,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析第 5章 连续系统的复频域分析
5.1 单边拉普拉斯变换
5.2 拉普拉斯变换的性质
5.3 拉普拉斯反变换
5.4 线性系统的拉氏变换分析法
5.5 连续时间系统函数与系统特性
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.1 单边拉普拉斯变换在前一章中,用傅里叶变换可以将信号映射至频率域,引出了信号与系统的频域分析法 。 信号如果满足狄里赫莱条件,即信号绝对可积,则信号的傅里叶变换存在 。
()f t dt （ 5 ―2 ）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换信号 f(t)之所以不满足绝对可积的条件,是由于当
t→∞ 或 t→ -∞时,f(t)不收敛,即
l i m ( ) 0t ft
（ 5―2 ）
0
()
0
bt
at
et
ft
et
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
()
()
1
()
[ ( ) ] ( ) ( )
( ) ( )
1
( ) [ ( ) ] ( )
2
1
( ) ( )
2
t t j t j t
jt
t j t
jt
F f t e f t e e dt f t e dt
F j f t e dt
f t e F F j F j e d
f t F j e d
它是 σ +jω 的函数,可以写成
F(σ +jω)的傅里叶反变换为将上式两边乘以 eσ t得到
（ 5― 3）
（ 5― 4）
（ 5― 5）
（ 5― 6）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析可见式 （ 5― 4） 和式 （ 5― 6） 构成一对积分变换 。
为了使表述更为简洁,令 s=σ+jω为复频率,从而 ds=jdω,当
ω=± ∞时,s=σ± j∞,于是式 （ 5― 4） 可改写为
( ) ( )
1
( ) ( )
2
st
st
j
F s f t e dt
f t F s e dt
j
式（ 5― 6）可改写为
（ 5― 7）
（ 5― 8）
( ) ( )Lf t F s? （ 5― 9）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析由于实际物理系统中的信号都是有始信号,即 t<0
时,f(t)=0以及信号虽然不起始于 t=0而问题的讨论只需考虑 t≥0的部分,在这种情况下,式 （ 5― 7） 可以改写为
0( ) ( )
stF s f t e d t
（ 5― 10）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.1.2 拉氏变换的收敛域可以证明,当信号是指数阶函数时,其拉氏变换存在 。
所谓指数阶函数,即满足以下条件
l i m ( ) 0tt f t e
σ取值于某实数区间 （ 5―11 ）
0l i m ( ) 0,tt f t e
（ 5―12 ）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 1试求下列信号的拉普拉斯变换,并确定收敛域 。
（ 1） f1(t)=et2; （ 2） f2(t)=u(t);
（ 3） f3(t)=e-2t·u(t); （ 4） f4(t)=e2t·u(t)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.1 例 5― 1
（ a） F2（ s） ROC;（ b） F3（ s） ROC;（ c） F4（ s） ROC
0? 0? 0?2
( a ) ( b ) ( c )
－ 2
j?j? j?
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.1.3 常用信号的拉氏变换下面给出一些常用信号的拉普拉斯变换 （ 假定这些单边信号均起始于 t=0时刻 )。
1）冲激信号 δ(t)
2）阶跃信号 u(t)
00[ ( ) ] ( ) ( ) 1
stL t t e dt t dt
0
0
0
1
[ ( ) ] ( )
1
[]
[]
st
s t a t s t
n n s t
L u t u t e d t
s
L e e e
s
L t t e d t
3） 指数函数信号 e-α t
4） t的正幂信号 tn,（ n为正整数 ）
（ 5― 13）
（ 5― 14）
（ 5― 15）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析对上式进行分部积分,令 u=tn,du=ntn-1dt
1
0
00
11
0
12
2
21
1
,
( 1 ) 1
[]
[]
( 1 )
[ ] [ ] [ ]
( 1 ) ( 2 ) 2 1 !
[]
st st st
n st n st st n
n st n
n n n
o
n
dv e dt v e dt e
s
t e dt t e e nt dt
ss
ss
t e dt L t
nn
s n n
L t L t L t
ns
n n n n
Lt
ss
（ 5― 16）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5） 余弦信号 cosω0t
因为 00
00
0
0
22
0 0 0
1
co s ( )
2
11
[c o s ] [ ] [ ]
22
1 1 1
()
2
j t j t
j t j t
t e e
L t L e L e
s
s j s j s
（ 5― 17）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
6） 正弦信号 sinω0t
因为
00
00
0
0
0
22
0 0 0
1
s in ( )
2
11
[ s in ] [ ] [ ]
22
1 1 1
()
2
j t j t
j t j t
t e e
j
L t L e L e
jj
j s j s j s
（ 5― 18）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
7） 衰减余弦信号 e-αt·cosω0t
因为
00
00
( ) ( )
0
( ) ( )
0
00
22
0
1
c o s ( )
2
1
[ c o s ] { [ ] }
2
1 1 1
()
2
()
j t j tt
j t j tt
e t e e
L e t L e e
s j s j
s
s
（ 5― 19）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
8） 衰减正弦信号 e-αt·sinω0t
因为
00
00
( ) ( )
0
( ) ( )
0
00
0
22
0
1
si n ( )
2
1
[ si n ] { [ ] }
2
1 1 1
()
2
()
j t j tt
j t j tt
e t e e
j
L e t L e e
j
j s j s j
s
（ 5― 20）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析表 5― 1 常用信号及其拉氏变换
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.2 拉普拉斯变换的性质
5.2.1 拉氏变换的基本特性
1.
1 1 2 2
1 2 1 2
( ) ( ) ; ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
LL
L
f t F s f t F s
af t bf t aF s bF s
（ 5― 12）则式中,a和 b为任意常数。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2.
若
( ) ( )
1
( ) ( ),0
L
L
f t F s
s
f at F a
aa
(5― 22)
式中规定 a>0是必要的,因为 f(t)为有始信号,若 a<0
则 f(at)的单边拉氏变换为零,导 致此展缩特性失效 。
3.
若
0
0 0 0
( ) ( )
( ) ( ) ( ),0
L
L
st
f t F s
f t t u t t e F s t?
(5― 23)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析式中 t0>0的规定对单边拉氏变换是必要的,因为若
t0<0,信号的波形有可能左移越过原点,导致原点左边部分的信号对积分失去贡献,此式的证明如下,
0
0 0 0 00
0
[ ( ) ( ) ] ( ) ( )
()
st
st
t
L f t t t t f t t u t t e dt
t t e dt
令 x=t-t0,则 t=x+t0,dt=dx,于是上式可写为
0
0
0
0 0 00[ ( ) ( )] ( ) ( )
( ) ( )
stsx
stsx
t
L f t t t t f x e t t e d x
x e d x e F s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析如果信号 f(t)·u(t)既延时,又展缩时间,
若
( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
L
bL
s
a
f t u t F s
s
f a t b u a t b e F
aa
且有实常数 a>0,b≥ 0,则
（ 5― 24）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―2 设 f(t)=sinω0t,因而
,若 t0>0,试求下列信号的拉氏变换,
（ 1） f(t-t0)=sinω0(t-t0);
（ 2） f(t-t0)·u(t)=sin ω0(t- t0)·u(t);
（ 3） f(t)·u(t-t0)=sin ω0 t·u(t- t0);
（ 4） f(t-t0)·u(t-t0)=sin ω0(t- t0)·u(t- t0)。
解 四种信号如图 5.2(a),(b),(c),(d)所示 。
0
0 2
0
( ) [ si n ]F s L t s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.2 例 5-2图
0 tt
0
)(s i n
00
tt
( a )
0 tt
0
)()(sin
00
tutt
( b )
0 tt
0
( c )
0 tt
0
( d )
)(sin
00
ttut )()(sin
000
ttutt
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析对于 （ 1） 和 （ 2） 两种信号 t≥0的波形相同,因此它们的拉氏变换也相同,即
1 2 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
22
0
( ) ( ) [ si n ( ) ]
[ si n c o s c o s si n ]
c o s si n
F s F s L t t
L t t t t
t s t
s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析对于信号 （ 3）,它的拉氏变换是
0
00
0
0 0 0 0
0
3 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
00
0 0 0 0 0
22
0
( ) [ si n ( ) ] si n
1
[]
2
1
[]
2
c o s si n
[]
st
t
s j t s j t
t
s j t s j t
st
F s L t u t t t e dt
e e dt
j
ee
j s j s j
t s t
e
s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析对于信号 （ 4）,它的拉氏变换是
0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0 0
00
0
4 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
00
0
22
0 0 0
( ) [ sin ( ) ( ) ]
1
[]
2
1
[]
2
1
[]
2
j t t j t t st
t
j t s j t j t s j t
s t s t
st
F s L t t u t t
e e e dt
j
e e e e
j s j s j
ee
e
j s j s j s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 3 求图 5.3所示锯齿波 f(t)的拉氏变换 。
解 首先写出 f(t)的时域函数表达式图 5.3 例 5― 3图
( ) [ ( ) ( ) ]
( ) ( )
E
f t t u t u t T
T
EE
t u t t u t T
TT
0
E
T t
f ( t )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析应用拉氏变换的时移特性,有
22
2
( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )]
[ ( )] [( ) ( )]
[ ( )] [( ) ( )] ( ( )]
11
()
[ 1 ( 1 ) ]
s T s T
sT
EE
F s L f t L t u t L t u t T
TT
EE
L t u t L t T T u t T
TT
E E E
L t u t L t T u t T L T u t T
T T T
ET
ee
T s s s
E s T e
Ts
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 4 试求图 5.4(a)所示单个正弦半波信号 f(t)的拉氏变换 。
图 5.4 例 5― 4图
0
E
t
f ( t )
0 tT
2
T
E
－ E 2
T 0 tT
E
－ E 2
T
f a ( t ) f b ( t )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解 把单个正弦半波信号 f(t)分解成如图 5.4(b)所示的单边正弦信号 fa(t)和如图 5.4(c)所示的延时 T/2的单边正弦信号 fb(t)之和,即应用拉氏变换的时移特性,有
22( ) ( ) ( ) s i n ( ) ( ) s i n [ ( )] ( )
22ab
TTf t f t f t E t u t E t u t
TT
( ) [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
22
[ si n ( ) ( ) ] { si n [ ( ) ] ( ) }
22
abF s L f t L f t L f t
TT
L E t u t L E t u t
TT
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2
2 2 2 2
2
22
22
( ) ( )
[]
22
( ) ( )
2
()
( 1 )
2
()
sT
sT
EE
TT
e
ss
TT
E
T
e
s
T
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 5 试求图 5.5所示的正弦半波周期信号的拉氏变换 。
解 在例 5― 4中我们已求得从 t=0开始的单个正弦半波 （ 亦即本题第一个周期的波形 ） 的拉氏变换为图 5.5例 5― 5图
2
1
22
2
()1
( ) [ ( ) ] [ ( 1 )
21
()
sT
Ts
E
TF s L f t e
e s
T
0 t
E
2
T
f ( t )
T 2 T
…
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析因此,利用式 （ 5― 25） 可直接解出
2
22
2
22
2
22
2
2
()
1
( ) [ ( ) ] [ ( 1 ) ]
21
()
2
()
( 1 )
[]
2
()( 1 )
2
()
1
[]
2
()( 1 )
sT
Ts
sT
sT
sT
E
T
F s L f t e
e
s
T
E
e
T
se
T
E
T
se
T
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 6 试求图 5.6所示信号
f(t)=e-2t［ u(t-2)-u(t-4)］ 的拉氏变换 。
解为了正确应用拉氏变换的时移特性,有时必须对时域信号 f(t)进行恒等变形,大家对此应熟练掌握 。
图 5.6 例 5-6图
0 t
f ( t )
2 4
1
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
22
2 ( 2 ) 4 2 ( 4 ) 8
( ) ( 2 ) ( 4 )
( 2 ) ( 4 )
ttf t e u t e u t
e e u t e e u t
于是
4 2 2 8 2 4
2 ( 2 ) 4 ( 2 )
( ) [ ( )] [ ] [ ]
2
t s t s
ss
F s L f t e L e e e L e e
ee
s
(5― 26 ）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 7 求 f(t)=e-αt·cosω0t·u(t)的拉氏变换 。
解 因为
01 22
0
01 22
0
[ c o s ( ) ] ( )
[ c o s ( ) ] ( )
()
sT
s
L t u t F s
s
sa
L e t u t F s a
sa
利用拉氏变换的频移特性可见,利用性质求解信号的拉普拉斯变换比直接求解简单得多 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.
若
1 2 ( 1 )
[ ( )] ( )
()
[ ] ( ) ( 0 )
()
[ ] ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
n
n n n n
n
L f t F s
d f t
L s F s f
dt
d f t
L s F s s f s f f
dt
（ 5― 27）
（ 5― 28）
式中 f(0-)及 f(n)(0-)分别表示 f(t)及 f(t)的 n阶微分 f(n)(t)在 t=0-时的值 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析证明,根据拉氏变换定义
0
( ) ( )[] std f t d f tL e d t
d t d t?
积分下限取 0-是把 f(t)中可能存在的冲激信号也包含在积分中。应用分部积分法,则有
0 0
()[ ] [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( 0 )s t s tdtL e f t s e f t d t s F s f
dt?
式（ 5― 27）得证。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析同理可得 22
22
00
0
2
( ) ( ) ( )
[ ] [ ]
()
( ) ( 0 )
( ) ( 0 ) ( 0 )
s t s t
t
d f t d f t d d f t
L e d t e d t
d t d t d t d t
d f t
sF s f
dt
s F s f f
依此类推,可得式 （ 5― 28） 。
若 f(t)为单边信号,则式 （ 5― 27） 中由于 f(0-)=0而简化为 [ ( ) ( )
{ } ( )d f t u tL s F sdt?
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―8 已知分别如题图 5.7(a),(b)所示,试求 f′1(t)与 f′2(t)的拉氏变换 。
12
0( ) ( ),( )
10
at
at etf t e u t f t
t
图 5.7 例 5― 8中两信号的波形
0
1
t
f
1
( t )
( a )
0
1
t
f
2
( t )
－ 1
( b )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解 因为
1
11
2
12
( ) ( )
[ ( ) ] 1 ( )
()
2 ( ) ( )
2
[ ( ) ] 2 1 ( ) ( 0 )
st
st
df
t e u t
dt
d
L f t sF s
dt s s
df t
t e u t
dt
ds
L f t sF s f
dt s s s
式中,
21
1( ) ( ),( 0 ) 1,F s F s f
s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 9 利用时域微分性质,重求例 5― 3（ 图 5.3） 所示锯齿波的拉氏变换 。
解 因为
( ) [ ( ) ( ) ]Ef t t u t u t TT( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
E E E E
f t t t u t t t T u t T
T T T T
E E E
u t T t T u t T
T T T
EE
u t E t T u t T
TT
( ) ( ) ( ) ( )EEf t t E t T t TTT
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
[ ( )] ( 1 ( ))
( 1 ( 1 ) )
s T s T s T s T
sT
E E E
L f t E s e e T s e e
T T T
E
s T e
T
由时域微分性质,又因 f(0-)=f′ (0-)=0,有
L［ f″ (t)］ =s2F(s),故得
2
( 1 ( 1 ) )() sTE s T eFs
Fs
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
6.
若
0
( 1)
0
( 1)
0
[ ( ) ] ( )
1
( ) ( )
11
( ) ( ) ( 0 )
( 0 ) ( ) ( )
Lt
Lt
t
t
L f t F s
f d F s
s
f d F s f
ss
f f d f d
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析证明,根据拉氏变换的定义
0 0 0
0
0 0 0
[ ( ) ] [ ( ) ]
1
[ ( ) ] [ ( ) ] ( )
tt
st
st
tt
st
L f d f d e d t
e
L f d f d f t e d t
ss
应用分部积分法可得当 t→∞ 或 t=0-时,上式右边第一项为零,所以
0
1( ) ( )Lt f d F s
s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 10试通过阶跃信号 u(t)的积分求斜坡信号 tu(t)
及 tnu(t)的拉氏变换 。
解 因为
0
2
1
1
( ) [ ( ) ]
( ) ( )
1 1 1
[ ( ) ] ( )
!
[ ( ) ]
t
n
n
F s L u t
s
tu t u d
L t u t
s s s
n
L t u n
s
而奇异信号之间的微积分关系有重复应用时域积分,可得
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.2.2 拉氏变换的卷积及初、终值定理和傅氏变换类似,拉氏变换除了上述的基本特性之外,在时域和复频域之间卷积积分,信号乘积,初值和终值的计算也存在着一些重要的映射关系,它们在系统分析中具有重要的作用 。 下面逐一介绍 。
1.
若
1 1 2 2
1 2 1 2
[ ( ) ] ( ) ; [ ( ) ] ( )
[ ( ) ( ) ] ( ) ( )
L f t F s L f t F t
L f t f t F s F t
（ 5― 32）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 11 已知某 LTI系统的冲激响应 h(t)=e-tu(t),试用时域卷积定理求解输入信号 f(t)=u(t)时的零状态响应
yf(t)。
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f
f
y t f t h t
Y s F s H s
根据时域卷积定理有式中 H(s)=L［ h(t)］称为系统函数。由于
1
( ) ( )
1
( ) ( )
1
L
L
f t F s
s
h t H s
s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2.
若故 1 1 1 1( ) ( ) ( )
( 1 ) 1
( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )
f
tt
f
Y s F s H s
s s s s
Y t u t e u t e u t
对上式取拉普拉斯逆变换,得
1 1 2 2
1 2 1 2
[ ( )] ( ); [ ( )] ( )
1[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
2
L f t F s L f t F s
L f t f t F s F s
j?
（ 5― 33）
式 （ 5― 33） 表明,两个信号时域乘积对应到复频域为复卷积,复卷积的定义是
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
j
jF s F s F u F s u d u
（ 5― 34）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
3.
若
( ) ( )
()
[ ( )]
()
[( 1 ) ( )]
L
n
nn
n
f t F s
d F s
L t f t
ds
d F s
L t f t
ds
（ 5― 35）
（ 5― 36）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 12 试求信号 f(t)=t2e-αt u(t)的拉氏变换 。
解 令
。 由复频域微分,得
1 1 1
1( ) ( ) ( ) [ ( )]tf t e u t F t L f t
sa
2
22 1
1 22
3
( ) 2
( ) ( ) ( )
()
2
( ) [ ( ) ]
()
L
at d F st e u t t f t
d s s a
F s L f t
sa
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
4,初值定理若 [ ( ) ] ( ) l i m [ ( ) ]
tL f t F s s F s
存在,则 f(t)的初值且
0( 0 ) l i m ( ) l i m [ ( ) ]tsf f t s F s
（ 5― 37）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.
若 存在,则 f(t)的终值
[ ( ) ] ( ),l i m ( )tL f t F s f t
0( ) l i m ( ) l i m [ ( ) ]ttf f t s F s
（ 5― 38）
例 5― 13 已知复频域中,试求时域中 f(t)的初值和终值 。
1()
1Fs s
00
( 0 ) lim [ ( ) ] lim 1
1
( ) lim [ ( ) ] lim 0
1
ss
ss
s
f s F s
s
s
f s F s
s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析表 5― 2 拉氏变换的性质
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.3 拉普拉斯反变换
5.3.1 部分分式展开法常见的拉氏变换式是复频域变量 s的多项式之比
（ 有理分式 ）,一般形式是
1
1 1 0
1
1 1 0
()()
()
mm
mm
nn
nn
b s b s b s b N sFs
a s a s a s a D s
（ 5― 39）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析式中,N(s)和 D(s)分别是 F(s)的分子多项式和分母多项式,an,bm等是实数 。 在分解 F(s)为许多简单变换式之前,应先检查一下 F(s)是否是真分式,即保证 n>m。 若不是真分式,需利用长除法将 F(s)化成如下形式 。
2 1
0 1 2
( ) ( )()
( ) ( )
mn
mn
N s N sF s B B s B s B s
D s D s
（ 5― 40）
32
22
( ) 3 2 7 1 4
( ) 3 5
( ) 1 1
N s s s s s
F s s
D s s s s s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1,D(s)=0
D(s)是 s的 n次多项式,可以分解为 n个因子的乘积,即
D(s)=an(s-s1)(s-s2)…(s-sk)…(s-sn)
这里先假定 s1,s2,…,sn是互不相等的实根,于是
F(s)便可以展开为部分分式之和 。 即
12
12
12
( ) ( )
()
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
[]
n k n
kn
n k n
N s N s
Fs
D s a s s s s s s s s
K K K K
a s s s s s s s s
（ 5―41 ）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析式中,K1,K2,?,Kn为 n个待定系数 。
为了确定系数 Kk,可以在式 （ 5― ４ 1） 的两边乘以因子 (s-sk),再令 s=sk,这样式 （ 5― 41） 右边只留下 Kk项,
便有
()
()
()
()
[( ) ]
()
k
k
K
k s s
n
K n k s s
N s K
ss
D s a
Ns
K a s s
Ds
（ 5―42 ）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析求得系数 Kk后,则与 对应的时域函数可由表 5― 1查得为
k
k
K
ss?
1
11
1
1
11
[]
()
[ ( ) ] [ ]
()
1
[]
1 1 ( )
[ ( ) ]
()
k
kk
k
stk
k
k
n
k
knk
nn
s t s t
k k s s
kknn
K
L K e
ss
Ds
L F s L
Ds
K
L
a s s
Ns
K e s s e
a a D s
（ 5―43 ）
（ 5―44 ）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―14 求的原函数 f(t)。
解 首先将 F(s)化为真分式
32
32
2 15 25 15()
6 11 6
s s sFs
s s s
2
32
32
1 2 3
2
1 2 3
32
2 3 3
( ) 2
6 11 6
( ) 6 11 6 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
1,2,3
2 3 3
[]
6 11 6 1 2 3
ss
Fs
s s s
D s s s s s s s
s s s
s s K K K
s s s s s s
所以 F(s)的真分式可展成部分分式
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析系数 K1,K2,K3可由式 （ 5― 42） 求得为
1
1 3 1
2
1
2
1
2
22
2
2
2
3
()
[ ( ) ]
()
( 2 3 3 )
1 [ ( 1 ) ]
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
( 2 3 3 )
[ ] 1
( 2 ) ( 3 )
( 2 3 3 )
1 [ ( 2 ) ]
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
( 2 3 3 )
[ ] 1
( 1 ) ( 3 )
( 2 3 3 )
1 [ ( 3 ) ]
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
ss
s
s
s
s
Ns
K a s s
Ds
ss
s
s s s
ss
ss
ss
Ks
s s s
ss
ss
ss
Ks
s s s
3
2
3
( 2 3 3 )
[ ] 6
( 1 ) ( 2 )
s
s
ss
ss
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析于是 F(s)可展开为
1 1 1 1 1
23
1 5 6
( ) 2
1 2 3
1 5 6
( ) [ ( )] [ 2 ] [ ] [ ] [ ]
1 2 3
2 ( ) 5 6 ( 0)
t t t
Fs
s s s
f t L F s L L L L
s s s
t e e e t?
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2,D(s)=0
若
D(s) =an(s-s1)(s-s2)? (s-sn-2)(s2+bs+c)
=D1(s)· (s2+bs+c)
式中,D1(s)=an(s-s1)(s-s2)? (s-sn-2),s1,s2,?,sn-2是 (n-2)
个 D(s)=0的不相等的实根 。
二次三项式 (s2+bs+c)中若 b2<4c,则构成一对共轭复根 。 因此 F(s)可写成
1
2
1
( ) ( )()
( ) ( )
N s As B N sFs
D s s bs c D s
（ 5― 45）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―15 求 的原函数 f(t)
解 （ 1）
这里 D(s)=s2+2s+5=(s+1-j2)(s+1+j2)=0,有一对共轭复根 s1=-1+j2,s2=-1-j2,如前例一样将 F(s)写成
2() 25
sFs
ss
12
2
1 1 22
2
()
2 5 1 2 1 2
1 2 1
[ ( 1 2 ) ] ( 2 1 )
2 5 4 4
1
( 2 1 )
4
sj
s K K
Fs
s s s j s j
sj
K s j j
s s j
Kj
由于 K1与 K2是共轭的,所以
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2
1 1 1
( 1 2 ) ( 1 2 )
1 2 1 2 1
( ) ( )
2 5 4 1 2 1 2
1 2 1 2 1
( ) ( ) { [ ] [ ]
4 1 2 1 2
1
( 2 1 ) ( 2 1 ) ]
4
1
( 2 c o s 2 si n 2 ),( 0 )
2
j t j t
t
s j j
Fs
s s s j s j
jj
f t L F s L L
s j s j
j e j e
e t t t
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
3,D(s)=0
若 D(s)=0只有一个 r重根 s1,即 s1=s2=? =sr,而其余 (n-r)
个全为单根,则 D(s)可写成
1 1 2
1 ( 1)1
1
11
12 11 1 1
2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1
( ) (
( ) ( ) ( )
)
()
r
n r r n
rr
rr
n
r r n
r r n
D s a s s s s s s s s
KN s K
Fs
D s a s s s s
K K K K K
s s s s s s s s s s
F (s)展开的部分分式为
(5― 46)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 17 求 的原函数 f(t)。
解 D(s)=0有一个单根 s1=-1和一个三重根 s2=-3。
将 F(s)展开为
2
3
2 3 3()
( 1 ) ( 3 )
ssFs
ss
2
3
1 23 22 21
32
2 3 3
()
( 1 ) ( 3 )
1 ( 3 ) ( 3 ) 3
ss
Fs
ss
K K K K
s s s s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―18 求 的原函数 f(t)。
解 将 F(s)变形为上式第二项有延时因子 e-2s,它对应的原函数也延迟 2个单位,由延时特性,得
21
() 1
se
Fs s
211()
11
sF s e
ss
2 ( 2 )
1 ( 2 )
1
()
1
1
( 2 )
1
( ) [ ( )] ( ) ( 2 )
L
t
L
st
tt
e u t
s
e e u t
s
f t L F s e u t e u t
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―19 求 的原函数 f(t)。
2
2()
22
sFs
ss
2 2 2 2 2
1
2 1 1
()
2 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1
( ) [ ( ) ] c o s ( ) si n ( )
2 c o s( ) ( )
4
tt
t
ss
Fs
s s s s
f t L F s e t u t e t u t
e t u t
由余弦,正弦的拉氏变换公式及复频移特性,得
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.3.2 围线积分法（留数法）
拉普拉斯的反变换式是
1( ) ( )
2
st
jf t F s e dsj
这是一个复变函数的积分,积分路径是 s平面上平行于虚轴的直线 σ =C>σ 0,如图 5.8所示 。
当 t>0时,圆弧应补在直线左边,如图 5.8中的 CR1;
而当 t<0时,圆弧应补在直线右边,如图 5.8中的 CR2。 因为根据约当引理,若满足条件
li m ( ) 0sR Fs
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.8 拉氏反变换积分线
0
C
R2
j?
C ＋ j∞
C － j∞
C
R1
R →∞
C
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1
2
l i m ( ) 0,0
l i m ( ) 0,0
R
R
st
CR
st
CR
F s e d s t
F s e d s t
因此拉氏反变换积分等于围线积分乘以,即12 j? 1
2
1
( ) ( )
2
1
[ ( ) ( ) ],0
2
1
( ) ( )
2
1
[ ( ) ( ) ],0
2
R
R
j
st
j
j
s t s t
jC
j
st
j
j
s t s t
jC
f t F s e ds
j
F s e ds F s e ds t
j
f t F s e ds
j
F s e ds F s e ds t
j
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析另外,留数定理又指出,复平面上任意闭合围线积分等于围线内被积函数所有极点的留数之和乘以 2πj。 由于图 5.8中围线 CR1半径充分大,并在直线 σ=C>σ0的左边,
因而 CR1与直线所构成的闭合围线包围了 F(s)· est的所有极点 sk,故有而围线 CR2在直线 σ=C>σ0的右边,CR2与直线所构成的围线不包含 F(s)· est的任何极点,故有
f(t)=0,t<0 （ 5― 53）
1( ) ( ) R e [ ( ) ] 0
2 k
j s t s t
ssj
k
f t F s e d s s F s e d s tj
（ 5― 52）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析当 F(s)为有理函数时,其留数可作如下计算,
（ 1）若 sk为 F(s)·est的单极点,则
1
1
R e [ ( ) ] [( ) ( ) ]
1
R e [ ( ) ] { [( ) ( ) ]}
( 1 ) !
kk
kk
s t s t
s s k s s
r
s t r s t
s s k s sr
s F s e s s F s e
d
s F s e s s F s e
r d s
（ 5― 54）
（ 5― 55）
（ 2） 若 sk为 F(s)·e st的 r重极点,则
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―20 试用留数法求的原函数 f(t)。
解 因为 s1=-1,s2=-2,s3=-3均为 F(s)· est的单极点,由式
（ 5― 53） 有
22 3 3
() ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )ssFs s s s
1
2
3
2
1
2
2
2
2
3
3
2 3 3
R e [ ( ) ] [( 1 ) ]
( 1 )( 2 )( 3 )
2 3 3
R e [ ( ) ] [( 1 ) ] 5
( 1 )( 2 )( 3 )
2 3 3
R e [ ( ) ] [( 1 ) ] 6
( 1 )( 2 )( 3 )
s t s t t
s s s
s t s t t
s s s
s t s t t
s s s
ss
s F s e s e e
s s s
ss
s F s e s e e
s s s
ss
s F s e s e e
s s s
3
13
1
( ) [ ( ) ] R e [ ( ) ] 5 6,( 0)s t t t
k
f t L F s s F s e e e e t
故
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.4 线性系统的拉氏变换分析法拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具,它将描述系统的时域微积分方程变换为 s域的代数方程,便于运算和求解 ;同时,它将系统的初始状态自然地含于象函数方程中,既可分别求得零输入响应,零状态响应,也可一举求得系统的全响应 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.4.1 微分方程的拉氏变换解设 LTI系统的激励为 f(t),响应为 y(t),描述 n阶系统的微分方程的一般形式可写为
1
1 1 01
1
1 1 01
( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( )
()
nn
nn nn
mm
mm mm
d y t d y t dy t
a a a a y t
dt dt dt
d y t d y t dy t
b b b b y t
dt dt dt
(5― 56)
对上式两边取拉普拉斯变换,并假定 f(t)是因果信号 （ 有始信号 ）,即 t<0时,f(t)=0,因而
( 1)( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f f
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析利用时域微分性质,有
1 ( 1 )
2
1
1 2 ( 2 )
11 1
11
00
()
[ ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
()
[ ( ) ( 0 ) ( 0 )
()
[ ( ) ( 0 ) ]
( ) ( )
n
L
n n n
n n nn
n
L
n n n
nn n
L
L
d y t
a a s Y s s y s y y
dt
d y t
a a s Y s s y y
dt
d y t
a a s Y s y
dt
a y t a Y s
（ 5― 57）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1
1
11 1
11
00
()
()
()
()
()
()
( ) ( )
m
L
m
mmm
m
L
m
mmm
L
L
d f t
b b s F s
dt
d f t
b b s F s
dt
df t
b b sF s
dt
b f t b F s
(5― 58)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析式 （ 5― 57） 中 y(i)(0-)表示响应 y(t)的 i阶导数的初始状态 。 将式 （ 5― ２ 2） 与 （ 5― 23） 代入式 （ 5― 56）,
可得
1 1 1 0
1
1 1 0
12
11
23
12
( 2 )
1
( 1 )
( ) ( )
[ ] ( )
( ) ( 0 )
( ) ( 0 )
( ) ( 0 )
( 0 )
n n n n
mm
mm
nn
nn
nn
nn
n
nn
n
n
a s a s a s a Y s
b s b s b sb F s
a s a s a y
a s a s a y
a s a y
ay
（ 5― 59）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析代入式 （ 5― 59）,则得
1
1 1 0
1
1 1 0
1
()
0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( 0 )
nn
nn
mm
mm
n
i
i
i
a s a s a s a Y s
b s b s b s b F s
A s y
（ 5― 60）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析可见,时域的微分方程通过取拉氏变换化成复频域的代数方程,并且自动地引入了初始状态 。 响应的拉普拉斯变换为 1
()
1
1 1 0 0
1 1 1 1
1 1 0 1 1 0
( ) ( 0 )
( ) ( )
( ) ( )
n
i
mm i
mm i
n n n n
n n n n
fs
A s y
b s b s b s b
Y s F s
a s a s a s a a s a s a s a
Y s Y s
1
1 1 0
11
1 1 0
() ()()
( ) ( )
mm
f mm
nn
nn
Ys b s b s b s b N sHs
F s a s a s a s a D s
（ 5― 61）
（ 5― 62）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.9 系统的复频域框图
1
a
n
s
n
＋ a
n － 1
s
n － 1
＋ … a
1
s ＋ a
0
∑
b
m
s
m
＋ b
m － 1
s
m － 1
＋ … b
1
s ＋ b
0
a
n
s
n
＋ a
n － 1
s
n － 1
＋ … a
1
s ＋ a
0
Yx ( s )
Y
f
( s ) Y ( s )F ( s )
)0()(
)(
1
0
i
n
i
i
YsA
初始状态响应激励
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1
11
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( ) [ ( ) ]
1
[ ( ) ( ) [ ( ) ]
()
fx
fx
Y s Y s Y s H s F s T s
Ds
y t y t y t L Y s
L H s F s L T s
Ds
（ 5― 63）
系统响应 y(t)为
（ 5― 64）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 23描述某 LTI连续系统的微分方程为
y″(t)+3y′(t)+2y(t)=2f′(t)+6f(t)
已知输入 f(t)=u(t),初始状态 y(0-)=2,y(0-)=1。 试求系统的零输入响解 对微分方程取拉普拉斯变换,可得
s2Y(s)-sy(0-)-y′(0-)+3sY(s)-3y(0-)+2Y(s)=2sF(s)+6F(s)
即
(s2+3s+2)Y(s)-［ sy(0-)+y′(0-)+3y(0-)］ =2(s+3)F(s)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析可解得
22
( ) ( ) ( )
2 ( 3 ) ( 0 ) ( 0 ) 3 ( 0 )()
3 2 3 2
fxY s Y s Y s
s sy y yFs
s s s s
将 和各初始值代入上式,得1( ) [ ( )]F s L u t
s
2
2
2 ( 3 ) 1 2 ( 3 )
()
3 2 ( 1 ) ( 2 )
3 4 1
12
2 7 2 7
()
3 2 ( 1 ) ( 2 )
53
12
f
x
ss
Yt
s s s s s s
s s s
ss
Yt
s s s s
ss
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析对以上二式取逆变换,得零状态响应和零输入响应分别为
12
12
2
12
( ) [ ( ) ] ( 3 4 ) ( )
( ) [ ( ) ] 5 3,0
( ) ( ) ( ) 3 2,0
( ) [ ( ) ] 3 2,0
tt
ff
tt
xx
tt
fx
tt
y t L Y s e e u t
y t L Y s e e e t
y t y t y t e e t
y t L Y s e e t
系统的全响应或直接对 Y(s)取拉氏反变换,亦可求得全响应 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析直接求全响应时,零状态响应分量和零输入响应分量已经叠加在一起,看不出不同原因引起的各个响应分量的具体情况 。 这时拉氏变换作为一种数学工具,自动引入了初始状态 。 简化了微分方程的求解 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―24 如图 5.10所示电路中,已知 C= 1/ 2
F,R1=2Ω,R2=2Ω,L=2H,激励 iS(t)为单位阶跃电流 u(t)A,电阻 R1上电压的初始状态 u1(0-)=1 V,u′1(0-)=2V,试求该电路的响应电压 u1(t)
图 5.10 例 5― 24图
u
1
( t )
＋
－
i
L
( t )
i
S
( t )
C R
1
R
2
L
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解由 KCL
11
1
1
12
( ) ( )
()
()
( ) ( ) 0
LS
L
L
d u t u t
C i i t
d t R
d i t
u t R i t
dt
由 KVL
代入元件值,消去中间参量 iL(t)可得微分方程
2
11
12
2
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )2 2 ( ) 2 2 ( )
( ) ( 0 ) ( 0 ) 2 [ ( ) ( 0 ) ] 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )
S
S
SS
d u t d u t d i tu t i t
d t d t d t
s U s s u u s U s u U s s I s I s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.4.2 电路的 s域模型时域的 KCL方程描述了在任意时刻流出 （ 或流入 ）
任一节点 （ 或割集 ） 电流的方程,它是各电流的一次函数,若各电流 ik(t)的象函数为 Ik(s)（ 称其为象电流 ）,则由线性性质有
1
( ) 0
n
k
k
Is
(5― 65)
1
( ) 0
n
k
k
Us
(5― 66)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1,电阻 R
因为时域的 VAR为 u(t)=R· i(t),取拉氏变换有
2.自感 L
对于含有初始值 iL(0-)的自感 L,因为时域的 VAR有微分形式和积分形式两种,对应的 s域模型也有两种形式
1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2U s R I s I s U s G U s
(5― 67)
0
()
( ) ( ) ( ) ( 0 )
1 1 ( 0 )
( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( )
L
L
Lt
L
L
di t
u t L U s sL I s L i
dt
i
i t i u d I s U s
L sL s
(5― 68)
(5― 69)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析式 （ 5― 68） 表明,电感端电压的象函数等于两项之差 。 它是两部分电压相串联,其第一项是 s域感抗 sL与象电流 I(s)的乘积 ;其第二项相当于某电压源的象函数
L· iL(0-),可称之为内部象电压源 。 这样,自感 L的 s域串联形式模型是由感抗 sL与内部象电压源 L· iL(0-)串联组成,这里应特别注意内部象电压源 L· iL(0-)的极性与 U(s)
相反,如表 5― 3所示 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析表 5― 3 电路元件的 s域模型
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
3.电容 C
对于含有初始值 uC(0-)的电容 C,用与分析自感 s域模型类似的方法,同理可得电容 C的 s域模型为
0
1 1 ( 0 )
( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( ) ( 0 )
Lt
C
C
L
C
u
u t i d t u U s I s
C s C s
d u t
i t C I s s C u s C u
dt
(5― 71)
(5― 70)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析过程中要特别注意三点,
(1) 对于具体的电路,只有给出的初始状态是电感电流和电容电压时,才可方便地画出 s域等效电路模型,否则就不易直接画出,这时不如先列写微分方程再取拉氏变换较为方便 ;
(2) 不同形式的等效 s域模型其电源的方向是不同的,
千万不要弄错 ;
(3) 在作 s域模型时应画出其所有内部象电源,并特别注意其参考方向。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―25 试求图 5.11(a)所示的电流 i(t)。已知,R=6Ω,L=1H,C=0.04F,US(t)=12sin5tV,初始状态
iL(0-)=5A,uC(0-)=1V。
图 5.11 例 5― 25图
＋－
＋
－
＋
－
u
C
( t )
i ( t )
u
S
( t )
LR
C
＋
－
I ( s )
U
S
( s )
sLR
Li ( 0
－
)
1
sC
＋
－
u
C
( 0
－
)
1
s
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解 本题 s域模型如图 5.11(b)所示 。 其中
2 2 2 2
5 6 0
( ) 1 2
55
( 0 ) 1 5 5
1 1 1
( 0 ) 1
S
C
Us
ss
Li
u
s s s
由 KVL可得
11( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 )
SCR s L I s U s L i us C s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1
( 0 ) ( 0 )
()
( ) ( ) ( )
11
()
()
1
1
( 0 ) ( 0 )
()
1
C
S
fx
S
f
C
x
L i u
Us
s
I s I s I s
R s L R s L
s C s C
Us
Is
R s L
sC
L i u
s
Is
R s L
sC
为零状态响应的象函数,是由输入引起的 ;
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析为零输入响应的象函数,是由初始条件引起的 。
先计算 If(s)。将 R,L,C的数值代入得
2 2 2 2
( ) 6 0()
1 [( 3 ) 4 ]( 5 )
S
f
U s sis
ssR s L
sL
应用部分分式展开式,可写成
1 1 2 2
1 3 4
25
13
3
()
3 4 3 4 5 5
( 3 4 ) ( ) 1,2 5 1,2 5 9 0
( 5 ) ( ) 1 9 0
( ) [ ( )] [ 2,5 c o s( 4 9 0 ) 2 c o s( 5 9 0 )] ( )
( 2,5 si n 4 2 si n 5 ) ( )
f
o
f s j
o
f s j
t o o
ff
t
K K K K
Is
s j s j s j s j
K s j I s j
K s j I s j
i t L I s e t t u t
e t t u t
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―26 试求图 5.12(a)所示电路的 u2(t)。已知初始条件 u1(0-)=10V;u2(0-)=25V;电压 uS(t)=50cos2t· u(t)V。
图 5.12 例 5― 26图
＋
－
＋
－
u
2
( t )u
S
( t ) ＋
－
u
1
( t )
2 0?
2 4?
3 0?
1
48
F
1
24
F
＋
－
＋
－
U
1
( s )
＋
－
U
2
( s )
2 0? 2 4?
3 0?
10
48
48
s
25
24
24
s
( a ) ( b )
50 s
s 2 ＋ 4
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解 作 s域模型如图 5.12(b)所示 。 注意,初始条件以内部象电流源形式表出便于使用节点分析法 。
列写象函数节点方程
12
12 2
1 1 10
( ) ( ) ( )
24 48 24 48
1 1 1 1 5 25
( ) ( ) ( )
24 24 30 24 20 2 ( 4 ) 24
s
U s U s
ss
U s U s
s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
12
12 2
1
32
2 2
2 2
14
22
( 2 ) 2 10 ( )
60
( ) ( 3 ) ( ) 25
4
10 2 ( )
()
2
25 120 220 240
()
( 1 ) ( 4 ) ( 4 )
23 16
12 24
33
()
1 4 4
23 16
( ) [ ( ) ] ( 12 c o s 2 12 sin 2 ) ( )
33
s
tt
s U U s
U s s U s
s
Us
Us
s
s s s
Us
s s s
s
Us
s s s
U s L U s e e t t u t V
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 27 图 5.13(a)所示电路,开关 K在 t=0时闭合,已知 uC1(0-)=3V,uC2(0-)=0V,试求开关闭合后的网孔电流
i1(t)。
图 5.13 例 5― 27图
＋－
u
C 1
( 0
－
)
i
1
( t )
3?C
1
＝ 1 F
C
2
＝ 2 F
i
2
( t )
t ＝ 0
I
1
( s )
I
2
( s )
＋
－
1
s
3
s
1
2 s
3
( a ) ( b )
K
＋
－
u
C 2
( 0
－
)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解 适宜用网孔法求解,初始条件以内部象电压形式表示 。 s域模型如图 5.13(b)所示 。 网孔方程为
12
12
1
1
9
11
1 1 1 3
( ) ( ) ( )
22
11
( ) ( 3 ) ( ) 0
22
1
61
9
( ) 3 2
191
9
1
( ) [ ( ) ] 2 ( ) ( )
9
t
I s I s
s s s s
I s I s
ss
s
Is
s
s
i t L I s t e u t A?
取拉氏反变换
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.4.3 系统函数与 s域分析法系统函数 H(s)是零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比,即
1
1 1 0
1
1 1 0
() ()()
( ) ( )
mm
f mm
nn
nn
Ys b s b s b s b N sHs
F s a s a s a s a D s
(5― 72)
从上式可以看出,系统函数与系统的激励无关,仅决定于系统本身的结构和参数 。 系统函数在系统分析与综合中占有重要的地位 。 下面讨论如何围绕系统函数进行系统分析 。
由于
( ) ( ) ( )fY s H s F s?
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析当系统的激励为 δ(t)时,零状态响应为 h(t),故即系统的冲激响应 h(t)与系统函数 H(s)构成了一对拉普拉斯变换对,h(t)和 H(s)分别从时域和复频域两个角度表征了同一系统的特性 。
为了说明 H(s)在系统分析中的重要作用,我们把应用 s域分析法求解系统响应的求解步 骤归纳如下,
[ ( ) ( ) [ ( ) ] ( )L h t H s L t H s (5― 73)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
(1) 计算 H(s),实际上就是给系统一个激励,计算出输出 Yf(s)与 F(s)的比值 。 也可以由系统的结构及数学模型直接求得 。 一旦求得 H(s),系统对于任何激励的响应均可以利用该特性得到 。
(2) 求输入 f(t)的变换式 F(s)。
(3) 求零状态响应 yf(t),可以从 F(s)· H(s)的反变换中求出 。
以上求解系统响应过程,可由图 5.14表述 。 如果系统本身存在初始储能,系统的完全响应还应考虑零输入响应 。 下面举例说明如何围绕 H(s)分析系统 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.14 系统的 s域分析示意图系统 H ( s )L L － 1f ( t ) F ( s ) F ( s )· H ( s ) y f ( t )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 28 图 5.15所示ＲＬＣ串联电路,已知 C=1/2/F,
输入激励 uＳ (t)=t· u(t),初始状态 iL(0-)=0,uC(0-)=－ 1/3,
试求系统响应 uR(t)。
图 5.15 例 5― 28图
＋
－
＋
－
u
R
( t )
i
L
( t )
u
S
( t )
R
CL
＋ －
u
C
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解 首先应用拉氏变换法求解系统响应 。 按 KVL及
VAR列写时域微分方程式,可得
( ) 1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
t
L
L L S
RL
d i t
R i t L i d u t
d t C
u t R i t
对以上方程组取拉氏变换,可得
( ) ( 0 )
( ) [ ( ) ( 0 )] ( )
( ) ( )
LC
L L L S
RL
I s u
R I s L s I s i U s
s C s
U s R I s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解此象函数方程组,得
2
2 2 2
( 0 ) ( 0 )
( ) ( )
1 1 1
LC
RS
RR
ss s R i u
LLU s U s
R R Rss
s s s s s s
L L C L L C L L C
将已知数据代入,其中
2
1( ) [ ( )]
SU S L t u t s
(5― 74)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2
2 2 2 2
2
12
1
3 1 3 0 3
3
()
3 2 3 2 3 2
31
32
22
( 3 2 ) 1 2
31
( ) [ ( ) ] 2,0
22
R
tt
RR
s s s
Us
s s s s s s s s s
s
s s s s s s
U s L U s e e t
对上式取拉氏反变换,可得时域响应为
(5― 75)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析此例中,若设初始状态为零,则系统对于输入 uS(t)的系统函数 H(s)为
22
()
()
1()
2
( 0 )
( ) ( ) ( ) ( 0 )
11
Rf
S
C
R S L
R
s
Us
L
Hs
RUs
s
L L C
RR
ss
u
LL
U s H s U s i L
RR s
s s s s
L L C L L C
于是,式 (5― 74)可以表示为实际上,上式还可表示为
12
( 0 )( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) C
R S S L S
uU s H s U s H s L i H s
s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 29 利用 s域等效模型重解例 5― 28。
解 根据线性系统的叠加性,可以把系统的完全响应分解为零状态响应,单独由电感初始储能作用而产生的零输入响应和单独由电容初始储能而形成的零输入响应 。 相应的 s域等效电路如图 5.16所示 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.16 s域等效电路图
(a)零状态等效电路； (b)仅电感有储能的等效电路；
(c)仅电容有储能的等效电路
＋
－
U
S
( s )
sL
Li
L
( 0
－
)
1
sC
U
R
( s )
＋
－
R
sL 1
sC
U
R
( s )
＋
－
R
＋
－
sL
1
sC
U
R
( s )
＋
－
R
＋
－
u
C
( 0
－
)
s
( a ) 零状态等效电路 ( b ) 仅电感有储能的等效电路 ( c ) 仅电容有储能的等效电路
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析三个等效电路实际上是激励点不同,输出相同的三个系统 。 根据 H(s)的定义很容易写出三个系统的系统函数 H(s),HS1(s)和 HS2(s)。
激励为 US(s)时,
2
1
2
()
11
()
11
S
R
s
R
L
Hs
R
s L R s s
s C L L C
R
s
R
L
Hs
R
s L R s s
s C L L C
激励为 L· iL(0-)时,
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2
2
12
()
11
( 0 )
( ) ( ) ( ) ( 0 )
S
C
R S S L S
R
s
R L
Hs
R
sL R s
sC L L C
u
U H s U s H s L i H
s
（ 5― 76）
因此,系统完全响应的拉氏变换为
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 30 电路及元件参数同例 5― 28。 输入为
uＳ (t)=u(t),初始状态为 iL(0-)=3A,uＣ (0-)=-10V,试求输出 uR(t)。
解 因为与例 5― 28相比较,系统结构,元件参数没有变化,所以系统函数与例 5― 28相同,仅仅是三个激励发生变化 。 因此,s域的完全响应仍为式 (5― 76)
12
( 0 )
( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( )
1
( ) [ ( ) ]
C
R S S L S
S
u
U s H s U s H s L i H s
s
U s L u t
s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析代入已知量得
22
12
3 1 1 6 9 12 3( ) ( 3 )
3 2 3 2 2 1
( ) [ ( ) ] 12 3,0
R
tt
RR
ssUs
s s s s s s s s
U R L U s e e t
通过例 5― 28,5― 29,5― 30,可以使我们进一步理解系统函数在系统分析中的重要性 。 首先系统函数是对系统的一种描述,是复频域的系统特征量,从系统的输入输出端的特性或者 说从系统对输入号的处理功能上来讲,了解了系统的 H(s)也就了解了该系统 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 31 已知系统函数为当输入 f(t)=e-t· u(t),初始状态 y(0-)=3,y′(0-)=2。 试求响应
y(t)。
解利用复频域分析法很容易求出系统的零状态响应
yf(t)。
28()
( 2 )( 3 )
sHs
ss
1
( ) [ ( ) ]
1
2 8 1 3 4 1
( ) ( ) ( )
( 2 ) ( 3 ) 1 1 1 1
f
F s L f t
s
s
Y s F s H s
s s s s s s
1 2 3( ) [ ( ) ] ( 3 4 ) ( )ttffy t L Y s e e e t u t
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析下面求零输入响应,因为 H(s)有两个极点 -2和 -3,即
Yx(s)亦有相同的极点 （ 有时极点是不相同的,可参阅下一节 ） 。
设
23
13
12
12
12
23
23
()
( 0 ) ( 0 ) 3
( 0 ) ( 0 ) 2 3 2
1 1,8
( ) 1 1 8,0
( ) ( ) ( ) 3 7 7,0
tt
x
x
x
tt
x
t t t
fx
y t c e c e
y y c c
y y c c
cc
y t e e t
y t y t y t e e e t
根据初始条件可以求出 c1和 c2。
解上述方程可得因此,完全响应为
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析通过上述讨论,不难发现复频域分析方法和频域分析方法基本相同,所不同的只是变量 jω延拓为 s=σ+jω。
所以在频域中用 H（ jω） 表征系统特性,而在复频域中用 H(s)表征系统特性,两者与系统的单位冲激响应 h(t)的关系也是相同的 。 即
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
F
L
H j L h t
H j L h t
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 32 已知描述某系统的数学模型为试求该系统的系统函数 H(s)。
解 (1)在零状态下对常微分方程两边取拉普拉斯变换,得
2
2
( ) ( ) ( )3 2 ( ) 2 3 ( )d y t d y t d y ty t f t
d t d t d t
2
2
( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 3 ( )
() 23
()
( ) 3 2
f f f
f
s Y s s Y s Y s s F s F s
Ys s
Hs
F s s s
所以
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
(2) 亦可利用时域分析的方法求出 h(t)。
因为
2
2
( ) ( ) ( )
1 1 2 3
( ) [ ( ) ]
1 2 3 2
tt
h t e e u t
s
H s L h t
s s s s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 33 试求图 5.17所示电路的系统函数图 5.17 例 5― 33图
(a)时域模型； (b)零状态 s域模型
＋
－
＋
－
R
1
R
2
C
2
C
1
f ( t )
y ( t )
＋
－
＋
－
R
1
R
2
F ( s )
Y ( s )
1
sC
1
1
sC
2
( a ) 时 域模型 ( b ) 零状态 s 域模型
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解 画出零状态条件下系统的复频域等效电路,如图
5.17(b)所示 。 s域模型图中,电阻 R1与 并联,电阻 R2
与 串联,设复频域阻抗 Z1(s)与 Z2(s)分别为2
1
sC
2
1
sC 1
1
11
1
1
11
22
22
()
1
1
()
R
RsC
zs
R R C s
R
sC
R R C s
z s R
sC C s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析所以,系统函数 H(s)为 22
2 2
1 2 212
1 1 2
1 1 2 2
2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
1
()
()
1( ) ( )
( 1 ) ( 1 )
( ) 1
RC
Zs Cs
Hs
R R CZ s Z s
R C s C s
R C s R C s
R R C C s R C R C R C s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.5 连续时间系统函数与系统特性
5.5.1 系统函数的零点、极点及系统的固有频率线性系统的系统函数,是以多项式之比的形式出现的,即
1
1 1 0
1
1 1 0
()()
()
mm
mm
nn
nn
b s b s b s b N sHs
a s a s a s a D s
(5― 77)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析系统函数分母多项式 D(s)=0的根称为系统函数的极点,而系统函数分子多项式 N(s)=0的根称为系统函数的零点,极点使系统函数取值为无穷大,而零点使系统函数取值为零 。
N(s)和 D(s)都可以分解成线性因子的乘积,即
112
0
12
1
()
( ) ( )( ) ( )
()
( ) ( )( ) ( )
()
m
j
jmm
n
nn
i
i
sz
H s b s z s z s z
H s H
D s a s p s p s p
sz
(5― 78)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析把系统函数的零点与极点表示在 s平面上的图形,叫做系统函数的零,极点图 。 其中零点用,,表示 。
极点用,×,表示 。 若为 n重极点或零点,则注以 （ n） 。
例如某系统的系统函数为它表明系统在原点处有二重零点,在 s=-3处有一个零点 ;而在 s=-1,s=-2-j1处各有一个极点,该系统函数的零,
极点图如图 5.18所示 。
2
11
( 3 )()
( 1 ) ( 2 ) ( 2 )
ssHs
s s j s j
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.18 系统函数的零点、极点图
j?
j
－ j
－ 1－ 2－ 3
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析研究系统函数的零,极点有下列几个方面的意义,
（ 1） 从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率,
进而了解系统冲激响应的模式,也就是说可以知道系统的冲激响应是指数型,衰减振荡型,等幅振荡型,还是几者的组合,从而可以了解系统的响应特性及系统是否稳定 。
（ 2） 从系统的零,极点分布可以求得系统的频率响应特性,从而可以分析系统的正弦稳态响应特性 。
时域,频域特性都集中地以其系统函数或系统函数的零,
极点分布表现出来 。 我们先来讨论系统的固有频率与极点的关系 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析从第二章连续系统的时域分析可知,求解系统的零输入响应 yx(t),首先应将 n阶系统方程式写成齐次常微分方程其特征方程式为若上式具有 n个不等的单实根 λ1,λ2,?,λn,则系统的零输入响应为
( ) 1 11 1 0( ) ( ) ( ) ( ) 0nn ny t a y t a y t a y t(5― 79)
11 1 0 0nnnp a p a p a(5― 80)
1
() i
n
t
xi
i
y t c e?
(5― 81)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析对方程式 （ 5― 79） 取拉普拉斯变换,并假设所有初始条件 y(p)(0-)=0,p=0,1,2,?,(n-1),则可得到
(sn+a n-1 s n-1+? +a1s+a0)Y(s)=0 (5― 82)
而系统函数 H（ s） 的极点正好是式 （ 5― 82） 中多项式等于零的根,即
sn+a n-1 s n-1+? +a1s+a0=0 (5― 83)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 34已知系统的数学模型为
y″(t)+5y′(t)+4y(t)=f′(t)+f(t)
激励 f(t)=e-2t u(t),初始状态 y(0-)=1,y′(0-)=1。试求
yf(t),yx(t),y固 (t),y强 (t)及 y(t)
解 系统的特征方程为
p2+5p+4=0
特征根即系统的固有频率为 p1=1,p2=-4。
于是设
2
( 0 ) 1 3
( 0 ) 4 1 5
3
x
x
B
y A B
y A B
A
解得
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
4
2
2
52
( ),0
33
( ) 5 ( ) 4 ( ) ( ) ( )
( ) 1 1 1
()
( ) 5 4 ( 1 ) ( 4 ) 4
1
( ) [ ( ) ]
2
tt
x
y t e e t
s Y s sY s Y s sF s F s
Y s s s
Hs
F s s s s s s
F s L f t
s
在零状态下对系统方程取拉氏变换,可以求出 H（ s）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
24
24
4
2
1
( ) [ ( ) ]
2
11
11
22
( ) ( ) ( )
2 4 2 4
11
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
22
5 1 7
( ) ( ) ( ),0
3 2 6
57
( ),0
36
1
( ),0
2
f
tt
ff
t t t
fx
tt
t
F s L f t
s
Y s F s H s
s s s s
Y t L Y s e e u t
y t Y t y t e e e t
y t e e t
y t e t
于是所以可以得到其中,固有响应强制响应为
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.5.2 系统函数的极点分布与冲激响应
H（ s） 的一阶极点与其所对应的冲激响应函数波形,如图 5.19所示 。,
LTI连续系统的冲激响应的函数形式由 H（ s） 的极点确定 。
(1) 若 H（ s） 的极点位于 s左半平面,则冲激响应的模式为衰减指数或衰减振荡,当 t→∞ 时,它们趋于零,系统属于稳定系统 。
(2) 若 H（ s） 的极点位于 s右半平面,则冲激响应的模式为增长指数或增长振荡,当 t→∞ 时,它们趋于无限大,
系统属于不稳定系统 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.19 H(s)的极点与所对应的响应函数
j?
t
t
t
t
t
t
0
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
(3) 若 H（ s） 的单极点位于虚轴 （ 包括原点 ）,则冲激响应的模式为等幅振荡或阶跃函数,系统属于临界稳定系统 。
(4)若位于虚轴 （ 包括原点 ） 的极点为 n重极点 (n≥2),
则冲激响应的模式呈增长形式,系统也属于不稳定系统 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.5.3 系统函数的零极点分布与系统频响特性系统的频率特性 H（ jω）,其模 |H(jω)|是随 ω变化的函数称为系统的幅频特性,相角 φ（ ω） 称为系统的相频特性 。 如前所述,系统在频率为 ω0的正弦信号激励下的稳态响应仍为同频率的正弦信号,但幅度乘以 |H(jω0)|,相位附加 φ（ ω0）,|H(jω0)|和 φ（ ω0 ） 分别是 H（ jω） 和 φ
（ ω） 在 ω0点之值 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析当正弦激励信号的频率 ω改变时,稳态响应的幅度和相位将分别随着 H（ jω） φ（ ω） 变化,H（ jω）
反映了系统在正弦激励下稳态响应随频率变化的情况,
故又称系统的频响特性 。
若 H（ s） 的极点均位于 s左半平面,令 s=jω,也就是在 s平面上令 s沿虚轴变化,则有 H(s)|s=jω=H(jω),即为系统的频响特性 。 根据Ｈ （ s） 在 s平面的零,极点分布情况可以绘制出频响特性曲线,包括幅频特性 |H(jω)|曲线和相频特性 φ(ω)曲线,下面介绍这种方法 。
由式 （ ５ ― 78）,系统函数Ｈ （ s） 的表示式为
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图５,２０中画出了由零点 zj和极点 pi与虚轴上某点
jω连接构成的零点矢量 jω-zj和极点矢量 jω-pi。 图中Ｎ j、
Mi分别表示矢量的模,θj,φi分别表示矢量的相角,即
1
0
1
1
0
1
()
()
()
()
()
()
m
j
j
n
j
i
m
j
j
n
j
i
sz
H s H
sp
jz
H j H
jp
(5― 84)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图５,２０ 零点矢量和极点矢量
j?
j?
p
i
z
j
0
M
i
N
j
i
j
s 平面
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1 2 1 2
[ ( ) ( ) ]
0 0 1
01
()
1
0
1
11
()
()
()
()
j
j
mm
j
jj
j
ii
j
m
m
j
m
j
j
n
i
i
mm
ji
ji
j z N e
j p M e
H N N N
H j e
M M M
H j e
N
H j H
N
(5― 86)
(5― 87)
(5― 88)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析当 ω自 -∞沿虚轴运动并趋于 +∞时,各零点矢量和极点矢量的模和相角都随之改变,于是得出系统的幅频特性和相频特性曲线 。 物理可实现系统的频响特性具有幅频特性偶对称,相频特性奇对称的特点,因此绘制频响曲线时仅给出 ω从 0→∞ 即可 。 为了便于理解,在应用这种方法作频响特性之前,我们举例说明如何由 s平面零极点分布用几何法确定频响特性曲线上一个特定点的数值 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例５ ― ３５ 已知系统函数
32
2
1 2,3
1
()
2 2 1
1
()
( 1 ) ( 1 )
13
1,
22
Hs
s s s
Hs
s s s
p p j
试求 ω=1时的 H(j1)和 φ （ 1） 。
解将Ｈ （ s） 的分母多项式进行因式分解,得
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析在图 5.21中分别给出各极点与 j1点构成的各极点矢量,由几何关系求得图 5.21 例 5― 35图
j?
j1
M
1
0
1
2
3
M
2
M
3
－ 1
2
3
j
2
3
j?
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1
1
22
2
2
22
3
3
2 1.414
45
13
( ) ( 1 ) 0.518
22
3
1
2
a r c tan[ ] 15
1
2
13
( ) ( 1 ) 1.932
22
3
1
2
a r c tan[ ] 75
1
2
o
o
o
M
M
M
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析由式 (5― 87)和 (5― 88)可得
1 2 3
1 1 2 3
12
( 1 )
2
( ) 13,5 o
Hj
M M M
例 5― 36 RC高通滤波器如图 5.22所示,试分析 其频响特性 。
解 RC高通滤波器的系统函数为
2
1
()()
11()
U s R sHs
Us Rs
s C R C
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.22 例 5― 36图 图 5.23 从零、极点分布确定频响特性
j?
0
1
M
1
N
1
z
1
p
1
RC
1
1
C
R
＋
－
＋
－
u
1
( t ) u
2
( t )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
11
() ()1
1
1
11
1
( ) ( )
1
( ) ( )
( ),( )
sj
j j
j
H j H s
j
RC
N
H j e H j e
M
N
Hj
M
零点矢量为,极点矢量为,
于是
111 jj z N e
111 jj p M e
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.24 RC高通滤波器的频响特性
0
1
)(j?H
2
2
RC
1? 0?
9 0 °
4 5 °
RC
1
)(
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 37 图 5.25所示电路中,若输入激励为电流 i(t),
输出响应为电压 u(t)。 试分析其频响特性 。
2
1
()
()
()
1()
1
1
R sL
Us
sC
Hs
Is
R sL
sC
R
s
L
RC
ss
L LC
零点
0
1
RZ
L
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
＋
－
C
R
u ( t )
i ( t )
L
图 5.25 例 5-37图
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2
1,2 0
0
0
2 00
1,2 0 0
1 1 1
( ) [ ( ) 1 ]
2 2 2 2
1
,
11
[ 1 ( )
2 2 2 2
RR
p
L L C
L
RLC
pj
当 R很小 （ 实际是电感 L的内阻 ）,θ 1时,极点
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.26 零,极点分布
j?
0
2
0
－ j?
p
1
p
2
j?
0
z
1
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.27 例 5― 37的频响特性
)(j?H
0
)(
0
－ 9 0 °
0
0
R
RC
1
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析一般情况下,可以认为,若系统函数有一对非常靠近虚轴的共轭极点 p1,2=-σi± jωi,(σi<<ωi),则在 ω=ωi附近处,
幅频特性出现峰值,相频特性迅速减小 。 若系统函数有一对非常靠近虚轴的共轭零点 z1,2=-σj± jωj,(σj ωj),则在 ω=ωj附近处,幅频特性出现谷值,相频特性迅速上升 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.28 全通系统的零极点分布
j?
0
1
M
1
N
1
z
1
p
2
1
M
2
z
2
N
2
p
1
2
2
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.5.4 系统的稳定性线性非时变系统的稳定性是一个十分重要的概念 。
一般地 说,由于某种原因 （ 激励和初始状态 ） 引起任何微小的扰动,在系统的响应中也只产生微小的扰动,这样的系统就认为是稳定的 。 确切的定义是,一个系统在零状态下任何有界的输入产生有界的输出就叫做,有界输入有界输出,意义下的稳定 。 本书仅讨论此意义下的系统稳定性 。
如果输入信号具有
()
()
f
fy
f t M
y t M
(5― 89)
(5― 90)
系统输出为
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析不过以上定义在检验上不具备规范的可操作性,因为我们不可能对每一种有界输入的响应进行求解 。 于是,就有了另外一种较为明晰简练,易于验证的定义,即一个系统,其稳定的准则可以等效于
()
( ) ( ) ( )
f
h t dt M
y t h t f t
式中 M是有界正数 。 因为线性非时变系统的输出响应可以写为
(5― 91)
(5― 92)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析 ( ) ( )
( ) ( )
()
ff
ff
ff
y t h t M
y t M h t dt
y t M M
将式 （ 5― 89） 代入,可得也可写为再将式 （ 5― 91） 代入,即得
(5― 93)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析这里要指出,式 （ 5― 91） 是一个积分式,以此来判断系统的稳定性还是麻烦的 。 对于因果系统来说,我们自然地联系到 h(t)与系统函数 H（ s） 的关系式式 （ 5― 91） 是否收敛,取决于 h(t)是否有界,可以从
H（ s） 的极点 （ 系统的固有频率 ） 在 s平面的位置来判断 。 很明显,有界输入有界输出的充要条件是 H（ s） 的极点必须位于左半 s平面内,否则对任意有界输入都将激发出一个无界响应 。
1( ) [ ( )]h t L H s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.5.5 信号流图与系统模拟
1.
系统可以用框图来表示 。 在零初始状态下,系统在时域,频域和复频域的特性可以分别用冲激响应 h(t),系统函数 H（ ω） 和 H(s)来表征,如图 5.29所示 。
图 5.29 系统的框图
s
零初始状态输入 输出时域频域复频域
)()()( thtfty
f
)()()( HFY
)()()( sHsFsY
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1）
如图 5.30所示,一个局部系统的输出作为另一局部系统的输入时,两个局部系统构成级联连接 。 因为
Ｙ 1(s)=H1(s)·F(s)
Y(s)=H2(s)·Y1(s)
故
Y(s)=［ H1(s)·H2(s)］ ·F(s)=H(s)·F(s) (5― 94)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析因此子系统级联时,总系统函数为各子系统函数之积,且与级联次序无关 。 在实际应用中 。 两系统级联还应考虑阻抗匹配问题,因为前级系统的驱动能力与后级系统的负载特性不匹配时,可能导致总的系统功能与理论结果有出入 。 因此,通常在级联的两个系统中间插入一个中间隔离驱动环节,以实现真正意义上的级联 。
图 5.30 系统的级联
H 1 ( s ) H 2 ( s ) H 1 ( s )· H 2 ( s )F ( s ) Y 1 ( s ) Y ( s ) F ( s ) Y ( s )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2）
如图 5.31所示,两个局部系统输出的和作为整个系统的输出时,两系统构成并联连接,因为
Ｙ 1(s)=H1(s)·F(s)
Y2(s)=H2(s)·Y(s)
故
Y(s)=Y1(s)+Y2(s)=［ H1(s)+H2(s)］ ·F(s)=H(s)·F(s)
(5-95)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.31 系统的并联
∑
H
1
( s )
H 2 ( s )
＋
＋
F ( s ) Y ( s )
H 1 ( s ) ＋ H 2 ( s )
Y ( s )F ( s )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
3）
图 5.33表示了子系统 H1(s)的输出信号反馈到输入端的情况,其中 H1(s)称为正向通路的系统函数,而 H2(s)称为反馈通路的系统函数,“+”号表示正反馈,即输入信号与反馈相加 ;“-”号表示负反馈,即输入信号与反馈信号相减 。 没有反馈通路的系统称为开环系统,有了反馈通路则称为闭环系统 。
从图 5.33可以看出,由于
Y(s)=H1(s)E(s)
B(s)=H2(s)Y(s)
E(s)=F(s)± B(s)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.32,和点”转移和“分点”转移
∑
H ( s )
H ( s )
＋
＋
F
1
( s )
Y ( s )
F
2
( s )
∑
＋
＋
F
1
( s )
Y ( s )
F
2
( s )
H ( s )
H ( s )
( a ) ( b )
F ( s )
Y ( s )
Y ( s )
F ( s )
H ( s )
H ( s )
Y ( s )
Y ( s )
( d )( c )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.33 反馈环路
∑ H
1
( s )
H
2
( s )
F ( s ) Y ( s )
E ( s )
B ( s )
＋
＋
－
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1
12
1
12
1
12
()
( ) ( )
1 ( ) ( )
( ) ( )
()
( ) 1 ( ) ( )
( ) ( )
()
( ) 1 ( ) ( )
Hs
Y s F s
H s H s
Y s H s
Hs
F s H s H s
Y s H s
Hs
F s H s H s
因此对于负反馈,总的系统函数对于正反馈,总的系统函数
(5― 96)
(5― 97)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2.
根据前述几种系统的基本连接规律,可以把一个具有很多局部系统连接起来的复杂系统,逐步变换得以简化,最后求得总的系统函数 。 常用的方框图化简规则列于表 5-4中,在方框图的化简过程中,往往需要移动
,和点,与,分点,,应注意保持移动前后整个系统的输入输出关系不变 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析表５ ― ４ 框图化简规则
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 38 试用方框图化简的方法,求图 5.34(a)的系统函数 H(s)。
图 5.34 系统方框图化简
∑ H
1
( s ) ∑ H
2
( s ) ∑ H
3
( s ) H
4
( s )
H
7
( s )
H
5
( s )
H
6
( s )
Y ( s )F ( s )
＋
－
－
＋
＋
－
( a )
∑ H
1
( s ) ∑ H
2
( s ) ∑ H
3
( s ) H
4
( s )
H
7
( s )
H
5
( s )
H
6
( s )
Y ( s )F ( s )
＋
－
－
＋
＋
－
( b )
1
H
4
( s )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.34 系统方框图化简
∑ H
1
( s ) ∑ H
2
( s ) H
A
( s )
H
5
( s )
H
6
( s )
Y ( s )F ( s )
＋
－
－
＋
( c )
1
H
4
( s )
∑ H
1
( s ) H
B
( s )
H
5
( s )
Y ( s )F ( s )
＋
－
( d )
H ( s ) Y ( s )F ( s )
H ( s ) ＝
H
1
( s ) H
B
( s )
1 ＋ H
1
( s ) H
B
( s ) H
5
( s )
( e )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解 首先利用表 5― 4中的规则 7,将分点 A后移,如图
5.34(b)所示 。 其次,化简由 H3(s),H4(s)和 H7(s)所组成的反馈回路,可得等效的子系统函数为
34
3 4 7
( ) ( )()
1 ( ) ( ) ( )A
H s H sHs
H s H s H s
2 3 4
3 4 7 2 3 6
( ) ( ) ( )()
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )B
H s H s H sHs
H s H s H s H s H s H s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析如图５,34(d)所示 。 最后,化简由Ｈ 1(s),HB(s)和
H5(s)所组成的反馈回路,于是得到总的系统函数为
1 2 3 4
2 3 6 3 4 7 1 2 3 4 5
()
()
()
( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
B
Ys
Hs
Fs
H s H s H s H s
H s H s H s H s H s H s H s H s H s H s H s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
3.
信号流图是用几何模型来描述线性方程组变量之间因果关系的一种表示方法,实际上也是一种模拟图形,因此信号流图可以从方框图演变而来 。 图５,35(a)是用系统函数Ｈ (s)表示的系统方框图,现在改用图 (b)的一条直线加一个箭头来代替,箭头指示信号流动的方向,直线的标记就是该区间的系统函数,H(s)简写成Ｈ,输入Ｆ (s)和输出 Y(s)分别简写成Ｆ和Ｙ 。 图 (c)中是具有,和点,与
,分点,的方框图,画成图 (d),此处,和点,与,分点,
统称为内节点 。 可见由一些标明方向的线段和点连接起来组成的图形就是信号流图,简称流图 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图５,３５ 方框图与相应的信号流图
H ( s )F ( s ) Y ( s )
( a )
( b )
F Y
H
H
1
( s ) ∑ H
2
( s )
H
3
( s )
F ( s ) Y ( s )
内节点
F Y
H
1
H
2
－ H
3
1
源点 和点 分点 沟点
( c )
( d )
＋
－
B ( s )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析方框图描述了系统中各局部系统之间的连接关系,
信号流图简化了方框图的表现形式,从而更醒目地表明系统中各信号 （ 变量 ） 之间的因果关系 。
信号流图是一种由点和线构成的图形,并用以下名称来描述系统特性 。
节点,节点是用来表示信号或系统变量 （ 变换变量 ）
的 。
支路,支路是连接两节点的定向线段 。
支路系统函数,连接该支路节点信号之间的系统函数,用符号 H(s)表示,简写成 H。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析源点,只含有出支路的节点,叫做源点 。 源点表示输入信号 （ 即系统的激励 ）,用符号 F(s)表示,简写为 F。
沟点,只有入支路的节点,叫做沟点 。 沟点表示输出信号 （ 即系统的响应 ） 。 用符号 Y(s)表示,简写为 Y。
内节点,既有入支路,又有出支路的节点叫做内节点 。
用符号 X(s)表示,简写为 X。 若仅有一条出支路的内节点称为,和点,,仅有一条入支路的内节点称为,分点,。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析信号流图是说明系统中各节点信号之间的代数运算关系,或者说支路表示了系统中一个信号对另一个信号的函数关系 。 信号只能沿着支路的箭头方向流动 。 比如图 5.35(b)
可写出
Y=HF
内节点信号就是该节点所有入支路信号的总和,并把总和信号传向连接该节点的每一分支路 。
例如图 5.36(a)中的节点变量 X4的总和信号为
X4=H14X1+H24X2+H34X3
而节点变量 X5和 X6为
X5=H45X4,
X6=H46X4
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.36 内节点的总和信号
X
1
X
2
X
3
X
4
′
X
4
″
X
5
X
6
H
14
H
24
H
34
H
45
H
46
X
1
X
2
X
3
X
5
X
6
H
14
H
24
H
34
H
45
H
46
( a ) ( b )
X
4
1
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 39 把例 5― 38的系统方框图表示成信号流解 由图 5.34(a)可知,该系统的信号流图应有 7条支路,为使系统具有一个源点和沟点,在第一个加法器前和子系统 H4(s)后各增加一条直通支路 。 于是信号流图如图 5.37所示 。
图 5.37 系统的信号流图
H
1
F Y
1 1H
4
H
3
H
2
－ H
6
－ H
7
－ H
5
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
4.系统的模拟系统的模拟不是对系统的仿制,而是数学意义上的等效 。 就是说,用来模拟系统的装置和被模拟的系统具有相同的数学模型,因此,它们的输入,输出关系完全等效 。
模拟系统的框图称为系统的模拟图,它是若干基本运算器的框图的组合,也可以简化为信号流图 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.38 基本运算单元
(a)微分器 ;(b)积分器 ;(c)数乘器 ;(d)加法器
sF ( s ) sF ( s )
sF Y ＝ sF
s
－ 1
F ( s )
F ( s )
s
s
－ 1
F Y ＝
F
s
( b )
( a )
F ( s ) aF ( s )
aF Y ＝ aF
( c )
F
1
( s )
F
1
Y ＝ F
1
－ F
2
( d )
∑
＋
－
F
2
( s )
F
1
( s ) － F
2
( s )
F
2
1 1
－ 1
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析系统模拟归结为对 H(s)展开式进行模拟,由于分析方法不同,可以产生多种形式,一般常用的有如下几种形式 。
1) 直接形式系统函数一般可写成如下形式
1
1 1 0
1
1 1 0
()
mm
mm
mn
n
b s b s b s bHs
s a s a s a
(5― 98)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.39 两种形式的模拟信号流图
b
1
b
2
b
n － 2
b
n － 1
b
n
－ a
n － 1
－ a
n － 2
－ a
2
－ a
1
－ a
0
F
1 1
Y
s
－ 1
s
－ 1
s
－ 1
s
－ 1 b
0
( a )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.39 两种形式的模拟信号流图
b
1
b
2
b
n － 2
b
n － 1
b
n
－ a
n － 1
－ a
n － 2
－ a
2
－ a
1
－ a
0
Y
11
F
s
－ 1
s
－ 1
s
－ 1
s
－ 1b
0
( b )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 40 已知一个系统的系统函数为试用直接形式模拟此系统 。
解将 H(s)写成
2
2 3 4()
( 2 ) ( 3 )
sHs
s s s
4 2 2
23()
7 1 6 1 2
sHs
s s s s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.40 例 5― 39系统的模拟框图
F Y
1 s － 1 s － 1 s － 1 s － 1 3
－ 7
－ 12
2
( a )
－ 16
F Y
1s － 1s － 1s － 1s － 13
－ 7
－ 16
2
( b )
－ 12
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2) 级联形式如果我们把系统函数 H(s)写成 n个系统函数连乘的形式,就相当于 n个系统的级联,每个局部系统因为结构较简单而容易实现,且具有模块化的结构 。
例 5― 41 已知一个系统的系统函数为
2
2
2 1 4 2 4()
32
ssHs
ss
试用级联形式模拟此系统 。
解将 H(s)改写成
12
12
2 ( 2 ) 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12
2 ( 2 ) 4
( ),( )
12
ss
H s H s H s
ss
ss
H s H s
ss
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析虽然 H1(s)和 H2(s)很容易模拟成图 5.41(a),(b),把两个子系统级联就是整个系统级联形式的模拟信号流图,
见图 5.41(c)。
图 5.41 例 5― 40的级联模拟流图
s － 1
F Y
3
1
2
－ 1
( a )
s － 1
F Y
4
1
1
－ 2
( b )
F Y
s － 1 s － 1
1 1
3 41
－ 1 － 2
2
( c )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
3) 并联形式一个系统函数展开成部分分式,每个部分分式对应一个局部系统,对每个局部系统进行模拟后再并联起来就构成了并联形式的模拟结构 。
例 5― 42 将例 5― 40的系统函数,试用并联形式模拟该系统 。
2
1 1 2 32
1 2 3
2 14 24 12 4
( ) 2 ( ) ( ) ( )
3 2 1 2
12 4
( ) 2,( ),( )
12
ss
H s H s H s H s
s s s s
H s H s H s
ss
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析于是三个子系统可以由图 5.42(a),(b),(c)进行模拟,整个系统由 (d)图模拟,是并联形式 。
图 5.42 例 5― 41并联模拟信号流图
F Y
2
( a )
s － 1
F Y
121
－ 1
( b )
s
－ 1
F Y
1
－ 2
( c )
－ 4 s
－ 1
F Y
121
－ 1
( d )
s
－ 1
2
－ 2
－ 41
第五章 连续系统的复频域分析第 5章 连续系统的复频域分析
5.1 单边拉普拉斯变换
5.2 拉普拉斯变换的性质
5.3 拉普拉斯反变换
5.4 线性系统的拉氏变换分析法
5.5 连续时间系统函数与系统特性
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.1 单边拉普拉斯变换在前一章中,用傅里叶变换可以将信号映射至频率域,引出了信号与系统的频域分析法 。 信号如果满足狄里赫莱条件,即信号绝对可积,则信号的傅里叶变换存在 。
()f t dt （ 5 ―2 ）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换信号 f(t)之所以不满足绝对可积的条件,是由于当
t→∞ 或 t→ -∞时,f(t)不收敛,即
l i m ( ) 0t ft
（ 5―2 ）
0
()
0
bt
at
et
ft
et
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
()
()
1
()
[ ( ) ] ( ) ( )
( ) ( )
1
( ) [ ( ) ] ( )
2
1
( ) ( )
2
t t j t j t
jt
t j t
jt
F f t e f t e e dt f t e dt
F j f t e dt
f t e F F j F j e d
f t F j e d
它是 σ +jω 的函数,可以写成
F(σ +jω)的傅里叶反变换为将上式两边乘以 eσ t得到
（ 5― 3）
（ 5― 4）
（ 5― 5）
（ 5― 6）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析可见式 （ 5― 4） 和式 （ 5― 6） 构成一对积分变换 。
为了使表述更为简洁,令 s=σ+jω为复频率,从而 ds=jdω,当
ω=± ∞时,s=σ± j∞,于是式 （ 5― 4） 可改写为
( ) ( )
1
( ) ( )
2
st
st
j
F s f t e dt
f t F s e dt
j
式（ 5― 6）可改写为
（ 5― 7）
（ 5― 8）
( ) ( )Lf t F s? （ 5― 9）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析由于实际物理系统中的信号都是有始信号,即 t<0
时,f(t)=0以及信号虽然不起始于 t=0而问题的讨论只需考虑 t≥0的部分,在这种情况下,式 （ 5― 7） 可以改写为
0( ) ( )
stF s f t e d t
（ 5― 10）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.1.2 拉氏变换的收敛域可以证明,当信号是指数阶函数时,其拉氏变换存在 。
所谓指数阶函数,即满足以下条件
l i m ( ) 0tt f t e
σ取值于某实数区间 （ 5―11 ）
0l i m ( ) 0,tt f t e
（ 5―12 ）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 1试求下列信号的拉普拉斯变换,并确定收敛域 。
（ 1） f1(t)=et2; （ 2） f2(t)=u(t);
（ 3） f3(t)=e-2t·u(t); （ 4） f4(t)=e2t·u(t)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.1 例 5― 1
（ a） F2（ s） ROC;（ b） F3（ s） ROC;（ c） F4（ s） ROC
0? 0? 0?2
( a ) ( b ) ( c )
－ 2
j?j? j?
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.1.3 常用信号的拉氏变换下面给出一些常用信号的拉普拉斯变换 （ 假定这些单边信号均起始于 t=0时刻 )。
1）冲激信号 δ(t)
2）阶跃信号 u(t)
00[ ( ) ] ( ) ( ) 1
stL t t e dt t dt
0
0
0
1
[ ( ) ] ( )
1
[]
[]
st
s t a t s t
n n s t
L u t u t e d t
s
L e e e
s
L t t e d t
3） 指数函数信号 e-α t
4） t的正幂信号 tn,（ n为正整数 ）
（ 5― 13）
（ 5― 14）
（ 5― 15）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析对上式进行分部积分,令 u=tn,du=ntn-1dt
1
0
00
11
0
12
2
21
1
,
( 1 ) 1
[]
[]
( 1 )
[ ] [ ] [ ]
( 1 ) ( 2 ) 2 1 !
[]
st st st
n st n st st n
n st n
n n n
o
n
dv e dt v e dt e
s
t e dt t e e nt dt
ss
ss
t e dt L t
nn
s n n
L t L t L t
ns
n n n n
Lt
ss
（ 5― 16）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5） 余弦信号 cosω0t
因为 00
00
0
0
22
0 0 0
1
co s ( )
2
11
[c o s ] [ ] [ ]
22
1 1 1
()
2
j t j t
j t j t
t e e
L t L e L e
s
s j s j s
（ 5― 17）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
6） 正弦信号 sinω0t
因为
00
00
0
0
0
22
0 0 0
1
s in ( )
2
11
[ s in ] [ ] [ ]
22
1 1 1
()
2
j t j t
j t j t
t e e
j
L t L e L e
jj
j s j s j s
（ 5― 18）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
7） 衰减余弦信号 e-αt·cosω0t
因为
00
00
( ) ( )
0
( ) ( )
0
00
22
0
1
c o s ( )
2
1
[ c o s ] { [ ] }
2
1 1 1
()
2
()
j t j tt
j t j tt
e t e e
L e t L e e
s j s j
s
s
（ 5― 19）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
8） 衰减正弦信号 e-αt·sinω0t
因为
00
00
( ) ( )
0
( ) ( )
0
00
0
22
0
1
si n ( )
2
1
[ si n ] { [ ] }
2
1 1 1
()
2
()
j t j tt
j t j tt
e t e e
j
L e t L e e
j
j s j s j
s
（ 5― 20）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析表 5― 1 常用信号及其拉氏变换
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.2 拉普拉斯变换的性质
5.2.1 拉氏变换的基本特性
1.
1 1 2 2
1 2 1 2
( ) ( ) ; ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
LL
L
f t F s f t F s
af t bf t aF s bF s
（ 5― 12）则式中,a和 b为任意常数。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2.
若
( ) ( )
1
( ) ( ),0
L
L
f t F s
s
f at F a
aa
(5― 22)
式中规定 a>0是必要的,因为 f(t)为有始信号,若 a<0
则 f(at)的单边拉氏变换为零,导 致此展缩特性失效 。
3.
若
0
0 0 0
( ) ( )
( ) ( ) ( ),0
L
L
st
f t F s
f t t u t t e F s t?
(5― 23)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析式中 t0>0的规定对单边拉氏变换是必要的,因为若
t0<0,信号的波形有可能左移越过原点,导致原点左边部分的信号对积分失去贡献,此式的证明如下,
0
0 0 0 00
0
[ ( ) ( ) ] ( ) ( )
()
st
st
t
L f t t t t f t t u t t e dt
t t e dt
令 x=t-t0,则 t=x+t0,dt=dx,于是上式可写为
0
0
0
0 0 00[ ( ) ( )] ( ) ( )
( ) ( )
stsx
stsx
t
L f t t t t f x e t t e d x
x e d x e F s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析如果信号 f(t)·u(t)既延时,又展缩时间,
若
( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
L
bL
s
a
f t u t F s
s
f a t b u a t b e F
aa
且有实常数 a>0,b≥ 0,则
（ 5― 24）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―2 设 f(t)=sinω0t,因而
,若 t0>0,试求下列信号的拉氏变换,
（ 1） f(t-t0)=sinω0(t-t0);
（ 2） f(t-t0)·u(t)=sin ω0(t- t0)·u(t);
（ 3） f(t)·u(t-t0)=sin ω0 t·u(t- t0);
（ 4） f(t-t0)·u(t-t0)=sin ω0(t- t0)·u(t- t0)。
解 四种信号如图 5.2(a),(b),(c),(d)所示 。
0
0 2
0
( ) [ si n ]F s L t s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.2 例 5-2图
0 tt
0
)(s i n
00
tt
( a )
0 tt
0
)()(sin
00
tutt
( b )
0 tt
0
( c )
0 tt
0
( d )
)(sin
00
ttut )()(sin
000
ttutt
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析对于 （ 1） 和 （ 2） 两种信号 t≥0的波形相同,因此它们的拉氏变换也相同,即
1 2 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
22
0
( ) ( ) [ si n ( ) ]
[ si n c o s c o s si n ]
c o s si n
F s F s L t t
L t t t t
t s t
s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析对于信号 （ 3）,它的拉氏变换是
0
00
0
0 0 0 0
0
3 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
00
0 0 0 0 0
22
0
( ) [ si n ( ) ] si n
1
[]
2
1
[]
2
c o s si n
[]
st
t
s j t s j t
t
s j t s j t
st
F s L t u t t t e dt
e e dt
j
ee
j s j s j
t s t
e
s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析对于信号 （ 4）,它的拉氏变换是
0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0 0
00
0
4 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
00
0
22
0 0 0
( ) [ sin ( ) ( ) ]
1
[]
2
1
[]
2
1
[]
2
j t t j t t st
t
j t s j t j t s j t
s t s t
st
F s L t t u t t
e e e dt
j
e e e e
j s j s j
ee
e
j s j s j s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 3 求图 5.3所示锯齿波 f(t)的拉氏变换 。
解 首先写出 f(t)的时域函数表达式图 5.3 例 5― 3图
( ) [ ( ) ( ) ]
( ) ( )
E
f t t u t u t T
T
EE
t u t t u t T
TT
0
E
T t
f ( t )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析应用拉氏变换的时移特性,有
22
2
( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )]
[ ( )] [( ) ( )]
[ ( )] [( ) ( )] ( ( )]
11
()
[ 1 ( 1 ) ]
s T s T
sT
EE
F s L f t L t u t L t u t T
TT
EE
L t u t L t T T u t T
TT
E E E
L t u t L t T u t T L T u t T
T T T
ET
ee
T s s s
E s T e
Ts
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 4 试求图 5.4(a)所示单个正弦半波信号 f(t)的拉氏变换 。
图 5.4 例 5― 4图
0
E
t
f ( t )
0 tT
2
T
E
－ E 2
T 0 tT
E
－ E 2
T
f a ( t ) f b ( t )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解 把单个正弦半波信号 f(t)分解成如图 5.4(b)所示的单边正弦信号 fa(t)和如图 5.4(c)所示的延时 T/2的单边正弦信号 fb(t)之和,即应用拉氏变换的时移特性,有
22( ) ( ) ( ) s i n ( ) ( ) s i n [ ( )] ( )
22ab
TTf t f t f t E t u t E t u t
TT
( ) [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
22
[ si n ( ) ( ) ] { si n [ ( ) ] ( ) }
22
abF s L f t L f t L f t
TT
L E t u t L E t u t
TT
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2
2 2 2 2
2
22
22
( ) ( )
[]
22
( ) ( )
2
()
( 1 )
2
()
sT
sT
EE
TT
e
ss
TT
E
T
e
s
T
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 5 试求图 5.5所示的正弦半波周期信号的拉氏变换 。
解 在例 5― 4中我们已求得从 t=0开始的单个正弦半波 （ 亦即本题第一个周期的波形 ） 的拉氏变换为图 5.5例 5― 5图
2
1
22
2
()1
( ) [ ( ) ] [ ( 1 )
21
()
sT
Ts
E
TF s L f t e
e s
T
0 t
E
2
T
f ( t )
T 2 T
…
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析因此,利用式 （ 5― 25） 可直接解出
2
22
2
22
2
22
2
2
()
1
( ) [ ( ) ] [ ( 1 ) ]
21
()
2
()
( 1 )
[]
2
()( 1 )
2
()
1
[]
2
()( 1 )
sT
Ts
sT
sT
sT
E
T
F s L f t e
e
s
T
E
e
T
se
T
E
T
se
T
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 6 试求图 5.6所示信号
f(t)=e-2t［ u(t-2)-u(t-4)］ 的拉氏变换 。
解为了正确应用拉氏变换的时移特性,有时必须对时域信号 f(t)进行恒等变形,大家对此应熟练掌握 。
图 5.6 例 5-6图
0 t
f ( t )
2 4
1
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
22
2 ( 2 ) 4 2 ( 4 ) 8
( ) ( 2 ) ( 4 )
( 2 ) ( 4 )
ttf t e u t e u t
e e u t e e u t
于是
4 2 2 8 2 4
2 ( 2 ) 4 ( 2 )
( ) [ ( )] [ ] [ ]
2
t s t s
ss
F s L f t e L e e e L e e
ee
s
(5― 26 ）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 7 求 f(t)=e-αt·cosω0t·u(t)的拉氏变换 。
解 因为
01 22
0
01 22
0
[ c o s ( ) ] ( )
[ c o s ( ) ] ( )
()
sT
s
L t u t F s
s
sa
L e t u t F s a
sa
利用拉氏变换的频移特性可见,利用性质求解信号的拉普拉斯变换比直接求解简单得多 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.
若
1 2 ( 1 )
[ ( )] ( )
()
[ ] ( ) ( 0 )
()
[ ] ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
n
n n n n
n
L f t F s
d f t
L s F s f
dt
d f t
L s F s s f s f f
dt
（ 5― 27）
（ 5― 28）
式中 f(0-)及 f(n)(0-)分别表示 f(t)及 f(t)的 n阶微分 f(n)(t)在 t=0-时的值 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析证明,根据拉氏变换定义
0
( ) ( )[] std f t d f tL e d t
d t d t?
积分下限取 0-是把 f(t)中可能存在的冲激信号也包含在积分中。应用分部积分法,则有
0 0
()[ ] [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( 0 )s t s tdtL e f t s e f t d t s F s f
dt?
式（ 5― 27）得证。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析同理可得 22
22
00
0
2
( ) ( ) ( )
[ ] [ ]
()
( ) ( 0 )
( ) ( 0 ) ( 0 )
s t s t
t
d f t d f t d d f t
L e d t e d t
d t d t d t d t
d f t
sF s f
dt
s F s f f
依此类推,可得式 （ 5― 28） 。
若 f(t)为单边信号,则式 （ 5― 27） 中由于 f(0-)=0而简化为 [ ( ) ( )
{ } ( )d f t u tL s F sdt?
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―8 已知分别如题图 5.7(a),(b)所示,试求 f′1(t)与 f′2(t)的拉氏变换 。
12
0( ) ( ),( )
10
at
at etf t e u t f t
t
图 5.7 例 5― 8中两信号的波形
0
1
t
f
1
( t )
( a )
0
1
t
f
2
( t )
－ 1
( b )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解 因为
1
11
2
12
( ) ( )
[ ( ) ] 1 ( )
()
2 ( ) ( )
2
[ ( ) ] 2 1 ( ) ( 0 )
st
st
df
t e u t
dt
d
L f t sF s
dt s s
df t
t e u t
dt
ds
L f t sF s f
dt s s s
式中,
21
1( ) ( ),( 0 ) 1,F s F s f
s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 9 利用时域微分性质,重求例 5― 3（ 图 5.3） 所示锯齿波的拉氏变换 。
解 因为
( ) [ ( ) ( ) ]Ef t t u t u t TT( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
E E E E
f t t t u t t t T u t T
T T T T
E E E
u t T t T u t T
T T T
EE
u t E t T u t T
TT
( ) ( ) ( ) ( )EEf t t E t T t TTT
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
[ ( )] ( 1 ( ))
( 1 ( 1 ) )
s T s T s T s T
sT
E E E
L f t E s e e T s e e
T T T
E
s T e
T
由时域微分性质,又因 f(0-)=f′ (0-)=0,有
L［ f″ (t)］ =s2F(s),故得
2
( 1 ( 1 ) )() sTE s T eFs
Fs
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
6.
若
0
( 1)
0
( 1)
0
[ ( ) ] ( )
1
( ) ( )
11
( ) ( ) ( 0 )
( 0 ) ( ) ( )
Lt
Lt
t
t
L f t F s
f d F s
s
f d F s f
ss
f f d f d
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析证明,根据拉氏变换的定义
0 0 0
0
0 0 0
[ ( ) ] [ ( ) ]
1
[ ( ) ] [ ( ) ] ( )
tt
st
st
tt
st
L f d f d e d t
e
L f d f d f t e d t
ss
应用分部积分法可得当 t→∞ 或 t=0-时,上式右边第一项为零,所以
0
1( ) ( )Lt f d F s
s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 10试通过阶跃信号 u(t)的积分求斜坡信号 tu(t)
及 tnu(t)的拉氏变换 。
解 因为
0
2
1
1
( ) [ ( ) ]
( ) ( )
1 1 1
[ ( ) ] ( )
!
[ ( ) ]
t
n
n
F s L u t
s
tu t u d
L t u t
s s s
n
L t u n
s
而奇异信号之间的微积分关系有重复应用时域积分,可得
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.2.2 拉氏变换的卷积及初、终值定理和傅氏变换类似,拉氏变换除了上述的基本特性之外,在时域和复频域之间卷积积分,信号乘积,初值和终值的计算也存在着一些重要的映射关系,它们在系统分析中具有重要的作用 。 下面逐一介绍 。
1.
若
1 1 2 2
1 2 1 2
[ ( ) ] ( ) ; [ ( ) ] ( )
[ ( ) ( ) ] ( ) ( )
L f t F s L f t F t
L f t f t F s F t
（ 5― 32）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 11 已知某 LTI系统的冲激响应 h(t)=e-tu(t),试用时域卷积定理求解输入信号 f(t)=u(t)时的零状态响应
yf(t)。
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f
f
y t f t h t
Y s F s H s
根据时域卷积定理有式中 H(s)=L［ h(t)］称为系统函数。由于
1
( ) ( )
1
( ) ( )
1
L
L
f t F s
s
h t H s
s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2.
若故 1 1 1 1( ) ( ) ( )
( 1 ) 1
( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )
f
tt
f
Y s F s H s
s s s s
Y t u t e u t e u t
对上式取拉普拉斯逆变换,得
1 1 2 2
1 2 1 2
[ ( )] ( ); [ ( )] ( )
1[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
2
L f t F s L f t F s
L f t f t F s F s
j?
（ 5― 33）
式 （ 5― 33） 表明,两个信号时域乘积对应到复频域为复卷积,复卷积的定义是
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
j
jF s F s F u F s u d u
（ 5― 34）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
3.
若
( ) ( )
()
[ ( )]
()
[( 1 ) ( )]
L
n
nn
n
f t F s
d F s
L t f t
ds
d F s
L t f t
ds
（ 5― 35）
（ 5― 36）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 12 试求信号 f(t)=t2e-αt u(t)的拉氏变换 。
解 令
。 由复频域微分,得
1 1 1
1( ) ( ) ( ) [ ( )]tf t e u t F t L f t
sa
2
22 1
1 22
3
( ) 2
( ) ( ) ( )
()
2
( ) [ ( ) ]
()
L
at d F st e u t t f t
d s s a
F s L f t
sa
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
4,初值定理若 [ ( ) ] ( ) l i m [ ( ) ]
tL f t F s s F s
存在,则 f(t)的初值且
0( 0 ) l i m ( ) l i m [ ( ) ]tsf f t s F s
（ 5― 37）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.
若 存在,则 f(t)的终值
[ ( ) ] ( ),l i m ( )tL f t F s f t
0( ) l i m ( ) l i m [ ( ) ]ttf f t s F s
（ 5― 38）
例 5― 13 已知复频域中,试求时域中 f(t)的初值和终值 。
1()
1Fs s
00
( 0 ) lim [ ( ) ] lim 1
1
( ) lim [ ( ) ] lim 0
1
ss
ss
s
f s F s
s
s
f s F s
s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析表 5― 2 拉氏变换的性质
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.3 拉普拉斯反变换
5.3.1 部分分式展开法常见的拉氏变换式是复频域变量 s的多项式之比
（ 有理分式 ）,一般形式是
1
1 1 0
1
1 1 0
()()
()
mm
mm
nn
nn
b s b s b s b N sFs
a s a s a s a D s
（ 5― 39）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析式中,N(s)和 D(s)分别是 F(s)的分子多项式和分母多项式,an,bm等是实数 。 在分解 F(s)为许多简单变换式之前,应先检查一下 F(s)是否是真分式,即保证 n>m。 若不是真分式,需利用长除法将 F(s)化成如下形式 。
2 1
0 1 2
( ) ( )()
( ) ( )
mn
mn
N s N sF s B B s B s B s
D s D s
（ 5― 40）
32
22
( ) 3 2 7 1 4
( ) 3 5
( ) 1 1
N s s s s s
F s s
D s s s s s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1,D(s)=0
D(s)是 s的 n次多项式,可以分解为 n个因子的乘积,即
D(s)=an(s-s1)(s-s2)…(s-sk)…(s-sn)
这里先假定 s1,s2,…,sn是互不相等的实根,于是
F(s)便可以展开为部分分式之和 。 即
12
12
12
( ) ( )
()
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
[]
n k n
kn
n k n
N s N s
Fs
D s a s s s s s s s s
K K K K
a s s s s s s s s
（ 5―41 ）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析式中,K1,K2,?,Kn为 n个待定系数 。
为了确定系数 Kk,可以在式 （ 5― ４ 1） 的两边乘以因子 (s-sk),再令 s=sk,这样式 （ 5― 41） 右边只留下 Kk项,
便有
()
()
()
()
[( ) ]
()
k
k
K
k s s
n
K n k s s
N s K
ss
D s a
Ns
K a s s
Ds
（ 5―42 ）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析求得系数 Kk后,则与 对应的时域函数可由表 5― 1查得为
k
k
K
ss?
1
11
1
1
11
[]
()
[ ( ) ] [ ]
()
1
[]
1 1 ( )
[ ( ) ]
()
k
kk
k
stk
k
k
n
k
knk
nn
s t s t
k k s s
kknn
K
L K e
ss
Ds
L F s L
Ds
K
L
a s s
Ns
K e s s e
a a D s
（ 5―43 ）
（ 5―44 ）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―14 求的原函数 f(t)。
解 首先将 F(s)化为真分式
32
32
2 15 25 15()
6 11 6
s s sFs
s s s
2
32
32
1 2 3
2
1 2 3
32
2 3 3
( ) 2
6 11 6
( ) 6 11 6 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
1,2,3
2 3 3
[]
6 11 6 1 2 3
ss
Fs
s s s
D s s s s s s s
s s s
s s K K K
s s s s s s
所以 F(s)的真分式可展成部分分式
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析系数 K1,K2,K3可由式 （ 5― 42） 求得为
1
1 3 1
2
1
2
1
2
22
2
2
2
3
()
[ ( ) ]
()
( 2 3 3 )
1 [ ( 1 ) ]
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
( 2 3 3 )
[ ] 1
( 2 ) ( 3 )
( 2 3 3 )
1 [ ( 2 ) ]
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
( 2 3 3 )
[ ] 1
( 1 ) ( 3 )
( 2 3 3 )
1 [ ( 3 ) ]
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
ss
s
s
s
s
Ns
K a s s
Ds
ss
s
s s s
ss
ss
ss
Ks
s s s
ss
ss
ss
Ks
s s s
3
2
3
( 2 3 3 )
[ ] 6
( 1 ) ( 2 )
s
s
ss
ss
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析于是 F(s)可展开为
1 1 1 1 1
23
1 5 6
( ) 2
1 2 3
1 5 6
( ) [ ( )] [ 2 ] [ ] [ ] [ ]
1 2 3
2 ( ) 5 6 ( 0)
t t t
Fs
s s s
f t L F s L L L L
s s s
t e e e t?
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2,D(s)=0
若
D(s) =an(s-s1)(s-s2)? (s-sn-2)(s2+bs+c)
=D1(s)· (s2+bs+c)
式中,D1(s)=an(s-s1)(s-s2)? (s-sn-2),s1,s2,?,sn-2是 (n-2)
个 D(s)=0的不相等的实根 。
二次三项式 (s2+bs+c)中若 b2<4c,则构成一对共轭复根 。 因此 F(s)可写成
1
2
1
( ) ( )()
( ) ( )
N s As B N sFs
D s s bs c D s
（ 5― 45）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―15 求 的原函数 f(t)
解 （ 1）
这里 D(s)=s2+2s+5=(s+1-j2)(s+1+j2)=0,有一对共轭复根 s1=-1+j2,s2=-1-j2,如前例一样将 F(s)写成
2() 25
sFs
ss
12
2
1 1 22
2
()
2 5 1 2 1 2
1 2 1
[ ( 1 2 ) ] ( 2 1 )
2 5 4 4
1
( 2 1 )
4
sj
s K K
Fs
s s s j s j
sj
K s j j
s s j
Kj
由于 K1与 K2是共轭的,所以
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2
1 1 1
( 1 2 ) ( 1 2 )
1 2 1 2 1
( ) ( )
2 5 4 1 2 1 2
1 2 1 2 1
( ) ( ) { [ ] [ ]
4 1 2 1 2
1
( 2 1 ) ( 2 1 ) ]
4
1
( 2 c o s 2 si n 2 ),( 0 )
2
j t j t
t
s j j
Fs
s s s j s j
jj
f t L F s L L
s j s j
j e j e
e t t t
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
3,D(s)=0
若 D(s)=0只有一个 r重根 s1,即 s1=s2=? =sr,而其余 (n-r)
个全为单根,则 D(s)可写成
1 1 2
1 ( 1)1
1
11
12 11 1 1
2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1
( ) (
( ) ( ) ( )
)
()
r
n r r n
rr
rr
n
r r n
r r n
D s a s s s s s s s s
KN s K
Fs
D s a s s s s
K K K K K
s s s s s s s s s s
F (s)展开的部分分式为
(5― 46)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 17 求 的原函数 f(t)。
解 D(s)=0有一个单根 s1=-1和一个三重根 s2=-3。
将 F(s)展开为
2
3
2 3 3()
( 1 ) ( 3 )
ssFs
ss
2
3
1 23 22 21
32
2 3 3
()
( 1 ) ( 3 )
1 ( 3 ) ( 3 ) 3
ss
Fs
ss
K K K K
s s s s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―18 求 的原函数 f(t)。
解 将 F(s)变形为上式第二项有延时因子 e-2s,它对应的原函数也延迟 2个单位,由延时特性,得
21
() 1
se
Fs s
211()
11
sF s e
ss
2 ( 2 )
1 ( 2 )
1
()
1
1
( 2 )
1
( ) [ ( )] ( ) ( 2 )
L
t
L
st
tt
e u t
s
e e u t
s
f t L F s e u t e u t
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―19 求 的原函数 f(t)。
2
2()
22
sFs
ss
2 2 2 2 2
1
2 1 1
()
2 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1
( ) [ ( ) ] c o s ( ) si n ( )
2 c o s( ) ( )
4
tt
t
ss
Fs
s s s s
f t L F s e t u t e t u t
e t u t
由余弦,正弦的拉氏变换公式及复频移特性,得
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.3.2 围线积分法（留数法）
拉普拉斯的反变换式是
1( ) ( )
2
st
jf t F s e dsj
这是一个复变函数的积分,积分路径是 s平面上平行于虚轴的直线 σ =C>σ 0,如图 5.8所示 。
当 t>0时,圆弧应补在直线左边,如图 5.8中的 CR1;
而当 t<0时,圆弧应补在直线右边,如图 5.8中的 CR2。 因为根据约当引理,若满足条件
li m ( ) 0sR Fs
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.8 拉氏反变换积分线
0
C
R2
j?
C ＋ j∞
C － j∞
C
R1
R →∞
C
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1
2
l i m ( ) 0,0
l i m ( ) 0,0
R
R
st
CR
st
CR
F s e d s t
F s e d s t
因此拉氏反变换积分等于围线积分乘以,即12 j? 1
2
1
( ) ( )
2
1
[ ( ) ( ) ],0
2
1
( ) ( )
2
1
[ ( ) ( ) ],0
2
R
R
j
st
j
j
s t s t
jC
j
st
j
j
s t s t
jC
f t F s e ds
j
F s e ds F s e ds t
j
f t F s e ds
j
F s e ds F s e ds t
j
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析另外,留数定理又指出,复平面上任意闭合围线积分等于围线内被积函数所有极点的留数之和乘以 2πj。 由于图 5.8中围线 CR1半径充分大,并在直线 σ=C>σ0的左边,
因而 CR1与直线所构成的闭合围线包围了 F(s)· est的所有极点 sk,故有而围线 CR2在直线 σ=C>σ0的右边,CR2与直线所构成的围线不包含 F(s)· est的任何极点,故有
f(t)=0,t<0 （ 5― 53）
1( ) ( ) R e [ ( ) ] 0
2 k
j s t s t
ssj
k
f t F s e d s s F s e d s tj
（ 5― 52）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析当 F(s)为有理函数时,其留数可作如下计算,
（ 1）若 sk为 F(s)·est的单极点,则
1
1
R e [ ( ) ] [( ) ( ) ]
1
R e [ ( ) ] { [( ) ( ) ]}
( 1 ) !
kk
kk
s t s t
s s k s s
r
s t r s t
s s k s sr
s F s e s s F s e
d
s F s e s s F s e
r d s
（ 5― 54）
（ 5― 55）
（ 2） 若 sk为 F(s)·e st的 r重极点,则
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―20 试用留数法求的原函数 f(t)。
解 因为 s1=-1,s2=-2,s3=-3均为 F(s)· est的单极点,由式
（ 5― 53） 有
22 3 3
() ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )ssFs s s s
1
2
3
2
1
2
2
2
2
3
3
2 3 3
R e [ ( ) ] [( 1 ) ]
( 1 )( 2 )( 3 )
2 3 3
R e [ ( ) ] [( 1 ) ] 5
( 1 )( 2 )( 3 )
2 3 3
R e [ ( ) ] [( 1 ) ] 6
( 1 )( 2 )( 3 )
s t s t t
s s s
s t s t t
s s s
s t s t t
s s s
ss
s F s e s e e
s s s
ss
s F s e s e e
s s s
ss
s F s e s e e
s s s
3
13
1
( ) [ ( ) ] R e [ ( ) ] 5 6,( 0)s t t t
k
f t L F s s F s e e e e t
故
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.4 线性系统的拉氏变换分析法拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具,它将描述系统的时域微积分方程变换为 s域的代数方程,便于运算和求解 ;同时,它将系统的初始状态自然地含于象函数方程中,既可分别求得零输入响应,零状态响应,也可一举求得系统的全响应 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.4.1 微分方程的拉氏变换解设 LTI系统的激励为 f(t),响应为 y(t),描述 n阶系统的微分方程的一般形式可写为
1
1 1 01
1
1 1 01
( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( )
()
nn
nn nn
mm
mm mm
d y t d y t dy t
a a a a y t
dt dt dt
d y t d y t dy t
b b b b y t
dt dt dt
(5― 56)
对上式两边取拉普拉斯变换,并假定 f(t)是因果信号 （ 有始信号 ）,即 t<0时,f(t)=0,因而
( 1)( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f f
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析利用时域微分性质,有
1 ( 1 )
2
1
1 2 ( 2 )
11 1
11
00
()
[ ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
()
[ ( ) ( 0 ) ( 0 )
()
[ ( ) ( 0 ) ]
( ) ( )
n
L
n n n
n n nn
n
L
n n n
nn n
L
L
d y t
a a s Y s s y s y y
dt
d y t
a a s Y s s y y
dt
d y t
a a s Y s y
dt
a y t a Y s
（ 5― 57）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1
1
11 1
11
00
()
()
()
()
()
()
( ) ( )
m
L
m
mmm
m
L
m
mmm
L
L
d f t
b b s F s
dt
d f t
b b s F s
dt
df t
b b sF s
dt
b f t b F s
(5― 58)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析式 （ 5― 57） 中 y(i)(0-)表示响应 y(t)的 i阶导数的初始状态 。 将式 （ 5― ２ 2） 与 （ 5― 23） 代入式 （ 5― 56）,
可得
1 1 1 0
1
1 1 0
12
11
23
12
( 2 )
1
( 1 )
( ) ( )
[ ] ( )
( ) ( 0 )
( ) ( 0 )
( ) ( 0 )
( 0 )
n n n n
mm
mm
nn
nn
nn
nn
n
nn
n
n
a s a s a s a Y s
b s b s b sb F s
a s a s a y
a s a s a y
a s a y
ay
（ 5― 59）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析代入式 （ 5― 59）,则得
1
1 1 0
1
1 1 0
1
()
0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( 0 )
nn
nn
mm
mm
n
i
i
i
a s a s a s a Y s
b s b s b s b F s
A s y
（ 5― 60）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析可见,时域的微分方程通过取拉氏变换化成复频域的代数方程,并且自动地引入了初始状态 。 响应的拉普拉斯变换为 1
()
1
1 1 0 0
1 1 1 1
1 1 0 1 1 0
( ) ( 0 )
( ) ( )
( ) ( )
n
i
mm i
mm i
n n n n
n n n n
fs
A s y
b s b s b s b
Y s F s
a s a s a s a a s a s a s a
Y s Y s
1
1 1 0
11
1 1 0
() ()()
( ) ( )
mm
f mm
nn
nn
Ys b s b s b s b N sHs
F s a s a s a s a D s
（ 5― 61）
（ 5― 62）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.9 系统的复频域框图
1
a
n
s
n
＋ a
n － 1
s
n － 1
＋ … a
1
s ＋ a
0
∑
b
m
s
m
＋ b
m － 1
s
m － 1
＋ … b
1
s ＋ b
0
a
n
s
n
＋ a
n － 1
s
n － 1
＋ … a
1
s ＋ a
0
Yx ( s )
Y
f
( s ) Y ( s )F ( s )
)0()(
)(
1
0
i
n
i
i
YsA
初始状态响应激励
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1
11
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( ) [ ( ) ]
1
[ ( ) ( ) [ ( ) ]
()
fx
fx
Y s Y s Y s H s F s T s
Ds
y t y t y t L Y s
L H s F s L T s
Ds
（ 5― 63）
系统响应 y(t)为
（ 5― 64）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 23描述某 LTI连续系统的微分方程为
y″(t)+3y′(t)+2y(t)=2f′(t)+6f(t)
已知输入 f(t)=u(t),初始状态 y(0-)=2,y(0-)=1。 试求系统的零输入响解 对微分方程取拉普拉斯变换,可得
s2Y(s)-sy(0-)-y′(0-)+3sY(s)-3y(0-)+2Y(s)=2sF(s)+6F(s)
即
(s2+3s+2)Y(s)-［ sy(0-)+y′(0-)+3y(0-)］ =2(s+3)F(s)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析可解得
22
( ) ( ) ( )
2 ( 3 ) ( 0 ) ( 0 ) 3 ( 0 )()
3 2 3 2
fxY s Y s Y s
s sy y yFs
s s s s
将 和各初始值代入上式,得1( ) [ ( )]F s L u t
s
2
2
2 ( 3 ) 1 2 ( 3 )
()
3 2 ( 1 ) ( 2 )
3 4 1
12
2 7 2 7
()
3 2 ( 1 ) ( 2 )
53
12
f
x
ss
Yt
s s s s s s
s s s
ss
Yt
s s s s
ss
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析对以上二式取逆变换,得零状态响应和零输入响应分别为
12
12
2
12
( ) [ ( ) ] ( 3 4 ) ( )
( ) [ ( ) ] 5 3,0
( ) ( ) ( ) 3 2,0
( ) [ ( ) ] 3 2,0
tt
ff
tt
xx
tt
fx
tt
y t L Y s e e u t
y t L Y s e e e t
y t y t y t e e t
y t L Y s e e t
系统的全响应或直接对 Y(s)取拉氏反变换,亦可求得全响应 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析直接求全响应时,零状态响应分量和零输入响应分量已经叠加在一起,看不出不同原因引起的各个响应分量的具体情况 。 这时拉氏变换作为一种数学工具,自动引入了初始状态 。 简化了微分方程的求解 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―24 如图 5.10所示电路中,已知 C= 1/ 2
F,R1=2Ω,R2=2Ω,L=2H,激励 iS(t)为单位阶跃电流 u(t)A,电阻 R1上电压的初始状态 u1(0-)=1 V,u′1(0-)=2V,试求该电路的响应电压 u1(t)
图 5.10 例 5― 24图
u
1
( t )
＋
－
i
L
( t )
i
S
( t )
C R
1
R
2
L
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解由 KCL
11
1
1
12
( ) ( )
()
()
( ) ( ) 0
LS
L
L
d u t u t
C i i t
d t R
d i t
u t R i t
dt
由 KVL
代入元件值,消去中间参量 iL(t)可得微分方程
2
11
12
2
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )2 2 ( ) 2 2 ( )
( ) ( 0 ) ( 0 ) 2 [ ( ) ( 0 ) ] 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )
S
S
SS
d u t d u t d i tu t i t
d t d t d t
s U s s u u s U s u U s s I s I s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.4.2 电路的 s域模型时域的 KCL方程描述了在任意时刻流出 （ 或流入 ）
任一节点 （ 或割集 ） 电流的方程,它是各电流的一次函数,若各电流 ik(t)的象函数为 Ik(s)（ 称其为象电流 ）,则由线性性质有
1
( ) 0
n
k
k
Is
(5― 65)
1
( ) 0
n
k
k
Us
(5― 66)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1,电阻 R
因为时域的 VAR为 u(t)=R· i(t),取拉氏变换有
2.自感 L
对于含有初始值 iL(0-)的自感 L,因为时域的 VAR有微分形式和积分形式两种,对应的 s域模型也有两种形式
1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2U s R I s I s U s G U s
(5― 67)
0
()
( ) ( ) ( ) ( 0 )
1 1 ( 0 )
( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( )
L
L
Lt
L
L
di t
u t L U s sL I s L i
dt
i
i t i u d I s U s
L sL s
(5― 68)
(5― 69)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析式 （ 5― 68） 表明,电感端电压的象函数等于两项之差 。 它是两部分电压相串联,其第一项是 s域感抗 sL与象电流 I(s)的乘积 ;其第二项相当于某电压源的象函数
L· iL(0-),可称之为内部象电压源 。 这样,自感 L的 s域串联形式模型是由感抗 sL与内部象电压源 L· iL(0-)串联组成,这里应特别注意内部象电压源 L· iL(0-)的极性与 U(s)
相反,如表 5― 3所示 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析表 5― 3 电路元件的 s域模型
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
3.电容 C
对于含有初始值 uC(0-)的电容 C,用与分析自感 s域模型类似的方法,同理可得电容 C的 s域模型为
0
1 1 ( 0 )
( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( ) ( 0 )
Lt
C
C
L
C
u
u t i d t u U s I s
C s C s
d u t
i t C I s s C u s C u
dt
(5― 71)
(5― 70)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析过程中要特别注意三点,
(1) 对于具体的电路,只有给出的初始状态是电感电流和电容电压时,才可方便地画出 s域等效电路模型,否则就不易直接画出,这时不如先列写微分方程再取拉氏变换较为方便 ;
(2) 不同形式的等效 s域模型其电源的方向是不同的,
千万不要弄错 ;
(3) 在作 s域模型时应画出其所有内部象电源,并特别注意其参考方向。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―25 试求图 5.11(a)所示的电流 i(t)。已知,R=6Ω,L=1H,C=0.04F,US(t)=12sin5tV,初始状态
iL(0-)=5A,uC(0-)=1V。
图 5.11 例 5― 25图
＋－
＋
－
＋
－
u
C
( t )
i ( t )
u
S
( t )
LR
C
＋
－
I ( s )
U
S
( s )
sLR
Li ( 0
－
)
1
sC
＋
－
u
C
( 0
－
)
1
s
( a ) ( b )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解 本题 s域模型如图 5.11(b)所示 。 其中
2 2 2 2
5 6 0
( ) 1 2
55
( 0 ) 1 5 5
1 1 1
( 0 ) 1
S
C
Us
ss
Li
u
s s s
由 KVL可得
11( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 )
SCR s L I s U s L i us C s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1
( 0 ) ( 0 )
()
( ) ( ) ( )
11
()
()
1
1
( 0 ) ( 0 )
()
1
C
S
fx
S
f
C
x
L i u
Us
s
I s I s I s
R s L R s L
s C s C
Us
Is
R s L
sC
L i u
s
Is
R s L
sC
为零状态响应的象函数,是由输入引起的 ;
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析为零输入响应的象函数,是由初始条件引起的 。
先计算 If(s)。将 R,L,C的数值代入得
2 2 2 2
( ) 6 0()
1 [( 3 ) 4 ]( 5 )
S
f
U s sis
ssR s L
sL
应用部分分式展开式,可写成
1 1 2 2
1 3 4
25
13
3
()
3 4 3 4 5 5
( 3 4 ) ( ) 1,2 5 1,2 5 9 0
( 5 ) ( ) 1 9 0
( ) [ ( )] [ 2,5 c o s( 4 9 0 ) 2 c o s( 5 9 0 )] ( )
( 2,5 si n 4 2 si n 5 ) ( )
f
o
f s j
o
f s j
t o o
ff
t
K K K K
Is
s j s j s j s j
K s j I s j
K s j I s j
i t L I s e t t u t
e t t u t
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5―26 试求图 5.12(a)所示电路的 u2(t)。已知初始条件 u1(0-)=10V;u2(0-)=25V;电压 uS(t)=50cos2t· u(t)V。
图 5.12 例 5― 26图
＋
－
＋
－
u
2
( t )u
S
( t ) ＋
－
u
1
( t )
2 0?
2 4?
3 0?
1
48
F
1
24
F
＋
－
＋
－
U
1
( s )
＋
－
U
2
( s )
2 0? 2 4?
3 0?
10
48
48
s
25
24
24
s
( a ) ( b )
50 s
s 2 ＋ 4
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解 作 s域模型如图 5.12(b)所示 。 注意,初始条件以内部象电流源形式表出便于使用节点分析法 。
列写象函数节点方程
12
12 2
1 1 10
( ) ( ) ( )
24 48 24 48
1 1 1 1 5 25
( ) ( ) ( )
24 24 30 24 20 2 ( 4 ) 24
s
U s U s
ss
U s U s
s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
12
12 2
1
32
2 2
2 2
14
22
( 2 ) 2 10 ( )
60
( ) ( 3 ) ( ) 25
4
10 2 ( )
()
2
25 120 220 240
()
( 1 ) ( 4 ) ( 4 )
23 16
12 24
33
()
1 4 4
23 16
( ) [ ( ) ] ( 12 c o s 2 12 sin 2 ) ( )
33
s
tt
s U U s
U s s U s
s
Us
Us
s
s s s
Us
s s s
s
Us
s s s
U s L U s e e t t u t V
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 27 图 5.13(a)所示电路,开关 K在 t=0时闭合,已知 uC1(0-)=3V,uC2(0-)=0V,试求开关闭合后的网孔电流
i1(t)。
图 5.13 例 5― 27图
＋－
u
C 1
( 0
－
)
i
1
( t )
3?C
1
＝ 1 F
C
2
＝ 2 F
i
2
( t )
t ＝ 0
I
1
( s )
I
2
( s )
＋
－
1
s
3
s
1
2 s
3
( a ) ( b )
K
＋
－
u
C 2
( 0
－
)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解 适宜用网孔法求解,初始条件以内部象电压形式表示 。 s域模型如图 5.13(b)所示 。 网孔方程为
12
12
1
1
9
11
1 1 1 3
( ) ( ) ( )
22
11
( ) ( 3 ) ( ) 0
22
1
61
9
( ) 3 2
191
9
1
( ) [ ( ) ] 2 ( ) ( )
9
t
I s I s
s s s s
I s I s
ss
s
Is
s
s
i t L I s t e u t A?
取拉氏反变换
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.4.3 系统函数与 s域分析法系统函数 H(s)是零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比,即
1
1 1 0
1
1 1 0
() ()()
( ) ( )
mm
f mm
nn
nn
Ys b s b s b s b N sHs
F s a s a s a s a D s
(5― 72)
从上式可以看出,系统函数与系统的激励无关,仅决定于系统本身的结构和参数 。 系统函数在系统分析与综合中占有重要的地位 。 下面讨论如何围绕系统函数进行系统分析 。
由于
( ) ( ) ( )fY s H s F s?
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析当系统的激励为 δ(t)时,零状态响应为 h(t),故即系统的冲激响应 h(t)与系统函数 H(s)构成了一对拉普拉斯变换对,h(t)和 H(s)分别从时域和复频域两个角度表征了同一系统的特性 。
为了说明 H(s)在系统分析中的重要作用,我们把应用 s域分析法求解系统响应的求解步 骤归纳如下,
[ ( ) ( ) [ ( ) ] ( )L h t H s L t H s (5― 73)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
(1) 计算 H(s),实际上就是给系统一个激励,计算出输出 Yf(s)与 F(s)的比值 。 也可以由系统的结构及数学模型直接求得 。 一旦求得 H(s),系统对于任何激励的响应均可以利用该特性得到 。
(2) 求输入 f(t)的变换式 F(s)。
(3) 求零状态响应 yf(t),可以从 F(s)· H(s)的反变换中求出 。
以上求解系统响应过程,可由图 5.14表述 。 如果系统本身存在初始储能,系统的完全响应还应考虑零输入响应 。 下面举例说明如何围绕 H(s)分析系统 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.14 系统的 s域分析示意图系统 H ( s )L L － 1f ( t ) F ( s ) F ( s )· H ( s ) y f ( t )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 28 图 5.15所示ＲＬＣ串联电路,已知 C=1/2/F,
输入激励 uＳ (t)=t· u(t),初始状态 iL(0-)=0,uC(0-)=－ 1/3,
试求系统响应 uR(t)。
图 5.15 例 5― 28图
＋
－
＋
－
u
R
( t )
i
L
( t )
u
S
( t )
R
CL
＋ －
u
C
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解 首先应用拉氏变换法求解系统响应 。 按 KVL及
VAR列写时域微分方程式,可得
( ) 1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
t
L
L L S
RL
d i t
R i t L i d u t
d t C
u t R i t
对以上方程组取拉氏变换,可得
( ) ( 0 )
( ) [ ( ) ( 0 )] ( )
( ) ( )
LC
L L L S
RL
I s u
R I s L s I s i U s
s C s
U s R I s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解此象函数方程组,得
2
2 2 2
( 0 ) ( 0 )
( ) ( )
1 1 1
LC
RS
RR
ss s R i u
LLU s U s
R R Rss
s s s s s s
L L C L L C L L C
将已知数据代入,其中
2
1( ) [ ( )]
SU S L t u t s
(5― 74)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2
2 2 2 2
2
12
1
3 1 3 0 3
3
()
3 2 3 2 3 2
31
32
22
( 3 2 ) 1 2
31
( ) [ ( ) ] 2,0
22
R
tt
RR
s s s
Us
s s s s s s s s s
s
s s s s s s
U s L U s e e t
对上式取拉氏反变换,可得时域响应为
(5― 75)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析此例中,若设初始状态为零,则系统对于输入 uS(t)的系统函数 H(s)为
22
()
()
1()
2
( 0 )
( ) ( ) ( ) ( 0 )
11
Rf
S
C
R S L
R
s
Us
L
Hs
RUs
s
L L C
RR
ss
u
LL
U s H s U s i L
RR s
s s s s
L L C L L C
于是,式 (5― 74)可以表示为实际上,上式还可表示为
12
( 0 )( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) C
R S S L S
uU s H s U s H s L i H s
s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 29 利用 s域等效模型重解例 5― 28。
解 根据线性系统的叠加性,可以把系统的完全响应分解为零状态响应,单独由电感初始储能作用而产生的零输入响应和单独由电容初始储能而形成的零输入响应 。 相应的 s域等效电路如图 5.16所示 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.16 s域等效电路图
(a)零状态等效电路； (b)仅电感有储能的等效电路；
(c)仅电容有储能的等效电路
＋
－
U
S
( s )
sL
Li
L
( 0
－
)
1
sC
U
R
( s )
＋
－
R
sL 1
sC
U
R
( s )
＋
－
R
＋
－
sL
1
sC
U
R
( s )
＋
－
R
＋
－
u
C
( 0
－
)
s
( a ) 零状态等效电路 ( b ) 仅电感有储能的等效电路 ( c ) 仅电容有储能的等效电路
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析三个等效电路实际上是激励点不同,输出相同的三个系统 。 根据 H(s)的定义很容易写出三个系统的系统函数 H(s),HS1(s)和 HS2(s)。
激励为 US(s)时,
2
1
2
()
11
()
11
S
R
s
R
L
Hs
R
s L R s s
s C L L C
R
s
R
L
Hs
R
s L R s s
s C L L C
激励为 L· iL(0-)时,
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2
2
12
()
11
( 0 )
( ) ( ) ( ) ( 0 )
S
C
R S S L S
R
s
R L
Hs
R
sL R s
sC L L C
u
U H s U s H s L i H
s
（ 5― 76）
因此,系统完全响应的拉氏变换为
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 30 电路及元件参数同例 5― 28。 输入为
uＳ (t)=u(t),初始状态为 iL(0-)=3A,uＣ (0-)=-10V,试求输出 uR(t)。
解 因为与例 5― 28相比较,系统结构,元件参数没有变化,所以系统函数与例 5― 28相同,仅仅是三个激励发生变化 。 因此,s域的完全响应仍为式 (5― 76)
12
( 0 )
( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( )
1
( ) [ ( ) ]
C
R S S L S
S
u
U s H s U s H s L i H s
s
U s L u t
s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析代入已知量得
22
12
3 1 1 6 9 12 3( ) ( 3 )
3 2 3 2 2 1
( ) [ ( ) ] 12 3,0
R
tt
RR
ssUs
s s s s s s s s
U R L U s e e t
通过例 5― 28,5― 29,5― 30,可以使我们进一步理解系统函数在系统分析中的重要性 。 首先系统函数是对系统的一种描述,是复频域的系统特征量,从系统的输入输出端的特性或者 说从系统对输入号的处理功能上来讲,了解了系统的 H(s)也就了解了该系统 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 31 已知系统函数为当输入 f(t)=e-t· u(t),初始状态 y(0-)=3,y′(0-)=2。 试求响应
y(t)。
解利用复频域分析法很容易求出系统的零状态响应
yf(t)。
28()
( 2 )( 3 )
sHs
ss
1
( ) [ ( ) ]
1
2 8 1 3 4 1
( ) ( ) ( )
( 2 ) ( 3 ) 1 1 1 1
f
F s L f t
s
s
Y s F s H s
s s s s s s
1 2 3( ) [ ( ) ] ( 3 4 ) ( )ttffy t L Y s e e e t u t
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析下面求零输入响应,因为 H(s)有两个极点 -2和 -3,即
Yx(s)亦有相同的极点 （ 有时极点是不相同的,可参阅下一节 ） 。
设
23
13
12
12
12
23
23
()
( 0 ) ( 0 ) 3
( 0 ) ( 0 ) 2 3 2
1 1,8
( ) 1 1 8,0
( ) ( ) ( ) 3 7 7,0
tt
x
x
x
tt
x
t t t
fx
y t c e c e
y y c c
y y c c
cc
y t e e t
y t y t y t e e e t
根据初始条件可以求出 c1和 c2。
解上述方程可得因此,完全响应为
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析通过上述讨论,不难发现复频域分析方法和频域分析方法基本相同,所不同的只是变量 jω延拓为 s=σ+jω。
所以在频域中用 H（ jω） 表征系统特性,而在复频域中用 H(s)表征系统特性,两者与系统的单位冲激响应 h(t)的关系也是相同的 。 即
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
F
L
H j L h t
H j L h t
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 32 已知描述某系统的数学模型为试求该系统的系统函数 H(s)。
解 (1)在零状态下对常微分方程两边取拉普拉斯变换,得
2
2
( ) ( ) ( )3 2 ( ) 2 3 ( )d y t d y t d y ty t f t
d t d t d t
2
2
( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 3 ( )
() 23
()
( ) 3 2
f f f
f
s Y s s Y s Y s s F s F s
Ys s
Hs
F s s s
所以
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
(2) 亦可利用时域分析的方法求出 h(t)。
因为
2
2
( ) ( ) ( )
1 1 2 3
( ) [ ( ) ]
1 2 3 2
tt
h t e e u t
s
H s L h t
s s s s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 33 试求图 5.17所示电路的系统函数图 5.17 例 5― 33图
(a)时域模型； (b)零状态 s域模型
＋
－
＋
－
R
1
R
2
C
2
C
1
f ( t )
y ( t )
＋
－
＋
－
R
1
R
2
F ( s )
Y ( s )
1
sC
1
1
sC
2
( a ) 时 域模型 ( b ) 零状态 s 域模型
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解 画出零状态条件下系统的复频域等效电路,如图
5.17(b)所示 。 s域模型图中,电阻 R1与 并联,电阻 R2
与 串联,设复频域阻抗 Z1(s)与 Z2(s)分别为2
1
sC
2
1
sC 1
1
11
1
1
11
22
22
()
1
1
()
R
RsC
zs
R R C s
R
sC
R R C s
z s R
sC C s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析所以,系统函数 H(s)为 22
2 2
1 2 212
1 1 2
1 1 2 2
2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
1
()
()
1( ) ( )
( 1 ) ( 1 )
( ) 1
RC
Zs Cs
Hs
R R CZ s Z s
R C s C s
R C s R C s
R R C C s R C R C R C s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.5 连续时间系统函数与系统特性
5.5.1 系统函数的零点、极点及系统的固有频率线性系统的系统函数,是以多项式之比的形式出现的,即
1
1 1 0
1
1 1 0
()()
()
mm
mm
nn
nn
b s b s b s b N sHs
a s a s a s a D s
(5― 77)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析系统函数分母多项式 D(s)=0的根称为系统函数的极点,而系统函数分子多项式 N(s)=0的根称为系统函数的零点,极点使系统函数取值为无穷大,而零点使系统函数取值为零 。
N(s)和 D(s)都可以分解成线性因子的乘积,即
112
0
12
1
()
( ) ( )( ) ( )
()
( ) ( )( ) ( )
()
m
j
jmm
n
nn
i
i
sz
H s b s z s z s z
H s H
D s a s p s p s p
sz
(5― 78)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析把系统函数的零点与极点表示在 s平面上的图形,叫做系统函数的零,极点图 。 其中零点用,,表示 。
极点用,×,表示 。 若为 n重极点或零点,则注以 （ n） 。
例如某系统的系统函数为它表明系统在原点处有二重零点,在 s=-3处有一个零点 ;而在 s=-1,s=-2-j1处各有一个极点,该系统函数的零,
极点图如图 5.18所示 。
2
11
( 3 )()
( 1 ) ( 2 ) ( 2 )
ssHs
s s j s j
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.18 系统函数的零点、极点图
j?
j
－ j
－ 1－ 2－ 3
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析研究系统函数的零,极点有下列几个方面的意义,
（ 1） 从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率,
进而了解系统冲激响应的模式,也就是说可以知道系统的冲激响应是指数型,衰减振荡型,等幅振荡型,还是几者的组合,从而可以了解系统的响应特性及系统是否稳定 。
（ 2） 从系统的零,极点分布可以求得系统的频率响应特性,从而可以分析系统的正弦稳态响应特性 。
时域,频域特性都集中地以其系统函数或系统函数的零,
极点分布表现出来 。 我们先来讨论系统的固有频率与极点的关系 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析从第二章连续系统的时域分析可知,求解系统的零输入响应 yx(t),首先应将 n阶系统方程式写成齐次常微分方程其特征方程式为若上式具有 n个不等的单实根 λ1,λ2,?,λn,则系统的零输入响应为
( ) 1 11 1 0( ) ( ) ( ) ( ) 0nn ny t a y t a y t a y t(5― 79)
11 1 0 0nnnp a p a p a(5― 80)
1
() i
n
t
xi
i
y t c e?
(5― 81)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析对方程式 （ 5― 79） 取拉普拉斯变换,并假设所有初始条件 y(p)(0-)=0,p=0,1,2,?,(n-1),则可得到
(sn+a n-1 s n-1+? +a1s+a0)Y(s)=0 (5― 82)
而系统函数 H（ s） 的极点正好是式 （ 5― 82） 中多项式等于零的根,即
sn+a n-1 s n-1+? +a1s+a0=0 (5― 83)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 34已知系统的数学模型为
y″(t)+5y′(t)+4y(t)=f′(t)+f(t)
激励 f(t)=e-2t u(t),初始状态 y(0-)=1,y′(0-)=1。试求
yf(t),yx(t),y固 (t),y强 (t)及 y(t)
解 系统的特征方程为
p2+5p+4=0
特征根即系统的固有频率为 p1=1,p2=-4。
于是设
2
( 0 ) 1 3
( 0 ) 4 1 5
3
x
x
B
y A B
y A B
A
解得
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
4
2
2
52
( ),0
33
( ) 5 ( ) 4 ( ) ( ) ( )
( ) 1 1 1
()
( ) 5 4 ( 1 ) ( 4 ) 4
1
( ) [ ( ) ]
2
tt
x
y t e e t
s Y s sY s Y s sF s F s
Y s s s
Hs
F s s s s s s
F s L f t
s
在零状态下对系统方程取拉氏变换,可以求出 H（ s）
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
24
24
4
2
1
( ) [ ( ) ]
2
11
11
22
( ) ( ) ( )
2 4 2 4
11
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
22
5 1 7
( ) ( ) ( ),0
3 2 6
57
( ),0
36
1
( ),0
2
f
tt
ff
t t t
fx
tt
t
F s L f t
s
Y s F s H s
s s s s
Y t L Y s e e u t
y t Y t y t e e e t
y t e e t
y t e t
于是所以可以得到其中,固有响应强制响应为
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.5.2 系统函数的极点分布与冲激响应
H（ s） 的一阶极点与其所对应的冲激响应函数波形,如图 5.19所示 。,
LTI连续系统的冲激响应的函数形式由 H（ s） 的极点确定 。
(1) 若 H（ s） 的极点位于 s左半平面,则冲激响应的模式为衰减指数或衰减振荡,当 t→∞ 时,它们趋于零,系统属于稳定系统 。
(2) 若 H（ s） 的极点位于 s右半平面,则冲激响应的模式为增长指数或增长振荡,当 t→∞ 时,它们趋于无限大,
系统属于不稳定系统 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.19 H(s)的极点与所对应的响应函数
j?
t
t
t
t
t
t
0
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
(3) 若 H（ s） 的单极点位于虚轴 （ 包括原点 ）,则冲激响应的模式为等幅振荡或阶跃函数,系统属于临界稳定系统 。
(4)若位于虚轴 （ 包括原点 ） 的极点为 n重极点 (n≥2),
则冲激响应的模式呈增长形式,系统也属于不稳定系统 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.5.3 系统函数的零极点分布与系统频响特性系统的频率特性 H（ jω）,其模 |H(jω)|是随 ω变化的函数称为系统的幅频特性,相角 φ（ ω） 称为系统的相频特性 。 如前所述,系统在频率为 ω0的正弦信号激励下的稳态响应仍为同频率的正弦信号,但幅度乘以 |H(jω0)|,相位附加 φ（ ω0）,|H(jω0)|和 φ（ ω0 ） 分别是 H（ jω） 和 φ
（ ω） 在 ω0点之值 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析当正弦激励信号的频率 ω改变时,稳态响应的幅度和相位将分别随着 H（ jω） φ（ ω） 变化,H（ jω）
反映了系统在正弦激励下稳态响应随频率变化的情况,
故又称系统的频响特性 。
若 H（ s） 的极点均位于 s左半平面,令 s=jω,也就是在 s平面上令 s沿虚轴变化,则有 H(s)|s=jω=H(jω),即为系统的频响特性 。 根据Ｈ （ s） 在 s平面的零,极点分布情况可以绘制出频响特性曲线,包括幅频特性 |H(jω)|曲线和相频特性 φ(ω)曲线,下面介绍这种方法 。
由式 （ ５ ― 78）,系统函数Ｈ （ s） 的表示式为
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图５,２０中画出了由零点 zj和极点 pi与虚轴上某点
jω连接构成的零点矢量 jω-zj和极点矢量 jω-pi。 图中Ｎ j、
Mi分别表示矢量的模,θj,φi分别表示矢量的相角,即
1
0
1
1
0
1
()
()
()
()
()
()
m
j
j
n
j
i
m
j
j
n
j
i
sz
H s H
sp
jz
H j H
jp
(5― 84)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图５,２０ 零点矢量和极点矢量
j?
j?
p
i
z
j
0
M
i
N
j
i
j
s 平面
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1 2 1 2
[ ( ) ( ) ]
0 0 1
01
()
1
0
1
11
()
()
()
()
j
j
mm
j
jj
j
ii
j
m
m
j
m
j
j
n
i
i
mm
ji
ji
j z N e
j p M e
H N N N
H j e
M M M
H j e
N
H j H
N
(5― 86)
(5― 87)
(5― 88)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析当 ω自 -∞沿虚轴运动并趋于 +∞时,各零点矢量和极点矢量的模和相角都随之改变,于是得出系统的幅频特性和相频特性曲线 。 物理可实现系统的频响特性具有幅频特性偶对称,相频特性奇对称的特点,因此绘制频响曲线时仅给出 ω从 0→∞ 即可 。 为了便于理解,在应用这种方法作频响特性之前,我们举例说明如何由 s平面零极点分布用几何法确定频响特性曲线上一个特定点的数值 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例５ ― ３５ 已知系统函数
32
2
1 2,3
1
()
2 2 1
1
()
( 1 ) ( 1 )
13
1,
22
Hs
s s s
Hs
s s s
p p j
试求 ω=1时的 H(j1)和 φ （ 1） 。
解将Ｈ （ s） 的分母多项式进行因式分解,得
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析在图 5.21中分别给出各极点与 j1点构成的各极点矢量,由几何关系求得图 5.21 例 5― 35图
j?
j1
M
1
0
1
2
3
M
2
M
3
－ 1
2
3
j
2
3
j?
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1
1
22
2
2
22
3
3
2 1.414
45
13
( ) ( 1 ) 0.518
22
3
1
2
a r c tan[ ] 15
1
2
13
( ) ( 1 ) 1.932
22
3
1
2
a r c tan[ ] 75
1
2
o
o
o
M
M
M
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析由式 (5― 87)和 (5― 88)可得
1 2 3
1 1 2 3
12
( 1 )
2
( ) 13,5 o
Hj
M M M
例 5― 36 RC高通滤波器如图 5.22所示,试分析 其频响特性 。
解 RC高通滤波器的系统函数为
2
1
()()
11()
U s R sHs
Us Rs
s C R C
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.22 例 5― 36图 图 5.23 从零、极点分布确定频响特性
j?
0
1
M
1
N
1
z
1
p
1
RC
1
1
C
R
＋
－
＋
－
u
1
( t ) u
2
( t )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
11
() ()1
1
1
11
1
( ) ( )
1
( ) ( )
( ),( )
sj
j j
j
H j H s
j
RC
N
H j e H j e
M
N
Hj
M
零点矢量为,极点矢量为,
于是
111 jj z N e
111 jj p M e
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.24 RC高通滤波器的频响特性
0
1
)(j?H
2
2
RC
1? 0?
9 0 °
4 5 °
RC
1
)(
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 37 图 5.25所示电路中,若输入激励为电流 i(t),
输出响应为电压 u(t)。 试分析其频响特性 。
2
1
()
()
()
1()
1
1
R sL
Us
sC
Hs
Is
R sL
sC
R
s
L
RC
ss
L LC
零点
0
1
RZ
L
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
＋
－
C
R
u ( t )
i ( t )
L
图 5.25 例 5-37图
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2
1,2 0
0
0
2 00
1,2 0 0
1 1 1
( ) [ ( ) 1 ]
2 2 2 2
1
,
11
[ 1 ( )
2 2 2 2
RR
p
L L C
L
RLC
pj
当 R很小 （ 实际是电感 L的内阻 ）,θ 1时,极点
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.26 零,极点分布
j?
0
2
0
－ j?
p
1
p
2
j?
0
z
1
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.27 例 5― 37的频响特性
)(j?H
0
)(
0
－ 9 0 °
0
0
R
RC
1
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析一般情况下,可以认为,若系统函数有一对非常靠近虚轴的共轭极点 p1,2=-σi± jωi,(σi<<ωi),则在 ω=ωi附近处,
幅频特性出现峰值,相频特性迅速减小 。 若系统函数有一对非常靠近虚轴的共轭零点 z1,2=-σj± jωj,(σj ωj),则在 ω=ωj附近处,幅频特性出现谷值,相频特性迅速上升 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.28 全通系统的零极点分布
j?
0
1
M
1
N
1
z
1
p
2
1
M
2
z
2
N
2
p
1
2
2
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.5.4 系统的稳定性线性非时变系统的稳定性是一个十分重要的概念 。
一般地 说,由于某种原因 （ 激励和初始状态 ） 引起任何微小的扰动,在系统的响应中也只产生微小的扰动,这样的系统就认为是稳定的 。 确切的定义是,一个系统在零状态下任何有界的输入产生有界的输出就叫做,有界输入有界输出,意义下的稳定 。 本书仅讨论此意义下的系统稳定性 。
如果输入信号具有
()
()
f
fy
f t M
y t M
(5― 89)
(5― 90)
系统输出为
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析不过以上定义在检验上不具备规范的可操作性,因为我们不可能对每一种有界输入的响应进行求解 。 于是,就有了另外一种较为明晰简练,易于验证的定义,即一个系统,其稳定的准则可以等效于
()
( ) ( ) ( )
f
h t dt M
y t h t f t
式中 M是有界正数 。 因为线性非时变系统的输出响应可以写为
(5― 91)
(5― 92)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析 ( ) ( )
( ) ( )
()
ff
ff
ff
y t h t M
y t M h t dt
y t M M
将式 （ 5― 89） 代入,可得也可写为再将式 （ 5― 91） 代入,即得
(5― 93)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析这里要指出,式 （ 5― 91） 是一个积分式,以此来判断系统的稳定性还是麻烦的 。 对于因果系统来说,我们自然地联系到 h(t)与系统函数 H（ s） 的关系式式 （ 5― 91） 是否收敛,取决于 h(t)是否有界,可以从
H（ s） 的极点 （ 系统的固有频率 ） 在 s平面的位置来判断 。 很明显,有界输入有界输出的充要条件是 H（ s） 的极点必须位于左半 s平面内,否则对任意有界输入都将激发出一个无界响应 。
1( ) [ ( )]h t L H s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
5.5.5 信号流图与系统模拟
1.
系统可以用框图来表示 。 在零初始状态下,系统在时域,频域和复频域的特性可以分别用冲激响应 h(t),系统函数 H（ ω） 和 H(s)来表征,如图 5.29所示 。
图 5.29 系统的框图
s
零初始状态输入 输出时域频域复频域
)()()( thtfty
f
)()()( HFY
)()()( sHsFsY
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1）
如图 5.30所示,一个局部系统的输出作为另一局部系统的输入时,两个局部系统构成级联连接 。 因为
Ｙ 1(s)=H1(s)·F(s)
Y(s)=H2(s)·Y1(s)
故
Y(s)=［ H1(s)·H2(s)］ ·F(s)=H(s)·F(s) (5― 94)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析因此子系统级联时,总系统函数为各子系统函数之积,且与级联次序无关 。 在实际应用中 。 两系统级联还应考虑阻抗匹配问题,因为前级系统的驱动能力与后级系统的负载特性不匹配时,可能导致总的系统功能与理论结果有出入 。 因此,通常在级联的两个系统中间插入一个中间隔离驱动环节,以实现真正意义上的级联 。
图 5.30 系统的级联
H 1 ( s ) H 2 ( s ) H 1 ( s )· H 2 ( s )F ( s ) Y 1 ( s ) Y ( s ) F ( s ) Y ( s )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2）
如图 5.31所示,两个局部系统输出的和作为整个系统的输出时,两系统构成并联连接,因为
Ｙ 1(s)=H1(s)·F(s)
Y2(s)=H2(s)·Y(s)
故
Y(s)=Y1(s)+Y2(s)=［ H1(s)+H2(s)］ ·F(s)=H(s)·F(s)
(5-95)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.31 系统的并联
∑
H
1
( s )
H 2 ( s )
＋
＋
F ( s ) Y ( s )
H 1 ( s ) ＋ H 2 ( s )
Y ( s )F ( s )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
3）
图 5.33表示了子系统 H1(s)的输出信号反馈到输入端的情况,其中 H1(s)称为正向通路的系统函数,而 H2(s)称为反馈通路的系统函数,“+”号表示正反馈,即输入信号与反馈相加 ;“-”号表示负反馈,即输入信号与反馈信号相减 。 没有反馈通路的系统称为开环系统,有了反馈通路则称为闭环系统 。
从图 5.33可以看出,由于
Y(s)=H1(s)E(s)
B(s)=H2(s)Y(s)
E(s)=F(s)± B(s)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.32,和点”转移和“分点”转移
∑
H ( s )
H ( s )
＋
＋
F
1
( s )
Y ( s )
F
2
( s )
∑
＋
＋
F
1
( s )
Y ( s )
F
2
( s )
H ( s )
H ( s )
( a ) ( b )
F ( s )
Y ( s )
Y ( s )
F ( s )
H ( s )
H ( s )
Y ( s )
Y ( s )
( d )( c )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.33 反馈环路
∑ H
1
( s )
H
2
( s )
F ( s ) Y ( s )
E ( s )
B ( s )
＋
＋
－
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
1
12
1
12
1
12
()
( ) ( )
1 ( ) ( )
( ) ( )
()
( ) 1 ( ) ( )
( ) ( )
()
( ) 1 ( ) ( )
Hs
Y s F s
H s H s
Y s H s
Hs
F s H s H s
Y s H s
Hs
F s H s H s
因此对于负反馈,总的系统函数对于正反馈,总的系统函数
(5― 96)
(5― 97)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2.
根据前述几种系统的基本连接规律,可以把一个具有很多局部系统连接起来的复杂系统,逐步变换得以简化,最后求得总的系统函数 。 常用的方框图化简规则列于表 5-4中,在方框图的化简过程中,往往需要移动
,和点,与,分点,,应注意保持移动前后整个系统的输入输出关系不变 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析表５ ― ４ 框图化简规则
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 38 试用方框图化简的方法,求图 5.34(a)的系统函数 H(s)。
图 5.34 系统方框图化简
∑ H
1
( s ) ∑ H
2
( s ) ∑ H
3
( s ) H
4
( s )
H
7
( s )
H
5
( s )
H
6
( s )
Y ( s )F ( s )
＋
－
－
＋
＋
－
( a )
∑ H
1
( s ) ∑ H
2
( s ) ∑ H
3
( s ) H
4
( s )
H
7
( s )
H
5
( s )
H
6
( s )
Y ( s )F ( s )
＋
－
－
＋
＋
－
( b )
1
H
4
( s )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.34 系统方框图化简
∑ H
1
( s ) ∑ H
2
( s ) H
A
( s )
H
5
( s )
H
6
( s )
Y ( s )F ( s )
＋
－
－
＋
( c )
1
H
4
( s )
∑ H
1
( s ) H
B
( s )
H
5
( s )
Y ( s )F ( s )
＋
－
( d )
H ( s ) Y ( s )F ( s )
H ( s ) ＝
H
1
( s ) H
B
( s )
1 ＋ H
1
( s ) H
B
( s ) H
5
( s )
( e )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析解 首先利用表 5― 4中的规则 7,将分点 A后移,如图
5.34(b)所示 。 其次,化简由 H3(s),H4(s)和 H7(s)所组成的反馈回路,可得等效的子系统函数为
34
3 4 7
( ) ( )()
1 ( ) ( ) ( )A
H s H sHs
H s H s H s
2 3 4
3 4 7 2 3 6
( ) ( ) ( )()
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )B
H s H s H sHs
H s H s H s H s H s H s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析如图５,34(d)所示 。 最后,化简由Ｈ 1(s),HB(s)和
H5(s)所组成的反馈回路,于是得到总的系统函数为
1 2 3 4
2 3 6 3 4 7 1 2 3 4 5
()
()
()
( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
B
Ys
Hs
Fs
H s H s H s H s
H s H s H s H s H s H s H s H s H s H s H s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
3.
信号流图是用几何模型来描述线性方程组变量之间因果关系的一种表示方法,实际上也是一种模拟图形,因此信号流图可以从方框图演变而来 。 图５,35(a)是用系统函数Ｈ (s)表示的系统方框图,现在改用图 (b)的一条直线加一个箭头来代替,箭头指示信号流动的方向,直线的标记就是该区间的系统函数,H(s)简写成Ｈ,输入Ｆ (s)和输出 Y(s)分别简写成Ｆ和Ｙ 。 图 (c)中是具有,和点,与
,分点,的方框图,画成图 (d),此处,和点,与,分点,
统称为内节点 。 可见由一些标明方向的线段和点连接起来组成的图形就是信号流图,简称流图 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图５,３５ 方框图与相应的信号流图
H ( s )F ( s ) Y ( s )
( a )
( b )
F Y
H
H
1
( s ) ∑ H
2
( s )
H
3
( s )
F ( s ) Y ( s )
内节点
F Y
H
1
H
2
－ H
3
1
源点 和点 分点 沟点
( c )
( d )
＋
－
B ( s )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析方框图描述了系统中各局部系统之间的连接关系,
信号流图简化了方框图的表现形式,从而更醒目地表明系统中各信号 （ 变量 ） 之间的因果关系 。
信号流图是一种由点和线构成的图形,并用以下名称来描述系统特性 。
节点,节点是用来表示信号或系统变量 （ 变换变量 ）
的 。
支路,支路是连接两节点的定向线段 。
支路系统函数,连接该支路节点信号之间的系统函数,用符号 H(s)表示,简写成 H。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析源点,只含有出支路的节点,叫做源点 。 源点表示输入信号 （ 即系统的激励 ）,用符号 F(s)表示,简写为 F。
沟点,只有入支路的节点,叫做沟点 。 沟点表示输出信号 （ 即系统的响应 ） 。 用符号 Y(s)表示,简写为 Y。
内节点,既有入支路,又有出支路的节点叫做内节点 。
用符号 X(s)表示,简写为 X。 若仅有一条出支路的内节点称为,和点,,仅有一条入支路的内节点称为,分点,。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析信号流图是说明系统中各节点信号之间的代数运算关系,或者说支路表示了系统中一个信号对另一个信号的函数关系 。 信号只能沿着支路的箭头方向流动 。 比如图 5.35(b)
可写出
Y=HF
内节点信号就是该节点所有入支路信号的总和,并把总和信号传向连接该节点的每一分支路 。
例如图 5.36(a)中的节点变量 X4的总和信号为
X4=H14X1+H24X2+H34X3
而节点变量 X5和 X6为
X5=H45X4,
X6=H46X4
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.36 内节点的总和信号
X
1
X
2
X
3
X
4
′
X
4
″
X
5
X
6
H
14
H
24
H
34
H
45
H
46
X
1
X
2
X
3
X
5
X
6
H
14
H
24
H
34
H
45
H
46
( a ) ( b )
X
4
1
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 39 把例 5― 38的系统方框图表示成信号流解 由图 5.34(a)可知,该系统的信号流图应有 7条支路,为使系统具有一个源点和沟点,在第一个加法器前和子系统 H4(s)后各增加一条直通支路 。 于是信号流图如图 5.37所示 。
图 5.37 系统的信号流图
H
1
F Y
1 1H
4
H
3
H
2
－ H
6
－ H
7
－ H
5
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
4.系统的模拟系统的模拟不是对系统的仿制,而是数学意义上的等效 。 就是说,用来模拟系统的装置和被模拟的系统具有相同的数学模型,因此,它们的输入,输出关系完全等效 。
模拟系统的框图称为系统的模拟图,它是若干基本运算器的框图的组合,也可以简化为信号流图 。
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.38 基本运算单元
(a)微分器 ;(b)积分器 ;(c)数乘器 ;(d)加法器
sF ( s ) sF ( s )
sF Y ＝ sF
s
－ 1
F ( s )
F ( s )
s
s
－ 1
F Y ＝
F
s
( b )
( a )
F ( s ) aF ( s )
aF Y ＝ aF
( c )
F
1
( s )
F
1
Y ＝ F
1
－ F
2
( d )
∑
＋
－
F
2
( s )
F
1
( s ) － F
2
( s )
F
2
1 1
－ 1
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析系统模拟归结为对 H(s)展开式进行模拟,由于分析方法不同,可以产生多种形式,一般常用的有如下几种形式 。
1) 直接形式系统函数一般可写成如下形式
1
1 1 0
1
1 1 0
()
mm
mm
mn
n
b s b s b s bHs
s a s a s a
(5― 98)
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.39 两种形式的模拟信号流图
b
1
b
2
b
n － 2
b
n － 1
b
n
－ a
n － 1
－ a
n － 2
－ a
2
－ a
1
－ a
0
F
1 1
Y
s
－ 1
s
－ 1
s
－ 1
s
－ 1 b
0
( a )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.39 两种形式的模拟信号流图
b
1
b
2
b
n － 2
b
n － 1
b
n
－ a
n － 1
－ a
n － 2
－ a
2
－ a
1
－ a
0
Y
11
F
s
－ 1
s
－ 1
s
－ 1
s
－ 1b
0
( b )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析例 5― 40 已知一个系统的系统函数为试用直接形式模拟此系统 。
解将 H(s)写成
2
2 3 4()
( 2 ) ( 3 )
sHs
s s s
4 2 2
23()
7 1 6 1 2
sHs
s s s s
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析图 5.40 例 5― 39系统的模拟框图
F Y
1 s － 1 s － 1 s － 1 s － 1 3
－ 7
－ 12
2
( a )
－ 16
F Y
1s － 1s － 1s － 1s － 13
－ 7
－ 16
2
( b )
－ 12
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
2) 级联形式如果我们把系统函数 H(s)写成 n个系统函数连乘的形式,就相当于 n个系统的级联,每个局部系统因为结构较简单而容易实现,且具有模块化的结构 。
例 5― 41 已知一个系统的系统函数为
2
2
2 1 4 2 4()
32
ssHs
ss
试用级联形式模拟此系统 。
解将 H(s)改写成
12
12
2 ( 2 ) 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12
2 ( 2 ) 4
( ),( )
12
ss
H s H s H s
ss
ss
H s H s
ss
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析虽然 H1(s)和 H2(s)很容易模拟成图 5.41(a),(b),把两个子系统级联就是整个系统级联形式的模拟信号流图,
见图 5.41(c)。
图 5.41 例 5― 40的级联模拟流图
s － 1
F Y
3
1
2
－ 1
( a )
s － 1
F Y
4
1
1
－ 2
( b )
F Y
s － 1 s － 1
1 1
3 41
－ 1 － 2
2
( c )
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析
3) 并联形式一个系统函数展开成部分分式,每个部分分式对应一个局部系统,对每个局部系统进行模拟后再并联起来就构成了并联形式的模拟结构 。
例 5― 42 将例 5― 40的系统函数,试用并联形式模拟该系统 。
2
1 1 2 32
1 2 3
2 14 24 12 4
( ) 2 ( ) ( ) ( )
3 2 1 2
12 4
( ) 2,( ),( )
12
ss
H s H s H s H s
s s s s
H s H s H s
ss
,信号与线性系统,
第五章 连续系统的复频域分析于是三个子系统可以由图 5.42(a),(b),(c)进行模拟,整个系统由 (d)图模拟,是并联形式 。
图 5.42 例 5― 41并联模拟信号流图
F Y
2
( a )
s － 1
F Y
121
－ 1
( b )
s
－ 1
F Y
1
－ 2
( c )
－ 4 s
－ 1
F Y
121
－ 1
( d )
s
－ 1
2
－ 2
－ 41
