习题
7-1,原长为的弹簧，上端固定，下端挂一质量为的物体，当物体静止时，弹簧长为．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）
解：振动方程：,
在本题中，，所以；
振幅是物体离开平衡位置的最大距离，当弹簧升长为0.1m时为物体的平衡位置，以向下为正方向。所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1,
当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。
所以： 即
7-2,有一单摆，摆长，小球质量.时，小球正好经过处，并以角速度向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（g取9.8）
（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。
解：振动方程： 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。
（1）角频率：，
频率：,
周期：
（2）根据初始条件：
可解得：
所以得到振动方程：
7-3,一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方处,求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方处的速度大小。
解：（1）由题知 2A=10cm，所以A=5cm；
又ω=,即
（2）物体在初始位置下方处，对应着是x=3cm的位置，所以：
那么此时的
那么速度的大小为
7-4,一质点沿轴作简谐振动，振幅为，周期为。当时,位移为，且向轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于，且向轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。
解：由题已知 A=12×１０-2m，T=2.0 s
∴ ω=2π/T=π rad·s-1
又，t=0时，， ∴由旋转矢量图，可知：
故振动方程为
(2)将t=0.5 s代入得
方向指向坐标原点，即沿x轴负向．
(3)由题知，某时刻质点位于，且向轴负方向运动即x０=-A/2，且v＜0，故t=2π/3，它回到平衡位置需要走π/3，所以：
∴t=Δ/ω=(π/3)／(π) =1/3s
7-5,两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 处，且向左运动时，另一个质点2在 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。
解：由旋转矢量图可知：
当质点1在 处，且向左运动时，
相位为π/3，
而质点2在 处，且向右运动，
相位为4π/3 。
所以它们的相位差为π。
7-6,质量为的密度计，放在密度为的液体中。已知密度计圆管的直径为。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。
解：平衡位置,当F浮=G时，平衡点为C处。设此时进入水中的深度为a：
可知浸入水中为a处为平衡位置。
以水面作为坐标原点O，以向上为x轴，质心的位置为x，则：分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用a-x来表示，所以力
令
可得到, 可见它是一个简谐振动。
周期为：
7-7,证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为：
证明：两根弹簧的串联之后等效于一根弹簧，所以仍为简谐振动（证明略），其劲度系数满足：和
可得： 所以：
代入频率计算式，可得：
7-8,当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？
EP=
当物体的动能和势能各占总能量的一半：
所以：。
7-9,两个同方向的简谐振动曲线(如图所示)
（1）求合振动的振幅。
（2）求合振动的振动表达式。
解：通过旋转矢量图做最为简单。
先分析两个振动的状态：
两者处于反相状态，（反相 ，）
所以合成结果：振幅
振动相位判断：当；当；
所以本题中，
振动方程：
7-10,两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为，与第一个振动的位相差为 。若第一个振动的振幅为。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？
解：由题意可做出旋转矢量图如下．
由图知
=(0.173)２+(0.2)２-2×0.173×０.２×／２=0.01
∴A２=0.1 m
设角AA１O为θ，则A２=A２１+A２２-2A１A２cosθ
即cosθ= =0
即θ=π/2，这说明A１与A２间夹角为π/2，即二振动的位相差为π/2
7-11,一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为，经过后，振幅变为。问：由振幅为时起，经多长时间其振幅减为？
解：根据阻尼振动的特征，
振幅为
若已知，经过后，振幅变为，可得：
那么当振幅减为 可求得t=21s。
7-12,某弹簧振子在真空中自由振动的周期为，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来的90%，求:
求振子在水中的振动周期
（2）如果开始时振幅厘米，阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少？
解：（1） 有阻尼时
（2）
7-13,试画出和的李萨如图形。
略，可参考书上的图形。
7-14,质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：
（1）
（2） （3）
试判别质点运动的轨迹。
解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。
（1）
则方程化为,，轨迹为一般的椭圆。
（2）
则方程化为： 轨迹为一直线。
（3）
则方程化为, 轨迹为一圆。
7-15,在示波器的水平和垂直输入端分别加上余弦式交变电压，荧光屏上出现如图所示的李萨如图形。已知水平方向振动频率为，求垂直方向的振动频率。
解：通过和书上的李萨如图形想比较，可发现它满足两方向的振动频率比3：2。由水平方向振动频率为，可得垂直方向的振动频率为。
思考题
7-1,试说明下列运动是不是简谐振动：
（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；
（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。
答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用+ω２ξ=0描述时，其所作的运动就是谐振动．
(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力．
(2)小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为-mgsinθ，如题4-1图(b)所示．题中所述，ΔS<<R，故θ=ΔS/R→0，所以回复力为-mgθ．式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O′为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有
mR=-mgθ 令ω２=g/R,则有 ＋ω２θ=0
7-2,简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小?
答,简谐振动的速度：v= -Aωsin（ωｔ＋φ）；
加速度：a=- Aω2cos（ωｔ＋φ）；
要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。
加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。
只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加速度使速率减小。
7-3,分析下列表述是否正确，为什么?
（1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动；
（2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。
答：（1）的表述是正确的，原因参考7-1；
（2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。
7-4,用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。
方法1：使其从平衡位置压缩，由静止开始释放。
方法2：使其从平衡位置压缩2，由静止开始释放。
若两次振动的周期和总能量分别用和表示，则它们满足下面那个关系？
(A) (B)
(C) (D)
答：根据题意，这两次弹簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。选择B。
7-5,一质点沿x轴作简谐振动，周期为T，振幅为A，质点从运动到处所需要的最短时间为多少？
答：质点从运动到处所需要的最短相位变化为，所以运动的时间为：。
7-6,一弹簧振子，沿轴作振幅为的简谐振动，在平衡位置处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为，问振子处于处时；其势能的瞬时值为多少？
答：由题意，在平衡位置处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为，所以该振子的总能量为50J，当振子处于处时；其势能的瞬时值为：
。
7-1,原长为的弹簧，上端固定，下端挂一质量为的物体，当物体静止时，弹簧长为．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）
解：振动方程：,
在本题中，，所以；
振幅是物体离开平衡位置的最大距离，当弹簧升长为0.1m时为物体的平衡位置，以向下为正方向。所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1,
当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。
所以： 即
7-2,有一单摆，摆长，小球质量.时，小球正好经过处，并以角速度向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（g取9.8）
（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。
解：振动方程： 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。
（1）角频率：，
频率：,
周期：
（2）根据初始条件：
可解得：
所以得到振动方程：
7-3,一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方处,求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方处的速度大小。
解：（1）由题知 2A=10cm，所以A=5cm；
又ω=,即
（2）物体在初始位置下方处，对应着是x=3cm的位置，所以：
那么此时的
那么速度的大小为
7-4,一质点沿轴作简谐振动，振幅为，周期为。当时,位移为，且向轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于，且向轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。
解：由题已知 A=12×１０-2m，T=2.0 s
∴ ω=2π/T=π rad·s-1
又，t=0时，， ∴由旋转矢量图，可知：
故振动方程为
(2)将t=0.5 s代入得
方向指向坐标原点，即沿x轴负向．
(3)由题知，某时刻质点位于，且向轴负方向运动即x０=-A/2，且v＜0，故t=2π/3，它回到平衡位置需要走π/3，所以：
∴t=Δ/ω=(π/3)／(π) =1/3s
7-5,两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 处，且向左运动时，另一个质点2在 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。
解：由旋转矢量图可知：
当质点1在 处，且向左运动时，
相位为π/3，
而质点2在 处，且向右运动，
相位为4π/3 。
所以它们的相位差为π。
7-6,质量为的密度计，放在密度为的液体中。已知密度计圆管的直径为。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。
解：平衡位置,当F浮=G时，平衡点为C处。设此时进入水中的深度为a：
可知浸入水中为a处为平衡位置。
以水面作为坐标原点O，以向上为x轴，质心的位置为x，则：分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用a-x来表示，所以力
令
可得到, 可见它是一个简谐振动。
周期为：
7-7,证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为：
证明：两根弹簧的串联之后等效于一根弹簧，所以仍为简谐振动（证明略），其劲度系数满足：和
可得： 所以：
代入频率计算式，可得：
7-8,当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？
EP=
当物体的动能和势能各占总能量的一半：
所以：。
7-9,两个同方向的简谐振动曲线(如图所示)
（1）求合振动的振幅。
（2）求合振动的振动表达式。
解：通过旋转矢量图做最为简单。
先分析两个振动的状态：
两者处于反相状态，（反相 ，）
所以合成结果：振幅
振动相位判断：当；当；
所以本题中，
振动方程：
7-10,两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为，与第一个振动的位相差为 。若第一个振动的振幅为。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？
解：由题意可做出旋转矢量图如下．
由图知
=(0.173)２+(0.2)２-2×0.173×０.２×／２=0.01
∴A２=0.1 m
设角AA１O为θ，则A２=A２１+A２２-2A１A２cosθ
即cosθ= =0
即θ=π/2，这说明A１与A２间夹角为π/2，即二振动的位相差为π/2
7-11,一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为，经过后，振幅变为。问：由振幅为时起，经多长时间其振幅减为？
解：根据阻尼振动的特征，
振幅为
若已知，经过后，振幅变为，可得：
那么当振幅减为 可求得t=21s。
7-12,某弹簧振子在真空中自由振动的周期为，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来的90%，求:
求振子在水中的振动周期
（2）如果开始时振幅厘米，阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少？
解：（1） 有阻尼时
（2）
7-13,试画出和的李萨如图形。
略，可参考书上的图形。
7-14,质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：
（1）
（2） （3）
试判别质点运动的轨迹。
解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。
（1）
则方程化为,，轨迹为一般的椭圆。
（2）
则方程化为： 轨迹为一直线。
（3）
则方程化为, 轨迹为一圆。
7-15,在示波器的水平和垂直输入端分别加上余弦式交变电压，荧光屏上出现如图所示的李萨如图形。已知水平方向振动频率为，求垂直方向的振动频率。
解：通过和书上的李萨如图形想比较，可发现它满足两方向的振动频率比3：2。由水平方向振动频率为，可得垂直方向的振动频率为。
思考题
7-1,试说明下列运动是不是简谐振动：
（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；
（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。
答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用+ω２ξ=0描述时，其所作的运动就是谐振动．
(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力．
(2)小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为-mgsinθ，如题4-1图(b)所示．题中所述，ΔS<<R，故θ=ΔS/R→0，所以回复力为-mgθ．式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O′为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有
mR=-mgθ 令ω２=g/R,则有 ＋ω２θ=0
7-2,简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小?
答,简谐振动的速度：v= -Aωsin（ωｔ＋φ）；
加速度：a=- Aω2cos（ωｔ＋φ）；
要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。
加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。
只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加速度使速率减小。
7-3,分析下列表述是否正确，为什么?
（1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动；
（2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。
答：（1）的表述是正确的，原因参考7-1；
（2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。
7-4,用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。
方法1：使其从平衡位置压缩，由静止开始释放。
方法2：使其从平衡位置压缩2，由静止开始释放。
若两次振动的周期和总能量分别用和表示，则它们满足下面那个关系？
(A) (B)
(C) (D)
答：根据题意，这两次弹簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。选择B。
7-5,一质点沿x轴作简谐振动，周期为T，振幅为A，质点从运动到处所需要的最短时间为多少？
答：质点从运动到处所需要的最短相位变化为，所以运动的时间为：。
7-6,一弹簧振子，沿轴作振幅为的简谐振动，在平衡位置处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为，问振子处于处时；其势能的瞬时值为多少？
答：由题意，在平衡位置处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为，所以该振子的总能量为50J，当振子处于处时；其势能的瞬时值为：
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