2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 1
上课时间,第五周～第十六周,
周四晚 18时 ~20时 10分 。
考核办法,平时 20分,考试卷面 80分 。 平时成绩以出勤为主 。
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 2
第七章机 械 振 动
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 3
一、简谐振动表达式在弹性限度内，弹性力为：
第一节 简谐振动
kxF
由牛顿定律,2
2
dt
xda?
mF? xmk )(
令,2
m
k 有 xa 2
上式可改写为,
0222 xdtxd?
谐振动的动力学特征,简谐振动的加速度和位移成正比且方向相反 。
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 4
方程的解为, tAx c o s
该式称为简谐振动方程。
谐振动的运动学特征：
位移 x 按余弦函数的规律随时间变化。
三、简谐振动的速度与加速度：
速度：
dt
dxV tA s i n
)2c os ( tA
mVA
速度振幅
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 5
maA?
2? 加速度振幅。
x,V、
a 三者与时间 t 的关系 。
to
x Va
加速度：
2
2
dt
xddtdVa )c o s (2 tA
)c o s (2 tA
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 6
四、描述简谐振动的物理量
1,振幅 A：
2,周期 T, 2?T
2?T
3,频率 n：
n
2?T
1?n
4、位相 (? t )与初位相
(? t )称为位相，单位是弧度 ( rad )。
它是随时间单调增加的函数。
t = 0 时刻的位相? 称为 初位相 。
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 7
2
2
02
0?
VxA
0
0
x
Vtg
由上式可得到：
t = 0，由运动方程可知：
c o s0 Ax s i n0 AV
5,位相差为 D? 两 谐振动 的位相差为：
)()( 1122D tt
)()( 1212 t
12若：
12D则,既为初相差。
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 8
xo
A
0M
t
x p
M
旋转矢量的端点在 x 轴上的投影点的运动为简谐振动 。
五、旋转矢量法
t 时刻,矢径
A 与 x 轴的夹角为 (? t ),
在 x 轴上的投影为 x =
Acos(? t )。
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 9
物理模型与数学模型比较
A
谐振动 旋转矢量
t+?
T
振 幅初 相相 位圆频率谐振动周期半 径初始角坐标角坐标角速度圆周运动周期
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 10
第二节 简谐振动的能量一,简谐振动系统的能量系统的总能量为：
KP EEE
22
2
1
2
1 VmEkxE
kP
)c o s ( tAx由 )s i n ( tAV
)(c o s 2221 tkAE p
)(s i n 22221 tAmE k
221 kAEEE
Pk
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 11
(1) 动能与势能均为时间的函数,位相差为?/2,二者可以相互转化,即机械能守恒 。
(2) 一般振动有 2AE?
(3) 能量曲线：
o t
kE pEE
k,Ep均为 t的函数,且位相差为?/2。
Ek 最大时,Ep最小,
二者交替变化 。
能量的特征：
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 12
二、动能与势能在一个周期内的平均值
T
pp dtETE 0
1 2
4
1 kA?
T
kk dtETE 0
1
Ep 与 Ek 的平均值各占总能量的一半。
2
4
1 kA?
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 13
第三节 简谐振动的合成某质点同时参与两个同频率同方向的振动，分振动方程为：
)c o s ( 111 tAx
)c o s ( 222 tAx
合振动位移 x 就是 x1与 x2 的代数和。
21 xxx
2211 coscos tAtA
一、同频率、同方向简谐振动的合成
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 14
合成结果为 (?）简谐振动。
)c o s ( tAx
)c o s (2 12212221 AAAAA
2211
2211
c o sc o s
s i ns i n
AA
AAtg
振幅可由旋转矢量法,简单,直观求得,? 1
2?
x2 x2x
1 x
M2
M1
M
A
A1A2
P
XO
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 15
讨论特殊情况：
D k2)1( 12,1,0k
1)c o s ( 12
则,合振幅最大。
21 AAA
12)2( 12D k,1,0k
1)c o s ( 12
21 AAA
则,合振幅最小。
当 A1 - A2 为其它值,合振幅 A在与最大值最小值之间 。 若 A1= A2时,最大值为 2A
,最小值为 0。
上课时间,第五周～第十六周,
周四晚 18时 ~20时 10分 。
考核办法,平时 20分,考试卷面 80分 。 平时成绩以出勤为主 。
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 2
第七章机 械 振 动
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 3
一、简谐振动表达式在弹性限度内，弹性力为：
第一节 简谐振动
kxF
由牛顿定律,2
2
dt
xda?
mF? xmk )(
令,2
m
k 有 xa 2
上式可改写为,
0222 xdtxd?
谐振动的动力学特征,简谐振动的加速度和位移成正比且方向相反 。
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 4
方程的解为, tAx c o s
该式称为简谐振动方程。
谐振动的运动学特征：
位移 x 按余弦函数的规律随时间变化。
三、简谐振动的速度与加速度：
速度：
dt
dxV tA s i n
)2c os ( tA
mVA
速度振幅
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 5
maA?
2? 加速度振幅。
x,V、
a 三者与时间 t 的关系 。
to
x Va
加速度：
2
2
dt
xddtdVa )c o s (2 tA
)c o s (2 tA
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 6
四、描述简谐振动的物理量
1,振幅 A：
2,周期 T, 2?T
2?T
3,频率 n：
n
2?T
1?n
4、位相 (? t )与初位相
(? t )称为位相，单位是弧度 ( rad )。
它是随时间单调增加的函数。
t = 0 时刻的位相? 称为 初位相 。
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 7
2
2
02
0?
VxA
0
0
x
Vtg
由上式可得到：
t = 0，由运动方程可知：
c o s0 Ax s i n0 AV
5,位相差为 D? 两 谐振动 的位相差为：
)()( 1122D tt
)()( 1212 t
12若：
12D则,既为初相差。
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 8
xo
A
0M
t
x p
M
旋转矢量的端点在 x 轴上的投影点的运动为简谐振动 。
五、旋转矢量法
t 时刻,矢径
A 与 x 轴的夹角为 (? t ),
在 x 轴上的投影为 x =
Acos(? t )。
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 9
物理模型与数学模型比较
A
谐振动 旋转矢量
t+?
T
振 幅初 相相 位圆频率谐振动周期半 径初始角坐标角坐标角速度圆周运动周期
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 10
第二节 简谐振动的能量一,简谐振动系统的能量系统的总能量为：
KP EEE
22
2
1
2
1 VmEkxE
kP
)c o s ( tAx由 )s i n ( tAV
)(c o s 2221 tkAE p
)(s i n 22221 tAmE k
221 kAEEE
Pk
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 11
(1) 动能与势能均为时间的函数,位相差为?/2,二者可以相互转化,即机械能守恒 。
(2) 一般振动有 2AE?
(3) 能量曲线：
o t
kE pEE
k,Ep均为 t的函数,且位相差为?/2。
Ek 最大时,Ep最小,
二者交替变化 。
能量的特征：
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 12
二、动能与势能在一个周期内的平均值
T
pp dtETE 0
1 2
4
1 kA?
T
kk dtETE 0
1
Ep 与 Ek 的平均值各占总能量的一半。
2
4
1 kA?
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 13
第三节 简谐振动的合成某质点同时参与两个同频率同方向的振动，分振动方程为：
)c o s ( 111 tAx
)c o s ( 222 tAx
合振动位移 x 就是 x1与 x2 的代数和。
21 xxx
2211 coscos tAtA
一、同频率、同方向简谐振动的合成
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 14
合成结果为 (?）简谐振动。
)c o s ( tAx
)c o s (2 12212221 AAAAA
2211
2211
c o sc o s
s i ns i n
AA
AAtg
振幅可由旋转矢量法,简单,直观求得,? 1
2?
x2 x2x
1 x
M2
M1
M
A
A1A2
P
XO
2009年 7月 30日 大学物理 AII 重修 15
讨论特殊情况：
D k2)1( 12,1,0k
1)c o s ( 12
则,合振幅最大。
21 AAA
12)2( 12D k,1,0k
1)c o s ( 12
21 AAA
则,合振幅最小。
当 A1 - A2 为其它值,合振幅 A在与最大值最小值之间 。 若 A1= A2时,最大值为 2A
,最小值为 0。
