习 题
1-1,已知质点位矢随时间变化的函数形式为
其中为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。
解：1） 由知
消去t可得轨道方程
2）
1-2,已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为，的单位为.求：（1）质点的轨道；（2）从到秒的位移；（3）和秒两时刻的速度。
解：1）由可知
消去t得轨道方程为：
2）
3）
1-3,已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为，的单位为.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
解：1）
2）
1-4,一升降机以加速度上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。
解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为
（1） 图 1-4
（2）
（3）
解之
1-5,一质量为的小球在高度处以初速度水平抛出，求：
（1）小球的运动方程；
（2）小球在落地之前的轨迹方程；
（3）落地前瞬时小球的，，.
解：（1） 式（1）
式（2）
（2）联立式（1）、式（2）得
（3） 而 落地所用时间
所以
1-6,路灯距地面的高度为，一身高为的人在路灯下以匀速沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度.
证明：设人从O点开始行走，t时刻人影中足的坐标为,人影中头的坐标为，由几何关系可得 图 1-6
而
所以，人影中头的运动方程为
人影中头的速度
1-7,一质点沿直线运动，其运动方程为(m)，在 t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？
解： 若 解的
1-8,一弹性球直落在一斜面上，下落高度，斜面对水平的倾角，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。
图 1-8
解：小球落地时速度为 一 建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图
（1）
（2）
第二次落地时
所以
1-9,地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为，设赤道上重力加速度为.
解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足
现在赤道上物体
1-10,已知子弹的轨迹为抛物线，初速为，并且与水平面的夹角为.试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。
解：在顶点处子弹的速度，顶点处切向加速度为0。
因此有：
在落地点速度为
1-11,飞机以的速度沿水平直线飞行，在离地面高时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?
解：设此时飞机距目标水平距离为有：
联立方程解得：
1-12,设将两物体和分别以初速和抛掷出去．与水平面的夹角为；与水平面的夹角为，试证明在任何时刻物体相对物体的速度是常矢量。
解：两个物体在任意时刻的速度为
与时间无关，故相对物体的速度是常矢量。
1-13,一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为，而气球以速度匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？
物体在任意时刻的速度表达式为
故气球中的观察者测得物体的速度
代入时间t可以得到第二秒末物体速度
第三秒末物体速度
第四秒末物体速度
1-14,质点沿在轴向运动，加速度，为常数．设从原点出发时速度为，求运动方程.
解,
1-15,跳水运动员自跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度，.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。
解：取水面为坐标原点，竖直向下为轴跳水运动员入水速度
1-16,一飞行火箭的运动学方程为：，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。
解：（1）
（2）
1-17,质点的运动方程为：式中为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。
解：（1）轨道方程为
这是一条空间螺旋线。
在O平面上的投影为圆心在原点，半径为R的圆，螺距为h
（2）
（3）
思考题
1-1,质点作曲线运动，其瞬时速度为，瞬时速率为，平均速度为，平均速率为，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?
（1）；（2）；（3）；（4）
答,（3） 1-2,质点的关系如图，图中，，三条线表示三个速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？
答：
1-3,结合图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。
答：平均加速度表示速度在时间内的平均变化率，它只能粗略地反映运动速度的变化程度和方向，而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化及方向。
1-4,运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗？
答：是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的变化率减小。
1-5,如图所示，两船和相距，分别以速度和匀速直线行驶，它们会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离．图中和为已知。
答：方法一 如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B的速度,
是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于方向的直线BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰.
由A作BC垂线AC,其长度就是两船相靠最近的距离
作FD//AB,构成直角三角形DEF,故有
在三角形BEF中,由余弦定理可得
方法二：
两船在任一时刻的位置矢量分别为
任一时刻两船的距离为
令
1-6,若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？
（1），；（2），；（3），
答,(1) 质点作圆周运动.
(2) 质点作匀速率曲线运动.
(3) 质点作抛体运动.
1-7,一质点作斜抛运动，用代表落地时，.
（1）说明下面三个积分的意义：
.
（2）用和代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：
.
答, 表示物体落地时x方向的距离
表示物体落地时y方向的距离
表示物体在时间内走过的几何路程.
抛出点到落地点的位移
抛出点到落地点位移的大小
抛出点到落地点位移的大小
1-1,已知质点位矢随时间变化的函数形式为
其中为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。
解：1） 由知
消去t可得轨道方程
2）
1-2,已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为，的单位为.求：（1）质点的轨道；（2）从到秒的位移；（3）和秒两时刻的速度。
解：1）由可知
消去t得轨道方程为：
2）
3）
1-3,已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为，的单位为.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
解：1）
2）
1-4,一升降机以加速度上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。
解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为
（1） 图 1-4
（2）
（3）
解之
1-5,一质量为的小球在高度处以初速度水平抛出，求：
（1）小球的运动方程；
（2）小球在落地之前的轨迹方程；
（3）落地前瞬时小球的，，.
解：（1） 式（1）
式（2）
（2）联立式（1）、式（2）得
（3） 而 落地所用时间
所以
1-6,路灯距地面的高度为，一身高为的人在路灯下以匀速沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度.
证明：设人从O点开始行走，t时刻人影中足的坐标为,人影中头的坐标为，由几何关系可得 图 1-6
而
所以，人影中头的运动方程为
人影中头的速度
1-7,一质点沿直线运动，其运动方程为(m)，在 t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？
解： 若 解的
1-8,一弹性球直落在一斜面上，下落高度，斜面对水平的倾角，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。
图 1-8
解：小球落地时速度为 一 建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图
（1）
（2）
第二次落地时
所以
1-9,地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为，设赤道上重力加速度为.
解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足
现在赤道上物体
1-10,已知子弹的轨迹为抛物线，初速为，并且与水平面的夹角为.试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。
解：在顶点处子弹的速度，顶点处切向加速度为0。
因此有：
在落地点速度为
1-11,飞机以的速度沿水平直线飞行，在离地面高时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?
解：设此时飞机距目标水平距离为有：
联立方程解得：
1-12,设将两物体和分别以初速和抛掷出去．与水平面的夹角为；与水平面的夹角为，试证明在任何时刻物体相对物体的速度是常矢量。
解：两个物体在任意时刻的速度为
与时间无关，故相对物体的速度是常矢量。
1-13,一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为，而气球以速度匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？
物体在任意时刻的速度表达式为
故气球中的观察者测得物体的速度
代入时间t可以得到第二秒末物体速度
第三秒末物体速度
第四秒末物体速度
1-14,质点沿在轴向运动，加速度，为常数．设从原点出发时速度为，求运动方程.
解,
1-15,跳水运动员自跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度，.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。
解：取水面为坐标原点，竖直向下为轴跳水运动员入水速度
1-16,一飞行火箭的运动学方程为：，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。
解：（1）
（2）
1-17,质点的运动方程为：式中为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。
解：（1）轨道方程为
这是一条空间螺旋线。
在O平面上的投影为圆心在原点，半径为R的圆，螺距为h
（2）
（3）
思考题
1-1,质点作曲线运动，其瞬时速度为，瞬时速率为，平均速度为，平均速率为，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?
（1）；（2）；（3）；（4）
答,（3） 1-2,质点的关系如图，图中，，三条线表示三个速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？
答：
1-3,结合图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。
答：平均加速度表示速度在时间内的平均变化率，它只能粗略地反映运动速度的变化程度和方向，而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化及方向。
1-4,运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗？
答：是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的变化率减小。
1-5,如图所示，两船和相距，分别以速度和匀速直线行驶，它们会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离．图中和为已知。
答：方法一 如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B的速度,
是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于方向的直线BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰.
由A作BC垂线AC,其长度就是两船相靠最近的距离
作FD//AB,构成直角三角形DEF,故有
在三角形BEF中,由余弦定理可得
方法二：
两船在任一时刻的位置矢量分别为
任一时刻两船的距离为
令
1-6,若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？
（1），；（2），；（3），
答,(1) 质点作圆周运动.
(2) 质点作匀速率曲线运动.
(3) 质点作抛体运动.
1-7,一质点作斜抛运动，用代表落地时，.
（1）说明下面三个积分的意义：
.
（2）用和代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：
.
答, 表示物体落地时x方向的距离
表示物体落地时y方向的距离
表示物体在时间内走过的几何路程.
抛出点到落地点的位移
抛出点到落地点位移的大小
抛出点到落地点位移的大小
