1
§ 4.3 光栅衍射一,光栅（ grating）
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
(补图 )因而主极大的位置很难测准．
通常用多缝干涉,这就涉及到光栅．
光栅 —— 大量等宽等间距的平行狭缝或反射面构成的光学元件。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
a透光 b不 透光
2
a----是透光（反光）部分的宽度，
b----是不透光 (不反光 )部分的宽度，
d = a + b----光栅常数,(两缝之间的距离 )
d
透射光栅
d
反射光栅实用光栅,几十条 /mm?几千条 /mm
用电子束刻制可达 几万条 /mm
a
b
3
二,多光束干涉先不考虑衍射的影响 (即认为缝极细 )，
看 N=4 束光的相干叠加。
由于光栅有周期性,只须考虑其中相邻两个缝到 P点的光程差。
o
P
焦距 f
缝平面 G 观察屏透镜
L?
dsin?
d?
4
例,N=4 的多光束干涉图：
0级 +1级-1级
5
N=4 的多光束干涉图分析：
(1)主极大 (亮纹 ):
),2,1,0(s i n kkd
(与双缝干涉的亮纹公式一样 )称为正入射时的 光栅方程,
dk
s i n或相应地,相邻两个缝到 P点的光程差为
k2
1E
1NE
1E
212?ENI
P?
12 INI?
即光强 是单个细缝光强的 N2倍,
6
(2)极小 (暗纹 )条件：
合振幅为零,各振幅矢量构成闭合多边形，
其外角和,
2s i n d (2)又
Nkd s i n由 (1)(2)
)1(2 kN
k=0,1,2,----
Nkk,3,2,1
一圈
（记）
7
例,N=4 时,极小的位置是
,410,49,47,46,45,43,42,41s i n dddddddd
在相邻两个主极大之间有 N-1 （ =3 ） 个极小,
Nkd s i n Nkk,3,2,1
在 k 级明纹旁边两条暗纹的极次是
NNkd )1(s i n NNkd )1(s i n
,1),(,1,,12),2(,12,,1),(,1,,2,1),0(
,,2,1,0
kNkNkNNNNNNNk
kk
8
(3)次极大,
在两相邻暗纹间还应有一个次极大，
故 相邻主极大间还有 N－ 2个次极大 。
次极大 相当于合振幅是在零与最大之间的情形,
9
N=4 光束干涉图,
0级 +1级-1级
10
当 N很大时 (如 100)：
一方面主极大的亮度是单缝的 N2 倍 ;
另一方面暗区大大增宽相邻两个主极大间有 N-1 个极小,
有 N-2 个次极大,
-------谱线窄而亮！
11
三,衍射对干涉图样的影响：
不考虑衍射时 (即缝极细 ),双缝干涉 的光强分布图如下：
现靠虑衍射,设双缝的每个缝宽均为 a，
如下图所示：
12
若只开上缝,
衍射的中央亮纹在何处?
若只开下缝,衍射的中央亮纹在何处?
只要 透镜光心 的相对位置不动,则两套条纹的位置是完全一样的,
现在,同时打开两缝,两束衍射光将发生干涉,
13
由于两个缝来的是相干光,在缝非常靠近,且?
很小的条件下,
21 II?
因此双缝干涉条纹的强度是单缝光强的 4倍,
14
衍射的影响,干涉条纹主极大的位置虽没有变化，但 强度受到衍射的调制而变化 ；
并且出现了 明纹缺级现象：
干涉明纹中心位置
,2,1,0s i n kkd,
衍射暗纹位置
,3,2,1 s i n kka,
当
k
k
a
d
时,,出现缺级,
缺的干涉亮纹级次
k
a
d
k
15
例如 d = 2a 时，缺 ± 2,± 4,± 6? 级。
以 N=5,=4的情形为例，
单缝衍射和光栅衍射的光强分布如图示
（注意,
主极大缺
± 4,± 8? 级）
a
d
缺的干涉亮纹级次
k
a
d
k
16
四,光栅夫琅禾费衍射的光强分布公式设光栅的每个单缝在 P点 (对应衍射角? )
引起的光振动振幅近似相等，由上节知为：
光栅的相邻缝在 p的光振动的相位差为,
再一次用 N个同方向、同频率、振幅为 E0(P),
相位依次差 的光振动的合振幅公式，
得到：
s i n
00 EE p
s ina( )
s i n2 d
E0---单缝中央主极大光矢量。
17
s i n
s i ns i n
2
s i n
2
s i n
00
N
E
N
EA pp
s i n d2?
式中
P点的总光强为
22
0
s i n
s i ns i n NII
p
式中 I0── 单缝中央主极大光强单缝衍射因子 干涉因子
(下图,N=4,d=4a 光栅衍射的 光强相对分布 )
18
sin?0
I单I
0单
-2 -1 1 2 (?/a)
单缝衍射光强曲线
I N2I0单
0 4 8-4-8 sin? (?/d)
单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线
sin?
N2
sin2N?/sin2?
0 4-8 -4 8 (?/d)
多光束干涉光强曲线
a d,N 4 4例
19
五,斜入射的光栅方程、相控阵雷达如图所示，斜入射时，相邻两缝的光束在入射前已有光程差，衍射后又有光程差，
总光程差
)s i n( s i n idABDC
斜入射 的光栅方程 (明纹 )
kid )s i n( s i n
入射角 i和衍射角?
的 符号规定,均以逆时针为正。
λ
d sin?
光栅 观察屏L
o
P
f
i
d sin i
20
由斜入射的光栅方程知：
k确定时，调节 i，则? 相应改变。
例如，令 k=0(零级 ),idd s i ns i n则相邻两束光入射前的相差为
2s i n id
di 2s i n
上式表明,改变 即可改变入射角 i，
此结论就是,相控阵雷达,扫描的基本原理。
21
微波源移相器辐射单元
d
n?
靶目标一维阵列的相控阵雷达
22
用电子学方法周期性地连续改变相邻辐射单元的相差，则 0级主极大的衍射角，也连续变化，从而实现扫描 —— 相位控制扫描,
（也可以固定入射角 i，而连续改变?来改变?
-----频（率） 控（制）扫描）,
靶目标反射的回波也可通过同样的天线阵列接收,
改变 就能接收来自不同方位的波束。
然后用计算机处理，提供靶目标的多种信息 —— 大小，速度，方位?
23
相控阵雷达的优点：
1,无机械惯性，可高速扫描，
一次全程扫描仅需几微秒 。
2,由计算机控制可形成多种波束，
同时搜索、跟踪多个目标。
3,不转动、天线孔径可做得很大，
从而有效地提高辐射功率、作用距离、
分辨率（下节讲） …
实际的相控阵雷达是由多个辐射单元组成的平面阵列，以扩展扫描范围和提高雷达束强度。
(补图 )
24
我国和世界上的许多大国都拥有相控阵雷达，
军用 如,爱国者,导弹的雷达，
民用 如地形测绘、
气象控测、
导航、
测速（反射波的多普勒频移）?,
§ 4.3 光栅衍射一,光栅（ grating）
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
(补图 )因而主极大的位置很难测准．
通常用多缝干涉,这就涉及到光栅．
光栅 —— 大量等宽等间距的平行狭缝或反射面构成的光学元件。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
a透光 b不 透光
2
a----是透光（反光）部分的宽度，
b----是不透光 (不反光 )部分的宽度，
d = a + b----光栅常数,(两缝之间的距离 )
d
透射光栅
d
反射光栅实用光栅,几十条 /mm?几千条 /mm
用电子束刻制可达 几万条 /mm
a
b
3
二,多光束干涉先不考虑衍射的影响 (即认为缝极细 )，
看 N=4 束光的相干叠加。
由于光栅有周期性,只须考虑其中相邻两个缝到 P点的光程差。
o
P
焦距 f
缝平面 G 观察屏透镜
L?
dsin?
d?
4
例,N=4 的多光束干涉图：
0级 +1级-1级
5
N=4 的多光束干涉图分析：
(1)主极大 (亮纹 ):
),2,1,0(s i n kkd
(与双缝干涉的亮纹公式一样 )称为正入射时的 光栅方程,
dk
s i n或相应地,相邻两个缝到 P点的光程差为
k2
1E
1NE
1E
212?ENI
P?
12 INI?
即光强 是单个细缝光强的 N2倍,
6
(2)极小 (暗纹 )条件：
合振幅为零,各振幅矢量构成闭合多边形，
其外角和,
2s i n d (2)又
Nkd s i n由 (1)(2)
)1(2 kN
k=0,1,2,----
Nkk,3,2,1
一圈
（记）
7
例,N=4 时,极小的位置是
,410,49,47,46,45,43,42,41s i n dddddddd
在相邻两个主极大之间有 N-1 （ =3 ） 个极小,
Nkd s i n Nkk,3,2,1
在 k 级明纹旁边两条暗纹的极次是
NNkd )1(s i n NNkd )1(s i n
,1),(,1,,12),2(,12,,1),(,1,,2,1),0(
,,2,1,0
kNkNkNNNNNNNk
kk
8
(3)次极大,
在两相邻暗纹间还应有一个次极大，
故 相邻主极大间还有 N－ 2个次极大 。
次极大 相当于合振幅是在零与最大之间的情形,
9
N=4 光束干涉图,
0级 +1级-1级
10
当 N很大时 (如 100)：
一方面主极大的亮度是单缝的 N2 倍 ;
另一方面暗区大大增宽相邻两个主极大间有 N-1 个极小,
有 N-2 个次极大,
-------谱线窄而亮！
11
三,衍射对干涉图样的影响：
不考虑衍射时 (即缝极细 ),双缝干涉 的光强分布图如下：
现靠虑衍射,设双缝的每个缝宽均为 a，
如下图所示：
12
若只开上缝,
衍射的中央亮纹在何处?
若只开下缝,衍射的中央亮纹在何处?
只要 透镜光心 的相对位置不动,则两套条纹的位置是完全一样的,
现在,同时打开两缝,两束衍射光将发生干涉,
13
由于两个缝来的是相干光,在缝非常靠近,且?
很小的条件下,
21 II?
因此双缝干涉条纹的强度是单缝光强的 4倍,
14
衍射的影响,干涉条纹主极大的位置虽没有变化，但 强度受到衍射的调制而变化 ；
并且出现了 明纹缺级现象：
干涉明纹中心位置
,2,1,0s i n kkd,
衍射暗纹位置
,3,2,1 s i n kka,
当
k
k
a
d
时,,出现缺级,
缺的干涉亮纹级次
k
a
d
k
15
例如 d = 2a 时，缺 ± 2,± 4,± 6? 级。
以 N=5,=4的情形为例，
单缝衍射和光栅衍射的光强分布如图示
（注意,
主极大缺
± 4,± 8? 级）
a
d
缺的干涉亮纹级次
k
a
d
k
16
四,光栅夫琅禾费衍射的光强分布公式设光栅的每个单缝在 P点 (对应衍射角? )
引起的光振动振幅近似相等，由上节知为：
光栅的相邻缝在 p的光振动的相位差为,
再一次用 N个同方向、同频率、振幅为 E0(P),
相位依次差 的光振动的合振幅公式，
得到：
s i n
00 EE p
s ina( )
s i n2 d
E0---单缝中央主极大光矢量。
17
s i n
s i ns i n
2
s i n
2
s i n
00
N
E
N
EA pp
s i n d2?
式中
P点的总光强为
22
0
s i n
s i ns i n NII
p
式中 I0── 单缝中央主极大光强单缝衍射因子 干涉因子
(下图,N=4,d=4a 光栅衍射的 光强相对分布 )
18
sin?0
I单I
0单
-2 -1 1 2 (?/a)
单缝衍射光强曲线
I N2I0单
0 4 8-4-8 sin? (?/d)
单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线
sin?
N2
sin2N?/sin2?
0 4-8 -4 8 (?/d)
多光束干涉光强曲线
a d,N 4 4例
19
五,斜入射的光栅方程、相控阵雷达如图所示，斜入射时，相邻两缝的光束在入射前已有光程差，衍射后又有光程差，
总光程差
)s i n( s i n idABDC
斜入射 的光栅方程 (明纹 )
kid )s i n( s i n
入射角 i和衍射角?
的 符号规定,均以逆时针为正。
λ
d sin?
光栅 观察屏L
o
P
f
i
d sin i
20
由斜入射的光栅方程知：
k确定时，调节 i，则? 相应改变。
例如，令 k=0(零级 ),idd s i ns i n则相邻两束光入射前的相差为
2s i n id
di 2s i n
上式表明,改变 即可改变入射角 i，
此结论就是,相控阵雷达,扫描的基本原理。
21
微波源移相器辐射单元
d
n?
靶目标一维阵列的相控阵雷达
22
用电子学方法周期性地连续改变相邻辐射单元的相差，则 0级主极大的衍射角，也连续变化，从而实现扫描 —— 相位控制扫描,
（也可以固定入射角 i，而连续改变?来改变?
-----频（率） 控（制）扫描）,
靶目标反射的回波也可通过同样的天线阵列接收,
改变 就能接收来自不同方位的波束。
然后用计算机处理，提供靶目标的多种信息 —— 大小，速度，方位?
23
相控阵雷达的优点：
1,无机械惯性，可高速扫描，
一次全程扫描仅需几微秒 。
2,由计算机控制可形成多种波束，
同时搜索、跟踪多个目标。
3,不转动、天线孔径可做得很大，
从而有效地提高辐射功率、作用距离、
分辨率（下节讲） …
实际的相控阵雷达是由多个辐射单元组成的平面阵列，以扩展扫描范围和提高雷达束强度。
(补图 )
24
我国和世界上的许多大国都拥有相控阵雷达，
军用 如,爱国者,导弹的雷达，
民用 如地形测绘、
气象控测、
导航、
测速（反射波的多普勒频移）?,
