第 6章 互感耦合电路与变压器
6.5 全耦合变压器
6.2 互感电路的分析方法
6.1 互感的概念
6.3 空芯变压器
6.4 理想变压器本章教学目的及要求了解互感的含义，掌握具有互感的两个线圈中电压与电流之间的关系；理解同名端的意义，掌握互感线圈串联、
并联的计算及互感的等效；理解理想变压器的概念、掌握含有理想变压器电路的计算方法，理解全耦合变压器的特点，
熟悉全耦合变压器在电路中的分析处理方法。
6.1 互感的概念学习目标,了解互感现象，掌握具有互感的线圈两端电压的表示方法，了解耦合系数的含义，熟悉同名端与互感电压极性之间的关系。
6.1.1 互感现象两个相邻的闭合线圈 L1和 L2，若一个线圈中的电流发生变化时，在本线圈中引起的电磁感应现象称为自感，在相邻线圈中引起的电磁感应现象称为互感。
i1
ψ1
L1 L2在本线圈中相应产生的感应电压称为自感电压，用 uL表示；在相邻线圈中产生的感应电压称为互感电压，用 uM表示。
注脚中的 12是说明线圈 1的磁场在线圈 2中的作用。
uL1 uM2
ψ12
6.1.2 互感电压通过两线圈的电流是交变的电流，交变电流产生交变的磁场，当交变的磁链穿过线圈
L1和 L2时，引起的自感电压：
两线圈套在同一个芯子上，因此它们电流的磁场不仅穿过本线圈，还有相当一部分穿过相邻线圈，
因此这部分交变的磁链在相邻线圈中也必定引起互感现象，由互感现象产生的互感电压：
22L211L1,,dtdiLudtdiLu
dt
diMu
dt
diMu 2
M1
1
M2,
i1
ψ1
L1 L2
uL1 uM2
ψ12
i2
ψ2
ψ21
uL2uM1
i1
ψ1
L1 L2
uL1 uM2
ψ12
i2
ψ2
ψ21
uL2uM1
依据图中所示 参考方向 可列出两线圈端电压的相量表达式分别为：
M12L22
M21L11
XIjXIjU
XIjXIjU
自感电压总是与本线圈中通过的电流取关联参考方向，因此前面均取 正号 ；而互感电压前面的正、负号要依据两线圈电流的磁场是否一致。如上图所示两线圈电流产生的磁场方向一致，因此两线圈中的 磁场相互增强,这时它们产生的互感电压前面 取正号 ；若两线圈电流产生的 磁场相互消弱 时，它们产生的感应电压前面应 取负号 。
互感电压中的,M”称为 互感系数,单位和自感系数 L相同，都是亨利 [H]。由于两个线圈的互感属于相互作用，因此，对任意两个相邻的线圈总有：
2
21
1
12
1212 iiMMM
互感系数简称互感，其大小只与相邻两线圈的几何尺寸、线圈的匝数、相互位置及线圈所处位置媒质的磁导率有关。互感的大小反映了两相邻线圈之间相互感应的强弱程度。
i1
ψ1
L1 L2
uL1
uM2
ψ12
i2
ψ2ψ21
uL2
uM1
练习,写出右图所示两线圈端电压的解析式和相量表达式。
互感现象的应用和危害
互感现象在电工电子技术中有着广泛的应用，变压器就是互感现象应用的重要例子。
变压器一般由绕在同一铁芯上的两个匝数不同的线圈组成，当其中一个线圈中通上交流电时，另一线圈中就会感应出数值不同的感应电动势，输出不同的电压，从而达到变换电压的目的。利用这个原理，可以把十几伏特的低电压升高到几万甚至几十万伏特。如高压感应圈、电视机行输出变压器、电压、电流互感器等。
互感现象的主要危害：由于互感的存在，电子电路中许多电感性器件之间存在着不希望有的互感场干扰，这种干扰影响电路中信号的传输质量。
6.1.3 耦合系数和同名端两互感线圈之间电磁感应现象的强弱程度不仅与它们之间的互感系数有关，还与它们各自的自感系数有关，并且取决于两线圈之间磁链耦合的松紧程度。
我们把表征两线圈之间磁链耦合的松紧程度用 耦合系数,k” 来表示：
21 LL
Mk?
1.耦合系数通常一个线圈产生的磁通不能全部穿过另一个线圈，所以一般情况下耦合系数 k<1，若漏磁通很小且可忽略不计时,k=1；若两线圈之间无互感，则 M=0,
k=0。因此，耦合系数的变化范围,0 ≤k ≤ 1。
两互感线圈感应电压极性始终保持一致的端子称为同名端 。
电流同时由两线圈上的同名端流入 (或流出 )时，
两互感线圈的磁场相互增强；否则相互消弱。
2.同名端 为什么要引入同名端的概念？
实际应用中，电气设备中的线圈都是密封在壳体内，一般无法看到线圈的绕向，因此在电路图中常常也不采用将线圈绕向绘出的方法，通常采用“同名端标记”表示绕向一致的两相邻线圈的端子。如：
· ·
**
同名端的概念：
1
i1
1
1'
2
2'
· *
·
·
· i
2
2
判断下列线圈的同名端。
假设电流同时由 1和 2'流入，
两电流的磁场相互增强，因此可以判断,1和 2'是一 对同名端 ；
同理,2和 1'也是一对同名端。
判断下列线圈的同名端。
线圈的同名端必须两两确定
2' 3'1'
1 2 3 1和 2'同时流入电流产生的磁场方向一致是一对同名端；
2和 3'同时流入电流产生的磁场方向一致也是一对同名端；
*
Δ
3和 1'同时流入电流产生的磁场方向一致，同样也是一对同名端。
Δ
*
*
判断下图两线圈的同名端。已知在开关 S闭合时，线圈 2两端所接电压表的指针正偏。
开关 S闭合时,电流由零增大由 1流向 1'，由于线圈 2与线圈 1之间存在互感，所以
*
+
M
－
US
1 2
2'1'
+
－
V
S
正偏当线圈 1中的电流变化时，首先要在线圈 1中引起一个自感电压，这个自感电压的极性和线圈中的电流成关联方向（吸收电能、建立磁场）；
由于两个线圈之间存在互感，所以线圈 1中的电流变化必定在线圈 2中也要引起互感电压，这个互感电压正是电压表所指示的数值，因电压表正偏，所以互感电压的极性与电压表的极性相符，可以判断：
uL
－
＋
*
1和 2是一对同名端！
6.2 互感电路的分析方法学习目标,掌握互感线圈串联、并联时的处理方法
，熟练写出互感元件两端的电压表达式，了解互感线圈 T型等效的方法。
6.2.1 互感线圈的串联互感线圈 L1和 L2相串联时有两种情况,(1)一对异名端相联,另一对异名端与电路相接，这种连接方法称为顺接串联 (顺串 ），下左图所示；
L1 L2i *
uL1
M
* u
M2
uL2uM1
L1 L2i *
uL1
M
*u
M2
uL2uM1
(2)一对同名端相联,另一对同名端与电路相接，
其连接方法称为反接串联 (反串 )，下右图所示：
L1 L2i *
uL1
M
* u
M2
uL2uM1
L1 L2i *
uL1
M
*u
M2
uL2uM1
1,两线圈顺串时，电流同时由同名端流入（或流出 )，因此它们的磁场相互增强，自感电压和互感电压同方向，总电压为：
ILjIMLLj
IMjILjIMjILjUUU
顺
)2(
)( )(
21
2121
即两线圈顺串时等效电感量为,MLLL 2
21顺2,两线圈反串时，电流同时由异名端流入（或流出 )，因此它们的磁场相互消弱，自感电压和互感电压反方向，总电压为,
ILjIMLLjUUU 反 )2( 2121
即两线圈反串时等效电感量为,MLLL 2-
21反
* 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
4
反顺 LLM
互感的测量方法：
MLLL 2 21顺
MLLL 2 21反
6.2.2 互感线圈的并联
1,两 对同名端分别相联后并接在电路两端，称为 同侧相并,如下图所示；
L1 L2
i
*
u
M
*
i1 i2
根据图中电压、电流参考方向可得：
dt
diM
dt
diLu 21
1
i = i1 +i2
dt
diM
dt
diLu 12
2
t
iL
t
i
MLL
MLLu
d
d
d
d
2
)(
21
2
21
同
解得 u,i 关系为：
MLL
MLLL
221
2
21
同得同侧相并的等效电感量：
2,两对异名端分别相联后并接在电路两端，称为 异侧相并,如下图所示：
L1 L2
i
*
u
M
*i1
i2
根据图中电压、电流参考方向可得：
dt
diM
dt
diLu 21
1
i = i1 +i2
dt
diM
dt
diLu 12
2
t
iL
t
i
MLL
MLLu
d
d
d
d
2
)(
21
2
21
异
解得 u,i 关系为：
MLL
MLLL
221
2
21
异得异侧相并的等效电感量：
6.2.3 互感线圈的 T型等效
1,两个互感线圈只有一端相联，另一端与其它电路元件相联时，为了简化电路的分析计算，可根据耦合关系找出其无互感等效电路，称 去耦等效法 。
两线圈上电压分别为：
L1 L2
i1
u1
M
*
i2a
*
u2
b
c
d dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
将两式通过数学变换可得：
dt
iid
M
dt
di
MLu
dt
iid
M
dt
di
MLu
)(
)(
)(
)(
212
22
211
11
L1－ M
M
i1
u1
i2a
u2
b
c
d
L2－ M
由此可画出原电路的 T型等效电路如下图所示：
图中 3个电感元件相互之间是无互感的，它们的等效电感量分别为 L1-M,L2-
M和 M，由于它们连接成 T
型结构形式，因此称之为互感线圈的 T型去耦等效电路。
同理可推出两个异名端相联时的去耦等效电路为：
L1 L2
i1
u1
M
*
i2a
*
u2
b
c
d
L1+M
－ M
i1
u1
i2a
u2
b
c
d
L2+M
6.3 空芯变压器常用的实际变压器有空芯变压器和铁芯变压器两种类型。本节介绍的 空芯变压器,是 由两个具有互感的线圈绕在非铁磁材料制成的芯子上 所组成，其 耦合系数较小,属于松耦合。
变压器是利用电磁感应原理传输电能或电信号的器件。通常有一个初级线圈和一个次级线圈，初级线圈接电源，次级线圈接负载，能量可以通过磁场的耦合，由电源传递给负载。
因变压器是利用电磁感应原理而制成的，故可以用耦合电感来构成它的模型。这一模型常用于分析空芯变压器电路。
L1 L2
i1
uS
M
*
i21
*
u20
1'
2
2'
R2R1
左图所示为空芯变压器的电路模型。其中左端称为空芯变压器的初级回路，右端为空芯变压器的次级回路。
图中 uS为信号源电压,u20为次级回路的开路电压。
S111 )(
UILjR?
由图可列出空芯变压器的电压方程式为：
201
UIMj?
若次级回路接上负载 ZL，则回路方程为：
S2111 )(
UIMjILjR
ZL
0)]()[( 12L2L2 IMjIXXjRR?
jXL1 jXL2
jω M
*1 *
＋
1'
2
2'
R2R1
R+jX
I1
US
I2
－
)()( L2222
1L111
XXjRRZ
jXRZ
左图为空芯变压器的相量模型图，其中令：
MjZZ 2112
称为空芯变压器初、次级回路的 自阻抗 ；把称为空芯变压器回路的 互阻抗 。
01222
S2111
IMjIZ
UIMjIZ
由此可得空芯变压器的回路电压方程式：
01222
S2111
IMjIZ
UIMjIZ
联立方程式可得：
22
22
11
S
1
Z
M
Z
U
I
令式中
22
1
2
Z
IMjI
为次级对初级的 反射阻抗 。 反射阻
22
22
1r Z
MZ
抗 Z1r反映了空芯变压器次级回路通过互感对初级回路产生的影响。
另外 应注意,反射阻抗 Z1r的性质 总是与次级回路阻抗 Z22的 性质相反 。
引入反射阻抗的概念之后，次级回路对初级回路的影响就可以用反射阻抗来计算。这样，我们就可以得到如下图所示的由电源端看进去的空芯变压器的等效电路。当我们只需要求解初级电流时，可利用这一等效电路迅速求得结果。
jXL1
1
＋
1'
R1I1
US
－
Z22
ω 2M 2
反射阻抗的算法不难记忆：用 ω2M2除以次级回路的总阻抗 Z22即可。 注意,反射阻抗的概念不能用于次级回路含有独立源的空芯变压器电路！
例 已知 US=20 V,原边等效电路的引入阻抗 Z1r=10–j10?。
求,ZL 并求负载获得的有功功率。
8.92.0102.02.010
1010
4
1010
10j
4
L
L22
22
1r
jjjj
j
Z
j
ZZ
MωZ?
W1010)1010()1010( 20 21r211r ）（ jRIPP
W10104 204,
2
1
2
S
111r
*?
R
UPZZ 实际是最佳匹配：
* *
j10?
2?I
j10?
j2
+
–S
U
10?
ZL
+
–
S
U
10+j10?
Z1r=10–j10?
有功功率：
6.4 理想变压器
(1) 耦合系数 k=1，即为全耦合；
(2) 自感系数 L1,L2为无穷大，但 L1/L2为常数；
(3)无任何损耗，这意味着绕线圈的金属导线无任何电阻，做芯的铁磁材料的磁导率 μ无穷大。
理想变压器是铁芯变压器的理想化模型。
理想变压器的惟一参数就是一个称为 变比的常数
n，而不是 L1,L2和 M等参数，理想变压器满足以下 3
个理想条件：
6.4.1 理想变压器的条件理想变压器的电路模型,N1
*
N2
i1
u1
－
n:1
* i2＋
u2
－
＋
1,变压关系
6.4.2 理想变压器的主要性能理想变压器在图示参考方向下，其初级和次级端电压有效值之比为,U1/U2=N1/N2=n
N1
*
N2
i1
u1
－
n:1
* i2＋
u2
－
＋
N1
*
N2
i1
u1
－
n:1
*
i2＋
u2
＋
－ 左图示理想变压器的初级和次级端电压对同名端不一致，这时 u
1与 u
2相位 相差 180°,为反相关系。这点在列写回路方程时要注意。
2,变流关系理想变压器在变换电压的同时也在变换着电流，
其电流变换关系为：
I2/I1=N1/N2=n
2,变阻关系 理想变压器在正弦交流电路中还表现出变换阻抗的特性，如下图所示：
1nL
2
2
22
2
2
1
1 )(
/1
ZZn
I
Un
In
Un
I
U
*
1
I
1
U
n,1
＋
－
ZL
2
I
2
U
* ＋
－
1
I
+
–
1
U n
2ZL
式中的 Z1n是理想变压器次级对初级的折合阻抗 。
实际应用中，一定的电阻负载 ZL接在变压器次级，在变压器初级相当于接（ N1/N2)2ZL的电阻。如果改变理想变压器的变比，
折合阻抗 R1n也随之改变，因此利用改变变压器匝比来改变输入电阻，实现与电源的阻抗匹配，可使负载上获得最大功率。
N1
*
N2
i1
u1
－
n:1
* i2＋
u2
－
＋ 图示参考方向下，理想变压器的特性方程为：
L
2
1n2121 1 ZnZininuu,，
理想变压器的特性方程告诉我们它 具有变换电压、
变换电流和变换阻抗的性能 。由于其特性方程均为线性关系，又说明理想变压器本身无记忆作用，即它无储能本领。
0)(1 11112211 niuniuiuiup
理想变压器的耗能为零,说明理想变压器也不耗能。可见：
理想变压器的任一瞬间消耗的能量：
理想变压器在电路中既不耗能也不储能，只起对信号和能量的传递作用 。
思考 回答
1.理想变压器必须满足什么条件？
2.理想变压器具有什么性能？
3.下图中，若 n=4，则接多大的负载电阻可获得最大功率？
*
S?U
n,1
＋
－
80Ω
*
RL
80Ω
5.2440 2211L nRR
接 2.5Ω负载电阻时可获得最大功率。
6.5 全耦合变压器全耦合变压器比理想变压器更接近实际的铁芯变压器，也是实际铁芯变压器的另一种电路模型。
当实际的铁芯变压器损耗很小可以忽略，并且初级和次级之间不存在漏磁通，即耦合系数 k=1时，称为 全耦合变压器 。全耦合变压器显然满足理想变压器三个理想条件中的两条，全耦合变压器的初级、次级电感量 L1,L2及互感 M是 有限值,不象理想变压器那样为无穷大。
6.5.1 全耦合变压器的定义全耦合变压器与理想变压器一样具有变换电压、
变换电流和变换阻抗的特性。不同的是，全耦合变压器由于自感和互感为有限值，因此存在激磁电流。
6.5.2 全耦合变压器的等效电路左图所示是全耦合变压器的电路图，虚框内为全耦合变压器的 图符号 。
L1
*
L2
i1
uS
－
M
* i2＋
ZL
i0 *
L1
i1
uS
－
n,1
* i2＋
ZL
i1'
全耦合变压器的电感量为有限值，因此建立磁场需要激磁电流 i0，即电源需供给初级的电流,
i1=i0+i1'
i0
L1
i1
uS
－
＋
n2ZL
i2/n 把理想变压器的折合阻抗考虑进去，我们又可得到左图所示是全耦合变压器的电路模型图，这也是分析实际铁芯变压器常用的方法。
全耦合变压器的耦合系数 k=1，即 M2=L1L2，有：
6.5.3 全耦合变压器的变换系数
2
2
2
2
2
21
2
1
L
M
L
LL
L
L
根据自感和互感的定义：
2
221
2
211
2
222
2 i
N
i
NM
i
NL,
将自感和互感定义代入到上面式子中：
2
2
2
2
1
2
2
222
2
2
221
2
2
2
2
1
n
N
N
i
N
i
N
L
M
L
L
由上述推导可得全耦合变压器的变换系数为：
2
1
L
Ln?
思考 回答
1．具备什么条件的变压器是全耦合变压器？ 画出全耦合变压器的等效电路。
2．一个全耦合变压器的初级线圈并联一电容 C，次级线圈接电阻 RL，当初级线圈接理想电压源时电路处于谐振状态，若改变匝数比 n的值，电路是否仍然谐振？为什么？
6.5 全耦合变压器
6.2 互感电路的分析方法
6.1 互感的概念
6.3 空芯变压器
6.4 理想变压器本章教学目的及要求了解互感的含义，掌握具有互感的两个线圈中电压与电流之间的关系；理解同名端的意义，掌握互感线圈串联、
并联的计算及互感的等效；理解理想变压器的概念、掌握含有理想变压器电路的计算方法，理解全耦合变压器的特点，
熟悉全耦合变压器在电路中的分析处理方法。
6.1 互感的概念学习目标,了解互感现象，掌握具有互感的线圈两端电压的表示方法，了解耦合系数的含义，熟悉同名端与互感电压极性之间的关系。
6.1.1 互感现象两个相邻的闭合线圈 L1和 L2，若一个线圈中的电流发生变化时，在本线圈中引起的电磁感应现象称为自感，在相邻线圈中引起的电磁感应现象称为互感。
i1
ψ1
L1 L2在本线圈中相应产生的感应电压称为自感电压，用 uL表示；在相邻线圈中产生的感应电压称为互感电压，用 uM表示。
注脚中的 12是说明线圈 1的磁场在线圈 2中的作用。
uL1 uM2
ψ12
6.1.2 互感电压通过两线圈的电流是交变的电流，交变电流产生交变的磁场，当交变的磁链穿过线圈
L1和 L2时，引起的自感电压：
两线圈套在同一个芯子上，因此它们电流的磁场不仅穿过本线圈，还有相当一部分穿过相邻线圈，
因此这部分交变的磁链在相邻线圈中也必定引起互感现象，由互感现象产生的互感电压：
22L211L1,,dtdiLudtdiLu
dt
diMu
dt
diMu 2
M1
1
M2,
i1
ψ1
L1 L2
uL1 uM2
ψ12
i2
ψ2
ψ21
uL2uM1
i1
ψ1
L1 L2
uL1 uM2
ψ12
i2
ψ2
ψ21
uL2uM1
依据图中所示 参考方向 可列出两线圈端电压的相量表达式分别为：
M12L22
M21L11
XIjXIjU
XIjXIjU
自感电压总是与本线圈中通过的电流取关联参考方向，因此前面均取 正号 ；而互感电压前面的正、负号要依据两线圈电流的磁场是否一致。如上图所示两线圈电流产生的磁场方向一致，因此两线圈中的 磁场相互增强,这时它们产生的互感电压前面 取正号 ；若两线圈电流产生的 磁场相互消弱 时，它们产生的感应电压前面应 取负号 。
互感电压中的,M”称为 互感系数,单位和自感系数 L相同，都是亨利 [H]。由于两个线圈的互感属于相互作用，因此，对任意两个相邻的线圈总有：
2
21
1
12
1212 iiMMM
互感系数简称互感，其大小只与相邻两线圈的几何尺寸、线圈的匝数、相互位置及线圈所处位置媒质的磁导率有关。互感的大小反映了两相邻线圈之间相互感应的强弱程度。
i1
ψ1
L1 L2
uL1
uM2
ψ12
i2
ψ2ψ21
uL2
uM1
练习,写出右图所示两线圈端电压的解析式和相量表达式。
互感现象的应用和危害
互感现象在电工电子技术中有着广泛的应用，变压器就是互感现象应用的重要例子。
变压器一般由绕在同一铁芯上的两个匝数不同的线圈组成，当其中一个线圈中通上交流电时，另一线圈中就会感应出数值不同的感应电动势，输出不同的电压，从而达到变换电压的目的。利用这个原理，可以把十几伏特的低电压升高到几万甚至几十万伏特。如高压感应圈、电视机行输出变压器、电压、电流互感器等。
互感现象的主要危害：由于互感的存在，电子电路中许多电感性器件之间存在着不希望有的互感场干扰，这种干扰影响电路中信号的传输质量。
6.1.3 耦合系数和同名端两互感线圈之间电磁感应现象的强弱程度不仅与它们之间的互感系数有关，还与它们各自的自感系数有关，并且取决于两线圈之间磁链耦合的松紧程度。
我们把表征两线圈之间磁链耦合的松紧程度用 耦合系数,k” 来表示：
21 LL
Mk?
1.耦合系数通常一个线圈产生的磁通不能全部穿过另一个线圈，所以一般情况下耦合系数 k<1，若漏磁通很小且可忽略不计时,k=1；若两线圈之间无互感，则 M=0,
k=0。因此，耦合系数的变化范围,0 ≤k ≤ 1。
两互感线圈感应电压极性始终保持一致的端子称为同名端 。
电流同时由两线圈上的同名端流入 (或流出 )时，
两互感线圈的磁场相互增强；否则相互消弱。
2.同名端 为什么要引入同名端的概念？
实际应用中，电气设备中的线圈都是密封在壳体内，一般无法看到线圈的绕向，因此在电路图中常常也不采用将线圈绕向绘出的方法，通常采用“同名端标记”表示绕向一致的两相邻线圈的端子。如：
· ·
**
同名端的概念：
1
i1
1
1'
2
2'
· *
·
·
· i
2
2
判断下列线圈的同名端。
假设电流同时由 1和 2'流入，
两电流的磁场相互增强，因此可以判断,1和 2'是一 对同名端 ；
同理,2和 1'也是一对同名端。
判断下列线圈的同名端。
线圈的同名端必须两两确定
2' 3'1'
1 2 3 1和 2'同时流入电流产生的磁场方向一致是一对同名端；
2和 3'同时流入电流产生的磁场方向一致也是一对同名端；
*
Δ
3和 1'同时流入电流产生的磁场方向一致，同样也是一对同名端。
Δ
*
*
判断下图两线圈的同名端。已知在开关 S闭合时，线圈 2两端所接电压表的指针正偏。
开关 S闭合时,电流由零增大由 1流向 1'，由于线圈 2与线圈 1之间存在互感，所以
*
+
M
－
US
1 2
2'1'
+
－
V
S
正偏当线圈 1中的电流变化时，首先要在线圈 1中引起一个自感电压，这个自感电压的极性和线圈中的电流成关联方向（吸收电能、建立磁场）；
由于两个线圈之间存在互感，所以线圈 1中的电流变化必定在线圈 2中也要引起互感电压，这个互感电压正是电压表所指示的数值，因电压表正偏，所以互感电压的极性与电压表的极性相符，可以判断：
uL
－
＋
*
1和 2是一对同名端！
6.2 互感电路的分析方法学习目标,掌握互感线圈串联、并联时的处理方法
，熟练写出互感元件两端的电压表达式，了解互感线圈 T型等效的方法。
6.2.1 互感线圈的串联互感线圈 L1和 L2相串联时有两种情况,(1)一对异名端相联,另一对异名端与电路相接，这种连接方法称为顺接串联 (顺串 ），下左图所示；
L1 L2i *
uL1
M
* u
M2
uL2uM1
L1 L2i *
uL1
M
*u
M2
uL2uM1
(2)一对同名端相联,另一对同名端与电路相接，
其连接方法称为反接串联 (反串 )，下右图所示：
L1 L2i *
uL1
M
* u
M2
uL2uM1
L1 L2i *
uL1
M
*u
M2
uL2uM1
1,两线圈顺串时，电流同时由同名端流入（或流出 )，因此它们的磁场相互增强，自感电压和互感电压同方向，总电压为：
ILjIMLLj
IMjILjIMjILjUUU
顺
)2(
)( )(
21
2121
即两线圈顺串时等效电感量为,MLLL 2
21顺2,两线圈反串时，电流同时由异名端流入（或流出 )，因此它们的磁场相互消弱，自感电压和互感电压反方向，总电压为,
ILjIMLLjUUU 反 )2( 2121
即两线圈反串时等效电感量为,MLLL 2-
21反
* 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
4
反顺 LLM
互感的测量方法：
MLLL 2 21顺
MLLL 2 21反
6.2.2 互感线圈的并联
1,两 对同名端分别相联后并接在电路两端，称为 同侧相并,如下图所示；
L1 L2
i
*
u
M
*
i1 i2
根据图中电压、电流参考方向可得：
dt
diM
dt
diLu 21
1
i = i1 +i2
dt
diM
dt
diLu 12
2
t
iL
t
i
MLL
MLLu
d
d
d
d
2
)(
21
2
21
同
解得 u,i 关系为：
MLL
MLLL
221
2
21
同得同侧相并的等效电感量：
2,两对异名端分别相联后并接在电路两端，称为 异侧相并,如下图所示：
L1 L2
i
*
u
M
*i1
i2
根据图中电压、电流参考方向可得：
dt
diM
dt
diLu 21
1
i = i1 +i2
dt
diM
dt
diLu 12
2
t
iL
t
i
MLL
MLLu
d
d
d
d
2
)(
21
2
21
异
解得 u,i 关系为：
MLL
MLLL
221
2
21
异得异侧相并的等效电感量：
6.2.3 互感线圈的 T型等效
1,两个互感线圈只有一端相联，另一端与其它电路元件相联时，为了简化电路的分析计算，可根据耦合关系找出其无互感等效电路，称 去耦等效法 。
两线圈上电压分别为：
L1 L2
i1
u1
M
*
i2a
*
u2
b
c
d dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
将两式通过数学变换可得：
dt
iid
M
dt
di
MLu
dt
iid
M
dt
di
MLu
)(
)(
)(
)(
212
22
211
11
L1－ M
M
i1
u1
i2a
u2
b
c
d
L2－ M
由此可画出原电路的 T型等效电路如下图所示：
图中 3个电感元件相互之间是无互感的，它们的等效电感量分别为 L1-M,L2-
M和 M，由于它们连接成 T
型结构形式，因此称之为互感线圈的 T型去耦等效电路。
同理可推出两个异名端相联时的去耦等效电路为：
L1 L2
i1
u1
M
*
i2a
*
u2
b
c
d
L1+M
－ M
i1
u1
i2a
u2
b
c
d
L2+M
6.3 空芯变压器常用的实际变压器有空芯变压器和铁芯变压器两种类型。本节介绍的 空芯变压器,是 由两个具有互感的线圈绕在非铁磁材料制成的芯子上 所组成，其 耦合系数较小,属于松耦合。
变压器是利用电磁感应原理传输电能或电信号的器件。通常有一个初级线圈和一个次级线圈，初级线圈接电源，次级线圈接负载，能量可以通过磁场的耦合，由电源传递给负载。
因变压器是利用电磁感应原理而制成的，故可以用耦合电感来构成它的模型。这一模型常用于分析空芯变压器电路。
L1 L2
i1
uS
M
*
i21
*
u20
1'
2
2'
R2R1
左图所示为空芯变压器的电路模型。其中左端称为空芯变压器的初级回路，右端为空芯变压器的次级回路。
图中 uS为信号源电压,u20为次级回路的开路电压。
S111 )(
UILjR?
由图可列出空芯变压器的电压方程式为：
201
UIMj?
若次级回路接上负载 ZL，则回路方程为：
S2111 )(
UIMjILjR
ZL
0)]()[( 12L2L2 IMjIXXjRR?
jXL1 jXL2
jω M
*1 *
＋
1'
2
2'
R2R1
R+jX
I1
US
I2
－
)()( L2222
1L111
XXjRRZ
jXRZ
左图为空芯变压器的相量模型图，其中令：
MjZZ 2112
称为空芯变压器初、次级回路的 自阻抗 ；把称为空芯变压器回路的 互阻抗 。
01222
S2111
IMjIZ
UIMjIZ
由此可得空芯变压器的回路电压方程式：
01222
S2111
IMjIZ
UIMjIZ
联立方程式可得：
22
22
11
S
1
Z
M
Z
U
I
令式中
22
1
2
Z
IMjI
为次级对初级的 反射阻抗 。 反射阻
22
22
1r Z
MZ
抗 Z1r反映了空芯变压器次级回路通过互感对初级回路产生的影响。
另外 应注意,反射阻抗 Z1r的性质 总是与次级回路阻抗 Z22的 性质相反 。
引入反射阻抗的概念之后，次级回路对初级回路的影响就可以用反射阻抗来计算。这样，我们就可以得到如下图所示的由电源端看进去的空芯变压器的等效电路。当我们只需要求解初级电流时，可利用这一等效电路迅速求得结果。
jXL1
1
＋
1'
R1I1
US
－
Z22
ω 2M 2
反射阻抗的算法不难记忆：用 ω2M2除以次级回路的总阻抗 Z22即可。 注意,反射阻抗的概念不能用于次级回路含有独立源的空芯变压器电路！
例 已知 US=20 V,原边等效电路的引入阻抗 Z1r=10–j10?。
求,ZL 并求负载获得的有功功率。
8.92.0102.02.010
1010
4
1010
10j
4
L
L22
22
1r
jjjj
j
Z
j
ZZ
MωZ?
W1010)1010()1010( 20 21r211r ）（ jRIPP
W10104 204,
2
1
2
S
111r
*?
R
UPZZ 实际是最佳匹配：
* *
j10?
2?I
j10?
j2
+
–S
U
10?
ZL
+
–
S
U
10+j10?
Z1r=10–j10?
有功功率：
6.4 理想变压器
(1) 耦合系数 k=1，即为全耦合；
(2) 自感系数 L1,L2为无穷大，但 L1/L2为常数；
(3)无任何损耗，这意味着绕线圈的金属导线无任何电阻，做芯的铁磁材料的磁导率 μ无穷大。
理想变压器是铁芯变压器的理想化模型。
理想变压器的惟一参数就是一个称为 变比的常数
n，而不是 L1,L2和 M等参数，理想变压器满足以下 3
个理想条件：
6.4.1 理想变压器的条件理想变压器的电路模型,N1
*
N2
i1
u1
－
n:1
* i2＋
u2
－
＋
1,变压关系
6.4.2 理想变压器的主要性能理想变压器在图示参考方向下，其初级和次级端电压有效值之比为,U1/U2=N1/N2=n
N1
*
N2
i1
u1
－
n:1
* i2＋
u2
－
＋
N1
*
N2
i1
u1
－
n:1
*
i2＋
u2
＋
－ 左图示理想变压器的初级和次级端电压对同名端不一致，这时 u
1与 u
2相位 相差 180°,为反相关系。这点在列写回路方程时要注意。
2,变流关系理想变压器在变换电压的同时也在变换着电流，
其电流变换关系为：
I2/I1=N1/N2=n
2,变阻关系 理想变压器在正弦交流电路中还表现出变换阻抗的特性，如下图所示：
1nL
2
2
22
2
2
1
1 )(
/1
ZZn
I
Un
In
Un
I
U
*
1
I
1
U
n,1
＋
－
ZL
2
I
2
U
* ＋
－
1
I
+
–
1
U n
2ZL
式中的 Z1n是理想变压器次级对初级的折合阻抗 。
实际应用中，一定的电阻负载 ZL接在变压器次级，在变压器初级相当于接（ N1/N2)2ZL的电阻。如果改变理想变压器的变比，
折合阻抗 R1n也随之改变，因此利用改变变压器匝比来改变输入电阻，实现与电源的阻抗匹配，可使负载上获得最大功率。
N1
*
N2
i1
u1
－
n:1
* i2＋
u2
－
＋ 图示参考方向下，理想变压器的特性方程为：
L
2
1n2121 1 ZnZininuu,，
理想变压器的特性方程告诉我们它 具有变换电压、
变换电流和变换阻抗的性能 。由于其特性方程均为线性关系，又说明理想变压器本身无记忆作用，即它无储能本领。
0)(1 11112211 niuniuiuiup
理想变压器的耗能为零,说明理想变压器也不耗能。可见：
理想变压器的任一瞬间消耗的能量：
理想变压器在电路中既不耗能也不储能，只起对信号和能量的传递作用 。
思考 回答
1.理想变压器必须满足什么条件？
2.理想变压器具有什么性能？
3.下图中，若 n=4，则接多大的负载电阻可获得最大功率？
*
S?U
n,1
＋
－
80Ω
*
RL
80Ω
5.2440 2211L nRR
接 2.5Ω负载电阻时可获得最大功率。
6.5 全耦合变压器全耦合变压器比理想变压器更接近实际的铁芯变压器，也是实际铁芯变压器的另一种电路模型。
当实际的铁芯变压器损耗很小可以忽略，并且初级和次级之间不存在漏磁通，即耦合系数 k=1时，称为 全耦合变压器 。全耦合变压器显然满足理想变压器三个理想条件中的两条，全耦合变压器的初级、次级电感量 L1,L2及互感 M是 有限值,不象理想变压器那样为无穷大。
6.5.1 全耦合变压器的定义全耦合变压器与理想变压器一样具有变换电压、
变换电流和变换阻抗的特性。不同的是，全耦合变压器由于自感和互感为有限值，因此存在激磁电流。
6.5.2 全耦合变压器的等效电路左图所示是全耦合变压器的电路图，虚框内为全耦合变压器的 图符号 。
L1
*
L2
i1
uS
－
M
* i2＋
ZL
i0 *
L1
i1
uS
－
n,1
* i2＋
ZL
i1'
全耦合变压器的电感量为有限值，因此建立磁场需要激磁电流 i0，即电源需供给初级的电流,
i1=i0+i1'
i0
L1
i1
uS
－
＋
n2ZL
i2/n 把理想变压器的折合阻抗考虑进去，我们又可得到左图所示是全耦合变压器的电路模型图，这也是分析实际铁芯变压器常用的方法。
全耦合变压器的耦合系数 k=1，即 M2=L1L2，有：
6.5.3 全耦合变压器的变换系数
2
2
2
2
2
21
2
1
L
M
L
LL
L
L
根据自感和互感的定义：
2
221
2
211
2
222
2 i
N
i
NM
i
NL,
将自感和互感定义代入到上面式子中：
2
2
2
2
1
2
2
222
2
2
221
2
2
2
2
1
n
N
N
i
N
i
N
L
M
L
L
由上述推导可得全耦合变压器的变换系数为：
2
1
L
Ln?
思考 回答
1．具备什么条件的变压器是全耦合变压器？ 画出全耦合变压器的等效电路。
2．一个全耦合变压器的初级线圈并联一电容 C，次级线圈接电阻 RL，当初级线圈接理想电压源时电路处于谐振状态，若改变匝数比 n的值，电路是否仍然谐振？为什么？
