第一章 量子力学的诞生
§ 1 经典物理学的困难
§ 2 量子论的诞生
§ 3 实物粒子的波粒二象性
§ 1
§ 2
§ 3
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§ 1 经典物理学的困难
(一 ） 经典物理学的成功
19世纪末,物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段 。 主要表现在以下两个方面：
(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力学客体体的运动,将其用于分子运动上,气体分子运动论,
取得有益的结果 。 1897年汤姆森发现了电子,这个发现表明电子的行为类似于一个牛顿粒子 。
(2) 光的波动性在 1803年由杨的衍射实验有力揭示出来,麦克斯韦在 1864年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动性置于更加坚实的基础之上 。
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（ 二 ） 经典物理学的困难
但是这些信念,在进入 20世纪以后,
受到了冲击 。 经典理论在解释一些新的试验结果上遇到了严重的困难 。
（ 1） 黑体辐射问题
（ 2） 光电效应
（ 3） 氢原子光谱
（ 1） 黑体辐射问题黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。
黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。
实验发现：
热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的 形状 和 材料 无关 。
辐射热平衡状态,处于某一温度 T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到 热平衡状态 。
能量密度
(104 cm)
0 5 10
Wien 线能量密度
(104 cm)
0 5 10
1,Wien 公式
从热力学出发加上一些特殊的假设,得到一个分布公式：
dTCCd )/e x p ( 231
间隔内辐射的能量。
是单位体积在频率为平衡时的温度，
是两个拟合参数，和其中，
d
T
CC
21
Wien 公式在短波部分与实验还相符合,
长波部分则明显不一致 。
2,Rayleigh-Jeans 公式根据经典电动力学,人们认为空腔腔壁是由电谐振子组成,
它能辐射和吸收能量以保持热平衡,从而得到理论公式：
是玻尔兹曼常数。
是光速，其中，
k
C
dkT
C
d
2
3
8
该公式在长波部分与实验符合较好，而在短波部分不则完全不符，而趋于无穷大，历史上称之为紫外灾难（英文是
Catastrophe,其含义有二,1、大灾害； 2、戏剧的结局）。
Wien 线
Rayleigh-Jeans 线能量密度
(104 cm)
0 5 10
（ 2） 光电效应
光照射到金属上,有电子从金属上逸出的现象 。
这种电子称之为光电子 。 试验发现光电效应有两个突出的特点：
1.临界频率 v0 只有当光的频率大于某一定值 v0 时,
才有光电子发射出来 。 若光频率小于该值时,则不论光强度多大,照射时间多长,都没有电子产生 。 光的这一频率 v0称为临界频率 。
2.电子的能量只是与光的频率有关,与光强无关,光强只决定电子数目的多少 。 光电效应的这些规律是经典理论无法解释的 。 按照光的电磁理论,光的能量只决定于光的强度而与频率无关 。
（ 3） 原子光谱,原子结构
氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就发现了的。 1885年瑞士 巴尔末 发现紫外光附近的一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式是：
是光速。常数是氢的其中 CR y d be r gmR
n
n
CR
H
H
,100 9 6 77 5 7 6.1
,5,4,31
2
1
17
22
mnnmCR H 22 11?
这就是著名的 巴尔末公式 （ Balmer）。以后又发现了一系列线系，它们都可以用下面公式表示：
人们自然会提出如下三个问题：
1,原子线状光谱产生的机制是什么？
2,光谱线的频率为什么有这样简单的规律？
3,光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们思考：
怎样的发光机制才能认为原子的状态可以用包含整数值的量来描写。
氢原子光谱谱系 m n 区域
Lyman 1 2,3,4,.....,远紫外
Balmer 2 3,4,5,.....,可见
Paschen 3 4,5,6,.....,红外
Brackett 4 5,6,7,.....,远红外
Pfund 5 6,7,8,.....,超远红外
mnnmCR H 22 11?
从前，希腊人有一种思想认为：
自然之美要由整数来表示。例如：
奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍 。
这些问题，经典物理学不能给于解释。首先,经典物理学不能建立一个稳定的原子模型。 根据经典电动力学，电子环绕原子核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，
电子的能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量损失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”
了，但是，现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，
还有一些其它实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。
总之，新的实验现象的发现，暴露了经典理论的局限性，迫使人们去寻找新的物理概念，建立新的理论，于是 量子力学就在这场物理学的危机中诞生 。
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§ 2 量子论的诞生
（一） Planck 黑体辐射定律
（二）光量子的概念和光电效应理论
（三） Compton 散射
——光的粒子性的进一步证实
（四）波尔（ Bohr）的量子论返回
（一） Planck 黑体辐射定律
究竟是什么机制使空腔的原子产生出所观察到的黑体辐射能量分布，对此问题的研究导致了量子物理学的诞生。
1900年１２月１４日 Planck 提出：
如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型,Planck 假定：
Planck 假定：
能量单位 E = hv 称为 能量子,h = 6.6260755 x 10-34 Js --
Planck 常数。也就是说,原子振子的能量是量子化的,即一个频率为 v 的振子的能量只能取 hv 的整数倍。根据这个假定，
推出了与实验结果符合很好的黑体辐射公式：
d
kThC
h
d
1)/e x p (
18
3
3
该式称为 Planck
辐射定律
Planck 线能量密度
(104 cm)
0 5 10
（ 1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 v 振荡；
（ 2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，
而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。
对 Planck 辐射定律 的三点讨论：
（ 1）当 v 很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv
/kT),于是 Planck 定律 化为 Wien 公式。
dkThChd 1)/e x p ( 18 3 3 dkThChd )/e x p (8 3 3
dTCCdW i e n )/e x p ( 231公式
（ 2）当 v 很小（长波）时，因为
exp(hv /kT)-1 ≈ 1+(h v /kT) -1=(h v /kT)，
则 Planck 定律变为 Rayleigh-Jeans 公式。
dkThChd 1)/e x p ( 18 3 3 k TdCdhkTChd 233 3 88
dkTCdJ ea n sRa yl ei g h 238 公式
dkThChd
1)/e x p (
18
3
3
（ 3）我们知道，一个经典振子的能量正比振幅的平方，因此通过适当调节振荡的振幅，能够使给定的振子具有任意的连续的能量。所以,Planck 的思想是一个新意的假定,这个假定不能用经典概念来解释，
它的正确性只能用实验来验证，它是正确的，仅仅是因为它,行的通,（成者王侯，败者贼），我们没有更好的解释办法。
我们必须把某些物理量的量子化作为自然界的基本事实来接收,Planck 假定冲破了经典理论的束缚，打开了认识光的微粒性的途径。
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（二）光量子的概念和光电效应理论
（ 1） 光子概念
（ 2） 光电效应理论
（ 3） 光子的动量
(1) 光子概念
第一个肯定光具有微粒性的是 Einstein，他认为，光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。
根据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量 hν 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，
或光子。
由相对论光的动量和能量关系
p = E/C = hv/C = h/λ 提出了光子动量 p
与辐射波长 λ （ =C/v） 的关系。
（ 2） 光电效应理论用光子的概念,Einstein 成功地解释了光电效应的规律。
当光照射到金属表面时，能量为 hν 的光子被电子所吸收，电子把这份能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分用来提供电子离开金属表面时的动能。
其能量关系可写为：
AhV 221
从上式不难解释光电效应的两个典型特点：
光电效应的两个典型特点的解释
1,临界频率 v0
由上式明显看出，能打出电子的光子的最小能量是光电子 V = 0 时由该式所决定，即
hv -A = 0，
v0 = A / h,
可见，当 v < v0 时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生 。
2,光电子动能只决定于光子的频率上式亦表明光电子的能量只与光的频率 v 有关，光的强度只决定光子的数目，从而决定光电子的数目。这样一来，经典理论不能解释的光电效应得到了正确的说明。
AhV 221
（ 3） 光子的动量
光子不仅具有确定的能量 E = hv，
而且具有动量。根据相对论知，速度为 V 运动的粒子的能量由 右式 给出,是粒子的静止质量。其中
0
2
2
2
0
1
C
V
C
E
222202 )()()( pCpCCE
n
k
h
knn
h
n
C
h
n
C
E
p
hE
22
其中对于光子，速度 V = C，欲使 上式 有意义，必须令?0 = 0,即光子静质量为零。
根据相对论能动量关系：
CEppCE / 或系：于是得光子的能动量关总结光子能量、
动量关系式如下：
把光子的波动性和粒子性联系了起来
虽然 爱因斯坦 对光电效应的解释是对 Planck量子概念的极大支持，但是 Planck不同意 爱因斯坦 的光子假设，这一点流露在 Planck推荐爱因斯坦为普鲁士科学院院士的推荐信中。
― 总而言之，我们可以说，在近代物理学结出硕果的那些重大问题中，很难找到一个问题是 爱因斯坦 没有做过重要贡献的，在他的各种推测中,他有时可能也曾经没有射中标的，例如，他的光量子假设就是如此,但是这确实并不能成为过分责怪他的理由，因为即使在最精密的科学中，也不可能不偶尔冒点风险去引进一个基本上全新的概念,
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（三） Compton 散射
-光的粒子性的进一步证实。
（ 1） Compton 效应
X--射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。该效应有如下 2 个特点：
经典电动力学不能解释这种新波长的出现，经典力学认为电磁波被散射后，波长不应该发生改变。 但是如果把
X--射线被电子散射的过程看成是光子与电子的碰撞过程，则该效应很容易得到理解
1 散射光中，除了原来 X
光的波长 λ 外，增加了一个新的波长为 λ' 的 X光，
且 λ' >λ ；
2 波长增量 Δλ=λ ’ –λ
随散射角增大而增大。这一现象称为 Compton 效应。
（ 2） 定性解释
根据光量子理论，具有能量 E = h ν 的光子与电子碰撞后，
光子把部分能量传递给电子，光子的能量变为 E’= hν ’ 显然有 E’ < E,从而有 ν ’ <ν,散射后的光子的频率减小，
波长变长。根据这一思路，可以证明：
波长。称为电子的其中
C om pt oncm
Cm
10
0
0
2
0
104.22
2
s i n2
式中也包含了 Planck 常数 h，经典物理学无法解释它,Compton
散射实验是对光量子概念的一个直接的强有力的支持。
该式首先由 Compton 提出，后被 Compton 和 吴有训 用实验证实，
用量子概念完全解释了 Compton 效应。因为 式右是一个恒大于或等于零的数,所以散射波的波长 λ' 总是比入射波波长长（ λ' >λ ）
且随散射角 θ 增大而增大。
（ 3） 证 明根据能量和动量守恒定律：
vmkk
cmmc
202
kccc 22
代入得：
20 )()( cmmkkc
两边平方,)1()()2(
220222 cmmkkkk
两边平方
)2()()c o s2( 2222 mvkkkk（ 2）式 —（ 1）式得：
2020222 )2()()c o s1(2 cmmmmmvkk
2
0
22
0
22222 2)(
2s i n4 cmmcmcvmkk
k
k’?
mv
2
0
22
0
22222 2)(
2s i n4 cmmcmcvmkk
2
2
0
1 cv
mm
2
0
22
0
22
2
2
2
0 2)(
1
cmmcmcv
c
v
m
2
0
22
0
22
22
22
0 2)()( cmmcmcvcv cm
200 )(2 cmmm
202 cmmc
)(2 0mkc )(2 0 kkcm
所以
)(2s i n2 02 kk kkcm )11(0 kkcm )(0 cm
cm 0?
22 0 cm
最后得：
2s i n22s i n
22 2
0
2
0
cm
波长电子其中
C om p t on
cm
cm
10
0
0 104.2
2?
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（四）波尔（ Bohr）的量子论
Planck--Einstein 光量子概念必然会促进物理学其他重大疑难问题的解决。 1913年 Bohr 把这种概念运用到原子结构问题上，提出了他的原子的量子论。该理论今天已为量子力学所代替，但是它在历史上对量子理论的发展曾起过重大的推动作用，而且该理论的某些核心思想至今仍然是正确的，在量子力学中保留了下来
（ 1）波尔假定
（ 2）氢原子线光谱的解释
（ 3）量子化条件的推广
（ 4）波尔量子论的局限性
（ 1）波尔假定
Bohr 在他的量子论中提出了两个极为重要的概念，
可以认为是对大量实验事实的概括。
1.原子具有能量不连续的定态的概念。
原子的稳定状态只可能是某些具有一定分立值能量 E1,E2,......,En 的状态。为了具体确定这些能量数值，
Bohr提出了量子化条件：
2.量子跃迁的概念,
原子处于定态时不辐射，但是因某种原因，电子可以从一个能级 En 跃迁到另一个较低（高）的能级 Em,同时将发射（吸收）一个光子。光子的频率为：
而处于基态（能量最低态）的原子，
则不放出光子而稳定的存在着
3,2,1?
n
nL
L
其中的整数倍，即取只能电子的角动量频率条件?
hEE mnmn ][?
（ 2）氢原子线光谱的解释
根据这两个概念，可以圆满地解释氢原子的线光谱。
假设氢原子中的电子绕核作圆周运动 +
Fc
v
r
e
2
22
r
e
r
vF
c
)1(
2
2
r
ev
vrprL ||
角动量由量子化条件
n? 222)(?nvr
)2(
2
22
22
2
22
e
n
r
n
r
e
r
轨道半径第一 B o h rern 2
2
01?
电子的能量
r
evVTE 22
2
1
h
EE mn ][
与氢原子线光谱的经验公式比较
)1(
2
2
r
ev
r
e
r
e
r
e
22
1 222
)2(2
22
e
nr
nEn
e
22
4
2?
,3,2,1?n
根据 Bohr
量子跃迁的概念
]22[2 1 22 422 4 m en e
]11[4 2234 nme
]11[ 22e x p nmcR H
得
Rydberg 常数 ceR H 344 与实验完全一致
（ 3）量子化条件的推广
nhndnLd 2
是相应的广义坐标。是广义动量，其中 ii
iii
qp
hndqp
由理论力学知，若将角动量 L 选为广义动量，则 θ 为广义坐标。
考虑积分并利用 Bohr 提出的量子化条件，有索末菲 将 Bohr 量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多自由度情况，
这样 索末菲量子化条件 不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有一个电子（ Li,Na,K 等）的一些原子光谱也能很好的解释。
（ 4） 波尔量子论的局限性
1,不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦原子的光谱；
2,不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；
3,Bohr 只能处理周期运动，不能处理非束缚态问题，如散射问题；
4,从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相容。多少带有人为的性质，其物理本质还不清楚。
波尔量子论首次打开了认识原子结构的大门，
取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的问题也逐渐为人们所认识返回
§ 3 实物粒子的波粒二象性
（一） L,De Broglie 关系
（二） de Broglie 波
（三）驻波条件
（四） de Broglie 波的实验验证返回
（一） L,De Broglie 关系假定：与一定能量 E 和动量 p 的实物粒子相联系的波
（他称之为,物质波,）的频率和波长分别为：
E = hν? ν= E/h
P = h/λ? λ= h/p
该关系称为 de,Broglie关系。
根据 Planck-Einstein 光量子论，光具有波动粒子二重性，
以及 Bohr量子论，启发了 de,Broglie，他
（ 1）仔细分析了光的微粒说与波动说的发展史；
（ 2）注意到了几何光学与经典力学的相似性,提出了实物粒子
（静质量 m 不等于 0 的粒子）也具有波动性。也就是说，粒子和光一样也具有波动 -粒子二重性，二方面必有类似的关系相联系。
（二） de Broglie 波
。，其中 nktrkA 22]c o s [
)](ex p [ trkiA
因为自由粒子的能量 E 和动量 p 都是常量，所以由 de Broglie 关系可知，与自由粒子联系的波的频率 ν 和波矢 k（或波长 λ ）都不变，即是一个单色平面波。由力学可知，频率为 ν,波长为 λ,沿单位矢量 n 方向传播的平面波可表为：
写成复数形式这种波就是与自由粒子相联系的单色平面波，或称为描写自由粒子的平面波，这种写成复数形式的波称为 de Broglie 波
de Broglie 关系：
ν= E/h = 2?ν= 2?E/h = E/?
λ= h/p? k = 1/? = 2? /λ = p/?
)(ex p EtrpiA
（三）驻波条件
,3,2,1
2
n
nr
hp?
为了克服 Bohr 理论带有人为性质的缺陷,de Broglie
把原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量量子化问题和有限空间中驻波的波长（或频率）的分立性联系起来。
例如,氢原子中作稳定圆周运动的电子相应的驻波示意图要求圆周长是波长的整数倍于是角动量,,3,2,1 nnrpL
de Broglie 关系
r
n
r
nh
n
r
h
22
r
代入
（四） de Broglie 波的实验验证注：电子在电子枪内加速后，具有能量 E = eV，其中,V 是加速电压，
以伏为单位，则
AVeVhEhph?25.1222
de Broglie 波在 1924年提出后，在 1927-1928年由 Davisson 和
Germer 以及 G.P.Thomson 的电子衍射实验所证实。
θ
法拉第园 筒入射电子注镍单晶
d nd?s i n
衍射最大值公式作 业周世勋,量子力学教程,,
1.2,1.4
曾谨言,量子力学导论,,
1.1,1.3
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§ 1 经典物理学的困难
§ 2 量子论的诞生
§ 3 实物粒子的波粒二象性
§ 1
§ 2
§ 3
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§ 1 经典物理学的困难
(一 ） 经典物理学的成功
19世纪末,物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段 。 主要表现在以下两个方面：
(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力学客体体的运动,将其用于分子运动上,气体分子运动论,
取得有益的结果 。 1897年汤姆森发现了电子,这个发现表明电子的行为类似于一个牛顿粒子 。
(2) 光的波动性在 1803年由杨的衍射实验有力揭示出来,麦克斯韦在 1864年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动性置于更加坚实的基础之上 。
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（ 二 ） 经典物理学的困难
但是这些信念,在进入 20世纪以后,
受到了冲击 。 经典理论在解释一些新的试验结果上遇到了严重的困难 。
（ 1） 黑体辐射问题
（ 2） 光电效应
（ 3） 氢原子光谱
（ 1） 黑体辐射问题黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。
黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。
实验发现：
热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的 形状 和 材料 无关 。
辐射热平衡状态,处于某一温度 T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到 热平衡状态 。
能量密度
(104 cm)
0 5 10
Wien 线能量密度
(104 cm)
0 5 10
1,Wien 公式
从热力学出发加上一些特殊的假设,得到一个分布公式：
dTCCd )/e x p ( 231
间隔内辐射的能量。
是单位体积在频率为平衡时的温度，
是两个拟合参数，和其中，
d
T
CC
21
Wien 公式在短波部分与实验还相符合,
长波部分则明显不一致 。
2,Rayleigh-Jeans 公式根据经典电动力学,人们认为空腔腔壁是由电谐振子组成,
它能辐射和吸收能量以保持热平衡,从而得到理论公式：
是玻尔兹曼常数。
是光速，其中，
k
C
dkT
C
d
2
3
8
该公式在长波部分与实验符合较好，而在短波部分不则完全不符，而趋于无穷大，历史上称之为紫外灾难（英文是
Catastrophe,其含义有二,1、大灾害； 2、戏剧的结局）。
Wien 线
Rayleigh-Jeans 线能量密度
(104 cm)
0 5 10
（ 2） 光电效应
光照射到金属上,有电子从金属上逸出的现象 。
这种电子称之为光电子 。 试验发现光电效应有两个突出的特点：
1.临界频率 v0 只有当光的频率大于某一定值 v0 时,
才有光电子发射出来 。 若光频率小于该值时,则不论光强度多大,照射时间多长,都没有电子产生 。 光的这一频率 v0称为临界频率 。
2.电子的能量只是与光的频率有关,与光强无关,光强只决定电子数目的多少 。 光电效应的这些规律是经典理论无法解释的 。 按照光的电磁理论,光的能量只决定于光的强度而与频率无关 。
（ 3） 原子光谱,原子结构
氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就发现了的。 1885年瑞士 巴尔末 发现紫外光附近的一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式是：
是光速。常数是氢的其中 CR y d be r gmR
n
n
CR
H
H
,100 9 6 77 5 7 6.1
,5,4,31
2
1
17
22
mnnmCR H 22 11?
这就是著名的 巴尔末公式 （ Balmer）。以后又发现了一系列线系，它们都可以用下面公式表示：
人们自然会提出如下三个问题：
1,原子线状光谱产生的机制是什么？
2,光谱线的频率为什么有这样简单的规律？
3,光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们思考：
怎样的发光机制才能认为原子的状态可以用包含整数值的量来描写。
氢原子光谱谱系 m n 区域
Lyman 1 2,3,4,.....,远紫外
Balmer 2 3,4,5,.....,可见
Paschen 3 4,5,6,.....,红外
Brackett 4 5,6,7,.....,远红外
Pfund 5 6,7,8,.....,超远红外
mnnmCR H 22 11?
从前，希腊人有一种思想认为：
自然之美要由整数来表示。例如：
奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍 。
这些问题，经典物理学不能给于解释。首先,经典物理学不能建立一个稳定的原子模型。 根据经典电动力学，电子环绕原子核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，
电子的能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量损失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”
了，但是，现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，
还有一些其它实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。
总之，新的实验现象的发现，暴露了经典理论的局限性，迫使人们去寻找新的物理概念，建立新的理论，于是 量子力学就在这场物理学的危机中诞生 。
返回
§ 2 量子论的诞生
（一） Planck 黑体辐射定律
（二）光量子的概念和光电效应理论
（三） Compton 散射
——光的粒子性的进一步证实
（四）波尔（ Bohr）的量子论返回
（一） Planck 黑体辐射定律
究竟是什么机制使空腔的原子产生出所观察到的黑体辐射能量分布，对此问题的研究导致了量子物理学的诞生。
1900年１２月１４日 Planck 提出：
如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型,Planck 假定：
Planck 假定：
能量单位 E = hv 称为 能量子,h = 6.6260755 x 10-34 Js --
Planck 常数。也就是说,原子振子的能量是量子化的,即一个频率为 v 的振子的能量只能取 hv 的整数倍。根据这个假定，
推出了与实验结果符合很好的黑体辐射公式：
d
kThC
h
d
1)/e x p (
18
3
3
该式称为 Planck
辐射定律
Planck 线能量密度
(104 cm)
0 5 10
（ 1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 v 振荡；
（ 2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，
而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。
对 Planck 辐射定律 的三点讨论：
（ 1）当 v 很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv
/kT),于是 Planck 定律 化为 Wien 公式。
dkThChd 1)/e x p ( 18 3 3 dkThChd )/e x p (8 3 3
dTCCdW i e n )/e x p ( 231公式
（ 2）当 v 很小（长波）时，因为
exp(hv /kT)-1 ≈ 1+(h v /kT) -1=(h v /kT)，
则 Planck 定律变为 Rayleigh-Jeans 公式。
dkThChd 1)/e x p ( 18 3 3 k TdCdhkTChd 233 3 88
dkTCdJ ea n sRa yl ei g h 238 公式
dkThChd
1)/e x p (
18
3
3
（ 3）我们知道，一个经典振子的能量正比振幅的平方，因此通过适当调节振荡的振幅，能够使给定的振子具有任意的连续的能量。所以,Planck 的思想是一个新意的假定,这个假定不能用经典概念来解释，
它的正确性只能用实验来验证，它是正确的，仅仅是因为它,行的通,（成者王侯，败者贼），我们没有更好的解释办法。
我们必须把某些物理量的量子化作为自然界的基本事实来接收,Planck 假定冲破了经典理论的束缚，打开了认识光的微粒性的途径。
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（二）光量子的概念和光电效应理论
（ 1） 光子概念
（ 2） 光电效应理论
（ 3） 光子的动量
(1) 光子概念
第一个肯定光具有微粒性的是 Einstein，他认为，光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。
根据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量 hν 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，
或光子。
由相对论光的动量和能量关系
p = E/C = hv/C = h/λ 提出了光子动量 p
与辐射波长 λ （ =C/v） 的关系。
（ 2） 光电效应理论用光子的概念,Einstein 成功地解释了光电效应的规律。
当光照射到金属表面时，能量为 hν 的光子被电子所吸收，电子把这份能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分用来提供电子离开金属表面时的动能。
其能量关系可写为：
AhV 221
从上式不难解释光电效应的两个典型特点：
光电效应的两个典型特点的解释
1,临界频率 v0
由上式明显看出，能打出电子的光子的最小能量是光电子 V = 0 时由该式所决定，即
hv -A = 0，
v0 = A / h,
可见，当 v < v0 时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生 。
2,光电子动能只决定于光子的频率上式亦表明光电子的能量只与光的频率 v 有关，光的强度只决定光子的数目，从而决定光电子的数目。这样一来，经典理论不能解释的光电效应得到了正确的说明。
AhV 221
（ 3） 光子的动量
光子不仅具有确定的能量 E = hv，
而且具有动量。根据相对论知，速度为 V 运动的粒子的能量由 右式 给出,是粒子的静止质量。其中
0
2
2
2
0
1
C
V
C
E
222202 )()()( pCpCCE
n
k
h
knn
h
n
C
h
n
C
E
p
hE
22
其中对于光子，速度 V = C，欲使 上式 有意义，必须令?0 = 0,即光子静质量为零。
根据相对论能动量关系：
CEppCE / 或系：于是得光子的能动量关总结光子能量、
动量关系式如下：
把光子的波动性和粒子性联系了起来
虽然 爱因斯坦 对光电效应的解释是对 Planck量子概念的极大支持，但是 Planck不同意 爱因斯坦 的光子假设，这一点流露在 Planck推荐爱因斯坦为普鲁士科学院院士的推荐信中。
― 总而言之，我们可以说，在近代物理学结出硕果的那些重大问题中，很难找到一个问题是 爱因斯坦 没有做过重要贡献的，在他的各种推测中,他有时可能也曾经没有射中标的，例如，他的光量子假设就是如此,但是这确实并不能成为过分责怪他的理由，因为即使在最精密的科学中，也不可能不偶尔冒点风险去引进一个基本上全新的概念,
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（三） Compton 散射
-光的粒子性的进一步证实。
（ 1） Compton 效应
X--射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。该效应有如下 2 个特点：
经典电动力学不能解释这种新波长的出现，经典力学认为电磁波被散射后，波长不应该发生改变。 但是如果把
X--射线被电子散射的过程看成是光子与电子的碰撞过程，则该效应很容易得到理解
1 散射光中，除了原来 X
光的波长 λ 外，增加了一个新的波长为 λ' 的 X光，
且 λ' >λ ；
2 波长增量 Δλ=λ ’ –λ
随散射角增大而增大。这一现象称为 Compton 效应。
（ 2） 定性解释
根据光量子理论，具有能量 E = h ν 的光子与电子碰撞后，
光子把部分能量传递给电子，光子的能量变为 E’= hν ’ 显然有 E’ < E,从而有 ν ’ <ν,散射后的光子的频率减小，
波长变长。根据这一思路，可以证明：
波长。称为电子的其中
C om pt oncm
Cm
10
0
0
2
0
104.22
2
s i n2
式中也包含了 Planck 常数 h，经典物理学无法解释它,Compton
散射实验是对光量子概念的一个直接的强有力的支持。
该式首先由 Compton 提出，后被 Compton 和 吴有训 用实验证实，
用量子概念完全解释了 Compton 效应。因为 式右是一个恒大于或等于零的数,所以散射波的波长 λ' 总是比入射波波长长（ λ' >λ ）
且随散射角 θ 增大而增大。
（ 3） 证 明根据能量和动量守恒定律：
vmkk
cmmc
202
kccc 22
代入得：
20 )()( cmmkkc
两边平方,)1()()2(
220222 cmmkkkk
两边平方
)2()()c o s2( 2222 mvkkkk（ 2）式 —（ 1）式得：
2020222 )2()()c o s1(2 cmmmmmvkk
2
0
22
0
22222 2)(
2s i n4 cmmcmcvmkk
k
k’?
mv
2
0
22
0
22222 2)(
2s i n4 cmmcmcvmkk
2
2
0
1 cv
mm
2
0
22
0
22
2
2
2
0 2)(
1
cmmcmcv
c
v
m
2
0
22
0
22
22
22
0 2)()( cmmcmcvcv cm
200 )(2 cmmm
202 cmmc
)(2 0mkc )(2 0 kkcm
所以
)(2s i n2 02 kk kkcm )11(0 kkcm )(0 cm
cm 0?
22 0 cm
最后得：
2s i n22s i n
22 2
0
2
0
cm
波长电子其中
C om p t on
cm
cm
10
0
0 104.2
2?
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（四）波尔（ Bohr）的量子论
Planck--Einstein 光量子概念必然会促进物理学其他重大疑难问题的解决。 1913年 Bohr 把这种概念运用到原子结构问题上，提出了他的原子的量子论。该理论今天已为量子力学所代替，但是它在历史上对量子理论的发展曾起过重大的推动作用，而且该理论的某些核心思想至今仍然是正确的，在量子力学中保留了下来
（ 1）波尔假定
（ 2）氢原子线光谱的解释
（ 3）量子化条件的推广
（ 4）波尔量子论的局限性
（ 1）波尔假定
Bohr 在他的量子论中提出了两个极为重要的概念，
可以认为是对大量实验事实的概括。
1.原子具有能量不连续的定态的概念。
原子的稳定状态只可能是某些具有一定分立值能量 E1,E2,......,En 的状态。为了具体确定这些能量数值，
Bohr提出了量子化条件：
2.量子跃迁的概念,
原子处于定态时不辐射，但是因某种原因，电子可以从一个能级 En 跃迁到另一个较低（高）的能级 Em,同时将发射（吸收）一个光子。光子的频率为：
而处于基态（能量最低态）的原子，
则不放出光子而稳定的存在着
3,2,1?
n
nL
L
其中的整数倍，即取只能电子的角动量频率条件?
hEE mnmn ][?
（ 2）氢原子线光谱的解释
根据这两个概念，可以圆满地解释氢原子的线光谱。
假设氢原子中的电子绕核作圆周运动 +
Fc
v
r
e
2
22
r
e
r
vF
c
)1(
2
2
r
ev
vrprL ||
角动量由量子化条件
n? 222)(?nvr
)2(
2
22
22
2
22
e
n
r
n
r
e
r
轨道半径第一 B o h rern 2
2
01?
电子的能量
r
evVTE 22
2
1
h
EE mn ][
与氢原子线光谱的经验公式比较
)1(
2
2
r
ev
r
e
r
e
r
e
22
1 222
)2(2
22
e
nr
nEn
e
22
4
2?
,3,2,1?n
根据 Bohr
量子跃迁的概念
]22[2 1 22 422 4 m en e
]11[4 2234 nme
]11[ 22e x p nmcR H
得
Rydberg 常数 ceR H 344 与实验完全一致
（ 3）量子化条件的推广
nhndnLd 2
是相应的广义坐标。是广义动量，其中 ii
iii
qp
hndqp
由理论力学知，若将角动量 L 选为广义动量，则 θ 为广义坐标。
考虑积分并利用 Bohr 提出的量子化条件，有索末菲 将 Bohr 量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多自由度情况，
这样 索末菲量子化条件 不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有一个电子（ Li,Na,K 等）的一些原子光谱也能很好的解释。
（ 4） 波尔量子论的局限性
1,不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦原子的光谱；
2,不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；
3,Bohr 只能处理周期运动，不能处理非束缚态问题，如散射问题；
4,从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相容。多少带有人为的性质，其物理本质还不清楚。
波尔量子论首次打开了认识原子结构的大门，
取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的问题也逐渐为人们所认识返回
§ 3 实物粒子的波粒二象性
（一） L,De Broglie 关系
（二） de Broglie 波
（三）驻波条件
（四） de Broglie 波的实验验证返回
（一） L,De Broglie 关系假定：与一定能量 E 和动量 p 的实物粒子相联系的波
（他称之为,物质波,）的频率和波长分别为：
E = hν? ν= E/h
P = h/λ? λ= h/p
该关系称为 de,Broglie关系。
根据 Planck-Einstein 光量子论，光具有波动粒子二重性，
以及 Bohr量子论，启发了 de,Broglie，他
（ 1）仔细分析了光的微粒说与波动说的发展史；
（ 2）注意到了几何光学与经典力学的相似性,提出了实物粒子
（静质量 m 不等于 0 的粒子）也具有波动性。也就是说，粒子和光一样也具有波动 -粒子二重性，二方面必有类似的关系相联系。
（二） de Broglie 波
。，其中 nktrkA 22]c o s [
)](ex p [ trkiA
因为自由粒子的能量 E 和动量 p 都是常量，所以由 de Broglie 关系可知，与自由粒子联系的波的频率 ν 和波矢 k（或波长 λ ）都不变，即是一个单色平面波。由力学可知，频率为 ν,波长为 λ,沿单位矢量 n 方向传播的平面波可表为：
写成复数形式这种波就是与自由粒子相联系的单色平面波，或称为描写自由粒子的平面波，这种写成复数形式的波称为 de Broglie 波
de Broglie 关系：
ν= E/h = 2?ν= 2?E/h = E/?
λ= h/p? k = 1/? = 2? /λ = p/?
)(ex p EtrpiA
（三）驻波条件
,3,2,1
2
n
nr
hp?
为了克服 Bohr 理论带有人为性质的缺陷,de Broglie
把原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量量子化问题和有限空间中驻波的波长（或频率）的分立性联系起来。
例如,氢原子中作稳定圆周运动的电子相应的驻波示意图要求圆周长是波长的整数倍于是角动量,,3,2,1 nnrpL
de Broglie 关系
r
n
r
nh
n
r
h
22
r
代入
（四） de Broglie 波的实验验证注：电子在电子枪内加速后，具有能量 E = eV，其中,V 是加速电压，
以伏为单位，则
AVeVhEhph?25.1222
de Broglie 波在 1924年提出后，在 1927-1928年由 Davisson 和
Germer 以及 G.P.Thomson 的电子衍射实验所证实。
θ
法拉第园 筒入射电子注镍单晶
d nd?s i n
衍射最大值公式作 业周世勋,量子力学教程,,
1.2,1.4
曾谨言,量子力学导论,,
1.1,1.3
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