03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
3.2 讨论 N个原胞的一维双原子链 (相邻原子间距为 a)
其 2N个 格波解，当 M=m时与一维单原子链结果一一对应
质量为 M的原子位于 2n-1,2n+1,2n+3 …… 。
质量为 m的原子位于 2n,2n+2,2n+4 …… 。
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆牛顿运动方程
—— 体系有 N个原胞,有 2N个独立的方程
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆方程 的解
A,B有非零解
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— 两种不同的格波的色散关系
1
22 2
2
1
22 2
2
( ) 4
{ 1 [ 1 si n ] }
()
( ) 4
{ 1 [ 1 si n ] }
()
m M mM
aq
mM m M
m M mM
aq
mM m M
—— 对应一个 q有两支格波：一支声学波和一支光学波
—— 总的格波数目为 2N
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
4
c o s
2
4
sin
2
aq
m
aq
m
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆长波极限情况下
—— 与一维单原子晶格格波的色散关系一致
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
3.3 质量相同两种原子形成一维双原子链,最近邻原子间的力常数交错等于 和,并且最近邻间距
1) 求出色散关系和分析计算 处格波的频率值
2) 大致画出色散关系图
绿色 标记的原子位于 2n-1,2n+1,2n+3 ……
红色标记原子位于 2n,2n+2,2n+4 ……
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— 第 2n个原子和第 2n＋ 1个原子的运动方程
—— 体系 N个原胞,有 2N个独立的方程
—— 方程的解令
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— A,B有非零的解,系数行列式满足
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
——
22 0 ( 1 1 2 0 c o s 1 0 1 )qa
—— 两种色散关系
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
22 0 ( 1 1 2 0 c o s 1 0 1 )qa
—— 色散关系图
—— 两种色散关系
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
设单原子链长度波矢取值 每个波矢的宽度状态密度 dq间隔内的状态数
—— 对应?q,?取值相同,d?间隔内的状态数目
dqNad 22)(
3.6 计算一维单原子链的频率分布函数
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
dqNad 22)(
一维单原子链色散关系
)2(s in4 22 aqm
令两边微分得到
d?间隔内的状态数目
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
22
0
12)(
N
代入
—— 一维单原子链的频率分布函数
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
3.7 设三维晶格的光学振动在 q=0附近的长波极限有证明：频率分布函数
三维晶格振动的态密度
dq间隔内的状态数 dqqV 2
3 4)2(
对 两边微分
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆将 dq和 代入得到
0
2/1
02/32 )(
1
4)( A
Vf
时 为虚数，有 ( ) 0f
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆方法 2
振动模式密度函数
—— q空间的等频率面是球面,q为常数已知三维色散关系
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— 对于光学波,在 处振动频率具有最大值
1 / 2
002 3 / 2
0
1
()
() 4
0
V
f A
频率分布函数
3.2 讨论 N个原胞的一维双原子链 (相邻原子间距为 a)
其 2N个 格波解，当 M=m时与一维单原子链结果一一对应
质量为 M的原子位于 2n-1,2n+1,2n+3 …… 。
质量为 m的原子位于 2n,2n+2,2n+4 …… 。
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆牛顿运动方程
—— 体系有 N个原胞,有 2N个独立的方程
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆方程 的解
A,B有非零解
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— 两种不同的格波的色散关系
1
22 2
2
1
22 2
2
( ) 4
{ 1 [ 1 si n ] }
()
( ) 4
{ 1 [ 1 si n ] }
()
m M mM
aq
mM m M
m M mM
aq
mM m M
—— 对应一个 q有两支格波：一支声学波和一支光学波
—— 总的格波数目为 2N
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
4
c o s
2
4
sin
2
aq
m
aq
m
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—— 与一维单原子晶格格波的色散关系一致
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
3.3 质量相同两种原子形成一维双原子链,最近邻原子间的力常数交错等于 和,并且最近邻间距
1) 求出色散关系和分析计算 处格波的频率值
2) 大致画出色散关系图
绿色 标记的原子位于 2n-1,2n+1,2n+3 ……
红色标记原子位于 2n,2n+2,2n+4 ……
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— 第 2n个原子和第 2n＋ 1个原子的运动方程
—— 体系 N个原胞,有 2N个独立的方程
—— 方程的解令
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— A,B有非零的解,系数行列式满足
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
——
22 0 ( 1 1 2 0 c o s 1 0 1 )qa
—— 两种色散关系
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
22 0 ( 1 1 2 0 c o s 1 0 1 )qa
—— 色散关系图
—— 两种色散关系
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
设单原子链长度波矢取值 每个波矢的宽度状态密度 dq间隔内的状态数
—— 对应?q,?取值相同,d?间隔内的状态数目
dqNad 22)(
3.6 计算一维单原子链的频率分布函数
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
dqNad 22)(
一维单原子链色散关系
)2(s in4 22 aqm
令两边微分得到
d?间隔内的状态数目
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
22
0
12)(
N
代入
—— 一维单原子链的频率分布函数
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
3.7 设三维晶格的光学振动在 q=0附近的长波极限有证明：频率分布函数
三维晶格振动的态密度
dq间隔内的状态数 dqqV 2
3 4)2(
对 两边微分
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆将 dq和 代入得到
0
2/1
02/32 )(
1
4)( A
Vf
时 为虚数，有 ( ) 0f
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆方法 2
振动模式密度函数
—— q空间的等频率面是球面,q为常数已知三维色散关系
03_晶格振动与晶体的热学性质 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— 对于光学波,在 处振动频率具有最大值
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() 4
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V
f A
频率分布函数
