′(t),故设
h″(t)=Aδ′(t)+Bδ(t)+Cu(t)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析因而有
h′(t)=Aδ(t)+Bu(t)
h(t)=Au(t)
将 h″(t),h′(t)与 h(t)
A=2,B=-7,C=27
因此可得
h(0+)=A=2,h′(0+)=B=-7,h″(0+)=27
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 17 已知某线性非时变系统 (LTI)的动态方程式为
y′(t)+3y(t)=2f′(t)+5f(t)t≥0
试求系统的冲激响应 h(t)。
解 冲激响应 h(t)满足动态方程式
h′(t)+3h(t)=2δ′(t)+5δ(t)t≥0
由于动态方程式右边最高次为 δ′(t),故方程左边的最高次 h′(t)中必含有 δ′(t),故设
h′(t)=Aδ′(t)+Bδ(t)+Cu(t)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
h(t)=Aδ(t)+Bu(t)
将 h′(t)与 h(t)分别代入原动态方程有
Aδ′(t)+(A+B)δ(t)+(B+C)u(t)=2δ′(t)+5δ(t)
A=2,B=3,C=-3
以上表示在 t=0处,h(t)含有幅度为 B的跳变,h′(t)
含有幅度为 C的跳变 。 因此可得
h(0+)=B,h′(0+)=C
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
3.
系统的冲激响应 h(t)反映的是系统的特性,只与系统的内部结构和元件参数有关,而与系统的外部激励无关 。 但系统的冲激响应 h(t)可以由冲激信号 δ(t)作用于系统而求得 。 在以上两种求解系统冲激响应 h(t)的过程中,都是已知系统的动态方程 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 18 已知某线性非时变 (LTI)系统在
f1(t)=4u(t-1)作用下,产生的零状态响应为
y1(t)=e-2(t-2)u(t-2)+4u(t-3)
试求系统的冲激响应 h(t)。
解已知系统在 f1(t)作用下产生响应为 y1(t),而系统的冲激响应 h(t)为系统在冲激信号 δ(t)作用下产生的零状态响应 。 因此,为求得系统的冲激响应 h(t),只需找出 f1(t)与冲激信号 δ(t)之间的关系即可 。
已知
f1(t)=4u(t-1) y1(t)=e-2(t-2)u(t-2)+4u(t-3)?
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析根据线性系统的特性，可以有
2 ( 1)2 1 2 1( ) ( 1 ) 4 ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) 4 ( 2 )tf t f t u t y t y t e u t u t
根据非时变系统的特性，可以有
2 ( 1 )
3 2 3 2
2 ( 1 )33
44
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )
4 4 4
( ) ( ) 1 1
( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) 2 )
24
t
t
f t f t u t y t y t e u t u t
d f t d f t
f t t y t e u t t t
d t d t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.3.2
一线性非时变系统,当其初始状态为零时,输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应,简称阶跃响应,用 g(t)表示 。 阶跃响应是激励为单位阶跃函数 u(t)时,系统的零状态响应,如图 2.17所示 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.17 阶跃响应示意图线性非时变系统
g ( t )
{ × ( 0 ) } ＝ { 0 }
0
1
t
u ( t )
g ( t )
0 t
u ( t )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析如果描述系统的微分方程是式 (2― 7),将 f(t)=u(t)
代入,可求得其特解若式 (2― 7)的特征根 λi(i=1,2,…,n)均为单根,
则系统的阶跃响应的一般形式 (n≥m)为
0
0
()b ut
a
0
1 0
( ) ( ) ( )i
n
t
i
i
bg t c e u t
a
(2― 48)
(2―4 ９ )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 19若描述系统的微分方程为
y″(t)+3y′(t)+2y(t)= 1/2 f′(t)+2f(t)
试求系统的阶跃响应 。
解 系统的特征根为 λ1=-1,λ2=-2,由式 (2― 49)
知,其阶跃响应
g(t)=(c1e-t+c2e-2t+1)u(t)
它的一阶,二阶导数 (考虑到冲激函数的抽样性质 )分别为
g′(t)=(c1+c2+1)δ(t)+(-c1e-t-2c2e-2t)u(t)
g″(t)=(c1+c2+1)δ′(t)+(-c1-2c2)δ(t)+(c1e-t+4c2e-2t)u(t)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析将 f(t)=u(t),y(t)=g(t),及其导数 g′(t)和 g″(t)代入系统的微分方程,稍加整理得
(c1+c2+1)δ′(t)+(2c1+c2+3)δ(t)+2u(t)= 1/2δ(t)+2u(t)
由系统对应相等有
12 1
12
2
3
10
2
1
123
2
2
cc c
cc
c
所以，系统的阶跃响应为 231( ) ( 1 ) ( )
22
ttg t e e u t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.4 卷积积分
2.4.1
在信号分析与系统分析时,常常需要将信号分解为基本信号的形式 。 这样,对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析,从而将复杂问题简单化,且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰 。 信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.18 信号分解为冲激序列
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析从图 2.18可见,将任意信号 f(t)分解成许多小矩形,
间隔为 Δτ,各矩形的高度就是信号 f(t)在该点的函数值 。
根据函数积分原理,当 Δτ很小时,可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信号来近似表示信号 f(t)；而当 Δτ→ 0
时,可以用这些小矩形来精确表达信号 f(t)。 即
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
( ) ( 0)( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( 2 ) )
( ) ( ( ) ( ) )
( ( ) ( ) ) ( ) ( 2 )
( 0) ( )
( ( ) ( ) )
()
((
()
k
f t f u t u t f u t u t
f k u t k u t k
u t u t u t u t
ff
u t k u t k
fk
ut
fk
) ( ) )k u t k
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析式 (2― 52)只是近似表示信号 f(t),且 Δτ越小,其误差越小 。 当 Δτ→ 0时,可以用上式精确地表示信号 f(t)。
由于当 Δτ→ 0时,kΔτ→τ,Δτ→dτ,且
0
0
( ( ) ( ) )
()
( ( ) ( ) )
( ) l i m ( )
l i m ( ) ( )
( ) ( )
k
k
u t k u t k
t
u t k u t k
f t f k
f k t k
f t t d
故式 (2― 52)在 Δτ→ 0时,有
(2―53)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.4.2
在求解系统的零状态响应 yf(t)时,将任意信号 f(t)
都分解为冲激信号序列,然后充分利用线性非时变系统的特性,从而解得系统在任意信号 f(t)激励下的零状态响应 yf(t)。
由式 (2― 53)可得
0
( ) ( ) ( ) l i m ( ) ( )
k
f t f t t d f k t k
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析上式表明,任意信号 f(t)可以分解为无限多个冲激序列的叠加 。 不同的信号 f(t)只是冲激信号 δ(t-kΔτ)前的系数 f(kΔτ)不同 (系数亦即是该冲激信号的强度 )。 这样,
任一信号 f(t)作用于系统产生的响应 yf(t)可由诸 δ(t-kΔτ)
产生的响应叠加而成 。,若系统的冲激响应为 h(t),则有下列关系式成立 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
0
0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim ( ) ( )
kk
k
f
k
t h t
t k h t k
f k t k f k h t k
f k t k f k h t k
f t f k t k f t t d
y t f k h t k
( ) ( )f t h t d
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析系统的零状态响应 yf(t)为输入激励 f(t)与系统的冲激响应 h(t)的卷积积分,为
( ) ( ) ( ) ( ) ( )fy t f t h t d f t h t
(2― 54)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 20已知某线性非时变 (LTI)系统的动态方程式为
y′(t)+3y(t)=2f(t)t≥0
输入激励为 3u(t),试求系统的零状态响应 yf(t)。
解 首先计算系统的冲激响应 h(t),即
h′(t)+3h(t)=2δ(t)t≥0
应用冲激平衡法,故可设
h(t)=Ae-3t u(t)
将 h(t)及 h′(t)分别代入冲激响应微分方程式得
Ae-3tδ(t)-3Ae-3t u(t)+3Ae-3t u(t)=2δ(t)t≥0
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析解得 A=2,因此,冲激响应 h(t)=2e-3t u(t),系统的零状态响应为
3 ( )
3 ( )
0
33
0
33
0
3
3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 ( ) 2 ( )
3 2 ( 0 )
6 ( 0 )
1
6 [ ] ( 0 )
3
2 ( 1 ) ( 0 )
2 ( 1 ) ( )
f
t
t
t
t
t
tt
t
t
y t f t h t f h t d
u e u t d
e d t
e e d t
e e t
et
e u t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析由上例可见,如果激励 f(t)和冲激响应 h(t)均为因果函数 (即有 t<0,f(t)=0,h(t)=0),并且系统的特征根均为单根,那么全响应
0_1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )i
n t
t
x f x i
i
y t y t y t c e f h t d
(2―55)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 21RC串联电路如图 2.19所示 。 已知电路的激励 uS(t)=e-t u(t)。 试求零状态响应 yf(t)=uC(t)。
图 2.19 例 2―21 图
＋
－
＋
－
u
C
( t )u
S
( t ) C
R
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析解 由 KVL
uR(t)+uC(t)=uS(t)
1
()
( ) ( )
( ) 1 1
( ) ( )
( ) 1 1
( ) ( )
1
( ) ( )
C
CS
C
CS
t
RC
du t
RC u t u t
dt
du t
u t u t
dt RC RC
dh t
h t t
dt RC RC
h t e u t
RC
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析由于激励信号 uS(t)和冲激响应信号 h(t)都是有始信号,所以,对于 t>0,有
1
()
00
1 1 1
( 1) ( 1)
0
0
11
( 1)
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
11
()
( 1 )
11
( 1 ) ( ) ( )
( 1 ) ( 1 )
1
( ) ( ) ( ) ( )
( 1 )
tt t
r
RC
f C S
t
tt
t
RC RC RC RC
t
tt
t
RC RC RC
t
t
RC
fC
y t u t u h t d e e d
RC
e e d e e
RC RC
e e e e u t
RC RC
y t u t e e u t
RC
因此，零状态响应
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 22 已知某线性非时变 (LTI)系统数学模型为输入激励 f(t)=e-t u(t),且已知 h(0)=0,h′(0)=1。 试用卷积积分法求系统的零状态响应 yf(t)。
解 系统的特征方程为 λ2+3λ+2,特征根为 λ1=-1，
λ2=-2。 又因为 n>m,因此,
h(t)=(c1e-t+c2e-2t)u(t)
由 h(0)=0,h′(0)=1,解得 c1=1,c2=-1。 因此,系统
h(t)=(e-t-e-2t)u(t)
2
2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( )
ddy t y t y t f t
d t d t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析由于激励 f(t)=e-t u(t)和冲激响应 h(t)均为因果函数,
因此,在 t>0时,有
( ) 2 ( )
0
22
00
2
( ) ( ) ( ) (
( 1 )
( ) ( )
t
tt
f
tt
t t t t t
t t t
y t f t h t e e e d
e d e d t e e e
t e e e u t
因此,零状态响应
yf(t)=(te-t-e-t+e-2t)u(t)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.4.3
1.
卷积积分是一种线性运算,它具有以下基本特征 。
1)交换律
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f t h t h t f t
f h t d f h t d
(2―56)
式 (2― 56)说明两信号的卷积积分与次序无关 。 即系统输入信号 f(t)与系统的冲激响应 h(t)可以互相调换,其零状态响应不变 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.20 系统级联满足交换律
h
1
( t ) h
2
( t )
h
1
( t )h
2
( t )
( t )
( t )
h ( t ) ＝ h
1
( t ) h
2
( t )*
h ( t ) ＝ h
2
( t ) h
1
( t )*
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2) 分配律
(f1(t)+f2(t))*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t) (2-57)
式 (2― 57)的实际意义如图 2.21所示,表明两个信号 f1(t)与 f2(t)叠加后通过某系统 h(t)将等于两个信号分别通过此系统 h(t)后再叠加 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.21 卷积分配律示意图
h ( t )∑
h ( t )
h ( t )
∑
f
1
( t )
f
2
( t )
f
1
( t )
f
2
( t )
y ( t )
y ( t )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
3)
设有 u(t),v(t),w(t)三函数,则有
u(t)*(v(t)*w(t))=(u(t)*v(t))*w(t) (2―58)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ) )
u t t v t d
u t v t t u v t d d
此时积分变量为 τ，
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析此时积分变量为 λ,而从上式来看,对变量 τ而言,
λ无异于一常数 。 可引入新积分变量 x=λ+τ,则有 τ=x-
λ,dτ=dx。 将这些关系代入上式右边括号内,则有
( ) ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ) )u t v t t u v t d d
交换积分次序,并根据卷积定义,即可得
( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) )
( ( ) ( ) ) ( )
( ( ) ( ) ) ( )
u t v t t u v t d d
u t v t t x dx
u t v t t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
4)
y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)
y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t) (2― 59)
证明
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
dd
y t f h t d
d t d t
f h t d
f t h t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
5)
y(t)=y(t)*h(t)=h(t)*f(t)
y(-1)(t)=f(-1)(t)*h(t)=h(-1)(t)*f(t) (2― 60)
式中 y(-1)(t),f(-1)(t)及 h(-1)(t)分别表示 y(t),f(t)及 h(t)
对时间 t的一次积分 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
6) 卷积的等效特性
y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)
y(t)=f(-1)(t)*h′(t)=f′(t)*h(-1)(t) (2― 61)
证明根据式 (2― 59)卷积微分特性,有
y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t)
将上式对时间 t积分，即可证明式 (2―61)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析式 (2― 61)说明,通过激励信号 f(t)的导数与冲激响应 h(t)的积分的卷积,或激励信号 f(t)的积分与冲激响应
h(t)的导数的卷积,同样可以求得系统的零状态响应 。
这一关系为计算系统的零状态响应提供了一条新途径 。
上述性质 4),5),6)可以进一步推广,其一般形式如下：
y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)
y(i+j)(t)=f(i)(t)*h(j)(t)=h(j)(t)*f(i)(t) (2― 62)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
7)
f(t)*h(t)=y(t)
f(t-t1)*h(t-t2)=y(t-t1-t2) (2― 63)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.
含奇异信号的卷积积分具有以下特性 。
1)延时特性
f(t)*kδ(t-t0)=kf(t-t0) (2― 64)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.22 理想延时器及其冲激响应
Df ( t ) y ( t ) ＝ f ( t － t
0
)
0 tt
0
( 1 )
h ( t )
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析同理,如果一个系统的冲激响应 h(t)为 δ(t),则此系统称为理想放大器,其中 k称为放大器的增益或放大系数,如图 2.23所示 。 当信号 f(t)通过该放大器时,其输出为
y(t)=f(t)*kδ(t)=kf(t)
即输出是输入信号 f(t)的 k倍 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.23 理想放大器及其冲激响应
f ( t ) y ( t ) ＝ k f ( t )
0 t
( k )
h ( t )
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2)
f(t)*δ′(t)=f′(t) (2― 65)
即,任意信号 f(t)与冲激偶信号 δ′(t)卷积,其结果为信号 f(t)的一阶导数 。
如果一个系统的冲激响应为冲激偶信号 δ′(t)，则此系统称为微分器，如图 2.24所示。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.24 微分器及其冲激响应
f ( t ) y ( t ) ＝ f ( t )
0 t
( 1 )
h ( t )
( a ) ( b )
′
td
d
( － 1 )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
3) 积分特性即,任意信号 f(t)与阶跃信号 u(t)卷积,其结果为信号 f(t)本身对时间的积分 。 如果一个系统的冲激响应为阶跃信号 u(t),则此系统称为积分器,如图 2.25所示 。
( 1)( ) ( ) ( ) ( )tf t u t f t f d
(2―66)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.25 积分器及其冲激响应
f ( t ) y ( t ) ＝ f
( － 1)
( t )
0 t
h ( t )
( a ) ( b )
1
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 23设系统的冲激响应为 h(t)=δ(t+T)+δ(t-T)，
如图 2.26(a)所示 。 输入信号为 f(t),如图 2.26(b)所示,
试求系统在信号 f(t)激励下的零状态响应 。
解 ff(t)=f(t)*h(t)
=f(t)*(δ(t+T)+δ(t-T))
=f(t+T)+f(t-T)
也就是说,只需在每个冲激信号出现的位置处重画信号 f(t)即可,卷积结果 (即系统的零状态响应 )如图
2.26(c)所示 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.26 例 2―23 信号波形
( 1 ) ( 1 )
T－ T t
h ( t )
T－ T t0 0
f ( t )
T－ T t0－ 2 T 2 T
( a ) ( b ) ( c )
f
f
( t ) ＝ f ( t ) h ( t )*
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 25已知 f(t)=e-tu(t),h(t)=u(t)-u(t-2),试求两信号的卷积 y(t)=f(t)*h(t)。
解 根据卷积运算的分配律,有
ff(t)=f(t)*h(t)=f(t)*(u(t)-u(t-2))
=f(t)*u(t)+f(t)*u(t-2)
=f(-1)(t)-f(-1)(t-2)
亦可利用卷积的等效特性来计算,即
yf(t)=f(t)*h(t)=f(-1)(t)*h′(t)=f(-1)(t)*(u(t)-u(t-2))′
=f(-1)(t)*(δ(t)-δ(t-2))
=f(-1)(t)-f(-1)(t-2)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析可见两种方法计算结果一样 。 进一步求解可得卷积的最后结果为
( 1 ) ( 1 )
( 2 )
( 2 )
( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )
( ) ( 2 )
( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 2 )
f
tt
t
t
y t f t h t f t f t
e d e u d
e u t e u t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 26 已知某线性非时变 (LTI)系统如图 2.27所示 。
已知图中 h1(t)=u(t),h2(t)=δ(t-1),h3(t)=e-3(t-2)u(t-2),试求该系统的冲激响应 h(t)。
解 当多个子系统通过级联,并联组成一个大系统时,大系统的冲激响应 h(t)可以直接通过各子系统的冲激响应计算得到 。
从图 2.27可见,子系统 h1(t)与 h2(t)是级联关系,而
h3(t)支路与 h1(t)及 h2(t)组成的支路是并联关系,因此
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
h(t)=h1(t)*h2(t)+h3(t)
=h(t)*δ(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)
=u(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)
图 2.27 例 2―26 系统框图
h
1
( t ) h
2
( t )
h
3
( t )
∑f ( t ) y( t )系统
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.4.4
1.解析计算参与卷积的两个信号 f1(t)与 f2(t)都可以用解析函数例 2― 27 已知 f1(t)=e-3t u(t)，
f2(t)=e-5t u(t),试计算两信号的卷积 f1(t)*f2(t)。
解 根据卷积积分的定义,可得
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
1 2 1 2
3 5 ( )
3 5 ( )
35
35
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
()
2
1
( ) ( )
2
t
t
tt
tt
f t f t f f t d
e u e u t d
e e d
ee
e e u t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 28已知信号 f1(t)=e-3(t-1)u(t-1)与
f2(t)=e-5(t-2)u(t-2),试计算两信号的卷积 f1(t)*f2(t)。
解 根据卷积积分的定义，可得
1 2 1 2
3 ( 1) 5 ( 2 )
3 ( 1) 5 ( 2 )
3 ( 3 ) 5 ( 3 )
3 ( 3 ) 5 ( 3 )
( ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) ( 2 )
1
()
2
1
( ) ( 3 )
2
t
t
tt
tt
f t f t f f t d
e u e u t d
e e d
ee
e e u t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析在例 2― 27中,f1(t)的起点为 0,f2(t)的起点为 0,故
f1(t)*f2(t)的起点也为零；在例 2― 28中,f1(t)的起点为 1，
f2(t)的起点为 2,故 f1(t)*f2(t)的起点为 1+2=3。 例 2― 29
可以验证终点之间的关系,它们的关系如图 2.28所示 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.28 例 2―29 图
1 2
1
0
f 1 ( t )
t 1 2
1
0
f 2 ( t )
t3 4 1 2
1
0 t3 4 5 6 7
f 1 ( t ) f 2 ( t )*
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析在利用卷积的定义通过信号的函数解析式进行卷积时,对于一些基本信号可以通过查卷积积分表直接得到,避免卷积积分过程中重复与繁杂的计算 。 卷积积分表如表 2― 2所示 。 当然,在利用解析式进行求解信号卷积时,可以利用卷积的一些特性来简化运算 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析表 2―2 卷积积分常用公式表
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.
对于一些较简单的函数符号,如方波,三角波等,
可以利用图解方式来计算 。 而且,熟练掌握图解卷积的方法,对理解卷积的运算过程是有帮助的 。 下面通过例题来介绍图解卷积的具体步骤 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2―30 已知分别如图 2.29(a),(b)所示。试用图解法求两信号的卷积 y(t)=f(t)*h(t)
1 0 0( ),( )
0 0,0 0,
t T t t Tf t h t
t t T t t T
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.29 例 2―30 图
0 T 2 T 3 T
1
f (? )
( a )
0 T 2 T 3 T
1
h ( t －? )
tt － 2 T
( t ＜ 0)
( c )
0 T 2 T 3 T
1
( d )
h ( t －? )
t － 2 T t
( 0 ＜ t ＜ T )
0 T 2 T 3 T
1
t
t － 2 T
( T ＜ t ＜ 2 T )
( e )
h ( t －? )
0 T 2 T 3 T
1
( f )
h ( t －? )
t － 2 T
( 2 T ＜ t ＜ 3 T )
2 T
0 T 2 T 3 T
1
t
t － 2 T
( t ＞ 3 T )
( g )
h ( t －? )
0 T 2 T 3 T
( h )
y ( t )
2
2
3
t
t
0 T 2 T 3 T
1
h (? )
( b )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析综合各段结果,有
2
2
23
0 ( 0)
1
( 0 )
2
1
( ) ( ) ( ) ( 2 )
2
13
( 2 3 )
22
0 ( 3 )
t
t t T
y t f t h t T t t T t T
t T t T T t T
tT
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 31已知信号 f(t)与 h(t)的波形如图 2.30(a),(b)
所示,试计算其卷积 y(t)=f(t)*h(t)。
解首先将 h(τ)沿纵轴反转位移为 h(t-τ),如图 2.30(c)
所示 。 然后观察随着参数 t的变化,f(τ)与 h(t-τ)乘积随之而变化,从而将 t分成不同的区间,分别计算其卷积积分的结果,
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.30 两个不等宽矩形脉冲的卷积
1 20
1
f (? )
1 20
1
h (? )
t － 1 0
h ( t －? )
t
( t ＜ 0)
( c )( b )( a )
1 20t － 1 t
(0 ＜ t ＜ 1)
h ( t －? )
1 20 t － 1 t
(1 ＜ t ＜ 2)
h ( t －? )
1 20 t － 1 t
(2 ＜ t ＜ 3)
h ( t －? )
( f )( e )( d )
11
1 20
1
( g )
3 t
y ( t ) ＝ f ( t ) h ( t )*
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 32已知两信号 f(t)与 h(t)的波形如图 2.31(a)、
(b)所示,试计算其卷积 y(t)=f(t)*h(t)。
解 由于 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t),因此没有必要非得反转 h(t)不可 。 一般情况下,应该反转两个函数中较简单的一个 。 在本题中,f(t)较简单,故反转 f(τ)为 f(t-
τ)(t<0),如图 2.31(c)所示 。 根据 t的不同区间,分别计算其卷积积分,
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.31 例 2―32 信号卷积示意图
1 20
1
f (? )
( a )
1 20
1
h (? )
( b )
t － 1 0
f ( t －? )
t
( t ＜ 0)
( c )
1
－ 1
(1 ＜ t ＜ 2)
1 20
1
f ( t －? )
( e )
tt － 1
(2 ＜ t ＜ 3)
1 20
1
f ( t －? )
( f )
tt － 1 1 20
1
( g )
3 t
y ( t ) ＝ f ( t ) h ( t )
*
1 20
1
f ( t －? )
( d )
tt － 1
(0 ＜ t ＜ 1)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 33 已知两信号 f(t)与 h(t)的波形如图 2.32(a)、
(b)所示,试计算其卷积积分 y(t)=f(t)*h(t)。
解 由于 f(τ)的波形较 h(τ)简单,故反转并延迟 f(τ)为
f(t-τ)(t<0),如图 2.32(c)所示 。 根据 t的不同区间,分段计算其卷积积分,
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.32 例 2―33 信号卷积示意图
1 20
1
f (? )
( a )
1 20
1
h (? )
( b )
－ 1
f ( t －? )
t － 1 0t
( t ＜ 0)
( c )
1
－ 1
1 20
1
f ( t －? )
( d )
tt － 1
(0 ＜ t ＜ 1) (1 ＜ t ＜ 2) (2 ＜ t ＜ 3)
1 20
1
f ( t －? )
( e )
tt － 1?1 20
1
f ( t －? )
( f )
tt － 1
－ 1 － 1 － 1
1 20
1
( g )
3 t
y ( t ) ＝ f ( t ) h ( t )
*
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
3.
卷积积分实际上是一个定积分,是计算 f(τ)·h(t-τ)
的面积,如果两卷积信号的函数形式复杂,我们在具体计算时又会遇到数学上的困难 。 有时激励信号不能用基本函数来表示,可能只是一条曲线或者一组测试数据 。 因此有必要在时域中进行近似的数值计算 。
若两个信号 f(t)与 h(t)都是有始单边信号,则有
0( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ty t f t h t f h t d
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.33 卷积的数值计算示意图
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析卷 积 积 分 值 可 以 近 似 地 用 两 块 矩 形 面 积
(f0h2+f1h1)T来表示 。 按此过程,随着参变量 t的不断增加,f(τ)与 h(t-τ)的重叠面积随之而不断变化,用相应的矩形面积近似代表 f(τ)·h(t-τ)的积分 。
上述数值近似计算的卷积积分可写成一般表达式，
为
1
0
()
n
m n m
m
y nT T f h
(2― 67)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 34已知某线性非时变 (LTI)系统的数学模型为
y″(t)+7y′(t)+12y(t)=2f′(t)+3f(t)(t≥0)
已知：激励 f(t)=2e-2t u(t),初始状态 y(0-)=1，
y′(0-)=2,试求：
(1)
(2)
(3)
(4)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析解 (1)
λ2+7λ+12=0
解得特征根为 λ1=-3,λ2=-4，
y(t)=c1e-3t+c2e-4t,t≥0
代入系统的初始状态 y(0-),y′(0-),有
y(0-)=c1+c2=1 c1=6
y′(0-)=-3c1-4c2=2 c2=-5
y(t)=6e-3t-5e-4t,t≥0
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(2)由于
h″(t)+7h′(t)+12h(t)=2δ′(t)+3δ(t),t≥0
应用冲激平衡法,故可设
h(t)=(Ae-3t+Be-4t)u(t)
将 h(t),h′(t),h″(t)分别代入冲激响应方程,解得
A=-3,B=5
h(t)=(5e-4t-3e-3t)u(t)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(3) 由卷积积分法,有
2 4 ( ) 3 ( )
2 4 ( ) 2 3 ( )
00
4 3 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ( ) [ 5 3 ] ( )
2 5 2 3 ( 0)
( 3 2 6 ) ( )
f
tt
tt
tt
t t t
y t f t h t f h t d
e u e e u t d
e e d e e t
e e e u t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(4) 系统的完全响应
y(t)=yx(t)+yf(t)
=(6e-3t-5e-4t)+(3e-4t+2e-3t+6e-2t)
=8e-3t-2e-4t+6e-2t (t>0)
第 2章 连续系统的时域分析第 2章 连续系统的时域分析
2.1 线性连续系统的描述及其响应
2.2 奇异函数
2.3 冲激响应和阶跃响应
2.4 卷积积分
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.1 线性连续系统的描述及其响应
2.1.1 系统的描述描述线性非时变连续系统的数学模型是线性常系数微分方程 。 对于电系统,列写数学模型的基本依据有如下两方面 。
1,元件约束 VAR
在电流,电压取关联参考方向条件下：
(1)电阻 R,uR(t)=R·iR(t)；
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(2)电感 L，
(3)电容 C，
(4)互感 (同、异名端连接 )、理想变压器等原、副边电
00
( ) 1( ),( ) ( )tL
L L L Lt
d i tu t L i i t u d
d t L
0
0
( ) 1( ),( ) ( ) ( )tC
C C C Ct
d u ti t C u t u t i d
d t C
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2,结构约束 KCL与 KVL
下面举例说明。
例 2― 1 图 2.1所示电路,输入激励是电流源 iS(t),试列出电流 iL(t)及 R1 u1(t) 为输出响应变量的方程式 。
图 2.1 例 2―1 图
i
S
( t )
i
C
( t )
u
1
( t )
i
L
( t )
R
2
R
1
L
＋
－
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析解 由 KVL,列出电压方程
12
2
2
1
12 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
()
()
1 ( ) ( ) ( )
()
C L L
L
L
LL
u t u t u t R i t
d i t
L R i t
dt
d i t d i t d i t
u t L R
R C d t d t d t
对上式求导，考虑到
11
()( ) ( ) ( )C
CC
d u ti t C R i t u t
dt
（ 2-1）
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析根据 KCL,有 iC(t)=iS(t)-iL(t),因而
u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t)) 2
12 2
2
1 2 1
2
1 ( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) ( )
( ) ( ) 1 ( ) 1
( ) ( )
S L L L
SL
L L S
LS
d i t d i t d i t d i t
i t i t R L R
C d t d t d t d t
d i t R R d i t R d i t
i t i t
d t L d t L C L d t L C
(2―2)
整理上式后,可得
22
1 1 2 1 1 2
1122
( ) ( ) 1 ( ) ( )() SSd i t R R d i t d i t R R d i ti t R
d t L d t L C d t L d t
(2―3)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 2图 2.2所示电路,i1(t)、
电流 i2(t)和电压 uO(t)的数学模型 。
解
1 2 2
1 2 2
2
1
,( ) ( ) ( ) ( )
2
:
1
3 ( ) ( ( ) ) ( ) ( )
2
:
( ) ( )
t
S
t
O
t
O
K C L i t i t i d i t
KCL
d
i t i t i d u t
dt
VAR
u t i d
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析解此联立方程，最后求得
22
11
122
2
22
22
2
2
( ) 7 ( ) 5 ( ) 1 ( )
( ) ( )
2 2 2
( ) 7 ( ) 5 ( )
( ) 3
22
( ) 7 5
( ) 3 ( )
22
SS
S
S
OO
OS
d i t d i t d i t d i t
i t i t
d t d t d t d t
d i t d i t d i t
it
d t d t d t
d u t u
u t i t
d t d t
(2―4)
(2―5)
(2―6)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.2 例 2―2 图
i
S
( t )
i
1
( t ) i
2
( t )
u
O
( t )
2?3?
1 F
1 H
＋
－
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(1)解得的数学模型,即求得的微分方程的阶数与动态电路的阶数 (即独立动态元件的个数 )是一致的 。
(2)输出响应无论是 iL(t),u1(t),或是 uC(t),i1(t)，
还是其它别的变量,它们的齐次方程都相同 。
这表明，同一系统当它的元件参数确定不变时，
它的自由频率是唯一的。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.1.2
我们将上面两个例子推广到一般,如果单输入,
单输出线性非时变的激励为 f(t),其全响应为 y(t),则描述线性非时变系统的激励 f(t)与响应 y(t)之间关系的是 n
阶常系数线性微分方程,它可写为
y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1
f (m-1)(t)+… +b1f(1)(t)+b0f(t) (2―7)
式中 an-1,…,a1,a0和 bm,bm-1,…,b1,b0均为常数 。 该方程的全解由齐次解和特解组成 。 齐次方程的解即为齐次解,用 yh(t)表示 。 非齐次方程的特解用 yp(t)表示 。 即有
y(t)=yh(t)+yp(t) (2―8)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
1.
齐次解满足齐次微分方程
y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 (2― 9)
由高等数学经典理论知,该齐次微分方程的特征方程为
λn+a n-1λn-1+…+a1λ+a0=0 (2― 10)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(1)特征根均为单根 。 如果几个特征根都互不相同
(即无重根 ),则微分方程的齐次解
(2) 特征根有重根 。 若 λ1是特征方程的 γ重根,即有 λ1=λ2=λ3=…=λγ,而其余 (n-γ)个根 λγ+1,λγ+2,…,λn都是单根,则微分方程的齐次解
1
() i
n
t
hi
i
y t c e?
(2―11)
1
() j
n
ti
hi
i
y t c t e
(2―12)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(3)特征根有一对单复根 。 即 λ1,2=a± jb,则微分方程的齐次解
yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt (2― 13)
(4)特征根有一对 m重复根 。 即共有 m重 λ1,2=a± jb的复根,则微分方程的齐次解
1
12
1
12
( ) co s co s co s
s i n s i n s i n
a t m a t
hm
a t a t m a t
m
y t c d t c t e d t c t e d t
d e b t d t e b t d t e d t
(2―14)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 3 求微分方程 y″(t)+3y′(t)+2
y(t)=f(t)的齐次解 。
解 由特征方程 λ2+3λ+2=0解得特征根 λ1=-1,λ2=-
2。
因此该方程的齐次解
yh(t)=c1e-t+c2e-2t
例 2― 4求微分方程 y″(t)+2y′(t)+y(t)=f(t)的齐次解 。
解 由特征方程 λ2+2λ+1=0解得二重根 λ1=λ2=-1,因此该方程的齐次解
yh(t)=c1e-t+c2te-t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 5求微分方程 y″(t)+y(t)=f(t)的齐次解 。
解由特征方程 λ2+1=0解得特征根是一对共轭复数
λ1,2=± j,因此,该方程的齐次解
yh(t)=c1cost+c2sint
2.
特解的函数形式与激励函数的形式有关 。 表 2― 1
列出了几种类型的激励函数 f(t)及其所对应的特征解
yp(t)。 选定特解后,将它代入到原微分方程,求出其待定系数 Pi,就可得出特解 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析表 2―1 激励函数及所对应的解
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 6 若输入激励 f(t)=e-t,试求微分方程
y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的特解 。
解查表 2― 1,因为 f(t)=e-t,α=-1与一个特征根 λ1=-
1相同,因此该方程的特解
10
2
1 0 1 0 1 02
()
( ) 3 ( ) 2( )
tt
p
t t t t t t t
y t P t e P e
dd
P t e P e P t e P e P t e P e e
d t d t
将特解 yp(t)代入微分方程,有
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
3.
根据式 (2― 8),完全解是齐次解与特解之和,如果微分方程的特征根全为单根,则微分方程的全解为
1
( ) ( )i
n
t
ip
i
y t c e y t?
(2―15)
当特征根中 λ1为 γ重根,而其余 (n-γ)个根均为单根时,方程的全解为
1
11
( ) ( )i
n
t t
i i p
ij
y t c t e c e j y t
(2―16)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析如果微分方程的特征根都是单根,则方程的完全解为式 (2― 15),将给定的初始条件分别代入到式 (2― 15)及其各阶导数,可得方程组
y(0)=c1+c2+…+cn+yp(0)
y′(0)=λ1c1+λ2c2+…+λncn+y′p(0)
…
y(n-1)(0)=λn-1 1c1+ λn-1 2c2+…+λn-1 ncn+y(n-1)p(0)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 7描述某线性非时变连续系统的微分方程为
y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t),已知系统的初始条件是
y(0)=y′(0)=0,输入激励 f(t)=e-tu(t),试求全响应 y(t)。
解 在例 2― 3和例 2― 6中已求得该方程的齐次解和特解,它们分别是
yh(t)=c1e-t+c2e-2t
yp(t)=te-t
因此,完全解是
y(t)=c1e-t+c2e-2t+te-t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析由初始条件 y(0)=y′(0)=0,有
y(0)=c1+c2=0
y′(0)=-c1-2c2+1=0
解得 c1=-1,c2=1,所以,全响应为
y(t)=(-e-t+e-2t+te-t)·u(t)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.1.3
线性非时变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应 。 零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态 {x(0)}所引起的响应,用 yx(t)表示；零状态响应是系统的初始状态为零 (即系统的初始储能为零 )时,
仅由输入信号所引起的响应,用 yf(t)表示 。 这样,线性非时变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和,即
y(t)=yx(t)+yf(t) (2― 17)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析在零输入条件下,式 (2― 7)等式右端均为零,化为齐次方程 。 若其特征根全为单根,则其零输入响应式中 cxi为待定常数 。
若系统的初始储能为零,亦即初始状态为零,这时式 (2― 7)仍为非齐次方程 。 若其特征根均为单根,则其零状态响应
1
() i
n
t
x x i
i
y t c e?
(2―18)
1
( ) ( )i
n
t
f fi p
i
y t c e y t?
(2―19)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析式中 cfi为待定常数 。
系统的完全响应即可分解为自由响应和强迫响应,
也可分解为零输入响应和零状态响应,它们的关系为：
1 1 1
( ) ( ) ( )i i i
n n n
t t t
i p x i f i p
i i i
y t c e y t c e c e y t
(2―20)
式中
1 1 1
i i i
n n n
t t t
i x i f i
i i i
c e c e c e
(2―21)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析在电路分析中,为确定初始条件,常常利用系统内部储能的连续性,即电容上电荷的连续性和电感中磁链的连续性 。 这就是动态电路中的换路定理 。 若换路发生在 t=t0时刻,有
00
00
( ) ( )
( ) ( )
CC
CL
u t u t
i t i t
(2― 22)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 8 如图 2.3(a) 所示的电路,已知 L=2H,
C=0.25F,R1=1Ω,R2=5Ω；电容上初始电压 uC(0-)=3
V,电感初始电流 iL(0-)=1A；激励电流源 iＳ (t)是单位阶跃函数,即 iＳ (t)=u(t)A。 试求电感电流 iL(t)的零输入响应和零状态响应 。
解 图 2.3(a)即例 2― 1题 。 若以 iL(t)为输出变量,已知其微分方程为
2
1 2 1
2
( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1( ) ( ) ( 0)L L S
LS
d i t R R d i t R d i ti t i t t
d t L d t L C L d t L C
将各元件数值代入得
1( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( 0 )
2
n
L L L S Si t i t i t i t i t t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.3 例 2―8 图
u
C
( t )
＋
－
u
L
( t )＋ －
i
S
( t )
i
L
( t )
R
1
R
2
C ＋
－
＋ －
R
1
R
2
u
C x
( 0
＋
)
i
L x
( 0
＋
)
u
L x
( 0
＋
)
3 V
1 A
i
S
( 0
＋
) R
1
R
2
i
L f
( 0
＋
)
u
L f
( 0
＋
)＋ －
( a ) ( b ) ( c )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(1)零输入响应 。 当输入为零时,电感电流的零输入应满足齐次方程
2
12
( ) 3 ( ) 2 ( ) 0 ( 0 )
( ) ( 0 )
Lx Lx Lx
tt
Lx x x
i t i t i t t
i t c e c e t
其特征根 λ1=-1,λ2=-2,因此零输入响应已知 iLx(0+)=1A,由 KVL：
12( 0 ) ( ) ( 0 ) 3 6 1 3 3L x L xu R R i V
再由 可得( 0 ) ( )L x L xd i u t
d t L
1 3 3( 0 ) ( 0 ) /
22L x L xi u A sL
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
12
12
( 0 ) 1
3
( 0 )
2
Lx x x
Lx x x
i c c
i c c
解得,故而
12
11,
22xxcc
211( ) ( 0 )
22
tt
Lxi t e e t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(2)零状态响应。输入 iS(t)=u(t)A。在 t>0时，
iS(t)=1A,代入零状态响应方程其齐次解为 cf1e-t+cf2e-2t,特解 yp(t)=P0。 代入原微分方程得 P0=1,所以,系统的零状态响应
iLf(t)=cf1e-t+cf2e-2t+1 (t≥0)
() 0Sdi t
dt?
2
22
( ) ( )3 2 ( ) 2( 0 )LL
Lf
d i f t d i f t i t t
d t d t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析已知 iLf(0+)=0，
1
( 0 ) 1 1 1( 0 ) ( ) /
2
LF
L f S
di u R i t A s
d t L L
有
12
12
( 0 ) 1 0
1
( 0 )
2
Lf f f
Lf f f
i c c
i c c
解得
1
2
3
2
1
2
f
f
c
c
231( ) 1 ( 0 )
22
tt
Lfi t e e t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(3) 完全响应 。
22
2
( ) ( ) ( )
1 1 3 1
1
2 2 2 2
1 ( 0)
L L x L
t t t t
tt
i t i t i t
e e e e
e e t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.2 奇异函数
2.2.1 奇异信号 (函数 )的时域描述
1.
冲激信号记为 δ(t),其一般定义式为
( ) 0 0
( ) 0
( ) 1
tt
tt
t dt
(2―23)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.4 冲激信号及延时冲激信号
0
( 1 )
( t )
0
( 1 )
( t － t
0
)
t tt
0
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析冲激信号也可用泛函定义为图 2.5就是 δ(t)的两个工程信号模型 。 尽管图中 P1(t)
与 P2(t)不尽相同,但两者都满足上述要求 。 当 ε→ 0时的极限情况都可形成冲激信号 δ(t)。 即
( ) ( ) ( )t f t d t f t
(2―24)
12 0( ) l i m ( ) l i m ( )t P t P t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.5 δ(t)的两个工程信号
0
p
1
( t )
0t t
( a ) ( b )
p
2
( t )
1
1
2
2
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(1)冲激信号的作用不一定仅是 t=0时刻,可以延时至任意时刻 t0。 以符号 δ(t-t0)表示,其波形图如图 2.4(b)
所示 。 δ(t-t0)的定义式为
δ(t- t0)=0,t≠t0
δ(t- t0)→∞,t=t0
且
0( ) 1t t d t?
(2―25)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析仿照式 (2― 24)同样有 δ(t-t0)的泛函数定义
(2)冲激信号具有强度,其强度就是冲激信号对时间的定积分值,如 Aδ(t)表示该冲激信号的强度为 A，
。 冲激信号的强度在图中以括号注明,以示与信号的幅值相区分 。
00( ) ( ) ( )t t f t d t f t?
(2―26)
()A t d t A
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.
阶跃信号以符号 u(t)表示，其定义为
10
()
00
t
ut
t
其波形如图 2.6(a)所示 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.6 阶跃信号与延时阶跃信号
0 t
u ( t )
1
0 t
u ( t － t
0
)
1
t
0
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析阶跃信号 u(t)在 t=0处存在间断点,在此点 u(t)没有定义 。 同样,阶跃信号也可延时任意时刻 t0,以符号
u(t-t0)表示,其波形如图 2.6(b)所示,对应的表示式为
0
0
0
1
()
0
tt
u t t
tt
(2―27)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 9 试用阶跃函数表示图 2.7所示的延时脉冲信号和方波信号 。
解 w1(t)=u(t-t0)-2u(t-2t0)+u(t-3t0)
w2(t)=u(t)-u(t-1)+u(t-2)-u(t-3)+u(t-4)-u(t-5)
w3(t)=u(t)+u(t-t0)+u(t-2t0)-u(t-3t0)-u(t-4t0)-u(t-5t0)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.7 例 2―9 图
t
0
2 t
0
3 t
0
t
1
w
3
( t )
0 4 t
0
5 t
0
( c )
2
3
t
1
w
2
( t )
1 2 3 4 50
( b )
t
0
2 t
0
3 t
0
t
1
－ 1
w
1
( t )
( a )
0
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析阶跃信号最重要的特性是有单边性 。 任意连续时间信号 f(t)(-∞<t<∞),一旦与阶跃信号相乘,即成为单边信号 f(t)(t>0),而 t<0时,信号为零,如图 2.8所示 。
图 2.8 阶跃信号的单边特性
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析从阶跃信号与冲激信号的定义,可以导出阶跃信号与冲激信号之间的关系,即有
( ) ( )
()
()
t
u t d
d u t
t
dt
(2― 28)
(2― 29)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析这表明冲激信号是阶跃信号的一阶导数,阶跃信号是冲激信号的时间积分 。 从它们的波形可见,阶跃信号 u(t)在 t=0处有间断点,对其求导后,即产生冲激信号 δ(t)。 以后对信号求导时,凡不连续点的导数就用冲激信号或延时冲激信号来表示,冲激信号的强度就是不连续点的跳跃值,如图 2.9所示 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.9 冲激信号与阶跃信号之间的关系
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
3.
斜坡信号以符号 γ(t)表示,其定义为
0
()
00
tt
t
t
(2―30)
还可以表示为
( ) ( ) ( )t tu t t(2―31)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.10 斜坡信号与延迟斜坡信号
1
1 t0
( t )
1
t
0
t0
( t － t
0
)
t
0
＋ 1
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析还可以表示为
γ(t-t0)=(t-t0)·u(t-t0) (-∞<t<∞) (2 ― 33)
应用斜坡信号与阶跃信号,可以表示任意的三角脉冲信号,如图 2.11所示 。 此时 f(t)可写为
f(t)=(t-1)u(t-1)-(t-2)u(t-2)-u(t-2)
()
0
o
o
o
t t t
tt
tt
(2―32)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.11 斜坡信号表示三角脉冲信号
1
1 t0
f ( t )
2
1
1 t0
f ( t )
2
－ 1
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析从阶跃信号与斜坡信号的定义,同样可以导出阶跃信号与斜坡信号之间的关系,即有
( ) ( )
()
()
t
t u d
dt
ut
dt
(2―34)
(2―35)
4.
对冲激信号 δ(t)求时间导数,得到一个新的奇异信号,即冲激偶信号,其表示式为
()() dtt
dt
(2―36)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.12 冲激偶信号
0 t
( t )′
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.2.2
1.筛选特性如果信号 f(t)是一个在 t=t0处连续的普通函数,则有
2.
如果信号 f(t)是一个在 t=t0处连续的普通函数,则有
f(t)·δ(t-t0)=f(t0)·δ(t-t0) (2― 38)
00( ) ( ) ( )f t t t dt f t?
(2― ３７ )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
3,展缩特性 1
( ) ( ) ( 0 )
1
( ) ( ) ( ) ( )
b
at b t a
aa
b
f t at b dt f t t dt
aa
上式的证明可利用冲激函数的泛涵定义，即只需证明
(2―39)
(2―40)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
4.
如果信号 f(t)是一个任意连续时间函数,则有上式表明任意连续时间信号 f(t)与冲激信号 δ(t)相卷积,其结果还是信号 f(t)本身 。
在信号与系统的分析中具有重要的作用,下面举例说明冲激信号特性的应用 。
( ) ( ) ( )f t d f t (2―41)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2―10 计算下列各式的值：
3
5
2
6
2
4
2
2
2
32
4
2
( 1 ) sin( ) ( )
4
( 2 ) ( 1 )
( 3 ) ( 8 )
( 4 ) ( 2 2 )
( 5 ) ( 3 ) ( 1 )
3
( 6 ) ( 2 3 ) ( 2 )
( 7 ) ( 2 2 )
(8 ) ( ) ( 1 )
t
t
t
t
t
t t dt
e t dt
e t dt
e t dt
t
t t dt
t t t
et
e u t t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析解
3
5 5 1
5
2
6
2
4
22
2 2 2
22
2 2 3 2
2
( 1 ) sin( ) ( ) sin( )
4 4 2
1
( 2 ) ( 1 )
( 3 ) ( 8 ) 0
11
( 4 ) ( 2 2 ) ( 1 )
22
( 5 ) ( 2 3 ) ( 1 ) ( 3 ) 3 ( 3 ) 0
3
( 6 ) ( 2 3 ) ( 2 ) ( 2 2 2
t
t
tt
t t dt
e t dt e
e
e t dt
e t dt e t
e
t
t t dt t t t dt
t t t
4 4 4 ( 1 ) 4
2 2 ( 1 )
3 ) ( 2 ) 19 ( 2 )
1 1 1
( 7 ) ( 2 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
2 2 2
( 8 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0 ( 1 ) 0
tt
t
tt
e e t e t e t
e u t t e u t t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.2.3
引入奇异函数概念之后,我们进一步讨论电容和电感上电压和电流的关系 。 t,图 2.13(a)
中电容端口电压 uC(t)与电容电流 iＣ (t)的关系是
1( ) ( )t
CCu t i dC
如果选初始时刻为 t=0,那么,在 t>0的任意时刻,
上式可写为
0_
0 _ 0 _
1 1 1( ) ( ) ( ) ( 0 _ ) ( ) ( 0 _ )tt
C C C C Cu t i d i d u i d tC C C
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析式中 u(t)为单位阶跃信号 。 积分下限取 0-是考虑到
iC(t)可能包括冲激信号 (t=0时的冲激 )。 如果 iC(t)不包含冲激信号,即 iC(t)连续有界,则可不必区分 0-与 0+。
或写为
0_
1( ) ( 0 ) ( ) ( )t
C C Cu t u u t i dC
(2―42)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.13 t≥0时，电容的时域模型
＋
－
u
C
( t )
u
C
( 0
－
)
＋
－
i
C
( t )
C
＋
－
u
C
( t )
u
C
( 0
－
) u ( t )
i
C
( t )
C
＋
－
i
C
( t )
C
u
C
( t )
＋
－
Cu
C
(0
－
)?
(
t)
t
tu
C
d
)(d C
( a ) ( b ) ( c )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析将式 (2―42) 求导数并乘以 C，得
()
( 0 _ ) ( ) ( )
()
( ) ( 0 _ ) ( )
C
CC
C
CC
d u t
C Cu t i t
dt
d u t
i t C Cu t
dt
(2―43)
移项，有
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.1３中 (a),(b),(c)三个电路对于端口电压 uC(t)
和电流 iC(t)来说是互相等效的 。 同理,对于电感 L,也有对偶的等效公式和等效电路模型图如图 2.14所示：
0_
1
( ) ( 0 _ ) ( ) ( )
()
( ) ( 0 _ ) ( )
t
L L L
L
LL
i t i u t u d
L
d i t
u L L i t
dt
(2―44)
(2―45)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析从式 (2― 44),式 (2― 45)和图 2.14中可知,具有初始电流 iL(0-)的电感 L,在 t>0-的时间范围内,可用初始状态为零的电感 L与电流源 iL(0-)相并联表示,或与电压源 LiL(0-)δ(t)相串联表示 。 图 2.14中 (a),(b),(c)三个电路是互相等效的 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.14 t≥0时，电感的时域模型
u
L
( t )
i
L
( t )
i
L
( 0
－
)
L
＋
－
L
i
L
( t )
u
L
( t )
i L
(0
－
)u
(t
)
＋
－
L
＋
－
i
L
( t )
＋
－
u
L
( t )
Lu
L
( 0
－
) ( t )
( a ) ( b ) ( c )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.3
2.3.1
一线性非时变系统,当其初始状态为零时,输入为单位冲激信号 δ(t)所引起的响应称为单位冲激响应,
简称冲激响应,用 h(t)表示 。 亦即,冲激响应是激励为单位冲激信号 δ(t)时,系统的零状态响应 。 其示意图如图 2.15所示 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.15 冲激响应示意图
0 t
( t )
( 1 )
线性非时变系统
( t ) h ( t )
{ × ( 0 ) } ＝ { 0 }
t
h ( t )
0
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
1.
冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等,方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等 。 根据此规则即可求得系统的冲激响应 h(t)。
例 2― 11已知某线性非时变系统的动态方程式为
() 3 ( ) 2 ( ) ( 0 )d y t y t f t t
dt
试求系统的冲激响应 h(t)。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析解 根据系统冲激响应 h(t)的定义,当 f(t)=δ(t)时,
即为 h(t),即原动态方程式为由于动态方程式右侧存在冲激信号 δ(t),为了保持动态方程式的左右平衡,等式左侧也必须含有 δ(t)。 这样冲激响应 h(t)必为 Aeλtu(t)的形式 。 考虑到该动态方程的特征方程为
() 3 ( ) 2 ( ) ( 0 )d h t h t t t
dt
30
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析特征根 λ1=-3,因此可设 h(t)=Ae-3tu(t),式中 A为待定系数,将 h(t)代入原方程式有
33
3 3 3
[ ( )] 3 ( ) 2 ( )
( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( )
( ) 2 ( )
tt
t t t
d
A e u t A e u t t
dt
A e t A e u t A e u t t
A t t
即解得 A=2,因此,系统的冲激响应为
3( ) 2 ( )th t e u t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( 0 ) ( )
d
f t g t f t g t f t g t
dt
f t g t f t?
求导后,对含有 δ(t)的项利用冲激信号 δ(t)的取样特性进行化简,即
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 12 已知某线性非时变系统的动态方程式为试求系统的冲激响应 h(t)。
解 由原方程可得
() 6 ( ) 3 ( ) 2 ( )d y t y t f t f t
dt
() 6 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( 0 )d y t y t t t t
dt
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析由于动态方程式右侧存在冲激信号 δ′(t),为了保持动态方程式的左右平衡,等式左侧 h(t)最高次 h′(t)也必须含有 δ′(t)。 这样,冲激响应 h(t)必含有 δ(t)项 。 考虑到动态方程式的特征方程为特征根为 λ1=-6,因此设式中 A,B为待定系数,将 h(t)代入原方程式有
60
6( ) ( ) ( )th t A e u t B t
66[ ( ) ( )] 6 [ ( ) ( )] 3 ( ) 2 ( )
( 6 ) ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( )
ttd A e u t B t A e u t B t t t
dt
A B t B t t t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
62
3
16
3
AB
B
A
B
解得即因此,
6( ) 3 ( ) 1 6 ( )th t t e u t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 13 已知某线性非时变系统的动态方程式为
2
2
( ) ( )3 2 ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( 0)d y t d y t y t f t f t t
d t d t
试求系统的冲激响应 h(t)。
解 由原方程可得
2
2
( ) ( )3 2 ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( 0)d y t d y t y t t t t
d t d t
考虑到该动态方程的特征方程为 λ2+3λ+2=0,特征根 λ1=-1,λ2=-2,因此设
2( ) ( ) ( )tth t Ae u t e t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析式中 A,B为待定系数,将 h(t)代入原方程式,解得
A=1,B=1。 因此,系统的冲激响应为
2( ) ( ) ( )tth t e u t e t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 14 RLC串联电路如图 2.16所示 。 R=3Ω，
L=0.5H,C=0.25F,电路输入激励为单位冲激电压 δ(t)。
电路的初始状态为零,试求系统的冲激响应电容电压
uC(t)
解 由 KVL
( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 )R C Lu t u t u t t
由 VAR
2
2
()
( ) ( )
( ) ( )
()
R
RC
CC
L
du t
u t R i t RC
dt
di t d u t
u t L L C
dt dt
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.16 RLC串联电路
＋
－
＋ －
＋
－
＋－
R
L
C ( t )
u
R
u
L
u
C
( t )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析考虑到该动态方程的特征方程为
( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 )
( ) 6 ( ) 8 ( ) 8 ( ) ( 0 )
C C C
C C C
L C u t RC u t u t t t
u t u t u t t t
代入 R,L,C元件参数值并化简得
2
12
6 8 0
2,4
特征根
24( ) ( ) ( )ttCu t Ae Be u t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析式中 A,B为待定系数 。 则有
u′C(t)=(-2Ae-2t-4Be-4t)u(t)+(A+B)δ(t)
u″C(t)=(4Ae-2t+16Be-4t)u(t)-(2A+4B)δ(t)+(A+B)δ′(t)
将 u″C(t),u′C(t)及 u(t)代入原动态方程式解得
A=4,B=-4
因此,系统的冲激响应电容电压为
uC(t)=(4e-2t-4e-4t)u(t)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析根据系统动态方程式两边冲激信号的平衡来设定系统的冲激响应 h(t)时,若等式左边求导的最高阶次为
n次,等式右边求导的最高阶次为 m次,且动态方程的特征方程的特征根全为单根时,
1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
i
i
n
t
i
i
n
t
i
i
h t c e u t
h t B t c e u t
(2―46)
(2―47)
n>m时，
n=m时，
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.
系统冲激响应 h(t)的求解还有另一种方法,称为等效初始条件法 。 冲激响应 h(t)是系统在零状态条件下,受单位冲激信号 δ(t)激励所产生的响应,它属于零状态响应 。
例 2― 15 已知某线性非时变 (LTI)系统的动态方程式为
y′(t)+3y(t)=2f(t)t≥0
试求系统的冲激响应 h(t)。
解 冲激响应 h(t)满足动态方程式
h′(t)+3h(t)=2δ(t)t≥0
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析由于动态方程式右边最高次为 δ(t),故方程左边的最高次 h′(t)中必含有 δ(t),故设
h′(t)=Aδ(t)+Bu(t)
因而有 h(t)=Au(t)
将 h′(t)与 h(t)分别代入原动态方程有
Aδ(t)+Bu(t)+3Au(t)=2δ(t)
Aδ(t)+(B+3A)u(t)=2δ(t)
A=2,B=-6
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 16 已知某线性非时变 (LTI)系统的动态方程式为
y″(t)+5y′(t)+4y(t)=2f′(t)+3f(t)t≥0
试求系统的冲激响应 h(t)。
解 冲激响应 h(t)满足动态方程式
h″(t)+5h′(t)+4h(t)=2δ′(t)+3δ(t)t≥0
由于动态方程式右边最高次为 δ′(t),故方程左边的最高次 h″(t)中必含有 δ′(t),故设
h″(t)=Aδ′(t)+Bδ(t)+Cu(t)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析因而有
h′(t)=Aδ(t)+Bu(t)
h(t)=Au(t)
将 h″(t),h′(t)与 h(t)
A=2,B=-7,C=27
因此可得
h(0+)=A=2,h′(0+)=B=-7,h″(0+)=27
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 17 已知某线性非时变系统 (LTI)的动态方程式为
y′(t)+3y(t)=2f′(t)+5f(t)t≥0
试求系统的冲激响应 h(t)。
解 冲激响应 h(t)满足动态方程式
h′(t)+3h(t)=2δ′(t)+5δ(t)t≥0
由于动态方程式右边最高次为 δ′(t),故方程左边的最高次 h′(t)中必含有 δ′(t),故设
h′(t)=Aδ′(t)+Bδ(t)+Cu(t)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
h(t)=Aδ(t)+Bu(t)
将 h′(t)与 h(t)分别代入原动态方程有
Aδ′(t)+(A+B)δ(t)+(B+C)u(t)=2δ′(t)+5δ(t)
A=2,B=3,C=-3
以上表示在 t=0处,h(t)含有幅度为 B的跳变,h′(t)
含有幅度为 C的跳变 。 因此可得
h(0+)=B,h′(0+)=C
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
3.
系统的冲激响应 h(t)反映的是系统的特性,只与系统的内部结构和元件参数有关,而与系统的外部激励无关 。 但系统的冲激响应 h(t)可以由冲激信号 δ(t)作用于系统而求得 。 在以上两种求解系统冲激响应 h(t)的过程中,都是已知系统的动态方程 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 18 已知某线性非时变 (LTI)系统在
f1(t)=4u(t-1)作用下,产生的零状态响应为
y1(t)=e-2(t-2)u(t-2)+4u(t-3)
试求系统的冲激响应 h(t)。
解已知系统在 f1(t)作用下产生响应为 y1(t),而系统的冲激响应 h(t)为系统在冲激信号 δ(t)作用下产生的零状态响应 。 因此,为求得系统的冲激响应 h(t),只需找出 f1(t)与冲激信号 δ(t)之间的关系即可 。
已知
f1(t)=4u(t-1) y1(t)=e-2(t-2)u(t-2)+4u(t-3)?
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析根据线性系统的特性，可以有
2 ( 1)2 1 2 1( ) ( 1 ) 4 ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) 4 ( 2 )tf t f t u t y t y t e u t u t
根据非时变系统的特性，可以有
2 ( 1 )
3 2 3 2
2 ( 1 )33
44
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )
4 4 4
( ) ( ) 1 1
( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) 2 )
24
t
t
f t f t u t y t y t e u t u t
d f t d f t
f t t y t e u t t t
d t d t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.3.2
一线性非时变系统,当其初始状态为零时,输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应,简称阶跃响应,用 g(t)表示 。 阶跃响应是激励为单位阶跃函数 u(t)时,系统的零状态响应,如图 2.17所示 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.17 阶跃响应示意图线性非时变系统
g ( t )
{ × ( 0 ) } ＝ { 0 }
0
1
t
u ( t )
g ( t )
0 t
u ( t )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析如果描述系统的微分方程是式 (2― 7),将 f(t)=u(t)
代入,可求得其特解若式 (2― 7)的特征根 λi(i=1,2,…,n)均为单根,
则系统的阶跃响应的一般形式 (n≥m)为
0
0
()b ut
a
0
1 0
( ) ( ) ( )i
n
t
i
i
bg t c e u t
a
(2― 48)
(2―4 ９ )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 19若描述系统的微分方程为
y″(t)+3y′(t)+2y(t)= 1/2 f′(t)+2f(t)
试求系统的阶跃响应 。
解 系统的特征根为 λ1=-1,λ2=-2,由式 (2― 49)
知,其阶跃响应
g(t)=(c1e-t+c2e-2t+1)u(t)
它的一阶,二阶导数 (考虑到冲激函数的抽样性质 )分别为
g′(t)=(c1+c2+1)δ(t)+(-c1e-t-2c2e-2t)u(t)
g″(t)=(c1+c2+1)δ′(t)+(-c1-2c2)δ(t)+(c1e-t+4c2e-2t)u(t)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析将 f(t)=u(t),y(t)=g(t),及其导数 g′(t)和 g″(t)代入系统的微分方程,稍加整理得
(c1+c2+1)δ′(t)+(2c1+c2+3)δ(t)+2u(t)= 1/2δ(t)+2u(t)
由系统对应相等有
12 1
12
2
3
10
2
1
123
2
2
cc c
cc
c
所以，系统的阶跃响应为 231( ) ( 1 ) ( )
22
ttg t e e u t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.4 卷积积分
2.4.1
在信号分析与系统分析时,常常需要将信号分解为基本信号的形式 。 这样,对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析,从而将复杂问题简单化,且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰 。 信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.18 信号分解为冲激序列
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析从图 2.18可见,将任意信号 f(t)分解成许多小矩形,
间隔为 Δτ,各矩形的高度就是信号 f(t)在该点的函数值 。
根据函数积分原理,当 Δτ很小时,可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信号来近似表示信号 f(t)；而当 Δτ→ 0
时,可以用这些小矩形来精确表达信号 f(t)。 即
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
( ) ( 0)( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( 2 ) )
( ) ( ( ) ( ) )
( ( ) ( ) ) ( ) ( 2 )
( 0) ( )
( ( ) ( ) )
()
((
()
k
f t f u t u t f u t u t
f k u t k u t k
u t u t u t u t
ff
u t k u t k
fk
ut
fk
) ( ) )k u t k
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析式 (2― 52)只是近似表示信号 f(t),且 Δτ越小,其误差越小 。 当 Δτ→ 0时,可以用上式精确地表示信号 f(t)。
由于当 Δτ→ 0时,kΔτ→τ,Δτ→dτ,且
0
0
( ( ) ( ) )
()
( ( ) ( ) )
( ) l i m ( )
l i m ( ) ( )
( ) ( )
k
k
u t k u t k
t
u t k u t k
f t f k
f k t k
f t t d
故式 (2― 52)在 Δτ→ 0时,有
(2―53)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.4.2
在求解系统的零状态响应 yf(t)时,将任意信号 f(t)
都分解为冲激信号序列,然后充分利用线性非时变系统的特性,从而解得系统在任意信号 f(t)激励下的零状态响应 yf(t)。
由式 (2― 53)可得
0
( ) ( ) ( ) l i m ( ) ( )
k
f t f t t d f k t k
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析上式表明,任意信号 f(t)可以分解为无限多个冲激序列的叠加 。 不同的信号 f(t)只是冲激信号 δ(t-kΔτ)前的系数 f(kΔτ)不同 (系数亦即是该冲激信号的强度 )。 这样,
任一信号 f(t)作用于系统产生的响应 yf(t)可由诸 δ(t-kΔτ)
产生的响应叠加而成 。,若系统的冲激响应为 h(t),则有下列关系式成立 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
0
0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim ( ) ( )
kk
k
f
k
t h t
t k h t k
f k t k f k h t k
f k t k f k h t k
f t f k t k f t t d
y t f k h t k
( ) ( )f t h t d
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析系统的零状态响应 yf(t)为输入激励 f(t)与系统的冲激响应 h(t)的卷积积分,为
( ) ( ) ( ) ( ) ( )fy t f t h t d f t h t
(2― 54)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 20已知某线性非时变 (LTI)系统的动态方程式为
y′(t)+3y(t)=2f(t)t≥0
输入激励为 3u(t),试求系统的零状态响应 yf(t)。
解 首先计算系统的冲激响应 h(t),即
h′(t)+3h(t)=2δ(t)t≥0
应用冲激平衡法,故可设
h(t)=Ae-3t u(t)
将 h(t)及 h′(t)分别代入冲激响应微分方程式得
Ae-3tδ(t)-3Ae-3t u(t)+3Ae-3t u(t)=2δ(t)t≥0
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析解得 A=2,因此,冲激响应 h(t)=2e-3t u(t),系统的零状态响应为
3 ( )
3 ( )
0
33
0
33
0
3
3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 ( ) 2 ( )
3 2 ( 0 )
6 ( 0 )
1
6 [ ] ( 0 )
3
2 ( 1 ) ( 0 )
2 ( 1 ) ( )
f
t
t
t
t
t
tt
t
t
y t f t h t f h t d
u e u t d
e d t
e e d t
e e t
et
e u t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析由上例可见,如果激励 f(t)和冲激响应 h(t)均为因果函数 (即有 t<0,f(t)=0,h(t)=0),并且系统的特征根均为单根,那么全响应
0_1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )i
n t
t
x f x i
i
y t y t y t c e f h t d
(2―55)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 21RC串联电路如图 2.19所示 。 已知电路的激励 uS(t)=e-t u(t)。 试求零状态响应 yf(t)=uC(t)。
图 2.19 例 2―21 图
＋
－
＋
－
u
C
( t )u
S
( t ) C
R
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析解 由 KVL
uR(t)+uC(t)=uS(t)
1
()
( ) ( )
( ) 1 1
( ) ( )
( ) 1 1
( ) ( )
1
( ) ( )
C
CS
C
CS
t
RC
du t
RC u t u t
dt
du t
u t u t
dt RC RC
dh t
h t t
dt RC RC
h t e u t
RC
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析由于激励信号 uS(t)和冲激响应信号 h(t)都是有始信号,所以,对于 t>0,有
1
()
00
1 1 1
( 1) ( 1)
0
0
11
( 1)
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
11
()
( 1 )
11
( 1 ) ( ) ( )
( 1 ) ( 1 )
1
( ) ( ) ( ) ( )
( 1 )
tt t
r
RC
f C S
t
tt
t
RC RC RC RC
t
tt
t
RC RC RC
t
t
RC
fC
y t u t u h t d e e d
RC
e e d e e
RC RC
e e e e u t
RC RC
y t u t e e u t
RC
因此，零状态响应
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 22 已知某线性非时变 (LTI)系统数学模型为输入激励 f(t)=e-t u(t),且已知 h(0)=0,h′(0)=1。 试用卷积积分法求系统的零状态响应 yf(t)。
解 系统的特征方程为 λ2+3λ+2,特征根为 λ1=-1，
λ2=-2。 又因为 n>m,因此,
h(t)=(c1e-t+c2e-2t)u(t)
由 h(0)=0,h′(0)=1,解得 c1=1,c2=-1。 因此,系统
h(t)=(e-t-e-2t)u(t)
2
2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( )
ddy t y t y t f t
d t d t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析由于激励 f(t)=e-t u(t)和冲激响应 h(t)均为因果函数,
因此,在 t>0时,有
( ) 2 ( )
0
22
00
2
( ) ( ) ( ) (
( 1 )
( ) ( )
t
tt
f
tt
t t t t t
t t t
y t f t h t e e e d
e d e d t e e e
t e e e u t
因此,零状态响应
yf(t)=(te-t-e-t+e-2t)u(t)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.4.3
1.
卷积积分是一种线性运算,它具有以下基本特征 。
1)交换律
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f t h t h t f t
f h t d f h t d
(2―56)
式 (2― 56)说明两信号的卷积积分与次序无关 。 即系统输入信号 f(t)与系统的冲激响应 h(t)可以互相调换,其零状态响应不变 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.20 系统级联满足交换律
h
1
( t ) h
2
( t )
h
1
( t )h
2
( t )
( t )
( t )
h ( t ) ＝ h
1
( t ) h
2
( t )*
h ( t ) ＝ h
2
( t ) h
1
( t )*
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2) 分配律
(f1(t)+f2(t))*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t) (2-57)
式 (2― 57)的实际意义如图 2.21所示,表明两个信号 f1(t)与 f2(t)叠加后通过某系统 h(t)将等于两个信号分别通过此系统 h(t)后再叠加 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.21 卷积分配律示意图
h ( t )∑
h ( t )
h ( t )
∑
f
1
( t )
f
2
( t )
f
1
( t )
f
2
( t )
y ( t )
y ( t )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
3)
设有 u(t),v(t),w(t)三函数,则有
u(t)*(v(t)*w(t))=(u(t)*v(t))*w(t) (2―58)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ) )
u t t v t d
u t v t t u v t d d
此时积分变量为 τ，
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析此时积分变量为 λ,而从上式来看,对变量 τ而言,
λ无异于一常数 。 可引入新积分变量 x=λ+τ,则有 τ=x-
λ,dτ=dx。 将这些关系代入上式右边括号内,则有
( ) ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ) )u t v t t u v t d d
交换积分次序,并根据卷积定义,即可得
( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) )
( ( ) ( ) ) ( )
( ( ) ( ) ) ( )
u t v t t u v t d d
u t v t t x dx
u t v t t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
4)
y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)
y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t) (2― 59)
证明
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
dd
y t f h t d
d t d t
f h t d
f t h t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
5)
y(t)=y(t)*h(t)=h(t)*f(t)
y(-1)(t)=f(-1)(t)*h(t)=h(-1)(t)*f(t) (2― 60)
式中 y(-1)(t),f(-1)(t)及 h(-1)(t)分别表示 y(t),f(t)及 h(t)
对时间 t的一次积分 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
6) 卷积的等效特性
y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)
y(t)=f(-1)(t)*h′(t)=f′(t)*h(-1)(t) (2― 61)
证明根据式 (2― 59)卷积微分特性,有
y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t)
将上式对时间 t积分，即可证明式 (2―61)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析式 (2― 61)说明,通过激励信号 f(t)的导数与冲激响应 h(t)的积分的卷积,或激励信号 f(t)的积分与冲激响应
h(t)的导数的卷积,同样可以求得系统的零状态响应 。
这一关系为计算系统的零状态响应提供了一条新途径 。
上述性质 4),5),6)可以进一步推广,其一般形式如下：
y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)
y(i+j)(t)=f(i)(t)*h(j)(t)=h(j)(t)*f(i)(t) (2― 62)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
7)
f(t)*h(t)=y(t)
f(t-t1)*h(t-t2)=y(t-t1-t2) (2― 63)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.
含奇异信号的卷积积分具有以下特性 。
1)延时特性
f(t)*kδ(t-t0)=kf(t-t0) (2― 64)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.22 理想延时器及其冲激响应
Df ( t ) y ( t ) ＝ f ( t － t
0
)
0 tt
0
( 1 )
h ( t )
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析同理,如果一个系统的冲激响应 h(t)为 δ(t),则此系统称为理想放大器,其中 k称为放大器的增益或放大系数,如图 2.23所示 。 当信号 f(t)通过该放大器时,其输出为
y(t)=f(t)*kδ(t)=kf(t)
即输出是输入信号 f(t)的 k倍 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.23 理想放大器及其冲激响应
f ( t ) y ( t ) ＝ k f ( t )
0 t
( k )
h ( t )
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2)
f(t)*δ′(t)=f′(t) (2― 65)
即,任意信号 f(t)与冲激偶信号 δ′(t)卷积,其结果为信号 f(t)的一阶导数 。
如果一个系统的冲激响应为冲激偶信号 δ′(t)，则此系统称为微分器，如图 2.24所示。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.24 微分器及其冲激响应
f ( t ) y ( t ) ＝ f ( t )
0 t
( 1 )
h ( t )
( a ) ( b )
′
td
d
( － 1 )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
3) 积分特性即,任意信号 f(t)与阶跃信号 u(t)卷积,其结果为信号 f(t)本身对时间的积分 。 如果一个系统的冲激响应为阶跃信号 u(t),则此系统称为积分器,如图 2.25所示 。
( 1)( ) ( ) ( ) ( )tf t u t f t f d
(2―66)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.25 积分器及其冲激响应
f ( t ) y ( t ) ＝ f
( － 1)
( t )
0 t
h ( t )
( a ) ( b )
1
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 23设系统的冲激响应为 h(t)=δ(t+T)+δ(t-T)，
如图 2.26(a)所示 。 输入信号为 f(t),如图 2.26(b)所示,
试求系统在信号 f(t)激励下的零状态响应 。
解 ff(t)=f(t)*h(t)
=f(t)*(δ(t+T)+δ(t-T))
=f(t+T)+f(t-T)
也就是说,只需在每个冲激信号出现的位置处重画信号 f(t)即可,卷积结果 (即系统的零状态响应 )如图
2.26(c)所示 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.26 例 2―23 信号波形
( 1 ) ( 1 )
T－ T t
h ( t )
T－ T t0 0
f ( t )
T－ T t0－ 2 T 2 T
( a ) ( b ) ( c )
f
f
( t ) ＝ f ( t ) h ( t )*
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 25已知 f(t)=e-tu(t),h(t)=u(t)-u(t-2),试求两信号的卷积 y(t)=f(t)*h(t)。
解 根据卷积运算的分配律,有
ff(t)=f(t)*h(t)=f(t)*(u(t)-u(t-2))
=f(t)*u(t)+f(t)*u(t-2)
=f(-1)(t)-f(-1)(t-2)
亦可利用卷积的等效特性来计算,即
yf(t)=f(t)*h(t)=f(-1)(t)*h′(t)=f(-1)(t)*(u(t)-u(t-2))′
=f(-1)(t)*(δ(t)-δ(t-2))
=f(-1)(t)-f(-1)(t-2)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析可见两种方法计算结果一样 。 进一步求解可得卷积的最后结果为
( 1 ) ( 1 )
( 2 )
( 2 )
( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )
( ) ( 2 )
( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 2 )
f
tt
t
t
y t f t h t f t f t
e d e u d
e u t e u t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 26 已知某线性非时变 (LTI)系统如图 2.27所示 。
已知图中 h1(t)=u(t),h2(t)=δ(t-1),h3(t)=e-3(t-2)u(t-2),试求该系统的冲激响应 h(t)。
解 当多个子系统通过级联,并联组成一个大系统时,大系统的冲激响应 h(t)可以直接通过各子系统的冲激响应计算得到 。
从图 2.27可见,子系统 h1(t)与 h2(t)是级联关系,而
h3(t)支路与 h1(t)及 h2(t)组成的支路是并联关系,因此
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
h(t)=h1(t)*h2(t)+h3(t)
=h(t)*δ(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)
=u(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)
图 2.27 例 2―26 系统框图
h
1
( t ) h
2
( t )
h
3
( t )
∑f ( t ) y( t )系统
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.4.4
1.解析计算参与卷积的两个信号 f1(t)与 f2(t)都可以用解析函数例 2― 27 已知 f1(t)=e-3t u(t)，
f2(t)=e-5t u(t),试计算两信号的卷积 f1(t)*f2(t)。
解 根据卷积积分的定义,可得
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
1 2 1 2
3 5 ( )
3 5 ( )
35
35
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
()
2
1
( ) ( )
2
t
t
tt
tt
f t f t f f t d
e u e u t d
e e d
ee
e e u t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 28已知信号 f1(t)=e-3(t-1)u(t-1)与
f2(t)=e-5(t-2)u(t-2),试计算两信号的卷积 f1(t)*f2(t)。
解 根据卷积积分的定义，可得
1 2 1 2
3 ( 1) 5 ( 2 )
3 ( 1) 5 ( 2 )
3 ( 3 ) 5 ( 3 )
3 ( 3 ) 5 ( 3 )
( ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) ( 2 )
1
()
2
1
( ) ( 3 )
2
t
t
tt
tt
f t f t f f t d
e u e u t d
e e d
ee
e e u t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析在例 2― 27中,f1(t)的起点为 0,f2(t)的起点为 0,故
f1(t)*f2(t)的起点也为零；在例 2― 28中,f1(t)的起点为 1，
f2(t)的起点为 2,故 f1(t)*f2(t)的起点为 1+2=3。 例 2― 29
可以验证终点之间的关系,它们的关系如图 2.28所示 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.28 例 2―29 图
1 2
1
0
f 1 ( t )
t 1 2
1
0
f 2 ( t )
t3 4 1 2
1
0 t3 4 5 6 7
f 1 ( t ) f 2 ( t )*
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析在利用卷积的定义通过信号的函数解析式进行卷积时,对于一些基本信号可以通过查卷积积分表直接得到,避免卷积积分过程中重复与繁杂的计算 。 卷积积分表如表 2― 2所示 。 当然,在利用解析式进行求解信号卷积时,可以利用卷积的一些特性来简化运算 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析表 2―2 卷积积分常用公式表
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
2.
对于一些较简单的函数符号,如方波,三角波等,
可以利用图解方式来计算 。 而且,熟练掌握图解卷积的方法,对理解卷积的运算过程是有帮助的 。 下面通过例题来介绍图解卷积的具体步骤 。
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2―30 已知分别如图 2.29(a),(b)所示。试用图解法求两信号的卷积 y(t)=f(t)*h(t)
1 0 0( ),( )
0 0,0 0,
t T t t Tf t h t
t t T t t T
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.29 例 2―30 图
0 T 2 T 3 T
1
f (? )
( a )
0 T 2 T 3 T
1
h ( t －? )
tt － 2 T
( t ＜ 0)
( c )
0 T 2 T 3 T
1
( d )
h ( t －? )
t － 2 T t
( 0 ＜ t ＜ T )
0 T 2 T 3 T
1
t
t － 2 T
( T ＜ t ＜ 2 T )
( e )
h ( t －? )
0 T 2 T 3 T
1
( f )
h ( t －? )
t － 2 T
( 2 T ＜ t ＜ 3 T )
2 T
0 T 2 T 3 T
1
t
t － 2 T
( t ＞ 3 T )
( g )
h ( t －? )
0 T 2 T 3 T
( h )
y ( t )
2
2
3
t
t
0 T 2 T 3 T
1
h (? )
( b )
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析综合各段结果,有
2
2
23
0 ( 0)
1
( 0 )
2
1
( ) ( ) ( ) ( 2 )
2
13
( 2 3 )
22
0 ( 3 )
t
t t T
y t f t h t T t t T t T
t T t T T t T
tT
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 31已知信号 f(t)与 h(t)的波形如图 2.30(a),(b)
所示,试计算其卷积 y(t)=f(t)*h(t)。
解首先将 h(τ)沿纵轴反转位移为 h(t-τ),如图 2.30(c)
所示 。 然后观察随着参数 t的变化,f(τ)与 h(t-τ)乘积随之而变化,从而将 t分成不同的区间,分别计算其卷积积分的结果,
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.30 两个不等宽矩形脉冲的卷积
1 20
1
f (? )
1 20
1
h (? )
t － 1 0
h ( t －? )
t
( t ＜ 0)
( c )( b )( a )
1 20t － 1 t
(0 ＜ t ＜ 1)
h ( t －? )
1 20 t － 1 t
(1 ＜ t ＜ 2)
h ( t －? )
1 20 t － 1 t
(2 ＜ t ＜ 3)
h ( t －? )
( f )( e )( d )
11
1 20
1
( g )
3 t
y ( t ) ＝ f ( t ) h ( t )*
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 32已知两信号 f(t)与 h(t)的波形如图 2.31(a)、
(b)所示,试计算其卷积 y(t)=f(t)*h(t)。
解 由于 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t),因此没有必要非得反转 h(t)不可 。 一般情况下,应该反转两个函数中较简单的一个 。 在本题中,f(t)较简单,故反转 f(τ)为 f(t-
τ)(t<0),如图 2.31(c)所示 。 根据 t的不同区间,分别计算其卷积积分,
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.31 例 2―32 信号卷积示意图
1 20
1
f (? )
( a )
1 20
1
h (? )
( b )
t － 1 0
f ( t －? )
t
( t ＜ 0)
( c )
1
－ 1
(1 ＜ t ＜ 2)
1 20
1
f ( t －? )
( e )
tt － 1
(2 ＜ t ＜ 3)
1 20
1
f ( t －? )
( f )
tt － 1 1 20
1
( g )
3 t
y ( t ) ＝ f ( t ) h ( t )
*
1 20
1
f ( t －? )
( d )
tt － 1
(0 ＜ t ＜ 1)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 33 已知两信号 f(t)与 h(t)的波形如图 2.32(a)、
(b)所示,试计算其卷积积分 y(t)=f(t)*h(t)。
解 由于 f(τ)的波形较 h(τ)简单,故反转并延迟 f(τ)为
f(t-τ)(t<0),如图 2.32(c)所示 。 根据 t的不同区间,分段计算其卷积积分,
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.32 例 2―33 信号卷积示意图
1 20
1
f (? )
( a )
1 20
1
h (? )
( b )
－ 1
f ( t －? )
t － 1 0t
( t ＜ 0)
( c )
1
－ 1
1 20
1
f ( t －? )
( d )
tt － 1
(0 ＜ t ＜ 1) (1 ＜ t ＜ 2) (2 ＜ t ＜ 3)
1 20
1
f ( t －? )
( e )
tt － 1?1 20
1
f ( t －? )
( f )
tt － 1
－ 1 － 1 － 1
1 20
1
( g )
3 t
y ( t ) ＝ f ( t ) h ( t )
*
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
3.
卷积积分实际上是一个定积分,是计算 f(τ)·h(t-τ)
的面积,如果两卷积信号的函数形式复杂,我们在具体计算时又会遇到数学上的困难 。 有时激励信号不能用基本函数来表示,可能只是一条曲线或者一组测试数据 。 因此有必要在时域中进行近似的数值计算 。
若两个信号 f(t)与 h(t)都是有始单边信号,则有
0( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ty t f t h t f h t d
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析图 2.33 卷积的数值计算示意图
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析卷 积 积 分 值 可 以 近 似 地 用 两 块 矩 形 面 积
(f0h2+f1h1)T来表示 。 按此过程,随着参变量 t的不断增加,f(τ)与 h(t-τ)的重叠面积随之而不断变化,用相应的矩形面积近似代表 f(τ)·h(t-τ)的积分 。
上述数值近似计算的卷积积分可写成一般表达式，
为
1
0
()
n
m n m
m
y nT T f h
(2― 67)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析例 2― 34已知某线性非时变 (LTI)系统的数学模型为
y″(t)+7y′(t)+12y(t)=2f′(t)+3f(t)(t≥0)
已知：激励 f(t)=2e-2t u(t),初始状态 y(0-)=1，
y′(0-)=2,试求：
(1)
(2)
(3)
(4)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析解 (1)
λ2+7λ+12=0
解得特征根为 λ1=-3,λ2=-4，
y(t)=c1e-3t+c2e-4t,t≥0
代入系统的初始状态 y(0-),y′(0-),有
y(0-)=c1+c2=1 c1=6
y′(0-)=-3c1-4c2=2 c2=-5
y(t)=6e-3t-5e-4t,t≥0
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(2)由于
h″(t)+7h′(t)+12h(t)=2δ′(t)+3δ(t),t≥0
应用冲激平衡法,故可设
h(t)=(Ae-3t+Be-4t)u(t)
将 h(t),h′(t),h″(t)分别代入冲激响应方程,解得
A=-3,B=5
h(t)=(5e-4t-3e-3t)u(t)
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(3) 由卷积积分法,有
2 4 ( ) 3 ( )
2 4 ( ) 2 3 ( )
00
4 3 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ( ) [ 5 3 ] ( )
2 5 2 3 ( 0)
( 3 2 6 ) ( )
f
tt
tt
tt
t t t
y t f t h t f h t d
e u e e u t d
e e d e e t
e e e u t
,信号与线性系统,
第 2章 连续系统的时域分析
(4) 系统的完全响应
y(t)=yx(t)+yf(t)
=(6e-3t-5e-4t)+(3e-4t+2e-3t+6e-2t)
=8e-3t-2e-4t+6e-2t (t>0)
