第 2章 电路的基本分析方法
2.5 戴维南定理
2.2 回路电流法
2.1 支路电流法
2.3 结点电压法
2.4 叠加定理本章学习目的及要求熟练掌握支路电流法，因为它是直接应用基尔霍夫定律求解电路的最基本方法之一；理解回路电流及结点电压的概念，理解和掌握回路电流法和结点电压法的正确运用；深刻理解线性电路的叠加性，了解叠加定理的适用范围；牢固掌握戴维南定理分析电路的方法。
2.1 支路电流法以支路电流为未知量，根据基尔霍夫两定律列出必要的电路方程，进而求解客观存在的各支路电流的方法，称支路电流法。
1,定义
2,适用范围原则上适用于各种复杂电路，但当支路数很多时，方程数增加，计算量加大。因此，适用于支路数较少的电路。
3,应用步骤
（ 1）确定已知电路的支路数 m，并在电路图上标示出各支路电流的参考方向；
（ 2）应用 KCL列写 n-1个 独立结点 方程式。
（ 3）应用 KVL定律列写 m-n+1个 独立电压 方程式。
（ 4）联立求解方程，求出 m个支路电流。
4,应用举例例 用支路电流法求解下图所求电路中各支路电流，用功率平衡校验求解结果。
＋ ＋
－ －
R1=7Ω R2=11Ω
R3=7Ω
US1=70V US2=6V
图示电路结点 n=2，支路 m=3①
②
I1 I2I
3
选取结点 ①列写 KCL方程式：
I1+I2－ I3=0 ①
选取两个网孔 列写 KVL方程：
对网孔 Ⅰ,7I1+7I3=70 ②
Ⅰ Ⅱ
对网孔 Ⅱ,11I2+7I3=6 ③
由方程式 ②可得,I1=10－ I3 ④
由方程式 ③ 可得,I2=(6－ 7I3) ÷ 11 ⑤
④⑤ 代入①可得,10－ I3+[(6－ 7I3) ÷ 11] － I3=0
解得,I3=4A 代入 ④⑤ 可得,I1=6A,I2=－ 2A
R1上吸收的功率为,PR1=62× 7=252W
I2得负值，说明它的实际方向与参考方向相反。
求各元件上吸收的功率，进行功率平衡校验
R2上吸收的功率为,PR2=(－ 2)2× 11=44W
R3上吸收的功率为,PR3=42× 7=112W
US1上吸收的功率为,PS1=－ (6× 70)=－ 420W 发出功率
US2上吸收的功率为,PS2=－ (－ 2)× 6=12W 吸收功率元件上吸收的总功率,P=252+44+112+12=420W
电路中吸收的功率等于发出的功率，计算结果正确思考 回答
1,说说对独立结点和独立回路的看法，应用支路电流法求解电路时，根据什么原则选取独立结点和独立回路？
2,下图电路有几个结点？几条支路？几个回路？几个网孔？用支路电流法列出相应方程式。
＋ ＋
－ －
R1 R2
R6
US1 US2
＋ R3U
S3
－
R4 R5
①
②③ ④
4个结点,3个网孔、
7个回路,6条支路。
需列 KCL方程,4-1=3个需列 KVL方程,6-4+1=3个在练习本上列出各方程式。
所谓独立结点或独立回路，是指其中至少有一条新的支路，应用支路电流法求解电路时，选取独立结点的原则比较简单，找出全部结点后，去掉其中的一个即可；选取独立回路的原则一般是以网孔为独立回路，实际中也可以计算方便为原则进行选取。
2.2 回路电流法以假想的回路电流为未知量，根据 KVL定律列出必要的电路方程，进而求解客观存在的各支路电流的方法，称回路电流法。
1,定义
2,适用范围适用于支路数较多但网孔数较少的复杂电路。
3,应用步骤
（ 1）选取自然网孔作为独立回路，在网孔中标出各回路电流的参考方向，同时作为回路的绕行方向；
（ 2）建立各网孔的 KVL方程，注意自电阻压降恒为正，公共支路上的互阻压降由相邻回路电流而定；
根据回路电流和支路电流的关系
（ 3）对联立方程式进行求解，得假想各回路电流；
4,应用举例例 用回路电流法求解下图所求电路中各支路电流。
＋ ＋
－ －
R1=7Ω R2=11Ω
R3=7Ω
US1=70V US2=6V
I1 I2I
3
选取两个网孔 列写 KVL方程：
对网孔 Ⅰ,(7+7)IⅠ +7IⅡ =70 ①
IⅠ IⅡ
对网孔 Ⅱ,(11+7)IⅡ +7IⅠ =6 ②
（ 4）在电路图上标出客观存在的各支路电流参考方向，按照它们与回路电流之间的关系，求出各支路电流。
由方程式 ①得,IⅡ =10－ 2IⅠ ③
解 得,IⅡ =－ 2A； IⅠ =6A
I2=IⅡ =－ 2A； I1=IⅠ =6A ； I3=IⅠ +IⅡ =4A
思考 回答
1,说说回路电流与支路电流的不同之处，你能很快找出回路电流与支路电流之间的关系吗？
2,试用回路电流法对下图所示电路进行求解，通过求解阐述回路电流法的适用范围。
_
+
_US1
US2R1
R2
R6
R3
R4
I4
_ +
US3
+
R5
I5
I3
I1 I6
I2
支路电流是客观存在于各条支路中的响应，一般是电路分析求解的对象；回路电流则是为了减少电路分析中方程式的数目而人为假想的电路响应，由于回路电流对它所经过的电路结点，均流入一次、流出一次，因此自动满足 KCL定律，这样在电路求解的过程中就可省去 KCL方程，对结点数较多、网孔数较少的电路十分适用。
回路电流经过的各条支路，若支路上仅流过一个回路电流，则这个支路电流在数值上就等于该回路电流，方向与回路电流一致时为正，相反为负；公共支路上通过两个回路电流，即支路电流在数值上等于这两个回路电流之代数和，与支路电流方向一致的取正值，与支路电流方向相反的取负值。
_
+
_US1
US2R1
R2
R6
R3
R4
I4
_ +
US3
+
R5
I5
I3
I1 I6
I2I
a Ib
Ic
此电路有 6条支路，运用支路电流法求解电路时显然要列
6个方程式联立求解，因此繁琐而复杂。由于该电路具有 4个结点，应用回路电流法就可省去 4-1=3个 KCL方程式，这样，
仅列 6-4+1=3个 KVL方程式即可解出各网孔电流，进而求出支路电流。
以三个自然网孔作为独立回路，
各回路电流分别为 Ia,Ib,Ic。
(R1+R4+R2)Ia－ R4Ic－ R2Ib=US1+US2
(R2+R5+R6)Ib－ R2Ia－ R5Ic=－ US2
(R3+R4+R5)Ic－ R4Ia－ R5Ib=US3
如选取各回路电流均为顺时针方向时，三个方程式中左边第一项自电阻压降恒为正值，左边其余项为互电阻压降，
恒为负值；方程式右边为电源压升，由,－,→,+”与 回路电流方向一致时取正，反之取负。
_
+
_US1
US2R1
R2
R6
R3
R4
I4
_ +
US3
+
R5
I5
I3
I1 I6
I2I
a Ib
Ic 观察电路图，可得出各支路电流与回路电流之间的关系为：
I1=Ia ; I2=Ia－ Ib; I3=Ic;
I4=Ia－ Ic; I5=Ib－ Ic; I6=－ Ib
Ia IcIb+
_US2
+
_US1
I1 I2 I3
R1 R2
R3 +
_US4
R4
I4
练习 用回路电流法列出求解下图所示电路的方程式。
2.3 结点电压法以结点电压为待求量,利用基尔霍夫定律列出各结点电压方程式,进而求解电路响应的方法 。
1,定义
2,适用范围适用于支路数较多但结点数较少的复杂电路。与支路电流法相比，它可减少 m-n+1个方程式。
3,应用步骤
（ 1）选定参考结点。其余各结点与参考点之间的电压就是待求的结点电压（均以参考点为负极）；
（ 2）标出各支路电流的参考方向，对 n-1个结点列写 KCL方程式；
（ 3）用 KVL和欧姆定律，将结点电流用结点电压的关系式代替，写出结点电压方程式；
4,应用举例例 用结点电压法求解下图所求电路中各支路电流。 选取结点②为参考结点，求 V1：
（ 4）解方程，求解各结点电压；
（ 5）由结点电压求各支路电流及其它响应。
＋ ＋
－ －
R1=7Ω R2=11Ω
R3=7Ω
US1=70V US2=6V
I1 I2I
3
①
②
I1+I2－ I3=0
因为,I1=(70－ V1) ÷ 7 ①
I2=(6－ V1) ÷ 11 ②
I3=V1 ÷ 7 ③
所以,V1 70/7+6/111/7+1/7+1/11 81229== = 28V
V1代入 ①② ③得,I1=6A； I2=－ 2A； I3=4A
用结点电压法求解结点 n=2的复杂电路时，显然只需列写出 2-1=1个结点电压方程式，即：
此式称弥尔曼定理。是结点电压法的特例
V1 US1/R1+US2/R2－ US4/R41/R
1+1/R2+1/R3+1/R4
=
R
R
U
V
1
S
S
1
例
+
_US2
+
_US1
I1 I2 I3
R1 R2
R3 －
＋ US4
R4
I4
①
直接应用弥尔曼定理求 V1可得注意,式中分子部分为各支路恒压源与其支路电阻之比的代数和，其中恒压源正极与结点 ①相近时取正，
反之取负；分母则为各支路电导之和。
应用结点电压法求解电路的一般形式为：
_
+
_US1
US2R1
R2
R6
R3
R4
I4
_ +
US3
+
R5
I5
I3
I1 I6
I2
① ② ③
④
选取结点 ④作为参考结点对结点 ①列结点电压方程：
正，反之取负。由负到正指向结点时取源路电阻的比值，若恒压点上的各恒压源与其支结方程式右边为连接到本为互电导，恒取负值。
称和点之间的电导恒为正值；跨接于两结称为自电导，与本结点相连的电导
43
431
3
S3
1
S1
4
4
3
3
1
431
11
111
11
)
111
(
RR
RRR
R
U
R
U
V
R
V
R
V
RRR
同理可得结点 ②和 ③
的结点电压方程式为：
2
S23
5142542
11)111(
R
UV
RVRVRRR
3
S31
3253635
11)111(
R
UV
RVRVRRR
归纳,让连接于结点①的自电导用 G11表示，连接于结点 ②
的自电导用 G22表示，连接于结点 ③ 的自电导用 G33表示，跨接在任意待求两结点之间的公共电导分别用 G12,G21,G23、
G32,G13,G31表示；汇集于结点 ①、②,③ 上的等效电流源分别用 ISS1,ISS2和 ISS3（或 USS1/RS1等）表示时，结点电压方程式的一般表达形式可写作：
)(/
)(/
)(/
S S 3S S 3S S 3331232333
S S 2S S 2S S 2323121222
S S 1S S 1S S 1313212111
IRUVGVGVG
IRUVGVGVG
IRUVGVGVG
或或或
式中等号左端的自电导 G11,G22,G33恒为 正值,互电导
G12,G21,G23,G32,G13,G31恒取 负值 ；等号右边为各结点汇集电流，如果是恒流源直接取其值，如果是电压源，则可根据电压源与电流源的等效条件求出其等效的电流源 US/RS，
并且令 指向结点的电流取正，背离结点的电流取负 。
用结点电压法求解下图所示电路中各支路电流。
首先将电路中所有电压源等效为电流源如上面右图示
① （ 1+1） V1－ V2=1-1=0
可解得,V1=0.4V; V2=0.8V; V12=V1－ V2=0.4－ 0.8=－ 0.4V
各支路电流分别为,I1=(2-0.4)/2=0.8A； I2=0.4/2=0.2A
例
1Ω
1A
1A① ②
0.5Ω
1A1Ω
＋
＋
－
－
2Ω
2V
2V
2Ω
① ②
0.5Ω
1A2Ω
2Ω
列出结点电压方程：
② （ 1+1/0.5） V2－ V1=1+1
I1 I2 I3
I4
I5
I3=0.8/0.5=1.6A； I4=(2－ 0.8+0.4)/2=0.8A ；
I5=(0.4－ 0.8)/2=－ 0.2A
思考 练习用结点电压法求解下图所示电路，与回路电流法相比较，
能得出什么结论？
此电路结点 n=3，用结点电压法求解此电路时，只需列出
3-1=2个独立的结点电压方程式：
3
S3
S2A
3
B
532
3
S3
S1B
3
A
431
1
)
111
(
1
)
111
(
R
U
IV
R
V
RRR
R
U
IV
R
V
RRR
R3
R4
A B
IS2IS1
R5 R2R1
I1 I4 I5 I2
I3＋ －US3
R3
R4
A B
IS2IS1
R5 R2R1
I1 I4 I5 I2
I3＋ －US3
再根据欧姆定律可求得：
1
A
1 R
VI?
2
B
2 R
VI?
3
S3BA
3 R
UVVI
4
A
4 R
VI?
5
B
5 R
VI?
如果用回路电流法，由于此电路有 5个网孔，所以需列 5个方程式联立求解，显然解题过程繁于结点电压法。因此对此类型（支路数多、结点少，回路多）
电路，应选择结点电压法解题。
说说结点电压法的适用范围，应用结点电压法求解电路时，能否不选择电路参考点？
结点电压法适用于支路数较多，结点数目较少的电路，待求量结点电压实际上是指待求结点相对于电路参考点之间的电压值，因此应用结点电压法求解电路时，必须首先选定电路参考结点，否则就失去了待求结点的相对性。
回路电流作为电路的独立待求量时，可自动满足结点电流定律，因此回路电流法与支路电流法相比可减少 n-1个
KCL方程式；结点电压作为电路的独立待求量时，可自动满足回路电压定律，与支路电流法相比可减少 m-n+1个
KVL方程式。两种方法都是为了减少方程式的数目而引入的解题方法。
比较回路电流法和结点电压法，你能从中找出它们相通的问题吗？
支路法、回路法和结点法的比较：
(2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立结点较容易。
(3) 回路法,结点法易于编程 。 目前用计算机分析网络 (电网,集成电路设计等 )采用结点法较多 。
支路法回路法结点法
KCL方程 KVL方程
n-1 m-n+1
0
0n-1
方程总数
m-n+1
n-1
m-n+1
m
(1) 方程数的比较
2.4 叠加定理在线性电路中,任何一条支路的电流或电压,
均可看作是由电路中各个电源单独作用时,各自在此支路上产生的电流或电压的叠加 。
1,定义
2,适用范围在多个电源同时作用的电路中，仅研究一个电源对多支路或多个电源对一条支路影响的问题。
3,研究目的在基本分析方法的基础上，学习线性电路所具有的特殊性质，更深入地了解电路中激励（电源）与响应（电压、电流）的关系。
在多个电源共同作用的 线性 电路中，某一支路的电压 (电流 )等于每个电源单独作用下，在该支路上所产生的 电压 (电流 )的代数和。
当电压源不作用时应视其短路，
而电流源不作用时则应视其开路。
计算功率时 不能 应用叠加原理。注意
I =I? I+?
IR1+
–
R2 I
S
US =
I?R1+
–
R2US
IR1
R2 I
S
US+
4,解题思路用叠加定理解决电路问题的实质，就是把含有多个电源的复杂电路分解为多个简单电路的叠加。
应用时要注意两个问题：一是某电源单独作用时，
其它 电源的处理方法 ；二是叠加时各分量的 方向问题 。以上问题的解决方法请看应用举例。
5,应用举例
+IS
I
R
RS
US
+
_
恒流源相当于开路
I″
R
RS IS
恒压源相当于短路内阻保留原电路 电压源单独作用时 电流源单独作用时
I′
R
RS
US
+
_
根据叠加定理；,RR RII"RR UI'
S
S
S
1S
S
I"I'I
用迭加原理求,I=?
I = I′+ I″= 2+（－ 1） =1A
根据叠加定理可得电流 I
例
+
-
I4A 20V
10?
10? 10?
I′4A
10?
10? 10?
+
-
I″ 20V
10?
10? 10?
A2214'I
4A电流源单独作用时：
A11010 20''I
20V电压源单独作用时：
1,叠加定理只 适用于 线性电路 求电压 和 电流 ；
不能 用叠加定理 求功率 (功率为电源的二次函数 )。
不适用 于 非线性 电路。
2,应用时电路的结构参数必须 前后一致 。
5,叠加时注意 参考方向 下求 代数和 。
3,不作用的电压源 短路 ；不作用的电流源 开路
4,含受控源线性电路可叠加,受控源 应始终 保留 。
应用叠加定理时注意以下几点：
例 求电压 Us 。
(1) 10V电压源单独作用,(2) 4A电流源单独作用：
+
–
10V
6?I1
4A
+
–
Us
+ –10 I1
4?
10V
+
–
6?I1' + –10 I1'
4?
+
–
Us'
6?I1''
4A
+
–
Us''
+ –10 I1''
4?
+
–
U1'
+
–
U1"
Us'= -10 I1'+U1' Us"= -10I1"+U1”
Us?= -10 I1?+U1?= -10× 1+4 = -6V
Us"= -10I1"+U1" = -10?(-1.6)+9.6=25.6V
共同作用下,Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
A146 101I
A6.1464 41I V6.94)46.1(1U
10V
+
–
6?I1' + –10 I1'
4?
+
–
Us'
+
–
U1'
6?I1''
4A
+
–
Us''
+ –10 I1''
4?
+
–
U1"
V446 410'1U
求下图电路中 5? 电阻 的电压 U 及功率 P。
先计算 20 V 电压源单独作用时的 电压 U?
U?= 20? 5 + 155 = 5 V
恒流源不作用时相当于 开路例
+ –
5?
+ –U
15?
10A
4?2?
20V + –
5?
+ –U'
15?
10A
4?2?
20V
再计算恒流源作用时的 U "
5?
+ –U"
15?
10A
4?2?– 10?
5+15
15? 5 = – 37.5 VU=
+ –
5?
+ –U 15?
10A4?2?
20V
5?
+ –U"
15?
10A
4?2?+
+ –
5?
+ –U' 15?
10A4?2?
20V
根据叠加定理可得,U=U'+U"=5+(－ 37.5)=－ 32.5V
P = 5(–32.5)
2
= 221.25 W5?电阻的功率为,
若用叠加定理计算功率：
W25.2 8 625.2 8 155 )7.37(55
22
P
用叠加原理计算功率是错误的 。想一想，为什么？
“恒压源不起作用”或“令其等于 0”，即是将此恒压源用短接线代替，但恒压源所在支路的电阻应注意保留；
“恒流源不起作用”或“令其等于 0”，即是将此恒流源拿掉，使恒流源所在支路断开，恒流源所在支路的电阻也一并拿掉。
电压和电流的求解可应用叠加定理，是因为它们和电阻之间遵循着线性的欧姆定律关系；而功率只所以不能应用叠加定理，原因是功率和电阻之间不是线性关系，而是二次函数关系。
通过上述例题你理解下面问题吗？
2.5 戴维南定理
1,定义对外电路来说，任何一个线性有源二端网络，
均可以用一个恒压源 US和一个电阻 R0串联的有源支路等效代替。其中恒压源 US等于线性有源二端网络的开路电压 UOC，电阻 R0等于线性有源二端网络除源后的入端等效电阻 Rab。
2,适用范围只求解复杂电路中的某一条支路电流或电压时。
线性有源二端网络
a
b
a
b
R0
US
+
-
已知,R1=20?,R2=30?
R3=30?,R4=20?
U=10V
求,当 R5=16? 时,I5=?
R1
R3
+ _
R2
R4
R5
U
I5
R5
I5R1
R3
+ _
R2
R4
U
等效电路有源二端网络
3,应用举例例
US =UOC
先求等效电源 US及 R0
2V4-6
2030
20
10
3020
30
10
DBADOC
UUU
I520Ω
+ _
A
B
30Ω
30Ω 20Ω
10V
16Ω
US
R0+
_
A
B
求 戴维南等效电路
R0 =RAB
UOC
20Ω
+ _
A
+
_
30Ω
30Ω 20Ω
10V
B
C D
再求输入电阻 RAB 恒压源被短接后,CD
成为一点，电阻 R1和
R2,R3 和 R4 分别并联后相串联，即：
R0=RAB=20//30＋ 30//20
=12+12=24Ω
得原电路的 戴维南等效电路
A05.0
1624
2
5I
C R
AB
20Ω
A
30Ω
30Ω 20Ω
B
D
A
2V
24Ω+
_
16Ω
I5
B
由全电路欧姆定律可得：
US =(30/50)RS +30 ①
下图所示有源二端网络，用内阻为 50k?的电压表测出开路电压值是 30V，换用内阻为 100k?的电压表测得开路电压为 50V，求该网络的戴维南等效电路。
有源 VU
0C二端网络
U0C
150V
200KΩ
RV＋
－
根据测量值列出方程式：
应用举例例
US =(50/100)RS +50 ②
① 式代入②式后可得,
0.6RS+30 =0.5RS +50 ③
由 ③ 式解得,RS =200 k? 代 ①
又可解得,US =150V
例 R多大时能从电路中获得最大功率，并求此最大功率。15V 5V
2A
+
20?
+
- -
20?
10?
5?
+
-85V
R
10?
2A 5?
+
-85V
R
10?
0.5A
20? 50V
30?
+
-
R85V
5?
+
-
A
B
80V
4.29?
+
-
R
A
B
R =4.29?时可 获得最大功率
W3 7 329.44 80
2
m a xP
（ 1） 将待求支路与原有源二端网络分离,对断开的两个端钮分别标以记号 （ 如 A,B） ；
戴维南定理的解题步骤
（ 2）应用所学过的各种电路求解方法，对有源二端网络求解其开路电压 UOC；
（ 3）把有源二端网络进行除源处理（恒压源短路、
恒流源开路），对无源二端网络求其入端电阻 RAB；
（ 4）让开路电压等于等效电源的 US，入端电阻等于等效电源的内阻 R0，则戴维南等效电路求出。此时再将断开的待求支路接上，最后根据欧姆定律或分压、分流关系求出电路的待求响应。
思考 练习
1.在电路分析时，独立源与受控源的处理上有哪些相同之处？哪些不同之处？
分析,电路分析过程中，在受控源的控制量存在情况下，受控源在电路中起电源作用，此时它和独立源具有相同的特性，理想受控源之间仍然不能进行等效变换，含有内阻的受控源之间可以等效变换，等效变换的条件与独立源类似。由于受控源的数值受电路中某处电压（或电流）的控制，因此它不象独立源那样数值恒定，而是随控制量的变化而改变，因此在电路变换的过程中，特别要注意不能随意把受控源的控制量变换掉；另外在求等效电阻时，只要电路中存在控制量，受控源不能按零值处理。
2.如何求解戴维南等效电路的电压源 US及内阻 R0？该定理的物理实质是什么？
戴维南等效电路的恒压源 US等于原有源二端网络的开路电压 UOC,其计算方法可根据有源二端网络 的实际情况,适当地选用所学的电阻性网络分析的方法及电源等效变换,叠加原理等进行求解 。
内阻 R0等于原有源二端网络除源 （ 令其内部所有恒压源短路,恒流源开路 ） 后的入端电阻,其计算方法除了用无源二端网络的等效变换方法求出其等效电阻,还可以采用以下两种方法进行求解：
将有源二端网络开路后，求出其开路电压 UOC，
再将有源二端网络短路，求出其短路电流 ISC，开路电压与短路电流的比值即等于戴维南等效电源的内阻
R0。
1,开路、短路法求解 R0
2,外加电源法求解 R0
将有源二端网络除源，在得到一个无源二端网络后，在其两端外加一个恒压源 US（或恒流源 IS），
求出恒压源提供的电流 I（或恒流源两端的电压 U），
则恒压源 US与电流 I的比值（或恒流源端电压 U与恒流源 IS之比值）即等于戴维南等效电源的内阻 R0。
(1) 求开路电压 UOC
UOC=6I1+3I1
I1=9÷ (6+3)=1A
UOC=9V
电路如图示，求 UR 。例 I
1+
– 9V
UR
+–
3Ω
6I16Ω
3Ω
+
–将待求支路断开 –
UOC
(2) 求等效电阻 Ro
I1+
– 9V
+–
3Ω
6I16Ω
ISC
法一：开路、短路法求 Ro
3I1 =6I1 → I1=0
ISC=9/6=1.5A
R0 =UOC/ISC=9/1.5=6Ω
法二：加压求流法求 Ro
I1 +
–U
+–
3Ω
6I16Ω
I
U=6I1+3I1=9I1
I1=I = I66+3 23
R0 =U/I=6I/I=6Ω
+
–
3? UR
-
+6?
9V
戴维南等效电路
V3936 3RU
应用法二时应注意独立源置零，受控源保留。
希望同学们对本章内容予以重视，多做习题才能真正掌握其方法。
2.5 戴维南定理
2.2 回路电流法
2.1 支路电流法
2.3 结点电压法
2.4 叠加定理本章学习目的及要求熟练掌握支路电流法，因为它是直接应用基尔霍夫定律求解电路的最基本方法之一；理解回路电流及结点电压的概念，理解和掌握回路电流法和结点电压法的正确运用；深刻理解线性电路的叠加性，了解叠加定理的适用范围；牢固掌握戴维南定理分析电路的方法。
2.1 支路电流法以支路电流为未知量，根据基尔霍夫两定律列出必要的电路方程，进而求解客观存在的各支路电流的方法，称支路电流法。
1,定义
2,适用范围原则上适用于各种复杂电路，但当支路数很多时，方程数增加，计算量加大。因此，适用于支路数较少的电路。
3,应用步骤
（ 1）确定已知电路的支路数 m，并在电路图上标示出各支路电流的参考方向；
（ 2）应用 KCL列写 n-1个 独立结点 方程式。
（ 3）应用 KVL定律列写 m-n+1个 独立电压 方程式。
（ 4）联立求解方程，求出 m个支路电流。
4,应用举例例 用支路电流法求解下图所求电路中各支路电流，用功率平衡校验求解结果。
＋ ＋
－ －
R1=7Ω R2=11Ω
R3=7Ω
US1=70V US2=6V
图示电路结点 n=2，支路 m=3①
②
I1 I2I
3
选取结点 ①列写 KCL方程式：
I1+I2－ I3=0 ①
选取两个网孔 列写 KVL方程：
对网孔 Ⅰ,7I1+7I3=70 ②
Ⅰ Ⅱ
对网孔 Ⅱ,11I2+7I3=6 ③
由方程式 ②可得,I1=10－ I3 ④
由方程式 ③ 可得,I2=(6－ 7I3) ÷ 11 ⑤
④⑤ 代入①可得,10－ I3+[(6－ 7I3) ÷ 11] － I3=0
解得,I3=4A 代入 ④⑤ 可得,I1=6A,I2=－ 2A
R1上吸收的功率为,PR1=62× 7=252W
I2得负值，说明它的实际方向与参考方向相反。
求各元件上吸收的功率，进行功率平衡校验
R2上吸收的功率为,PR2=(－ 2)2× 11=44W
R3上吸收的功率为,PR3=42× 7=112W
US1上吸收的功率为,PS1=－ (6× 70)=－ 420W 发出功率
US2上吸收的功率为,PS2=－ (－ 2)× 6=12W 吸收功率元件上吸收的总功率,P=252+44+112+12=420W
电路中吸收的功率等于发出的功率，计算结果正确思考 回答
1,说说对独立结点和独立回路的看法，应用支路电流法求解电路时，根据什么原则选取独立结点和独立回路？
2,下图电路有几个结点？几条支路？几个回路？几个网孔？用支路电流法列出相应方程式。
＋ ＋
－ －
R1 R2
R6
US1 US2
＋ R3U
S3
－
R4 R5
①
②③ ④
4个结点,3个网孔、
7个回路,6条支路。
需列 KCL方程,4-1=3个需列 KVL方程,6-4+1=3个在练习本上列出各方程式。
所谓独立结点或独立回路，是指其中至少有一条新的支路，应用支路电流法求解电路时，选取独立结点的原则比较简单，找出全部结点后，去掉其中的一个即可；选取独立回路的原则一般是以网孔为独立回路，实际中也可以计算方便为原则进行选取。
2.2 回路电流法以假想的回路电流为未知量，根据 KVL定律列出必要的电路方程，进而求解客观存在的各支路电流的方法，称回路电流法。
1,定义
2,适用范围适用于支路数较多但网孔数较少的复杂电路。
3,应用步骤
（ 1）选取自然网孔作为独立回路，在网孔中标出各回路电流的参考方向，同时作为回路的绕行方向；
（ 2）建立各网孔的 KVL方程，注意自电阻压降恒为正，公共支路上的互阻压降由相邻回路电流而定；
根据回路电流和支路电流的关系
（ 3）对联立方程式进行求解，得假想各回路电流；
4,应用举例例 用回路电流法求解下图所求电路中各支路电流。
＋ ＋
－ －
R1=7Ω R2=11Ω
R3=7Ω
US1=70V US2=6V
I1 I2I
3
选取两个网孔 列写 KVL方程：
对网孔 Ⅰ,(7+7)IⅠ +7IⅡ =70 ①
IⅠ IⅡ
对网孔 Ⅱ,(11+7)IⅡ +7IⅠ =6 ②
（ 4）在电路图上标出客观存在的各支路电流参考方向，按照它们与回路电流之间的关系，求出各支路电流。
由方程式 ①得,IⅡ =10－ 2IⅠ ③
解 得,IⅡ =－ 2A； IⅠ =6A
I2=IⅡ =－ 2A； I1=IⅠ =6A ； I3=IⅠ +IⅡ =4A
思考 回答
1,说说回路电流与支路电流的不同之处，你能很快找出回路电流与支路电流之间的关系吗？
2,试用回路电流法对下图所示电路进行求解，通过求解阐述回路电流法的适用范围。
_
+
_US1
US2R1
R2
R6
R3
R4
I4
_ +
US3
+
R5
I5
I3
I1 I6
I2
支路电流是客观存在于各条支路中的响应，一般是电路分析求解的对象；回路电流则是为了减少电路分析中方程式的数目而人为假想的电路响应，由于回路电流对它所经过的电路结点，均流入一次、流出一次，因此自动满足 KCL定律，这样在电路求解的过程中就可省去 KCL方程，对结点数较多、网孔数较少的电路十分适用。
回路电流经过的各条支路，若支路上仅流过一个回路电流，则这个支路电流在数值上就等于该回路电流，方向与回路电流一致时为正，相反为负；公共支路上通过两个回路电流，即支路电流在数值上等于这两个回路电流之代数和，与支路电流方向一致的取正值，与支路电流方向相反的取负值。
_
+
_US1
US2R1
R2
R6
R3
R4
I4
_ +
US3
+
R5
I5
I3
I1 I6
I2I
a Ib
Ic
此电路有 6条支路，运用支路电流法求解电路时显然要列
6个方程式联立求解，因此繁琐而复杂。由于该电路具有 4个结点，应用回路电流法就可省去 4-1=3个 KCL方程式，这样，
仅列 6-4+1=3个 KVL方程式即可解出各网孔电流，进而求出支路电流。
以三个自然网孔作为独立回路，
各回路电流分别为 Ia,Ib,Ic。
(R1+R4+R2)Ia－ R4Ic－ R2Ib=US1+US2
(R2+R5+R6)Ib－ R2Ia－ R5Ic=－ US2
(R3+R4+R5)Ic－ R4Ia－ R5Ib=US3
如选取各回路电流均为顺时针方向时，三个方程式中左边第一项自电阻压降恒为正值，左边其余项为互电阻压降，
恒为负值；方程式右边为电源压升，由,－,→,+”与 回路电流方向一致时取正，反之取负。
_
+
_US1
US2R1
R2
R6
R3
R4
I4
_ +
US3
+
R5
I5
I3
I1 I6
I2I
a Ib
Ic 观察电路图，可得出各支路电流与回路电流之间的关系为：
I1=Ia ; I2=Ia－ Ib; I3=Ic;
I4=Ia－ Ic; I5=Ib－ Ic; I6=－ Ib
Ia IcIb+
_US2
+
_US1
I1 I2 I3
R1 R2
R3 +
_US4
R4
I4
练习 用回路电流法列出求解下图所示电路的方程式。
2.3 结点电压法以结点电压为待求量,利用基尔霍夫定律列出各结点电压方程式,进而求解电路响应的方法 。
1,定义
2,适用范围适用于支路数较多但结点数较少的复杂电路。与支路电流法相比，它可减少 m-n+1个方程式。
3,应用步骤
（ 1）选定参考结点。其余各结点与参考点之间的电压就是待求的结点电压（均以参考点为负极）；
（ 2）标出各支路电流的参考方向，对 n-1个结点列写 KCL方程式；
（ 3）用 KVL和欧姆定律，将结点电流用结点电压的关系式代替，写出结点电压方程式；
4,应用举例例 用结点电压法求解下图所求电路中各支路电流。 选取结点②为参考结点，求 V1：
（ 4）解方程，求解各结点电压；
（ 5）由结点电压求各支路电流及其它响应。
＋ ＋
－ －
R1=7Ω R2=11Ω
R3=7Ω
US1=70V US2=6V
I1 I2I
3
①
②
I1+I2－ I3=0
因为,I1=(70－ V1) ÷ 7 ①
I2=(6－ V1) ÷ 11 ②
I3=V1 ÷ 7 ③
所以,V1 70/7+6/111/7+1/7+1/11 81229== = 28V
V1代入 ①② ③得,I1=6A； I2=－ 2A； I3=4A
用结点电压法求解结点 n=2的复杂电路时，显然只需列写出 2-1=1个结点电压方程式，即：
此式称弥尔曼定理。是结点电压法的特例
V1 US1/R1+US2/R2－ US4/R41/R
1+1/R2+1/R3+1/R4
=
R
R
U
V
1
S
S
1
例
+
_US2
+
_US1
I1 I2 I3
R1 R2
R3 －
＋ US4
R4
I4
①
直接应用弥尔曼定理求 V1可得注意,式中分子部分为各支路恒压源与其支路电阻之比的代数和，其中恒压源正极与结点 ①相近时取正，
反之取负；分母则为各支路电导之和。
应用结点电压法求解电路的一般形式为：
_
+
_US1
US2R1
R2
R6
R3
R4
I4
_ +
US3
+
R5
I5
I3
I1 I6
I2
① ② ③
④
选取结点 ④作为参考结点对结点 ①列结点电压方程：
正，反之取负。由负到正指向结点时取源路电阻的比值，若恒压点上的各恒压源与其支结方程式右边为连接到本为互电导，恒取负值。
称和点之间的电导恒为正值；跨接于两结称为自电导，与本结点相连的电导
43
431
3
S3
1
S1
4
4
3
3
1
431
11
111
11
)
111
(
RR
RRR
R
U
R
U
V
R
V
R
V
RRR
同理可得结点 ②和 ③
的结点电压方程式为：
2
S23
5142542
11)111(
R
UV
RVRVRRR
3
S31
3253635
11)111(
R
UV
RVRVRRR
归纳,让连接于结点①的自电导用 G11表示，连接于结点 ②
的自电导用 G22表示，连接于结点 ③ 的自电导用 G33表示，跨接在任意待求两结点之间的公共电导分别用 G12,G21,G23、
G32,G13,G31表示；汇集于结点 ①、②,③ 上的等效电流源分别用 ISS1,ISS2和 ISS3（或 USS1/RS1等）表示时，结点电压方程式的一般表达形式可写作：
)(/
)(/
)(/
S S 3S S 3S S 3331232333
S S 2S S 2S S 2323121222
S S 1S S 1S S 1313212111
IRUVGVGVG
IRUVGVGVG
IRUVGVGVG
或或或
式中等号左端的自电导 G11,G22,G33恒为 正值,互电导
G12,G21,G23,G32,G13,G31恒取 负值 ；等号右边为各结点汇集电流，如果是恒流源直接取其值，如果是电压源，则可根据电压源与电流源的等效条件求出其等效的电流源 US/RS，
并且令 指向结点的电流取正，背离结点的电流取负 。
用结点电压法求解下图所示电路中各支路电流。
首先将电路中所有电压源等效为电流源如上面右图示
① （ 1+1） V1－ V2=1-1=0
可解得,V1=0.4V; V2=0.8V; V12=V1－ V2=0.4－ 0.8=－ 0.4V
各支路电流分别为,I1=(2-0.4)/2=0.8A； I2=0.4/2=0.2A
例
1Ω
1A
1A① ②
0.5Ω
1A1Ω
＋
＋
－
－
2Ω
2V
2V
2Ω
① ②
0.5Ω
1A2Ω
2Ω
列出结点电压方程：
② （ 1+1/0.5） V2－ V1=1+1
I1 I2 I3
I4
I5
I3=0.8/0.5=1.6A； I4=(2－ 0.8+0.4)/2=0.8A ；
I5=(0.4－ 0.8)/2=－ 0.2A
思考 练习用结点电压法求解下图所示电路，与回路电流法相比较，
能得出什么结论？
此电路结点 n=3，用结点电压法求解此电路时，只需列出
3-1=2个独立的结点电压方程式：
3
S3
S2A
3
B
532
3
S3
S1B
3
A
431
1
)
111
(
1
)
111
(
R
U
IV
R
V
RRR
R
U
IV
R
V
RRR
R3
R4
A B
IS2IS1
R5 R2R1
I1 I4 I5 I2
I3＋ －US3
R3
R4
A B
IS2IS1
R5 R2R1
I1 I4 I5 I2
I3＋ －US3
再根据欧姆定律可求得：
1
A
1 R
VI?
2
B
2 R
VI?
3
S3BA
3 R
UVVI
4
A
4 R
VI?
5
B
5 R
VI?
如果用回路电流法，由于此电路有 5个网孔，所以需列 5个方程式联立求解，显然解题过程繁于结点电压法。因此对此类型（支路数多、结点少，回路多）
电路，应选择结点电压法解题。
说说结点电压法的适用范围，应用结点电压法求解电路时，能否不选择电路参考点？
结点电压法适用于支路数较多，结点数目较少的电路，待求量结点电压实际上是指待求结点相对于电路参考点之间的电压值，因此应用结点电压法求解电路时，必须首先选定电路参考结点，否则就失去了待求结点的相对性。
回路电流作为电路的独立待求量时，可自动满足结点电流定律，因此回路电流法与支路电流法相比可减少 n-1个
KCL方程式；结点电压作为电路的独立待求量时，可自动满足回路电压定律，与支路电流法相比可减少 m-n+1个
KVL方程式。两种方法都是为了减少方程式的数目而引入的解题方法。
比较回路电流法和结点电压法，你能从中找出它们相通的问题吗？
支路法、回路法和结点法的比较：
(2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立结点较容易。
(3) 回路法,结点法易于编程 。 目前用计算机分析网络 (电网,集成电路设计等 )采用结点法较多 。
支路法回路法结点法
KCL方程 KVL方程
n-1 m-n+1
0
0n-1
方程总数
m-n+1
n-1
m-n+1
m
(1) 方程数的比较
2.4 叠加定理在线性电路中,任何一条支路的电流或电压,
均可看作是由电路中各个电源单独作用时,各自在此支路上产生的电流或电压的叠加 。
1,定义
2,适用范围在多个电源同时作用的电路中，仅研究一个电源对多支路或多个电源对一条支路影响的问题。
3,研究目的在基本分析方法的基础上，学习线性电路所具有的特殊性质，更深入地了解电路中激励（电源）与响应（电压、电流）的关系。
在多个电源共同作用的 线性 电路中，某一支路的电压 (电流 )等于每个电源单独作用下，在该支路上所产生的 电压 (电流 )的代数和。
当电压源不作用时应视其短路，
而电流源不作用时则应视其开路。
计算功率时 不能 应用叠加原理。注意
I =I? I+?
IR1+
–
R2 I
S
US =
I?R1+
–
R2US
IR1
R2 I
S
US+
4,解题思路用叠加定理解决电路问题的实质，就是把含有多个电源的复杂电路分解为多个简单电路的叠加。
应用时要注意两个问题：一是某电源单独作用时，
其它 电源的处理方法 ；二是叠加时各分量的 方向问题 。以上问题的解决方法请看应用举例。
5,应用举例
+IS
I
R
RS
US
+
_
恒流源相当于开路
I″
R
RS IS
恒压源相当于短路内阻保留原电路 电压源单独作用时 电流源单独作用时
I′
R
RS
US
+
_
根据叠加定理；,RR RII"RR UI'
S
S
S
1S
S
I"I'I
用迭加原理求,I=?
I = I′+ I″= 2+（－ 1） =1A
根据叠加定理可得电流 I
例
+
-
I4A 20V
10?
10? 10?
I′4A
10?
10? 10?
+
-
I″ 20V
10?
10? 10?
A2214'I
4A电流源单独作用时：
A11010 20''I
20V电压源单独作用时：
1,叠加定理只 适用于 线性电路 求电压 和 电流 ；
不能 用叠加定理 求功率 (功率为电源的二次函数 )。
不适用 于 非线性 电路。
2,应用时电路的结构参数必须 前后一致 。
5,叠加时注意 参考方向 下求 代数和 。
3,不作用的电压源 短路 ；不作用的电流源 开路
4,含受控源线性电路可叠加,受控源 应始终 保留 。
应用叠加定理时注意以下几点：
例 求电压 Us 。
(1) 10V电压源单独作用,(2) 4A电流源单独作用：
+
–
10V
6?I1
4A
+
–
Us
+ –10 I1
4?
10V
+
–
6?I1' + –10 I1'
4?
+
–
Us'
6?I1''
4A
+
–
Us''
+ –10 I1''
4?
+
–
U1'
+
–
U1"
Us'= -10 I1'+U1' Us"= -10I1"+U1”
Us?= -10 I1?+U1?= -10× 1+4 = -6V
Us"= -10I1"+U1" = -10?(-1.6)+9.6=25.6V
共同作用下,Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
A146 101I
A6.1464 41I V6.94)46.1(1U
10V
+
–
6?I1' + –10 I1'
4?
+
–
Us'
+
–
U1'
6?I1''
4A
+
–
Us''
+ –10 I1''
4?
+
–
U1"
V446 410'1U
求下图电路中 5? 电阻 的电压 U 及功率 P。
先计算 20 V 电压源单独作用时的 电压 U?
U?= 20? 5 + 155 = 5 V
恒流源不作用时相当于 开路例
+ –
5?
+ –U
15?
10A
4?2?
20V + –
5?
+ –U'
15?
10A
4?2?
20V
再计算恒流源作用时的 U "
5?
+ –U"
15?
10A
4?2?– 10?
5+15
15? 5 = – 37.5 VU=
+ –
5?
+ –U 15?
10A4?2?
20V
5?
+ –U"
15?
10A
4?2?+
+ –
5?
+ –U' 15?
10A4?2?
20V
根据叠加定理可得,U=U'+U"=5+(－ 37.5)=－ 32.5V
P = 5(–32.5)
2
= 221.25 W5?电阻的功率为,
若用叠加定理计算功率：
W25.2 8 625.2 8 155 )7.37(55
22
P
用叠加原理计算功率是错误的 。想一想，为什么？
“恒压源不起作用”或“令其等于 0”，即是将此恒压源用短接线代替，但恒压源所在支路的电阻应注意保留；
“恒流源不起作用”或“令其等于 0”，即是将此恒流源拿掉，使恒流源所在支路断开，恒流源所在支路的电阻也一并拿掉。
电压和电流的求解可应用叠加定理，是因为它们和电阻之间遵循着线性的欧姆定律关系；而功率只所以不能应用叠加定理，原因是功率和电阻之间不是线性关系，而是二次函数关系。
通过上述例题你理解下面问题吗？
2.5 戴维南定理
1,定义对外电路来说，任何一个线性有源二端网络，
均可以用一个恒压源 US和一个电阻 R0串联的有源支路等效代替。其中恒压源 US等于线性有源二端网络的开路电压 UOC，电阻 R0等于线性有源二端网络除源后的入端等效电阻 Rab。
2,适用范围只求解复杂电路中的某一条支路电流或电压时。
线性有源二端网络
a
b
a
b
R0
US
+
-
已知,R1=20?,R2=30?
R3=30?,R4=20?
U=10V
求,当 R5=16? 时,I5=?
R1
R3
+ _
R2
R4
R5
U
I5
R5
I5R1
R3
+ _
R2
R4
U
等效电路有源二端网络
3,应用举例例
US =UOC
先求等效电源 US及 R0
2V4-6
2030
20
10
3020
30
10
DBADOC
UUU
I520Ω
+ _
A
B
30Ω
30Ω 20Ω
10V
16Ω
US
R0+
_
A
B
求 戴维南等效电路
R0 =RAB
UOC
20Ω
+ _
A
+
_
30Ω
30Ω 20Ω
10V
B
C D
再求输入电阻 RAB 恒压源被短接后,CD
成为一点，电阻 R1和
R2,R3 和 R4 分别并联后相串联，即：
R0=RAB=20//30＋ 30//20
=12+12=24Ω
得原电路的 戴维南等效电路
A05.0
1624
2
5I
C R
AB
20Ω
A
30Ω
30Ω 20Ω
B
D
A
2V
24Ω+
_
16Ω
I5
B
由全电路欧姆定律可得：
US =(30/50)RS +30 ①
下图所示有源二端网络，用内阻为 50k?的电压表测出开路电压值是 30V，换用内阻为 100k?的电压表测得开路电压为 50V，求该网络的戴维南等效电路。
有源 VU
0C二端网络
U0C
150V
200KΩ
RV＋
－
根据测量值列出方程式：
应用举例例
US =(50/100)RS +50 ②
① 式代入②式后可得,
0.6RS+30 =0.5RS +50 ③
由 ③ 式解得,RS =200 k? 代 ①
又可解得,US =150V
例 R多大时能从电路中获得最大功率，并求此最大功率。15V 5V
2A
+
20?
+
- -
20?
10?
5?
+
-85V
R
10?
2A 5?
+
-85V
R
10?
0.5A
20? 50V
30?
+
-
R85V
5?
+
-
A
B
80V
4.29?
+
-
R
A
B
R =4.29?时可 获得最大功率
W3 7 329.44 80
2
m a xP
（ 1） 将待求支路与原有源二端网络分离,对断开的两个端钮分别标以记号 （ 如 A,B） ；
戴维南定理的解题步骤
（ 2）应用所学过的各种电路求解方法，对有源二端网络求解其开路电压 UOC；
（ 3）把有源二端网络进行除源处理（恒压源短路、
恒流源开路），对无源二端网络求其入端电阻 RAB；
（ 4）让开路电压等于等效电源的 US，入端电阻等于等效电源的内阻 R0，则戴维南等效电路求出。此时再将断开的待求支路接上，最后根据欧姆定律或分压、分流关系求出电路的待求响应。
思考 练习
1.在电路分析时，独立源与受控源的处理上有哪些相同之处？哪些不同之处？
分析,电路分析过程中，在受控源的控制量存在情况下，受控源在电路中起电源作用，此时它和独立源具有相同的特性，理想受控源之间仍然不能进行等效变换，含有内阻的受控源之间可以等效变换，等效变换的条件与独立源类似。由于受控源的数值受电路中某处电压（或电流）的控制，因此它不象独立源那样数值恒定，而是随控制量的变化而改变，因此在电路变换的过程中，特别要注意不能随意把受控源的控制量变换掉；另外在求等效电阻时，只要电路中存在控制量，受控源不能按零值处理。
2.如何求解戴维南等效电路的电压源 US及内阻 R0？该定理的物理实质是什么？
戴维南等效电路的恒压源 US等于原有源二端网络的开路电压 UOC,其计算方法可根据有源二端网络 的实际情况,适当地选用所学的电阻性网络分析的方法及电源等效变换,叠加原理等进行求解 。
内阻 R0等于原有源二端网络除源 （ 令其内部所有恒压源短路,恒流源开路 ） 后的入端电阻,其计算方法除了用无源二端网络的等效变换方法求出其等效电阻,还可以采用以下两种方法进行求解：
将有源二端网络开路后，求出其开路电压 UOC，
再将有源二端网络短路，求出其短路电流 ISC，开路电压与短路电流的比值即等于戴维南等效电源的内阻
R0。
1,开路、短路法求解 R0
2,外加电源法求解 R0
将有源二端网络除源，在得到一个无源二端网络后，在其两端外加一个恒压源 US（或恒流源 IS），
求出恒压源提供的电流 I（或恒流源两端的电压 U），
则恒压源 US与电流 I的比值（或恒流源端电压 U与恒流源 IS之比值）即等于戴维南等效电源的内阻 R0。
(1) 求开路电压 UOC
UOC=6I1+3I1
I1=9÷ (6+3)=1A
UOC=9V
电路如图示，求 UR 。例 I
1+
– 9V
UR
+–
3Ω
6I16Ω
3Ω
+
–将待求支路断开 –
UOC
(2) 求等效电阻 Ro
I1+
– 9V
+–
3Ω
6I16Ω
ISC
法一：开路、短路法求 Ro
3I1 =6I1 → I1=0
ISC=9/6=1.5A
R0 =UOC/ISC=9/1.5=6Ω
法二：加压求流法求 Ro
I1 +
–U
+–
3Ω
6I16Ω
I
U=6I1+3I1=9I1
I1=I = I66+3 23
R0 =U/I=6I/I=6Ω
+
–
3? UR
-
+6?
9V
戴维南等效电路
V3936 3RU
应用法二时应注意独立源置零，受控源保留。
希望同学们对本章内容予以重视，多做习题才能真正掌握其方法。
