+++++++习题
4-1,如图所示的圆锥摆，绳长为l，绳子一端固定，另一端系一质量为m的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求：
（1）质点所受合外力的冲量I；
（2）质点所受张力T的冲量IT。
解：
（1）根据冲量定理：
其中动量的变化：
在本题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为0，冲量之和也为0，所以本题中质点所受合外力的冲量I为零
（2）该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相反。
重力产生的冲量=mgT=2?mg/?；所以拉力产生的冲量?2?mg/?，方向为竖直向上。
4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度=4m/s。已知其中一力F方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求：
（1）力F在1s到3s间所做的功；
（2）其他力在1s到s间所做的功。
解：
（1）由做功的定义可知：
（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F做的功为125.6J时，其他的力的功为-125.6J。
4-3.质量为的质点在平面内运动，运动学方程为，求：
（1）质点在任一时刻的动量；
（2）从到的时间内质点受到的冲量。
解：（1）根据动量的定义：
（2）从到的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动量的变化，因为动量没变，所以冲量为零。
4-4.质量为M=2.0kg的物体（不考虑体积），用一根长为l=1.0m的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m=20g的子弹以=600m/s的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小=30m/s，设穿透时间极短。求：
（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；
（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。
解：
（1）解：由碰撞过程动量守恒可得,
代入数据 可得：
根据圆周运动的规律：T-G=
（2）根据冲量定理可得,
4-5,一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为，中微子的动量为，两动量方向彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为，求其反冲动能。
由碰撞时，动量守恒，分析示意图，可写成分量式：
所以
（2）反冲的动能为：
4-6,一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为，子弹从枪口射出时的速率为。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：
（1）子弹走完枪筒全长所用的时间；
（2）子弹在枪筒中所受力的冲量；
（3）子弹的质量。
解：（1）由和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以得到： 算出t=0.003s。
（2）由冲量定义：
（3）由动量定理：
4-7,有质量为的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。
解：在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为xc。
因为，
故
4-8,两个质量分别为和的木块，用一劲度系数为的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。紧靠墙。今用力推块，使弹簧压缩然后释放。（已知，）求：
（1）释放后两滑块速度相等时的瞬时速度的大小；
（2）弹簧的最大伸长量。
解：分析题意，可知在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B木块的动能，然后B带动A一起运动，此时动量守恒，可得到两者相同的速度v,并且此时就是弹簧伸长最大的位置，由机械能守恒可算出其量值。
所以
（2）
那么计算可得：
4-9,二质量相同的小球，一个静止，一个以速度0与另一个小球作对心碰撞，求碰撞后两球的速度。（1）假设碰撞是完全非弹性的；（2）假设碰撞是完全弹性的；（3）假设碰撞的恢复系数,
解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件，可得
（1）假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行：
所以：
（2）假设碰撞是完全弹性的，
两球交换速度,
（3）假设碰撞的恢复系数，也就是
所以：,
4-10,如图，光滑斜面与水平面的夹角为，轻质弹簧上端固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动．当木块向下滑时，恰好有一质量的子弹，沿水平方向以速度射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为。求子弹打入木块后它们的共同速度。
解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：
(碰撞前木快的速度)
4-11,水平路面上有一质量的无动力小车以匀速率0运动。小车由不可伸长的轻绳与另一质量为的车厢连接，车厢前端有一质量为的物体，物体与车厢间摩擦系数为。开始时车厢静止，绳未拉紧。求：
(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时，物体相对车厢的位移；
(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需要的时间。(车与路面间摩擦不计，取g =10m/s2)
解：（1）由碰撞过程动量守恒，可得
（2）
4-12,一质量为千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧的末端，静止在光滑水平面上，弹簧的劲度系数为.一质量为的子弹射入木块后，弹簧长度被压缩了.
(1)求子弹的速度；(2)若子弹射入木块的深度为，求子弹所受的平均阻力。
解：（1）碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后的运动由机械能守恒条件可得,
计算得到：
（2）子弹射入木快所受的阻力做功使子弹动能减小，木块动能增加，两次作功的位移差为s，所以：
其中
所以：
4-13,质量为、长为的船浮在静止的水面上，船上有一质量为的人，开始时人与船也相对静止，然后人以相对于船的速度从船尾走到船头，当人走到船头后人就站在船头上，经长时间后，人与船又都静止下来了。设船在运动过程中受到的阻力与船相对水的速度成正比，即.求在整个过程中船的位移.
4-14,以初速度0将质量为m的质点以倾角从坐标原点处抛出。设质点在Oxy平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻：
（1）作用在质点上的力矩M；
（2）质点的角动量L
解：（1）
（2）
4-15,人造地球卫星近地点离地心r1=2R，（R为地球半径），远地点离地心r2=4R。求：
（1）卫星在近地点及远地点处的速率1和2（用地球半径R以及地球表面附近的重力加速度g来表示）；
（2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径ρ。
解：利用角动量守恒：
同时利用卫星的机械能守恒，所以：
所以,
（2） 可得到：
4-16火箭以第二宇宙速度沿地球表面切向飞出，如图所示。在飞离地球过程中，火箭发动机停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心4R的A处的速度。
解：第二宇宙速度，由机械能守恒:
代入：
思考题4
4-1,一粒子初时沿轴负向以速度运动，后被位于坐标原点的金核所散射，使其沿与轴成的方向运动(速庹大小不变)．试用矢量在图上表出粒子所受到的冲量的大小和方向。
见图4-25。
4-2,试用所学的力学原理解释逆风行舟的现象。
可用动量定理来解释。设风沿与航向成角的方向从右前方吹来，以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研究对象，表示这块空气的质量，和分别表示它吹向帆面和离开帆面时的速度，由于帆面比较光滑，风速大小基本不变，但是由于的速度方向改变了，所以一定是受到帆的作用力，根据牛顿第三定律，必然对帆有一个反作用力，此力的方向偏向船前进的方向，将分解为两个分量，垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡，与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。
4-3,两个有相互作用的质点和（），已知在不受外力时它们的总动量为零，的轨迹如图，试画出质点的运动轨迹。
见图4-26。
4-4,当质量为的人造卫星在轨道上运动时，常常列出下列三个方程：
试分析上述三个方程各在什么条件下成立。
4-5,在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）哪些量守恒？
对于这个系统，能量守恒，因为没有外力做功；
4-6,体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是：
（A）甲先到达；（B）乙先到达；（C）同时到达；（D）谁先到达不能确定。
答:本题测试的是刚体系统的角动量定理和角动量守恒的概念.
当两小孩质量相等时,M=0.则系统角动量守恒,两人的实际的速度相同,将同时到达滑轮处,与谁在用力,谁不在用力无关.
选择C。
4-1,如图所示的圆锥摆，绳长为l，绳子一端固定，另一端系一质量为m的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求：
（1）质点所受合外力的冲量I；
（2）质点所受张力T的冲量IT。
解：
（1）根据冲量定理：
其中动量的变化：
在本题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为0，冲量之和也为0，所以本题中质点所受合外力的冲量I为零
（2）该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相反。
重力产生的冲量=mgT=2?mg/?；所以拉力产生的冲量?2?mg/?，方向为竖直向上。
4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度=4m/s。已知其中一力F方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求：
（1）力F在1s到3s间所做的功；
（2）其他力在1s到s间所做的功。
解：
（1）由做功的定义可知：
（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F做的功为125.6J时，其他的力的功为-125.6J。
4-3.质量为的质点在平面内运动，运动学方程为，求：
（1）质点在任一时刻的动量；
（2）从到的时间内质点受到的冲量。
解：（1）根据动量的定义：
（2）从到的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动量的变化，因为动量没变，所以冲量为零。
4-4.质量为M=2.0kg的物体（不考虑体积），用一根长为l=1.0m的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m=20g的子弹以=600m/s的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小=30m/s，设穿透时间极短。求：
（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；
（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。
解：
（1）解：由碰撞过程动量守恒可得,
代入数据 可得：
根据圆周运动的规律：T-G=
（2）根据冲量定理可得,
4-5,一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为，中微子的动量为，两动量方向彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为，求其反冲动能。
由碰撞时，动量守恒，分析示意图，可写成分量式：
所以
（2）反冲的动能为：
4-6,一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为，子弹从枪口射出时的速率为。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：
（1）子弹走完枪筒全长所用的时间；
（2）子弹在枪筒中所受力的冲量；
（3）子弹的质量。
解：（1）由和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以得到： 算出t=0.003s。
（2）由冲量定义：
（3）由动量定理：
4-7,有质量为的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。
解：在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为xc。
因为，
故
4-8,两个质量分别为和的木块，用一劲度系数为的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。紧靠墙。今用力推块，使弹簧压缩然后释放。（已知，）求：
（1）释放后两滑块速度相等时的瞬时速度的大小；
（2）弹簧的最大伸长量。
解：分析题意，可知在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B木块的动能，然后B带动A一起运动，此时动量守恒，可得到两者相同的速度v,并且此时就是弹簧伸长最大的位置，由机械能守恒可算出其量值。
所以
（2）
那么计算可得：
4-9,二质量相同的小球，一个静止，一个以速度0与另一个小球作对心碰撞，求碰撞后两球的速度。（1）假设碰撞是完全非弹性的；（2）假设碰撞是完全弹性的；（3）假设碰撞的恢复系数,
解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件，可得
（1）假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行：
所以：
（2）假设碰撞是完全弹性的，
两球交换速度,
（3）假设碰撞的恢复系数，也就是
所以：,
4-10,如图，光滑斜面与水平面的夹角为，轻质弹簧上端固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动．当木块向下滑时，恰好有一质量的子弹，沿水平方向以速度射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为。求子弹打入木块后它们的共同速度。
解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：
(碰撞前木快的速度)
4-11,水平路面上有一质量的无动力小车以匀速率0运动。小车由不可伸长的轻绳与另一质量为的车厢连接，车厢前端有一质量为的物体，物体与车厢间摩擦系数为。开始时车厢静止，绳未拉紧。求：
(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时，物体相对车厢的位移；
(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需要的时间。(车与路面间摩擦不计，取g =10m/s2)
解：（1）由碰撞过程动量守恒，可得
（2）
4-12,一质量为千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧的末端，静止在光滑水平面上，弹簧的劲度系数为.一质量为的子弹射入木块后，弹簧长度被压缩了.
(1)求子弹的速度；(2)若子弹射入木块的深度为，求子弹所受的平均阻力。
解：（1）碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后的运动由机械能守恒条件可得,
计算得到：
（2）子弹射入木快所受的阻力做功使子弹动能减小，木块动能增加，两次作功的位移差为s，所以：
其中
所以：
4-13,质量为、长为的船浮在静止的水面上，船上有一质量为的人，开始时人与船也相对静止，然后人以相对于船的速度从船尾走到船头，当人走到船头后人就站在船头上，经长时间后，人与船又都静止下来了。设船在运动过程中受到的阻力与船相对水的速度成正比，即.求在整个过程中船的位移.
4-14,以初速度0将质量为m的质点以倾角从坐标原点处抛出。设质点在Oxy平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻：
（1）作用在质点上的力矩M；
（2）质点的角动量L
解：（1）
（2）
4-15,人造地球卫星近地点离地心r1=2R，（R为地球半径），远地点离地心r2=4R。求：
（1）卫星在近地点及远地点处的速率1和2（用地球半径R以及地球表面附近的重力加速度g来表示）；
（2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径ρ。
解：利用角动量守恒：
同时利用卫星的机械能守恒，所以：
所以,
（2） 可得到：
4-16火箭以第二宇宙速度沿地球表面切向飞出，如图所示。在飞离地球过程中，火箭发动机停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心4R的A处的速度。
解：第二宇宙速度，由机械能守恒:
代入：
思考题4
4-1,一粒子初时沿轴负向以速度运动，后被位于坐标原点的金核所散射，使其沿与轴成的方向运动(速庹大小不变)．试用矢量在图上表出粒子所受到的冲量的大小和方向。
见图4-25。
4-2,试用所学的力学原理解释逆风行舟的现象。
可用动量定理来解释。设风沿与航向成角的方向从右前方吹来，以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研究对象，表示这块空气的质量，和分别表示它吹向帆面和离开帆面时的速度，由于帆面比较光滑，风速大小基本不变，但是由于的速度方向改变了，所以一定是受到帆的作用力，根据牛顿第三定律，必然对帆有一个反作用力，此力的方向偏向船前进的方向，将分解为两个分量，垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡，与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。
4-3,两个有相互作用的质点和（），已知在不受外力时它们的总动量为零，的轨迹如图，试画出质点的运动轨迹。
见图4-26。
4-4,当质量为的人造卫星在轨道上运动时，常常列出下列三个方程：
试分析上述三个方程各在什么条件下成立。
4-5,在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）哪些量守恒？
对于这个系统，能量守恒，因为没有外力做功；
4-6,体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是：
（A）甲先到达；（B）乙先到达；（C）同时到达；（D）谁先到达不能确定。
答:本题测试的是刚体系统的角动量定理和角动量守恒的概念.
当两小孩质量相等时,M=0.则系统角动量守恒,两人的实际的速度相同,将同时到达滑轮处,与谁在用力,谁不在用力无关.
选择C。
