,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析第 4章 连续系统的频域分析
4.1 信号的正交分解与傅里叶级数
4.2 信号的频谱
4.3 傅里叶变换的性质
4.4 线性非时变系统的频域分析
4.5 傅里叶变换计算机模拟举例
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.1 信号的正交分解与傅里叶级数
4.1.1 信号的正交分解数学上给定条件下的函数可展开为由某种基本函数形式所构成的一组多项式,例如函数的泰勒级数展开式 。 信号是随时间变化的函数,在一定条件下也可展开成这样一组多项式 。 这就是信号的分解,用式 （ 4― 1）
描述,
1
( ) ( )
n
ii
i
f t c t?
(i,n为整数 ) （ 4― 1）
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析当上述函数集中任意两个函数 φi(t),φj(t)之间,在区间例如,三角函数集
｛ 1,cosΩt,cos2Ωt,…,cosmΩt,…,sinΩt,sin2Ωt,…,sinnΩt,…｝
在区间（ t0,t0+Ｔ） (式中 T=2π/Ω)组成正交函数集,而且是完备的正交函数集。这是因为
2
1
0
( ) ( )
t
ijt
i
ij
t t dt
k i j
（ ki为与之有关的常量）
（ 4― 2 ）
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
0
0
0
0
0
0
0
c o s c o s / 2 0
0
0
sin sin
/ 2 0
sin c o s 0
tT
t
tT
t
tT
t
mn
t dt T m n
T m n
mn
t dt
T m n
t dt
(4―3)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析即三角函数集满足正交性式 （ 4― 2）,因而是正交函数集 。 其完备性这里不去讨论 。
对于调幅信号 （ ω=5Ω）
f(t)=A(1+BcosΩ)cosω (4― 4)
利用三角公式 2cosαcosβ=cos(α-β)+cos(α+β)可写为
f(t)=Acosωt+? ABcos(ω-Ω)t+?
ABcos(ω+Ω)t(4―5)
式 (4― 5)即是信号 f(t)在三角函数集上的正交分解 。
图 4.1中绘出了有关信号的波形 。
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.1 调幅信号及其频谱
t
f ( t )
A (1 ＋ B )
－ A (1 ＋ B )
A
0 4?
0
5?
0
6?
0
F (? )
AB
2
1
0
( a )
( b )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.1.2 傅里叶级数
19世纪初叶,法国数学家吉 ·傅里叶证明,任何正常的周期为 T的函数 f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和 。 即通常称 （ 4― 6） 式为傅里叶级数 。 如果已知 f(t),则可通过式 (4― 7),(4― 8)和 (4― 9)分别求出 an,bn,c的值 。
11
1( ) si n ( 2 ) c o s( 2 )
2 nnnnf t c a n f t b n f t
(4―6)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析 2
0
2
0
2
0
2
( ) sin ( 2 )
2
( ) c o s( 2 )
2
()
n
n
a f t n f d t
T
b f t n f d t
T
c f t d t
T
(4―7)
(4―8)
(4―9)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析根据三角函数的运算法则,式 (4― 6)还可写成式 (4― 10)。
00
1
0
22
( ) c o s( )
1
2
ta n
nn
n
n n n
n
n
n
f t c A n t
cc
A a b
a
b
(4―10)
(4―11)
(4―13)
(4―12)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析式 (4― 6)还可写为如下形式
0 0 0
1
00
0 0 0
1
00
0 0 0
1
1
1
( ) { [ c o s( ) si n( ) ]
2
[ c o s( ) si n( ) ] }
1
[ c o s( ) si n( ) ]
2
1
[ c o s( ) si n( ) ]
2
1
[ c o s( ) si n( ) ]
2
1
[
2
n n n
n
nn
n n n
n
n n n
n n n
n
n
f t c A n t j n t
t j n t
c A n t j n t
A t j n t
c A n t j n t
00c o s( ) si n( ) ]nnn t j n t
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析式中,An=A-n,θn=-θ-n。 最后,由欧拉公式,上式可写为
0() jn t
n
n
f t c e?
(4―14)
0
0
0
2
0 2
1 ()T jn t
Tnc f t e d tT
(4― 15)
对于式 （ 4― 10）,(4― 14),同式 (4― 6)一样,也是傅里叶级数,只是形式不同而已 。 式 (4― 6)和 (4― 10)称为三角函数式傅里叶级数,式 （ 4― 14） 称为复指数形式的傅里叶级数 。 由于式 （ 4― 14） 的数学表示更为简洁,故在后续章节中,这一式子用得更多 。
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.1.3 信号的傅里叶级数正交分解由于傅里叶级数具有正交性及完备性,故任何周期信号均可正交分解成傅里叶级数 。 这种分解,在对信号进行分析时将会表现出很大的优势 。
例 4― 1 试将图 4.2所示的方波信号 f(t)展开为傅里叶级数 。
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.2 方波信号的傅里叶级数
0 T
2
T 2 T
2
T
－ T
1
－ 1
t
f ( t )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析解 我们将信号按式 (4― 6)分解成傅里叶级数,并按式 (4 ― 7),(4― 8),(4― 9)分别计算 an,bn及 c。
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
( ) c o s( 2 )
22
( 1 ) c o s( 2 ) 1 c o s( 2 )
2 1 2 1
[ si n ( 2 ) ] [ si n ( 2 ) ]
22
0
T
Tn
T
T
T
T
a f t n f t d t
T
n f t d t n f t d t
TT
n f t n f t
T n f T n f
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
( ) s i n ( 2 )
22
( 1 ) s i n ( 2 ) 1 s i n ( 2 )
2 1 2 1
[ co s ( 2 ) ] [ co s ( 2 ) ]
22
2
( 1 )
T
Tn
T
T
T
T
b f t n f t d t
T
n f t d t n f t d t
TT
n f t n f t
T n f t T n f
n
n
0,2,4,6,
4
1,3,5,
n
n
n?
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
2
2
2
( ) 0
4 1 1 1
( ) [ s i n 2 s i n 6 s i n 1 0 s i n 2 ]
35
1,3,5,
T
T
c f t d t
T
f t f t f t f f t
n
n
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.2 信号的频谱
4.2.1 信号频谱上一节我们指出,信号可分解为傅里叶级数,即信号可由系列复数指数函数加权之和构成 。 一般我们称这里的复数指数函数 ejnΩt为 n次谐波,在该函数上所加的权为谐波的振幅,nΩ为谐波的角频率,可以说所有的信号均是由系列角频率不同的谐波叠加而成的 (角频率可简称为频率 ） 。
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.2.2 周期信号的频谱以周期性矩形脉冲为例,说明周期信号频谱的特点 。
设有一幅度为 1,脉冲宽度为 τ的周期性矩形脉冲,其周期为 T,如图 4.3所示 。 根据式 （ 4― 6）,可求得其傅里叶系数
22
22
2
2
11
()
1
1
sin
2
TT
j n t j n t
TTn
j n t
F f t e d t e d t
TT
e
T j n
n
Tn
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.3 矩形脉冲
－ T
2
0
2
T 2 T
1
… …
t
f ( t )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析考虑到 Ω=2π/T,上式也可以写为
1
s i n,0,1,2,
1
( ) s i n
n
j n t j n t
n
nn
n
Fn
n T T
n
f t F e e
nT
根据式 （ 4― 16） 可写出该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为图 4.4画出了 T=4τ的周期性矩形脉冲的频谱 。 由于
Fn为实数,相位 φn=0,故而没有单独画出其相位频谱 。
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.4 周期矩形脉冲的频谱（ T=4τ）
4
1
0
F
n
π2
π4
π4
π2
)
2
a(S
T
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
1,频谱的物理意义前面讲过,任何信号均由多次谐波叠加而成,我们通过仪器观察谐波时,只有由三角函数所描述的谐波
Akcos(kΩt+φk)才能被观察到,而复指数谐波 ckejkΩt是通过数学方法由前者构造而成,它不能直接被观察得到 。 两者的关系为
( ) ( )
[]
2 co s ( )
co s ( ),2
kk
kk
jjj k t j k t j k t j k t
k k k k
j k t j k t
k
kk
j k t j k t
k k k k k k
c e c e c e e c e e
c e e
c k t
c e c e A k t A c
即有
(4― 18)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
2,频带宽度从周期矩形脉冲频谱可以看出,谱线有无限多条。
矩 形脉冲信号的频带宽度或称信号的带宽,用符号 Δf
表示,即
3,周期信号的功率了解周期信号功率在各次谐波中的分布情况,是信号频谱的一个重要应用 。 分析信号的功率关系,一般都将信号 f(t)看作电压或电流,而考察其在 1电阻上所消耗的平均功率,即
1f Hz
（ 4―19 ）
22
2
1 ()T
TP f t d tT
(4―20)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
22
2
1 ()T
TP f t d tT
将 f(t)表示成傅里叶级数并代入上式可得
22
2
22
2
2
11
( )[ ] [ ( )
1
()
TT
j k t j k t
kk
kk
k k k k k
k k k
T
T k
k
P f t c e d t c f t e d t
TT
c c c c c
f t d t c
T
(4―20)
（ 4― 21 ）
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.2.3 非周期信号的频谱非周期信号可视为周期足够长的周期信号来处理 。
因此,我们可以从周期信号的频谱分析来推测非周期信号的频谱 。 重写周期信号的频谱函数如下,
0
0
0
2
0 2
1
()
1
()
2
( ) ( )
1
()
2
T
jt
Tn
jt
n
jt
n
c f t e d td
T
c f t e d td
F f t e d t
c F d
(4―22)
(4―23)
(4―24)
(4―25)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析现将信号 f(t)的傅里叶级数展开式重写如下
0()
1
( ) ( )
2
jn t
n
n
jt
f t c e
f t F e d
将式 (4― 25)代入式 (4― 26)中,同时将求和号改为积分号,nΩ改为 ω,则有
(4―26)
(4―27)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析式 (4― 24)和 (4― 27)是非常重要的一对式子,重写如下,并称前式为 f(t)的傅里叶变换,后式为函数 F(ω)的傅里叶逆变换,F(ω)称为 f(t)的频谱函数,f(t)称为 F(ω)的原函数 。
( ) ( )
1
( ) ( )
2
jt
jt
F f t e dt
f t F e d
(4―28)
(4―29)
式 (4― 28)和 (4― 29)可简记为
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
( ) ( )
f
f t F
f t F
(4―31)
(4― 32)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.2.4 常见信号的频谱分析举例例 4―2 求冲激信号 δ(t)的频谱。
解 由频谱函数的定义式 （ 4― 28） 有
( ) ( ) 1
( ) 1
jtF t e d t
t
(4―34)
(4―35)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.5 冲激信号及其频谱
0 t
( t )
( 1 )
0
F (? )
1
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4―3 求矩形脉冲信号 gτ(t)的频谱。
图 4.6 矩形脉冲信号及其频谱
0 t
g
( t )
( a )
1
/ 2－ / 2 0?
2 /－ 2 /
( b )
F (? )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析解 矩形脉冲信号 gτ(t)是一个如图 4.6（ a） 所示的门函数 。 其定义为
1
2()
0
2
r
t
gt
t
(4―36)
gτ(t)的傅里叶变换为
2
2
si n( / 2 )
[ ( ) ]
/2
si n( )
()
[ ( ) ] ( )
2
jt
r
r
g t e dt
x
Sa x
x
g t Sa
(4― 37)
(4― 38)
(4―39)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4― 4 求单边指数信号的频谱 。
解 单边指数信号是指
( ) ( ),0
( ) ( )
1
0
at
j t at j t
f t e u t a
F f t e dt e e dt
j
(4―41)
(4―40)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.7 单边指数信号及其频谱
0?－
0
－?
( a ) ( b )
a r g F (? ))(?F
1 2
1
2
4
4
－
2
－
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4― 5 求双边指数信号的频谱 。
解双边指数信号是指
( ) ( ),0tf t e u t (4― 42)
从频谱函数的定义式出发
00
22
11
()
2
at j t at j tF e e dt e e dt
jj
(4―43)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.8 双边指数信号及其频谱
0 0?－?
1
t
f ( t )
( a ) ( b )
1
2
)(?F
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4― 6 求单位直流信号的频谱 。
解 幅度为 1的单位直流信号可表示为
f(t)=1,-∞<t<∞ (4― 44)
它可以看作是双边指数信号在 α取极限趋近 0时的一个特例,即 0
22
0 0 0
1 l i m ( ),0
2
[ 1 ] [ l i m ( )] l i m [ ( )] l i m
00
0
t
tt
e u t
a
e u t e u t
a
(4―45)
(4―46)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
22
00
2
0
l i m l i m ( )
1 ( )
l i m 2 arc t an 2
[ 1 ] 2 ( )
1 2 ( )
dd
(4―47)
(4― 48)
(4―49)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.9 单位直流信号及其频谱
0
f ( t )
1
0?t
F (? )
2?
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4―7 求符号函数的频谱。
解 符号函数简记为 sgn(t),它的定义为
10
s g n ( ) 0 0
10
t
tt
t
(4―50)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.10 符号函数及其频谱
f ( t )
0
1
－ 1
t 0?
F (? )
( a )
( b )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析符号函数 sgn(t)也可看作是下述函数在 α取极限趋近 0
时的一个特例,
0
()
0
t
t
et
ft
et
(其中 α>0)
22
22
0
[ ( ) ]
11
2
2
0
2
lim
00
2
[ sg n( ) ]
t j t t j t
F f t e e dt e e dt
jj
j
jj
Ft
j
(4-51)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.3 傅里叶变换的性质为了方便起见,我们将傅里叶变换式重写如下
1
( ) ( )
( ) [ ( )] ( )
1
( ) [ ( )] ( )
2
F
jt
jt
f t F
F F f t f t e d t
f t F F t F e d
(4-52)
(4-53)
(4-54)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.3.1 线性某一域内函数的值作线性变换时与之对应的另一域中的象函数的值也作等比例的线性变换 。
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) [ ( )] [ ( ) ( )]
( ) ( )]
( ) ( )
jt
j t j t
F F f t F a f t a f t
a f t a f t e d t
a f t e d t a f t e d t
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) [ ( )] ( )
[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]
[ ( ) ( ) [ ( )] [ ( )]
a f t a f t a F f t a F
F a f t a f t a f t a f t
F a F a F a F F a F F
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4― 8 求单位阶跃函数 u(t)的频谱函数 。
解单位阶跃函数 u(t)可看作是幅度为 1/2的直流信号与幅度为 1/2的符号函数 sgn(t)之和,即
11( ) s g n ( )
22u t t
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.3.2 奇偶虚实性实际存在的信号都是实信号,虚信号是我们为了数学运算上的方便而引入的 。 现在研究时间函数 f(t)与其频谱 F(ω)之间的奇偶虚实关系 。 先来看 f(t)为实函数的情况 。 此时傅里叶变换可写为 ( ) ( )
( ) c o s ( ) si n
( ) ( )
()
jt
jt
F f t e dt
f t t dt j f t t dt
R j X
Fe
（ 4―60 ）
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析式中,频谱函数的实部和虚部分别为
( ) ( ) c o s
( ) ( ) s i n
R f t td t
X f t td t
(4―61)
(4―62)
频谱函数的模和相角分别为
22( ) ( ) ( )
()
( ) a r c ta n
()
F R X
X
R
(4― 63)
(4―64)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析由此可看出,此时 F(ω)是虚函数且是 ω的奇函数 。 对于 f(t)为虚函数的情况,分析方法同上,结论相反 。
上述讨论的结果如下,
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4― 9利用奇偶虚实性求图 4.11单边指数信号
f(t)=2e-αt u(t)的频谱 。
图 4.11 单边指数信号及其频谱
0 t
f ( t )
0 t
f
e
( t )
t0
1
－ 1
( a ) ( b ) ( c )
2
1
f
o
( t )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析解 从波形图 （ a） 上可见,单边指数信号 f(t)是非偶非奇函数,但可分解为如图 （ b）,（ c） 所示的偶函数和奇函数两部分,见下式 。
f(t)=2e-αt u(t)=fe(t)+fo(t)
其中
()
0
()
0
t
e
at
o at
f t e
et
ft
et
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
0
( ) ( )
22
0
0
( ) ( )
22
0
2 2 2 2
22
2
()
1 1 2
()
22
( ) ( ) ( )
2 ( ) 2
t j t j t j t
e
j t j t
o
eo
F e e e d t e d t
F e d t e d t j
jj
F F F j
j
j
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.3.3 对称性傅立叶变换可用（ 4-52）表示
()
()
( ) ( )
( ) ( )
1
( ) [ ( ) ] ( ) 2 ( )
2
1
( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
( ) 2 ( )
F
F
j t j t
jt
F
f t F
F t f
f F F t F t e dt F t e dt
F t e d f
ff
F t f
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.12 抽样函数 Sa(ω)及其频谱
0 t
f ( t )
/ 2－? / 2 0
F (? )
0 t
f ( t )
0
F (? )
0
－?
0
1
F
1
F
π2
π2
0
π
0
π
0
π
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.3.4尺度变换将时间函数 f(t)中的 t换成 at(a为常量 ),考察与之对应的频谱函数 。 现在来求时间函数 f(t)尺度变换后的频谱函数 。 设 f(at)=f′(t),则有[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( )
11
[ ( ) ] ( ) ( ) ( )
111
[ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j t j t
j a t
a
j a t j a t
aa
F f a t F f t f t e d t f a t e d t
F f a t f a t e d a t F
a a a
F f a t f a t e d a t f a t e d a t F
a a a a
( ) ( )
1
( ) ( )
F
F
f t F
f a t F
aa
（ 4-72）
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4―11 已知求 gτ(2t)的频谱函数 。
解 根据傅里叶变换的尺度变换性质,gτ(2t)的频谱函数为
( ) ( )2rg t S a
1[ ( 2 )] ( )
24rg t S a
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.13 尺度变换
0 t
f ( t )
0
F (? )
1
0?
)
2
(
2
1?
F
π2
π2
π4
π4
2
2
0 t
f (2 t )
1
4
4
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.3.5 时移特性在时间函数 f(t)中,当时间 t变为 t+t0时,就会引起相应的频谱函数的变换,称为时移特性 。 这里 t0为实常量 。
设 f(t+t0)=f1(t),
,时移特性可作如下推导,
( ) ( )f t F
00
0
0 1 1 0
()
00
[ ( )] [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
()
j t j t
j t j t t
jt
F f t t F f t f t e d t f t t e d t
e f t t e d t t
eF
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析因此,时移特性可表示如下 。
若且 t0为常数,则
0
0
( ) ( )
( ) ( )jt
f t F
f t t e F?
(4― 74)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4― 12求移位冲激函数 δ(t-t0)的频谱函数 。
解 由于已知冲激函数 δ(t)的频谱函数为 1,求移位冲激函数 δ(t-t0)的频谱函数,此时可利用傅里叶变换的时移特性式 (4― 74)。
0
0
0
0
[ ( )] 1
()
jt
jt
t t e
t t e
(4―75)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.3.6 频移特性频移特性与时移特性对称,此时所考虑的是频谱函数
F(ω)中,频率 ω变为 ω+ω0,相应的时间函数怎样随之而变 。
这里 ω0为实常量 。
00
0
11
01
1
0
()
00
[ ( ) ] [ ( ) ]
1
()
2
1
()
2
1
( ) ( )
2
()
jt
jt
j j t
jt
F F F F
F e d
F e d
F e d e
f t e
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析因此,时移特性可简写如下且 ω0为实常数,则例 4― 13 求高频脉冲信号
p(t)=gτ(t)·cosω0t (4― 77)
的频谱函数 。
解 由于
0
0
( ) ( )
( ) ( )jt
f t F
f t e F?
(4― 76)
00
0c o s 2
j t j tee
t
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析故有
00
00
0
00
[ ( ) ] [ ( ) c o s ]
[ ( ) ]
2
11
[ ( ) ] [ ( ) ]
22
1 ( ) 1 ( )
[ ( ) ] [ ] [ ]
2 2 2 2
r
j t j t
r
j t j t
rr
F p t F g t t
ee
F g t
F g t e F g t e
F p t S a S a
根据频移特性有
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.14 频移特性
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.3.7 卷积定理现在我们讨论卷积在傅里叶变换中的规律 。
1.时域卷积性质设有两个时间函数 f1(t)和 f2(t),它们分别对应的频谱函数为 F1(ω)和 F2(ω)。 两个函数卷积的傅里叶变换为
1 2 1 2
1
22
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]
( ) [ ( )
( ) ( )
jt
jt
j t j
F f t f t f f t d e dt
f t e d
f t e dt F e
(4-78)
(4-79)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析这就是时域卷积定律，可简记为
1 2 1 2
21
21
11
22
1 2 1 2
[ ( ) ( )] ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
jt
jt
L
L
L
F f t f t f F e d t
F f e d t
FF
f t F
f t F
f t f t F F
（ 4-80）
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
2,频域卷积性质同时域卷积定律一样，我们也可以证明频域卷积定律。在这里略去证明，只写出结论。
11
22
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) ( ) ( )
L
L
L
f t F
f t F
f t f t F F
F F F F d
(4-81)
(4-82)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4― 14 求图 4.15所示梯形脉冲的傅里叶变换 。
图 4.15 梯形脉冲的傅里叶变换
E
0
f ( t )
2
1
2
2
2
1
2
2
t
1
0
2
12
2
12
0
2
12
2
12
f
1
(? ) f
2
(? )
12
2
E
( a ) ( b ) ( c )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析解 梯形脉冲可看作是两个不同宽度的矩形脉冲
f1(t)与 f2(t)的卷积,如图 4.15所示 。
f(t)=f1(t)*f2(t)
而矩形脉冲的傅里叶变换已在例 4― 3中求出,具体来说
0 1 0 1
1
0 1 0 1 0 1
2
01
0 1 0 1 0 1
12
0 1 0 1
2
01
()
( ) ( )
24
2 ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 4 4
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4 4
8 ( ) ( )
( ) sin sin
( ) 4 4
F Sa
E
F Sa ES a
E
F F F Sa Sa
e
F
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.16 半波正弦脉冲
p ( t )
2
2
1
g
( t )
2
2
1
0
t
t
c o s?
0
t
1
t
… …
0
0
－?
0
p (? )
g
(? )
0
0
F (? )
0
－?
0
2
2
π2
π2
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
0 t
f ( t )
2
2
0 t
2
2
2
2
0 t
2
2
4
( a ) ( b ) ( c )
f ( t )′ f ( t )″
图 4.17 三角形脉冲及其一、二街导的波形
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析表 4―2 傅里叶变换的性质
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.4 线性非时变系统的频域分析
4.4.1 频域分析在第二章线性非时变系统的时域分析中,我们已经指出线性非时变系统的零状态响应 yf(t)是激励 f(t)与冲击响应 h(t)的卷积积分 。 即
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f
f
y t f h t d
y t h t f t
(4―112)
(4―113)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析现在我们设 h(t),f(t)和 yf(t)各自对应的傅里叶变换式为 H(ω),F(ω)和 Yf(ω),即
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )ff
h t H
f t F
y t y
(4―114)
(4―115)
(4―117)
(4―116)
( ) ( ) ( )fY H F
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.18 频域分析示意图线性非时变系统激励信号响应
f ( t ) h ( t ) y
f
( t )
H (? ) Y
f
(? )F (? )
*
× ＝
＝
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析接下来我们讨论一下 H(ω)。 很显然在前面的讨论中,H(ω)已有了两个方面的含义,一是前面我们在式
（ 4― 114） 中定义的 H(ω)是与冲激响应 h(t)对应的频谱函数 ;二是通过式 （ 4― 117） 所表达的 H(ω)的含义是零状态响应频谱函数 Yf(ω)与激励函数 F(ω)的比值,即
()()
()
fYH
F
(4―118)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析另外,考虑到式 （ 4― 115）
1
()
0
1
1
()
0
( ) [ ( ) ]
1
()
2
1
l i m ( )
2
[ ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
1
( ) ( )
2
1
l i m ( ) ( )
2
jt
j k t
k
ff
jt
j k t
k
f t F F
F e d
F k e
y F Y
F H F
H F e d
H k F k e
在看式（ 4-116）和（ 4-117）
（ 4-119）
（ 4-200）
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4― 20如图 4.19所示,试分析单位阶跃信号 u(t)通过 RC高通网络传输后的波形 。
图 4.19
u
S
( t ) ＝ u ( t ) u
O
( t )
1
0 t
u
S
( t ) u
O
( t )
0
1
t
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析解 显然,当输入信号 uS(t)为复指数信号 e jωt时,如图有
( ) ( ) ( )
S R C
S RC
U U U
U U U
则按 H(ω)的定义有
() ( ) ( )
() 1
( ) ( ) ( ) ( )
f RR
S R C
Y U U R j
H
F U U U jR
jC
对于单位阶跃信号 u(t)而言,此时
1( ) ( )ut
j
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
1
( ) [ ( ) ] ( )
1
( ) ( ) ( ) [ ( ) ]
1
()
1
( 1 ( )
1
f
F F u t
j
j
Y H F
jj
j
jj
jj
j
最后一步考虑了冲激函数的取样性质。因此
11 1( ) [ ( ) ] [ ] ( )t
fy t F Y F e u tj
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.4.2 无失真传输系统的频域分析无失真传输系统是指这样一个系统,它的输出信号与输入信号相比只有幅度的大小和出现时间的先后不同,
而没有波形上的变化 。 系统的数学模型具有如下的形式,
yf(t)=Kf(t+td) (4― 121)
设输入信号 f(t)的谱频函数为 F(ω),输出信号 yf(t)的谱频函数为 Yf(ω)。 根据傅里叶变换的时移特性对上式进行傅里叶变换后可得输出信号频谱和输入频谱之间的关系,
Y(ω)=Ke –jωtF(ω) (4― 122)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析由上式可见,为使信号传输无失真,系统频率函数应为
H(ω)=Ke-jωtd
从中可看出系统频率函数的模和相位为
()
() d
HK
t
(4―123)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.20 无失真传输系统的幅频和相频特性
0
k
(? ) H (? )
H (? ) ＝ k
(? ) ＝ － t
d
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
11
( ) [ ( ) ] [ ( ) ] 1
( ) ( ) ( )
[ ( ) ] [ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )
d
d
jt
f
jt
f f d
d
F
F F f F g
Y H F K e
y F Y F K e K t t
h t K t t
h t H
其实，此时的系统输出信号 yf(t)既是系统的冲激响应 h(t),既有
（ 2-124）
（ 4-125）
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.4.3 理想低通滤波器的频域分析理想低通滤波器是指频率特性为式 (4― 126)所限制的系统,即由图 4.21中可看出 H(ω)可看作是在频域中宽度为
2ωC,幅度为 1的门函数,可写为
()
0
djt
C
C
e
H
(4―126)
2( ) ( )d CjtH e g
(4―127)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.21 理想低通滤波器的频率特性
0?
(? ) H (? )
(? )
H (? )1
－?
C
C
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.22 理想低通滤波器对单位冲激信号的响应波形
t0
1
f ( t ) ＝ ( t )
t
h ( t )
0
π
C
C
π
t
d
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析则输出信号的频谱为 2
1
( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ]
1
[ ( ) ]
0
d
C
d
jt
f
jt
C
C
Y H F e g
j
e
j
由此可求出理想底通滤波器对单位阶跃信号的影响 1
()
()
( ) [ ( )]
11
[ ( ) ]
2
1
[ ( ) ]
2
C
d
C
d
CC
d
CC
ff
jt jt
j t t
j t t
y t F Y
e e d
j
e
e d d
j
（ 4-128）
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
00
0
0
0
0
0
0
0
1 c o s ( ) s i n ( )
( ) { [ ] }
2
1 1 s i n ( )
2
1 1 s i n ( )
()
2 ( )
11
()
2
C
C
C
C
f
t t t t
y t d
jj
tt
d
j
tt
d t t
tt
S i t t
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.23 理想低通滤波器对单位阶跃信号的响应波
f ( t ) ＝ u ( t )
1
0 t
t
d
t0
1
0,5
y
f
( t )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析以上讨论了理想低通滤波器对单位冲激信号和单位阶跃信号的响应,这里我们还需要注意以下几点,
(1)由响应的波形图可见,响应的时间比激励滞后,延迟时间为 td。
(2)阶跃信号的响应不像阶跃信号那样陡直,而是倾斜的,这说明输出信号的建立需要一定的时间 。 一般以阶跃响应中幅度由 0到 1作为计算建立时间的标准 。
查 Six正弦函数积分表可知响应建立时间为
3,8 3
C
t
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
(3)由响应的波形图可见,输出信号在输入信号建立之前和后都有,向 ± ∞延伸且振荡 。 由此,早在 t=0时刻以前在无信号输入的情况下就已有信号输出,这显然违背了自然界的因果律 。 这是因为理想低通滤波器是根据式 （ 4― 127） 设计的,过于理想化,现实中不可能实现 。
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.5 傅里叶变换计算机模拟举例运用计算机对傅里叶变换进行模拟的主要任务就是在设定系统频率函数的基础上根据不同的激励信号来模拟与之相应的响应 。 整个过程一般分为以下几个步骤,
（ 1） 输入系统频率函数 ;
（ 2） 输入激励信号 ;
（ 3） 按一定的算法完成激励信号的傅里叶变换得到激励信号频谱 ;
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
（ 4） 根据系统频率函数和激励信号频谱按一定的算法计算系统的响应频谱 ;
（ 5） 按一定的算法完成频率响应的傅里叶逆变换得到系统响应 ;
（ 6） 输出系统响应及其频谱 。
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
1
( ) ( )
2
( ) ( )
(,) (,)
( ) (,)
jt
jt
f t F e d t
F f t e d t
y D x s d s j E x s d s
Y x X x s d s
(4―129)
(4―130)
(4―131)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析我们在每个分区内用梯形面积代替实际积分值 。
当分区相当多时,所有这些梯形面积的和可逼近实际的积分值 。 计算公式如下,
1
1
1,1
21
,1 1,1 1 1
1
,,1 1,1 1,11
2
[ ( ) ( ) ]
2
11
( ( ( ) ) )
22
1
()
41
i i
i
i i i i
k
i j i j i i jj
ba
h
h
R f a f b
R R h f a k h
R R R R
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析当 时运算结束。 R i,j为积分近似解。龙贝格积分的计算次序是
1,1 1,11
1 ()
41 i i jj RR
1,1
2,1 2,2
3,1 3,2 3,3
4,1 4,2 4,3 4,4
,1,2,3,n n n n n
R
RR
R R R
R R R R
R R R R
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析依上述算法实现的相应 C语言算法如下,
floatrbg(float(*f)(),floata,floatb)
{
floath,sum,R［ 101］ ［ 101］,err;
inti,j,k,n;
h=(b-a);
R［ 1］ ［ 1］ =h*(f(a)+f(b))/2;
n=100;
for(i=1;i<=n;i++)
{
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
sum=0;
for(k=1;k<=2*i-2;k++)
sum=sum+f(a+(k-0.5)*h)
h=h/2;
R［ i］ ［ 1］ =0.5*(R［ i-1］ ［ 1］ +h*sum);
for(j=2;j<=i;j++)
{
err=(R［ i］ ［ j-1］ -R［ i-1］ ［ j-1］ )/(power(4,j-1)-1);
R［ i］ ［ j］ =R［ i］ ［ j-1］ +err;
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
err=(R［ i］ ［ j-1］ -R［ i-1］ ［ j-1］ )/(power(4,j-1)-1);
R［ i］ ［ j］ =R［ i］ ［ j-1］ +err;
if(abs(err)<E)thenreturnR［ i］ ［ j］
}
}
return0
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4―21 计算抽样函数的傅里叶变换。
解 式 (4―132) 抽样函数的傅里叶变换可写为
sin tSat
t?
(4― 132)
sin sin
[ ] [ ]
sin sin
c o s sin
sin
(,) c o s
sin
(,) sin
jt
tt
Sa t e dt
tt
tt
tdt j tdt
tt
t
D t tdt
t
t
S t tdt
t
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析这样我们可利用龙贝格算法求出该函数的数值解,程序如下,
floatt;
floatD1(floatw)
{
returnsin(t)*cos(w*t)/t;
}
floatS1(floatw)
{
returnsin(t)*sin(w*t)/t;
}
main()
{
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
inti,a,b;
a=LEFTVALUE;
b=RIGHTVALUE;
dt=STEP;
t=STARTVALUE;
for(i=1;i<n;i++)
{
D［ i］ =rbg(D1,a,b);
S［ i］ =rbg(S1,a,b);
t=t+dt;
}
}
第 4章 连续系统的频域分析第 4章 连续系统的频域分析
4.1 信号的正交分解与傅里叶级数
4.2 信号的频谱
4.3 傅里叶变换的性质
4.4 线性非时变系统的频域分析
4.5 傅里叶变换计算机模拟举例
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.1 信号的正交分解与傅里叶级数
4.1.1 信号的正交分解数学上给定条件下的函数可展开为由某种基本函数形式所构成的一组多项式,例如函数的泰勒级数展开式 。 信号是随时间变化的函数,在一定条件下也可展开成这样一组多项式 。 这就是信号的分解,用式 （ 4― 1）
描述,
1
( ) ( )
n
ii
i
f t c t?
(i,n为整数 ) （ 4― 1）
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析当上述函数集中任意两个函数 φi(t),φj(t)之间,在区间例如,三角函数集
｛ 1,cosΩt,cos2Ωt,…,cosmΩt,…,sinΩt,sin2Ωt,…,sinnΩt,…｝
在区间（ t0,t0+Ｔ） (式中 T=2π/Ω)组成正交函数集,而且是完备的正交函数集。这是因为
2
1
0
( ) ( )
t
ijt
i
ij
t t dt
k i j
（ ki为与之有关的常量）
（ 4― 2 ）
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
0
0
0
0
0
0
0
c o s c o s / 2 0
0
0
sin sin
/ 2 0
sin c o s 0
tT
t
tT
t
tT
t
mn
t dt T m n
T m n
mn
t dt
T m n
t dt
(4―3)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析即三角函数集满足正交性式 （ 4― 2）,因而是正交函数集 。 其完备性这里不去讨论 。
对于调幅信号 （ ω=5Ω）
f(t)=A(1+BcosΩ)cosω (4― 4)
利用三角公式 2cosαcosβ=cos(α-β)+cos(α+β)可写为
f(t)=Acosωt+? ABcos(ω-Ω)t+?
ABcos(ω+Ω)t(4―5)
式 (4― 5)即是信号 f(t)在三角函数集上的正交分解 。
图 4.1中绘出了有关信号的波形 。
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.1 调幅信号及其频谱
t
f ( t )
A (1 ＋ B )
－ A (1 ＋ B )
A
0 4?
0
5?
0
6?
0
F (? )
AB
2
1
0
( a )
( b )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.1.2 傅里叶级数
19世纪初叶,法国数学家吉 ·傅里叶证明,任何正常的周期为 T的函数 f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和 。 即通常称 （ 4― 6） 式为傅里叶级数 。 如果已知 f(t),则可通过式 (4― 7),(4― 8)和 (4― 9)分别求出 an,bn,c的值 。
11
1( ) si n ( 2 ) c o s( 2 )
2 nnnnf t c a n f t b n f t
(4―6)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析 2
0
2
0
2
0
2
( ) sin ( 2 )
2
( ) c o s( 2 )
2
()
n
n
a f t n f d t
T
b f t n f d t
T
c f t d t
T
(4―7)
(4―8)
(4―9)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析根据三角函数的运算法则,式 (4― 6)还可写成式 (4― 10)。
00
1
0
22
( ) c o s( )
1
2
ta n
nn
n
n n n
n
n
n
f t c A n t
cc
A a b
a
b
(4―10)
(4―11)
(4―13)
(4―12)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析式 (4― 6)还可写为如下形式
0 0 0
1
00
0 0 0
1
00
0 0 0
1
1
1
( ) { [ c o s( ) si n( ) ]
2
[ c o s( ) si n( ) ] }
1
[ c o s( ) si n( ) ]
2
1
[ c o s( ) si n( ) ]
2
1
[ c o s( ) si n( ) ]
2
1
[
2
n n n
n
nn
n n n
n
n n n
n n n
n
n
f t c A n t j n t
t j n t
c A n t j n t
A t j n t
c A n t j n t
00c o s( ) si n( ) ]nnn t j n t
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析式中,An=A-n,θn=-θ-n。 最后,由欧拉公式,上式可写为
0() jn t
n
n
f t c e?
(4―14)
0
0
0
2
0 2
1 ()T jn t
Tnc f t e d tT
(4― 15)
对于式 （ 4― 10）,(4― 14),同式 (4― 6)一样,也是傅里叶级数,只是形式不同而已 。 式 (4― 6)和 (4― 10)称为三角函数式傅里叶级数,式 （ 4― 14） 称为复指数形式的傅里叶级数 。 由于式 （ 4― 14） 的数学表示更为简洁,故在后续章节中,这一式子用得更多 。
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.1.3 信号的傅里叶级数正交分解由于傅里叶级数具有正交性及完备性,故任何周期信号均可正交分解成傅里叶级数 。 这种分解,在对信号进行分析时将会表现出很大的优势 。
例 4― 1 试将图 4.2所示的方波信号 f(t)展开为傅里叶级数 。
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.2 方波信号的傅里叶级数
0 T
2
T 2 T
2
T
－ T
1
－ 1
t
f ( t )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析解 我们将信号按式 (4― 6)分解成傅里叶级数,并按式 (4 ― 7),(4― 8),(4― 9)分别计算 an,bn及 c。
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
( ) c o s( 2 )
22
( 1 ) c o s( 2 ) 1 c o s( 2 )
2 1 2 1
[ si n ( 2 ) ] [ si n ( 2 ) ]
22
0
T
Tn
T
T
T
T
a f t n f t d t
T
n f t d t n f t d t
TT
n f t n f t
T n f T n f
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
( ) s i n ( 2 )
22
( 1 ) s i n ( 2 ) 1 s i n ( 2 )
2 1 2 1
[ co s ( 2 ) ] [ co s ( 2 ) ]
22
2
( 1 )
T
Tn
T
T
T
T
b f t n f t d t
T
n f t d t n f t d t
TT
n f t n f t
T n f t T n f
n
n
0,2,4,6,
4
1,3,5,
n
n
n?
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
2
2
2
( ) 0
4 1 1 1
( ) [ s i n 2 s i n 6 s i n 1 0 s i n 2 ]
35
1,3,5,
T
T
c f t d t
T
f t f t f t f f t
n
n
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.2 信号的频谱
4.2.1 信号频谱上一节我们指出,信号可分解为傅里叶级数,即信号可由系列复数指数函数加权之和构成 。 一般我们称这里的复数指数函数 ejnΩt为 n次谐波,在该函数上所加的权为谐波的振幅,nΩ为谐波的角频率,可以说所有的信号均是由系列角频率不同的谐波叠加而成的 (角频率可简称为频率 ） 。
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.2.2 周期信号的频谱以周期性矩形脉冲为例,说明周期信号频谱的特点 。
设有一幅度为 1,脉冲宽度为 τ的周期性矩形脉冲,其周期为 T,如图 4.3所示 。 根据式 （ 4― 6）,可求得其傅里叶系数
22
22
2
2
11
()
1
1
sin
2
TT
j n t j n t
TTn
j n t
F f t e d t e d t
TT
e
T j n
n
Tn
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.3 矩形脉冲
－ T
2
0
2
T 2 T
1
… …
t
f ( t )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析考虑到 Ω=2π/T,上式也可以写为
1
s i n,0,1,2,
1
( ) s i n
n
j n t j n t
n
nn
n
Fn
n T T
n
f t F e e
nT
根据式 （ 4― 16） 可写出该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为图 4.4画出了 T=4τ的周期性矩形脉冲的频谱 。 由于
Fn为实数,相位 φn=0,故而没有单独画出其相位频谱 。
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.4 周期矩形脉冲的频谱（ T=4τ）
4
1
0
F
n
π2
π4
π4
π2
)
2
a(S
T
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
1,频谱的物理意义前面讲过,任何信号均由多次谐波叠加而成,我们通过仪器观察谐波时,只有由三角函数所描述的谐波
Akcos(kΩt+φk)才能被观察到,而复指数谐波 ckejkΩt是通过数学方法由前者构造而成,它不能直接被观察得到 。 两者的关系为
( ) ( )
[]
2 co s ( )
co s ( ),2
kk
kk
jjj k t j k t j k t j k t
k k k k
j k t j k t
k
kk
j k t j k t
k k k k k k
c e c e c e e c e e
c e e
c k t
c e c e A k t A c
即有
(4― 18)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
2,频带宽度从周期矩形脉冲频谱可以看出,谱线有无限多条。
矩 形脉冲信号的频带宽度或称信号的带宽,用符号 Δf
表示,即
3,周期信号的功率了解周期信号功率在各次谐波中的分布情况,是信号频谱的一个重要应用 。 分析信号的功率关系,一般都将信号 f(t)看作电压或电流,而考察其在 1电阻上所消耗的平均功率,即
1f Hz
（ 4―19 ）
22
2
1 ()T
TP f t d tT
(4―20)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
22
2
1 ()T
TP f t d tT
将 f(t)表示成傅里叶级数并代入上式可得
22
2
22
2
2
11
( )[ ] [ ( )
1
()
TT
j k t j k t
kk
kk
k k k k k
k k k
T
T k
k
P f t c e d t c f t e d t
TT
c c c c c
f t d t c
T
(4―20)
（ 4― 21 ）
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.2.3 非周期信号的频谱非周期信号可视为周期足够长的周期信号来处理 。
因此,我们可以从周期信号的频谱分析来推测非周期信号的频谱 。 重写周期信号的频谱函数如下,
0
0
0
2
0 2
1
()
1
()
2
( ) ( )
1
()
2
T
jt
Tn
jt
n
jt
n
c f t e d td
T
c f t e d td
F f t e d t
c F d
(4―22)
(4―23)
(4―24)
(4―25)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析现将信号 f(t)的傅里叶级数展开式重写如下
0()
1
( ) ( )
2
jn t
n
n
jt
f t c e
f t F e d
将式 (4― 25)代入式 (4― 26)中,同时将求和号改为积分号,nΩ改为 ω,则有
(4―26)
(4―27)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析式 (4― 24)和 (4― 27)是非常重要的一对式子,重写如下,并称前式为 f(t)的傅里叶变换,后式为函数 F(ω)的傅里叶逆变换,F(ω)称为 f(t)的频谱函数,f(t)称为 F(ω)的原函数 。
( ) ( )
1
( ) ( )
2
jt
jt
F f t e dt
f t F e d
(4―28)
(4―29)
式 (4― 28)和 (4― 29)可简记为
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
( ) ( )
f
f t F
f t F
(4―31)
(4― 32)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.2.4 常见信号的频谱分析举例例 4―2 求冲激信号 δ(t)的频谱。
解 由频谱函数的定义式 （ 4― 28） 有
( ) ( ) 1
( ) 1
jtF t e d t
t
(4―34)
(4―35)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.5 冲激信号及其频谱
0 t
( t )
( 1 )
0
F (? )
1
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4―3 求矩形脉冲信号 gτ(t)的频谱。
图 4.6 矩形脉冲信号及其频谱
0 t
g
( t )
( a )
1
/ 2－ / 2 0?
2 /－ 2 /
( b )
F (? )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析解 矩形脉冲信号 gτ(t)是一个如图 4.6（ a） 所示的门函数 。 其定义为
1
2()
0
2
r
t
gt
t
(4―36)
gτ(t)的傅里叶变换为
2
2
si n( / 2 )
[ ( ) ]
/2
si n( )
()
[ ( ) ] ( )
2
jt
r
r
g t e dt
x
Sa x
x
g t Sa
(4― 37)
(4― 38)
(4―39)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4― 4 求单边指数信号的频谱 。
解 单边指数信号是指
( ) ( ),0
( ) ( )
1
0
at
j t at j t
f t e u t a
F f t e dt e e dt
j
(4―41)
(4―40)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.7 单边指数信号及其频谱
0?－
0
－?
( a ) ( b )
a r g F (? ))(?F
1 2
1
2
4
4
－
2
－
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4― 5 求双边指数信号的频谱 。
解双边指数信号是指
( ) ( ),0tf t e u t (4― 42)
从频谱函数的定义式出发
00
22
11
()
2
at j t at j tF e e dt e e dt
jj
(4―43)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.8 双边指数信号及其频谱
0 0?－?
1
t
f ( t )
( a ) ( b )
1
2
)(?F
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4― 6 求单位直流信号的频谱 。
解 幅度为 1的单位直流信号可表示为
f(t)=1,-∞<t<∞ (4― 44)
它可以看作是双边指数信号在 α取极限趋近 0时的一个特例,即 0
22
0 0 0
1 l i m ( ),0
2
[ 1 ] [ l i m ( )] l i m [ ( )] l i m
00
0
t
tt
e u t
a
e u t e u t
a
(4―45)
(4―46)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
22
00
2
0
l i m l i m ( )
1 ( )
l i m 2 arc t an 2
[ 1 ] 2 ( )
1 2 ( )
dd
(4―47)
(4― 48)
(4―49)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.9 单位直流信号及其频谱
0
f ( t )
1
0?t
F (? )
2?
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4―7 求符号函数的频谱。
解 符号函数简记为 sgn(t),它的定义为
10
s g n ( ) 0 0
10
t
tt
t
(4―50)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.10 符号函数及其频谱
f ( t )
0
1
－ 1
t 0?
F (? )
( a )
( b )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析符号函数 sgn(t)也可看作是下述函数在 α取极限趋近 0
时的一个特例,
0
()
0
t
t
et
ft
et
(其中 α>0)
22
22
0
[ ( ) ]
11
2
2
0
2
lim
00
2
[ sg n( ) ]
t j t t j t
F f t e e dt e e dt
jj
j
jj
Ft
j
(4-51)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.3 傅里叶变换的性质为了方便起见,我们将傅里叶变换式重写如下
1
( ) ( )
( ) [ ( )] ( )
1
( ) [ ( )] ( )
2
F
jt
jt
f t F
F F f t f t e d t
f t F F t F e d
(4-52)
(4-53)
(4-54)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.3.1 线性某一域内函数的值作线性变换时与之对应的另一域中的象函数的值也作等比例的线性变换 。
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) [ ( )] [ ( ) ( )]
( ) ( )]
( ) ( )
jt
j t j t
F F f t F a f t a f t
a f t a f t e d t
a f t e d t a f t e d t
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) [ ( )] ( )
[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]
[ ( ) ( ) [ ( )] [ ( )]
a f t a f t a F f t a F
F a f t a f t a f t a f t
F a F a F a F F a F F
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4― 8 求单位阶跃函数 u(t)的频谱函数 。
解单位阶跃函数 u(t)可看作是幅度为 1/2的直流信号与幅度为 1/2的符号函数 sgn(t)之和,即
11( ) s g n ( )
22u t t
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.3.2 奇偶虚实性实际存在的信号都是实信号,虚信号是我们为了数学运算上的方便而引入的 。 现在研究时间函数 f(t)与其频谱 F(ω)之间的奇偶虚实关系 。 先来看 f(t)为实函数的情况 。 此时傅里叶变换可写为 ( ) ( )
( ) c o s ( ) si n
( ) ( )
()
jt
jt
F f t e dt
f t t dt j f t t dt
R j X
Fe
（ 4―60 ）
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析式中,频谱函数的实部和虚部分别为
( ) ( ) c o s
( ) ( ) s i n
R f t td t
X f t td t
(4―61)
(4―62)
频谱函数的模和相角分别为
22( ) ( ) ( )
()
( ) a r c ta n
()
F R X
X
R
(4― 63)
(4―64)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析由此可看出,此时 F(ω)是虚函数且是 ω的奇函数 。 对于 f(t)为虚函数的情况,分析方法同上,结论相反 。
上述讨论的结果如下,
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4― 9利用奇偶虚实性求图 4.11单边指数信号
f(t)=2e-αt u(t)的频谱 。
图 4.11 单边指数信号及其频谱
0 t
f ( t )
0 t
f
e
( t )
t0
1
－ 1
( a ) ( b ) ( c )
2
1
f
o
( t )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析解 从波形图 （ a） 上可见,单边指数信号 f(t)是非偶非奇函数,但可分解为如图 （ b）,（ c） 所示的偶函数和奇函数两部分,见下式 。
f(t)=2e-αt u(t)=fe(t)+fo(t)
其中
()
0
()
0
t
e
at
o at
f t e
et
ft
et
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
0
( ) ( )
22
0
0
( ) ( )
22
0
2 2 2 2
22
2
()
1 1 2
()
22
( ) ( ) ( )
2 ( ) 2
t j t j t j t
e
j t j t
o
eo
F e e e d t e d t
F e d t e d t j
jj
F F F j
j
j
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.3.3 对称性傅立叶变换可用（ 4-52）表示
()
()
( ) ( )
( ) ( )
1
( ) [ ( ) ] ( ) 2 ( )
2
1
( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
( ) 2 ( )
F
F
j t j t
jt
F
f t F
F t f
f F F t F t e dt F t e dt
F t e d f
ff
F t f
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.12 抽样函数 Sa(ω)及其频谱
0 t
f ( t )
/ 2－? / 2 0
F (? )
0 t
f ( t )
0
F (? )
0
－?
0
1
F
1
F
π2
π2
0
π
0
π
0
π
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.3.4尺度变换将时间函数 f(t)中的 t换成 at(a为常量 ),考察与之对应的频谱函数 。 现在来求时间函数 f(t)尺度变换后的频谱函数 。 设 f(at)=f′(t),则有[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( )
11
[ ( ) ] ( ) ( ) ( )
111
[ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j t j t
j a t
a
j a t j a t
aa
F f a t F f t f t e d t f a t e d t
F f a t f a t e d a t F
a a a
F f a t f a t e d a t f a t e d a t F
a a a a
( ) ( )
1
( ) ( )
F
F
f t F
f a t F
aa
（ 4-72）
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4―11 已知求 gτ(2t)的频谱函数 。
解 根据傅里叶变换的尺度变换性质,gτ(2t)的频谱函数为
( ) ( )2rg t S a
1[ ( 2 )] ( )
24rg t S a
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.13 尺度变换
0 t
f ( t )
0
F (? )
1
0?
)
2
(
2
1?
F
π2
π2
π4
π4
2
2
0 t
f (2 t )
1
4
4
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.3.5 时移特性在时间函数 f(t)中,当时间 t变为 t+t0时,就会引起相应的频谱函数的变换,称为时移特性 。 这里 t0为实常量 。
设 f(t+t0)=f1(t),
,时移特性可作如下推导,
( ) ( )f t F
00
0
0 1 1 0
()
00
[ ( )] [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
()
j t j t
j t j t t
jt
F f t t F f t f t e d t f t t e d t
e f t t e d t t
eF
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析因此,时移特性可表示如下 。
若且 t0为常数,则
0
0
( ) ( )
( ) ( )jt
f t F
f t t e F?
(4― 74)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4― 12求移位冲激函数 δ(t-t0)的频谱函数 。
解 由于已知冲激函数 δ(t)的频谱函数为 1,求移位冲激函数 δ(t-t0)的频谱函数,此时可利用傅里叶变换的时移特性式 (4― 74)。
0
0
0
0
[ ( )] 1
()
jt
jt
t t e
t t e
(4―75)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.3.6 频移特性频移特性与时移特性对称,此时所考虑的是频谱函数
F(ω)中,频率 ω变为 ω+ω0,相应的时间函数怎样随之而变 。
这里 ω0为实常量 。
00
0
11
01
1
0
()
00
[ ( ) ] [ ( ) ]
1
()
2
1
()
2
1
( ) ( )
2
()
jt
jt
j j t
jt
F F F F
F e d
F e d
F e d e
f t e
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析因此,时移特性可简写如下且 ω0为实常数,则例 4― 13 求高频脉冲信号
p(t)=gτ(t)·cosω0t (4― 77)
的频谱函数 。
解 由于
0
0
( ) ( )
( ) ( )jt
f t F
f t e F?
(4― 76)
00
0c o s 2
j t j tee
t
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析故有
00
00
0
00
[ ( ) ] [ ( ) c o s ]
[ ( ) ]
2
11
[ ( ) ] [ ( ) ]
22
1 ( ) 1 ( )
[ ( ) ] [ ] [ ]
2 2 2 2
r
j t j t
r
j t j t
rr
F p t F g t t
ee
F g t
F g t e F g t e
F p t S a S a
根据频移特性有
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.14 频移特性
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.3.7 卷积定理现在我们讨论卷积在傅里叶变换中的规律 。
1.时域卷积性质设有两个时间函数 f1(t)和 f2(t),它们分别对应的频谱函数为 F1(ω)和 F2(ω)。 两个函数卷积的傅里叶变换为
1 2 1 2
1
22
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]
( ) [ ( )
( ) ( )
jt
jt
j t j
F f t f t f f t d e dt
f t e d
f t e dt F e
(4-78)
(4-79)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析这就是时域卷积定律，可简记为
1 2 1 2
21
21
11
22
1 2 1 2
[ ( ) ( )] ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
jt
jt
L
L
L
F f t f t f F e d t
F f e d t
FF
f t F
f t F
f t f t F F
（ 4-80）
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
2,频域卷积性质同时域卷积定律一样，我们也可以证明频域卷积定律。在这里略去证明，只写出结论。
11
22
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) ( ) ( )
L
L
L
f t F
f t F
f t f t F F
F F F F d
(4-81)
(4-82)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4― 14 求图 4.15所示梯形脉冲的傅里叶变换 。
图 4.15 梯形脉冲的傅里叶变换
E
0
f ( t )
2
1
2
2
2
1
2
2
t
1
0
2
12
2
12
0
2
12
2
12
f
1
(? ) f
2
(? )
12
2
E
( a ) ( b ) ( c )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析解 梯形脉冲可看作是两个不同宽度的矩形脉冲
f1(t)与 f2(t)的卷积,如图 4.15所示 。
f(t)=f1(t)*f2(t)
而矩形脉冲的傅里叶变换已在例 4― 3中求出,具体来说
0 1 0 1
1
0 1 0 1 0 1
2
01
0 1 0 1 0 1
12
0 1 0 1
2
01
()
( ) ( )
24
2 ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 4 4
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4 4
8 ( ) ( )
( ) sin sin
( ) 4 4
F Sa
E
F Sa ES a
E
F F F Sa Sa
e
F
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.16 半波正弦脉冲
p ( t )
2
2
1
g
( t )
2
2
1
0
t
t
c o s?
0
t
1
t
… …
0
0
－?
0
p (? )
g
(? )
0
0
F (? )
0
－?
0
2
2
π2
π2
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
0 t
f ( t )
2
2
0 t
2
2
2
2
0 t
2
2
4
( a ) ( b ) ( c )
f ( t )′ f ( t )″
图 4.17 三角形脉冲及其一、二街导的波形
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析表 4―2 傅里叶变换的性质
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.4 线性非时变系统的频域分析
4.4.1 频域分析在第二章线性非时变系统的时域分析中,我们已经指出线性非时变系统的零状态响应 yf(t)是激励 f(t)与冲击响应 h(t)的卷积积分 。 即
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f
f
y t f h t d
y t h t f t
(4―112)
(4―113)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析现在我们设 h(t),f(t)和 yf(t)各自对应的傅里叶变换式为 H(ω),F(ω)和 Yf(ω),即
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )ff
h t H
f t F
y t y
(4―114)
(4―115)
(4―117)
(4―116)
( ) ( ) ( )fY H F
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.18 频域分析示意图线性非时变系统激励信号响应
f ( t ) h ( t ) y
f
( t )
H (? ) Y
f
(? )F (? )
*
× ＝
＝
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析接下来我们讨论一下 H(ω)。 很显然在前面的讨论中,H(ω)已有了两个方面的含义,一是前面我们在式
（ 4― 114） 中定义的 H(ω)是与冲激响应 h(t)对应的频谱函数 ;二是通过式 （ 4― 117） 所表达的 H(ω)的含义是零状态响应频谱函数 Yf(ω)与激励函数 F(ω)的比值,即
()()
()
fYH
F
(4―118)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析另外,考虑到式 （ 4― 115）
1
()
0
1
1
()
0
( ) [ ( ) ]
1
()
2
1
l i m ( )
2
[ ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
1
( ) ( )
2
1
l i m ( ) ( )
2
jt
j k t
k
ff
jt
j k t
k
f t F F
F e d
F k e
y F Y
F H F
H F e d
H k F k e
在看式（ 4-116）和（ 4-117）
（ 4-119）
（ 4-200）
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4― 20如图 4.19所示,试分析单位阶跃信号 u(t)通过 RC高通网络传输后的波形 。
图 4.19
u
S
( t ) ＝ u ( t ) u
O
( t )
1
0 t
u
S
( t ) u
O
( t )
0
1
t
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析解 显然,当输入信号 uS(t)为复指数信号 e jωt时,如图有
( ) ( ) ( )
S R C
S RC
U U U
U U U
则按 H(ω)的定义有
() ( ) ( )
() 1
( ) ( ) ( ) ( )
f RR
S R C
Y U U R j
H
F U U U jR
jC
对于单位阶跃信号 u(t)而言,此时
1( ) ( )ut
j
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
1
( ) [ ( ) ] ( )
1
( ) ( ) ( ) [ ( ) ]
1
()
1
( 1 ( )
1
f
F F u t
j
j
Y H F
jj
j
jj
jj
j
最后一步考虑了冲激函数的取样性质。因此
11 1( ) [ ( ) ] [ ] ( )t
fy t F Y F e u tj
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.4.2 无失真传输系统的频域分析无失真传输系统是指这样一个系统,它的输出信号与输入信号相比只有幅度的大小和出现时间的先后不同,
而没有波形上的变化 。 系统的数学模型具有如下的形式,
yf(t)=Kf(t+td) (4― 121)
设输入信号 f(t)的谱频函数为 F(ω),输出信号 yf(t)的谱频函数为 Yf(ω)。 根据傅里叶变换的时移特性对上式进行傅里叶变换后可得输出信号频谱和输入频谱之间的关系,
Y(ω)=Ke –jωtF(ω) (4― 122)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析由上式可见,为使信号传输无失真,系统频率函数应为
H(ω)=Ke-jωtd
从中可看出系统频率函数的模和相位为
()
() d
HK
t
(4―123)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.20 无失真传输系统的幅频和相频特性
0
k
(? ) H (? )
H (? ) ＝ k
(? ) ＝ － t
d
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
11
( ) [ ( ) ] [ ( ) ] 1
( ) ( ) ( )
[ ( ) ] [ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )
d
d
jt
f
jt
f f d
d
F
F F f F g
Y H F K e
y F Y F K e K t t
h t K t t
h t H
其实，此时的系统输出信号 yf(t)既是系统的冲激响应 h(t),既有
（ 2-124）
（ 4-125）
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.4.3 理想低通滤波器的频域分析理想低通滤波器是指频率特性为式 (4― 126)所限制的系统,即由图 4.21中可看出 H(ω)可看作是在频域中宽度为
2ωC,幅度为 1的门函数,可写为
()
0
djt
C
C
e
H
(4―126)
2( ) ( )d CjtH e g
(4―127)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.21 理想低通滤波器的频率特性
0?
(? ) H (? )
(? )
H (? )1
－?
C
C
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.22 理想低通滤波器对单位冲激信号的响应波形
t0
1
f ( t ) ＝ ( t )
t
h ( t )
0
π
C
C
π
t
d
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析则输出信号的频谱为 2
1
( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ]
1
[ ( ) ]
0
d
C
d
jt
f
jt
C
C
Y H F e g
j
e
j
由此可求出理想底通滤波器对单位阶跃信号的影响 1
()
()
( ) [ ( )]
11
[ ( ) ]
2
1
[ ( ) ]
2
C
d
C
d
CC
d
CC
ff
jt jt
j t t
j t t
y t F Y
e e d
j
e
e d d
j
（ 4-128）
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
00
0
0
0
0
0
0
0
1 c o s ( ) s i n ( )
( ) { [ ] }
2
1 1 s i n ( )
2
1 1 s i n ( )
()
2 ( )
11
()
2
C
C
C
C
f
t t t t
y t d
jj
tt
d
j
tt
d t t
tt
S i t t
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析图 4.23 理想低通滤波器对单位阶跃信号的响应波
f ( t ) ＝ u ( t )
1
0 t
t
d
t0
1
0,5
y
f
( t )
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析以上讨论了理想低通滤波器对单位冲激信号和单位阶跃信号的响应,这里我们还需要注意以下几点,
(1)由响应的波形图可见,响应的时间比激励滞后,延迟时间为 td。
(2)阶跃信号的响应不像阶跃信号那样陡直,而是倾斜的,这说明输出信号的建立需要一定的时间 。 一般以阶跃响应中幅度由 0到 1作为计算建立时间的标准 。
查 Six正弦函数积分表可知响应建立时间为
3,8 3
C
t
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
(3)由响应的波形图可见,输出信号在输入信号建立之前和后都有,向 ± ∞延伸且振荡 。 由此,早在 t=0时刻以前在无信号输入的情况下就已有信号输出,这显然违背了自然界的因果律 。 这是因为理想低通滤波器是根据式 （ 4― 127） 设计的,过于理想化,现实中不可能实现 。
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
4.5 傅里叶变换计算机模拟举例运用计算机对傅里叶变换进行模拟的主要任务就是在设定系统频率函数的基础上根据不同的激励信号来模拟与之相应的响应 。 整个过程一般分为以下几个步骤,
（ 1） 输入系统频率函数 ;
（ 2） 输入激励信号 ;
（ 3） 按一定的算法完成激励信号的傅里叶变换得到激励信号频谱 ;
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
（ 4） 根据系统频率函数和激励信号频谱按一定的算法计算系统的响应频谱 ;
（ 5） 按一定的算法完成频率响应的傅里叶逆变换得到系统响应 ;
（ 6） 输出系统响应及其频谱 。
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
1
( ) ( )
2
( ) ( )
(,) (,)
( ) (,)
jt
jt
f t F e d t
F f t e d t
y D x s d s j E x s d s
Y x X x s d s
(4―129)
(4―130)
(4―131)
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析我们在每个分区内用梯形面积代替实际积分值 。
当分区相当多时,所有这些梯形面积的和可逼近实际的积分值 。 计算公式如下,
1
1
1,1
21
,1 1,1 1 1
1
,,1 1,1 1,11
2
[ ( ) ( ) ]
2
11
( ( ( ) ) )
22
1
()
41
i i
i
i i i i
k
i j i j i i jj
ba
h
h
R f a f b
R R h f a k h
R R R R
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析当 时运算结束。 R i,j为积分近似解。龙贝格积分的计算次序是
1,1 1,11
1 ()
41 i i jj RR
1,1
2,1 2,2
3,1 3,2 3,3
4,1 4,2 4,3 4,4
,1,2,3,n n n n n
R
RR
R R R
R R R R
R R R R
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析依上述算法实现的相应 C语言算法如下,
floatrbg(float(*f)(),floata,floatb)
{
floath,sum,R［ 101］ ［ 101］,err;
inti,j,k,n;
h=(b-a);
R［ 1］ ［ 1］ =h*(f(a)+f(b))/2;
n=100;
for(i=1;i<=n;i++)
{
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
sum=0;
for(k=1;k<=2*i-2;k++)
sum=sum+f(a+(k-0.5)*h)
h=h/2;
R［ i］ ［ 1］ =0.5*(R［ i-1］ ［ 1］ +h*sum);
for(j=2;j<=i;j++)
{
err=(R［ i］ ［ j-1］ -R［ i-1］ ［ j-1］ )/(power(4,j-1)-1);
R［ i］ ［ j］ =R［ i］ ［ j-1］ +err;
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
err=(R［ i］ ［ j-1］ -R［ i-1］ ［ j-1］ )/(power(4,j-1)-1);
R［ i］ ［ j］ =R［ i］ ［ j-1］ +err;
if(abs(err)<E)thenreturnR［ i］ ［ j］
}
}
return0
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析例 4―21 计算抽样函数的傅里叶变换。
解 式 (4―132) 抽样函数的傅里叶变换可写为
sin tSat
t?
(4― 132)
sin sin
[ ] [ ]
sin sin
c o s sin
sin
(,) c o s
sin
(,) sin
jt
tt
Sa t e dt
tt
tt
tdt j tdt
tt
t
D t tdt
t
t
S t tdt
t
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析这样我们可利用龙贝格算法求出该函数的数值解,程序如下,
floatt;
floatD1(floatw)
{
returnsin(t)*cos(w*t)/t;
}
floatS1(floatw)
{
returnsin(t)*sin(w*t)/t;
}
main()
{
,信号与线性系统,
第 4章 连续系统的频域分析
inti,a,b;
a=LEFTVALUE;
b=RIGHTVALUE;
dt=STEP;
t=STARTVALUE;
for(i=1;i<n;i++)
{
D［ i］ =rbg(D1,a,b);
S［ i］ =rbg(S1,a,b);
t=t+dt;
}
}
