浙江大学控制系自动控制原理近年考研题分章集锦（六）
（第七章:状态空间方法）
2005年
9、（15分）简单计算题，直接计算出结果即可。（每小题5分)
(2)．已知系统状态空间表达式为 ；，求使闭环极点为-1、-2的状态反馈阵K。
(3)．已知受控系统的系数矩阵为：，,。要求：采用期望极点均为－10的2维状态重构实现状态反馈。
解：
（3）
，则观测器的方程为：
（2）因为系统的能控性判断矩阵：，显见。系统不完全能控，故没有一个状态反馈阵K能满足要求使闭环极点为-1、-2。
11、（10分）请写出如图所示电路当开关合上后的系统状态方程与输出方程。其中状态如图示，设系统的输出变量是i2。若电路图中所有元件的参数均为1，请判断系统的可控性与可观性。
解：（1）状态方程：
（2）可控性与可观性，按已知条件，所有的元件参数均为1，代入方程可以计算得到：系统是可控与可观的。因为
13．（20分）设被控对象具有如图所示的传递函数。要求：通过状态反馈后，系统闭环阶跃响应的性能指标为：最大峰值为，调节时间为，且对阶跃输入R0具有零稳态偏差。假设状态的选取如图示，请求出：系统的开环放大系数A，以及状态反馈增益阵K。（提示：；，并假设其中一个闭环极点为－100）
解：Step1：因为要求闭环以后的阶跃响应，故首先求出在有状态反馈情况下的闭环传递函数。由上图，得闭环方块图如下（由开环传递函数无零极点相消情况，故系统是可控的）
由图可求得闭环传递函数：
（＊＊）
Step2：因为要求当阶跃输入为R0时具有零稳态偏差，即当t→∞时，e(t)=y(t)- R0→0。
因此利用终值定理得
Step3：因为是三阶系统，假设其具有一对由所要求的闭环性能指标决定的复数主极点由于要求最大峰值为，可得
要求调节时间为,
（3）一对复数主极点：；又已知另一远极点为－100，故期望的闭环传递函数：
该期望方程应该与前闭环传递函数（＊＊）相同，而为了达到零稳态偏差，前面已经求出。因而有：
所以：系统的开环放大系数A＝10，以及状态反馈增益阵K＝[1,-3.393,4.77]。
2004年七．（5分/150分）某系统的传递函数是 ,问：若要求系统为完全能控能观，应如何选择b？
解,
只要b不等于1，2，3，则系统是完全能控能观的。
八．（10分/150分）请列写出如下图所示的信号流图的状态空间表达式。
解,
状态空间表达式：
其中：；
；
（注：图及答案均可参见教材＜周春晖＞P60-61或其他相关参考书。
然，必须注意的是：原教材上的推导在输出部分有误。因为按图是m=n的情况，而教材上的推导却是按m<n的情况。许多书上也是考虑的m<n的情况。)
十一、（15分/150分）已知某系统通过状态反馈（）后，获得其期望的闭环极点：＝－1，－1，－3。请写出原系统的能控标准形的A、B阵。
解：
原系统的能控标准形：，
十三、（10分/150分）已知系统的状态空间表达式：，，试设计观测器，使其极点为,-1.8+j2.4,-1.8-j2.4。
解：(1) 判别可观性：；系统可观
（2）即观测器：L= [29.6 3.6]
2003年三、（10分/150分）已知系统的状态转移矩阵为
，请求出、A。
解：根据状态转移矩阵的运算性质有
A＝＝
九、（15分/150分）已知系统（A,b,c），试按能控性进行规范分解，并分别写出分解后的子系统的状态方程。
，， 。
解,
，
3）分解后的子系统的状态方程可控子系统：
不可控子系统：
十、（15分/150分）若系统的传递函数为 ， 试求使闭环系统的传递函数为的状态反馈增益矩阵K。
解：因为状态反馈具有不改变零点的结论，欲消去S＝－1的零点，其闭环系统的传递函数中必有S＝－1的极点。因此，其状态反馈闭环系统的传递函数为：
则题目要求应是：求反馈增益矩阵K，使闭环极点为：＝－1，－1，－3。
2002年六．（10分/70分）系统传递函数为，试设计状态反馈，使系统的
解：1）
2）根据题目要求，求出主导极点
按要求
验算：
七．（10分/70分）系统的状态空间表达式为：
试将系统变换成能控标准型。
解：1）判能观
2001年
6．(10分/70分) 系统的状态空间模型为 ；试就系统的可控性展开讨论，若系统不完全能控，则对状态空间进行分解。
解：因为
1）.
2).取
7．(10分/70分) 已知系统 ；；试设计全维状态观测器,希望观测器极点为－10和－1。
解：step1 判可观性
step2 构造全维状态观测器
2000年
6．(10分/70分) 设控制系统的传递函数为：，试确定状态反馈阵,使闭环系统的极点为。
解：1）原系统
显然系统是完全可控的，且其开环特征方程式
，则：
即状态反馈阵Kc为
7．(10分/70分) 已知系统的状态变量表达式为
试确定一个状态观测器，其极点均为－10。
解,step1，判能观性
系统完全可观
step3，构造全维观测器
观测器的特征方程：
1999年五、(20分/70分) （1）已知线性定常系统的状态方程为
要求：用状态反馈方法，使闭环极点配置在，。
（2）已知线性定常系统的状态方程为
要求：设计状态观测器，其极点为－3，－4，－5。
解：先判能控性与能观性
（2）求解状态观测器
构造全维观测器
闭环观测器的特征方程：
比较期望观测器的特征方程与闭环观测器的特征方程的同次幂系数,得
解之：
1998年五、(20分/60分) 已知线性定常系统的状态变量表达式为
若状态变量无法测得，指定观测器的极点－50，－50。试设计状态观测器，进行极点配置（状态反馈），使原系统的，。
解：（1）参见1996年第四题。
（2）利用分离原理独立地设计状态观测器的反馈增益矩阵L,期望的特征多项式：
求得
1997年六、(10分/60分) 受控系统的传递函数为 ，试用状态反馈方法使极点配置在－2，－1＋j，－1－j，画出结构图。
解：（1）因为系统没有零极点相消现象，故系统完全能控能观。写出能控标准型：
；
设状态反馈阵为：
计算状态反馈阵
（2）画出结构图如下。
（可参见＜自动控制原理试题精选与答题技巧＞（王彤，哈尔滨工业大学出版社）一书P223例9－17）
七、(10分/60分) 已知线性定常系统的状态方程如下，试设计全维观测器，极点为－2，－3，－2＋j,－2－j.
解：验证能观性：
可计算得到状态观测器H：
1996年一．（2）(7分/60分) 连续时间系统，试求离散时间状态方程。（采样周期 T＝1秒，状态方程取能控标准I型）
解：连续时间状态方程取能控标准I型，即：
需求的离散时间状态方程可表达为下列形式：
其中：
代入采样周期T＝1秒：
四、(14分/60分) 设计带观测器的状态反馈系统。原系统传递函数，
设计状态反馈，使闭环系统的，；
若原系统的状态均不可测，设计观测器的极点为－10，－10。
解：（1）设计状态反馈控制器：
①判定受控系统的能控性：因无零极点相消，故系统完全可控，可设计状态反馈控制器
系统开环特征多项式为：
②根据题目要求，确定期望特征多项式
则,
③计算状态反馈阵
（2）设计状态观测器
特别提醒：因为（1）是按能控标准形求出的K，此时，故观测器设计也应在此A下设计（同一基底下的空间表达式下――这点很易错为直接采用可观形设计，而不顾及前面的状态方程了）。
①判定受控系统的能观性：因无零极点相消，故系统完全可观
②确定系统期望观测器的特征方程
③确定状态反馈矩阵K
状态观测器的闭环特征多项式：
1995年四、(20分/60分) 已知
其状态不能直接测量，要求：
（1）用状态反馈，使系统的极点配置在－10，－10；
（2）设计极点配置在－10，－10的全维状态观测器；
（3）画出相应的结构图。
解：（1）设计状态反馈控制器：
①判定受控系统的能控性：
②确定闭环系统期望特征多项式
③确定状态反馈矩阵K,
6－K1＝20； K2－6K1＝100
故：K=[K1 K2]＝[－14 16]（若先化成能控标准形，再求K，答案是一致的！）
（2）设计全维状态观测器：
①判定受控系统的能观性：
；系统完全可观，可以设计状态观测器
②
相应的状态结构图如下。
（第七章:状态空间方法）
2005年
9、（15分）简单计算题，直接计算出结果即可。（每小题5分)
(2)．已知系统状态空间表达式为 ；，求使闭环极点为-1、-2的状态反馈阵K。
(3)．已知受控系统的系数矩阵为：，,。要求：采用期望极点均为－10的2维状态重构实现状态反馈。
解：
（3）
，则观测器的方程为：
（2）因为系统的能控性判断矩阵：，显见。系统不完全能控，故没有一个状态反馈阵K能满足要求使闭环极点为-1、-2。
11、（10分）请写出如图所示电路当开关合上后的系统状态方程与输出方程。其中状态如图示，设系统的输出变量是i2。若电路图中所有元件的参数均为1，请判断系统的可控性与可观性。
解：（1）状态方程：
（2）可控性与可观性，按已知条件，所有的元件参数均为1，代入方程可以计算得到：系统是可控与可观的。因为
13．（20分）设被控对象具有如图所示的传递函数。要求：通过状态反馈后，系统闭环阶跃响应的性能指标为：最大峰值为，调节时间为，且对阶跃输入R0具有零稳态偏差。假设状态的选取如图示，请求出：系统的开环放大系数A，以及状态反馈增益阵K。（提示：；，并假设其中一个闭环极点为－100）
解：Step1：因为要求闭环以后的阶跃响应，故首先求出在有状态反馈情况下的闭环传递函数。由上图，得闭环方块图如下（由开环传递函数无零极点相消情况，故系统是可控的）
由图可求得闭环传递函数：
（＊＊）
Step2：因为要求当阶跃输入为R0时具有零稳态偏差，即当t→∞时，e(t)=y(t)- R0→0。
因此利用终值定理得
Step3：因为是三阶系统，假设其具有一对由所要求的闭环性能指标决定的复数主极点由于要求最大峰值为，可得
要求调节时间为,
（3）一对复数主极点：；又已知另一远极点为－100，故期望的闭环传递函数：
该期望方程应该与前闭环传递函数（＊＊）相同，而为了达到零稳态偏差，前面已经求出。因而有：
所以：系统的开环放大系数A＝10，以及状态反馈增益阵K＝[1,-3.393,4.77]。
2004年七．（5分/150分）某系统的传递函数是 ,问：若要求系统为完全能控能观，应如何选择b？
解,
只要b不等于1，2，3，则系统是完全能控能观的。
八．（10分/150分）请列写出如下图所示的信号流图的状态空间表达式。
解,
状态空间表达式：
其中：；
；
（注：图及答案均可参见教材＜周春晖＞P60-61或其他相关参考书。
然，必须注意的是：原教材上的推导在输出部分有误。因为按图是m=n的情况，而教材上的推导却是按m<n的情况。许多书上也是考虑的m<n的情况。)
十一、（15分/150分）已知某系统通过状态反馈（）后，获得其期望的闭环极点：＝－1，－1，－3。请写出原系统的能控标准形的A、B阵。
解：
原系统的能控标准形：，
十三、（10分/150分）已知系统的状态空间表达式：，，试设计观测器，使其极点为,-1.8+j2.4,-1.8-j2.4。
解：(1) 判别可观性：；系统可观
（2）即观测器：L= [29.6 3.6]
2003年三、（10分/150分）已知系统的状态转移矩阵为
，请求出、A。
解：根据状态转移矩阵的运算性质有
A＝＝
九、（15分/150分）已知系统（A,b,c），试按能控性进行规范分解，并分别写出分解后的子系统的状态方程。
，， 。
解,
，
3）分解后的子系统的状态方程可控子系统：
不可控子系统：
十、（15分/150分）若系统的传递函数为 ， 试求使闭环系统的传递函数为的状态反馈增益矩阵K。
解：因为状态反馈具有不改变零点的结论，欲消去S＝－1的零点，其闭环系统的传递函数中必有S＝－1的极点。因此，其状态反馈闭环系统的传递函数为：
则题目要求应是：求反馈增益矩阵K，使闭环极点为：＝－1，－1，－3。
2002年六．（10分/70分）系统传递函数为，试设计状态反馈，使系统的
解：1）
2）根据题目要求，求出主导极点
按要求
验算：
七．（10分/70分）系统的状态空间表达式为：
试将系统变换成能控标准型。
解：1）判能观
2001年
6．(10分/70分) 系统的状态空间模型为 ；试就系统的可控性展开讨论，若系统不完全能控，则对状态空间进行分解。
解：因为
1）.
2).取
7．(10分/70分) 已知系统 ；；试设计全维状态观测器,希望观测器极点为－10和－1。
解：step1 判可观性
step2 构造全维状态观测器
2000年
6．(10分/70分) 设控制系统的传递函数为：，试确定状态反馈阵,使闭环系统的极点为。
解：1）原系统
显然系统是完全可控的，且其开环特征方程式
，则：
即状态反馈阵Kc为
7．(10分/70分) 已知系统的状态变量表达式为
试确定一个状态观测器，其极点均为－10。
解,step1，判能观性
系统完全可观
step3，构造全维观测器
观测器的特征方程：
1999年五、(20分/70分) （1）已知线性定常系统的状态方程为
要求：用状态反馈方法，使闭环极点配置在，。
（2）已知线性定常系统的状态方程为
要求：设计状态观测器，其极点为－3，－4，－5。
解：先判能控性与能观性
（2）求解状态观测器
构造全维观测器
闭环观测器的特征方程：
比较期望观测器的特征方程与闭环观测器的特征方程的同次幂系数,得
解之：
1998年五、(20分/60分) 已知线性定常系统的状态变量表达式为
若状态变量无法测得，指定观测器的极点－50，－50。试设计状态观测器，进行极点配置（状态反馈），使原系统的，。
解：（1）参见1996年第四题。
（2）利用分离原理独立地设计状态观测器的反馈增益矩阵L,期望的特征多项式：
求得
1997年六、(10分/60分) 受控系统的传递函数为 ，试用状态反馈方法使极点配置在－2，－1＋j，－1－j，画出结构图。
解：（1）因为系统没有零极点相消现象，故系统完全能控能观。写出能控标准型：
；
设状态反馈阵为：
计算状态反馈阵
（2）画出结构图如下。
（可参见＜自动控制原理试题精选与答题技巧＞（王彤，哈尔滨工业大学出版社）一书P223例9－17）
七、(10分/60分) 已知线性定常系统的状态方程如下，试设计全维观测器，极点为－2，－3，－2＋j,－2－j.
解：验证能观性：
可计算得到状态观测器H：
1996年一．（2）(7分/60分) 连续时间系统，试求离散时间状态方程。（采样周期 T＝1秒，状态方程取能控标准I型）
解：连续时间状态方程取能控标准I型，即：
需求的离散时间状态方程可表达为下列形式：
其中：
代入采样周期T＝1秒：
四、(14分/60分) 设计带观测器的状态反馈系统。原系统传递函数，
设计状态反馈，使闭环系统的，；
若原系统的状态均不可测，设计观测器的极点为－10，－10。
解：（1）设计状态反馈控制器：
①判定受控系统的能控性：因无零极点相消，故系统完全可控，可设计状态反馈控制器
系统开环特征多项式为：
②根据题目要求，确定期望特征多项式
则,
③计算状态反馈阵
（2）设计状态观测器
特别提醒：因为（1）是按能控标准形求出的K，此时，故观测器设计也应在此A下设计（同一基底下的空间表达式下――这点很易错为直接采用可观形设计，而不顾及前面的状态方程了）。
①判定受控系统的能观性：因无零极点相消，故系统完全可观
②确定系统期望观测器的特征方程
③确定状态反馈矩阵K
状态观测器的闭环特征多项式：
1995年四、(20分/60分) 已知
其状态不能直接测量，要求：
（1）用状态反馈，使系统的极点配置在－10，－10；
（2）设计极点配置在－10，－10的全维状态观测器；
（3）画出相应的结构图。
解：（1）设计状态反馈控制器：
①判定受控系统的能控性：
②确定闭环系统期望特征多项式
③确定状态反馈矩阵K,
6－K1＝20； K2－6K1＝100
故：K=[K1 K2]＝[－14 16]（若先化成能控标准形，再求K，答案是一致的！）
（2）设计全维状态观测器：
①判定受控系统的能观性：
；系统完全可观，可以设计状态观测器
②
相应的状态结构图如下。
