~ ?yvD ?Dy
???
?¨?
USD o
US9
?×s
~ ?yvD ?Dy
,0 +∞<≤ r
,20 π≤θ≤
.+∞<<∞? z
Ba ?¨?
US9
?×s
¥?
USü???
5?"¥ ?¥US1
¥g?
1 bW
=B?i
!?
!
Mzr
rPxoy
MzyxM
,,
,
),,(
θ
θ
?
x
y
z
o
),,( zyxM
),( θrP
θ
r
~ ?yvD ?Dy
=
=
=
.
,sin
,cos
zz
ry
rx
θ
θ
?
USD°?U
S¥1"1
1è
r
1è
z
1è
θ
?m ?US
sY1
??

?
ü

ü

),,( zyxM
),( θrP
θ
r
z
x
y
z
o
~ ?yvD ?Dy
∫∫∫
∴ dxdydzzyxf ),,(
.),sin,cos(
∫∫∫
= dzrdrdzrrf θθθ
θd
r
x
y
z
o
dz
dr
θrd
?m?
US"
?¥8í
í1
,dzrdrddv θ=
~ ?yvD ?Dy
è  9
∫∫∫
= zdxdydzI  
^ o
4
222
=++ zyx D
t
zyx 3
22
=+
?¥ ?8,
3
?
=
=
=
zz
ry
rx
θ
θ
sin
cos
,
=
=+
zr
zr
3
4
2
22
,3,1 ==? rz
??L1
~ ?yvD ?Dy
∫∫∫
π
θ=
2
3
2
42
0
3
0
r
r
zdzrdrdI
.
4
13
π=
 ?mg??ü> u× xoy?
.20
,30
4
3
:
2
2
π≤θ≤
≤≤
≤≤?
r
rz
r

~ ?yvD ?Dy
è 9
∫∫∫
+= dxdydzyxI )(
22
 
^ wL zy 2
2
=  0=x ? ozàèB?7?
¥ w
D

ü
,2=z 8=z
?¥ ?8,
3
?
=
=
0
2
2
x
zy
? oz àè¤
è
Z?1
,2
22
zyx =+
??¥ ?8 ?m
~ ?yvD ?Dy
:
2
D
,4
22
=+ yx
.
2
2
20
20
:
2
2
≤≤
≤≤
π≤θ≤
z
r
r
:
1
D
,16
22
=+ yx
,
8
2
40
20
:
2
1
≤≤
≤≤
π≤θ≤
z
r
r
?? ?8¥g? u× ?m
2
D
1
D
~ ?yvD ?Dy
,)()(
21
2222
21
∫∫∫∫∫∫

+?+=
=∴
dxdydzyxdxdydzyx
III
∫∫ ∫
θ=
1
2
8
2
1
D
r
fdzrdrdI
,
3
4
5
π=
∫∫ ∫
=
2
2
2
2
2
D
r
fdzrdrdI θ
,
6
2
5
π=
e
T =I π
3
4
5
π?
6
2
5
π= 336,
∫∫∫
θ=
π 8
2
4
0
2
0
2
2
r
dzrrdrd
∫∫∫
=
2
2
2
0
2
0
2
2
r
dzrrdrd
π
θ
~ ?yvD ?Dy
=a ?¨ o
US9
?×s
¥ o
USü?S?
?
¥g??"¥ ??
1¥?? ú
I
H?Z_?μ_L
à?à ? A11V?à?_
C¥?
D1μ_L
W¥  ?D??
1e ? ?? ? ??μQ?¥
V¨1 bW
=B?5?
!
M
rxoyM
POP
xz
zOMMO
rr
MzyxM
θ
θ
θ?
),,(
~ ?yvD ?Dy
,r +∞<≤0
.20 π≤θ≤
,0 π≤?≤
?
1è
r
1è

1è
θ
?m ?US
sY1
?

o

?
ü

~ ?yvD ?Dy
=
=
=
.cos
,sinsin
,cossin
θ?
θ?
rz
ry
rx
o
USD°?US¥1"1
?m
P
x
y
z
o
),,( zyxM
θ
r
z
y
x
A
à
¥g?1?

¥g?1
!?
AxP
PxoyM
.,,zPMyAPxOA ===5
~ ?yvD ?Dy
∫∫∫
=dxdydzzyxf ),,(
∫∫∫
.sin)cos,sinsin,cossin(
2
θθ?θ? ddrdrrrrf
o
US"?¥8í
í1
,sin
2
θ ddrdrdv =
θd
r
x
y
z
o
dr
θ?dsinr
rd
d
θ
θd
sinr
?m
~ ?yvD ?Dy
è 9
∫∫∫
+= dxdydzyxI )(
22
 
^
222
zyx =+  D
ü
az= )0( >a
?¥ ?8,
3 1 ?¨ o
US
az =Q
,
cos?
=?
a
r
222
zyx =+,
4
π
=
,20,
4
0,
cos
0,π≤θ≤
π
≤?≤
≤≤?∴
a
r
~ ?yvD ?Dy
∫∫∫
+= dxdydzyxI )(
22
drrdd
a
∫ ∫∫
π
π
θ=
4
0
cos
0
34
2
0
sin

π=

π
d
a
)0
cos
(
5
1
sin2
5
5
4
0
3
.
10
5
a
π
=
~ ?yvD ?Dy
3 2 ?¨?
US
,:
222
ayxD ≤+
∫∫∫
+= dxdydzyxI )(
22
∫∫∫
π
θ=
a
r
a
dzrrdrd
2
0
2
0

π=
a
drrar
0
3
)(2
]
54
[2
54
aa
aπ=,
10
5
a
π
=
222
zyx =+Q,rz =?
,20,0,,π≤θ≤≤≤≤≤? arazr
~ ?yvD ?Dy
è p w
2222
2azyx ≤++ D
22
yxz +≥
? ?¥ ?88,
3
?
o
??
?¨ o
US
?
2222
2azyx =++
,2ar =?
22
yxz +=,
4
π
=
,20,
4
0,20,π≤θ≤
π
≤?≤≤≤? ar
~ ?yvD ?Dy
? ?×s¥?é?
∫∫∫
= dxdydzV,
∫∫∫
θ=
π
π a
drrddV
2
0
2
0
2
0
sin
4

π
π=
4
0
3
3
)2(
sin2 d
a
.)12(
3
4
3
a?π=
~ ?yvD ?Dy
?  ?¨??e ?×s9
P¨??
H??i
as u×1?US
¥??
a$f
s u×
¥1? ??USà¥
B?1?s u×?1? xoy
ü
? O$
f
),,( zyxf
^1? z¥ f
5 ?×s1
, ?$f
),,( zyxf
^1? z¥
}f
5 ?×
s1? xoy
ü
Z¥??> u×¥ ?×s
¥
,

}?
~ ?yvD ?Dy
è  ?¨??e9
∫∫∫
+++
+++
dxdydz
zyx
zyxz
1
)1ln(
222
222
?s u× }1|),,{(
222
≤++=? zyxzyx,
3 s×1? ??US
??
$f
^ ¥ f
,
z
.0
1
)1ln(
222
222
=
+++
+++
∫∫∫
dxdydz
zyx
zyxz
~ ?yvD ?Dy
3
2
)( zyx ++Q
)(2
222
zxyzxyzyx +++++=
è 9
∫∫∫
++ dxdydzzyx
2
)( 
^?
t
22
yxz += o
2
222
=++ zyx
??¥ b
W> u×,
? yzxy +
^1? y¥ f
,
O?1? zox
?,
∫∫∫
=+∴ 0)( dvyzxy
,
~ ?yvD ?Dy
] ? Q zx
^1? x¥ f
,
O?1? yoz
?,
,0
∫∫∫
=∴ xzdv
????
∫∫∫∫∫∫

= dvydvx
22
,
5
∫∫∫
++= dxdydzzyxI
2
)(
,)2(
22
∫∫∫
+= dxdydzzx
~ ?yvD ?Dy
?
US/
,20 π≤θ≤
,10 ≤≤ r
,2
22
rzr?≤≤
,1
22
≤+ yx
g? u×
xy
D 
∫∫ ∫
π
+θθ=
2
2
2
222
2
0
1
0
)cos2(
r
r
dzzrrdrdI
).89290(
60
π
=
~ ?yvD ?Dy

1?
US¥8í
í
dzrdrddxdydz θ=

2 o
US¥8í
í
θ? ddrdrdxdydz sin
2
=

3??e
?×sDíE
?
US
o
US
?al2
~ ?yvD ?Dy
± I5
5
¥ ??f
1
?¥μ?> u×?1?1 ?
,
),,(
3
zyxfxoyR
∫∫∫
=;0),,(,____),,( dvzyxfzyxf 1 f
H1??
∫∫∫∫∫∫
=
1
),,(___),,(
,____),,(

dvzyxfdvzyxf
zyxf 1
}f
H1??
.
1
Z¥?s1 ? xy
z
z
2
~ ?yvD ?Dy
BaA b5
a ? w
)(3
222
yxz += 16
222
=++ zyx
?
5 ?×s
∫∫∫
dvzyxf ),,( V
U?°?US/
¥ ?Qs
^@@@@@@@@@@@@@@@@@?
US/
¥ ?Qs
^@@@@@@@@@@@@@@@@@ o
US/
¥ ?Qs
^@@@@@@@@@@@@@@@@@@
a ? w
#
22
2 yxz=
22
yxz +=
?
|
∫∫∫
zdvV1?
US/¥ ?Qs@@@@@@@@@
′1@@@@@@@
5
~ ?yvD ?Dy
a ? bW u×?1= w
azyx =+
22
#

22
2 yxaz +?=
?
5 8 VV1 ?×s
@@@@@@@@@@@@@@@=×s@@@@@@@@@ @@@@@
?
US/¥ ?Qs@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
a ????
T
2222
)( aazyx ≤?++
222
zyx ≤+
??
|
∫∫∫
zdvV1 o
US/¥ ?Qs1
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ ′1@@@@@@@@@@
=a9
/
 ?×s
a
∫∫∫
+ dvyx )(
22


^? w
=
2
4z )(25
22
yx +
#
ü
5=z
??¥> u×
~ ?yvD ?Dy
a
∫∫∫
+ dvyx )(
22

???
T
 0,0
222
≥≤++≤< zAzyxa
??
a
∫∫∫
++ dxdydz
c
z
b
y
a
x
)(
2
2
2
2
2
2

 ? =?
≤++ 1),,(
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
zyx 
?a p w
22
5 yxz= # zyx 4
22
=+
??¥ ?
8¥8
1a w
222
4aazyx =++ | o8 azzyx 4
222
≤++ s
?
?s
k p
?s¥8-1
?a p? w
,0,,
22
==++= xayxyxz 0,0 == zy

?? ?8¥×?
!
á1=ρ

~ ?yvD ?Dy
Ba p??1 a
ú1 h¥ (
??8?V??7<
°?
L¥à¥?8

!
á)1=ρ 
~ ?yvD ?Dy
Baa
∫∫∫

+

22
22
2
2
16
)(3
4
4
2
2
),,(
yx
yx
x
x
dzzyxfdydx

∫∫∫
+?


+
)(3
16
4
4
2
2
22
22
2
2
),,(
yx
yx
x
x
dzzyxfdydx

∫∫∫
π
θθθ
2
16
3
2
0
2
0
),sin,cos(
r
r
dzzrrfrdrd

∫∫∫

π
θθθ+
r
r
dzzrrfrdrd
3
16
2
0
2
0
2
),sin,cos(

∫∫∫
θθ
π
π 4
0
6
0
2
0
,cossin(rfdd
 drrrrθ? sin)cos,sinsin
2

∫∫∫
θθ+
π
π
π 4
0
6
5
2
0
,cossin(rfdd
 drrrrθ? sin)cos,sinsin
2

5s?
~ ?yvD ?Dy
a
∫∫∫
π
θ
2
2
21
0
2
0
r
r
zdzrdrd
12


a
∫∫∫
dv
∫∫
+
+?
D
dxdy
a
yx
yxa )2(
22
22


∫∫∫
π
θ
ra
a
r
a
dzrdrd
2
0
2
0
2

a
4
cos2
0
3
4
0
2
0
6
7
,cossin adrrdd
a
πθ
∫∫∫
π
π

=aa π8  a )(
15
4
55
aA?
π

a abcπ
5
4

?a )455(
3
2
π 
~ ?yvD ?Dy
1a
27
37
6
27
6
37
3
3
2
1
=
π
π
=
a
a
V
V

?a )
30
7
,
5
2
,
5
2
(
2
aaa 
Ba )
3
(
4
2
2
h
a
M
+ ? ρπ= haM
2
1??8¥é