第十三章量子力学一、状态用波函数描述
)(2c o s),( xtAtxy
写成复数形式
)(2),( txiAetxy
)( tkxiAe
第一节 波函数及其统计解释一般形式 )(),( trkiAetry
1、平面简谐波的波函数为
)(
0),(
trkietr )(
0
Etrpie
二、波函数的统计解释在空间的某一点波函数的平方和该点找到粒子的几率成正比 。
1、电子衍射的玻恩统计解释：
波函数模的平方? 找到粒子的几率
d x d y d ztzyxctzyxdW 2),,,(),,,(
2),,,(),,,( tzyxΦctzyxw?
其中称为几率密度即：
根据统计解释,要求粒子在空间各点的概率的总和为 1。 （ 归一化条件 ）
1),,,( 2
Vdtzyxc?
),,,(),,,( tzyxctzyx
1),,,( 2
Vdtzyx?
),,,( tzyx?
归一化波函数
c
归一化常数
2、波函数的标准条件：
单值、连续、有限。
波函数 随时间演化所遵从的规律。),( tr
一,薛定谔方程第三节 薛定谔方程
t
i
m?
22
2
2、在势场 中运动的粒子),( trU
3、多粒子体系
),(),(]2[ 22 trtitrUm
tiUm
i
i
i?
22
2
1、自由粒子在 U与时间无关的情况下，薛定谔方程可用分离变量法求解：
)()(),( tfrtr
)()]()(2[)()]([ 22 tfrUrmrtfti
)]()(2[)(1)()( 2
2
rUrmrdt tdftf i
第五节 定态薛定谔方程由于左边是 t 的函数，右边是 的r?
函数，而 t 和 是独立变量。r?
只有两边等于同一常数时,该等式才能成立 。
以 E 表示这个常数，有
)( tfEdtdfi
其解为
i E tetf)(
因此
i E tertr )(),(
)(r? 满足的方程为
)()()](2[ 22 rErrUm
这就是定态薛定谔方程。
定态的特点,处于定态下的粒子具有确定的能量,而且粒子的几率分布不随时间改变 。
求解定态薛定谔方程,设粒子处在无限深势阱中
)0(0
),0(
)(
ax
axx
xU
…… ……
a0
势阱外
),0( axx 0)(?x?
第六节 一维无限深势阱势阱内
02 22
2
mE
dx
d
2
2 2
mEk?
022
2
k
dx
d
方程的通解为
00)0( B?
0s i n0)( kaAa?
kxBkxAxΨ c o ss i n)(
)( ax0
,3,2,1, nank?
,3,2,1,2 2
222
nma nE n?
由 B = 0 和
a
nk
a
xnAx s i n)(?
aAdxx
a 2
1)(
2
0
波函数为
a
xn
ax
s i n2)(,3,2,1?n
二、讨论
1、能量的量子化
,,,n,ma nE n 3212 2
222
2、波函数的节点
0s i n2)(
a
xn
a
xn
N
a
xn? ),2,1,0( nN
节点的位置
n
Nax?
n = 1,x = 0,a
n = 2,x = 0,a/ 2,a
…………………
3、粒子位置的几率分布
a
xn
aw
2s i n2?
节点处,w = 0，节点间中心位置,w = 2/a
0 a
E1
E2
E3
E4
0 a
1、主量子数和能量量子化
2、角量子数和角动量量子化
222
0
2
2)4( n
meE
量子化结果,描写原子中电子的运动状态,
要有四个量子数 n,l,ml,ms 的一组数值 。
n = 1,2,… 称为主量子数
n 决定电子在原子中的能量。
第九节 氢原子
)1( llL l = 0,1,2,…,n-1 称为角量子数
l 决定电子绕核运动的角动量。
3、磁量子数和空间量子化
),,1,0( lmmL llz
lm l,,1,0?
称为磁量子数
ml 决定电子绕核运动角动量的空间取向。
4、自旋磁量子数和自旋量子化
)21( ssz mmS? 称为磁量子数
ms 决定电子自旋角动量的空间取向。
)(2c o s),( xtAtxy
写成复数形式
)(2),( txiAetxy
)( tkxiAe
第一节 波函数及其统计解释一般形式 )(),( trkiAetry
1、平面简谐波的波函数为
)(
0),(
trkietr )(
0
Etrpie
二、波函数的统计解释在空间的某一点波函数的平方和该点找到粒子的几率成正比 。
1、电子衍射的玻恩统计解释：
波函数模的平方? 找到粒子的几率
d x d y d ztzyxctzyxdW 2),,,(),,,(
2),,,(),,,( tzyxΦctzyxw?
其中称为几率密度即：
根据统计解释,要求粒子在空间各点的概率的总和为 1。 （ 归一化条件 ）
1),,,( 2
Vdtzyxc?
),,,(),,,( tzyxctzyx
1),,,( 2
Vdtzyx?
),,,( tzyx?
归一化波函数
c
归一化常数
2、波函数的标准条件：
单值、连续、有限。
波函数 随时间演化所遵从的规律。),( tr
一,薛定谔方程第三节 薛定谔方程
t
i
m?
22
2
2、在势场 中运动的粒子),( trU
3、多粒子体系
),(),(]2[ 22 trtitrUm
tiUm
i
i
i?
22
2
1、自由粒子在 U与时间无关的情况下，薛定谔方程可用分离变量法求解：
)()(),( tfrtr
)()]()(2[)()]([ 22 tfrUrmrtfti
)]()(2[)(1)()( 2
2
rUrmrdt tdftf i
第五节 定态薛定谔方程由于左边是 t 的函数，右边是 的r?
函数，而 t 和 是独立变量。r?
只有两边等于同一常数时,该等式才能成立 。
以 E 表示这个常数，有
)( tfEdtdfi
其解为
i E tetf)(
因此
i E tertr )(),(
)(r? 满足的方程为
)()()](2[ 22 rErrUm
这就是定态薛定谔方程。
定态的特点,处于定态下的粒子具有确定的能量,而且粒子的几率分布不随时间改变 。
求解定态薛定谔方程,设粒子处在无限深势阱中
)0(0
),0(
)(
ax
axx
xU
…… ……
a0
势阱外
),0( axx 0)(?x?
第六节 一维无限深势阱势阱内
02 22
2
mE
dx
d
2
2 2
mEk?
022
2
k
dx
d
方程的通解为
00)0( B?
0s i n0)( kaAa?
kxBkxAxΨ c o ss i n)(
)( ax0
,3,2,1, nank?
,3,2,1,2 2
222
nma nE n?
由 B = 0 和
a
nk
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aAdxx
a 2
1)(
2
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波函数为
a
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ax
s i n2)(,3,2,1?n
二、讨论
1、能量的量子化
,,,n,ma nE n 3212 2
222
2、波函数的节点
0s i n2)(
a
xn
a
xn
N
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节点的位置
n
Nax?
n = 1,x = 0,a
n = 2,x = 0,a/ 2,a
…………………
3、粒子位置的几率分布
a
xn
aw
2s i n2?
节点处,w = 0，节点间中心位置,w = 2/a
0 a
E1
E2
E3
E4
0 a
1、主量子数和能量量子化
2、角量子数和角动量量子化
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0
2
2)4( n
meE
量子化结果,描写原子中电子的运动状态,
要有四个量子数 n,l,ml,ms 的一组数值 。
n = 1,2,… 称为主量子数
n 决定电子在原子中的能量。
第九节 氢原子
)1( llL l = 0,1,2,…,n-1 称为角量子数
l 决定电子绕核运动的角动量。
3、磁量子数和空间量子化
),,1,0( lmmL llz
lm l,,1,0?
称为磁量子数
ml 决定电子绕核运动角动量的空间取向。
4、自旋磁量子数和自旋量子化
)21( ssz mmS? 称为磁量子数
ms 决定电子自旋角动量的空间取向。
