第 12章 拉普拉斯变换
12.2 拉普拉斯变换的基本性质
12.3 拉普拉斯反变换
12.4 应用拉普拉斯变换分析线性电路
12.1 拉普拉斯变换的定义了解拉普拉斯变换的定义和基本性质。在熟悉基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳的基础上，
掌握拉普拉斯变换法分析和研究线性电路的方法和步骤；在求拉氏反变换时，要求掌握分解定理及其应用。
本章教学目的及要求
12.1 拉普拉斯变换的定义学习目标,了解拉普拉斯变换的定义，理解原函数、
象函数的概念。
在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法，拉普拉斯变换 (简称拉氏变换 )就是其中的一种。
拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。用拉普拉斯变换分析综合线性系统 (如线性电路 )
的运动过程，在工程上有着广泛的应用。
拉普拉斯变换可将时域函数 f(t)变换为频域函数 F(s)。
只要 f(t)在区间 [0,∞]有定义，则有
0 )()( dtetfsF st
0 )()( dtetfsF st上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的 e-st
称为 收敛因子,收敛因子中的 s=c+jω是一个复数形式的频率，称为 复频率,其实部恒为正，虚部即可为正、为负，也可为零。上式左边的 F(s)称为复频域函数,是 时域函数 f(t)的拉氏变换,F(s)也叫做 f(t)的 象函数 。记作 )]([)( tfLsF?
式中 L[ ]是一个算子，表示对括号内的函数进行拉氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般均为时间的函数，因此其拉氏变换都是存在的。
如果复频域函数 F(s) 已知，要求出与它对应的时域函数 f(t),又要用到拉氏反变换，即：
jj ts dtesFjtf )(2 1)(
该式左边的 f(t) 在这里称为 F(s)的 原函数,此式表明：如果时域函数 f(t)已知，通过拉氏反变换，又可得到它的象函数 F(s)，记作：
)]([)( 1 sFLtf
式中 L-1[ ]也是一个算子，表示对括号内的象函数进行拉氏反变换。
在拉氏变换中，一个时域函数 f(t)惟一地对应一个复频域函数 F(s)；反过来，一个复频域函数 F(s)惟一地对应一个时域函数 f(t)，即 不同的原函数和不同的象函数之间有着一一对应的关系,称为 拉氏变换的惟一性 。
注意 在拉氏变换或反变换的过程中,原函数一律用小写字母表示,而 象函数则一律用相应的大写字母表示。 如电压原函数为 u(t)，对应象函数为 U(s)。
dtedteeeL tssttt 0 )( 0 ][
求指数函数 f(t)=e－ αt,f(t)=eαt (α≥ 0,α 是常数 )的拉普拉斯变换。
由拉氏变换定义式可得此积分在 s>α 时收敛，有：
sdteeL
tst 1][
0
)(
sdteeL
tst 1][
0
)(
同理可得 f(t)=eαt的 拉氏变换为：
sesdtedtettLsF
ststst 11)()]([)(
0
0
0
求单位阶跃函数 f(t)=ε(t)、单位冲激函数 f(t)=δ(t)、
正弦函数 f(t)=sinωt的象函数。
由拉氏变换定义式可得单位阶跃函数的象函数为同理，单位冲激函数的象函数为
1)()()]([)( )0(0 0 0 sstst edtetdtettLsF
22
0
22
0
)c o ss i n(
s i n][ s i n)(
sttss
e
dttetLsF
st
st
正弦函数 sin ωt的象函数为：
什么是拉普拉斯变换？什么是拉普拉斯反变换？
什么是原函数？
什么是象函数？
二者之间的关系如何？
已知原函数求象函数的过程称为拉普拉斯变换；而已知象函数求原函数的过程称为拉普拉斯反变换。
原函数是时域函数，
一般用小写字母表示，
象函数是复频域函数，
用相应的大写字母表示。
原函数的拉氏变换为象函数；象函数的拉氏反变换得到的是原函数。
12.2 拉普拉斯变换的基本性质学习目标,了解拉氏变换的线性性质，微分性质和积分性质，运用这些性质进行拉氏变换的形式。
拉普拉斯变换有许多重要的性质，利用这些性质可以很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。
1.代数性质则函数，和的象函数分别为和设函数 )()()()( 2121 sFsFtftf
的象函数为：)()()( 21 tBftAftf
上式中的 A和 B为任意常数 (实数或复数 )。这一性质可以直接利用拉普拉斯变换的定义加以证明。
),()()( 21 sBFsAFsF
的象函数。和求 ttfttf c o s)(s i n)( 21
可得：根据欧拉公式,tjte tj s i nc o s
,2s i n jeet
tjtj
2c o s
tjtj ee
t
1][ jseL tj由前面例题得出
1][ - jseL tj
22222
1)11(
2
1][ s i n
ss
jsjs
jjsjsjtL故
22)
11(
2
1][ c o s
s
s
jsjstL同理：
2.微分性质的拉氏变换为的导数则如果 dt tdftftfsFtfL )()(')(),()]([
)0()(])([)]('[ fssFdt tdfLtfL
)0()(
)()0(
))(()(
)(']
)(
[
0
0 0
0
fssF
dtetfsf
dtsetfetf
dtetf
dt
dtdf
L
st
stst
st
可以证明：
)()]('[ ssFtfL?
导数性质表明拉氏变换把原函数求导数的运算转换成象函数乘以 s后减初值的代数运算。如果 f(0-)=0，则有,
3.微分性质 (可参看课本 172页下至 173页上 )
课本 173页的表 12.1为一些常用函数的拉普拉斯变换表，
在解题时可直接套用。
拉普拉斯变换的主要性质有线性性质、微分性质。积分性质、延迟性质、频移性质等，由课本 P173页表 12.1表示了这些性质的具体应用。
拉普拉斯变换有哪些性质？
利用拉普拉斯变换的性质，对解决问题有何种效益？
利用拉普拉斯变换的性质可以很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程，利用这些性质课本表 12.1中给出了一些常用的时间函数的拉氏变换。
12.3 拉普拉斯反变换学习目标,了解拉氏反变换解决问题的方法，熟悉拉氏反变换中的分解定理，学会查表求原函数。
利用拉普拉斯反变换进行系统分析时，常常需要从象函数 F(s)中求出原函数 f(t)，这就要用到拉氏反变换。
分解定理,利用拉氏变换表，将象函数 F(s)展开为简单分式之和，再逐项求出其拉氏反变换的方法。
nn
nn
mm
mm
bsbsbsb
asasasa
sF
sFsF
1
1
10
1
1
10
2
1
)(
)()(
其中 m和 n为正整数，且 n≥m。
把 F(s)分解成若干简单项之和，需要对分母多项式作因式分解，求出 F2(s)的根。 F2(s)的根可以是单根、共轭复根和重根 3种情况，下面逐一讨论。
n
n
2
2
1
1)(
ps
k
ps
k
ps
ksF
n
n
2
2
111 )()()( ps
k
ps
kpsksFps?
1)]()[( 11 pssFpsk
2)]()[( 22 pssFpsk
npsnn sFpsk )]()[(
1,F2(s)＝０有 n个单根同理可得设 n个单根分别为 p1,p2,…,pn，于是 F2(s)可以展开为式中 k1,k2,k3…,kn为待定系数。这些系数可以按下述方法确定，即把上式两边同乘以 (s-p1)，得
……
令 s=p1，则等式除右边第一项外其余都变为零，即可求得
ipsii sFpsk )]()[(
)('
)(
)('
)()(')(lim
)(
))((lim
2
1
2
11
2
1
i
ii
ps
i
psi pF
pF
sF
sFsFps
sF
pssFk
ii
ni
sF
sFK
ips
i,，，,? 3 2 1 )('
)(
2
1
tpntptp nekekeksFLtf21 211 )]([)(
所求待定系数 ki为：
ni,,3,2,1上式中,
另外把分部展开公式两边同乘 以 (s-pi),再令 s→ pi,然后引用数学中的罗比塔法则，可得：
这样我们又可得到另一求解 ki的公式为：
待定系数确定之后，对应的原函数求解公式为,
。的原函数求 )(65 54)( 2 tfss ssF
52s)('6554 2221 sFssFsF,，因为：
，代入公式可得：，的根为又由于 320)( 212 ppsF
352 54)(' )(
22
1
1
1
sps s
s
sF
sFk
752 54)(' )(
32
1
2
2
sps s
s
sF
sFk
3
7
2
3)(
sssF得象函数为
tt eetf 32 73)(得原函数为
jsjs sF
sFk
sF
sFk
-2
1
2
2
1
1 )('
)(
)('
)(
,
2,F2(s)＝０有共轭复根设共轭复根为 p1=α +jω,p2=α -jω,则显然 k1,k2也为共轭复数，设 k1=|k1| ejθ1,k2=|k1|e-jθ1，则
)c o s (2
][
)(
11
)()(
1
)(
1
)(
1
)(
2
)(
1
11
11
tek
eeek
eekeek
ekektf
t
tjtjt
tjjtjj
tjtj
为共轭复根，所以时,210)( 212 jpsF
)6.262c o s (12.1)c o s (2)( 11 tetektf tt
。的原函数求 )(
52
)( 2 tf
ss
ssF
6.26
212
1
1 56.025.05.022)('
)(
1
j
jsps
ej
s
s
sF
sFk
6.26
12 56.0
1 jj eekk
|k1| =0.56,α =-1,ω =2,θ 1=26.6°,所以 原函数为
3,F2(s)＝０具有重根设 p1为 F2(s)的重根,pi为其余单根 (i从 2开始 )，则 F(s)
可分解为：
对于单根，仍然采用前面的方法计算。要确定 k11、
k12，则需用下式：
2
2
2
1
11
1
12
)(
)( ps k
ps
k
ps
ksF
2
22
111121
2
1 )()()()( ps
kpskkpssFps
1
)()( 2111 pssFpsk
1)]()[(
2
112 pssFpsds
dk
由上式把 k11单独分离出来，可得：
再对式子中 s进行一次求导，让 k12也单独分离出来，得：
如果 F2(s)＝０具有多重根时，利用上述方法可以得到各系数，即：
1
])()[(
)!1(
1
11
1
1 ps
q
q
q
q sFpsds
d
q
k
参看课本 P175页例题 12.6。
在求拉氏反变换的过程中，出现单根、
共轭复根和重根时如何处理？
12.4 应用拉氏变换分析线性电路学习目标,熟悉基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳，掌握应用拉氏变换分析线性电路的方法。
时域条件下电阻电路有 uR=RiR，把该式进行拉氏变换可得到电阻元件上的电压、电流复频域关系式为：
1.电阻元件的运算电路时域的电阻电路
12.4.1 单一参数的运算电路
+ )(sUR
)(sIR
－+ )(tu
R
)(tiR
－
复频域的电阻运算电路同样成立。显然欧姆定律在复频域 )()( sRIsU RR?
时域条件下电感电路 u,i关系：2.电感元件的运算电路
)0()(
1
)(
L
-0 LL
L
L
iuLi
dt
di
Ltu
t
)(L ti
时域的电感电路
+ )(L tu －
L
+ )(
L sU
)(L sI
－
复频域 的电感运算电路 1
sL )0(L?Li +-
复频域 的电感运算电路 2
)(L sU
)(L sI
si )0(L?
+ -
sL
1
对时域条件下电感电路 u,i关系式进行拉氏变换后可得：
)0()()( LLL Liss L IsU
s
isU
sLsI
)0()(1)( L
LL
由此得复频域运算电路：
运算阻抗运算导纳相应附加电流源相应附加电压源时域条件下电容电路 u,i关系：3.电容元件的运算电路
)0()(
1
)(
C
-0 CC
C
C
uiCu
dt
du
Cti
t
对时域条件下电容电路 u,i关系式进行拉氏变换后可得：
)0()()( CCC Cuss C UsI
s
usI
sCsU
)0()(1)( C
CC
由此得电容运算电路：
运算阻抗运算导纳相应附加电流源相应附加电压源时域的电容电路
+ )(C tu －
C)(C ti
+ )(
C sU
)(C sI
－
复频域 的电容运算电路 1
+- s
u )0(C?sC1
+ -
sC
)0(C?Cu
复频域 的电容运算电路 2
)(C sU
)(C sI
+ -
12.4.2 耦合电感的运算电路时域的耦合电感电路
L1
*
L2
i1
u1
－
M
* i2＋
u2
－
＋
时域条件下耦合电感电路 u,i关系：
dt
diM
dt
diLu 21
11 dt
diM
dt
diLu 12
22
对时域的耦合电感电路 u,i关系式进行拉氏变换后可得：
)0()0()()()( 2112111 MiiLssM IsIsLsU
得耦合电感运算电路附加电压源
)0()0()()()( 1221222 MiiLss M IsIsLsU
sL1
*
sL2
I1(s)
U1(s)
－
sM
*
I2(s)
＋
U2(s)
－
＋
)0(22?iL+
-
+
-
-
+
-
+
)0(11?iL
)0(2?Mi )0(1?Mi
12.4.3 应用拉氏变换分析线性电路拉氏变换分析法是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为 复频 域的代数方程，
更加方便于运算和求解；变换自动包含初始状态，既可分别求得零输入响应、零状态响应，也可同时求得系统的全响应。
应用拉氏变换求解电路的一般步骤如下：
1.确定和计算各储能元件的初始条件；
2.将 t≥0时的时域电路变换为相应的运算电路 ；
3.用以前学过的任何一种方法分析运算电路，求出待求响应的象函数；
4.对待求响应的象函数进行拉氏反变换，即可确定时域中的待求响应。
A51110)0(Li
求下图所示电路在 t≥0时各支路上的电流响应。 (设开关闭合以前电路已达稳态 )
ik
S
(t=0)
例题 电路图
1Ω
10V
－
＋
uC－＋
1Ω 1Ω
1F
iC
iL
1H
Ik(s)
例题 运算电路图
10s
－
＋
－
＋1
1
IC(s)
IL(s)
5s
s
－
＋
－
＋
5s
s1
首先确定动态元件的初始条件
V5151)0()0( LC iu
1
510
)1(
510
1
510
)(L
ssss ssssI
由此可得出相应运算电路如图示：
1
5
1
510
11
510
)(C
s
s
s
s
s
sssI
根据运算电路求两支路电流的象函数对运算电路上结点列 KCL可得：
sssssIsIsI
10
1
5
1
510)()()(
CLk
A10)(
A5)(
A510)(
L
C
L
ti
eti
eti
t
t
Ik(s)
例题 运算电路图
10s
－
＋
－
＋1
1
IC(s)
IL(s)
5s
s
－
＋
－
＋
5s
s1再对各支路电流进行拉氏反变换
V)]2(2)1()([)(S ttttu求下图所示电路的 iL(t)。已知例题 电路图
5H
－
＋
us(t)
1Ω
5Ω
画出 ε(t)作用下的运算电路并求解根据运算电路求出 1/s作用下运算电路的响应。
5S
－
＋
1
5
ε (t)作用下的运算电路
1s
5S
－
＋
1
5
ε (t)作用下的运算电路
1s
对运算电路求 1/s作用下的响应：
，有，，可求得令 61 00)( 212 ppsF
应用叠加原理可得电路响应为：
)61(
1
55
5
)305(
55
55
5
55
25
1
1
)(
L
sssss
s
s
s
s
s
sI
1
121
1
) ] '([
)(
1
121
1
')(
)(
121')(
6
1
6
1
2
1
2
002
1
1
2
ss
ss
ssF
sF
k
ssF
sF
k
ssF
A)()1()( 6L teti
t
运算响应为：
A)]2()1(2)1(
)1()()1[()(
6
2
6
1
6
L
tet
eteti
t
t
t
A
1.对单个正弦半波，能否求出其拉氏变换？
2,对零状态线性电路进行复频域分析时，能否用叠加原理？若为非零状态，即运算电路中存在附加电源时
，能否用叠加原理？
单个正弦半波是线性时变函数，不在拉氏变换的范畴，因此无法求出其拉氏变换。
零状态线性电路的复频域分析中，不需要应用叠加定理。若电路为非零状态时，可应用叠加定理：即先求出零状态响应，再求出零输入响应，将二者叠加后可得到全响应。
12.2 拉普拉斯变换的基本性质
12.3 拉普拉斯反变换
12.4 应用拉普拉斯变换分析线性电路
12.1 拉普拉斯变换的定义了解拉普拉斯变换的定义和基本性质。在熟悉基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳的基础上，
掌握拉普拉斯变换法分析和研究线性电路的方法和步骤；在求拉氏反变换时，要求掌握分解定理及其应用。
本章教学目的及要求
12.1 拉普拉斯变换的定义学习目标,了解拉普拉斯变换的定义，理解原函数、
象函数的概念。
在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法，拉普拉斯变换 (简称拉氏变换 )就是其中的一种。
拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。用拉普拉斯变换分析综合线性系统 (如线性电路 )
的运动过程，在工程上有着广泛的应用。
拉普拉斯变换可将时域函数 f(t)变换为频域函数 F(s)。
只要 f(t)在区间 [0,∞]有定义，则有
0 )()( dtetfsF st
0 )()( dtetfsF st上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的 e-st
称为 收敛因子,收敛因子中的 s=c+jω是一个复数形式的频率，称为 复频率,其实部恒为正，虚部即可为正、为负，也可为零。上式左边的 F(s)称为复频域函数,是 时域函数 f(t)的拉氏变换,F(s)也叫做 f(t)的 象函数 。记作 )]([)( tfLsF?
式中 L[ ]是一个算子，表示对括号内的函数进行拉氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般均为时间的函数，因此其拉氏变换都是存在的。
如果复频域函数 F(s) 已知，要求出与它对应的时域函数 f(t),又要用到拉氏反变换，即：
jj ts dtesFjtf )(2 1)(
该式左边的 f(t) 在这里称为 F(s)的 原函数,此式表明：如果时域函数 f(t)已知，通过拉氏反变换，又可得到它的象函数 F(s)，记作：
)]([)( 1 sFLtf
式中 L-1[ ]也是一个算子，表示对括号内的象函数进行拉氏反变换。
在拉氏变换中，一个时域函数 f(t)惟一地对应一个复频域函数 F(s)；反过来，一个复频域函数 F(s)惟一地对应一个时域函数 f(t)，即 不同的原函数和不同的象函数之间有着一一对应的关系,称为 拉氏变换的惟一性 。
注意 在拉氏变换或反变换的过程中,原函数一律用小写字母表示,而 象函数则一律用相应的大写字母表示。 如电压原函数为 u(t)，对应象函数为 U(s)。
dtedteeeL tssttt 0 )( 0 ][
求指数函数 f(t)=e－ αt,f(t)=eαt (α≥ 0,α 是常数 )的拉普拉斯变换。
由拉氏变换定义式可得此积分在 s>α 时收敛，有：
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tst 1][
0
)(
sdteeL
tst 1][
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同理可得 f(t)=eαt的 拉氏变换为：
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ststst 11)()]([)(
0
0
0
求单位阶跃函数 f(t)=ε(t)、单位冲激函数 f(t)=δ(t)、
正弦函数 f(t)=sinωt的象函数。
由拉氏变换定义式可得单位阶跃函数的象函数为同理，单位冲激函数的象函数为
1)()()]([)( )0(0 0 0 sstst edtetdtettLsF
22
0
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0
)c o ss i n(
s i n][ s i n)(
sttss
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dttetLsF
st
st
正弦函数 sin ωt的象函数为：
什么是拉普拉斯变换？什么是拉普拉斯反变换？
什么是原函数？
什么是象函数？
二者之间的关系如何？
已知原函数求象函数的过程称为拉普拉斯变换；而已知象函数求原函数的过程称为拉普拉斯反变换。
原函数是时域函数，
一般用小写字母表示，
象函数是复频域函数，
用相应的大写字母表示。
原函数的拉氏变换为象函数；象函数的拉氏反变换得到的是原函数。
12.2 拉普拉斯变换的基本性质学习目标,了解拉氏变换的线性性质，微分性质和积分性质，运用这些性质进行拉氏变换的形式。
拉普拉斯变换有许多重要的性质，利用这些性质可以很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。
1.代数性质则函数，和的象函数分别为和设函数 )()()()( 2121 sFsFtftf
的象函数为：)()()( 21 tBftAftf
上式中的 A和 B为任意常数 (实数或复数 )。这一性质可以直接利用拉普拉斯变换的定义加以证明。
),()()( 21 sBFsAFsF
的象函数。和求 ttfttf c o s)(s i n)( 21
可得：根据欧拉公式,tjte tj s i nc o s
,2s i n jeet
tjtj
2c o s
tjtj ee
t
1][ jseL tj由前面例题得出
1][ - jseL tj
22222
1)11(
2
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jjsjsjtL故
22)
11(
2
1][ c o s
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jsjstL同理：
2.微分性质的拉氏变换为的导数则如果 dt tdftftfsFtfL )()(')(),()]([
)0()(])([)]('[ fssFdt tdfLtfL
)0()(
)()0(
))(()(
)(']
)(
[
0
0 0
0
fssF
dtetfsf
dtsetfetf
dtetf
dt
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L
st
stst
st
可以证明：
)()]('[ ssFtfL?
导数性质表明拉氏变换把原函数求导数的运算转换成象函数乘以 s后减初值的代数运算。如果 f(0-)=0，则有,
3.微分性质 (可参看课本 172页下至 173页上 )
课本 173页的表 12.1为一些常用函数的拉普拉斯变换表，
在解题时可直接套用。
拉普拉斯变换的主要性质有线性性质、微分性质。积分性质、延迟性质、频移性质等，由课本 P173页表 12.1表示了这些性质的具体应用。
拉普拉斯变换有哪些性质？
利用拉普拉斯变换的性质，对解决问题有何种效益？
利用拉普拉斯变换的性质可以很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程，利用这些性质课本表 12.1中给出了一些常用的时间函数的拉氏变换。
12.3 拉普拉斯反变换学习目标,了解拉氏反变换解决问题的方法，熟悉拉氏反变换中的分解定理，学会查表求原函数。
利用拉普拉斯反变换进行系统分析时，常常需要从象函数 F(s)中求出原函数 f(t)，这就要用到拉氏反变换。
分解定理,利用拉氏变换表，将象函数 F(s)展开为简单分式之和，再逐项求出其拉氏反变换的方法。
nn
nn
mm
mm
bsbsbsb
asasasa
sF
sFsF
1
1
10
1
1
10
2
1
)(
)()(
其中 m和 n为正整数，且 n≥m。
把 F(s)分解成若干简单项之和，需要对分母多项式作因式分解，求出 F2(s)的根。 F2(s)的根可以是单根、共轭复根和重根 3种情况，下面逐一讨论。
n
n
2
2
1
1)(
ps
k
ps
k
ps
ksF
n
n
2
2
111 )()()( ps
k
ps
kpsksFps?
1)]()[( 11 pssFpsk
2)]()[( 22 pssFpsk
npsnn sFpsk )]()[(
1,F2(s)＝０有 n个单根同理可得设 n个单根分别为 p1,p2,…,pn，于是 F2(s)可以展开为式中 k1,k2,k3…,kn为待定系数。这些系数可以按下述方法确定，即把上式两边同乘以 (s-p1)，得
……
令 s=p1，则等式除右边第一项外其余都变为零，即可求得
ipsii sFpsk )]()[(
)('
)(
)('
)()(')(lim
)(
))((lim
2
1
2
11
2
1
i
ii
ps
i
psi pF
pF
sF
sFsFps
sF
pssFk
ii
ni
sF
sFK
ips
i,，，,? 3 2 1 )('
)(
2
1
tpntptp nekekeksFLtf21 211 )]([)(
所求待定系数 ki为：
ni,,3,2,1上式中,
另外把分部展开公式两边同乘 以 (s-pi),再令 s→ pi,然后引用数学中的罗比塔法则，可得：
这样我们又可得到另一求解 ki的公式为：
待定系数确定之后，对应的原函数求解公式为,
。的原函数求 )(65 54)( 2 tfss ssF
52s)('6554 2221 sFssFsF,，因为：
，代入公式可得：，的根为又由于 320)( 212 ppsF
352 54)(' )(
22
1
1
1
sps s
s
sF
sFk
752 54)(' )(
32
1
2
2
sps s
s
sF
sFk
3
7
2
3)(
sssF得象函数为
tt eetf 32 73)(得原函数为
jsjs sF
sFk
sF
sFk
-2
1
2
2
1
1 )('
)(
)('
)(
,
2,F2(s)＝０有共轭复根设共轭复根为 p1=α +jω,p2=α -jω,则显然 k1,k2也为共轭复数，设 k1=|k1| ejθ1,k2=|k1|e-jθ1，则
)c o s (2
][
)(
11
)()(
1
)(
1
)(
1
)(
2
)(
1
11
11
tek
eeek
eekeek
ekektf
t
tjtjt
tjjtjj
tjtj
为共轭复根，所以时,210)( 212 jpsF
)6.262c o s (12.1)c o s (2)( 11 tetektf tt
。的原函数求 )(
52
)( 2 tf
ss
ssF
6.26
212
1
1 56.025.05.022)('
)(
1
j
jsps
ej
s
s
sF
sFk
6.26
12 56.0
1 jj eekk
|k1| =0.56,α =-1,ω =2,θ 1=26.6°,所以 原函数为
3,F2(s)＝０具有重根设 p1为 F2(s)的重根,pi为其余单根 (i从 2开始 )，则 F(s)
可分解为：
对于单根，仍然采用前面的方法计算。要确定 k11、
k12，则需用下式：
2
2
2
1
11
1
12
)(
)( ps k
ps
k
ps
ksF
2
22
111121
2
1 )()()()( ps
kpskkpssFps
1
)()( 2111 pssFpsk
1)]()[(
2
112 pssFpsds
dk
由上式把 k11单独分离出来，可得：
再对式子中 s进行一次求导，让 k12也单独分离出来，得：
如果 F2(s)＝０具有多重根时，利用上述方法可以得到各系数，即：
1
])()[(
)!1(
1
11
1
1 ps
q
q
q
q sFpsds
d
q
k
参看课本 P175页例题 12.6。
在求拉氏反变换的过程中，出现单根、
共轭复根和重根时如何处理？
12.4 应用拉氏变换分析线性电路学习目标,熟悉基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳，掌握应用拉氏变换分析线性电路的方法。
时域条件下电阻电路有 uR=RiR，把该式进行拉氏变换可得到电阻元件上的电压、电流复频域关系式为：
1.电阻元件的运算电路时域的电阻电路
12.4.1 单一参数的运算电路
+ )(sUR
)(sIR
－+ )(tu
R
)(tiR
－
复频域的电阻运算电路同样成立。显然欧姆定律在复频域 )()( sRIsU RR?
时域条件下电感电路 u,i关系：2.电感元件的运算电路
)0()(
1
)(
L
-0 LL
L
L
iuLi
dt
di
Ltu
t
)(L ti
时域的电感电路
+ )(L tu －
L
+ )(
L sU
)(L sI
－
复频域 的电感运算电路 1
sL )0(L?Li +-
复频域 的电感运算电路 2
)(L sU
)(L sI
si )0(L?
+ -
sL
1
对时域条件下电感电路 u,i关系式进行拉氏变换后可得：
)0()()( LLL Liss L IsU
s
isU
sLsI
)0()(1)( L
LL
由此得复频域运算电路：
运算阻抗运算导纳相应附加电流源相应附加电压源时域条件下电容电路 u,i关系：3.电容元件的运算电路
)0()(
1
)(
C
-0 CC
C
C
uiCu
dt
du
Cti
t
对时域条件下电容电路 u,i关系式进行拉氏变换后可得：
)0()()( CCC Cuss C UsI
s
usI
sCsU
)0()(1)( C
CC
由此得电容运算电路：
运算阻抗运算导纳相应附加电流源相应附加电压源时域的电容电路
+ )(C tu －
C)(C ti
+ )(
C sU
)(C sI
－
复频域 的电容运算电路 1
+- s
u )0(C?sC1
+ -
sC
)0(C?Cu
复频域 的电容运算电路 2
)(C sU
)(C sI
+ -
12.4.2 耦合电感的运算电路时域的耦合电感电路
L1
*
L2
i1
u1
－
M
* i2＋
u2
－
＋
时域条件下耦合电感电路 u,i关系：
dt
diM
dt
diLu 21
11 dt
diM
dt
diLu 12
22
对时域的耦合电感电路 u,i关系式进行拉氏变换后可得：
)0()0()()()( 2112111 MiiLssM IsIsLsU
得耦合电感运算电路附加电压源
)0()0()()()( 1221222 MiiLss M IsIsLsU
sL1
*
sL2
I1(s)
U1(s)
－
sM
*
I2(s)
＋
U2(s)
－
＋
)0(22?iL+
-
+
-
-
+
-
+
)0(11?iL
)0(2?Mi )0(1?Mi
12.4.3 应用拉氏变换分析线性电路拉氏变换分析法是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为 复频 域的代数方程，
更加方便于运算和求解；变换自动包含初始状态，既可分别求得零输入响应、零状态响应，也可同时求得系统的全响应。
应用拉氏变换求解电路的一般步骤如下：
1.确定和计算各储能元件的初始条件；
2.将 t≥0时的时域电路变换为相应的运算电路 ；
3.用以前学过的任何一种方法分析运算电路，求出待求响应的象函数；
4.对待求响应的象函数进行拉氏反变换，即可确定时域中的待求响应。
A51110)0(Li
求下图所示电路在 t≥0时各支路上的电流响应。 (设开关闭合以前电路已达稳态 )
ik
S
(t=0)
例题 电路图
1Ω
10V
－
＋
uC－＋
1Ω 1Ω
1F
iC
iL
1H
Ik(s)
例题 运算电路图
10s
－
＋
－
＋1
1
IC(s)
IL(s)
5s
s
－
＋
－
＋
5s
s1
首先确定动态元件的初始条件
V5151)0()0( LC iu
1
510
)1(
510
1
510
)(L
ssss ssssI
由此可得出相应运算电路如图示：
1
5
1
510
11
510
)(C
s
s
s
s
s
sssI
根据运算电路求两支路电流的象函数对运算电路上结点列 KCL可得：
sssssIsIsI
10
1
5
1
510)()()(
CLk
A10)(
A5)(
A510)(
L
C
L
ti
eti
eti
t
t
Ik(s)
例题 运算电路图
10s
－
＋
－
＋1
1
IC(s)
IL(s)
5s
s
－
＋
－
＋
5s
s1再对各支路电流进行拉氏反变换
V)]2(2)1()([)(S ttttu求下图所示电路的 iL(t)。已知例题 电路图
5H
－
＋
us(t)
1Ω
5Ω
画出 ε(t)作用下的运算电路并求解根据运算电路求出 1/s作用下运算电路的响应。
5S
－
＋
1
5
ε (t)作用下的运算电路
1s
5S
－
＋
1
5
ε (t)作用下的运算电路
1s
对运算电路求 1/s作用下的响应：
，有，，可求得令 61 00)( 212 ppsF
应用叠加原理可得电路响应为：
)61(
1
55
5
)305(
55
55
5
55
25
1
1
)(
L
sssss
s
s
s
s
s
sI
1
121
1
) ] '([
)(
1
121
1
')(
)(
121')(
6
1
6
1
2
1
2
002
1
1
2
ss
ss
ssF
sF
k
ssF
sF
k
ssF
A)()1()( 6L teti
t
运算响应为：
A)]2()1(2)1(
)1()()1[()(
6
2
6
1
6
L
tet
eteti
t
t
t
A
1.对单个正弦半波，能否求出其拉氏变换？
2,对零状态线性电路进行复频域分析时，能否用叠加原理？若为非零状态，即运算电路中存在附加电源时
，能否用叠加原理？
单个正弦半波是线性时变函数，不在拉氏变换的范畴，因此无法求出其拉氏变换。
零状态线性电路的复频域分析中，不需要应用叠加定理。若电路为非零状态时，可应用叠加定理：即先求出零状态响应，再求出零输入响应，将二者叠加后可得到全响应。
