,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析第 6章 离散时间系统的 z域分析
6.1 Z变换
6.2 Z变换的性质
6.3 信号的 Z变换求法
6.4 反 Z变换
6.5 离散时间系统的 Z变换分析法
6.6 数字滤波器的概念
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.1 Z变换
6.1.1 Z变换的定义一般来说,常把具有单位响应 h(n)的离散时间非时变系统的双边 Z变换 （ 简称 Z变换 ） 定义为
( ) ( ) n
n
H z h n z
(6―1)
而对信号 x(n)的双边 Z变换定义为
( ) ( ) n
n
x z x n z
(6―2)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析正像有双边和单边拉普拉斯变换一样,Z变换也分为单边 Z变换和双边 Z变换 。 （ 6― 2） 式所示的是双边
Z变换,而单边 Z变换定义为
0
( ) ( ) n
n
x z x n z
(6―3)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 1 已知 x(n)=u(n)求其 Z变换表达式 。
解 由 （ 6― 2） 式可知：
12
0
( ) ( ) 1nn
nn
X z u n z z z z
(6―4)
由等比数列求和的性质可知,（ 6― 4） 式的级数在
|z-1|≥1时是发散的,只有在 |z-1|＜ 1时才收敛 。 这时无穷级数可以用封闭形式表示为
1
0
1( ) 1
1
n
n
X z z zz
(6― 5)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.1.2 Z变换的收敛域
1,收敛域的定义与拉普拉斯变换的收敛域的定义相类似,Z变换的收敛域的定义为：能使某一序列 x(n)的 Z变换级数收敛的 z平面上 z值的集合 。 序列 Z变换级数绝对收敛的条件是绝对可和,即要求
() n
n
x n z
() n
n
x n z
(6― 6)
因为
( ) ( ) nn
nn
x n z x n z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析为满足上述绝对可和的条件,就必须要对 |z|有一定范围的限制 。 这个范围一般可表示为由此可见 Z变换的收敛域为 z平面上是一个以 Rx-及
Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域,如图 6.1所示 。
xxR z R
(6―7)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.1 环形收敛域
R
x －
j I m [z ]
R e [z ]
R
x ＋
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
2,序列 x(n)的特性与 X(z)的收敛域由 （ 6― 6） 式很容易知道 X(z)的收敛域不仅与 |z|有关,还与序列 x(n)的特性有关 。 为说明二者之间的关系根据序列的不同分四种情况讨论 。
1) 有限长序列
12
12
()
()
0,
x n n n n
xn
n n n n
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
(1) n1＜ 0,n2＞ 0时,有
22
1 1 1
12
1
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
nn
n n n
n n n n n n
nn
nn
n n n
X z x n z x n z x n z
x n z x n z
上式中除了第一项的 z=∞处及第二项中的 z=0处外都收敛,所以总收敛域为 0＜ |z|＜ ∞。 有时将这个开域 (0,∞)称为,有限 z平面,。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
(2)n1＜ 0,n2＜ 0时,有显然其收敛域为 0≤|z|＜ ∞,是包括零点的半开域,
即除 z=∞外都收敛 。
(3)n1＞ 0,n2＞ 0时,有显然其收敛域为 0＜ |z|≤∞，是包括 z=∞的半开域，
即除 z=0外都收敛。
22
11
( ) ( ) ( )
nn
nn
n n n n
X z x n z x n z
2
1
( ) ( )
n
n
nn
X z x n z?
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
(4)特殊情况,n1=n2=0时，这就是序列,它的收敛域为整个闭域 z平面，即 0≤|z|≤∞。
2) 右边序列
2
1
( ) ( ) ( 0 )
n
n
nn
X z x n z x?
1
1
1
()
()
0
( ) ( )
n
nn
x n n n
xn
nn
X z x n z
的 Z变换为
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
(1) n1≥0时，这时的右边序列就是因果序列。
11
1( ) ( )
nn
n n n n
x n z x n z
11
1
0
( ) ( ) ( ) ( )n n n
n n n n n
X z x n z x n z x n z
因此,n1≥0时的右边序列的收敛域可以写成 |z1|＜
|z|≤∞,如图 （ 6.2） 所示 。
(2) n1＜ 0时,Z变换为
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.2 右边序列收敛域
j I m [z ]
R e [z ]0
1
z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 2求指数序列 x(n)=anu(n)的 Z变换 。
解 显然指数序列是一个因果序列
0
1
00
11
( ) ( )
()
1
n
n
n n n
nn
X z x n z
a z a z
a z a z
1
1( ) ( )
1
zX z z a
a z z a
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
3) 左边序列
1
1
()
()
0
x n n n
xn
nn
图 6.3 指数序列收敛域
j I m [z ]
R e [z ]
a
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.4 左边序列收敛域
j I m [z ]
R e [z ]0
1
Z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 3 求左边序列 x(n)=-bnu(-n-1)(b＜ 1)的 Z变换 。
解 由信号的 Z变换的定义可知
1
1
10
( ) ( )
( ) ( 0 )
( ) 1 ( )
n
n
n n n n
nn
n n n n
nn
X z x n z
b z b z
b z b z
若公比 |b-1 z|＜ 1，即 |z|＜ |b|时此级数收敛。此时
1
1( ) 1
1
zX z z b
b z z b
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.5 收敛域零,极点分布
j I m [z ]
R e [ z ]
b
bz?
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
4,双边序列当 n→ ± ∞,序列 x(n)均不为零时,称 x(n)为双边序列,它可以看作是一个左边序列和一个右边序列之和 。
对此序列进行 Z变换得到
0
0
( ) ( ) ( ) ( )n n n
n n n
X z x n z x n z x n z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.1.3 Z变换与拉普拉斯变换的关系如果信号 x(n)是与连续时间信号 xc(t)的理想取样函数 xp(t)对应的序列,那么 x(n)的 Z变换 X(z),可以由该理想取样函数 xp(t)的拉氏变换式导出 。 连续时间信号
xc(t)被理想取样后的函数 xp(t)可表示为其中 xc(nT)为连续时间函数 xc(t)在 t=nT时刻的值是一个离散时间序列,记为 x(n)。 取样函数 xp(t)的拉氏变换为
( ) ( ) ( )pc
n
x t x n T t n T?
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析( ) ( )
( ) ( )
()
st
pp
st
c
n
nsT
c
n
X s x t e dt
x nT t nT e dt
x nT e
(6―8)
( ) ( )
1
ln
sTze
T
X z X s
z e s z
T
(6―9)
(6―10)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.6 s平面与 z平面的对应关系
0
j?
0
j I m [z ]
R e [ z ]
s 平面 z 平面
( a )
0
j?
0 R e [z ]
j I m [z ]
1
( b )
j?
R e [z ]
j I m [z ]
( c )
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析为了更清楚地表达这个映射关系,将 s写成直角坐标的形式,s=α+jβ,而将 z写成极坐标的形式 z=rejω。 这样将 s平面变换到 z平面后就可以写成
j T j Tz r e e e (6―11)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2 Z变换的性质
6.2.1 线性特性设 x1(n)X1(z)其收敛域为 A,x2(n)X2(z),其收敛域为
B,则有 ax1(n)+bx2(n)aX1(z)+bX2(z) 其收敛域为 A∩B
（ 这里 a,b为常数 ） 。 这一关系显然是和拉普拉斯变换的同一特性相对应,为了避免不必要的重复,它的证明从略 。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
1
1
1
1
1
11
1
( ) ( ),1
1
( 1 ) ( ),1
1
1
( ) ( ) ( 1 ) 1
11
u n U z z
z
z
u n z U z z
z
z
n u n u n
zz
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2.2 移序特性若 x(n)← ——→X(z) 的收敛域为 A,则 x(n-n0)← ——
→z -n0 X(z)的收敛域也为 A,但在零点和无穷远点可能发生变化 。
00
0 0 0
0
00
()
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
()
n n nn
nn
n n n n m
nm
n
F z x n n z z x n n z
z x n n z z x m z
z X z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 4 求信号 x(n)=u(n+1)的 Z变换及其收敛域 。
解 因为 u(n)←→ 利用 Z变换的移序特性,有 因为 u(n)是一个因果序列,而 u(n+1)是非因果序列,所以它的收敛域在无穷远处发生了变化,即删除原有的无穷远点,u(n+1)的
Z变换的收敛域为 1＜ |z|＜ ∞。
1
1( ),1
1U z zz
1( ) ( ) 1
zX z z U z
z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2.3 频移特性若 x(n)←→X(z),则 e jθnx(n)←→X(e -jθz)。
证明,设 e jθn x(n)的 Z变换为 F（ z），则有上述特性表明,信号在时域内乘以复指数信号
ejθn,相当于在 z平面作一旋转,即全部零,极点的位置旋转一个角度 θ。 为更好地说明这个问题,请看下面的例子 。
( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( )j n n j n j
nn
F z e x n z x n e z X e z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 5求信号 x(n)=［ sin(θn)］ u(n)的 Z变换及其收敛域 。
解 由于
1
1
11
( ) (si n ( ) ( ) ( ) ( )
22
1
( ) ( ),1
1
1
( ) ( ),1
1
j n j n
j n j
j
j n j
j
x n n u n e e u n
jj
e u n U e z z
ez
e u n U e z z
ez
因此
1
1 1 1 2
1 1 1 ( sin )( ) ( ),1
2 1 1 1 ( 2 c o s )jj
zX z z
j e z e z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.7 收敛域及零,极点图
j I m [z ]
R e [ z ]01
j I m [z ]
R e [ z ]0－ 1 1?
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2.4 尺度变换特性若 x(n)←→X(z) 的收敛域为 R,
且收敛域为 |a|R。
证明：
( ) ( )n za x n X a?
( ) ( ) ( ) ( )n n n
nn
zzX x n a x n z
aa
令,则它的 Z变换( ) ( )nf n a x n?
( ) ( )n za x n X a?
所以
( ) ( ) ( )n n n
nn
F z f n z a x n z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2.5 z域微分特性若 x(n)← ——→X(z),收敛域为 R,则 nx(n)←→
收敛域为 R。
证明 设序列 y(n)=nx(n),则它的 Z变换
()dX zz
dz?
00
( ) ( ) ( )nn
nn
Y z y n z nx n z
11
00
() ( ) ( ) ( )nn
nn
dX z dx n z z nx n z z Y z
dz dz
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 6 已知 x(n)=nu(n),求其 Z变换及其收敛域 。
解 由例 6― 1可知,u(n)的 Z变换并由 z域微分特性可知,
1
1( ),1
1U z zz
12
( ) ( ) ( ) ( )
1
()
1 ( 1 )
d
x n nu n X z z U z
dz
dz
z
dz z z?
其收敛域为 |z|＞ 1。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2.6 卷积特性若 x1(n)←→X 1(z),x2(n)←→X 2(z),其收敛域分别为 A、
B,则 x1(n)*x2(n)←→X 1(z)X2(z),其收敛域为 A∩B。
证明 设 x1(n)*x2(n)的 Z变换是 X(z),则
12
12
()
21
12
( ) ( ( ) ( ) )
( ( ) ( ) )
( ) ( )
( ) ( )
n
n
n
n
nk
n
n k k
nk
X z x n x n z
x k x n k z
x n k z x k z
X z X z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 7如果 x1(n)=u(n)，
且 y(n)=x1(n)*x2(n),求 y(n)的 Z变换 Y(z)。
解 先分别求 x1(n),x2(n)的 Z变换 X1(z),X2(z):
1
2
11( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )
22
nnx n u n u n
1 1
1( ) ( )
1X z U z z
收敛域为 |z|＞ 1
11
2
1 1 1
11()
1 1 11 1 1
2 2 2
zzXz
z z z
收敛域为 |z|＞ 1
2
1
12 1
11
1 1 1
( ) ( ) ( )
111
11
22
z
Y z X z X z
z zz
收敛域为 |z|＞ 1
2
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 8已知
,求 u(n)*u(n)。
解令 y(n)=u(n)*u(n),则它的 Z变换为
( ) ( ),1,1zu n U z zz
2
22( ) ( ) ( ) 1 1 ( 1 ) ( 1 )
z z z zY z U z U z z
z z z z
由例 6―6 可知
2{ ( )},1( 1 )
zZ n u n z
z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
1
2
2 1 2
2
1
{ ( ) },1
1
1
{ ( ) ( ) }
( 1 ) 1 ( 1 )
{ ( 1 ) ( ) }
( 1 )
( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )
Z u n z
z
zz
Z nu n u n
z z z
z
Z n u n z
z
y n u n u n n u n
由例 6―1 可知所以而所以
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2.7 时域反转特性例 6― 9已知 x(n)=u(-n),求其 Z变换及其收敛域 。
解 由例 6― 1可知 u(n)的 Z变换
1
1
1
1
1
( ),1
1
1
( ) ( ),1
11
U z z
z
z
X z z z
zz
由时间反转特性可知,
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2.8 时域求和特性若 x(n)← ——→X(z) 的收敛域为 R,则
,其收敛域为 R∩(|z|＞ 1)。
证明 因为
1
1( ) ( )
1
n
k
x k X zz?
1
1
1
( ) ( ) ( ),( ) 1
1
1
( ) ( )
1
( 1 )
n
k
n
k
x k u n x n u n z
z
x k X z
z
RZ
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2.9 初值定理如果因果序列 x(n)的 Z变换为 X(z)，而且存在,则证明当 z→∞ 时,在上式级数中除第一项 x［ 0］ 外,其它各项都趋于零,所以
lim ( )x Xz
lim ( )x Xz
12
0
( ) [ 0 ] [ 0 ] [ 1 ] [ 2 ]n
n
X z x z x x z x z
0
12
l i m ( ) l i m [ ] [ 0 ]
{ ( ) [ 0 ]} [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]
n
xx
n
X z x n z x
z X z x x x z x z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析故有由此递推,得到一般式
1
0
[ 1 ] l i m { ( ) [0 ]}
[ ] l i m { ( ) [ ] }
x
n
nk
x
k
x z X z x
x n z X z x k z
(6―12)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 10 已知
,求 y［ 0］,y［ 1］,y［ 2］ 。
解
32
32
72()
1,7 0,8 0,1
zzYz
z z z
32
32
3 2 3 2
32
21
2
21
32
[ 0 ] li m ( ) 7
72
[ 1 ] li m { 7 }
1.7 0.8 0.1
7 2 7 11,9 5.6 0.7
li m 9.9
1.7 0.8 0.1
[ 2 ] li m { ( ) [ 0 ] [ 1 ] }
9.9 5.6 0.7
li m [ 9.9 ]
1.7 0.8 0.1
lim
x
x
x
x
x
x
y y z
zz
yz
z z z
z z z z z
z
z z z
y z Y z y y z
zz
zz
z z z
32
32
11,23 7.2 2 9.9
[ ] 11,23
1.7 0.8 0.1
z z z
z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2.10 终值定理若因果序列 x(n)的 Z变换为 X(z),而且 X(z)的极点除了在 z=1处允许有一阶极点外,其余极点均在单位圆内,则证明 设 y(n)=x(n+1)-x(n),由于 x(n)为因果序列,
于是 y(n)的 Z变换
1l i m ( ) l i m ( 1 ) ( )xxx n z X z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
10
0
0
0
( ) ( )
( 1 ) ( )
( 0 ) ( ( 1 ) ( ) )
( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )
( 0 ) [ ( 1 ) ] ( )
n
n
nn
nn
n
n
n
n
n
n
Y z y n z
x n z x n z
x z x n x n z
z X z z x n z
x z x n x z Y z
两边同时对 z→ 1取极限有
1 1 1 0
l i m ( 1 ) ( ) l i m ( ) l i m { ( 0) [ ( 1 ) ( ) ] }n
x x x n
z X z Y z x z x n x n z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析因为 X(z)的极点除了在 z=1处允许有一阶极点外,
其余极点均在单位圆内,而且 x(n)又是因果序列,因而
y(n)=x(n+1)-x(n)的 Z变换 Y(z)的收敛域是最外部极点的外部,一定包括 z=1,因此,求极限可以与求和来交换运算次序,这样就有：
11l i m ( 1 ) ( ) l i m ( )zzz X z Y z
1
0
0
li m { ( 0) [ ( 1 ) ( ) }
( 0) [ ( 1 ) ( ) ]
( 0) [ ( 1 ) ( 0) ] [ ( 2 ) ( 1 ) ]
( ) li m ( )
n
z
n
n
x
x z x n x n z
x x n x n
x x x x x
x x n
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析表 6―1 Z 变换的性质及定理
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.3 信号的 Z变换求法
6.3.1 常用信号的 Z变换为了便于 Z变换及其反变换的计算,把一些常用信号的 Z变换列于表 6― 2中 。 对于这些信号的 Z变换,可以直接由定义计算,也可以根据一些常用信号的 Z变换,
再应用 Z变换的性质获得 。 下面就用后一种方法讨论表
6― 2中的部分信号的 Z变换 。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析表 6―2 Z 变换表
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.3.2 求序列 Z变换的方法求序列的 Z变换常用的方法有三种：
(1)利用 Z变换的定义直接求解序列的 Z变换；
(2)借助 Z变换性质从已知变换推导出未知的 Z变换；
(3)利用幂级数展开的方法求 Z变换 。
下面分别举例说明。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 11 求下列序列的 Z变换,并表明收敛域,画出零,极点图：
1
( 1 ) ( ) ( ) ( )
3
1
( 2 ) ( ) ( ) ( 1 )
3
1
( 3 ) ( ) ( ) [ ( ) ( 8 ) ]
3
1
( 4 ) ( ) ( )
3
n
n
n
n
x n u n
x n u n
x n u n u n
xn
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析解 (1)已知序列,Z变换为当 时，级数收敛于
1( ) ( ) ( )
3
nx n u n?
1
00
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
n n n n n
n n n
X z u n z u z
1
3z?
1
11
( ),
11 3
1
33
z
X z z
zz?
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.8
j I m [z ]
R e [ z ]0 1 / 3
j I m [z ]
R e [ z ]0 1 / 3
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
（ 2）已知 则其双边 Z变换为当 |z|＜ 时,级数收敛于
1( ) ( ) ( 1 )
3
nx n u n
1
0
11( ) ( ) ( 1 ) ( ) 1 ( 3 )
33
n n n n n
n n n
X z u n z u z
1
3
1 3 1
( ) 1,1
1 3 1 3 3
3
zz
X z z
zz z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
（ 3）已知 则其 Z变换1
( ) ( ) [ ( ) ( 8 ) ]3 nx n u n u n
77
00
1 1 1( ) ( ) [ ( ) ( 8 ) ] ( ) ( )
3 3 3
n n n n n
n n n
X z u n u n z z z
|z|＞ 0时,级数收敛于
1 8 6 8
17
11
1 ( ) ( )
33( ),( 0 )
11
1 ( )
33
zz
X z z
z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.9
j I m [z ]
R e [z ]0 1 / 3
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
（ 4）已知,则双边 Z变换为1
( ) ( )3 nxn?
1
1
1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
11
( ) ( )
33
n n n n n n
n n n
nn
nn
X z u n z z z
zz
8
3()
113
( 3 )( )
33
z
zz
Xz
zz z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.10
j I m [z ]
R e [z ]0
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 12求序列 x(n)=cosnα·cosnβ·u(n)的 Z变换 。
解 利用欧拉公式将 x(n)化为指数函数：
( ) ( ) ( ) ( )
11
( ) ( ) ( ) ( )
22
1
( ) ( )
4
j n j n j n j n
j n j n j n j n
x n e e e e u n
e e e e u n
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 13 证明下列 Z变换式 （ n≥0）,
1
( 1 ) 1
( 1 )[ ] arc t an
21
( 2 ) ( 0,)
!
11
( 3 ) ( );
( 2 ) !
(l n )
( 4 ) ( 0,)
!
n
an
z
n
z
z
n z
a
ea
n
ch
n z
a
aa
n
常数常数
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 14 已知序列 x(k)的 Z变换为 X(z),若将 x(k)由
k=0到 k=n的各项进行求和,给出新序列
（ 1） 求 g(n)的 Z变换 G(z);
（ 2） 若令 x(k)=k2,求 g(n)及 G(z)。
0
( ) ( )n
k
g n x k
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.4 反 Z变换
6.4.1 幂级数展开法（长除法）
因为 x(n)的 Z变换定义为 z-1的幂级数,
( ) ( ) n
n
X z x n z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析一般而言，对于因果序列 f(n)的单边 Z变换 F(z)即为
12
0 1 2
0 1 2
()
()
()
( 0),( 1 ),( 2 ),
x
Nz
F z A A z A z z R
Dz
f A f A f A
把它与 Z变换的定义式 （ 6― 2） 比较可以看出：
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 15求 的逆变换 x(n)（ 收敛域为
|z|＞ 1） 。
解 由于 X(z)的收敛域为 |z|＞ 1,因而 x(n)必然是因果序列 。 此时 X(z)按照 z的降幂排列形成下列形式：
2() ( 1 )
zXz
z
2() 21
zXz
zz
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 16 设有 Z变换式,试用幂级数展开法进行反 Z变换 。 这里的 f(k)为有始序列 。
解 要用展开 F(z)为幂级数的方法求 f(k),为此将
F(z)进行长除：
2
2
2 0,5()
0,5 0,5
zzFz
zz
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 17 求收敛域分别为 |z|＞ 1和 |z|＜ 1两种情况下,
的逆变换 x(n)。
解 对收敛域 |z|＞ 1,X(z)相应的序列 x(n)是因果序列,这时 X(z)写成
,进行长除,展开成级数这样得到 x(n)=(3n+1)u(n)。
1
12
12()
12
zXz
zz
1
12
12()
12
zXz
zz
12
0
( ) 1 4 7 ( 3 1 ) n
n
X z z z n z
1
2
1
( ) 2 5 ( 3 1 ) ( 3 1 )
( ) ( 3 1 ) ( 1 )
nn
nn
X z z z n z n z
x n n u n
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.4.2 部分分式法当 F(z)有 n个单阶极点 a1,a2,…,an时，则展开为
()Fz
z
01
1
02
1
()
()
n
n
n
n
F z B B B
z z z a z a
zz
F z B B B
z a z a
再在等式两边同时乘以 z，可得最后，利用表 6―2 中的第 (1)号和第 (3)号公式，即可得原序列
1 0 1 1( ) { ( ) } ( ) ( ) ( )kk nnf k Z F z B n B a u k B a u k
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 18 设有 Z变换式,试用部分分式展开法进行反 Z变换 。 这里的 f(k)为有始序列 。
解 把 展开为再在等式两边同时乘以 z,可得
2
2
2 0,5()
0,5 0,5
zzFz
zz
2
( ) 2 0,5 2 0,5 1 1
0,5 0,5 ( 1 )( 0,5 ) 1 0,5
F z z z
z z z z z z z
()Fz
z
() 1 0,5zzFz zz
因为这里的 f(k)为有始序列,所以其收敛域为
|z|＞ 1和 |z|＞ 0.5的公共部分即 |z|＞ 1。
由表 6― 2中的第 (1)号和第 (4)号公式：
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
11
11( ),1 ( )
11
nu n z a u n z a
z a z
所以,当 |z|＞ 1时
11
1
11
1
11
11
{ } { } ( )
11
1
{ } { } ( 0.5 ) ( )
0.5 1 ( 0.5 )
( ) { ( ) } { }
1 0.5
{ } { }
1 0.5
( ) ( 0.5 ) ( )
[ 1 ( 0.5 ) ] ( )
k
k
k
zz
Z Z u k
zz
z
Z Z u k
zz
zz
f k Z F z Z
zz
zz
zz
zz
u k u k
uk
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 19求 的逆变换 x(n),其中
|z|＞ 1。
解 把 展开为
2
2() 1,5 0,5
zXz
zz
()Xz
z
( ) 2 1
( 1 ) ( 0,5 ) 1 0,5
X z z
z z z z z
再在等式两边同时乘以 z，可得
2()
1 0,5
zzFz
zz
因为 |z|＞ 1,由表 6― 2中的第 (1)号和第 (4)号公式：
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
11
1
11
1
11
21
{ } 2 { } 2 ( )
11
1
{ } { } ( 0.5 ) ( )
0.5 1 ( 0.5 )
2
( ) { ( ) } { }
1 0.5
2 ( ) ( 0.5 ) ( )
[ 2 ( 0.5 ) ] ( )
n
n
n
z
Z Z u n
zz
z
Z Z u n
zz
zz
f n Z F z Z
zz
u n u n
un
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 20 已知一有始序列 y(n)的 Z变换为
,求 y(n)。
解 由于 很难一下子求出其部分分式,通常采用与拉普拉斯反变换一样的待定系数法将上式化为三个分式的和的形式 。
2 ( 7 2 )
() ( 0,2 ) ( 0,5 ) ( 1 )zzYz z z z z
2 ( 7 2 )
() ( 0,2 ) ( 0,5 ) ( 1 )zzYz z z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
2
2
0.2
2
0.2
2
1
( ) ( 7 2 )
( 0,2 )( 0,5 )( 1 ) 0,2 0,5 1
72
0,5
( 0,5 )( 1 )
72
5
( 0,2 )( 1 )
72
1 2,5
( 0,2 )( 1 )
z
z
z
Y z z z A B C
z z z z z z z
zz
A
zz
zz
B
zz
zz
B
zz
( ) 0,5 5 1 2,5
0,2 0,5 1
( ) [ 0,5 ( 0,2 ) 5 ( 0,5 ) 1 2,5 ] ( )nn
Yz
z z z z
y n u n
与上例相同的分析可以得到
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析如果利用长除法求反 Z变换可得 2
32
32
( 7 2 )
()
( 0,2 ) ( 0,5 ) ( 1 )
72
1,7 0,8 0,1
7 9,9 1 1,2
zz
Yz
z z z z
zz
z z z
zz
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.4.3 留数法反 Z变换也可以像拉普拉斯反变换那样利用留数定理来计算,即其中 C是包围 F(z)zk-1的所有极点的闭合积分路径,
它通常是在 z平面的收敛域内以原点为中心的一个圆 。
为证明此式,只要把式中积分函数中的 F(z)展开成幂级数,这样上式的积分即成为
11( ) ( )
2
k
C
f k F z z dzj
(6―13)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
1 1 1
1 2 2
1
( ) [ ( 0) ( 1 ) ( ) ]
( 0) ( 1 ) ( 2 )
()
k m k
CC
k k k
CC
km
C
F z z dz f f z f m z z dz
f z dz f z dz f z dz
f m z dz
由复变函数理论可知,上式中除 m=k的积分项外,
其余各个积分均为零 。 对于 m=k的积分则有
11 2km
mkCCz dz z dz j?
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
1
1
1
1
( ) ( )
2
[ ( ) ]
R e [ ( ) ]
m
k
C
k
m
k
zz
m
f k F z z dz
j
F z z
s F z z
(6―14)
在 C内的留数式中 Res表示极点的留数,zm为 F(z)z k-1的极点 。 如果
F(z) z k-1在 z=zm处有 s阶极点,此时它的留数由下式确定：
1
1
1
1R e [ ( ) ] { [ ( )
( 1 ) !m
s
ks
z z ms
ds F z z z z
s dz
(6―15)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析若只含有一阶极点,即 s=1,此式简化为在利用式 （ 6― 14） ~(6― 16)的时候,应当注意收敛域内的环线所包围的极点的情况,以及对于不同的 n
值,在原点处的极点具有不同的阶次 。
11R e [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
mm
kkz z m z zs F z z z z F z z
(6―16)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 21 设有 Z变换式
,试用留数法进行反 Z变换 。 这里的 f(k)为有始序列 。
解 先求被积函数 F(z)zk-1的极点 。
因为 f(k)为有始序列,所以仅考虑 k≥0时极点的情况：显然其极点在 z=1和 z=-0.5,那么被积函数在这两个极点处的留数分别为
2
2
2 0,5()
0,5 0,5
zzFz
zz
2
11
2
( 2 0.5 ) ( 2 0.5 )()
0.5 0.5 ( 1 ) ( 0.5 )
k
kk z z z zF z z z
z z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析由于这里的 f(k)为有始序列,故
f(k)=［ 1+(-0.5)k］ u(k),与例 6― 16,例 6-18的结果相同 。
1
11
1
0.5 0.5
( 2 0.5 )
R e [ ( ) ] 1
0.5
( 2 0.5 )
R e [ ( ) ] ( 0.5 )
1
k
k
zz
k
kk
zz
zz
s F z z
z
zz
s F z z
z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 22 求的逆变换 x(n),其中 |z|＞ 1。
解 先求被积函数 X(z)zn-1的极点 。
2
2() 1,5 0,5
zXz
zz
21
11()
( 1 ) ( 0.5 ) ( 1 ) ( 0.5 )
n
nn zzX z z z
z z z z
1
1
11
1
1
0.5 0.5
R e [ ( ) ] 1
0.5
R e [ ( ) ] ( 0.5 )
1
n
n
zz
n
nn
zz
z
s F z z
z
z
s F z z
z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 23求的逆变换 。
解 先求被积函数 X(z)z k-1的极点 。
32 21
( ) ( 1 )( 1 ) ( 0,5 )zzX z zz z z
3 2 3 2 2
11( 2 1 ) ( 2 1 )()
( 1 ) ( 0.5 ) ( 1 ) ( 0.5 )
k
kk z z z z zX z z z
z z z z z
因为 X(z)的收敛域为 |z|＞ 1,所以 x(k)必然为因果序列 。 当 k≥2时 X(z)z k-1只含有两个一阶极点,z1=1和
z2=0.5。 此时由式
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析当 k=0时,X(z)zk-1 除含有两个一阶极点 z1=1和
z2=0.5外,还含有一个二阶极点 z3=0。 可以分别求出它们的留数 。
对于二阶极点 z3=0，
3 2 3 2
22
1 0,5
2 1 ( 2 1 )
( ) [ ( ) ] [ ( ]
0.5 ( 1 )
8 13 ( 0.5 ) ( 2 )
kk
zz
k
z z z z
x k z z
zz
k
1 2 1
0
32
21
0
1
R e [ ( ) ] { [ ( 0) ( ) ] }
( 2 1 ) !
21
[]
( 1 ) ( 0,5 )
k
z
z
d
s X z z z F z z
dz
d z z
zz
d z z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析而对于一阶极点，
32
1
0,5 0,52
32
1
112
21
R e [ ( ) ] [ ( 0,5 ) ] 13
( 1 ) ( 0,5 )
21
R e [ ( ) ] [ ( 1 ) ] 8
( 1 ) ( 0,5 )
k
zz
k
zz
zz
s X z z z
z z z
zz
s X z z z
z z z
这样 x(k)=8-13+6=1,(k=0),当 k=1时,X(z)z k-1含有三个一阶极点 z1=1和 z2=0.5,z3=0。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
32
1
11
32
1
0,5 0,5
32
1
00
21
R e [ ( ) ] [ ( 1 ) ] 8
( 1 ) ( 0,5 )
21
R e [ ( ) ] [ ( 0,5 ) ] 6,5
( 1 ) ( 0,5 )
21
R e [ ( ) ] [ ( ) ] 2
( 1 ) ( 0,5 )
k
zz
k
zz
k
zz
zz
s X z z z
z z z
zz
s X z z z
z z z
zz
s X z z z
z z z
这样 x(k)=8-6.5+2=3.5,(k=1)。
综上所述,可以得到 X(z)的逆变换为
10
( ) 3,5 1
8 1 3 0,5 2k
k
x k k
k
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.5 离散时间系统的 Z变换分析法
6.5.1 系统函数从第三章的内容可知,一个线性非时变系统,其输入,输出一定满足如下线性常系数差分方程
00
[ ] [ ]
NM
kk
kk
a y n k b x n k
(6―17)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析把差分方程两边同时进行 Z变换，并利用 Z变换的线性和移序特性可以得到
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
N N N N
k k k k
k k k k
k k k k
a z z b z X z Y z a z X z b z
通常把
0
0
()
()
()
M
k
k
k
N
k
k
k
bz
Yz
Hz
Xz
az
(6―18)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析在 时 域 分 析 一 个 离 散 时 间 系 统 时 也 常 用
y(n)=x(n)*h(n),该式反映了系统的激励与系统响应之间的关系 。 如果把该式两边同时进行 Z变换就得
Z｛ y(n)｝ =Z{x(n)*h(n)} (6―19)
H(z)=Z{h(n)}或 h(n)=Z-1{H(z)} (6― 20)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.5.2 系统函数的计算从式 （ 6― 18） 可以看出,一个满足线性常系数差分方程的系统,其系统函数一定是 z的有理函数 。 在式
（ 6― 18） 中并没有给出系统函数 H(z)的收敛域 。 事实上也确实存在着两种或两种以上的单位响应它们都满足同一个差分方程的情况 。
例 6― 24求由线性常系数差分方程
y(n)+5y(n-1)+6y(n-2)=x(n)-x(n-1)
所描述的离散时间因果系统的系统函数 。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析解 对方程两边同时进行 Z变换有
Y(z)-5z-1 Y(z)+6z-2 Y(z)=X(z)-z-1 X(z)
因此因为该系统是因果系统,其收敛域在最外的极点之外为 |z|＞ 3。
11
1 2 1 1
11()
1 5 6 ( 1 2 ) ( 1 3 )
zzHz
z z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 25 如果将上例差分方程中各项的序号都加 n0，
则其差分方程就变为
y(n+n0)-5y(n+n0-1)+6y(n+n0-2)=x(n+n0)-x(n+n0-1)
试求该方程所描述的离散时间因果系统的系统函数 。
解 方程两边同时进行 Z变换后得到
0 0 0 0 01 2 1( ) 5 ( ) 6 ( ) ( ) ( )n n n n nz Y z z Y z z Y z z X z z X z
所以
00
0 0 0
1 1
12 11
1()
5 6 ( 1 2 ) ( 1 3 )
nn
n n n
z z zHz
z z z z z
收敛域为 |z|＞ 3。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.5.3 系统分析举例这里特别需要指出系统单位响应 h(n)的问题,h(n)
是激励 δ(n)产生的零状态响应； h(n)同时也是系统函数
H(z)的反变换,故可由 H(z)求得 h(n)。
例 6― 26 一离散时间系统的差分方程为解 将
1( ) ( 1 ) ( )
2y n y n x n
1( ) ( 1 ) ( )
2y n y n x n
1
1
( ) ( ) ( )
2
( 1 ) ( ) ( )
2
z
Y z Y z X z
z
Y z X z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
1
( ) 1
()
11()
1
22
1
( ) ( ) ( )
2
n
Y z z
Hz
Xz
zz
h n u n
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 27一离散时间系统的差分方程为
y(n)-3y(n-1)+3y(n-2)-y(n-3)=x(n)
求其单位响应 。
解 方法 1（ 用解齐次方程的方法 ）,
将 y(n)-3y(n-1)+3y(n-2)-y(n-3)=x(n)可以写成
h(n)-3h(n-1)+3h(n-2)-h(n-3)=δ(n)
首先求出差分方程的齐次解,然后再用 δ(n)等效为初始条件,进而求出 h(n)。 齐次解的特征方程为 a3-
3a2+3a-1=0,其解为 a1=a2=a3=1（ 三重根 ）,故齐次解为
h(n)=C1n2+C2n+C3
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析初始条件除 h(0)=δ(0)=1外,其余 h(-1)=h(-2)=0,代入得
h(0)=1=C3
h(-1)=0=C1-C2+C3
H(-2)=0=4C1+2C2+C3
解之得
1 2 3
2
13
,,1
22
13
( ) ( 1 ) ( )
22
C C C
h n n n u n
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.5.4 利用单边 Z变换分析离散系统关于双边 Z变换的分析完全适应于单边 Z变换 。 根据双边反 Z变换有由单边 Z变换的定义可以证明单边 Z变换的位移性质如下：
若 x(n)←→X(z) 则
11( ) ( ) ( )
2
n
C
x n u n X z z d zj
(6―21)
00
0
0
00
1
00
1
00
0
( ) ( ) ( ),0
( ) ( ) ( ),0
nn n
nn
n
nn n
n
x n n z X z z x n z n
x n n z X z z x n z n
(6―22)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 28 初始条件为 的线性常系数差分方程,
y(n)-3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)
若输入信号 x(n)=u(n),求输出的系统时域响应 y(n)。
解对该方程两边同时取单边 Z变换,并利用单边 Z
变换的位移性质可以得到：
Y(z)-3［ z-1 Y(z)+y(-1)］ +2［ z-2 Y(z)+z-1 y(-1)+y(-2)]=X(z)
1( 2 ),( 1 ) 1
2yy
即
1
1 2 1 2
3 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( )()
1 3 2 1 3 2
y z y y X zYz
z z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析由于右边第一项与初始条件和系统特性有关,因此对应于零输入响应,而第二项只与输入和系统特性有关,所以对应于零状态响应 。 代入初始条件及可得
1
1( ) ( )
1X z U z z
1
1 2 1 2
1
1
1 2 1 2
1 1 1 2
1 1 1 2 1
2 2 ( )
()
1 3 2 1 3 2
1
22
1
1 3 2 1 3 2
2 2 1
(
1 2 1 ( 1 )
2 2 1 4
(
1 1 ( 1 ) 1 2
z X z
Yz
z z z z
z
z
z z z z
zzz
z z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析进行反变换以后得到系统响应为
y(n)=2(2)nu(n)+［ -3-n+4(2)n］ u(n)
其中第一部分为零输入响应,第二部分为零状态响应 。 由本例可以看出,运用单边 Z变换求系统响应时的步骤是：
(1)对差分方程两边进行单边 Z变换,并代入初始条件；
(2)解出单边 Z变换 Y(z)；
(3)对 Y(z)进行反变换,即得到时域响应 y(n)。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 29 用 Z变换的方法求解线性差分方程
y(n)+y(n+1)+y(n+2)=u(n)
其中 y(0)=1,y(1)=2。
解 对 y(n)+y(n+1)+y(n+2)=u(n)两边同时进行单边 Z
变换得到代入初始值 y(0)=1,y(1)=2后,上式变形为
21
1
1( ) ( ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( 1 )
1Y z z Y z y z Y z y z y z
21
1
2
2
1
( ) ( ( ) 1 ) ( ( ) 1 2 )
1
( 2 2 )
()
( 1 ) ( 2 1 )
Y z z Y z z Y z z
z
z z z
Yz
z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析 22
33
2
2 2 2 2
3 3 3 3
2
11 2
2 2
3
2
3
22
33
2
3
( ) 2 2
1
( 1 ) ( ) ( )
( ) 2 2 1
[ ( 1 ) ]
13
( ) 2 2
[ ( ) ] [ ]
( 1 ) ( )
22
2
( 1 ) 2 s in
3
jj
j j j j
zz
j
j
z e z e
jj
j
Y z z z A B C
zz
z z e z e z e z e
Y z z z
Az
z z z
Y z z z
B z e
z
z z e
ee
ej
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析 22
33
2 2
3
2
3
42
33
2
3
( ) 2 2
[ ( ) ] [ ]
( 1 ) ( )
22
2
( 1 ) ( 2 s i n )
3
jj
j
j
z e z e
jj
j
Y z z z
C z e
z
z z e
ee
ej
22
33( ) [ ] ( )
1 2 2 4 3 2
( ) [ c o s si n ] ( )
3 3 3 3 3
jj
y n A Be C e u n
y n n u n
这样 Y(z)的逆变换为代入 A,B,C的值，经化简得
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 30 已知由差分方程所描述的增量线性系统的初始条件为 y(-2)=1,y(-
1)=1,系统的输入激励为 x(n)=(-1)nu(n),求系统响应 y(n)。
11( ) ( 1 ) ( 2 ) ( ) ( 1 )
22y n y n y n x n x n
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析解 对两边同时进行单边 Z变换,有
11( ) ( 1 ) ( 2 ) ( ) ( 1 )
22y n y n y n x n x n
12
1
11
( ) ( ( ) ( 1 )) ( ( ) ( 1 ) ( 2))
22
( ) ( ) ( 1 )
Y z z Y z y z Y z y y
X z z X z x
代入初始条件后得
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
1
1 2 1 2
1
12
1
1
1
1
1
2
()
1 1 1 1
11
2 2 2 2
1
2
2
11
1
22
51
33
11
1
2
z
Yz
z z z z
z
zz
z
z
对 Y(z)进行反变换,即得到时域响应 y(n)为
5 1 1( ) [ ( ) ] ( )
3 3 2
ny n u n
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.6 数字滤波器的概念在 3.2中曾经指出,在离散时间系统的输入和输出处分别加上模 —数转换器和数 —模转换器等接口,就可以把模拟信号转变成数字信号,以便利用计算机这一有效手段来进行处理 。 数字滤波器的应用就是这种信号处理的典型例子 。 包含数字滤波器及上述接口的混合系统的示意图如图 6.11所示 。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.11 包含数字滤波器的混合系统
A / D F DH ( z ) D / Ax ( k ) y ( k )模拟信号 x ( t ) 模拟信号 y ( t )输入 输出
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.6.1 数字滤波器的实现首先假设数字滤波器的转移函数 H(z)为已知,要求实现这种滤波器 。 至于如何求得 H(z),留到下面再讨论 。
一个离散时间系统如数字滤波器,当其转移函数已知时,就很容易写出它的差分方程来,两者的一般对应关系如式 （ 6― 17） 和式 （ 6― 18） 所示 。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析所谓级联实现,是指由差分方程直接作出框图
（ 有些书籍中把这种实现方式称为直接实现 ） 。 这种实现方式在第一章中讨论过,这里不再重复 。
并联实现形式是将转移函数 H(z)分解为若干个一级或二级的简单转移函数或者还可能有一常数等项之和,
即
H(z)=H0(z)+H1(z)+H2(z)+…+Hr(z)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析分解方法并不是唯一的,通常总是用代数方法把
H(z)展开为部分分式 。 与上式相对应的方框图如图 6.12
所示,其中除常数乘法器 H0外,其余每一个方框都是一个一阶的或二阶的子系统 。 这些系统都可以表示为简单的模拟框图 。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.12 并联实现形式
H
0
H
1
( z )
H
2
( z )
H
r
( z )
…
…
∑ y ( k )x ( k )
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析串联实现形式是将转移函数 H(z)分解为若干个一阶或二阶的简单转移函数的乘积，即
H(z)=bmH1(z)H2(z)…Hr(z)
其中,bm是式 （ 6― 18） 中分子多项式最高次项的系数 。 与此式相对应的方框图示于图 6.13,除常数乘数器
bm之外,其余各方框也都可用一阶或二阶的模拟图来表示 。
图 6.13 串联实现形式
H 1 ( z ) H 2 ( z ) H r ( z )…b mx ( k )
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析这里还要指出的是,在数字滤波器的差分方程,
y(k+n)+a n-1 y(k+n-1)+…+a0y(k)
=bmx(k+m)+b m-1 x(k+m-1)+…+b0x(k)
中,若同时包含有 ai及 bi项,则此滤波器称为递推滤波器 。 若从 an-1到 a0的诸系数 ai均为零,则此滤波器称为非递推滤波器,后者是前者的一种特殊情况 。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.6.2数字滤波器系统函数的确定由上面所述可知,只要给定了数字滤波器的系统函数,滤波器的实现问题就不难解决,所以主要的问题在于怎样去确定系统函数 。 滤波器的设计任务就是根据滤波要求去确定系统函数或差分方程的诸系数 ai及
bi,一旦这些系数确定了,系统函数就随之确定,滤波器也即可实现 。
第 6章 离散时间体统 z域分析第 6章 离散时间系统的 z域分析
6.1 Z变换
6.2 Z变换的性质
6.3 信号的 Z变换求法
6.4 反 Z变换
6.5 离散时间系统的 Z变换分析法
6.6 数字滤波器的概念
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.1 Z变换
6.1.1 Z变换的定义一般来说,常把具有单位响应 h(n)的离散时间非时变系统的双边 Z变换 （ 简称 Z变换 ） 定义为
( ) ( ) n
n
H z h n z
(6―1)
而对信号 x(n)的双边 Z变换定义为
( ) ( ) n
n
x z x n z
(6―2)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析正像有双边和单边拉普拉斯变换一样,Z变换也分为单边 Z变换和双边 Z变换 。 （ 6― 2） 式所示的是双边
Z变换,而单边 Z变换定义为
0
( ) ( ) n
n
x z x n z
(6―3)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 1 已知 x(n)=u(n)求其 Z变换表达式 。
解 由 （ 6― 2） 式可知：
12
0
( ) ( ) 1nn
nn
X z u n z z z z
(6―4)
由等比数列求和的性质可知,（ 6― 4） 式的级数在
|z-1|≥1时是发散的,只有在 |z-1|＜ 1时才收敛 。 这时无穷级数可以用封闭形式表示为
1
0
1( ) 1
1
n
n
X z z zz
(6― 5)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.1.2 Z变换的收敛域
1,收敛域的定义与拉普拉斯变换的收敛域的定义相类似,Z变换的收敛域的定义为：能使某一序列 x(n)的 Z变换级数收敛的 z平面上 z值的集合 。 序列 Z变换级数绝对收敛的条件是绝对可和,即要求
() n
n
x n z
() n
n
x n z
(6― 6)
因为
( ) ( ) nn
nn
x n z x n z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析为满足上述绝对可和的条件,就必须要对 |z|有一定范围的限制 。 这个范围一般可表示为由此可见 Z变换的收敛域为 z平面上是一个以 Rx-及
Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域,如图 6.1所示 。
xxR z R
(6―7)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.1 环形收敛域
R
x －
j I m [z ]
R e [z ]
R
x ＋
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
2,序列 x(n)的特性与 X(z)的收敛域由 （ 6― 6） 式很容易知道 X(z)的收敛域不仅与 |z|有关,还与序列 x(n)的特性有关 。 为说明二者之间的关系根据序列的不同分四种情况讨论 。
1) 有限长序列
12
12
()
()
0,
x n n n n
xn
n n n n
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
(1) n1＜ 0,n2＞ 0时,有
22
1 1 1
12
1
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
nn
n n n
n n n n n n
nn
nn
n n n
X z x n z x n z x n z
x n z x n z
上式中除了第一项的 z=∞处及第二项中的 z=0处外都收敛,所以总收敛域为 0＜ |z|＜ ∞。 有时将这个开域 (0,∞)称为,有限 z平面,。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
(2)n1＜ 0,n2＜ 0时,有显然其收敛域为 0≤|z|＜ ∞,是包括零点的半开域,
即除 z=∞外都收敛 。
(3)n1＞ 0,n2＞ 0时,有显然其收敛域为 0＜ |z|≤∞，是包括 z=∞的半开域，
即除 z=0外都收敛。
22
11
( ) ( ) ( )
nn
nn
n n n n
X z x n z x n z
2
1
( ) ( )
n
n
nn
X z x n z?
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
(4)特殊情况,n1=n2=0时，这就是序列,它的收敛域为整个闭域 z平面，即 0≤|z|≤∞。
2) 右边序列
2
1
( ) ( ) ( 0 )
n
n
nn
X z x n z x?
1
1
1
()
()
0
( ) ( )
n
nn
x n n n
xn
nn
X z x n z
的 Z变换为
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
(1) n1≥0时，这时的右边序列就是因果序列。
11
1( ) ( )
nn
n n n n
x n z x n z
11
1
0
( ) ( ) ( ) ( )n n n
n n n n n
X z x n z x n z x n z
因此,n1≥0时的右边序列的收敛域可以写成 |z1|＜
|z|≤∞,如图 （ 6.2） 所示 。
(2) n1＜ 0时,Z变换为
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.2 右边序列收敛域
j I m [z ]
R e [z ]0
1
z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 2求指数序列 x(n)=anu(n)的 Z变换 。
解 显然指数序列是一个因果序列
0
1
00
11
( ) ( )
()
1
n
n
n n n
nn
X z x n z
a z a z
a z a z
1
1( ) ( )
1
zX z z a
a z z a
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
3) 左边序列
1
1
()
()
0
x n n n
xn
nn
图 6.3 指数序列收敛域
j I m [z ]
R e [z ]
a
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.4 左边序列收敛域
j I m [z ]
R e [z ]0
1
Z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 3 求左边序列 x(n)=-bnu(-n-1)(b＜ 1)的 Z变换 。
解 由信号的 Z变换的定义可知
1
1
10
( ) ( )
( ) ( 0 )
( ) 1 ( )
n
n
n n n n
nn
n n n n
nn
X z x n z
b z b z
b z b z
若公比 |b-1 z|＜ 1，即 |z|＜ |b|时此级数收敛。此时
1
1( ) 1
1
zX z z b
b z z b
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.5 收敛域零,极点分布
j I m [z ]
R e [ z ]
b
bz?
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
4,双边序列当 n→ ± ∞,序列 x(n)均不为零时,称 x(n)为双边序列,它可以看作是一个左边序列和一个右边序列之和 。
对此序列进行 Z变换得到
0
0
( ) ( ) ( ) ( )n n n
n n n
X z x n z x n z x n z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.1.3 Z变换与拉普拉斯变换的关系如果信号 x(n)是与连续时间信号 xc(t)的理想取样函数 xp(t)对应的序列,那么 x(n)的 Z变换 X(z),可以由该理想取样函数 xp(t)的拉氏变换式导出 。 连续时间信号
xc(t)被理想取样后的函数 xp(t)可表示为其中 xc(nT)为连续时间函数 xc(t)在 t=nT时刻的值是一个离散时间序列,记为 x(n)。 取样函数 xp(t)的拉氏变换为
( ) ( ) ( )pc
n
x t x n T t n T?
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析( ) ( )
( ) ( )
()
st
pp
st
c
n
nsT
c
n
X s x t e dt
x nT t nT e dt
x nT e
(6―8)
( ) ( )
1
ln
sTze
T
X z X s
z e s z
T
(6―9)
(6―10)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.6 s平面与 z平面的对应关系
0
j?
0
j I m [z ]
R e [ z ]
s 平面 z 平面
( a )
0
j?
0 R e [z ]
j I m [z ]
1
( b )
j?
R e [z ]
j I m [z ]
( c )
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析为了更清楚地表达这个映射关系,将 s写成直角坐标的形式,s=α+jβ,而将 z写成极坐标的形式 z=rejω。 这样将 s平面变换到 z平面后就可以写成
j T j Tz r e e e (6―11)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2 Z变换的性质
6.2.1 线性特性设 x1(n)X1(z)其收敛域为 A,x2(n)X2(z),其收敛域为
B,则有 ax1(n)+bx2(n)aX1(z)+bX2(z) 其收敛域为 A∩B
（ 这里 a,b为常数 ） 。 这一关系显然是和拉普拉斯变换的同一特性相对应,为了避免不必要的重复,它的证明从略 。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
1
1
1
1
1
11
1
( ) ( ),1
1
( 1 ) ( ),1
1
1
( ) ( ) ( 1 ) 1
11
u n U z z
z
z
u n z U z z
z
z
n u n u n
zz
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2.2 移序特性若 x(n)← ——→X(z) 的收敛域为 A,则 x(n-n0)← ——
→z -n0 X(z)的收敛域也为 A,但在零点和无穷远点可能发生变化 。
00
0 0 0
0
00
()
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
()
n n nn
nn
n n n n m
nm
n
F z x n n z z x n n z
z x n n z z x m z
z X z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 4 求信号 x(n)=u(n+1)的 Z变换及其收敛域 。
解 因为 u(n)←→ 利用 Z变换的移序特性,有 因为 u(n)是一个因果序列,而 u(n+1)是非因果序列,所以它的收敛域在无穷远处发生了变化,即删除原有的无穷远点,u(n+1)的
Z变换的收敛域为 1＜ |z|＜ ∞。
1
1( ),1
1U z zz
1( ) ( ) 1
zX z z U z
z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2.3 频移特性若 x(n)←→X(z),则 e jθnx(n)←→X(e -jθz)。
证明,设 e jθn x(n)的 Z变换为 F（ z），则有上述特性表明,信号在时域内乘以复指数信号
ejθn,相当于在 z平面作一旋转,即全部零,极点的位置旋转一个角度 θ。 为更好地说明这个问题,请看下面的例子 。
( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( )j n n j n j
nn
F z e x n z x n e z X e z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 5求信号 x(n)=［ sin(θn)］ u(n)的 Z变换及其收敛域 。
解 由于
1
1
11
( ) (si n ( ) ( ) ( ) ( )
22
1
( ) ( ),1
1
1
( ) ( ),1
1
j n j n
j n j
j
j n j
j
x n n u n e e u n
jj
e u n U e z z
ez
e u n U e z z
ez
因此
1
1 1 1 2
1 1 1 ( sin )( ) ( ),1
2 1 1 1 ( 2 c o s )jj
zX z z
j e z e z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.7 收敛域及零,极点图
j I m [z ]
R e [ z ]01
j I m [z ]
R e [ z ]0－ 1 1?
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2.4 尺度变换特性若 x(n)←→X(z) 的收敛域为 R,
且收敛域为 |a|R。
证明：
( ) ( )n za x n X a?
( ) ( ) ( ) ( )n n n
nn
zzX x n a x n z
aa
令,则它的 Z变换( ) ( )nf n a x n?
( ) ( )n za x n X a?
所以
( ) ( ) ( )n n n
nn
F z f n z a x n z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2.5 z域微分特性若 x(n)← ——→X(z),收敛域为 R,则 nx(n)←→
收敛域为 R。
证明 设序列 y(n)=nx(n),则它的 Z变换
()dX zz
dz?
00
( ) ( ) ( )nn
nn
Y z y n z nx n z
11
00
() ( ) ( ) ( )nn
nn
dX z dx n z z nx n z z Y z
dz dz
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 6 已知 x(n)=nu(n),求其 Z变换及其收敛域 。
解 由例 6― 1可知,u(n)的 Z变换并由 z域微分特性可知,
1
1( ),1
1U z zz
12
( ) ( ) ( ) ( )
1
()
1 ( 1 )
d
x n nu n X z z U z
dz
dz
z
dz z z?
其收敛域为 |z|＞ 1。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2.6 卷积特性若 x1(n)←→X 1(z),x2(n)←→X 2(z),其收敛域分别为 A、
B,则 x1(n)*x2(n)←→X 1(z)X2(z),其收敛域为 A∩B。
证明 设 x1(n)*x2(n)的 Z变换是 X(z),则
12
12
()
21
12
( ) ( ( ) ( ) )
( ( ) ( ) )
( ) ( )
( ) ( )
n
n
n
n
nk
n
n k k
nk
X z x n x n z
x k x n k z
x n k z x k z
X z X z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 7如果 x1(n)=u(n)，
且 y(n)=x1(n)*x2(n),求 y(n)的 Z变换 Y(z)。
解 先分别求 x1(n),x2(n)的 Z变换 X1(z),X2(z):
1
2
11( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )
22
nnx n u n u n
1 1
1( ) ( )
1X z U z z
收敛域为 |z|＞ 1
11
2
1 1 1
11()
1 1 11 1 1
2 2 2
zzXz
z z z
收敛域为 |z|＞ 1
2
1
12 1
11
1 1 1
( ) ( ) ( )
111
11
22
z
Y z X z X z
z zz
收敛域为 |z|＞ 1
2
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 8已知
,求 u(n)*u(n)。
解令 y(n)=u(n)*u(n),则它的 Z变换为
( ) ( ),1,1zu n U z zz
2
22( ) ( ) ( ) 1 1 ( 1 ) ( 1 )
z z z zY z U z U z z
z z z z
由例 6―6 可知
2{ ( )},1( 1 )
zZ n u n z
z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
1
2
2 1 2
2
1
{ ( ) },1
1
1
{ ( ) ( ) }
( 1 ) 1 ( 1 )
{ ( 1 ) ( ) }
( 1 )
( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )
Z u n z
z
zz
Z nu n u n
z z z
z
Z n u n z
z
y n u n u n n u n
由例 6―1 可知所以而所以
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2.7 时域反转特性例 6― 9已知 x(n)=u(-n),求其 Z变换及其收敛域 。
解 由例 6― 1可知 u(n)的 Z变换
1
1
1
1
1
( ),1
1
1
( ) ( ),1
11
U z z
z
z
X z z z
zz
由时间反转特性可知,
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2.8 时域求和特性若 x(n)← ——→X(z) 的收敛域为 R,则
,其收敛域为 R∩(|z|＞ 1)。
证明 因为
1
1( ) ( )
1
n
k
x k X zz?
1
1
1
( ) ( ) ( ),( ) 1
1
1
( ) ( )
1
( 1 )
n
k
n
k
x k u n x n u n z
z
x k X z
z
RZ
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2.9 初值定理如果因果序列 x(n)的 Z变换为 X(z)，而且存在,则证明当 z→∞ 时,在上式级数中除第一项 x［ 0］ 外,其它各项都趋于零,所以
lim ( )x Xz
lim ( )x Xz
12
0
( ) [ 0 ] [ 0 ] [ 1 ] [ 2 ]n
n
X z x z x x z x z
0
12
l i m ( ) l i m [ ] [ 0 ]
{ ( ) [ 0 ]} [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]
n
xx
n
X z x n z x
z X z x x x z x z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析故有由此递推,得到一般式
1
0
[ 1 ] l i m { ( ) [0 ]}
[ ] l i m { ( ) [ ] }
x
n
nk
x
k
x z X z x
x n z X z x k z
(6―12)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 10 已知
,求 y［ 0］,y［ 1］,y［ 2］ 。
解
32
32
72()
1,7 0,8 0,1
zzYz
z z z
32
32
3 2 3 2
32
21
2
21
32
[ 0 ] li m ( ) 7
72
[ 1 ] li m { 7 }
1.7 0.8 0.1
7 2 7 11,9 5.6 0.7
li m 9.9
1.7 0.8 0.1
[ 2 ] li m { ( ) [ 0 ] [ 1 ] }
9.9 5.6 0.7
li m [ 9.9 ]
1.7 0.8 0.1
lim
x
x
x
x
x
x
y y z
zz
yz
z z z
z z z z z
z
z z z
y z Y z y y z
zz
zz
z z z
32
32
11,23 7.2 2 9.9
[ ] 11,23
1.7 0.8 0.1
z z z
z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.2.10 终值定理若因果序列 x(n)的 Z变换为 X(z),而且 X(z)的极点除了在 z=1处允许有一阶极点外,其余极点均在单位圆内,则证明 设 y(n)=x(n+1)-x(n),由于 x(n)为因果序列,
于是 y(n)的 Z变换
1l i m ( ) l i m ( 1 ) ( )xxx n z X z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
10
0
0
0
( ) ( )
( 1 ) ( )
( 0 ) ( ( 1 ) ( ) )
( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )
( 0 ) [ ( 1 ) ] ( )
n
n
nn
nn
n
n
n
n
n
n
Y z y n z
x n z x n z
x z x n x n z
z X z z x n z
x z x n x z Y z
两边同时对 z→ 1取极限有
1 1 1 0
l i m ( 1 ) ( ) l i m ( ) l i m { ( 0) [ ( 1 ) ( ) ] }n
x x x n
z X z Y z x z x n x n z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析因为 X(z)的极点除了在 z=1处允许有一阶极点外,
其余极点均在单位圆内,而且 x(n)又是因果序列,因而
y(n)=x(n+1)-x(n)的 Z变换 Y(z)的收敛域是最外部极点的外部,一定包括 z=1,因此,求极限可以与求和来交换运算次序,这样就有：
11l i m ( 1 ) ( ) l i m ( )zzz X z Y z
1
0
0
li m { ( 0) [ ( 1 ) ( ) }
( 0) [ ( 1 ) ( ) ]
( 0) [ ( 1 ) ( 0) ] [ ( 2 ) ( 1 ) ]
( ) li m ( )
n
z
n
n
x
x z x n x n z
x x n x n
x x x x x
x x n
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析表 6―1 Z 变换的性质及定理
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.3 信号的 Z变换求法
6.3.1 常用信号的 Z变换为了便于 Z变换及其反变换的计算,把一些常用信号的 Z变换列于表 6― 2中 。 对于这些信号的 Z变换,可以直接由定义计算,也可以根据一些常用信号的 Z变换,
再应用 Z变换的性质获得 。 下面就用后一种方法讨论表
6― 2中的部分信号的 Z变换 。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析表 6―2 Z 变换表
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.3.2 求序列 Z变换的方法求序列的 Z变换常用的方法有三种：
(1)利用 Z变换的定义直接求解序列的 Z变换；
(2)借助 Z变换性质从已知变换推导出未知的 Z变换；
(3)利用幂级数展开的方法求 Z变换 。
下面分别举例说明。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 11 求下列序列的 Z变换,并表明收敛域,画出零,极点图：
1
( 1 ) ( ) ( ) ( )
3
1
( 2 ) ( ) ( ) ( 1 )
3
1
( 3 ) ( ) ( ) [ ( ) ( 8 ) ]
3
1
( 4 ) ( ) ( )
3
n
n
n
n
x n u n
x n u n
x n u n u n
xn
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析解 (1)已知序列,Z变换为当 时，级数收敛于
1( ) ( ) ( )
3
nx n u n?
1
00
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
n n n n n
n n n
X z u n z u z
1
3z?
1
11
( ),
11 3
1
33
z
X z z
zz?
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.8
j I m [z ]
R e [ z ]0 1 / 3
j I m [z ]
R e [ z ]0 1 / 3
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
（ 2）已知 则其双边 Z变换为当 |z|＜ 时,级数收敛于
1( ) ( ) ( 1 )
3
nx n u n
1
0
11( ) ( ) ( 1 ) ( ) 1 ( 3 )
33
n n n n n
n n n
X z u n z u z
1
3
1 3 1
( ) 1,1
1 3 1 3 3
3
zz
X z z
zz z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
（ 3）已知 则其 Z变换1
( ) ( ) [ ( ) ( 8 ) ]3 nx n u n u n
77
00
1 1 1( ) ( ) [ ( ) ( 8 ) ] ( ) ( )
3 3 3
n n n n n
n n n
X z u n u n z z z
|z|＞ 0时,级数收敛于
1 8 6 8
17
11
1 ( ) ( )
33( ),( 0 )
11
1 ( )
33
zz
X z z
z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.9
j I m [z ]
R e [z ]0 1 / 3
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
（ 4）已知,则双边 Z变换为1
( ) ( )3 nxn?
1
1
1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
11
( ) ( )
33
n n n n n n
n n n
nn
nn
X z u n z z z
zz
8
3()
113
( 3 )( )
33
z
zz
Xz
zz z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.10
j I m [z ]
R e [z ]0
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 12求序列 x(n)=cosnα·cosnβ·u(n)的 Z变换 。
解 利用欧拉公式将 x(n)化为指数函数：
( ) ( ) ( ) ( )
11
( ) ( ) ( ) ( )
22
1
( ) ( )
4
j n j n j n j n
j n j n j n j n
x n e e e e u n
e e e e u n
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 13 证明下列 Z变换式 （ n≥0）,
1
( 1 ) 1
( 1 )[ ] arc t an
21
( 2 ) ( 0,)
!
11
( 3 ) ( );
( 2 ) !
(l n )
( 4 ) ( 0,)
!
n
an
z
n
z
z
n z
a
ea
n
ch
n z
a
aa
n
常数常数
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 14 已知序列 x(k)的 Z变换为 X(z),若将 x(k)由
k=0到 k=n的各项进行求和,给出新序列
（ 1） 求 g(n)的 Z变换 G(z);
（ 2） 若令 x(k)=k2,求 g(n)及 G(z)。
0
( ) ( )n
k
g n x k
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.4 反 Z变换
6.4.1 幂级数展开法（长除法）
因为 x(n)的 Z变换定义为 z-1的幂级数,
( ) ( ) n
n
X z x n z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析一般而言，对于因果序列 f(n)的单边 Z变换 F(z)即为
12
0 1 2
0 1 2
()
()
()
( 0),( 1 ),( 2 ),
x
Nz
F z A A z A z z R
Dz
f A f A f A
把它与 Z变换的定义式 （ 6― 2） 比较可以看出：
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 15求 的逆变换 x(n)（ 收敛域为
|z|＞ 1） 。
解 由于 X(z)的收敛域为 |z|＞ 1,因而 x(n)必然是因果序列 。 此时 X(z)按照 z的降幂排列形成下列形式：
2() ( 1 )
zXz
z
2() 21
zXz
zz
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 16 设有 Z变换式,试用幂级数展开法进行反 Z变换 。 这里的 f(k)为有始序列 。
解 要用展开 F(z)为幂级数的方法求 f(k),为此将
F(z)进行长除：
2
2
2 0,5()
0,5 0,5
zzFz
zz
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 17 求收敛域分别为 |z|＞ 1和 |z|＜ 1两种情况下,
的逆变换 x(n)。
解 对收敛域 |z|＞ 1,X(z)相应的序列 x(n)是因果序列,这时 X(z)写成
,进行长除,展开成级数这样得到 x(n)=(3n+1)u(n)。
1
12
12()
12
zXz
zz
1
12
12()
12
zXz
zz
12
0
( ) 1 4 7 ( 3 1 ) n
n
X z z z n z
1
2
1
( ) 2 5 ( 3 1 ) ( 3 1 )
( ) ( 3 1 ) ( 1 )
nn
nn
X z z z n z n z
x n n u n
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.4.2 部分分式法当 F(z)有 n个单阶极点 a1,a2,…,an时，则展开为
()Fz
z
01
1
02
1
()
()
n
n
n
n
F z B B B
z z z a z a
zz
F z B B B
z a z a
再在等式两边同时乘以 z，可得最后，利用表 6―2 中的第 (1)号和第 (3)号公式，即可得原序列
1 0 1 1( ) { ( ) } ( ) ( ) ( )kk nnf k Z F z B n B a u k B a u k
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 18 设有 Z变换式,试用部分分式展开法进行反 Z变换 。 这里的 f(k)为有始序列 。
解 把 展开为再在等式两边同时乘以 z,可得
2
2
2 0,5()
0,5 0,5
zzFz
zz
2
( ) 2 0,5 2 0,5 1 1
0,5 0,5 ( 1 )( 0,5 ) 1 0,5
F z z z
z z z z z z z
()Fz
z
() 1 0,5zzFz zz
因为这里的 f(k)为有始序列,所以其收敛域为
|z|＞ 1和 |z|＞ 0.5的公共部分即 |z|＞ 1。
由表 6― 2中的第 (1)号和第 (4)号公式：
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
11
11( ),1 ( )
11
nu n z a u n z a
z a z
所以,当 |z|＞ 1时
11
1
11
1
11
11
{ } { } ( )
11
1
{ } { } ( 0.5 ) ( )
0.5 1 ( 0.5 )
( ) { ( ) } { }
1 0.5
{ } { }
1 0.5
( ) ( 0.5 ) ( )
[ 1 ( 0.5 ) ] ( )
k
k
k
zz
Z Z u k
zz
z
Z Z u k
zz
zz
f k Z F z Z
zz
zz
zz
zz
u k u k
uk
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 19求 的逆变换 x(n),其中
|z|＞ 1。
解 把 展开为
2
2() 1,5 0,5
zXz
zz
()Xz
z
( ) 2 1
( 1 ) ( 0,5 ) 1 0,5
X z z
z z z z z
再在等式两边同时乘以 z，可得
2()
1 0,5
zzFz
zz
因为 |z|＞ 1,由表 6― 2中的第 (1)号和第 (4)号公式：
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
11
1
11
1
11
21
{ } 2 { } 2 ( )
11
1
{ } { } ( 0.5 ) ( )
0.5 1 ( 0.5 )
2
( ) { ( ) } { }
1 0.5
2 ( ) ( 0.5 ) ( )
[ 2 ( 0.5 ) ] ( )
n
n
n
z
Z Z u n
zz
z
Z Z u n
zz
zz
f n Z F z Z
zz
u n u n
un
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 20 已知一有始序列 y(n)的 Z变换为
,求 y(n)。
解 由于 很难一下子求出其部分分式,通常采用与拉普拉斯反变换一样的待定系数法将上式化为三个分式的和的形式 。
2 ( 7 2 )
() ( 0,2 ) ( 0,5 ) ( 1 )zzYz z z z z
2 ( 7 2 )
() ( 0,2 ) ( 0,5 ) ( 1 )zzYz z z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
2
2
0.2
2
0.2
2
1
( ) ( 7 2 )
( 0,2 )( 0,5 )( 1 ) 0,2 0,5 1
72
0,5
( 0,5 )( 1 )
72
5
( 0,2 )( 1 )
72
1 2,5
( 0,2 )( 1 )
z
z
z
Y z z z A B C
z z z z z z z
zz
A
zz
zz
B
zz
zz
B
zz
( ) 0,5 5 1 2,5
0,2 0,5 1
( ) [ 0,5 ( 0,2 ) 5 ( 0,5 ) 1 2,5 ] ( )nn
Yz
z z z z
y n u n
与上例相同的分析可以得到
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析如果利用长除法求反 Z变换可得 2
32
32
( 7 2 )
()
( 0,2 ) ( 0,5 ) ( 1 )
72
1,7 0,8 0,1
7 9,9 1 1,2
zz
Yz
z z z z
zz
z z z
zz
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.4.3 留数法反 Z变换也可以像拉普拉斯反变换那样利用留数定理来计算,即其中 C是包围 F(z)zk-1的所有极点的闭合积分路径,
它通常是在 z平面的收敛域内以原点为中心的一个圆 。
为证明此式,只要把式中积分函数中的 F(z)展开成幂级数,这样上式的积分即成为
11( ) ( )
2
k
C
f k F z z dzj
(6―13)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
1 1 1
1 2 2
1
( ) [ ( 0) ( 1 ) ( ) ]
( 0) ( 1 ) ( 2 )
()
k m k
CC
k k k
CC
km
C
F z z dz f f z f m z z dz
f z dz f z dz f z dz
f m z dz
由复变函数理论可知,上式中除 m=k的积分项外,
其余各个积分均为零 。 对于 m=k的积分则有
11 2km
mkCCz dz z dz j?
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
1
1
1
1
( ) ( )
2
[ ( ) ]
R e [ ( ) ]
m
k
C
k
m
k
zz
m
f k F z z dz
j
F z z
s F z z
(6―14)
在 C内的留数式中 Res表示极点的留数,zm为 F(z)z k-1的极点 。 如果
F(z) z k-1在 z=zm处有 s阶极点,此时它的留数由下式确定：
1
1
1
1R e [ ( ) ] { [ ( )
( 1 ) !m
s
ks
z z ms
ds F z z z z
s dz
(6―15)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析若只含有一阶极点,即 s=1,此式简化为在利用式 （ 6― 14） ~(6― 16)的时候,应当注意收敛域内的环线所包围的极点的情况,以及对于不同的 n
值,在原点处的极点具有不同的阶次 。
11R e [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
mm
kkz z m z zs F z z z z F z z
(6―16)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 21 设有 Z变换式
,试用留数法进行反 Z变换 。 这里的 f(k)为有始序列 。
解 先求被积函数 F(z)zk-1的极点 。
因为 f(k)为有始序列,所以仅考虑 k≥0时极点的情况：显然其极点在 z=1和 z=-0.5,那么被积函数在这两个极点处的留数分别为
2
2
2 0,5()
0,5 0,5
zzFz
zz
2
11
2
( 2 0.5 ) ( 2 0.5 )()
0.5 0.5 ( 1 ) ( 0.5 )
k
kk z z z zF z z z
z z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析由于这里的 f(k)为有始序列,故
f(k)=［ 1+(-0.5)k］ u(k),与例 6― 16,例 6-18的结果相同 。
1
11
1
0.5 0.5
( 2 0.5 )
R e [ ( ) ] 1
0.5
( 2 0.5 )
R e [ ( ) ] ( 0.5 )
1
k
k
zz
k
kk
zz
zz
s F z z
z
zz
s F z z
z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 22 求的逆变换 x(n),其中 |z|＞ 1。
解 先求被积函数 X(z)zn-1的极点 。
2
2() 1,5 0,5
zXz
zz
21
11()
( 1 ) ( 0.5 ) ( 1 ) ( 0.5 )
n
nn zzX z z z
z z z z
1
1
11
1
1
0.5 0.5
R e [ ( ) ] 1
0.5
R e [ ( ) ] ( 0.5 )
1
n
n
zz
n
nn
zz
z
s F z z
z
z
s F z z
z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 23求的逆变换 。
解 先求被积函数 X(z)z k-1的极点 。
32 21
( ) ( 1 )( 1 ) ( 0,5 )zzX z zz z z
3 2 3 2 2
11( 2 1 ) ( 2 1 )()
( 1 ) ( 0.5 ) ( 1 ) ( 0.5 )
k
kk z z z z zX z z z
z z z z z
因为 X(z)的收敛域为 |z|＞ 1,所以 x(k)必然为因果序列 。 当 k≥2时 X(z)z k-1只含有两个一阶极点,z1=1和
z2=0.5。 此时由式
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析当 k=0时,X(z)zk-1 除含有两个一阶极点 z1=1和
z2=0.5外,还含有一个二阶极点 z3=0。 可以分别求出它们的留数 。
对于二阶极点 z3=0，
3 2 3 2
22
1 0,5
2 1 ( 2 1 )
( ) [ ( ) ] [ ( ]
0.5 ( 1 )
8 13 ( 0.5 ) ( 2 )
kk
zz
k
z z z z
x k z z
zz
k
1 2 1
0
32
21
0
1
R e [ ( ) ] { [ ( 0) ( ) ] }
( 2 1 ) !
21
[]
( 1 ) ( 0,5 )
k
z
z
d
s X z z z F z z
dz
d z z
zz
d z z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析而对于一阶极点，
32
1
0,5 0,52
32
1
112
21
R e [ ( ) ] [ ( 0,5 ) ] 13
( 1 ) ( 0,5 )
21
R e [ ( ) ] [ ( 1 ) ] 8
( 1 ) ( 0,5 )
k
zz
k
zz
zz
s X z z z
z z z
zz
s X z z z
z z z
这样 x(k)=8-13+6=1,(k=0),当 k=1时,X(z)z k-1含有三个一阶极点 z1=1和 z2=0.5,z3=0。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
32
1
11
32
1
0,5 0,5
32
1
00
21
R e [ ( ) ] [ ( 1 ) ] 8
( 1 ) ( 0,5 )
21
R e [ ( ) ] [ ( 0,5 ) ] 6,5
( 1 ) ( 0,5 )
21
R e [ ( ) ] [ ( ) ] 2
( 1 ) ( 0,5 )
k
zz
k
zz
k
zz
zz
s X z z z
z z z
zz
s X z z z
z z z
zz
s X z z z
z z z
这样 x(k)=8-6.5+2=3.5,(k=1)。
综上所述,可以得到 X(z)的逆变换为
10
( ) 3,5 1
8 1 3 0,5 2k
k
x k k
k
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.5 离散时间系统的 Z变换分析法
6.5.1 系统函数从第三章的内容可知,一个线性非时变系统,其输入,输出一定满足如下线性常系数差分方程
00
[ ] [ ]
NM
kk
kk
a y n k b x n k
(6―17)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析把差分方程两边同时进行 Z变换，并利用 Z变换的线性和移序特性可以得到
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
N N N N
k k k k
k k k k
k k k k
a z z b z X z Y z a z X z b z
通常把
0
0
()
()
()
M
k
k
k
N
k
k
k
bz
Yz
Hz
Xz
az
(6―18)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析在 时 域 分 析 一 个 离 散 时 间 系 统 时 也 常 用
y(n)=x(n)*h(n),该式反映了系统的激励与系统响应之间的关系 。 如果把该式两边同时进行 Z变换就得
Z｛ y(n)｝ =Z{x(n)*h(n)} (6―19)
H(z)=Z{h(n)}或 h(n)=Z-1{H(z)} (6― 20)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.5.2 系统函数的计算从式 （ 6― 18） 可以看出,一个满足线性常系数差分方程的系统,其系统函数一定是 z的有理函数 。 在式
（ 6― 18） 中并没有给出系统函数 H(z)的收敛域 。 事实上也确实存在着两种或两种以上的单位响应它们都满足同一个差分方程的情况 。
例 6― 24求由线性常系数差分方程
y(n)+5y(n-1)+6y(n-2)=x(n)-x(n-1)
所描述的离散时间因果系统的系统函数 。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析解 对方程两边同时进行 Z变换有
Y(z)-5z-1 Y(z)+6z-2 Y(z)=X(z)-z-1 X(z)
因此因为该系统是因果系统,其收敛域在最外的极点之外为 |z|＞ 3。
11
1 2 1 1
11()
1 5 6 ( 1 2 ) ( 1 3 )
zzHz
z z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 25 如果将上例差分方程中各项的序号都加 n0，
则其差分方程就变为
y(n+n0)-5y(n+n0-1)+6y(n+n0-2)=x(n+n0)-x(n+n0-1)
试求该方程所描述的离散时间因果系统的系统函数 。
解 方程两边同时进行 Z变换后得到
0 0 0 0 01 2 1( ) 5 ( ) 6 ( ) ( ) ( )n n n n nz Y z z Y z z Y z z X z z X z
所以
00
0 0 0
1 1
12 11
1()
5 6 ( 1 2 ) ( 1 3 )
nn
n n n
z z zHz
z z z z z
收敛域为 |z|＞ 3。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.5.3 系统分析举例这里特别需要指出系统单位响应 h(n)的问题,h(n)
是激励 δ(n)产生的零状态响应； h(n)同时也是系统函数
H(z)的反变换,故可由 H(z)求得 h(n)。
例 6― 26 一离散时间系统的差分方程为解 将
1( ) ( 1 ) ( )
2y n y n x n
1( ) ( 1 ) ( )
2y n y n x n
1
1
( ) ( ) ( )
2
( 1 ) ( ) ( )
2
z
Y z Y z X z
z
Y z X z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
1
( ) 1
()
11()
1
22
1
( ) ( ) ( )
2
n
Y z z
Hz
Xz
zz
h n u n
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 27一离散时间系统的差分方程为
y(n)-3y(n-1)+3y(n-2)-y(n-3)=x(n)
求其单位响应 。
解 方法 1（ 用解齐次方程的方法 ）,
将 y(n)-3y(n-1)+3y(n-2)-y(n-3)=x(n)可以写成
h(n)-3h(n-1)+3h(n-2)-h(n-3)=δ(n)
首先求出差分方程的齐次解,然后再用 δ(n)等效为初始条件,进而求出 h(n)。 齐次解的特征方程为 a3-
3a2+3a-1=0,其解为 a1=a2=a3=1（ 三重根 ）,故齐次解为
h(n)=C1n2+C2n+C3
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析初始条件除 h(0)=δ(0)=1外,其余 h(-1)=h(-2)=0,代入得
h(0)=1=C3
h(-1)=0=C1-C2+C3
H(-2)=0=4C1+2C2+C3
解之得
1 2 3
2
13
,,1
22
13
( ) ( 1 ) ( )
22
C C C
h n n n u n
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.5.4 利用单边 Z变换分析离散系统关于双边 Z变换的分析完全适应于单边 Z变换 。 根据双边反 Z变换有由单边 Z变换的定义可以证明单边 Z变换的位移性质如下：
若 x(n)←→X(z) 则
11( ) ( ) ( )
2
n
C
x n u n X z z d zj
(6―21)
00
0
0
00
1
00
1
00
0
( ) ( ) ( ),0
( ) ( ) ( ),0
nn n
nn
n
nn n
n
x n n z X z z x n z n
x n n z X z z x n z n
(6―22)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 28 初始条件为 的线性常系数差分方程,
y(n)-3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)
若输入信号 x(n)=u(n),求输出的系统时域响应 y(n)。
解对该方程两边同时取单边 Z变换,并利用单边 Z
变换的位移性质可以得到：
Y(z)-3［ z-1 Y(z)+y(-1)］ +2［ z-2 Y(z)+z-1 y(-1)+y(-2)]=X(z)
1( 2 ),( 1 ) 1
2yy
即
1
1 2 1 2
3 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( )()
1 3 2 1 3 2
y z y y X zYz
z z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析由于右边第一项与初始条件和系统特性有关,因此对应于零输入响应,而第二项只与输入和系统特性有关,所以对应于零状态响应 。 代入初始条件及可得
1
1( ) ( )
1X z U z z
1
1 2 1 2
1
1
1 2 1 2
1 1 1 2
1 1 1 2 1
2 2 ( )
()
1 3 2 1 3 2
1
22
1
1 3 2 1 3 2
2 2 1
(
1 2 1 ( 1 )
2 2 1 4
(
1 1 ( 1 ) 1 2
z X z
Yz
z z z z
z
z
z z z z
zzz
z z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析进行反变换以后得到系统响应为
y(n)=2(2)nu(n)+［ -3-n+4(2)n］ u(n)
其中第一部分为零输入响应,第二部分为零状态响应 。 由本例可以看出,运用单边 Z变换求系统响应时的步骤是：
(1)对差分方程两边进行单边 Z变换,并代入初始条件；
(2)解出单边 Z变换 Y(z)；
(3)对 Y(z)进行反变换,即得到时域响应 y(n)。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 29 用 Z变换的方法求解线性差分方程
y(n)+y(n+1)+y(n+2)=u(n)
其中 y(0)=1,y(1)=2。
解 对 y(n)+y(n+1)+y(n+2)=u(n)两边同时进行单边 Z
变换得到代入初始值 y(0)=1,y(1)=2后,上式变形为
21
1
1( ) ( ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( 1 )
1Y z z Y z y z Y z y z y z
21
1
2
2
1
( ) ( ( ) 1 ) ( ( ) 1 2 )
1
( 2 2 )
()
( 1 ) ( 2 1 )
Y z z Y z z Y z z
z
z z z
Yz
z z z
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析 22
33
2
2 2 2 2
3 3 3 3
2
11 2
2 2
3
2
3
22
33
2
3
( ) 2 2
1
( 1 ) ( ) ( )
( ) 2 2 1
[ ( 1 ) ]
13
( ) 2 2
[ ( ) ] [ ]
( 1 ) ( )
22
2
( 1 ) 2 s in
3
jj
j j j j
zz
j
j
z e z e
jj
j
Y z z z A B C
zz
z z e z e z e z e
Y z z z
Az
z z z
Y z z z
B z e
z
z z e
ee
ej
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析 22
33
2 2
3
2
3
42
33
2
3
( ) 2 2
[ ( ) ] [ ]
( 1 ) ( )
22
2
( 1 ) ( 2 s i n )
3
jj
j
j
z e z e
jj
j
Y z z z
C z e
z
z z e
ee
ej
22
33( ) [ ] ( )
1 2 2 4 3 2
( ) [ c o s si n ] ( )
3 3 3 3 3
jj
y n A Be C e u n
y n n u n
这样 Y(z)的逆变换为代入 A,B,C的值，经化简得
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析例 6― 30 已知由差分方程所描述的增量线性系统的初始条件为 y(-2)=1,y(-
1)=1,系统的输入激励为 x(n)=(-1)nu(n),求系统响应 y(n)。
11( ) ( 1 ) ( 2 ) ( ) ( 1 )
22y n y n y n x n x n
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析解 对两边同时进行单边 Z变换,有
11( ) ( 1 ) ( 2 ) ( ) ( 1 )
22y n y n y n x n x n
12
1
11
( ) ( ( ) ( 1 )) ( ( ) ( 1 ) ( 2))
22
( ) ( ) ( 1 )
Y z z Y z y z Y z y y
X z z X z x
代入初始条件后得
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
1
1 2 1 2
1
12
1
1
1
1
1
2
()
1 1 1 1
11
2 2 2 2
1
2
2
11
1
22
51
33
11
1
2
z
Yz
z z z z
z
zz
z
z
对 Y(z)进行反变换,即得到时域响应 y(n)为
5 1 1( ) [ ( ) ] ( )
3 3 2
ny n u n
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.6 数字滤波器的概念在 3.2中曾经指出,在离散时间系统的输入和输出处分别加上模 —数转换器和数 —模转换器等接口,就可以把模拟信号转变成数字信号,以便利用计算机这一有效手段来进行处理 。 数字滤波器的应用就是这种信号处理的典型例子 。 包含数字滤波器及上述接口的混合系统的示意图如图 6.11所示 。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.11 包含数字滤波器的混合系统
A / D F DH ( z ) D / Ax ( k ) y ( k )模拟信号 x ( t ) 模拟信号 y ( t )输入 输出
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.6.1 数字滤波器的实现首先假设数字滤波器的转移函数 H(z)为已知,要求实现这种滤波器 。 至于如何求得 H(z),留到下面再讨论 。
一个离散时间系统如数字滤波器,当其转移函数已知时,就很容易写出它的差分方程来,两者的一般对应关系如式 （ 6― 17） 和式 （ 6― 18） 所示 。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析所谓级联实现,是指由差分方程直接作出框图
（ 有些书籍中把这种实现方式称为直接实现 ） 。 这种实现方式在第一章中讨论过,这里不再重复 。
并联实现形式是将转移函数 H(z)分解为若干个一级或二级的简单转移函数或者还可能有一常数等项之和,
即
H(z)=H0(z)+H1(z)+H2(z)+…+Hr(z)
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析分解方法并不是唯一的,通常总是用代数方法把
H(z)展开为部分分式 。 与上式相对应的方框图如图 6.12
所示,其中除常数乘法器 H0外,其余每一个方框都是一个一阶的或二阶的子系统 。 这些系统都可以表示为简单的模拟框图 。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析图 6.12 并联实现形式
H
0
H
1
( z )
H
2
( z )
H
r
( z )
…
…
∑ y ( k )x ( k )
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析串联实现形式是将转移函数 H(z)分解为若干个一阶或二阶的简单转移函数的乘积，即
H(z)=bmH1(z)H2(z)…Hr(z)
其中,bm是式 （ 6― 18） 中分子多项式最高次项的系数 。 与此式相对应的方框图示于图 6.13,除常数乘数器
bm之外,其余各方框也都可用一阶或二阶的模拟图来表示 。
图 6.13 串联实现形式
H 1 ( z ) H 2 ( z ) H r ( z )…b mx ( k )
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析这里还要指出的是,在数字滤波器的差分方程,
y(k+n)+a n-1 y(k+n-1)+…+a0y(k)
=bmx(k+m)+b m-1 x(k+m-1)+…+b0x(k)
中,若同时包含有 ai及 bi项,则此滤波器称为递推滤波器 。 若从 an-1到 a0的诸系数 ai均为零,则此滤波器称为非递推滤波器,后者是前者的一种特殊情况 。
,信号与线性系统,
第 6章 离散时间体统 z域分析
6.6.2数字滤波器系统函数的确定由上面所述可知,只要给定了数字滤波器的系统函数,滤波器的实现问题就不难解决,所以主要的问题在于怎样去确定系统函数 。 滤波器的设计任务就是根据滤波要求去确定系统函数或差分方程的诸系数 ai及
bi,一旦这些系数确定了,系统函数就随之确定,滤波器也即可实现 。
