浙江大学控制系自动控制原理近年考研题分章集锦（二）
（第三章,控制系统的时域分析――连续部分）
2003年
+?+

=


tttt
tttt
eeee
eeee
t
224
233
)(
22
22
φ，请求出、A。 )(
1
t
φ
3、（10分/150分）已知系统的状态转移矩阵为
解：根据状态转移矩阵的运算性质有,
=?=
)()(
1
tt φφ
+?+

tttt
tttt
eeee
eeee
224
233
22
22
A＝＝)0(φ

=

+?+?
=


6
1
2442
4323
0
22
22
t
tttt
tttt
eeee
eeee
（提示：0
2
0
1 ξω
π
=
p
t σ％＝
1
ξπ
e
11、（20分/150分）已知下图所示系统的单位阶跃响应曲线，试确定参数解,
=ξ
=ω
==σ
=
ξ?ω
π
=
===∞
++
=
=
=
=σ
=∞
ξ?
ξπ?
→
608.0
946.4
09.0%
8.0
1
2
1
)(lim)(
)(
8.0
09.0
2
218.2
%
2)(
1
2
0
1
0
2
2
21
2
e
t
k
s
sGsy
kass
kk
sG
t
y
p
S
p
闭环传递函数
2
1
2
）
k1,k2和a值
2003年第3题示意图
=
=
01.6
46.24
1
a
k
2002年
2．（10分/70分）已知系统结构如图所示,
E(s)
1
1
+s
K
s
1
G(s)
2002年第2题示意图
Y(s)
K
2
s+1
U(s)
（1） 欲使系统闭环极点配置在-3+j4，-3-j4处，试求K
1
和K
2
值；
（2） 设计G(s)，使阶跃作用U(t)下稳态误差为零。
解：（1）确定K
1
和K
2
值
利用梅逊公式，求系统的闭环传递函数：
s
sG
sp
)(
)(
1
=；
)1(
)(
1
2
+
=
ss
K
sp
信号流图的特征式及余子式：
)1(
)1(
1)(
21
+
+
+=
ss
sKK
s?；1)()(
21
=?=? ss
系统的闭环传递函数：
)1()1(
)()1(
)(
)(
21
12211
sKKss
KsGspp
SU
sY
+++
++
=
+?
=
故，系统的特征方程,0)1()(
121
2
=+++=? KsKKss
由题意，欲使系统闭环极点配置在-3+j4，-3-j4处，即希望系统的特征方程,
( 0256)43)(43
2
=++=?+++ ssjsjs
即可求得：； 25
1
=K 2.0
2
=K
（2）因为：)(
)1()1(
)()1(
)1()()()1()()(
21
1
22
sU
sKKss
KsGs
sKsUsYsKsUs
+++
E
++
+?=+?=
按题意稳态误差为零，故令：E(s)=0，则应有,
s )1()()1)(1(])()1)[(1()1()1(
2121221
sKKsGssKKsGssKsKKs ++++=+++=+++
故得：s )()1)(1()1(
2
sGssKs ++=+
因而求得：
s
s
sK
s
sGssKs
2.011
)()1)(1()1(
2
2
+
=
+
=++=+s
2001年
2．（10分/70分）系统方框图如附图所示，当输入为单位加速度时，试确定G
3
(s)环节中的参数，使系统的静态误差为零。其中：G
11
)( Ks =，
)1(
)(
1
2
2
+
=
sTs
K
sG，
)1
)(
2
2
3
+
+
=
sT
bsas
sG。
2001年第2题示意图
X(s)
G
3
(s)
E(s)
Y(s)
G
1
(s) G
2
(s)
解：系统闭环传递函数为,
21
312
1
3
21
21
1
)(
)1(
1)(
)(
GG
GGG
G
G
GG
GG
SX
sY
+
+
=+
+
=
故：)(
1
)(
)(
21
312
sX
GG
GGG
s
+
+
=Y
误差为,)(
1
1
)()()(
21
32
sX
GG
GG
sYsXsE?
+
=?=
将已知条件：
3
1
)(
s
sX =，G
11
)( Ks =，
)1(
)(
1
2
2
+
=
sTs
K
sG，
)1
)(
2
2
3
+
+
=
sT
bsas
sG 代入上式。得
21221
2
21
3
21
121
2
2
21
312
)1()(
))((
1
)(
)(
)(
KKsTKKsTTsTT
KsTKbasK
GG
GGG
SX
sY
+++++
+++
=
+
+
==
闭环特征方程,0)1()(
21221
2
21
3
21
=+++++ KKsTKKsTTsTT
由赫尔维茨判据判定闭环系统是否稳定。因为n=3,故可用简单形式，即：当特征方程的各项系数为正时，只需要检验
30212
aaaaD?=是否＞0。因
0)1)((
2
2212121212212130212
>++=?++=?= TKKTTTTKKTKKTTaaaaD
故可知闭环系统稳定，且与待求的G
3
(s)环节中的参数无关，讨论稳态误差是有意义的。
而
3
21221
2
21
3
21
2
2
221
3
21
21
32
1
)1()(
)1()(
)(
1
1
)(
sKKsTKKsTTsTT
sbKsaKTTsTT
sX
GG
GG
sE?
+++++
+?++
=?
+
==
欲使系统的静态误差为零，根据终值定理，0)(lim
0
==
→
ssEe
s
ss
，因此必须
0
221
=?+ aKTT 以及1 0
2
=? bK，即待求参数为：
2
21
K
TT
a
+
=；
2
1
K
=b
2000年
2．（10分/70分）控制系统如图2-2所示。欲使：5.0=ξ，求：K＝？（允许误差取5%）（输入为阶跃）
)( =∞y?=
s
t
解：系统开环传递函数为
)101(
10
)1(
10
1
)1(
10
)(
Kss
ss
Ks
ss
sG
++
=
+
+
+
=
可见，此系统为标准的二阶系统，故
)1(
10
+ss
2000年第2题
X(s)
Y(s)
Ks
sws
w
Kss
sG
n
n
ξ+
=
++
=
2)101(
10
)(
2
2
显然：16.310 ==
n
w
欲使：，25.0=ξ 16.3101 =+=ξ Kw
n；求得：216.0
10
116.3
=
=K
因系统闭环传递函数为：
1016.3
10
)(
)(
)(
2
++
==
sssX
sY
sΦ
故，在输入为阶跃时，系统的终值：1)(lim)(
0
==∞
→
ssYy
s
系统的调节时间：21.2
5.3
=
ξω
=
n
s
t
1999年
缺
1998年
一、（2）（5分/60分）单位反馈系统的开环脉冲传递函数时域表达式为：
tekty
t
ω
σ
sin)(=
试求系统的闭环传递函数。
解：因为y(t)的象函数为系统开环脉冲传递函数G(s)，故可以通过对y(t)求拉氏变换得到系统开环传递函数G(s)，进一步求得系统的闭环传递函数φ(s)
系统开环传递函数G(s),
22
)(
)sin()(
ω+σ+
ω
=ω?=
σ?
s
k
tekLsG
t；
系统的闭环传递函数φ(s),
ω+ω+σ+
ω
=
+
=Φ
ks
k
sG
sG
s
22
)()(1
)(
)(
四．（7分/60分）单位反馈系统的开环传递函数为
)12.0)(15.0(
1
)(
++
=
sss
sG，试用主导极点的概念，描述闭环系统的时域动态特性。
[提示：] )8304.148.1)(52.5(10107
223
+++=+++ ssssss
解：因为系统的闭环传递函数,
)2)((10107
10
)(1
)(
)(
22
2
23
nn
n
ssps
p
ssssG
sG
s
ω+ξω++
ω
=
+++
=
+
=Φ
由提示,)8304.148.1)(52.5(10107
223
+++=+++ ssssss
因为：( )265.274.0)(265.274.0()8304.148.1
2
jsjsss?+++=++
可见，系统一对共轭复根的实部的模(0.74)远小大于实数极点的模（5.52），系统的时域响应中，实极点所对应的指数项将很快衰减，故将共轭复根视为系统的主导极点是合理的。
也即闭环系统的时域动态特性可由标准的二阶系统来近似。其 55.0=ξ,35.01=ω
n
系统主要的时域动态特性：%65.12
2
1/
==
ξ?ξπ?
eσ；785.2
1
2
=
ξ?ω
π
=
n
p
t
71.4
5.3
=
ξω
=
n
s
t
1997年
2．（12分/60分）设某一单位反馈的二阶系统的阶跃响应曲线如图示，试确定此该系统的开环传递函数。（提示：
2
1/
1;
2
ξ?ω
π
==σ
ξ?ξπ?
n
p
te；无闭环零点 ）
解：由图直接可得：1.3;415.0
10
1015.14
==
=
p
tσ
1997年第2题,系统响应曲线
3.1
t(min)
y(t)
0
10
14.15
t
10
y(t)
0
1997年第2题,系统输入曲线
由415.0
2
1/
==
ξξπ
σ e
1.3
1
2
=
=
ξω
π
n
p
t
解之：27.0=ξ；3.3=
n
ω
故：系统开环传递函数：
)8.1(
11
)2(
)(
2
+
=
+
=
sswss
w
sG
n
n
ξ
1996年
二、（13分/60分）（1）控制系统见附图，试证：调节K
2
，系统对斜坡输入响应的稳态误差为零。（R(t)=at,a为任意常数）；
（2）系统的单位阶跃响应为：；试求：①系统的闭环传递)2.12.01)(
1060 tt
eety

+=
函数；②确定阻尼比及自然振荡频率。
解：（1）因为系统的闭环传递函数,
1
2
+sK
)1( +Tss
K
E(s)
Y(s) R(s)
KTss
sKK
sR
sY
s
++
+
==
)1(
)1(
)(
)(
)(
2
Φ
)(
)1(
)1(
)(
2
sR
KTss
sKK
s?
++
+
=Y
1996年第二题（1）示意图
显然，不论K
2
如何取值，闭环系统都是稳定的.根据已知条件
)()
1
()()
)1(
)1(
1()()()(
2
22
sR
KsTs
KKTs
ssR
KTss
sKK
sYsRsE
++
+
=?
++
+
=?=
代入x(t)=at，
2
)(
s
a
sR =；由终值定理得稳态误差的表达式,
0
)1(
)
1
()(lim
2
22
2
0
=
=?
++
+
=?=
→
K
KKa
s
a
KsTs
KKTs
sssEse
s
ss
即可求得,只要：
K
KKK
1
,0
22
==?1时满足题目要求。
（2）因为：系统的单位脉冲响应k(t)的象函数为系统闭环传递函数φ(s)，故可以通过对k(t)
求拉氏变换得到系统闭环传递函数φ(s)，而k(t)与单位阶跃响应成关系,
)(121212)()(
60101060 tttt
eeeethtk

=+?=′=
故①系统闭环传递函数
60070
600
]
60
1
10
1
[12)]([)(
2
++
=
+
+
==
sssss
tkLsG
可见②：因为
22
2
2
)(
nn
n
wsws
w
s
++
=
ξ
G；故 5.24600 ==
n
w；43.1
5.242
70
=
=ξ
1995年
一、（2）（10分/60分）请确定K值范围，使左图的闭环系统特征根位于S=-1垂线的左侧；
（3）确定K
1
值，使附图系统对斜坡输入响应的稳态误差为零。（――其实该题目还可应用根轨迹方法求解，答案相同，在未指明解题方法情况下，可选自己熟悉且把握大的做；若有要求，则必须按要求）
解：（2）因为系统的闭环特征方程,
)125.0)(11.0( ++ sss
K
1995年第一题（2）示意图
X(s) Y(s)
0)135.0025.0(
2
=+++ Ksss
化简,0404014
23
=+++ Ksss
代入，并整理，得新的特征方程,1
1
= ss
040271511
1
2
1
3
1
=+?+++ Ksss
欲满足系统稳定，04027 >+? K；675.0
40
27
=>K
又可列出劳斯表格，s
3
：1 15
s
2
：11 －27＋40K
s
1
：
11
4027165 K?+
＞0
由：165，可得192 04027 >?+ K K40>
故使闭环系统特征根位于S=-1垂线的左侧的K须满足：8.4675.0 << K。
（3）解题步骤参见1996年第二题
（1），不同的仅是参数的下标不同。
)1(
2
+Tss
K
1
1
+sK
E(s)
1995年第一题（3）示意图
U(s) Y(s)