04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
4.2 写出一维近自由电子近似,第 n个能带 （ n=1,2,3） 中简约波矢 的零级波函数
一维近自由电子近似中，用简约波矢表示的波函数
—— 第 n个能带零级波函数
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆第一个能带
x
a
i
e
L
21
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆第二个能带
x
a
i
e
L
2
31
第三个能带 xaie
L
2
51?
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
4.3 电子在周期场中的势能函数且 a=4b,?是常数 。
1) 画出此势能曲线,并计算势能的平均值；
2) 用近自由电子模型计算晶体的第一个和第二个带隙宽度
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
势能的平均值
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆势能的平均值令
2
2
96
aVm
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— 近自由电子近似中，势能函数的第 n个傅里叶系数
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆第一个带隙宽度第二个带隙宽度
11 2 VE g?
22 2 VE g?
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆补充习题 一维周期势场中电子的波函数满足布洛赫定理。
如果晶格常数为 a,电子的波函数为求电子在这些态中的波矢
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
根据布洛赫定理一维情形布洛赫定理
1) 电子的波函数
ak
电子的波矢
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
2) 电子的波函数
ak 2
电子的波矢
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
3) 电子的波函数
ak
电子的波矢
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
4) 电子的波函数
0?k电子的波矢
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
4.4 用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格 s态原子能级相对应的能带函数面心立方晶格?
—— s态原子能级相对应的能带函数
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— 任选取一个格点为原点
O
—— 最近邻格点有 12个
—— s原子态波函数具有球对称性
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
12个最邻近格点的位置
O
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
0
1
()
4 ( co s co s co s co s co s co s )
2 2 2 2 2 2
s
s
yyx x z z
E k J
k a k ak a k a k a k a
J
—— 类似的表示共有 12项
—— 归并化简后得到面心立方 s态原子能级相对应的能带
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— 对于体心立方格子任选取一个格点为原点
—— 有 8个最邻近格点
O
—— 最近邻格点的位置
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— 类似的表示共有 8项
01( ) 8 c o s ( / 2 ) c o s ( / 2 ) c o s ( / 2 )s s x y zE k J J k a k a k a
—— 归并化简后得到体心立方 s态原子能级相对应的能带
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
只计入最近邻格点原子的相互作用时
s态原子能级相对应的能带函数表示为
4.7 一维单原子链,原子间距 a,总长度为 L＝ Na
1) 用紧束缚近似方法求出与原子 s态能级相对应的能带函数
2) 求出其能带密度函数 的表达式
3) 如每个原子 s态中只有一个电子,计算 T=0K时的费密能级和 处的能态密度
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆对于一维情形,任意选取一个格点为原点
—— 有两个最近邻的格点,坐标为,a和－ a
kaJJkE ss c o s2)( 10
能带密度函数 的计算
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆对于一维格子，波矢为 具有相同的能量此外考虑到电子自旋有 2种取向，在 dk区间的状态数
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
22
10
2()
() 4 ( ( ) )s s
s
d Z NNE
d E k J E k J
能带密度
T=0K的费密能级计算总的电子数其中
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
0 0FsEJT=0K的费密能级
1
() NNE J
T=0K费密能级处的能态密度
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆由于能带的交叠，能带 1中的部分电子转移到能带 2中，而在能带 1中形成空穴，讨论 时的费密能级其中 为能带 1的带顶,为能带 2的带底
4.9 半金属交叠的能带
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
半金属的能带 1和能带 2
能带 1的能态密度
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
3
1 2
1 1 122
22( ) ( ) ( 0 ) ( )
( 2 )
VmN E E E k
—— 同理能带 2的能态密度
3
2 2
2 2 2 022
22( ) ( ) ( ) ( )
( 2 )
VmN E E k E k
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— 如果不发生能带重合,电子刚好填满一个能带由于能带交叠,能带 1中的电子填充到能带 2中,满足
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
0 1 1 2 2 0
12
( 0 ) ( )
F
m E m E kE
mm
0 20( ) 0,07 5FE E k e V
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
4.12 设有二维正方晶格,晶体势场用近自由电子近似的微扰论近似求出在布里渊顶角 (?/a,?/a)处的能隙
晶体布里渊顶角 (?/a,?/a)处的能隙近自由电子近似中,势能函数的第 n个傅里叶系数
a Gi dUeanV n02 )(1)(
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— 晶体势场
))((),( 2211
2222
21
aiaiaiai eeeeUU
)2c o s ()2c o s (4),( yaxaUyxU
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆布里渊顶角代入
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
UE g 21?布里渊顶角 处的能隙
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
将 改写为
—— 给定能量,该方程在波矢 k空间表示的是一个圆
k空间,单位面积内的状态数
*补充习题 限制在边长为 L的正方形中的 N个电子
1） 求能态密度
2） 求二维系统在绝对零度时的费米能量电子的能量
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆半径 的圆内的状态数能态密度
2
2
)(mLEN?
能量 之间的状态数
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆能态密度
2
2
)(mLEN?
能量 电子的数目绝对零度时的费米能量
2
2
0
mL
NE
F
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
*补充习题 电子的能量为求能态密度
将电子能量改写为
—— k空间的椭球方程
—— 半轴 a,b,c
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆椭球在 k空间的体积
2/12/12/3
22
3
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k空间的状态密度椭球内的状态数能态密度
4.2 写出一维近自由电子近似,第 n个能带 （ n=1,2,3） 中简约波矢 的零级波函数
一维近自由电子近似中，用简约波矢表示的波函数
—— 第 n个能带零级波函数
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆第一个能带
x
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21
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆第二个能带
x
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第三个能带 xaie
L
2
51?
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
4.3 电子在周期场中的势能函数且 a=4b,?是常数 。
1) 画出此势能曲线,并计算势能的平均值；
2) 用近自由电子模型计算晶体的第一个和第二个带隙宽度
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
势能的平均值
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆势能的平均值令
2
2
96
aVm
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— 近自由电子近似中，势能函数的第 n个傅里叶系数
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆第一个带隙宽度第二个带隙宽度
11 2 VE g?
22 2 VE g?
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆补充习题 一维周期势场中电子的波函数满足布洛赫定理。
如果晶格常数为 a,电子的波函数为求电子在这些态中的波矢
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
根据布洛赫定理一维情形布洛赫定理
1) 电子的波函数
ak
电子的波矢
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
2) 电子的波函数
ak 2
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04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
3) 电子的波函数
ak
电子的波矢
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
4) 电子的波函数
0?k电子的波矢
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
4.4 用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格 s态原子能级相对应的能带函数面心立方晶格?
—— s态原子能级相对应的能带函数
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— 任选取一个格点为原点
O
—— 最近邻格点有 12个
—— s原子态波函数具有球对称性
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
12个最邻近格点的位置
O
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
0
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—— 类似的表示共有 12项
—— 归并化简后得到面心立方 s态原子能级相对应的能带
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— 对于体心立方格子任选取一个格点为原点
—— 有 8个最邻近格点
O
—— 最近邻格点的位置
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— 类似的表示共有 8项
01( ) 8 c o s ( / 2 ) c o s ( / 2 ) c o s ( / 2 )s s x y zE k J J k a k a k a
—— 归并化简后得到体心立方 s态原子能级相对应的能带
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
只计入最近邻格点原子的相互作用时
s态原子能级相对应的能带函数表示为
4.7 一维单原子链,原子间距 a,总长度为 L＝ Na
1) 用紧束缚近似方法求出与原子 s态能级相对应的能带函数
2) 求出其能带密度函数 的表达式
3) 如每个原子 s态中只有一个电子,计算 T=0K时的费密能级和 处的能态密度
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆对于一维情形,任意选取一个格点为原点
—— 有两个最近邻的格点,坐标为,a和－ a
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能带密度函数 的计算
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆对于一维格子，波矢为 具有相同的能量此外考虑到电子自旋有 2种取向，在 dk区间的状态数
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
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能带密度
T=0K的费密能级计算总的电子数其中
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
0 0FsEJT=0K的费密能级
1
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T=0K费密能级处的能态密度
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆由于能带的交叠，能带 1中的部分电子转移到能带 2中，而在能带 1中形成空穴，讨论 时的费密能级其中 为能带 1的带顶,为能带 2的带底
4.9 半金属交叠的能带
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
半金属的能带 1和能带 2
能带 1的能态密度
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
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—— 同理能带 2的能态密度
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04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— 如果不发生能带重合,电子刚好填满一个能带由于能带交叠,能带 1中的电子填充到能带 2中,满足
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
0 1 1 2 2 0
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0 20( ) 0,07 5FE E k e V
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
4.12 设有二维正方晶格,晶体势场用近自由电子近似的微扰论近似求出在布里渊顶角 (?/a,?/a)处的能隙
晶体布里渊顶角 (?/a,?/a)处的能隙近自由电子近似中,势能函数的第 n个傅里叶系数
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04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
—— 晶体势场
))((),( 2211
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21
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04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆布里渊顶角代入
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
UE g 21?布里渊顶角 处的能隙
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
将 改写为
—— 给定能量,该方程在波矢 k空间表示的是一个圆
k空间,单位面积内的状态数
*补充习题 限制在边长为 L的正方形中的 N个电子
1） 求能态密度
2） 求二维系统在绝对零度时的费米能量电子的能量
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆半径 的圆内的状态数能态密度
2
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能量 之间的状态数
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆能态密度
2
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能量 电子的数目绝对零度时的费米能量
2
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04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆
*补充习题 电子的能量为求能态密度
将电子能量改写为
—— k空间的椭球方程
—— 半轴 a,b,c
04_能带理论 _例题与习题 —— 固体物理 _黄昆椭球在 k空间的体积
2/12/12/3
22
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k空间的状态密度椭球内的状态数能态密度
