2009/7/30 1
量子力學
Chap 1 - The Wave Function
Chap 2 - The Time-independent Schr?dinger Equation
Chap 3 - Formalism in Hilbert Space
Chap 4 - 表象理論
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Quantum Mechanics
Schr?dinger 表象,Heisenberg表象和 交互作用表象
)(?)( tHtti where
1,Schr?dinger 表象將力學量 (不顯含 t)的平均值及機率分佈隨時間的變化,全歸於波函數隨時間的變化,而力學量 (算符 )本身是不隨時間變化的。
…(4.1)
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Quantum Mechanics
2,Heisenberg表象波函數是不能測量的,與實際觀測有關的是力學量的平均值及測量結果的機率分佈,且隨時間變化,可用其它方式表達,
Heisenberg表象 是其中常用的一種表達方式 。
]/?e x p []/?e x p [)0,()0,()( tHiFtHitFUtUtF
HtFitFdtd?),(1)( …(4.2)
where
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Quantum Mechanics
)(?)( tHttiFrom (4.1)
Let )0()0,()( tUt
)0,(tUWhere is time-evolution operator and is unitary,i.e.,
…(4.3)
)0,()0,(1)0,()0,()0,()0,( 1 tUtUtUtUtUtU
Substitute (4.3) into (4.1) and get
)0()0,(?)0()0,( tUHtUti? )0(?,is arbitrary
)0,(?)0,( tUHtUti 1)0,0(.,?Uci …(4.4)
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Quantum Mechanics
Solve (4.4) and get
]/?e x p [)0,(?tHitU
])(?e x p [)0,( 0 '' t dttHitU?
(1) 不顯含 tH?
(2) 顯含 tH?
and ]/?e x p []/?e x p [)0,()0,()( tHiFtHitFUtUtF
Assume 不顯含 tH?
where F 不顯含 t
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Quantum Mechanics
HtF
i
HtFtFH
i
UHF U UUFUUUHU
i
UHFUFUHU
i
tU
dt
d
FtUtFUtU
dt
d
tF
dt
d
),(
1
)
)()(
(
1
)

(
1
)

(
1
)0,()0,()0,()0,()(







Heisenberg equation:
HtFitFdtd?),(1)(
Heisenberg表象中 力學量隨時間變化
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Quantum Mechanics
m
pH
2
2?
Ex,Free particle in Heisenberg表象
0?,Hp?,p? is conservative,pptp?)0(?)(

m
p
e
m
p
e
e
m
p
re
i
Htr
i
tr
dt
d
tHitHi
tHitHi

2
,?
1?
),(?
1
)(?

2?





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Quantum Mechanics
Heisenberg表象跟 Schr?dinger表象是等價的
Ex:力學量守恆,不因採用表象不同而異
0],[?HFSchr?dinger表象
Heisenberg表象


0
,
,)(?),(
)0,(?)0,()(?






tHitHi
tHitHi
eHFe
HFeetHtF
HtUHtUtH
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Quantum Mechanics
Assume the system Hamilton is
VHH 0
where V is interaction
I?
s?
,state vector in Schr?dinger picture
,state vector in interaction picture
)(?e x p)( 0 ttHit SI



3.交互作用表象介於 Schr?dinger 表象 和 Heisenberg表象之間的一種表象,在散射理論和量子場論的微擾論處理,是常被採用的一種表達方式。
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Quantum Mechanics

)()(
)(
e x p
e x p
e x p
)(
e x p
)(

e x p
)(
e x p)(
e x p
)(
e x p)(
000
0
0
0
000
0
ttV
t
tHitHi
V
tHi
tV
tHi
tHH
tHi
t
t
i
tHi
t
tHiHi
i
t
tHi
t
it
t
i
II
S
S
S
SS
SI







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Quantum Mechanics







tHiVtHitV
I
00
e x p?e x p)(where
)(tVI is interaction in交互作用表象
V is interaction in Schr?dinger 表象







tHiFtHitF
I 00
e x p?e x p)(
可證得

0
00
),(1
e x p
e x p)(
HtF
i
tHi
F
tHi
dt
d
tF
dt
d
I
I


…(4.5)
)()()( ttVtti III
一般
…(4.6)
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Quantum Mechanics
由 (4.5)和 (4.6)知,在交互作用表象中,狀態向量 (波函數 )和力學量 (算符 )都隨時間變化,狀態向量隨時間的演化由交互作用支配 ;而力學量隨時間的變化由 來 支配。所以交互作用表象是介於 Schr?dinger 表象和 Heisenberg表象之間的一種表象。
IV
0H
※
)(?)( tHttiHtFitFdtd?),(1)(
Heisenberg表象Schr?dinger表象
)()()( ttVtti III
0?),(1)( HtFitFdtd II
交互作用表象