第三章 一维定态问题
在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问题 —— 一维定态问题。其好处有四：
（ 1）有助于具体理解已学过的基本原理；
（ 2）有助于进一步阐明其他基本原理；
（ 3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；
（ 4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
§ 1 一维无限深势阱
§ 2 线性谐振子
§ 3 一维势散射问题
§ 1
§ 2
§ 3
返回
§ 1 一维无限深势阱
（一）一维运动
（二）一维无限深势阱
（三）宇称
（四）讨论返回
（一） 一维运动所谓一维运动就是指在某一方向上的运动。
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：
V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z)
形式，则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。
令
ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z)
E = Ex + Ey + Ez
于是 S-方程化为三个常微分方程：
当粒子在势场 V(x,y,z)
中运动时，其
Schrodinger 方程为：
),,(),,()],,(2[? 22 zyxEzyxzyxVH
)()()](
2
[
)()()](
2
[
)()()](
2
[
32
22
22
22
12
22
zZEzZzV
dz
d
yYEyYyV
dy
d
xXExXxV
dx
d
z
y
x
),,(),,(),,(2 2
2
zyxEzyxzyxV
),,()(2)(2)(2 322222221222 zyxEzVZdzdXYyVYdydXZxVXdxdYZ
),,(),,()()()()()()(2 3212222222 zyxEzyxzVyVxVzZyYxXdzddyddxd
EzVZdzdZyVYdydYxVXdxdX )(21)(21)(21 322222221222
)()()(),,( 321 zVyVxVzyxV设：
)()()(),,zZyYxXzyx?（等式两边除以?
)()()](
2
[
)()()](
2
[
)()()](
2
[
32
22
22
22
12
22
zZEzZzV
dz
d
yYEyYyV
dy
d
xXExXxV
dx
d
z
y
x
其中
zyx EEEE
)()()(),,( zZyYxXzyx令：
返回
（二）一维无限深势阱
求解 S — 方程 分四步：
（ 1）列出各势域的一维 S— 方程
（ 2）解方程
（ 3）使用波函数标准条件定解
（ 4）定归一化系数
ax
axxV
||
||,0)(
-a 0 a
V(x)
I II III
（ 1）列出各势域的 S — 方程方程可简化为：
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
IIIIII
IIII
II
dx
d
dx
d
dx
d
0)(])([2)(
)()()()(2
22
2
2
22
xExVxdxd
xExxVxdxd
-a 0 a
V(x)
I II III
axxEVx
dx
d
axaxEx
dx
d
axxEVx
dx
d
IIIIII
IIII
II
0)()(
2
)(
0)(
2
)(
0)()(
2
)(
22
2
22
2
22
2
势 V(x)分为三个区域，
用 I,II 和 III
表示，
其上的波函数分别为
ψ I(x),ψ II(x) 和
ψ III (x)。则方程为：
2
2
xxIII
II
xxI
eBeB
xA
eCeC
21
21
)s i n (
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
IIIIII
IIII
II
dx
d
dx
d
dx
d
（ 3）使用波函数标准条件
xI eC 1?
从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。
根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁外波函数为零，特别是
ψ( -a) = ψ(a) = 0 。
.0
),s i n (
,0
III
II
I
xA
则解为：
)(2 22 EV
0
0lim)( 1
I
aI eCa
所以
0?I I I?同理：
-a 0 a
V(x)
I II III
1。单值，成立；
2。有限：当 x?
- ∞,
ψ 有限条件要求
C2=0。
使用标准条件 3。连续：
2）波函数导数连续：
在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：
若 ψ I(-a)’ = ψ II(-a)’,则有,0 = A αcos( -αa + δ)
与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛盾，
二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。
,0)s i n ()()( aAaa III
1）波函数连续,
.0
),s i n (
,0
III
II
I
xA
.0)s i n ()()( aAaa IIIII
-a 0 a
V(x)
I II III
0)s i n ( 0)s i n (aA aA )2(0s i n)c o s (c o s)s i n ( )1(0s i n)c o s (c o s)s i n ( aAaA aAaA
(1)+(2)
)3(0s i n)c o s ( a
)4(0c o s)s i n ( a
(2)-(1)
0c o s 0s i n a
0s i n 0co s a
两种情况：
1c o s00s i n, 则I
由（ 4）式
0s i n?a?
),2,1,0( nanna
E22 2因
nEa
n
a
nE
2
2222222
222?
所以
xanAxAIIn s i ns i n
2
222
2 a
nE
n?
xa
nAII
n
s i n?
),2,1,0(n
讨论
00s i n
000
0
0
xA
En
II,时：当
xakAxakAkn IIk s i ns i n时：当状态不存在描写同一状态所以 n 只取正整数，即 ),2,1(n
于是：
,2,1s i n
0
nx
a
nAII
n
IIII
n
xanA 22s in或
2
222
8
)2(
a
nE
n?
于是波函数：
x
a
nAx
a
nAxAxAII
n
IIII
n
2
12c o sc o sc o s)
2
s i n (
0
2
1
1s i n20c o s, 则II
由（ 3）式
0c o s?a?
),2,1,0(
)
2
1(
)2
1
(
na
n
na
2
222
2
2
2
2
8
)12()2
1
(
22 a
n
a
n
E
n?
所以类似 I 中关于 n =? m
的讨论可知,),2,1,0(n
0s i n 0co s a
)3(0s i n)c o s ( a
奇数。
的偶数
mx
a
m
A
mx
a
m
A
a
m
E
II
IIII
II
IIII
m
m
2
c o s
0
0
2
s i n
0
8
2
222
综合 I,II 结果，最后得：
对应 m = 2 n
对应 m = 2n+1
axx
a
A
ax
a
E
m
||s i n
||0
2
,2
2
2
2
2
第一激发态：
axx
a
A
ax
a
E
m
||
2
3
c o s
||0
8
9
,3
3
2
2
3
第二激发态：
能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。
axx
a
A
ax
a
E
m
||
2
c o s
||0
8
,1
1
2
2
1
基态：
-a 0 a
ψ1
-a 0 a
|ψ1|2
-a 0 a
ψ2
-a 0 a
|ψ2|2
-a 0 a
ψ3
-a 0 a
|ψ3 |2
由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处,ψ = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。
（ 4） 由归一化条件定系数 A
dxdxdxdx IIIaIIma aIam 2222 ||||||||
dxIIma a 2||
o d dmx d x
a
m
A
evenmx d x
a
m
A
a
a
a
a
1
2
co s||
1
2
s i n||
22
22
（取实数）得,aAaA 11|| 2
[小结 ] 由无穷深方势阱问题的求解可以看出，解 S—方程的一般步骤如下：
一、列出各势域上的 S— 方程；
二、求解 S— 方程；
三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；
四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。
返回
（三）宇称
),(),( trtrrr
（ 1）空间反射：空间矢量反向的操作。
（ 2）此时如果有,),(),( trtr
称波函数具有 正宇称（ 或偶宇称 ） ；),(),( trtr
称波函数具有 负宇称（ 或奇宇称 ） ；),(),( trtr
（ 3）如果在空间反射下,),(),( trtr
则波函数没有确定的宇称。
返回
（四）讨论一维无限深势阱中粒子的状态
,3,2,1
8
.||,
2
c o s
1;||,
2
s i n
1;||0
222
n
a
n
E
axoddnx
a
n
a
axe ve nnx
a
n
a
ax
n
n
其能量本征值为：
（ 2） n = 0,E = 0,ψ = 0，态不存在，无意义。
而 n = ± k,k=1,2,...
x
a
kAx
a
kA
x
a
kAx
a
kA
kn
kn
2
co s
2
co s
2
s i n
2
s i n
可见,n取负整数与正整数描写同一状态。
（ 1） n = 1,基态，
与经典最低能量为零不同，
这是微观粒子波动性的表现，因为,静止的波,是没有意义的。
aE n?
8
22
（ 4） ψ n*(x) = ψ n(x) 即波函数是实函数。
.||,
2
c o s
1;||,
2
s i n
1;||0
)(),(
/
//
axo d dnxe
a
n
a
axe v e nnxe
a
n
a
ax
extx
tiE
tiEtiE
nn
n
nn
（
5
）
定态波函数
偶宇称当奇宇称当
)()()(
)()()(
oddnxx
e v e nnxx
nn
nn
（ 3）波函数宇称
,3,2,1
||)(
2
s i n
1
||0
/
n
axeax
a
n
a
ax
tiE n?亦可合并写成：
作 业
周世勋：,量子力学教程,第二章
2.3,2.4,2.8
返回
§ 2 线性谐振子
（一）引言
（ 1）何谓谐振子
（ 2）为什么研究线性谐振子
（二）线性谐振子
（ 1）方程的建立
（ 2）求解
（ 3）应用标准条件
（ 4）厄密多项式
（ 5）求归一化系数
（ 6）讨论
（三）实例返回
（一）引言
（ 1）何谓谐振子
22
2
1 xV
dx
dVF因为量子力学中的线性谐振子就是指在 该式所描述的势场中运动的粒子 。
kxxkx
dt
xd 其中02
2
2
在经典力学中，当质量为? 的粒子，受弹性力 F = - kx作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
其解为 x = Asin(ω t + δ) 。这种运动称为简谐振动,作这种运动的粒子叫谐振子。
若取 V0 = 0，即平衡位置处于势
V = 0 点，则
kxdxV所以 0221 Vkx 02221 Vx
2k因：
（ 2）为什么研究线性谐振子
自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，
例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。
例如双原子分子，两原子间的势 V是二者相对距离 x的函数，如图所示。在 x = a 处,V 有一极小值 V0 。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数：
2
2
2 )(
!2
1)(
!1
1)()( ax
x
Vax
x
VaVxV
axaxa x
V(x)
0
V0
0)( 0
axx
VVaV 22
2
0 )(!2
1 ax
x
VV
ax
20 )(21 axkV
axx
Vk
2
2其中：
取新坐标原点为 (a,V0)，则势可表示为标准谐振子势的形式：
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。
2
2
1)( kxxV?
返回
（二）线性谐振子
（ 1）方程的建立
（ 2）求解
（ 3）应用标准条件
（ 4）厄密多项式
（ 5）求归一化系数
（ 6）讨论
（ 1）方程的建立
0)(]21[20)(]21[2 2222
2
22
2
22
xxE
dx
dxxE
dx
d
或：
则方程可改写为：，其中令, x
22
2
22
22
2
2
1
2
2
1
2
x
dx
d
x
p
H
线性谐振子的 Hamilton量：
则 Schrodinger 方程可写为,
为简单计，
引入无量纲变量 ξ 代替 x，
Ex
d
d 20)(][ 2
2
2
其中此式是一变系数二阶常微分方程
（ 2）求解
0222dd
2/22/1 22 ecec所以为求解方程，我们先看一下它的渐近解，即当 ξ→ ± ∞ 时波函数
ψ 的行为。在此情况下,λ<< ξ 2，
于是方程变为：
其解为,ψ ∞ = exp[± ξ 2/2]，
0)(][ 22
2
xdd
1,渐近解 欲验证解的正确性,
可将其代回方程，
2/2?
e
d
d
d
d
][22 dddd
波函数有限性条件：
2/2 e
当 ξ→ ± ∞ 时，
应有 c2 = 0，
因整个波函数尚未归一化，所以 c1可以令其等于 1。最后渐近波函数为：
2/2e
d
d?
]1[ 2 2
ξ 2 >> ± 1
其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：
① 当 ξ 有限时,H(ξ) 有限；
② 当 ξ→∞ 时,H(ξ) 的行为要保证 ψ(ξ)→ 0 。
0)1(2 HHH
2/2)()( eH
将 ψ(ξ) 表达式 代入方程得关于 待求函数 H(ξ)
所满足的方程：
令：渐近形式，我们自然会在无穷远处有的波函数为了使方程
2/
2
2
2
2
0)(][
e
x
d
d
2,H(ξ) 满足的方程
3.级数解
2
2
2
0
0
1
0
)1()1(
22
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
kkbkkbH
kbHkbH
0)]1(2)2)(1([ 2 kkkk
k
bkbkkb
k
k
k
bH
0
我们以级数形式来求解。 为此令：
k
k
k
kkbH
kk
)2)(1(
2
2
0
则：令
k
k
k
kkb?)2)(1(2
0
用 k 代替 k’
变成：则方程 0)1(2 HHH
由上式可以看出：
b0 决定所有角标 k为偶数的系数；
b1 决定所有角标 k为奇数的系数。
因为方程是二阶微分方程，应有两个线性独立解。可分别令：
b0 ≠ 0,b1=0,→ H even(ξ);
b1 ≠ 0,b0=0,→ H odd(ξ).
kk bkk
kb
)2)(1(
12
2
即,bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(λ -1) = 0
从而导出系数 bk 的递推公式：
0)]1(2)2)(1([ 2 kkkk
k
bkbkkb
该式对任意 ξ 都成立，
故 ξ 同次幂前的系数均应为零，
只含偶次幂项只含奇次幂项则通解可记为：
H = co Hodd + ce Heven
ψ= (co Hodd + ce Heven e) exp[-ξ2/2]
（ 3）应用标准条件
(I)ξ=0
exp[-ξ2/2]|ξ=0 = 1
Heven(ξ)|ξ=0 = b0
Hodd(ξ)|ξ=0 = 0
皆有限
(II) ξ→ ± ∞ 需要考虑无穷级数 H(ξ)的收敛性为此考察相邻两项之比,2222 2)2)(1( 12 kkk kbb
kkk
k
k
考察幂级数 exp[ξ 2}的展开式的收敛性
)!1()!(!2!11]e xp [
2
2
2
422
k
k
k
k
比较二级数可知：
当 ξ→ ± ∞ 时,H(ξ) 的渐近行为与 exp[ξ 2]相同。
单值性和连续性二条件自然满足，
只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。
因为 H(ξ) 是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点，
即势场有跳跃的地方以及 x=0,x → ± ∞ 或 ξ=0,ξ→ ± ∞ 。
22
2
2
2
2
2
2
2
2
)1(
1
)!1(
)!(
)!(
)!1(
kkkk
k
k
k
k
k
相继两项之比：
所以总波函数有如下发散行为：
为了满足波函数有限性要求，幂级数 H(ξ) 必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求 H(ξ) 从某一项（比如第 n
项）起 以后各项的系数均为零，即 bn ≠ 0,b n+2 = 0.
0)2)(1( 122 nn bnn nb?代入递推关系 )得,
结论基于波函数在无穷远处的有限性条件导致了能量必须取分立值。
]e x p []e x p []e x p []e x p [)()( 2212212221H
212 EE因为
012
,0
n
b n 所以有：因为
,2,1,0)( 21 nnE?
于是最后得：
（ 4）厄密多项式附加有限性条件得到了 H(ξ) 的一个多项式，该多项式称为厄密多项式，记为 Hn(ξ),于是总波函数可表示为：
)(]e x p [ 221 nnn HN
022 nnn nHHH?
0)1(2 HHH
]ex p []ex p [)1()( 22 nnnn ddH
由上式可以看出,Hn(ξ) 的最高次幂是 n 其系数是 2n。
归一化系数
Hn(ξ) 也可写成封闭形式：
λ = 2n+1
厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：
从上式出发，可导出厄密多项式的递推关系：
022
)(2
11
1
nnn
n
n
nHHH
nHddH
应用实例例：已知 H0 = 1,H1=2ξ,则根据上述递推关系得出：
H2 = 2ξH 1-2nH0
= 4ξ 2-2
下面给出前几个厄密多项式具体表达式：
H0=1
H2=4ξ 2-2
H4 = 16ξ 4-48ξ 2+12
H1=2ξ
H3=8ξ 3-12ξ
H5=32ξ 5-160ξ 3+120ξ
基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数 Ψ(x)
的递推关系,
)()2)(1()()12()()1()(
)()()(
)()2)(1()()12()()1()(
)()()(
222
12
1
12
222
12
12
1
12
1
2
2
2
2
xnnxnxnnx
xxx
xnnxnxnnxx
xxxx
nnnndx
d
n
n
n
n
ndx
d
nnnn
n
n
n
n
n
（ 5）求归一化系数
( 分 步 积 分 )
该式第一项是一个多项式与 exp[-ξ 2] 的乘积，当代入上下限 ξ= ± ∞ 后，该项为零。
继续分步积分到底因为 Hn的最高次项
ξ n的系数是 2n，所以
dnHn /dξ n = 2n n!。
于是归一化系数则谐振子波函数为：
其中：
)(
!2
)( 2/
22
xHe
n
x nx
nn
dxHHeNdx nnnnn )()(1 22
(I)作变量代换，因为 ξ=αx,
所以 dξ=α dx ；
(II)应用 Hn(ξ) 的封闭形式。
deH
eH
n
nn
n
nn
d
d
nd
dNn
d
d
n
Nn
])][([)1(
])[()1(
2
1
12
2
1
12
deH nnn ddnddNn ]) ] [([)1( 21121
!2 nn nN?所以
deH
deH
n
nn
n
nn
d
d
d
d
n
Nn
d
d
n
nN
][)()1(
)()1(
2
1
12
22
deH nddNnn nnn 22 )]([)1(
!2
!2)1(
2
222
n
den
nN
nNn
n
n
（ 6）讨论
3,对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量 E0={1/2}?ω ≠0,
称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的,静止的,
波是没有意义的，零点能是量子效应。
]e x p []e x p [)1()( 22 nnnn ddH
1。上式表明,Hn(ξ) 的最高次项是 (2ξ) n。所以：
当 n=偶，则厄密多项式只含 ξ 的偶次项；
当 n=奇，则厄密多项式只含 ξ 的奇次项。
2,ψ n具有 n宇称
)(!2)( 2/22 xHenx nxnn
上式描写的谐振子波函数所包含的 exp[-ξ 2/2]是 ξ 的偶函数，
所以 ψ n的宇称由厄密多项式 Hn(ξ) 决定为 n 宇称。
n = 0
n = 1
n = 2
4,波函数然而，量子情况与此不同对于基态，其几率密度是：
ω 0(ξ) = |ψ 0(ξ)| 2 =
= N02 exp[-ξ 2]
分析上式可知：一方面表明在 ξ= 0 处找到粒子的几率最大；
另一方面，在 |ξ|≧1 处，
即在阱外找到粒子的几率不为零，
与经典情况完全不同。
以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在 |α x|< 1
范围中运动。这是因为振子在这一点 (|αx| = 1) 处，其势能 V(x)=(1/ 2)μω 2 x2 = {1/2}?ω= E 0，即势能等于总能量，动能为零，粒子被限制在阱内。
)(!2)( 2/22 xHenx nxnn
-3 -2 -1 0 1 2 3
E0
E1
E2
分析波函数可知量子力学的谐振子波函数 ψ n有 n 个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在 [-a,a] 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。
-1 0 1
ω0(ξ)
ωn(ξ) n=2
n=1
n=0
-1 1? -2 2-4 4
|?10|2
5,几率分布返回
（三）实例解：
（ 1）三维谐振子 Hamilton 量
zyx HHH
zyx
dz
d
dy
d
dx
dH
)(
2
2222
2
1
2
2
2
2
2
22
例 1,求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况
22
2
1
2
22
22
2
1
2
22
22
2
1
2
22
2
2
2
z
dz
d
H
y
dy
d
H
x
dx
d
H
z
y
x
其中
（ 2）本征方程及其能量本征值
)()(?
)()(?
)()(?
333
222
111
zEzH
yEyH
xExH
nnnz
nnny
nnnx
321
2
3
2
3
321
2
1
)(
)(
3,2,1)(
nnnN
N
nnnE
inE
N
in i
其中
)()()( zyx
EEEE zyx
解得能量本征值为：
则波函数三方向的分量分别满足如下三个方程：
因此，设能量本征方程的解为：
)()()( 321
111321
zyx
EEEE
nnn
nnnnnn
如果系统 Hamilton 量可以写成则必有：
zyx HHHH
（ 3）简并度对给定 N= n 1 + n 2 + n 3 的组合方式数列表分析如下,
n 1 n 2 → 组合方式数
0 0,1,...,N → N+1
1 0,1,...,N - 1 → N
2 0,1,...,N - 2 → N - 1
...,...,...,...,..,→,.,
N 0,→ 1
对给定 N ( N= n 1 + n 2 + n 3 ),{ n 1,n 2,n 3 } 的组合方式数
(1/2)(N+1)(N+2)
321
2
3 )(
nnnN
NE N
其中
)()()()( 321321 zyxr nnnnnn
当 N 确定后，能量本征值确定，但是对应同一 N值的 n1,n2,n3 有多种不同组合，相应于若干不同量子状态，这就是简并。其简并度可决定如下：
当 n1,n2 确定后,n3 = N - n1 - n2，也就确定了，不增加不同组合的数目。故对给定 N,{n1,n2,n3 }可能组合数即简并度为：
)2)(1(211)1()1( NNNNN
0)()]([2)( 22
2
xxVExdxd
解,Schrodinger方程：
求能量本征值和本征函数。
xqxxV 2221)(
例 2,荷电 q 的谐振子，受到沿 x 向外电场?
的作用，其势场为：
（ 1）解题思路势 V(x)是在谐振子势上叠加上 -q? x项，该项是 x 的一次项，而振子势是二次项。如果我们能把这样的势场重新整理成坐标变量平方形式，就有可能利用已知的线性谐振子的结果。
（ 2）改写 V(x)
xqxxV 2221)(
2
22
2
2
2
2][2
1
qqx
2
22
020 2
qVqx其中：
0
2
0
2 )(
2
1 Vxx
（ 3） Hamilton量进行坐标变换：
p
xd
di
dx
dip
xxx
0
则 Hamilton 量变为：
0
22
2
1
2
0
2
0
2
2
1
2
2
)(
2
Vx
p
Vxx
p
H
（ 4） Schrodinger方程
0
22
2
1
22
2
0
22
2
1
22
2
0)(][
2
)(
0)(][
2
)(
VEE
xxEx
xd
d
xVxEx
xd
d
其中
该式是一新坐标下一维线性谐振子 Schrodinger
方程，于是可以利用已有结果得：
,2,1,0
2
)(
)(
2
22
2
1
0
2
1
n
q
n
VEE
nE
nn
n
))((
)()(
0
2/)(
2/
2
0
2
22
xxHeN
xHeNx
n
xx
n
n
x
nn
新坐标下 Schrodinger 方程改写为：
本 征 能 量本 征 函 数作 业
周世勋,量子力学教程,2.5
曾谨言 3.8,3.9,3.12
返回
§ 3 一维势散射问题
(一）引言
（二）方程求解
（三）讨论
（四）应用实例返回
(一）引言势垒穿透是粒子入射被势垒散射的一维运动问题。典型势垒是方势垒，
其定义如下：
axx
axVxV
,00
0)( 0
现在的问题是已知粒子以能量 E 沿 x 正向入射。
0 a
V(x)
V0
I II III
E
返回
（二）方程求解
ax
axVE
x
E
E
0
00][
00
3
2
3
20
2
2
1
2
1
2
2
2
2
0
2
)(22
2
22
1
VE
E
k
k
令：
（ 1） E > V0 情况
区区区
IIIaxk
IIaxk
Ixk
0
00
00
3
2
13
2
2
22
1
2
11
因为 E > 0,E > V0,所以 k1 > 0,
k2 > 0,上面的方程可改写为：
xikxik
xikxik
xikxik
eCCe
eBBe
eAAe
11
22
11
3
2
1
解得：
上述三个区域的 Schrodinger
方程可写为：
定态波函数 ψ 1,ψ 2,ψ 3 分别乘以含时因子 exp[-iEt/?] 即可看出：
式中第一项是沿 x正向传播的平面波，第二项是沿 x负向传播的平面波。由于在
x > a 的 III 区没有反射波，所以 C'=0，于是解为：
xik
xikxik
xikxik
Ce
eBBe
eAAe
1
22
11
3
2
1
利用波函数标准条件来定系数。
首先,解单值、有限条件满足。
1,波函数连续综合整理记之
BBAA
x
)0()0(
:0
21
BikBikAikAik
x
221121 )0(')0('
:0
2,波函数导数连续
0
0
122
122
122
1221
aikaikaik
aikaikaik
CekeBkBek
AkBkBkAk
CeeBBe
ABBA
波函数意义
aikaikaik CeeBBe
aa
ax
122
)()(
:
32
aikaikaik CeikeBikBeik
aa
ax
122
122
32 )(')('
:
3,求解线性方程组
4,透射系数和反射系数求解方程组得,
Aekkekk akkkiAAekkekk ekkC aikaikaikaik
aik
22
1
22
1
2
21
2
21
2
2
2
2
2
21
2
21
21
)()(
s i n)(2
)()(
4
为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。
I 透射系数：
透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数
D = JD/JI
II 反射系数：
反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数
R = JR/JI
其物理意义是,描述贯穿到 x > a 的 III区中的粒子在单位时间内流过垂直 x方向的单位面积的数目与入射粒子（在 x < 0 的 I 区）在单位时间内流过垂直于 x方向单位面积的数目之比。
0
0
122
122
122
1221
aikaikaik
aikaikaik
CekeBkBek
AkBkBkAk
CeeBBe
ABBA
下面求
D 和 R
几率流密度矢量：
][2 dxddxdiJ
][2 iJ
][2 dxddxdiJ
21 ||[
2
1111 AkAe
dx
deAeA
dx
dAeiJ xikxikxikxik
I
对一维定态问题,J 与时间无关，所以入射波
Ψ = Aexp[ik 1x]
ψ* = A* exp[ -ik1x]
对透射波 ψ= Cexp[ik 1x]，
所以透射波几率流密度：
21 || CkJ
D?
反射波 ψ= A ’exp[-ik1x]，
所以反射波几率流密度：
21 |'| AkJ
R?
其中负号表示与入射波方向相反。
则入射波几率流密度于是透射系数为,
2
2
2
12
222
2
2
1
2
2
2
1
2
2
4s i n)(
4
||
||
kkakkk
kk
A
C
J
JD
I
D
2
2
2
12
222
2
2
1
2
222
2
2
1
2
2
4s i n)(
s i n)(
||
||
kkakkk
akkk
A
A
J
JR
I
R
由以上二式显然有 D+R=1，说明入射粒子一部分贯穿势垒到 x > a 的 III区，另一部分则被势垒反射回来。
同理得反射系数：
Aekkekk akkkiAAekkekk ekkC aikaikaikaik
aik
22
1
22
1
2
21
2
21
2
2
2
2
2
21
2
21
21
)()(
s i n)(2
)()(
4
（ 2） E < V0情况故可令,k2=ik3,其中 k3=[2μ(V 0-E)/?]1/2。
这样把前面公式中的 k2 换成 ik3
并注意到,sin ik3a = i sinh k3a
2
3
2
13
222
3
2
1
3
222
3
2
1
2
3
2
13
222
3
2
1
2
3
2
1
4s i n h)(
s i n h)(
4s i n h)(
4
kkakkk
akkkR
kkakkk
kkD
即使 E < V0，在一般情况下，透射系数 D 并不等于零。
0 a
V(x)
x
V0入射波 +反射波透射波因 k2=[2μ(E -V0)/?]1/2，
当 E < V0 时,k2 是虚数，
隧道效应
（ tunnel effect）
粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象,它是粒子具有波动性的生动表现。
当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。下图给出了势垒穿透的波动图象。
返回
（三）讨论
（ 1）当 k3a >> 1时
4][
4
4)(
4
3
1
3
3
13 22
4
1232124122321
2
3
2
1
akkkkkak ekkekk
kkD
)(2
0
2
0
2
2
0233
1
3
3
1 ][
16 EVakak
k
k
k
k
aeDeDeD
故 4可略
akakak
akak
eeeak
ee
333
33
2
4
12
2
1
3
2 )()(s i n h
,
则：即势垒既宽又高，于是透射系数则变为：
41,1 31331 23 akkkkk eak 时，且当必大于因为粗略估计，认为 k1 ≈ k 3 （相当于 E ≈V 0/2）,则 D0 = 4是一常数。
下面通过实例来说明透射系数 的量级大小。
于是：
2
0
0
20
)(16
][
16
1
3
3
1 V
EVED
k
k
k
k
例 1,入射粒子为电子。
设 E=1eV,V0 = 2eV,
a = 2× 10-8 cm = 2?，
算得 D ≈ 0.51。
若 a=5× 10-8cm = 5?，
则 D ≈ 0.024，可见透射系数迅速减小。
质子与电子质量比
μp/μe ≈ 1840。
对于 a = 2?
则 D ≈ 2 × 10-38。
可见透射系数明显的依赖于粒子的质量和势垒的宽度。
量子力学提出后,Gamow
首先用势垒穿透成功的说明了放射性元素的 α衰变现象。
例 2,入射粒子换成质子。
（ 2）任意形状的势垒
dxExVeDD ))((2
0
2
则 x1 → x 2贯穿势垒 V(x)的透射系数等于贯穿这些小方势垒透射系数之积，即
dxExVbaeDD ))((2
0
2
此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。
0 a b
V(x)
E
对每一小方势垒透射系数可把任意形状的势垒分割成许多小势垒，这些小势垒可以近似用方势垒处理。
dx
返回
（四）应用实例除了大家熟悉的 α衰变、隧道二极管是势垒穿透现象外，下面介绍两个典型实例。
（ 1）原子钟
（ 2）场致发射（冷发射）
（ 1）原子钟 原子钟的频率标准就是利用氨分子
( N H3 ) 基态势垒贯穿的振荡频率。
氨分子 (NH3)是一个棱锥体,N
原子在其顶点上，三个 H 原子在基底。如图所示：
N
N’
H
H
H
N N’
E
如果 N原子初始在 N处，则由于隧道效应，可以穿过势垒而出现在
N’点。当运动能量小于势垒高度如图中能级 E 所示，则 N原子的运动由两种形式组成。
1,R-S之间或 T-U之间的振荡（谐振子）；
2,这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的振荡运动。对于 NH3基态，
第二种振荡频率为 2.3786× 1010 Hz。这就是原子钟在规定时间标准时所利用的氨分子的势垒贯穿运动。
（ 2）场致发射（冷发射）
图 （ a） 图 （ b）
欲使金属发射电子，
可以将金属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所熟知的 热发射 和 光电效应 。
但是，施加一个 外电场,金属中电子的所感受到的电势如图 (b)所示。金属中电子面对一个势垒，能量最大的电子就能通过隧道效应穿过势垒漏出，从而导致所谓 场致电子发射 。
返回
在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问题 —— 一维定态问题。其好处有四：
（ 1）有助于具体理解已学过的基本原理；
（ 2）有助于进一步阐明其他基本原理；
（ 3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；
（ 4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
§ 1 一维无限深势阱
§ 2 线性谐振子
§ 3 一维势散射问题
§ 1
§ 2
§ 3
返回
§ 1 一维无限深势阱
（一）一维运动
（二）一维无限深势阱
（三）宇称
（四）讨论返回
（一） 一维运动所谓一维运动就是指在某一方向上的运动。
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：
V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z)
形式，则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。
令
ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z)
E = Ex + Ey + Ez
于是 S-方程化为三个常微分方程：
当粒子在势场 V(x,y,z)
中运动时，其
Schrodinger 方程为：
),,(),,()],,(2[? 22 zyxEzyxzyxVH
)()()](
2
[
)()()](
2
[
)()()](
2
[
32
22
22
22
12
22
zZEzZzV
dz
d
yYEyYyV
dy
d
xXExXxV
dx
d
z
y
x
),,(),,(),,(2 2
2
zyxEzyxzyxV
),,()(2)(2)(2 322222221222 zyxEzVZdzdXYyVYdydXZxVXdxdYZ
),,(),,()()()()()()(2 3212222222 zyxEzyxzVyVxVzZyYxXdzddyddxd
EzVZdzdZyVYdydYxVXdxdX )(21)(21)(21 322222221222
)()()(),,( 321 zVyVxVzyxV设：
)()()(),,zZyYxXzyx?（等式两边除以?
)()()](
2
[
)()()](
2
[
)()()](
2
[
32
22
22
22
12
22
zZEzZzV
dz
d
yYEyYyV
dy
d
xXExXxV
dx
d
z
y
x
其中
zyx EEEE
)()()(),,( zZyYxXzyx令：
返回
（二）一维无限深势阱
求解 S — 方程 分四步：
（ 1）列出各势域的一维 S— 方程
（ 2）解方程
（ 3）使用波函数标准条件定解
（ 4）定归一化系数
ax
axxV
||
||,0)(
-a 0 a
V(x)
I II III
（ 1）列出各势域的 S — 方程方程可简化为：
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
IIIIII
IIII
II
dx
d
dx
d
dx
d
0)(])([2)(
)()()()(2
22
2
2
22
xExVxdxd
xExxVxdxd
-a 0 a
V(x)
I II III
axxEVx
dx
d
axaxEx
dx
d
axxEVx
dx
d
IIIIII
IIII
II
0)()(
2
)(
0)(
2
)(
0)()(
2
)(
22
2
22
2
22
2
势 V(x)分为三个区域，
用 I,II 和 III
表示，
其上的波函数分别为
ψ I(x),ψ II(x) 和
ψ III (x)。则方程为：
2
2
xxIII
II
xxI
eBeB
xA
eCeC
21
21
)s i n (
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
IIIIII
IIII
II
dx
d
dx
d
dx
d
（ 3）使用波函数标准条件
xI eC 1?
从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。
根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁外波函数为零，特别是
ψ( -a) = ψ(a) = 0 。
.0
),s i n (
,0
III
II
I
xA
则解为：
)(2 22 EV
0
0lim)( 1
I
aI eCa
所以
0?I I I?同理：
-a 0 a
V(x)
I II III
1。单值，成立；
2。有限：当 x?
- ∞,
ψ 有限条件要求
C2=0。
使用标准条件 3。连续：
2）波函数导数连续：
在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：
若 ψ I(-a)’ = ψ II(-a)’,则有,0 = A αcos( -αa + δ)
与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛盾，
二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。
,0)s i n ()()( aAaa III
1）波函数连续,
.0
),s i n (
,0
III
II
I
xA
.0)s i n ()()( aAaa IIIII
-a 0 a
V(x)
I II III
0)s i n ( 0)s i n (aA aA )2(0s i n)c o s (c o s)s i n ( )1(0s i n)c o s (c o s)s i n ( aAaA aAaA
(1)+(2)
)3(0s i n)c o s ( a
)4(0c o s)s i n ( a
(2)-(1)
0c o s 0s i n a
0s i n 0co s a
两种情况：
1c o s00s i n, 则I
由（ 4）式
0s i n?a?
),2,1,0( nanna
E22 2因
nEa
n
a
nE
2
2222222
222?
所以
xanAxAIIn s i ns i n
2
222
2 a
nE
n?
xa
nAII
n
s i n?
),2,1,0(n
讨论
00s i n
000
0
0
xA
En
II,时：当
xakAxakAkn IIk s i ns i n时：当状态不存在描写同一状态所以 n 只取正整数，即 ),2,1(n
于是：
,2,1s i n
0
nx
a
nAII
n
IIII
n
xanA 22s in或
2
222
8
)2(
a
nE
n?
于是波函数：
x
a
nAx
a
nAxAxAII
n
IIII
n
2
12c o sc o sc o s)
2
s i n (
0
2
1
1s i n20c o s, 则II
由（ 3）式
0c o s?a?
),2,1,0(
)
2
1(
)2
1
(
na
n
na
2
222
2
2
2
2
8
)12()2
1
(
22 a
n
a
n
E
n?
所以类似 I 中关于 n =? m
的讨论可知,),2,1,0(n
0s i n 0co s a
)3(0s i n)c o s ( a
奇数。
的偶数
mx
a
m
A
mx
a
m
A
a
m
E
II
IIII
II
IIII
m
m
2
c o s
0
0
2
s i n
0
8
2
222
综合 I,II 结果，最后得：
对应 m = 2 n
对应 m = 2n+1
axx
a
A
ax
a
E
m
||s i n
||0
2
,2
2
2
2
2
第一激发态：
axx
a
A
ax
a
E
m
||
2
3
c o s
||0
8
9
,3
3
2
2
3
第二激发态：
能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。
axx
a
A
ax
a
E
m
||
2
c o s
||0
8
,1
1
2
2
1
基态：
-a 0 a
ψ1
-a 0 a
|ψ1|2
-a 0 a
ψ2
-a 0 a
|ψ2|2
-a 0 a
ψ3
-a 0 a
|ψ3 |2
由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处,ψ = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。
（ 4） 由归一化条件定系数 A
dxdxdxdx IIIaIIma aIam 2222 ||||||||
dxIIma a 2||
o d dmx d x
a
m
A
evenmx d x
a
m
A
a
a
a
a
1
2
co s||
1
2
s i n||
22
22
（取实数）得,aAaA 11|| 2
[小结 ] 由无穷深方势阱问题的求解可以看出，解 S—方程的一般步骤如下：
一、列出各势域上的 S— 方程；
二、求解 S— 方程；
三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；
四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。
返回
（三）宇称
),(),( trtrrr
（ 1）空间反射：空间矢量反向的操作。
（ 2）此时如果有,),(),( trtr
称波函数具有 正宇称（ 或偶宇称 ） ；),(),( trtr
称波函数具有 负宇称（ 或奇宇称 ） ；),(),( trtr
（ 3）如果在空间反射下,),(),( trtr
则波函数没有确定的宇称。
返回
（四）讨论一维无限深势阱中粒子的状态
,3,2,1
8
.||,
2
c o s
1;||,
2
s i n
1;||0
222
n
a
n
E
axoddnx
a
n
a
axe ve nnx
a
n
a
ax
n
n
其能量本征值为：
（ 2） n = 0,E = 0,ψ = 0，态不存在，无意义。
而 n = ± k,k=1,2,...
x
a
kAx
a
kA
x
a
kAx
a
kA
kn
kn
2
co s
2
co s
2
s i n
2
s i n
可见,n取负整数与正整数描写同一状态。
（ 1） n = 1,基态，
与经典最低能量为零不同，
这是微观粒子波动性的表现，因为,静止的波,是没有意义的。
aE n?
8
22
（ 4） ψ n*(x) = ψ n(x) 即波函数是实函数。
.||,
2
c o s
1;||,
2
s i n
1;||0
)(),(
/
//
axo d dnxe
a
n
a
axe v e nnxe
a
n
a
ax
extx
tiE
tiEtiE
nn
n
nn
（
5
）
定态波函数
偶宇称当奇宇称当
)()()(
)()()(
oddnxx
e v e nnxx
nn
nn
（ 3）波函数宇称
,3,2,1
||)(
2
s i n
1
||0
/
n
axeax
a
n
a
ax
tiE n?亦可合并写成：
作 业
周世勋：,量子力学教程,第二章
2.3,2.4,2.8
返回
§ 2 线性谐振子
（一）引言
（ 1）何谓谐振子
（ 2）为什么研究线性谐振子
（二）线性谐振子
（ 1）方程的建立
（ 2）求解
（ 3）应用标准条件
（ 4）厄密多项式
（ 5）求归一化系数
（ 6）讨论
（三）实例返回
（一）引言
（ 1）何谓谐振子
22
2
1 xV
dx
dVF因为量子力学中的线性谐振子就是指在 该式所描述的势场中运动的粒子 。
kxxkx
dt
xd 其中02
2
2
在经典力学中，当质量为? 的粒子，受弹性力 F = - kx作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
其解为 x = Asin(ω t + δ) 。这种运动称为简谐振动,作这种运动的粒子叫谐振子。
若取 V0 = 0，即平衡位置处于势
V = 0 点，则
kxdxV所以 0221 Vkx 02221 Vx
2k因：
（ 2）为什么研究线性谐振子
自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，
例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。
例如双原子分子，两原子间的势 V是二者相对距离 x的函数，如图所示。在 x = a 处,V 有一极小值 V0 。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数：
2
2
2 )(
!2
1)(
!1
1)()( ax
x
Vax
x
VaVxV
axaxa x
V(x)
0
V0
0)( 0
axx
VVaV 22
2
0 )(!2
1 ax
x
VV
ax
20 )(21 axkV
axx
Vk
2
2其中：
取新坐标原点为 (a,V0)，则势可表示为标准谐振子势的形式：
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。
2
2
1)( kxxV?
返回
（二）线性谐振子
（ 1）方程的建立
（ 2）求解
（ 3）应用标准条件
（ 4）厄密多项式
（ 5）求归一化系数
（ 6）讨论
（ 1）方程的建立
0)(]21[20)(]21[2 2222
2
22
2
22
xxE
dx
dxxE
dx
d
或：
则方程可改写为：，其中令, x
22
2
22
22
2
2
1
2
2
1
2
x
dx
d
x
p
H
线性谐振子的 Hamilton量：
则 Schrodinger 方程可写为,
为简单计，
引入无量纲变量 ξ 代替 x，
Ex
d
d 20)(][ 2
2
2
其中此式是一变系数二阶常微分方程
（ 2）求解
0222dd
2/22/1 22 ecec所以为求解方程，我们先看一下它的渐近解，即当 ξ→ ± ∞ 时波函数
ψ 的行为。在此情况下,λ<< ξ 2，
于是方程变为：
其解为,ψ ∞ = exp[± ξ 2/2]，
0)(][ 22
2
xdd
1,渐近解 欲验证解的正确性,
可将其代回方程，
2/2?
e
d
d
d
d
][22 dddd
波函数有限性条件：
2/2 e
当 ξ→ ± ∞ 时，
应有 c2 = 0，
因整个波函数尚未归一化，所以 c1可以令其等于 1。最后渐近波函数为：
2/2e
d
d?
]1[ 2 2
ξ 2 >> ± 1
其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：
① 当 ξ 有限时,H(ξ) 有限；
② 当 ξ→∞ 时,H(ξ) 的行为要保证 ψ(ξ)→ 0 。
0)1(2 HHH
2/2)()( eH
将 ψ(ξ) 表达式 代入方程得关于 待求函数 H(ξ)
所满足的方程：
令：渐近形式，我们自然会在无穷远处有的波函数为了使方程
2/
2
2
2
2
0)(][
e
x
d
d
2,H(ξ) 满足的方程
3.级数解
2
2
2
0
0
1
0
)1()1(
22
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
kkbkkbH
kbHkbH
0)]1(2)2)(1([ 2 kkkk
k
bkbkkb
k
k
k
bH
0
我们以级数形式来求解。 为此令：
k
k
k
kkbH
kk
)2)(1(
2
2
0
则：令
k
k
k
kkb?)2)(1(2
0
用 k 代替 k’
变成：则方程 0)1(2 HHH
由上式可以看出：
b0 决定所有角标 k为偶数的系数；
b1 决定所有角标 k为奇数的系数。
因为方程是二阶微分方程，应有两个线性独立解。可分别令：
b0 ≠ 0,b1=0,→ H even(ξ);
b1 ≠ 0,b0=0,→ H odd(ξ).
kk bkk
kb
)2)(1(
12
2
即,bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(λ -1) = 0
从而导出系数 bk 的递推公式：
0)]1(2)2)(1([ 2 kkkk
k
bkbkkb
该式对任意 ξ 都成立，
故 ξ 同次幂前的系数均应为零，
只含偶次幂项只含奇次幂项则通解可记为：
H = co Hodd + ce Heven
ψ= (co Hodd + ce Heven e) exp[-ξ2/2]
（ 3）应用标准条件
(I)ξ=0
exp[-ξ2/2]|ξ=0 = 1
Heven(ξ)|ξ=0 = b0
Hodd(ξ)|ξ=0 = 0
皆有限
(II) ξ→ ± ∞ 需要考虑无穷级数 H(ξ)的收敛性为此考察相邻两项之比,2222 2)2)(1( 12 kkk kbb
kkk
k
k
考察幂级数 exp[ξ 2}的展开式的收敛性
)!1()!(!2!11]e xp [
2
2
2
422
k
k
k
k
比较二级数可知：
当 ξ→ ± ∞ 时,H(ξ) 的渐近行为与 exp[ξ 2]相同。
单值性和连续性二条件自然满足，
只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。
因为 H(ξ) 是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点，
即势场有跳跃的地方以及 x=0,x → ± ∞ 或 ξ=0,ξ→ ± ∞ 。
22
2
2
2
2
2
2
2
2
)1(
1
)!1(
)!(
)!(
)!1(
kkkk
k
k
k
k
k
相继两项之比：
所以总波函数有如下发散行为：
为了满足波函数有限性要求，幂级数 H(ξ) 必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求 H(ξ) 从某一项（比如第 n
项）起 以后各项的系数均为零，即 bn ≠ 0,b n+2 = 0.
0)2)(1( 122 nn bnn nb?代入递推关系 )得,
结论基于波函数在无穷远处的有限性条件导致了能量必须取分立值。
]e x p []e x p []e x p []e x p [)()( 2212212221H
212 EE因为
012
,0
n
b n 所以有：因为
,2,1,0)( 21 nnE?
于是最后得：
（ 4）厄密多项式附加有限性条件得到了 H(ξ) 的一个多项式，该多项式称为厄密多项式，记为 Hn(ξ),于是总波函数可表示为：
)(]e x p [ 221 nnn HN
022 nnn nHHH?
0)1(2 HHH
]ex p []ex p [)1()( 22 nnnn ddH
由上式可以看出,Hn(ξ) 的最高次幂是 n 其系数是 2n。
归一化系数
Hn(ξ) 也可写成封闭形式：
λ = 2n+1
厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：
从上式出发，可导出厄密多项式的递推关系：
022
)(2
11
1
nnn
n
n
nHHH
nHddH
应用实例例：已知 H0 = 1,H1=2ξ,则根据上述递推关系得出：
H2 = 2ξH 1-2nH0
= 4ξ 2-2
下面给出前几个厄密多项式具体表达式：
H0=1
H2=4ξ 2-2
H4 = 16ξ 4-48ξ 2+12
H1=2ξ
H3=8ξ 3-12ξ
H5=32ξ 5-160ξ 3+120ξ
基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数 Ψ(x)
的递推关系,
)()2)(1()()12()()1()(
)()()(
)()2)(1()()12()()1()(
)()()(
222
12
1
12
222
12
12
1
12
1
2
2
2
2
xnnxnxnnx
xxx
xnnxnxnnxx
xxxx
nnnndx
d
n
n
n
n
ndx
d
nnnn
n
n
n
n
n
（ 5）求归一化系数
( 分 步 积 分 )
该式第一项是一个多项式与 exp[-ξ 2] 的乘积，当代入上下限 ξ= ± ∞ 后，该项为零。
继续分步积分到底因为 Hn的最高次项
ξ n的系数是 2n，所以
dnHn /dξ n = 2n n!。
于是归一化系数则谐振子波函数为：
其中：
)(
!2
)( 2/
22
xHe
n
x nx
nn
dxHHeNdx nnnnn )()(1 22
(I)作变量代换，因为 ξ=αx,
所以 dξ=α dx ；
(II)应用 Hn(ξ) 的封闭形式。
deH
eH
n
nn
n
nn
d
d
nd
dNn
d
d
n
Nn
])][([)1(
])[()1(
2
1
12
2
1
12
deH nnn ddnddNn ]) ] [([)1( 21121
!2 nn nN?所以
deH
deH
n
nn
n
nn
d
d
d
d
n
Nn
d
d
n
nN
][)()1(
)()1(
2
1
12
22
deH nddNnn nnn 22 )]([)1(
!2
!2)1(
2
222
n
den
nN
nNn
n
n
（ 6）讨论
3,对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量 E0={1/2}?ω ≠0,
称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的,静止的,
波是没有意义的，零点能是量子效应。
]e x p []e x p [)1()( 22 nnnn ddH
1。上式表明,Hn(ξ) 的最高次项是 (2ξ) n。所以：
当 n=偶，则厄密多项式只含 ξ 的偶次项；
当 n=奇，则厄密多项式只含 ξ 的奇次项。
2,ψ n具有 n宇称
)(!2)( 2/22 xHenx nxnn
上式描写的谐振子波函数所包含的 exp[-ξ 2/2]是 ξ 的偶函数，
所以 ψ n的宇称由厄密多项式 Hn(ξ) 决定为 n 宇称。
n = 0
n = 1
n = 2
4,波函数然而，量子情况与此不同对于基态，其几率密度是：
ω 0(ξ) = |ψ 0(ξ)| 2 =
= N02 exp[-ξ 2]
分析上式可知：一方面表明在 ξ= 0 处找到粒子的几率最大；
另一方面，在 |ξ|≧1 处，
即在阱外找到粒子的几率不为零，
与经典情况完全不同。
以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在 |α x|< 1
范围中运动。这是因为振子在这一点 (|αx| = 1) 处，其势能 V(x)=(1/ 2)μω 2 x2 = {1/2}?ω= E 0，即势能等于总能量，动能为零，粒子被限制在阱内。
)(!2)( 2/22 xHenx nxnn
-3 -2 -1 0 1 2 3
E0
E1
E2
分析波函数可知量子力学的谐振子波函数 ψ n有 n 个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在 [-a,a] 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。
-1 0 1
ω0(ξ)
ωn(ξ) n=2
n=1
n=0
-1 1? -2 2-4 4
|?10|2
5,几率分布返回
（三）实例解：
（ 1）三维谐振子 Hamilton 量
zyx HHH
zyx
dz
d
dy
d
dx
dH
)(
2
2222
2
1
2
2
2
2
2
22
例 1,求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况
22
2
1
2
22
22
2
1
2
22
22
2
1
2
22
2
2
2
z
dz
d
H
y
dy
d
H
x
dx
d
H
z
y
x
其中
（ 2）本征方程及其能量本征值
)()(?
)()(?
)()(?
333
222
111
zEzH
yEyH
xExH
nnnz
nnny
nnnx
321
2
3
2
3
321
2
1
)(
)(
3,2,1)(
nnnN
N
nnnE
inE
N
in i
其中
)()()( zyx
EEEE zyx
解得能量本征值为：
则波函数三方向的分量分别满足如下三个方程：
因此，设能量本征方程的解为：
)()()( 321
111321
zyx
EEEE
nnn
nnnnnn
如果系统 Hamilton 量可以写成则必有：
zyx HHHH
（ 3）简并度对给定 N= n 1 + n 2 + n 3 的组合方式数列表分析如下,
n 1 n 2 → 组合方式数
0 0,1,...,N → N+1
1 0,1,...,N - 1 → N
2 0,1,...,N - 2 → N - 1
...,...,...,...,..,→,.,
N 0,→ 1
对给定 N ( N= n 1 + n 2 + n 3 ),{ n 1,n 2,n 3 } 的组合方式数
(1/2)(N+1)(N+2)
321
2
3 )(
nnnN
NE N
其中
)()()()( 321321 zyxr nnnnnn
当 N 确定后，能量本征值确定，但是对应同一 N值的 n1,n2,n3 有多种不同组合，相应于若干不同量子状态，这就是简并。其简并度可决定如下：
当 n1,n2 确定后,n3 = N - n1 - n2，也就确定了，不增加不同组合的数目。故对给定 N,{n1,n2,n3 }可能组合数即简并度为：
)2)(1(211)1()1( NNNNN
0)()]([2)( 22
2
xxVExdxd
解,Schrodinger方程：
求能量本征值和本征函数。
xqxxV 2221)(
例 2,荷电 q 的谐振子，受到沿 x 向外电场?
的作用，其势场为：
（ 1）解题思路势 V(x)是在谐振子势上叠加上 -q? x项，该项是 x 的一次项，而振子势是二次项。如果我们能把这样的势场重新整理成坐标变量平方形式，就有可能利用已知的线性谐振子的结果。
（ 2）改写 V(x)
xqxxV 2221)(
2
22
2
2
2
2][2
1
qqx
2
22
020 2
qVqx其中：
0
2
0
2 )(
2
1 Vxx
（ 3） Hamilton量进行坐标变换：
p
xd
di
dx
dip
xxx
0
则 Hamilton 量变为：
0
22
2
1
2
0
2
0
2
2
1
2
2
)(
2
Vx
p
Vxx
p
H
（ 4） Schrodinger方程
0
22
2
1
22
2
0
22
2
1
22
2
0)(][
2
)(
0)(][
2
)(
VEE
xxEx
xd
d
xVxEx
xd
d
其中
该式是一新坐标下一维线性谐振子 Schrodinger
方程，于是可以利用已有结果得：
,2,1,0
2
)(
)(
2
22
2
1
0
2
1
n
q
n
VEE
nE
nn
n
))((
)()(
0
2/)(
2/
2
0
2
22
xxHeN
xHeNx
n
xx
n
n
x
nn
新坐标下 Schrodinger 方程改写为：
本 征 能 量本 征 函 数作 业
周世勋,量子力学教程,2.5
曾谨言 3.8,3.9,3.12
返回
§ 3 一维势散射问题
(一）引言
（二）方程求解
（三）讨论
（四）应用实例返回
(一）引言势垒穿透是粒子入射被势垒散射的一维运动问题。典型势垒是方势垒，
其定义如下：
axx
axVxV
,00
0)( 0
现在的问题是已知粒子以能量 E 沿 x 正向入射。
0 a
V(x)
V0
I II III
E
返回
（二）方程求解
ax
axVE
x
E
E
0
00][
00
3
2
3
20
2
2
1
2
1
2
2
2
2
0
2
)(22
2
22
1
VE
E
k
k
令：
（ 1） E > V0 情况
区区区
IIIaxk
IIaxk
Ixk
0
00
00
3
2
13
2
2
22
1
2
11
因为 E > 0,E > V0,所以 k1 > 0,
k2 > 0,上面的方程可改写为：
xikxik
xikxik
xikxik
eCCe
eBBe
eAAe
11
22
11
3
2
1
解得：
上述三个区域的 Schrodinger
方程可写为：
定态波函数 ψ 1,ψ 2,ψ 3 分别乘以含时因子 exp[-iEt/?] 即可看出：
式中第一项是沿 x正向传播的平面波，第二项是沿 x负向传播的平面波。由于在
x > a 的 III 区没有反射波，所以 C'=0，于是解为：
xik
xikxik
xikxik
Ce
eBBe
eAAe
1
22
11
3
2
1
利用波函数标准条件来定系数。
首先,解单值、有限条件满足。
1,波函数连续综合整理记之
BBAA
x
)0()0(
:0
21
BikBikAikAik
x
221121 )0(')0('
:0
2,波函数导数连续
0
0
122
122
122
1221
aikaikaik
aikaikaik
CekeBkBek
AkBkBkAk
CeeBBe
ABBA
波函数意义
aikaikaik CeeBBe
aa
ax
122
)()(
:
32
aikaikaik CeikeBikBeik
aa
ax
122
122
32 )(')('
:
3,求解线性方程组
4,透射系数和反射系数求解方程组得,
Aekkekk akkkiAAekkekk ekkC aikaikaikaik
aik
22
1
22
1
2
21
2
21
2
2
2
2
2
21
2
21
21
)()(
s i n)(2
)()(
4
为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。
I 透射系数：
透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数
D = JD/JI
II 反射系数：
反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数
R = JR/JI
其物理意义是,描述贯穿到 x > a 的 III区中的粒子在单位时间内流过垂直 x方向的单位面积的数目与入射粒子（在 x < 0 的 I 区）在单位时间内流过垂直于 x方向单位面积的数目之比。
0
0
122
122
122
1221
aikaikaik
aikaikaik
CekeBkBek
AkBkBkAk
CeeBBe
ABBA
下面求
D 和 R
几率流密度矢量：
][2 dxddxdiJ
][2 iJ
][2 dxddxdiJ
21 ||[
2
1111 AkAe
dx
deAeA
dx
dAeiJ xikxikxikxik
I
对一维定态问题,J 与时间无关，所以入射波
Ψ = Aexp[ik 1x]
ψ* = A* exp[ -ik1x]
对透射波 ψ= Cexp[ik 1x]，
所以透射波几率流密度：
21 || CkJ
D?
反射波 ψ= A ’exp[-ik1x]，
所以反射波几率流密度：
21 |'| AkJ
R?
其中负号表示与入射波方向相反。
则入射波几率流密度于是透射系数为,
2
2
2
12
222
2
2
1
2
2
2
1
2
2
4s i n)(
4
||
||
kkakkk
kk
A
C
J
JD
I
D
2
2
2
12
222
2
2
1
2
222
2
2
1
2
2
4s i n)(
s i n)(
||
||
kkakkk
akkk
A
A
J
JR
I
R
由以上二式显然有 D+R=1，说明入射粒子一部分贯穿势垒到 x > a 的 III区，另一部分则被势垒反射回来。
同理得反射系数：
Aekkekk akkkiAAekkekk ekkC aikaikaikaik
aik
22
1
22
1
2
21
2
21
2
2
2
2
2
21
2
21
21
)()(
s i n)(2
)()(
4
（ 2） E < V0情况故可令,k2=ik3,其中 k3=[2μ(V 0-E)/?]1/2。
这样把前面公式中的 k2 换成 ik3
并注意到,sin ik3a = i sinh k3a
2
3
2
13
222
3
2
1
3
222
3
2
1
2
3
2
13
222
3
2
1
2
3
2
1
4s i n h)(
s i n h)(
4s i n h)(
4
kkakkk
akkkR
kkakkk
kkD
即使 E < V0，在一般情况下，透射系数 D 并不等于零。
0 a
V(x)
x
V0入射波 +反射波透射波因 k2=[2μ(E -V0)/?]1/2，
当 E < V0 时,k2 是虚数，
隧道效应
（ tunnel effect）
粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象,它是粒子具有波动性的生动表现。
当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。下图给出了势垒穿透的波动图象。
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（三）讨论
（ 1）当 k3a >> 1时
4][
4
4)(
4
3
1
3
3
13 22
4
1232124122321
2
3
2
1
akkkkkak ekkekk
kkD
)(2
0
2
0
2
2
0233
1
3
3
1 ][
16 EVakak
k
k
k
k
aeDeDeD
故 4可略
akakak
akak
eeeak
ee
333
33
2
4
12
2
1
3
2 )()(s i n h
,
则：即势垒既宽又高，于是透射系数则变为：
41,1 31331 23 akkkkk eak 时，且当必大于因为粗略估计，认为 k1 ≈ k 3 （相当于 E ≈V 0/2）,则 D0 = 4是一常数。
下面通过实例来说明透射系数 的量级大小。
于是：
2
0
0
20
)(16
][
16
1
3
3
1 V
EVED
k
k
k
k
例 1,入射粒子为电子。
设 E=1eV,V0 = 2eV,
a = 2× 10-8 cm = 2?，
算得 D ≈ 0.51。
若 a=5× 10-8cm = 5?，
则 D ≈ 0.024，可见透射系数迅速减小。
质子与电子质量比
μp/μe ≈ 1840。
对于 a = 2?
则 D ≈ 2 × 10-38。
可见透射系数明显的依赖于粒子的质量和势垒的宽度。
量子力学提出后,Gamow
首先用势垒穿透成功的说明了放射性元素的 α衰变现象。
例 2,入射粒子换成质子。
（ 2）任意形状的势垒
dxExVeDD ))((2
0
2
则 x1 → x 2贯穿势垒 V(x)的透射系数等于贯穿这些小方势垒透射系数之积，即
dxExVbaeDD ))((2
0
2
此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。
0 a b
V(x)
E
对每一小方势垒透射系数可把任意形状的势垒分割成许多小势垒，这些小势垒可以近似用方势垒处理。
dx
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（四）应用实例除了大家熟悉的 α衰变、隧道二极管是势垒穿透现象外，下面介绍两个典型实例。
（ 1）原子钟
（ 2）场致发射（冷发射）
（ 1）原子钟 原子钟的频率标准就是利用氨分子
( N H3 ) 基态势垒贯穿的振荡频率。
氨分子 (NH3)是一个棱锥体,N
原子在其顶点上，三个 H 原子在基底。如图所示：
N
N’
H
H
H
N N’
E
如果 N原子初始在 N处，则由于隧道效应，可以穿过势垒而出现在
N’点。当运动能量小于势垒高度如图中能级 E 所示，则 N原子的运动由两种形式组成。
1,R-S之间或 T-U之间的振荡（谐振子）；
2,这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的振荡运动。对于 NH3基态，
第二种振荡频率为 2.3786× 1010 Hz。这就是原子钟在规定时间标准时所利用的氨分子的势垒贯穿运动。
（ 2）场致发射（冷发射）
图 （ a） 图 （ b）
欲使金属发射电子，
可以将金属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所熟知的 热发射 和 光电效应 。
但是，施加一个 外电场,金属中电子的所感受到的电势如图 (b)所示。金属中电子面对一个势垒，能量最大的电子就能通过隧道效应穿过势垒漏出，从而导致所谓 场致电子发射 。
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