,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析第 7章 系统的状态变量分析
7.1 状态变量与状态方程
7.2 连续时间系统状态方程的建立
7.3 离散时间系统状态方程的建立
7.4 连续时间系统状态方程的求解
7.5 离散时间系统状态方程的求解
7.6 系统的可控制性与可观测性
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.1 状态变量与状态方程
7.1.1 系统用状态变量描述的基本术语
1,状态状态可理解为事物的某种特征 。 状态发生了变化就意味着事物有了发展和变化,所以状态是划分阶段的依据 。 系统的状态就是指系统的过去,现在和将来的状况 。
当系统的所有外部输入已知时,为确定系统未来运动,
必要与充分的信息的集合叫做系统的状态 。 状态通常可以用一个数 （ 变量 ） 或一组数来描述 。
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第 7章 系统的状态变量分析
2,状态变量状态变量是指一组最少的变量,若已知它们在 t0时的数值,则连同所有在 t≥t0时的输入就能确定在 t≥t0时系统中的任何运动状态 。 需要指出的是,通常系统中这样一组变量并不一定是唯一的 。
3,状态向量将 n阶系统中的 n个状态变量 λ1(t),λ2(t),…,λn(t)，
排成一个 n× 1阶的列矩阵 λ(t),即
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析此列矩阵 λ(t)即称为 n维状态向量,简称状态向量 。
由状态变量的定义可知,当 λ(t0)及系统的输入给定时,
λ(t)便可唯一的被确定 。
4,初始状态状态变量在某一时刻 t0的值称为系统在 t0时刻的状态 。 即
λ(t)=［ λ1(t0)λ2(t0)…λn(t0)］ T
1
2
12
()
()
( ) [ ( ) ( ) ( )]
()
T
n
n
t
t
t t t t
t
(7―1)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析状态变量在 t0=0－时刻的值称为系统的初始状态或起始状态 。 即
λ(0-)=［ λ1(0-)λ2(0-)…λn(0-)］ T
5,状态空间以 n个状态变量为坐标轴而构成的 n维空间称为状态空间,或者说安放状态向量的空间即称为状态空间 。
状态向量在状态空间 n个坐标轴上的投影即相应为 n个状态变量 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
6,状态轨迹在描述一个动态系统的状态空间中,状态向量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状态轨迹 。
一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系统的内部结构,
还与系统的输入有关,因此,系统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作用下系统内部的动态过程 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.1.2 系统的状态变量描述
1,状态方程对于一个有 m个输入 f1(t),f2(t),…,fm(t),L个输出
y1(t),y2(t),…,yL(t)的连续时间系统 (如图 7.1所示 ),假设能充分描述该系统的 n个状态变量为 λ1(t)λ2(t),…，
λn(t)，则每个状态变量在任何时刻 t的一阶导数可表示为该时刻的 n个状态变量和 m个输入的一个函数，即
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1
2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
n n m m
n n m m
n n n n n n n n n m m
a a a b f b f b f
a a a b f b f b f
a a a b f b f b f
(7―2)
图 7.1 多输入 ― 输出连续时间系统
{?
i
( t
0
)}… …
f 1 ( t )
f 2 ( t )
f
m
( t )
y 1 ( t )
y 2 ( t )
y
L
( t )
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析系统的状态方程也可以用矢量矩阵的形式来表示,即
11
11 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3
2 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 3 2
3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3 3
nn
fa a a b b b
a a a b b b f
a a a b b b f
(7―3)
上式可简记为
( ) ( ) ( )t A t B f t (7―4)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
2,输出方程同样,对于系统的 L个输出 y1(t),y2(t),…,yL(t)，
也可以用 n个状态变量和 m个输入的函数来表示,其矩阵形式可写为
1 1 111 12 13 11 12 13
2 21 22 23 2 21 22 23 2
31 32 33 31 32 333 3 3
yfa a a b b b
y a a a b b b f
a a a b b b
(7―5)
( ) ( ) ( )y t C t D f t (7― 6)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析图 7.2 多输入 ― 输出离散时间系统
{?
i
( k
0
)}… …
f
1
( k )
f
2
( k )
f
m
( k )
y
1
( k )
y
2
( k )
y
L
( k )
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析设有 n阶多输入 ― 输出离散系统如图 7.2所示 。 它的 m个输入为 f1(k),f2(k),…,fm(k),其 L个输出为 y1(k)，
y2(k),…,yL(k),系统的状态变量为 λ1(k),λ2(k),…，
λn(k)。 则其状态方程和输出方程可写为
λ(k+1)=Aλ(k)+Bf(k) (7― 7)
y(k)=Cλ(k)+Df(k) (7― 8)
其中
λ(k)=［ λ1(k),λ2(k),…,λn(k)］ T
f(k)=［ f1(k),f2(k),…,fm(k)］ T
y(k)=［ y1(k),y2(k),…,yL(k)］ T
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
3,状态变量分析法以状态变量为独立完备变量,以状态方程和输出方程为研究对象,对多输入多输出系统进行分析的方法,称为状态变量分析法,也称状态空间法 。 该方法的基本步骤是：
(1)选取一组独立的,完备的状态变量；
(2)列写系统的状态方程,并将其写成标准的矩阵形式；
(3)求解该状态方程,得到状态向量 λ(t)或 λ(k)；
(4)列写标准形式的输出方程,并将所求得的状态向量
λ(t)或 λ(k)代入其中,即得到输出向量 y(t)或 y(k)。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
4,状态变量的选取用状态变量描述系统的关键是选择状态变量 。 一般来说,能充分描述因果动态系统的一组状态变量的选择并不是唯一的 。 但只要状态变量的个数是充分的,
选择不同的状态变量来描述系统都是充分的 。 因此,
如何选择合适的状态变量,主要是看其是否方便于状态方程和输出方程的编写,以及初始状态向量是否容易确定 。
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第 7章 系统的状态变量分析
5,状态方程的建立通常,动态系统 （ 包括连续的和离散的 ） 的状态方程和输出方程可以根据描述系统的输入输出方程
（ 微分或差分方程 ）,系统函数,系统的模拟框图或信号流图等列出 。 对于电路,则可以根据电路图直接列出 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.2 连续时间系统状态方程的建立
7.2.1 根据电路图列写状态方程对于纯正电路,其状态方程直观列写的一般步骤是：
（ 1） 选所有独立电容电压和独立电感电流作为状态变量；
（ 2） 为保证所列出的状态方程等号左端只为一个状态变量的一阶导数,必须对每一个独立电容写出只含此独立电容电压一阶导数在内的节点 （ 割集 ） KCL方程,
对每一个独立电感写出只含此电感电流一阶导数在内的回路 KVL方程；
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
（ 3） 若第 （ 2） 步所列出 KCL,KVL方程中含有非状态变量,则利用适当的节点 KCL方程和回路 KVL方程,将非状态变量消去；
（ 4） 将列出的状态方程整理成式 （ 7― 3） 的矩阵标准形式 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析例 7― 1 写出图 7.3所示电路的状态方程,若以电流
iC和电压 u为输出,列出输出方程 。
图 7.3 例 7―1 图
＋
－
＋ －
u
S
u
C
i
C
i
S
i
L3
i
L2
L
2
L
3
( i
S
＋ i
L3
)
R
Ｃ
＋
－
① ② ③
④
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析解该系统中有三个独立动态元件,故需三个状态变量 。 选取电容电压 uC和电感电流 iL2,iL3为状态变量 。
对接有电容 C的节点②运用 KCL可得选包含 L2的回路 L2－ uS－ C以及包含 L3的回路 L3
－ R－ uS－ C，运用 KVL可得两个独立电压方程
23CC L Li C u i i
(7―9)
22
3 3 3()
S C L
S C L S L
u u L i
u u L i R i i
(7―10)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析将式（ 7―9 ）和式（ 7―10 ）稍加整理，即可得到状态方程 23
2
22
2
3
3 3 3 3
11
11
11
C
LL
L
CS
L
C L S S
u i i
CC
i u u
LL
RR
i u i u i
L L L L
(7―11)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析写成标准矩阵形式为
22
22
33
3 3 3 3
11
0
00
11
0 0 0
11
0
CC
S
LL
S
LL
uu CC
u
ii
iLL
ii RR
L L L L
(7―12)
输出方程为
23
3
C L L
SL
i i i
u R i R i
(7―13)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析写成标准矩阵形式为
2
3
0 1 1 00
000
C
SC
L
S
L
u
ui
i
Riu R
i
(7―14)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.2.2 由系统的模拟框图或信号流图建立状态方程由系统的模拟框图或信号流图建立状态方程是一种比较直观和简单的方法,其一般规则是：
(1）选积分器的输出（或微分器的输入）作为状态变量。
（ 2） 围绕加法器列写状态方程或输出方程 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析图 7.4 状态变量的选择
∫ )( ti?)( t
i
)( s
i
)( ss
i
s
－ 1
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析例 7― 2 已知一个三阶连续系统的模拟框图如图 7.5
所示,试建立其状态方程和输出方程 。
图 7.5 例 7― 2系统的模拟框图
∫∑ ∫ ∫ ∑
＋
b
1
b
2
b
0
a
0
a
1
a
2
3
2
1
－ － －
3
2
1
＋ ＋
＋
f ( t ) y ( t )
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析解 选择各积分器的输出为状态变量,从右边到左边依次取为 λ1(t),λ2(t)和 λ3(t),如图所示 。 根据各积分器输入 ― 输出和加法器的关系,可写出状态方程为 1 2
2
3
3
0 1 1 2 2 3
0 1 1 2 2 3
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
tt
tt
t a t a t a t f t
y t b t b t b t
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析对于例 7― 2,对应的信号流图如图 7.6所示,虽然模拟框图是系统的时域描述,信号流图是系统的 s域描述,二者的含义不同,但是,若撇开它们的具体含义,
而只把 s-1看作是积分器的符号,那么从图的角度而言,
它们并没有原则上的区别 。 因此,只要选择了 s-1的输出端状态变量即可写出状态方程 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析图 7.6 例 7―2 对应的信号流图
s
－ 1
s
－ 1
s
－ 1
1 b
0
3
2
1
3
2
1
f y
b
1
b
2
－ a
0
－ a
1
－ a
2
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.2.3 由微分方程或系统函数建立状态方程若已知系统的微分方程,为了更具一般性,设其分子,分母多项式中 s的最高幂次相同 （ 即取 m=n的一般情况 ）,为
（ p3+a2p2+a1p+a0） y(t)=（ b3p3+b2p2+b1p+b0） f(t)
则进而可写出系统函数为
32
3 2 1 0
32
2 1 0
() b s b s b s bHs
s a s a s a
(7―15)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析设 H(s)的分子与分母无公因子相消,则可根据系统的微分方程或 H(s),画出直接形式,并联形式,级联形式的模拟框图或信号流图,然后再从模拟框图或信号流图建立系统的状态方程 。
1,直接模拟法 ——相变量取积分器的输出信号为状态变量,则状态方程为
11
22
0 1 2
33
( ) ( )
0 1 0 0
( ) 0 0 1 ( ) 0 [ ( )]
1
( ) ( )
tt
t t f t
a a a
tt
(7―16)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析输出方程为
1
0 3 0 1 3 1 2 3 2 2 3
3
()
[ ( )] [ ] ( ) [ ][ ( )]
()
t
y t b b a b b a b b a t b f t
t
(7―17) 当 m＜ n时,例如,
(1) 若 b3=0,则
1
0 1 2 2
3
()
[ ( )] [ ] ( ) [ 0][ ( )]
()
t
y t b b b t f t
t
1
0 1 2
3
()
[ ( ) ] [ 0] ( )
()
t
y t b b t
t
(2) 若 b3=b2=0,则
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
(3) 若 b3=b2=b1=0,则
1
02
3
()
[ ( ) ] [ 0 0] ( )
()
t
y t b t
t
2,并联模拟 ——对角线变量设系统函数 H(s)的极点为单实极点 p1,p2,p3，
则可将 H(s)展开为
1
0
1 2 3
() K K KH s H s p s p s p
(7―18)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析其中,H0=bn/an,即 H0=b3。 取积分器的输出信号为状态变量,则状态方程为
1 11
2 2 2
3 33
() ()0 0 1
( ) 0 0 ( ) 1 [ ( ) ]
0 0 1()()
t tp
t p t f t
p tt
(7―19)
输出方程为
1
1 2 3 2 3
3
()
[ ( )] [ ] ( ) [ ][ ( )]
()
t
y t K K K t b f t
t
(7―20)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
1
1 2 3 2 3
3
()
[ ( )] [ ] ( ) [ ][ ( )]
()
t
y t K K K t b f t
t
当 m＜ n时,b3一定为 0，则输出方程变为
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
3.级联模拟设系统的零点和极点分别为 z1,z2,z3和 p1,p2,p3，
则系统函数 H(s)可写成其中,H0=b3,则状态方程为
1 1 1
1 2 3
0 1 1 1
1 2 3
1 1 1()
1 1 1
z s z s z sH s H
p s p s p s
(7―21)
1 11
2 1 1 2 2
1 1 2 2 3 33
() ()0 0 1
( ) 0 ( ) 1 [ ( ) ]
1()()
t tp
t p z p t f t
p z p z p tt
(7―22)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析输出方程为
1
1 1 2 2 3 3 2 3
3
() 1
( ) [ ] ( ) 1 [ ] [ ( ) ]
1()
t
y t p z p z p z t b f t
t
(7―23)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析例 7― 3 已知一个二阶微分方程式试写出其状态方程和输出方程 。
解 令 y(t)和 y′(t)为系统的状态变量,即则由原微分方程式可得到系统的状态方程为
2
2 3 2 ( ) 2 ( )
d y d y y t f t
d t d t
12( ) ( ),( ) ( )t y t t y t
12
2 1 2
( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 3 ( )
tt
t y t f t t t
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析系统的输出方程为 y(t)=λ1(t),写成矩阵形式为
11
22
1
2
( ) ( )0 1 0
[ ( ) ]
2 3 ( ) 2()
()
[ ( ) ] [ 1 0]
()
tt
ft
tt
t
yt
t
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析例 7― 4 已知,
试列写出与直接模拟,并联模拟,级联模拟相对应的状态方程与输出方程 。
解 均以积分器的输出信号为状态变量 。
（ 1） 直接模拟
2
3 1 0()
7 1 2
sHs
ss
11
22
1
2
( ) ( )0 1 0
[ ( ) ]
12 7 ( ) 1()
()
[ ( ) ] [ 10 3 ]
()
tt
ft
tt
t
yt
t
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
（ 2） 并联模拟
H(s)可写成如下形式,即
12()
34Hs ss
所以状态方程与输出方程为
11
22
1
2
( ) ( )3 0 1
[ ( ) ]
0 4 ( ) 1()
()
[ ( ) ] [ 1 2 ] [ 0] [ ( ) ]
()
tt
ft
tt
t
y t f t
t
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
（ 3） 级联模拟
H(s)可写成如下形式,即
1 0 / 3 3()
43
sHs
ss
图 7.7 级联系统框图
∫∑ ∑ ∫
2? 1 21
f ( t ) y ( t )
3
－ 3－ 4 3
10
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
11
2 1 2 1 1 2
11
2
2
1
2
( ) 4 ( ) ( )
10 2
( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( )
33
40
( ) ( ) 1
[ ( ) ]2
( ) 13()
3
()
[ ( ) ] [ 0 3 ]
()
t t f t
t t t t t t f t
tt
ft
tt
t
ft
t
输出方程为 y(t)=3λ2(t),即
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.3 离散时间系统状态方程的建立
7.3.1 由系统框图或信号流图建立状态方程离散系统状态方程的建立与连续系统相类似,也可利用框图或信号流图列出 。 由于离散系统状态方程是
λi(k+1)与各状态变量和输入的关系,因此选各延迟单元
D（ 对应于支路 z-1） 的输出端信号为状态变量 λi(k),那么其输入端信号就是 λi(k+1),这样,根据系统的框图或信号流图就可列出该系统的状态方程和输出方程 。 例
7― 5一个二输入二输出的离散系统框图如图 7.8所示,试写出其状态方程和输出方程 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析图 7.8 二输入二输出离散系统框图
D∑f
1
( k ) y
1
( k )∑
1
( t )
D∑f
2
( k ) y
2
( k )∑
2
( t )
a
1
a
2
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析解 选延迟单元的输出端信号 λ1(k),λ2(k)为状态变量,如图所示 。 由左端加法器可列出状态方程
λ1(k+1)=a1λ1(k)+f1(k)
λ2(k+1)=a2λ2(k)+f2(k)
由右端加法器可列出输出方程为
y1(k)=λ1(k)+f2(k)
y2(k)=λ2(k)+f1(k)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析写成矩阵表达式为
1 1 11
22 2 2
1 1 1
2 2 2
( 1 ) ( ) ( )0 10
0( 1 ) ( ) 0 1 ( )
( ) ( ) ( )1 0 0 0
( ) 0 1 ( ) 1 0 ( )
k t f ka
ak t f k
y k t f k
y k t f k
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.3.2 由差分方程或系统函数建立状态方程若已知系统的差分方程,可先由系统的差分方程求出系统函数 H（ z）,然后由 H（ z） 画出系统的框图,再从框图建立系统的状态方程 。
例 7― 6描述某离散系统的差分方程为
y(k)+2y(k-1)-3y(k-2)+4y(k-3)=f(k-1)+2f(k-2)-3f(k-3)
试写出其状态方程和输出方程 。
解通过差分方程,我们不难得到该系统的系统函数
1 2 3
1 2 3
23()
1 2 3 4
z z zHz
z z z
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析根据 H(z)，可画出如图 7.9所示的直接形式的 k域系统框图和 z域信号流图。
选延迟单元 D（ 相应于 z-1） 的输出信号为状态变量
（ 如图 7.9所示 ）,可列出状态方程和输出方程为
λ1(k+1)=λ2(k)
λ2(k+1)=λ3(k)
λ3(k+1)=-4λ1(k)+3λ2(k)-2λ3(k)+f(k)
y(k)=-3λ1(k)+2λ2(k)+λ3(k)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析图 7.9
(a)k域框图； (b)z域信号流图
∑ ∑
3
( k )
f ( k ) y ( k )
2
( k )?
1
( k )
－ 2
－ 4
3
－ 3
1
2
3
( k ＋ 1 )?
2
( k ＋ 1 )
1
( k ＋ 1 )
D D D
( a )
1 z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
2
－ 3－ 2
3
－ 4
1
F ( z ) Y ( z )
( b )
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析将它们写成矩阵表达式为
11
22
33
1
2
3
( 1 ) ( )0 1 0 0
( 1 ) 0 0 1 ( ) 0 [ ( ) ]
4 3 2 1( 1 ) ( )
()
( ) [ 3 2 1 ] ( )
()
kk
k k f k
kk
k
y k k
k
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.4 连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程和输出方程的一般形式为
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t A t B f t
y t C t D f t
(7― 24)
(7―25)
当给定初始状态
12( 0 ) [ ( 0 ),( 0 ),,( 0 ) ] Tn
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.4.1 时域解法对于 LTI系统,状态方程实际上是一组常系数一阶线性微分方程 。 定义矩阵指数
22
0
()
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A t k k k k
k
A t A t k k
k
e I A t A t A t A t
kk
e e A t
k
(7―26)
(7―27)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析将式 （ 7― 24） 两边同乘以 e-At并移项,有
0
0
1
( ) ( ) ( )
1
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( ) ( )
( ) ( )
[ ( ) ] ( )
( ) ( 0 ) ( ); ( )
At At At
At k k At At
k
At
At At
At At
t
At At
At At At At
e t e A t e B f t
dd
e A t A e e A
d t d t k
d t d e
e t e B f t
d t d t
d
e t e B f t
dt
e t e B f d
e e I e e
(7― 28)
(7―29)
(7―30)
(7―31)
(7― 32)
(7― 33)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析将式 （ 7― 32） 两边同乘以 eAt,则可写为可见,状态变量由只与初始状态有关的零输入解和只与输入有关的零状态解两部分组成 。 将上式结果代入式 （ 7― 25）,得到系统输出方程的解
()
0( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( )
tA t A t A t A tt e e B f d e e a B f t
(7―34)
( ) ( 0 ) ( ) ( )
( 0 ) [ ( ) ( )]
A t A t
A t A t
y t C e C e B f t D f t
C e C e B f t D f t
(7―35)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析由于输入函数 f(t)的各分量 fi(t)与单位冲激函数 δ(t)
的卷积是该函数本身,即
δ(t)*fi(t)=fi(t)
若定义一个对角方阵 δ(t),称为单位冲激矩阵,令
( ) 0 0
( ) 0 ( ) 0
0 0 ( )
t
tt
t
(7―38)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析则显然有
δ(t)*f(t)=f(t) (7― 39)
于是，式（ 7―35 ）可写为
( ) ( 0 ) [ ( ) ( ) ( )]
( ) ( 0 ) [ ( ) ( )] ( )
A t A ty t C e C e B f t D t f t
C t C t B D t f t
(7―40)
当输入 f(t)=δ(t)时,则零状态响应即为系统的冲激响应,即
h(t)=CΦ(t)B+Dδ(t) (7― 41)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析例 7― 7 已知某二阶系统的状态方程为并且当求该系统的状态转移矩阵 Φ(t)和系统矩阵 A。
解 由式 （ 7― 34） 知,状态向量的零输入解
( ) ( )t A t
11( 0 ) ( ) ( 0 ) ( )
10 0
t t
t
e ett
e
1
( ) ( ) ( 0)
11
( ) ; ( )
100
11
()
100
11
()
1000
t t
t
tt
t
t t t t t
tt
tt
e e
tt
e
ee
t
e
e e e e e
t
ee
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析由于 Φ(t)=eAt,根据矩阵指数的性质
111
()
1000
t t t t t
tt
e e e e et
ee
0
0
()
()
12
010
At At
t
t t t
tt
d t d
e Ae
dt dt
dt
A
dt
e e ed
A
dt e
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.4.2 变换域解法对式 （ 7― 24） 两边取拉普拉斯变换,得
sλ(s)-λ(0-)=Aλ(s)+BF(s) (7― 42)
即
(sI-A)λ(s)=λ(0-)+BF(s)
两边同乘以 ［ sI－ A］ -1,得
λ(s)=［ sI-A］ -1λ(0-)+［ sI-A］ -1 BF(s) (7― 43)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析对式 （ 7― 43） 第一项取拉氏反变换,并与式
（ 7― 36） 零输入解进行比较,得
Φ(t)λ(0-)=L-1｛［ sI-A］ -1λ(0-)}
由于 λ(0-)是常数矩阵,于是有
Φ(t)=eAt=L-1｛［ sI-A］ -1｝ (7― 44)
为了方便,定义
Φ(s)=L［ Φ(t)］ =［ sI-A］ -1 (7― 45)
称为状态预解矩阵 。 于是,式 （ 7― 43） 可写为
λ(s)=Φ(s)λ(0-)+Φ(s)BF(s) (7― 46)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析对其取反变换即得到时域解式 （ 7― 36）
λ(t)=Φ(t)λ(0-)+L-1［ Φ(s)BF(s)］ (7 ― 47)
另外,在时域法中,我们也常利用式 （ 7― 44） 来求解状态转移矩阵 Φ(t)。
同样,对式 （ 7― 25） 两边取拉氏变换得
Y(s)=Cλ(s)+DF(s) （ 7― 48）
将式 （ 7― 46） 代入并整理得
Y(s)=CΦ(s)λ(0-)+［ CΦ(s)B+D］ F(s) (7― 49)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析对其取反变换,得
Y(t)=CL-1［ Φ(s)］ λ(0-)+L-1｛［ CΦ(s)B+DF(s)} (7― 50)
定义
H(s)=CΦ(s)B+D （ 7― 51）
称为系统的转移 （ 传输 ） 函数矩阵 。 并且有
h(t)=L-1［ H(s)］
即,冲激响应矩阵 h(t)与系统转移函数矩阵 H(s)是一对拉氏反变换 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析系统的转移 （ 传输 ） 函数矩阵
11 12 13
21 22 23
31 32 33
()
H H H
H s H H H
H H H
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析在前面也曾指出,如果系统函数 H(s)在 jω轴上收敛,
则系统的频率响应 H(jω)=H(s)|s=jω。 当用状态变量法分析系统时,如果 H(s)的所有元素均在 jω轴上收敛,则系统的频率响应矩阵
1( ) ( ) [ ]sjH j H s C j I A B D
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.5 离散时间系统状态方程的求解离散系统状态方程的求解与连续系统状态方程的求解相似 。 设离散系统的状态方程与输出方程的一般形式如下
λ(k+1)=Aλ(k)+Bf(k) （ 7― 53）
y(k)=Cλ(k)+Df(k) （ 7― 54）
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析由于式 （ 7― 53） 是一组差分方程,在给定系统的初始状态 λ(k0)后,可直接用迭代法或递推法来求解,
这也是离散系统能方便地利用计算机进行求解的优点 。
一般来说,采用递推法难以获得闭合形式的解,因而常用迭代法来解状态方程 。
由式（ 7―53 ）有
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
λ(k0+1)=Aλ(k0)+Bf (k0)
λ(k0+2)=Aλ(k0+1)+Bf (k0+1)
= A2λ(k0)+ABf(k0)+Bf(k0+1)
λ(k0+k)=Aλ(k0+k-1)+Bf(k0+k-1)
1
1
0
0
1
0
( ) ( )
( ) [ ] ( )
k
k k i
i
kk
A k A B f i
A k A B f k
(7― 55)
若初始时刻 k0=0,则有
1[ ] ( 0 ) [ ] ( ) ( 0 )kkk A A B f k k(7―56)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析将式（ 7―56 ）代入系统的输出方程式（ 7―54 ）得：
矩阵 Ak称为离散系统的状态转移矩阵,用 Φ(k)来表示,即
Φ(k)=Ak（ k≥0） (7― 58)
则
λ(k)=Φ(k)λ(0)+Φ(k-1)B*f(k) (7― 59)
y(k)=CΦ(k)λ(0)+CΦ(k-1)B*f(k)+Df(k) (7― 60)
1
1
0
1
( ) ( 0) ( ) ( )
( 0) ( ) ( )
k
k k i
i
kk
y k C A C A Bf i Df k
C A C A B f k Df k
(7―57)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析同样,若定义一个对角方阵 δ(k),称为单位序列函数矩阵,令
( ) 0 0
( ) 0 ( ) 0
0 0 ( )
k
kk
k
(7―61)
显然有
δ(k)*f(k)=f(k) (7― 62)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析于是,式 （ 7― 60） 可写为
y(k)=CΦ(k)λ(0)+CΦ(k-1) B*f(k)+Dδ(k)*f(k)
=CΦ(k)λ(0)+［ CΦ(k-1)B+Dδ(k)］ *f(k)
=CΦ(k)λ(0)+h(k)*f(k) (7― 63)
其中 h(k)称为单位序列响应矩阵,有
h(k)=CΦ(k-1)B+Dδ(k) (7― 64)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析对式 （ 7― 53）,（ 7― 54） 两边取 Z变换,得
zλ(z)-zλ(0)=Aλ(z)+BF (z) (7― 65)
y(z)=Cλ(z)+DF(z) (7― 66)
经整理得
λ(z)=［ zI－ A］ -1 zλ(0)+［ zI-A］ -1 BF(z) (7― 67)
y(z)=C［ zI-A］ -1 zλ(0)+{C［ zI-A］ -1 B+D}F(z) (7― 68)
定义
H(z)=C［ zI－ A］ -1 B+D (7― 69)
Z［ h(k)］ =H(z) (7― 70)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析对式 （ 7― 67）,（ 7― 68） 取反变换即得到离散系统状态方程与输出方程的解
λ(k)=Z-1｛［ zI-A］ -1 z｝ λ(0)+Z-1
｛［ zI-A］ -1 B｝ *Z-1［ F(z)］ (7― 71)
y(k)=Z-1｛ C［ zI-A］ -1 z｝ λ(0)+Z-1
｛ C［ zI-A］ -1 B+D｝ *Z-1［ F(z) ］ (7― 72)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析将上式与式 （ 7― 56）,（ 7― 57） 进行比较,可得状态转移矩阵
Φ(k)=Ak=Z-1｛［ zI-A］ -1 z｝ (7― 73)
这里也为我们提供了一种求状态转移矩阵 Φ(k)的方法,为了方便,我们定义
Φ(z)=Z［ Φ(k)］ =［ zI-A］ -1 z (7― 74)
称为状态预解矩阵 。 于是,式 （ 7― 67）,（ 7― 68）
可写为
λ(z)=Φ(z)λ(0)+Z-1Φ(z)BF(z) (7― 75)
y(z)=CΦ(z)λ(0)+H(z)F (z) (7― 76)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析例 7― 9已知某离散系统的状态方程与输出方程为
11
22
11
22
11
( 1 ) ( ) 124
[ ( ) ]
( 1 ) 1 ( ) 0
1
2
( ) ( )1 0 1
[ ( ) ]
( ) 0 1 ( ) 1
kk
fk
kk
y k k
fk
y k k
初始状态,激励 f(k)=u(k)。试求其状态转移矩阵 Ak、状态向量 λ(k)、输出向量 y(k),z域转移函数矩阵 H(z)以及单位序列响应矩阵 h(k)。
1
2
( 0 ) 1
( 0 ) 1
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析解 由以上方程知,系统矩阵
11
24
1
1
2
A
于是得
1
1
11
24
( ) [ ]
1
1
2
11
24
1( 1 )
1
2
11
24
11
1
1
2
11
z
z zI A z z
z
z
z
zz
z
z
zz
z
zz
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析取其反变换得
1
11
( ) ( 1 ) ( 1 )
24[ ( ) ]
1
( 1 ) ( ) ( 1 )
2
k
k u k k
A Z z
u k k u k
由式 （ 7― 75）,得
λ(z)=Φ(z)λ(0)+Z-1Φ(z)BF(z)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
2
2
11
11
24
24
11( 1 ) ( 1 )
11
1 1 1 0 1
11
22
1 1 ( 1 ) ( 1 )
1
1
4
2
1
( 1 )
1
1
2
( 1 )
1
z
z
z z z z z
zz
z
zz
z z z z z z
z
z
z
z
z
z
z
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析对 λ(z)取反变换,得
3
1( ) ( 1 )
( ) ( 1 ) ( 1 )4
() 2
3
( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 )
2
k u k
k u k k u k
k
k u kk u k
y(z)=CΦ(z)λ(0)+H(z)F (z)
故先求 H(z),得
H(z)=C［ zI-A］ -1 B+D
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
2
2
2
2
1
11
2
22
1
( 1 )
1
111
1
1( 1 )
11
1
24
2
1 0 1
11
( 1 )
()
0 1 1 1 1
1
1
2
( 1 )
11
1
4
1
1
2
1
z
zz
zz
zz
zzzz
z
z
zzz
zz
yz
z
z zz
zz
zz
z
z
z
z
2
2
2
2
1
2
( 1 )
1
( 1 )
z
z
zz
z
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析于是，可得
3
2( ) ( 1 )
( ) 2 ( ) ( 1 ) ( 1 )4
() 3
3
( ) ( )( ) ( 1 )
2
k u k
k k u k k u k
yk
k k u kk u k
单位序列响应矩阵为
1
2( ) 2 ( ) ( 1 ) ( 1 )
( ) [ ( ) ] 3
( ) ( )
k k u k k u k
h k Z H z
k k u k
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析如果系统函数 H(z)在单位圆上收敛,则系统的频率特性为
（ θ=ωTs） H(e jθ)=H(z)|z=jθ (7― 77)
当用状态变量法分析系统时,如果 H(z)的所有元素均在单位圆上收敛,则系统的频率特性矩阵
H(e jθ)=H(z)|z=jθ=C［ e jθI-A]-1 B+D (7― 78)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.6 系统的可控制性与可观测性
1,系统的可控制性当系统用状态方程描述时,若存在一个输入向量
f(t)（ 或 f(k)）,也称其为控制向量,在有限的时间区间 （ 0,t1） （ 或 （ 0,k1）） 内,能把系统的全部状态,
从初始状态 λ(0)引向状态空间的坐标原点 （ 即零状态 ）,
则称系统是完全可控的,简称可控的；若只能对部分状态变量做到这一点,则称系统不完全可控 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析更一般的，对于一个 n阶系统，我们将其系统矩阵
A与控制矩阵 B组成矩阵
M=［ BABA2B…A n-1 B ］ (7― 79)
若 M为满秩 （ 即秩数等于系统的阶数 n）,则系统即为完全可控的,否则即为不完全可控的 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
2,系统的可观测性当系统用状态方程描述时,在给定系统的输入后,
若在有限的时间区间 （ 0,t1） （ 或 （ 0,k1）） 内,能根据系统的输出量唯一地确定 （ 或识别 ） 出系统的全部初始状态,则称系统是完全可
11
22
12
( 1 ) ( )1 0 1
[ ( ) ]
( 1 ) 0 1 ( ) 0
( ) ( ) ( )
kk
fk
y k k k
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析判断系统是否可观测,可采用以下方法：
若系统的特征根均为单根,系统为单输出,则系统状态完全可观测的充要条件是,当系统矩阵 A为对角阵时,输出矩阵 C中没有零元素,则系统为可观测；若 C
中出现有零元素,则与该零元素对应的状态变量就不可观测 。
若系统的特征根均为单根,系统为多输出,则系统状态完全可观测的充要条件是,当系统矩阵 A为对角阵时,控制矩阵 B中没有全为零元素的列 。
更一般的,对于一个 n阶系统,我们将其系统矩阵 A
与输出矩阵 C组成矩阵
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析若 N为满秩 （ 即秩数等于系统的阶数 n）,则系统即为完全可观测的,否则即为不完全可观测的 。
2
1n
C
CA
N
CA
CA
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
3,可控性,可观测性与转移函数的关系一个线性系统,如果其系统函数 H(s)中没有极点,
零点相消现象,那么系统一定是完全可控与完全可观测的 。 如果出现了极点与零点的相消,则系统就是不完全可控的或是不完全可观测的,具体情况视状态变量的选择而定 。
第 7章 系统的状态变量分析第 7章 系统的状态变量分析
7.1 状态变量与状态方程
7.2 连续时间系统状态方程的建立
7.3 离散时间系统状态方程的建立
7.4 连续时间系统状态方程的求解
7.5 离散时间系统状态方程的求解
7.6 系统的可控制性与可观测性
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.1 状态变量与状态方程
7.1.1 系统用状态变量描述的基本术语
1,状态状态可理解为事物的某种特征 。 状态发生了变化就意味着事物有了发展和变化,所以状态是划分阶段的依据 。 系统的状态就是指系统的过去,现在和将来的状况 。
当系统的所有外部输入已知时,为确定系统未来运动,
必要与充分的信息的集合叫做系统的状态 。 状态通常可以用一个数 （ 变量 ） 或一组数来描述 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
2,状态变量状态变量是指一组最少的变量,若已知它们在 t0时的数值,则连同所有在 t≥t0时的输入就能确定在 t≥t0时系统中的任何运动状态 。 需要指出的是,通常系统中这样一组变量并不一定是唯一的 。
3,状态向量将 n阶系统中的 n个状态变量 λ1(t),λ2(t),…,λn(t)，
排成一个 n× 1阶的列矩阵 λ(t),即
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析此列矩阵 λ(t)即称为 n维状态向量,简称状态向量 。
由状态变量的定义可知,当 λ(t0)及系统的输入给定时,
λ(t)便可唯一的被确定 。
4,初始状态状态变量在某一时刻 t0的值称为系统在 t0时刻的状态 。 即
λ(t)=［ λ1(t0)λ2(t0)…λn(t0)］ T
1
2
12
()
()
( ) [ ( ) ( ) ( )]
()
T
n
n
t
t
t t t t
t
(7―1)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析状态变量在 t0=0－时刻的值称为系统的初始状态或起始状态 。 即
λ(0-)=［ λ1(0-)λ2(0-)…λn(0-)］ T
5,状态空间以 n个状态变量为坐标轴而构成的 n维空间称为状态空间,或者说安放状态向量的空间即称为状态空间 。
状态向量在状态空间 n个坐标轴上的投影即相应为 n个状态变量 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
6,状态轨迹在描述一个动态系统的状态空间中,状态向量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状态轨迹 。
一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系统的内部结构,
还与系统的输入有关,因此,系统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作用下系统内部的动态过程 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.1.2 系统的状态变量描述
1,状态方程对于一个有 m个输入 f1(t),f2(t),…,fm(t),L个输出
y1(t),y2(t),…,yL(t)的连续时间系统 (如图 7.1所示 ),假设能充分描述该系统的 n个状态变量为 λ1(t)λ2(t),…，
λn(t)，则每个状态变量在任何时刻 t的一阶导数可表示为该时刻的 n个状态变量和 m个输入的一个函数，即
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1
2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
n n m m
n n m m
n n n n n n n n n m m
a a a b f b f b f
a a a b f b f b f
a a a b f b f b f
(7―2)
图 7.1 多输入 ― 输出连续时间系统
{?
i
( t
0
)}… …
f 1 ( t )
f 2 ( t )
f
m
( t )
y 1 ( t )
y 2 ( t )
y
L
( t )
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析系统的状态方程也可以用矢量矩阵的形式来表示,即
11
11 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3
2 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 3 2
3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3 3
nn
fa a a b b b
a a a b b b f
a a a b b b f
(7―3)
上式可简记为
( ) ( ) ( )t A t B f t (7―4)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
2,输出方程同样,对于系统的 L个输出 y1(t),y2(t),…,yL(t)，
也可以用 n个状态变量和 m个输入的函数来表示,其矩阵形式可写为
1 1 111 12 13 11 12 13
2 21 22 23 2 21 22 23 2
31 32 33 31 32 333 3 3
yfa a a b b b
y a a a b b b f
a a a b b b
(7―5)
( ) ( ) ( )y t C t D f t (7― 6)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析图 7.2 多输入 ― 输出离散时间系统
{?
i
( k
0
)}… …
f
1
( k )
f
2
( k )
f
m
( k )
y
1
( k )
y
2
( k )
y
L
( k )
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析设有 n阶多输入 ― 输出离散系统如图 7.2所示 。 它的 m个输入为 f1(k),f2(k),…,fm(k),其 L个输出为 y1(k)，
y2(k),…,yL(k),系统的状态变量为 λ1(k),λ2(k),…，
λn(k)。 则其状态方程和输出方程可写为
λ(k+1)=Aλ(k)+Bf(k) (7― 7)
y(k)=Cλ(k)+Df(k) (7― 8)
其中
λ(k)=［ λ1(k),λ2(k),…,λn(k)］ T
f(k)=［ f1(k),f2(k),…,fm(k)］ T
y(k)=［ y1(k),y2(k),…,yL(k)］ T
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
3,状态变量分析法以状态变量为独立完备变量,以状态方程和输出方程为研究对象,对多输入多输出系统进行分析的方法,称为状态变量分析法,也称状态空间法 。 该方法的基本步骤是：
(1)选取一组独立的,完备的状态变量；
(2)列写系统的状态方程,并将其写成标准的矩阵形式；
(3)求解该状态方程,得到状态向量 λ(t)或 λ(k)；
(4)列写标准形式的输出方程,并将所求得的状态向量
λ(t)或 λ(k)代入其中,即得到输出向量 y(t)或 y(k)。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
4,状态变量的选取用状态变量描述系统的关键是选择状态变量 。 一般来说,能充分描述因果动态系统的一组状态变量的选择并不是唯一的 。 但只要状态变量的个数是充分的,
选择不同的状态变量来描述系统都是充分的 。 因此,
如何选择合适的状态变量,主要是看其是否方便于状态方程和输出方程的编写,以及初始状态向量是否容易确定 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
5,状态方程的建立通常,动态系统 （ 包括连续的和离散的 ） 的状态方程和输出方程可以根据描述系统的输入输出方程
（ 微分或差分方程 ）,系统函数,系统的模拟框图或信号流图等列出 。 对于电路,则可以根据电路图直接列出 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.2 连续时间系统状态方程的建立
7.2.1 根据电路图列写状态方程对于纯正电路,其状态方程直观列写的一般步骤是：
（ 1） 选所有独立电容电压和独立电感电流作为状态变量；
（ 2） 为保证所列出的状态方程等号左端只为一个状态变量的一阶导数,必须对每一个独立电容写出只含此独立电容电压一阶导数在内的节点 （ 割集 ） KCL方程,
对每一个独立电感写出只含此电感电流一阶导数在内的回路 KVL方程；
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
（ 3） 若第 （ 2） 步所列出 KCL,KVL方程中含有非状态变量,则利用适当的节点 KCL方程和回路 KVL方程,将非状态变量消去；
（ 4） 将列出的状态方程整理成式 （ 7― 3） 的矩阵标准形式 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析例 7― 1 写出图 7.3所示电路的状态方程,若以电流
iC和电压 u为输出,列出输出方程 。
图 7.3 例 7―1 图
＋
－
＋ －
u
S
u
C
i
C
i
S
i
L3
i
L2
L
2
L
3
( i
S
＋ i
L3
)
R
Ｃ
＋
－
① ② ③
④
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析解该系统中有三个独立动态元件,故需三个状态变量 。 选取电容电压 uC和电感电流 iL2,iL3为状态变量 。
对接有电容 C的节点②运用 KCL可得选包含 L2的回路 L2－ uS－ C以及包含 L3的回路 L3
－ R－ uS－ C，运用 KVL可得两个独立电压方程
23CC L Li C u i i
(7―9)
22
3 3 3()
S C L
S C L S L
u u L i
u u L i R i i
(7―10)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析将式（ 7―9 ）和式（ 7―10 ）稍加整理，即可得到状态方程 23
2
22
2
3
3 3 3 3
11
11
11
C
LL
L
CS
L
C L S S
u i i
CC
i u u
LL
RR
i u i u i
L L L L
(7―11)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析写成标准矩阵形式为
22
22
33
3 3 3 3
11
0
00
11
0 0 0
11
0
CC
S
LL
S
LL
uu CC
u
ii
iLL
ii RR
L L L L
(7―12)
输出方程为
23
3
C L L
SL
i i i
u R i R i
(7―13)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析写成标准矩阵形式为
2
3
0 1 1 00
000
C
SC
L
S
L
u
ui
i
Riu R
i
(7―14)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.2.2 由系统的模拟框图或信号流图建立状态方程由系统的模拟框图或信号流图建立状态方程是一种比较直观和简单的方法,其一般规则是：
(1）选积分器的输出（或微分器的输入）作为状态变量。
（ 2） 围绕加法器列写状态方程或输出方程 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析图 7.4 状态变量的选择
∫ )( ti?)( t
i
)( s
i
)( ss
i
s
－ 1
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析例 7― 2 已知一个三阶连续系统的模拟框图如图 7.5
所示,试建立其状态方程和输出方程 。
图 7.5 例 7― 2系统的模拟框图
∫∑ ∫ ∫ ∑
＋
b
1
b
2
b
0
a
0
a
1
a
2
3
2
1
－ － －
3
2
1
＋ ＋
＋
f ( t ) y ( t )
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析解 选择各积分器的输出为状态变量,从右边到左边依次取为 λ1(t),λ2(t)和 λ3(t),如图所示 。 根据各积分器输入 ― 输出和加法器的关系,可写出状态方程为 1 2
2
3
3
0 1 1 2 2 3
0 1 1 2 2 3
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
tt
tt
t a t a t a t f t
y t b t b t b t
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析对于例 7― 2,对应的信号流图如图 7.6所示,虽然模拟框图是系统的时域描述,信号流图是系统的 s域描述,二者的含义不同,但是,若撇开它们的具体含义,
而只把 s-1看作是积分器的符号,那么从图的角度而言,
它们并没有原则上的区别 。 因此,只要选择了 s-1的输出端状态变量即可写出状态方程 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析图 7.6 例 7―2 对应的信号流图
s
－ 1
s
－ 1
s
－ 1
1 b
0
3
2
1
3
2
1
f y
b
1
b
2
－ a
0
－ a
1
－ a
2
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.2.3 由微分方程或系统函数建立状态方程若已知系统的微分方程,为了更具一般性,设其分子,分母多项式中 s的最高幂次相同 （ 即取 m=n的一般情况 ）,为
（ p3+a2p2+a1p+a0） y(t)=（ b3p3+b2p2+b1p+b0） f(t)
则进而可写出系统函数为
32
3 2 1 0
32
2 1 0
() b s b s b s bHs
s a s a s a
(7―15)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析设 H(s)的分子与分母无公因子相消,则可根据系统的微分方程或 H(s),画出直接形式,并联形式,级联形式的模拟框图或信号流图,然后再从模拟框图或信号流图建立系统的状态方程 。
1,直接模拟法 ——相变量取积分器的输出信号为状态变量,则状态方程为
11
22
0 1 2
33
( ) ( )
0 1 0 0
( ) 0 0 1 ( ) 0 [ ( )]
1
( ) ( )
tt
t t f t
a a a
tt
(7―16)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析输出方程为
1
0 3 0 1 3 1 2 3 2 2 3
3
()
[ ( )] [ ] ( ) [ ][ ( )]
()
t
y t b b a b b a b b a t b f t
t
(7―17) 当 m＜ n时,例如,
(1) 若 b3=0,则
1
0 1 2 2
3
()
[ ( )] [ ] ( ) [ 0][ ( )]
()
t
y t b b b t f t
t
1
0 1 2
3
()
[ ( ) ] [ 0] ( )
()
t
y t b b t
t
(2) 若 b3=b2=0,则
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
(3) 若 b3=b2=b1=0,则
1
02
3
()
[ ( ) ] [ 0 0] ( )
()
t
y t b t
t
2,并联模拟 ——对角线变量设系统函数 H(s)的极点为单实极点 p1,p2,p3，
则可将 H(s)展开为
1
0
1 2 3
() K K KH s H s p s p s p
(7―18)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析其中,H0=bn/an,即 H0=b3。 取积分器的输出信号为状态变量,则状态方程为
1 11
2 2 2
3 33
() ()0 0 1
( ) 0 0 ( ) 1 [ ( ) ]
0 0 1()()
t tp
t p t f t
p tt
(7―19)
输出方程为
1
1 2 3 2 3
3
()
[ ( )] [ ] ( ) [ ][ ( )]
()
t
y t K K K t b f t
t
(7―20)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
1
1 2 3 2 3
3
()
[ ( )] [ ] ( ) [ ][ ( )]
()
t
y t K K K t b f t
t
当 m＜ n时,b3一定为 0，则输出方程变为
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
3.级联模拟设系统的零点和极点分别为 z1,z2,z3和 p1,p2,p3，
则系统函数 H(s)可写成其中,H0=b3,则状态方程为
1 1 1
1 2 3
0 1 1 1
1 2 3
1 1 1()
1 1 1
z s z s z sH s H
p s p s p s
(7―21)
1 11
2 1 1 2 2
1 1 2 2 3 33
() ()0 0 1
( ) 0 ( ) 1 [ ( ) ]
1()()
t tp
t p z p t f t
p z p z p tt
(7―22)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析输出方程为
1
1 1 2 2 3 3 2 3
3
() 1
( ) [ ] ( ) 1 [ ] [ ( ) ]
1()
t
y t p z p z p z t b f t
t
(7―23)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析例 7― 3 已知一个二阶微分方程式试写出其状态方程和输出方程 。
解 令 y(t)和 y′(t)为系统的状态变量,即则由原微分方程式可得到系统的状态方程为
2
2 3 2 ( ) 2 ( )
d y d y y t f t
d t d t
12( ) ( ),( ) ( )t y t t y t
12
2 1 2
( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 3 ( )
tt
t y t f t t t
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析系统的输出方程为 y(t)=λ1(t),写成矩阵形式为
11
22
1
2
( ) ( )0 1 0
[ ( ) ]
2 3 ( ) 2()
()
[ ( ) ] [ 1 0]
()
tt
ft
tt
t
yt
t
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析例 7― 4 已知,
试列写出与直接模拟,并联模拟,级联模拟相对应的状态方程与输出方程 。
解 均以积分器的输出信号为状态变量 。
（ 1） 直接模拟
2
3 1 0()
7 1 2
sHs
ss
11
22
1
2
( ) ( )0 1 0
[ ( ) ]
12 7 ( ) 1()
()
[ ( ) ] [ 10 3 ]
()
tt
ft
tt
t
yt
t
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
（ 2） 并联模拟
H(s)可写成如下形式,即
12()
34Hs ss
所以状态方程与输出方程为
11
22
1
2
( ) ( )3 0 1
[ ( ) ]
0 4 ( ) 1()
()
[ ( ) ] [ 1 2 ] [ 0] [ ( ) ]
()
tt
ft
tt
t
y t f t
t
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
（ 3） 级联模拟
H(s)可写成如下形式,即
1 0 / 3 3()
43
sHs
ss
图 7.7 级联系统框图
∫∑ ∑ ∫
2? 1 21
f ( t ) y ( t )
3
－ 3－ 4 3
10
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
11
2 1 2 1 1 2
11
2
2
1
2
( ) 4 ( ) ( )
10 2
( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( )
33
40
( ) ( ) 1
[ ( ) ]2
( ) 13()
3
()
[ ( ) ] [ 0 3 ]
()
t t f t
t t t t t t f t
tt
ft
tt
t
ft
t
输出方程为 y(t)=3λ2(t),即
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.3 离散时间系统状态方程的建立
7.3.1 由系统框图或信号流图建立状态方程离散系统状态方程的建立与连续系统相类似,也可利用框图或信号流图列出 。 由于离散系统状态方程是
λi(k+1)与各状态变量和输入的关系,因此选各延迟单元
D（ 对应于支路 z-1） 的输出端信号为状态变量 λi(k),那么其输入端信号就是 λi(k+1),这样,根据系统的框图或信号流图就可列出该系统的状态方程和输出方程 。 例
7― 5一个二输入二输出的离散系统框图如图 7.8所示,试写出其状态方程和输出方程 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析图 7.8 二输入二输出离散系统框图
D∑f
1
( k ) y
1
( k )∑
1
( t )
D∑f
2
( k ) y
2
( k )∑
2
( t )
a
1
a
2
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析解 选延迟单元的输出端信号 λ1(k),λ2(k)为状态变量,如图所示 。 由左端加法器可列出状态方程
λ1(k+1)=a1λ1(k)+f1(k)
λ2(k+1)=a2λ2(k)+f2(k)
由右端加法器可列出输出方程为
y1(k)=λ1(k)+f2(k)
y2(k)=λ2(k)+f1(k)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析写成矩阵表达式为
1 1 11
22 2 2
1 1 1
2 2 2
( 1 ) ( ) ( )0 10
0( 1 ) ( ) 0 1 ( )
( ) ( ) ( )1 0 0 0
( ) 0 1 ( ) 1 0 ( )
k t f ka
ak t f k
y k t f k
y k t f k
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.3.2 由差分方程或系统函数建立状态方程若已知系统的差分方程,可先由系统的差分方程求出系统函数 H（ z）,然后由 H（ z） 画出系统的框图,再从框图建立系统的状态方程 。
例 7― 6描述某离散系统的差分方程为
y(k)+2y(k-1)-3y(k-2)+4y(k-3)=f(k-1)+2f(k-2)-3f(k-3)
试写出其状态方程和输出方程 。
解通过差分方程,我们不难得到该系统的系统函数
1 2 3
1 2 3
23()
1 2 3 4
z z zHz
z z z
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析根据 H(z)，可画出如图 7.9所示的直接形式的 k域系统框图和 z域信号流图。
选延迟单元 D（ 相应于 z-1） 的输出信号为状态变量
（ 如图 7.9所示 ）,可列出状态方程和输出方程为
λ1(k+1)=λ2(k)
λ2(k+1)=λ3(k)
λ3(k+1)=-4λ1(k)+3λ2(k)-2λ3(k)+f(k)
y(k)=-3λ1(k)+2λ2(k)+λ3(k)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析图 7.9
(a)k域框图； (b)z域信号流图
∑ ∑
3
( k )
f ( k ) y ( k )
2
( k )?
1
( k )
－ 2
－ 4
3
－ 3
1
2
3
( k ＋ 1 )?
2
( k ＋ 1 )
1
( k ＋ 1 )
D D D
( a )
1 z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
2
－ 3－ 2
3
－ 4
1
F ( z ) Y ( z )
( b )
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析将它们写成矩阵表达式为
11
22
33
1
2
3
( 1 ) ( )0 1 0 0
( 1 ) 0 0 1 ( ) 0 [ ( ) ]
4 3 2 1( 1 ) ( )
()
( ) [ 3 2 1 ] ( )
()
kk
k k f k
kk
k
y k k
k
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.4 连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程和输出方程的一般形式为
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t A t B f t
y t C t D f t
(7― 24)
(7―25)
当给定初始状态
12( 0 ) [ ( 0 ),( 0 ),,( 0 ) ] Tn
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.4.1 时域解法对于 LTI系统,状态方程实际上是一组常系数一阶线性微分方程 。 定义矩阵指数
22
0
()
0
1 1 1
2 ! ! !
1
()
!
A t k k k k
k
A t A t k k
k
e I A t A t A t A t
kk
e e A t
k
(7―26)
(7―27)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析将式 （ 7― 24） 两边同乘以 e-At并移项,有
0
0
1
( ) ( ) ( )
1
()
!
( ) ( )
( ) ( )
[ ( ) ] ( )
( ) ( 0 ) ( ); ( )
At At At
At k k At At
k
At
At At
At At
t
At At
At At At At
e t e A t e B f t
dd
e A t A e e A
d t d t k
d t d e
e t e B f t
d t d t
d
e t e B f t
dt
e t e B f d
e e I e e
(7― 28)
(7―29)
(7―30)
(7―31)
(7― 32)
(7― 33)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析将式 （ 7― 32） 两边同乘以 eAt,则可写为可见,状态变量由只与初始状态有关的零输入解和只与输入有关的零状态解两部分组成 。 将上式结果代入式 （ 7― 25）,得到系统输出方程的解
()
0( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( )
tA t A t A t A tt e e B f d e e a B f t
(7―34)
( ) ( 0 ) ( ) ( )
( 0 ) [ ( ) ( )]
A t A t
A t A t
y t C e C e B f t D f t
C e C e B f t D f t
(7―35)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析由于输入函数 f(t)的各分量 fi(t)与单位冲激函数 δ(t)
的卷积是该函数本身,即
δ(t)*fi(t)=fi(t)
若定义一个对角方阵 δ(t),称为单位冲激矩阵,令
( ) 0 0
( ) 0 ( ) 0
0 0 ( )
t
tt
t
(7―38)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析则显然有
δ(t)*f(t)=f(t) (7― 39)
于是，式（ 7―35 ）可写为
( ) ( 0 ) [ ( ) ( ) ( )]
( ) ( 0 ) [ ( ) ( )] ( )
A t A ty t C e C e B f t D t f t
C t C t B D t f t
(7―40)
当输入 f(t)=δ(t)时,则零状态响应即为系统的冲激响应,即
h(t)=CΦ(t)B+Dδ(t) (7― 41)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析例 7― 7 已知某二阶系统的状态方程为并且当求该系统的状态转移矩阵 Φ(t)和系统矩阵 A。
解 由式 （ 7― 34） 知,状态向量的零输入解
( ) ( )t A t
11( 0 ) ( ) ( 0 ) ( )
10 0
t t
t
e ett
e
1
( ) ( ) ( 0)
11
( ) ; ( )
100
11
()
100
11
()
1000
t t
t
tt
t
t t t t t
tt
tt
e e
tt
e
ee
t
e
e e e e e
t
ee
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析由于 Φ(t)=eAt,根据矩阵指数的性质
111
()
1000
t t t t t
tt
e e e e et
ee
0
0
()
()
12
010
At At
t
t t t
tt
d t d
e Ae
dt dt
dt
A
dt
e e ed
A
dt e
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.4.2 变换域解法对式 （ 7― 24） 两边取拉普拉斯变换,得
sλ(s)-λ(0-)=Aλ(s)+BF(s) (7― 42)
即
(sI-A)λ(s)=λ(0-)+BF(s)
两边同乘以 ［ sI－ A］ -1,得
λ(s)=［ sI-A］ -1λ(0-)+［ sI-A］ -1 BF(s) (7― 43)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析对式 （ 7― 43） 第一项取拉氏反变换,并与式
（ 7― 36） 零输入解进行比较,得
Φ(t)λ(0-)=L-1｛［ sI-A］ -1λ(0-)}
由于 λ(0-)是常数矩阵,于是有
Φ(t)=eAt=L-1｛［ sI-A］ -1｝ (7― 44)
为了方便,定义
Φ(s)=L［ Φ(t)］ =［ sI-A］ -1 (7― 45)
称为状态预解矩阵 。 于是,式 （ 7― 43） 可写为
λ(s)=Φ(s)λ(0-)+Φ(s)BF(s) (7― 46)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析对其取反变换即得到时域解式 （ 7― 36）
λ(t)=Φ(t)λ(0-)+L-1［ Φ(s)BF(s)］ (7 ― 47)
另外,在时域法中,我们也常利用式 （ 7― 44） 来求解状态转移矩阵 Φ(t)。
同样,对式 （ 7― 25） 两边取拉氏变换得
Y(s)=Cλ(s)+DF(s) （ 7― 48）
将式 （ 7― 46） 代入并整理得
Y(s)=CΦ(s)λ(0-)+［ CΦ(s)B+D］ F(s) (7― 49)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析对其取反变换,得
Y(t)=CL-1［ Φ(s)］ λ(0-)+L-1｛［ CΦ(s)B+DF(s)} (7― 50)
定义
H(s)=CΦ(s)B+D （ 7― 51）
称为系统的转移 （ 传输 ） 函数矩阵 。 并且有
h(t)=L-1［ H(s)］
即,冲激响应矩阵 h(t)与系统转移函数矩阵 H(s)是一对拉氏反变换 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析系统的转移 （ 传输 ） 函数矩阵
11 12 13
21 22 23
31 32 33
()
H H H
H s H H H
H H H
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析在前面也曾指出,如果系统函数 H(s)在 jω轴上收敛,
则系统的频率响应 H(jω)=H(s)|s=jω。 当用状态变量法分析系统时,如果 H(s)的所有元素均在 jω轴上收敛,则系统的频率响应矩阵
1( ) ( ) [ ]sjH j H s C j I A B D
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.5 离散时间系统状态方程的求解离散系统状态方程的求解与连续系统状态方程的求解相似 。 设离散系统的状态方程与输出方程的一般形式如下
λ(k+1)=Aλ(k)+Bf(k) （ 7― 53）
y(k)=Cλ(k)+Df(k) （ 7― 54）
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析由于式 （ 7― 53） 是一组差分方程,在给定系统的初始状态 λ(k0)后,可直接用迭代法或递推法来求解,
这也是离散系统能方便地利用计算机进行求解的优点 。
一般来说,采用递推法难以获得闭合形式的解,因而常用迭代法来解状态方程 。
由式（ 7―53 ）有
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
λ(k0+1)=Aλ(k0)+Bf (k0)
λ(k0+2)=Aλ(k0+1)+Bf (k0+1)
= A2λ(k0)+ABf(k0)+Bf(k0+1)
λ(k0+k)=Aλ(k0+k-1)+Bf(k0+k-1)
1
1
0
0
1
0
( ) ( )
( ) [ ] ( )
k
k k i
i
kk
A k A B f i
A k A B f k
(7― 55)
若初始时刻 k0=0,则有
1[ ] ( 0 ) [ ] ( ) ( 0 )kkk A A B f k k(7―56)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析将式（ 7―56 ）代入系统的输出方程式（ 7―54 ）得：
矩阵 Ak称为离散系统的状态转移矩阵,用 Φ(k)来表示,即
Φ(k)=Ak（ k≥0） (7― 58)
则
λ(k)=Φ(k)λ(0)+Φ(k-1)B*f(k) (7― 59)
y(k)=CΦ(k)λ(0)+CΦ(k-1)B*f(k)+Df(k) (7― 60)
1
1
0
1
( ) ( 0) ( ) ( )
( 0) ( ) ( )
k
k k i
i
kk
y k C A C A Bf i Df k
C A C A B f k Df k
(7―57)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析同样,若定义一个对角方阵 δ(k),称为单位序列函数矩阵,令
( ) 0 0
( ) 0 ( ) 0
0 0 ( )
k
kk
k
(7―61)
显然有
δ(k)*f(k)=f(k) (7― 62)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析于是,式 （ 7― 60） 可写为
y(k)=CΦ(k)λ(0)+CΦ(k-1) B*f(k)+Dδ(k)*f(k)
=CΦ(k)λ(0)+［ CΦ(k-1)B+Dδ(k)］ *f(k)
=CΦ(k)λ(0)+h(k)*f(k) (7― 63)
其中 h(k)称为单位序列响应矩阵,有
h(k)=CΦ(k-1)B+Dδ(k) (7― 64)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析对式 （ 7― 53）,（ 7― 54） 两边取 Z变换,得
zλ(z)-zλ(0)=Aλ(z)+BF (z) (7― 65)
y(z)=Cλ(z)+DF(z) (7― 66)
经整理得
λ(z)=［ zI－ A］ -1 zλ(0)+［ zI-A］ -1 BF(z) (7― 67)
y(z)=C［ zI-A］ -1 zλ(0)+{C［ zI-A］ -1 B+D}F(z) (7― 68)
定义
H(z)=C［ zI－ A］ -1 B+D (7― 69)
Z［ h(k)］ =H(z) (7― 70)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析对式 （ 7― 67）,（ 7― 68） 取反变换即得到离散系统状态方程与输出方程的解
λ(k)=Z-1｛［ zI-A］ -1 z｝ λ(0)+Z-1
｛［ zI-A］ -1 B｝ *Z-1［ F(z)］ (7― 71)
y(k)=Z-1｛ C［ zI-A］ -1 z｝ λ(0)+Z-1
｛ C［ zI-A］ -1 B+D｝ *Z-1［ F(z) ］ (7― 72)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析将上式与式 （ 7― 56）,（ 7― 57） 进行比较,可得状态转移矩阵
Φ(k)=Ak=Z-1｛［ zI-A］ -1 z｝ (7― 73)
这里也为我们提供了一种求状态转移矩阵 Φ(k)的方法,为了方便,我们定义
Φ(z)=Z［ Φ(k)］ =［ zI-A］ -1 z (7― 74)
称为状态预解矩阵 。 于是,式 （ 7― 67）,（ 7― 68）
可写为
λ(z)=Φ(z)λ(0)+Z-1Φ(z)BF(z) (7― 75)
y(z)=CΦ(z)λ(0)+H(z)F (z) (7― 76)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析例 7― 9已知某离散系统的状态方程与输出方程为
11
22
11
22
11
( 1 ) ( ) 124
[ ( ) ]
( 1 ) 1 ( ) 0
1
2
( ) ( )1 0 1
[ ( ) ]
( ) 0 1 ( ) 1
kk
fk
kk
y k k
fk
y k k
初始状态,激励 f(k)=u(k)。试求其状态转移矩阵 Ak、状态向量 λ(k)、输出向量 y(k),z域转移函数矩阵 H(z)以及单位序列响应矩阵 h(k)。
1
2
( 0 ) 1
( 0 ) 1
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析解 由以上方程知,系统矩阵
11
24
1
1
2
A
于是得
1
1
11
24
( ) [ ]
1
1
2
11
24
1( 1 )
1
2
11
24
11
1
1
2
11
z
z zI A z z
z
z
z
zz
z
z
zz
z
zz
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析取其反变换得
1
11
( ) ( 1 ) ( 1 )
24[ ( ) ]
1
( 1 ) ( ) ( 1 )
2
k
k u k k
A Z z
u k k u k
由式 （ 7― 75）,得
λ(z)=Φ(z)λ(0)+Z-1Φ(z)BF(z)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
2
2
11
11
24
24
11( 1 ) ( 1 )
11
1 1 1 0 1
11
22
1 1 ( 1 ) ( 1 )
1
1
4
2
1
( 1 )
1
1
2
( 1 )
1
z
z
z z z z z
zz
z
zz
z z z z z z
z
z
z
z
z
z
z
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析对 λ(z)取反变换,得
3
1( ) ( 1 )
( ) ( 1 ) ( 1 )4
() 2
3
( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 )
2
k u k
k u k k u k
k
k u kk u k
y(z)=CΦ(z)λ(0)+H(z)F (z)
故先求 H(z),得
H(z)=C［ zI-A］ -1 B+D
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
2
2
2
2
1
11
2
22
1
( 1 )
1
111
1
1( 1 )
11
1
24
2
1 0 1
11
( 1 )
()
0 1 1 1 1
1
1
2
( 1 )
11
1
4
1
1
2
1
z
zz
zz
zz
zzzz
z
z
zzz
zz
yz
z
z zz
zz
zz
z
z
z
z
2
2
2
2
1
2
( 1 )
1
( 1 )
z
z
zz
z
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析于是，可得
3
2( ) ( 1 )
( ) 2 ( ) ( 1 ) ( 1 )4
() 3
3
( ) ( )( ) ( 1 )
2
k u k
k k u k k u k
yk
k k u kk u k
单位序列响应矩阵为
1
2( ) 2 ( ) ( 1 ) ( 1 )
( ) [ ( ) ] 3
( ) ( )
k k u k k u k
h k Z H z
k k u k
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析如果系统函数 H(z)在单位圆上收敛,则系统的频率特性为
（ θ=ωTs） H(e jθ)=H(z)|z=jθ (7― 77)
当用状态变量法分析系统时,如果 H(z)的所有元素均在单位圆上收敛,则系统的频率特性矩阵
H(e jθ)=H(z)|z=jθ=C［ e jθI-A]-1 B+D (7― 78)
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
7.6 系统的可控制性与可观测性
1,系统的可控制性当系统用状态方程描述时,若存在一个输入向量
f(t)（ 或 f(k)）,也称其为控制向量,在有限的时间区间 （ 0,t1） （ 或 （ 0,k1）） 内,能把系统的全部状态,
从初始状态 λ(0)引向状态空间的坐标原点 （ 即零状态 ）,
则称系统是完全可控的,简称可控的；若只能对部分状态变量做到这一点,则称系统不完全可控 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析更一般的，对于一个 n阶系统，我们将其系统矩阵
A与控制矩阵 B组成矩阵
M=［ BABA2B…A n-1 B ］ (7― 79)
若 M为满秩 （ 即秩数等于系统的阶数 n）,则系统即为完全可控的,否则即为不完全可控的 。
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
2,系统的可观测性当系统用状态方程描述时,在给定系统的输入后,
若在有限的时间区间 （ 0,t1） （ 或 （ 0,k1）） 内,能根据系统的输出量唯一地确定 （ 或识别 ） 出系统的全部初始状态,则称系统是完全可
11
22
12
( 1 ) ( )1 0 1
[ ( ) ]
( 1 ) 0 1 ( ) 0
( ) ( ) ( )
kk
fk
y k k k
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析判断系统是否可观测,可采用以下方法：
若系统的特征根均为单根,系统为单输出,则系统状态完全可观测的充要条件是,当系统矩阵 A为对角阵时,输出矩阵 C中没有零元素,则系统为可观测；若 C
中出现有零元素,则与该零元素对应的状态变量就不可观测 。
若系统的特征根均为单根,系统为多输出,则系统状态完全可观测的充要条件是,当系统矩阵 A为对角阵时,控制矩阵 B中没有全为零元素的列 。
更一般的,对于一个 n阶系统,我们将其系统矩阵 A
与输出矩阵 C组成矩阵
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析若 N为满秩 （ 即秩数等于系统的阶数 n）,则系统即为完全可观测的,否则即为不完全可观测的 。
2
1n
C
CA
N
CA
CA
,信号与线性系统,
第 7章 系统的状态变量分析
3,可控性,可观测性与转移函数的关系一个线性系统,如果其系统函数 H(s)中没有极点,
零点相消现象,那么系统一定是完全可控与完全可观测的 。 如果出现了极点与零点的相消,则系统就是不完全可控的或是不完全可观测的,具体情况视状态变量的选择而定 。
