第 3章 单相正弦交流电路的基本知识
3.2 正弦量的有效值
3.1 正弦交流电路的基本概念
3.3 交流电路中的常用元件本章学习目的及要求正弦交流电路的基本理论和基本分析方法是学习电路分析的重要内容之一，应很好掌握。通过本章的学习，要求理解正弦交流电的基本概念；熟悉正弦交流电的表示方法；深刻理解相量的概念，牢固掌握单一参数及非单一参数的一般正弦交流电路的分析与计算方法。
3.1 正弦交流电路的基本概念前面两章所接触到的电压和电流均为稳恒直流电，其大小和方向均不随时间变化，称为稳恒直流电，简称直流电。直流电的波形图如下图所示：
u,i
t0
电子通讯技术中通常接触到电压和电流，通常其大小随时间变化，方向不随时间变化，称为脉动直流电，如图所示。
电压或电流的大小和方向均随时间变化时，称为交流电，最常见的交流电是随时间按正弦规律变化正弦电压和正弦电流。表达式为：
)s i n ( um tUu
)s i n ( im tIi
u,i
t0
3.1.1 正弦量的三要素
1,正弦交流电的周期、频率和角频率角频率 ω,正弦量单位时间内变化的弧度数。
角频率与周期及频率的关系：
f
T
22
周期 T,正弦量完整变化一周所需要的时间。
频率 f,正弦量在单位时间内变化的周数。
周期与频率的关系,
T
f
1
2,正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值
)s i n ()( im tIti
III
U
U
U
4 1 4.12
7 0 7.0
2
m
m
m
瞬时值 是以解析式表示的：
最大值 就是上式中的 Im,Im反映了正弦量 振荡的幅度 。
有效值 指 与交流电热效应相同的直流电数值 。
Ri
交流电 i 通过电阻 R时，在 t
时间内产生的热量为 Q
RI例直流电 I 通过相同电阻 R时，在
t 时间内产生的热量也为 Q
即：热效应相同的直流电流 I 称之为交流电流 i 的 有效值 。有效值可以确切地反映交流电的作功能力。
理论和实际都可以证明：
3,正弦交流电的相位、初相和相位差正弦量解析式中随时间变化的电角度 (ωt+φ )。
)s i n ( ),s i n ( imum tIitUu
iuiu tt )()(
相位,
t=0时的相位 φ，它确定了正弦量计时始的位置。初相,
两个同频率正弦量之间的相位之差。相位差,
例相位 初相
u,i 的相位差为：
显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的 初相之差。
I = UR
i = uR
3.3.1 电阻元件
3.3 交流电路中的常用元件
1,电阻元件上的电压、电流关系i
Ru
tUu?s i n2?
tItR URui s i ns i n2 m
电压、电流的瞬时值表达式为：
由两式可推出,电阻元件上电压,电流的相位上存在同相关系；数量上符合欧姆定律,即：
2,功率
)(s in2
)(s in2
tUu
tIi
tUIUI
tItUiup
2c o s
s i ns i n mm
（ 1）瞬时功率 p
瞬时功率用小写！
则结论,1,p随时间变化； 2,p≥0,为耗能元件。
u
i
p=UI-UIcos2?t
ω t
UI
－ UIcos2?t
uip
2.平均功率（有功功率） P (一个周期内的平均值 )
tUIUI
tItUiup
2c o s
s i ns i n mm
由,可得,P = UI
例 求：,220V,100W” 和,220V,40W” 灯泡的电阻？
平均功率用大写！
1 2 1 0
40
2 2 0
4 8 4
1 0 0
2 2 0
22
40
22
1 0 0
P
U
R
P
U
R
解,
显然，电阻负载在相同电压下工作，功率与其阻值成反比。
平均功率代表了电路实际消耗的功率，因此也称之为 有功功率 。
i
安 (A)
韦伯 (Wb)
亨利 (H)
N 自感系数
+
–
u
L= iN?
在图示 u,i,e 假定参考方向的前提下，当通过线圈的 磁通 或 i 发生 变化 时，线圈中产生感应电动势为,
L
+
–
u
i
–e
L
+
L 称为自感系数或电感。线圈匝数越多，电感越大；线圈单位电流中产生的磁通越大，电感也越大。
3.3.2 电感元件
1,自感系数和电磁感应
dt
diL
dt
dNe
L
i
u L
)90s i n (
c o s
)s i n(
Lm
m
m
L
tU
tLI
dt
tId
L
dt
di
Lu
2,电感元件上的电压、电流关系
tIi?s i n2?
设通过 L中的电流为：
则 L两端的电压为：
由式可推出 L上电压电流之间的相位上存在 90° 的正交关系，
且电压超前电流。
电压电流之间的数量关系,ULm=Imωt =ImXL
其中 XL是电感对正弦交流电流所呈现的电抗，简称感抗,单位和电阻一样，也是 欧姆 。
由于 L上 u,i 为动态关系，所以 L 是 动态元件dtdiLeu LL
电感元件上电压、电流的有效值关系为：
XL=2πf L=ωL,虽然式中感抗和电阻类似，等于元件上电压与电流的比值，但它与电阻有所不同，电阻反映了元件上耗能的电特性，而感抗则是表征了电感元件对正弦交流电流的阻碍作用，这种阻碍作用不消耗电能，只能推迟正弦交流电流通过电感元件的时间。
感抗与哪些因素有关？
XL与 频率 成 正比 ；与 电感量 L成 正比直流情况下感抗为多大？
I
UX L
L?
直流下频率 f =0，所以
XL=0。 L 相当于短路 。
3,电感元件的功率
u
tUu
tIi
c o s
s i n
LmL
m
tIU
tItUiup
2sin
sinc o s
L
mLmL
（ 1）瞬时功率 p
则
i p=ULIsin2?t
ω t
u i 同相,
吸收电能 ;
储存磁能 ;
p >0
u i 反相,
送出能量 ;
释放磁能 ;
p < 0
u i 同相,
吸收电能 ;
储存磁能 ;
p >0
u i 反相,
送出能量 ;
释放磁能 ;
p < 0
电感元件上只有能量交换而不耗能，为 储能元件结论：
p为正弦波，频率为 ui 的 2
倍；在一个周期内,L吸收的电能等于它释放的磁场能。
P = 0，电感元件不耗能
（ 2）平均功率（有功功率） P
问题与讨论 1,电源电压不变，当电路的频率变化时，
通过电感元件的电流发生变化吗？
无功功率 QL反映了电感元件与电源之间能量交换的规模。
（ 3） 无功功率 QL （单位为乏尔 Var）
2,能从字面上把无功功率理解为无用之功吗？
f 变化时 XL随之变化，导致电流 i 变化。
不能！
为了衡量电源与元件之间能量交换的规模，引入无功功率的概念。所谓无功功率，就是吸收电能转换成磁场能的那部分功率：
L
2
L
2
LL X
UXIIUQ
CuquqC 或
3.3.3 电容元件1,电容电路理论中的电容元件是实际电容器的理想化模型。如右下图所示，两块平行的金属极板就构成一个电容元件。在外电源的作用下，两个极板上能分别存贮等量的异性电荷形成电场，贮存电能。
+
－
US+q-qE
可见，电容元件是 是一种能聚集电荷，贮存电能的二端元件，当它两个极板间 电压为零时，电荷也为零 。 电容元件的储能本领可用电容量 C表示，即：
式中：电荷量 q的单位是库仑（ C）；电压 u的单位是伏特（ V）；电容量 C的单位为法拉（ F）。
单位换算,1F=106μ F=1012pF，
C
m
mCm X
UCUI
ic
u C
2,电容元件上的电压、电流关系
)90s i n(
c os
)s i n(
Cm
m
m
C
tI
tCU
dt
tUd
C
dt
du
Ci
tUu?s i n2?
若加在 C两端的电压为：
则 C上的充放电电流为：
C上 u,i 也为微分关系，
所以电容也是 动态元件dtduCdtdqiC
由电压、电流解析式可推出,电容元件上电流总是超前电压 90°
电角数量上存在着：
3,容抗的概念其中：
IC=U?C=U2πf C=U/XC
电容元件上电压、电流的有效值关系为：
容抗与哪些因素有关？
XC与 频率 成 反比 ；与 电容量 C成 反比,
因此频率越高电路中容抗越小，这被称作电容元件的通交作用，高频电路中电容元件相当于短路。直流情况下容抗为多大？
直流下频率 f =0，所以 XC=∞。我们说电容元件 相当于开路 。（隔直作用）
CfC
X
1
2
1
C
XC称为电容元件上的容抗，单位为欧姆 (Ω)。
容抗反映了电容元件对正弦交流电流的阻碍作用。
只有在 一定频率 下，电容元件的容抗才是 常数 。
4,电容元件的功率关系
i
tIi
tUu
c o s
s i n
CmC
m
tUI
tItU
iup
2s i n
c o ss i n
C
Cmm
C
（ 1）瞬时功率 p
则
u p=UICsin2?t
ω t
u i 同相,
电容充电 ;
建立电场 ;
p >0
u i 反相,
送出能量 ;
电容放电 ;
p < 0
u i 同相,
电容充电 ;
建立电场 ;
p >0
u i 反相,
送出能量 ;
电容放电 ;
p < 0
电容元件和电感元件相同，只有能量交换而不耗能，因此也是 储能元件。
结论：
p为正弦波，频率为 ui 的 2
倍；在一个周期内,C充电吸收的电能等于它放电发出的电能。
P = 0，电容元件不耗能
（ 2）平均功率（有功功率） P
为区别于有功功率，无功功率的单位定义为乏尔 (Var)
（ 3） 无功功率 QC
无功功率 QC反映了电容元件在充放电过程中与电源之间进行能量交换的规模。即：
CUXIUIQ?2C2CCC
问题与讨论 1,电容元件在直流、高频电路中如何？
2,电感元件和电容元件有什么异同？
直流时 C相当于开路，高频时 C相当于短路。
L和 C上都存在相位 正交关系,所不同的是 L上 电压超前电流,C上 电流超前电压,二者具有 对偶关系,L和 C都是储能元件 ； 直流情况下 C相当 开路 ； L相当于 短路 。
CUICuiCUIXUi m
C
）（；）（；）（；）（ 4 3 2 1
L
UI
L
ui
L
UI
X
Ui m
）（；）（；）（；）（ 4 3 2 1 L
想想 练练
1.电阻元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？判断下列表达式的正误。
R
ui
R
Ui
R
UI
R
Ui m ）（；）（；）（；）（ 4 3 2 1
2.纯电感元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？感抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。
3.纯电容元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？容抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。
0
。超前且,iu 90
。超前且 ui,90
电阻元件上电压与电流的相位同相，
电感元件上电压与电流的相位差感抗与频率成正比，直流情况下 f=0,L相当于短路；
高频情况下，由于感抗很大,L相当于开路。
高频情况下，由于容抗近似等于零,C相当于短路。
电容元件上电压与电流的相位差容抗与频率成反比，直流情况下 f=0,C相当于开路；
3.2 正弦量的有效值
3.1 正弦交流电路的基本概念
3.3 交流电路中的常用元件本章学习目的及要求正弦交流电路的基本理论和基本分析方法是学习电路分析的重要内容之一，应很好掌握。通过本章的学习，要求理解正弦交流电的基本概念；熟悉正弦交流电的表示方法；深刻理解相量的概念，牢固掌握单一参数及非单一参数的一般正弦交流电路的分析与计算方法。
3.1 正弦交流电路的基本概念前面两章所接触到的电压和电流均为稳恒直流电，其大小和方向均不随时间变化，称为稳恒直流电，简称直流电。直流电的波形图如下图所示：
u,i
t0
电子通讯技术中通常接触到电压和电流，通常其大小随时间变化，方向不随时间变化，称为脉动直流电，如图所示。
电压或电流的大小和方向均随时间变化时，称为交流电，最常见的交流电是随时间按正弦规律变化正弦电压和正弦电流。表达式为：
)s i n ( um tUu
)s i n ( im tIi
u,i
t0
3.1.1 正弦量的三要素
1,正弦交流电的周期、频率和角频率角频率 ω,正弦量单位时间内变化的弧度数。
角频率与周期及频率的关系：
f
T
22
周期 T,正弦量完整变化一周所需要的时间。
频率 f,正弦量在单位时间内变化的周数。
周期与频率的关系,
T
f
1
2,正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值
)s i n ()( im tIti
III
U
U
U
4 1 4.12
7 0 7.0
2
m
m
m
瞬时值 是以解析式表示的：
最大值 就是上式中的 Im,Im反映了正弦量 振荡的幅度 。
有效值 指 与交流电热效应相同的直流电数值 。
Ri
交流电 i 通过电阻 R时，在 t
时间内产生的热量为 Q
RI例直流电 I 通过相同电阻 R时，在
t 时间内产生的热量也为 Q
即：热效应相同的直流电流 I 称之为交流电流 i 的 有效值 。有效值可以确切地反映交流电的作功能力。
理论和实际都可以证明：
3,正弦交流电的相位、初相和相位差正弦量解析式中随时间变化的电角度 (ωt+φ )。
)s i n ( ),s i n ( imum tIitUu
iuiu tt )()(
相位,
t=0时的相位 φ，它确定了正弦量计时始的位置。初相,
两个同频率正弦量之间的相位之差。相位差,
例相位 初相
u,i 的相位差为：
显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的 初相之差。
I = UR
i = uR
3.3.1 电阻元件
3.3 交流电路中的常用元件
1,电阻元件上的电压、电流关系i
Ru
tUu?s i n2?
tItR URui s i ns i n2 m
电压、电流的瞬时值表达式为：
由两式可推出,电阻元件上电压,电流的相位上存在同相关系；数量上符合欧姆定律,即：
2,功率
)(s in2
)(s in2
tUu
tIi
tUIUI
tItUiup
2c o s
s i ns i n mm
（ 1）瞬时功率 p
瞬时功率用小写！
则结论,1,p随时间变化； 2,p≥0,为耗能元件。
u
i
p=UI-UIcos2?t
ω t
UI
－ UIcos2?t
uip
2.平均功率（有功功率） P (一个周期内的平均值 )
tUIUI
tItUiup
2c o s
s i ns i n mm
由,可得,P = UI
例 求：,220V,100W” 和,220V,40W” 灯泡的电阻？
平均功率用大写！
1 2 1 0
40
2 2 0
4 8 4
1 0 0
2 2 0
22
40
22
1 0 0
P
U
R
P
U
R
解,
显然，电阻负载在相同电压下工作，功率与其阻值成反比。
平均功率代表了电路实际消耗的功率，因此也称之为 有功功率 。
i
安 (A)
韦伯 (Wb)
亨利 (H)
N 自感系数
+
–
u
L= iN?
在图示 u,i,e 假定参考方向的前提下，当通过线圈的 磁通 或 i 发生 变化 时，线圈中产生感应电动势为,
L
+
–
u
i
–e
L
+
L 称为自感系数或电感。线圈匝数越多，电感越大；线圈单位电流中产生的磁通越大，电感也越大。
3.3.2 电感元件
1,自感系数和电磁感应
dt
diL
dt
dNe
L
i
u L
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c o s
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Lm
m
m
L
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L
dt
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Lu
2,电感元件上的电压、电流关系
tIi?s i n2?
设通过 L中的电流为：
则 L两端的电压为：
由式可推出 L上电压电流之间的相位上存在 90° 的正交关系，
且电压超前电流。
电压电流之间的数量关系,ULm=Imωt =ImXL
其中 XL是电感对正弦交流电流所呈现的电抗，简称感抗,单位和电阻一样，也是 欧姆 。
由于 L上 u,i 为动态关系，所以 L 是 动态元件dtdiLeu LL
电感元件上电压、电流的有效值关系为：
XL=2πf L=ωL,虽然式中感抗和电阻类似，等于元件上电压与电流的比值，但它与电阻有所不同，电阻反映了元件上耗能的电特性，而感抗则是表征了电感元件对正弦交流电流的阻碍作用，这种阻碍作用不消耗电能，只能推迟正弦交流电流通过电感元件的时间。
感抗与哪些因素有关？
XL与 频率 成 正比 ；与 电感量 L成 正比直流情况下感抗为多大？
I
UX L
L?
直流下频率 f =0，所以
XL=0。 L 相当于短路 。
3,电感元件的功率
u
tUu
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LmL
m
tIU
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2sin
sinc o s
L
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（ 1）瞬时功率 p
则
i p=ULIsin2?t
ω t
u i 同相,
吸收电能 ;
储存磁能 ;
p >0
u i 反相,
送出能量 ;
释放磁能 ;
p < 0
u i 同相,
吸收电能 ;
储存磁能 ;
p >0
u i 反相,
送出能量 ;
释放磁能 ;
p < 0
电感元件上只有能量交换而不耗能，为 储能元件结论：
p为正弦波，频率为 ui 的 2
倍；在一个周期内,L吸收的电能等于它释放的磁场能。
P = 0，电感元件不耗能
（ 2）平均功率（有功功率） P
问题与讨论 1,电源电压不变，当电路的频率变化时，
通过电感元件的电流发生变化吗？
无功功率 QL反映了电感元件与电源之间能量交换的规模。
（ 3） 无功功率 QL （单位为乏尔 Var）
2,能从字面上把无功功率理解为无用之功吗？
f 变化时 XL随之变化，导致电流 i 变化。
不能！
为了衡量电源与元件之间能量交换的规模，引入无功功率的概念。所谓无功功率，就是吸收电能转换成磁场能的那部分功率：
L
2
L
2
LL X
UXIIUQ
CuquqC 或
3.3.3 电容元件1,电容电路理论中的电容元件是实际电容器的理想化模型。如右下图所示，两块平行的金属极板就构成一个电容元件。在外电源的作用下，两个极板上能分别存贮等量的异性电荷形成电场，贮存电能。
+
－
US+q-qE
可见，电容元件是 是一种能聚集电荷，贮存电能的二端元件，当它两个极板间 电压为零时，电荷也为零 。 电容元件的储能本领可用电容量 C表示，即：
式中：电荷量 q的单位是库仑（ C）；电压 u的单位是伏特（ V）；电容量 C的单位为法拉（ F）。
单位换算,1F=106μ F=1012pF，
C
m
mCm X
UCUI
ic
u C
2,电容元件上的电压、电流关系
)90s i n(
c os
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Cm
m
m
C
tI
tCU
dt
tUd
C
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tUu?s i n2?
若加在 C两端的电压为：
则 C上的充放电电流为：
C上 u,i 也为微分关系，
所以电容也是 动态元件dtduCdtdqiC
由电压、电流解析式可推出,电容元件上电流总是超前电压 90°
电角数量上存在着：
3,容抗的概念其中：
IC=U?C=U2πf C=U/XC
电容元件上电压、电流的有效值关系为：
容抗与哪些因素有关？
XC与 频率 成 反比 ；与 电容量 C成 反比,
因此频率越高电路中容抗越小，这被称作电容元件的通交作用，高频电路中电容元件相当于短路。直流情况下容抗为多大？
直流下频率 f =0，所以 XC=∞。我们说电容元件 相当于开路 。（隔直作用）
CfC
X
1
2
1
C
XC称为电容元件上的容抗，单位为欧姆 (Ω)。
容抗反映了电容元件对正弦交流电流的阻碍作用。
只有在 一定频率 下，电容元件的容抗才是 常数 。
4,电容元件的功率关系
i
tIi
tUu
c o s
s i n
CmC
m
tUI
tItU
iup
2s i n
c o ss i n
C
Cmm
C
（ 1）瞬时功率 p
则
u p=UICsin2?t
ω t
u i 同相,
电容充电 ;
建立电场 ;
p >0
u i 反相,
送出能量 ;
电容放电 ;
p < 0
u i 同相,
电容充电 ;
建立电场 ;
p >0
u i 反相,
送出能量 ;
电容放电 ;
p < 0
电容元件和电感元件相同，只有能量交换而不耗能，因此也是 储能元件。
结论：
p为正弦波，频率为 ui 的 2
倍；在一个周期内,C充电吸收的电能等于它放电发出的电能。
P = 0，电容元件不耗能
（ 2）平均功率（有功功率） P
为区别于有功功率，无功功率的单位定义为乏尔 (Var)
（ 3） 无功功率 QC
无功功率 QC反映了电容元件在充放电过程中与电源之间进行能量交换的规模。即：
CUXIUIQ?2C2CCC
问题与讨论 1,电容元件在直流、高频电路中如何？
2,电感元件和电容元件有什么异同？
直流时 C相当于开路，高频时 C相当于短路。
L和 C上都存在相位 正交关系,所不同的是 L上 电压超前电流,C上 电流超前电压,二者具有 对偶关系,L和 C都是储能元件 ； 直流情况下 C相当 开路 ； L相当于 短路 。
CUICuiCUIXUi m
C
）（；）（；）（；）（ 4 3 2 1
L
UI
L
ui
L
UI
X
Ui m
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想想 练练
1.电阻元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？判断下列表达式的正误。
R
ui
R
Ui
R
UI
R
Ui m ）（；）（；）（；）（ 4 3 2 1
2.纯电感元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？感抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。
3.纯电容元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？容抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。
0
。超前且,iu 90
。超前且 ui,90
电阻元件上电压与电流的相位同相，
电感元件上电压与电流的相位差感抗与频率成正比，直流情况下 f=0,L相当于短路；
高频情况下，由于感抗很大,L相当于开路。
高频情况下，由于容抗近似等于零,C相当于短路。
电容元件上电压与电流的相位差容抗与频率成反比，直流情况下 f=0,C相当于开路；
