习题
2-1,质量为的子弹以速度水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。
解：（1）由题意和牛顿第二定律可得：，
分离变量，可得： 两边同时积分，所以：
（2）子弹进入沙土的最大深度也就是v=0的时候子弹的位移，则：
由 可推出：，而这个式子两边积分就可以得到位移： 。
2-2,一条质量分布均匀的绳子，质量为、长度为，一端拴在竖直转轴OO′上，并以恒定角速度在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T( r)．
解：在绳子中距离转轴为r处取一小段绳子，假设其质量为dm，可知：，分析这dm的绳子的受力情况，因为它做的是圆周运动，所以我们可列出,。
距转轴为r处绳中的张力T( r)将提供的是r以外的绳子转动的向心力，所以两边积分：
2-3,已知一质量为的质点在轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离的平方成反比，即，是比例常数．设质点在时的速度为零，求质点在处的速度的大小。
解：由题意和牛顿第二定律可得：
再采取分离变量法可得：,
两边同时取积分，则：
所以：
2-4,一质量为的质点，在平面上运动，受到外力(SI)的作用，时，它的初速度为(SI)，求时质点的速度及受到的法向力.
解：由题意和牛顿第二定律可得：，代入f与v，并两边积分，,
速度是方向，也就是切向的，所以法向的力是方向的，则
2-5,如图，用质量为的板车运载一质量为的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力为多少才能保证木箱不致滑动？
解：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，所以列式：
可得：
2-6,如图所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度的范围。
解：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：
（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a），列式为：
可计算得到：此时的
（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b），列式为：
可计算得到：此时的
所以
2-7,一质量为M、顶角为的三角形光滑物体上。放有一质量为m的物块，如图所示。设各面间的摩擦力均可忽略不计。试按下列三种方法：（1）用牛顿定理及约束方程；（2）用牛顿定律及运动叠加原理；（3）用非惯性系中力学定律；求解三角形物块的加速度,
解：隔离物块和斜面体，画图分析力，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键在于，M与m的运动有联系的，M沿地面运动，m沿斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则m的运动为：
（1）
（2）
M的运动方程为： （3）
下面列出约束条件的方程：取M作为参考系，设m在其中的相对加速度为，在x,y方向的分量分别为与，那么：
利用相对运动的公式，
所以：
于是：
即： （4）
由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得：
2-8,圆柱形容器内装有一定量的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速度匀速转动，试问稳定旋转时液面的形状如何？
解：受力分析如图
（1）
（2）
两式相比
当 时 所以
稳定旋转时液面是一个抛物面由于旋转后成为立体，故方程变为【】
2-9,质量为的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动，劈形物质量为，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为，求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。
解：隔离物块和斜面体，分析力，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键在于，m1与m2的运动有联系的，m1沿地面运动，m2沿斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则m2的运动为：
（1）
（2）
m1的运动方程为： （3）
下面列出约束条件的方程：取m1作为参考系，设m2在其中的相对加速度为，在x,y方向的分量分别为与，那么：
利用相对运动的公式，
所以：
于是：
即： （4）
由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得：
；；
相互作用力N=
2-10,一小环套在光滑细杆上，细杆以倾角绕竖直轴作匀角速度转动，角速度为，求：小环平衡时距杆端点的距离.
解：根据题意，当小环能平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动，所以可列式：
所以，可得：
2-11,设质量为的带电微粒受到沿方向的电力，计算粒子在任一时刻的速度和位置，假定时，.其中为与时间无关的常数，、、、的单位分别为、、、.
解：根据题意和牛顿第二定律，可列式：，
整理可得二阶微分方程：。
令 下面分c为正负再做进一步讨论。
当,可得：
一次求导，得到：
当,可得：
一次求导，得到：
2-12,在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为，一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为，在时，球的速率为，求任一时刻球的速率和运动路程。
解：在法向上有 而
在切向上有
由上面三个式子可得
思考题
2-1,质量为m的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持平衡，如图所示．设木板和墙壁之间的夹角为?，当?逐渐增大时，小球对木板的压力将怎样变化？
解：假设墙壁对小球的压力为N1，木板对小球的压力为N2。
由受力分析图可知：
所以当所以增大，小球对木板的压力为N2将减小；
同时：
所以增大，小球对墙壁的压力也减小。
2-2,质量分别为m1和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图所示．如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为多少？
解：分别对A，B进行受力分析，由受力分析图可知：
所以
2-3,如图所示，用一斜向上的力(与水平成30°角)，将一重为G的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数?的大小为多少？
解：假设墙壁对木块的压力为N，由受力分析图可知：
整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明： 即当 此式中F无论为多大，总成立，则可得：
2-4,质量分别为和的滑块和，叠放在光滑水平桌面上，如图所示．、间静摩擦系数为，滑动摩擦系数为，系统原处于静止．今有一水平力作用于上，要使、不发生相对滑动，则应取什么范围？
解：根据题意，分别对A，B进行受力分析，要使A，B不发生相对滑动，必须使两者具有相同的加速度，所以列式：
可得：
2-5,如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上．滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计．系统无初速地释放，则物体A下落的加速度是多少？
解：分别对A，B进行受力分析，由受力分析图可知：
则可计算得到：
2-6,如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A至C的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？
(A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。
(B) 它的速率均匀增加。
(C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。
(D) 它的合外力大小不变。
(E) 轨道支持力的大小不断增加。
在下滑过程中，物体做圆周运动。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的说法不对；
速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以速率增加不均匀；
外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在变化，所以合力的大小方向也在变化。C，D的说法都不对。
下滑过程中的θ和v都在增大，所以N也在增大，
则E的说法正确。
2-7,一小珠可在半径为的竖直圆环上无摩擦地滑动，且圆环能以其竖直直径为轴转动．当圆环以一适当的恒定角速度转动，小珠偏离圆环转轴而且相对圆环静止时，小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为多大？
解：根据题意，当小珠能相对于圆环平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动，假设小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为θ，可列式：
所以，可得：
2-8,几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一竖直面上（如图所示）．为使一物体（视为质点）从斜面上端由静止滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选
(A) 60°,(B) 45°．
(C) 30°,(D) 15°．
解：根据题意，假设底边长为s，斜面的倾角为θ，可列式：
当θ=45。时，时间最短。
2-9,如图所示，小球A用轻弹簧与轻绳系住；小球B用轻绳与系住，今剪断绳和绳，在刚剪断的瞬间，、球的加速度量值和方向是否相同？
解：不同。
对于a图，在剪断绳子的瞬间，弹簧的伸长没有变化，所以弹簧的拉力F不变，A的加速度应该是由重力和弹簧的拉力提供的合力T，所以：
所以加速度大小为：，方向为水平方向。
对于b图，在剪断绳子的瞬间，绳子拉力F变化，它将提供物体做圆周运动，的加速度应该有切向加速度和法向加速度。所以：
所以加速度大小为：，方向为与绳垂直的切线方向。
2-10,两质量均为的小球穿在一光滑圆环上，并由一轻绳相连，环竖直固定放置，在图中位置由静止释放，试问释放瞬间绳上张力为多少？
解：在释放瞬间上面的小球作水平运动，下面小球作竖直运动，两者加速度大小相等，方向互相垂直。
（1）
（2）
两式联立消去
2-1,质量为的子弹以速度水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。
解：（1）由题意和牛顿第二定律可得：，
分离变量，可得： 两边同时积分，所以：
（2）子弹进入沙土的最大深度也就是v=0的时候子弹的位移，则：
由 可推出：，而这个式子两边积分就可以得到位移： 。
2-2,一条质量分布均匀的绳子，质量为、长度为，一端拴在竖直转轴OO′上，并以恒定角速度在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T( r)．
解：在绳子中距离转轴为r处取一小段绳子，假设其质量为dm，可知：，分析这dm的绳子的受力情况，因为它做的是圆周运动，所以我们可列出,。
距转轴为r处绳中的张力T( r)将提供的是r以外的绳子转动的向心力，所以两边积分：
2-3,已知一质量为的质点在轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离的平方成反比，即，是比例常数．设质点在时的速度为零，求质点在处的速度的大小。
解：由题意和牛顿第二定律可得：
再采取分离变量法可得：,
两边同时取积分，则：
所以：
2-4,一质量为的质点，在平面上运动，受到外力(SI)的作用，时，它的初速度为(SI)，求时质点的速度及受到的法向力.
解：由题意和牛顿第二定律可得：，代入f与v，并两边积分，,
速度是方向，也就是切向的，所以法向的力是方向的，则
2-5,如图，用质量为的板车运载一质量为的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力为多少才能保证木箱不致滑动？
解：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，所以列式：
可得：
2-6,如图所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度的范围。
解：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：
（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a），列式为：
可计算得到：此时的
（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b），列式为：
可计算得到：此时的
所以
2-7,一质量为M、顶角为的三角形光滑物体上。放有一质量为m的物块，如图所示。设各面间的摩擦力均可忽略不计。试按下列三种方法：（1）用牛顿定理及约束方程；（2）用牛顿定律及运动叠加原理；（3）用非惯性系中力学定律；求解三角形物块的加速度,
解：隔离物块和斜面体，画图分析力，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键在于，M与m的运动有联系的，M沿地面运动，m沿斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则m的运动为：
（1）
（2）
M的运动方程为： （3）
下面列出约束条件的方程：取M作为参考系，设m在其中的相对加速度为，在x,y方向的分量分别为与，那么：
利用相对运动的公式，
所以：
于是：
即： （4）
由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得：
2-8,圆柱形容器内装有一定量的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速度匀速转动，试问稳定旋转时液面的形状如何？
解：受力分析如图
（1）
（2）
两式相比
当 时 所以
稳定旋转时液面是一个抛物面由于旋转后成为立体，故方程变为【】
2-9,质量为的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动，劈形物质量为，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为，求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。
解：隔离物块和斜面体，分析力，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键在于，m1与m2的运动有联系的，m1沿地面运动，m2沿斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则m2的运动为：
（1）
（2）
m1的运动方程为： （3）
下面列出约束条件的方程：取m1作为参考系，设m2在其中的相对加速度为，在x,y方向的分量分别为与，那么：
利用相对运动的公式，
所以：
于是：
即： （4）
由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得：
；；
相互作用力N=
2-10,一小环套在光滑细杆上，细杆以倾角绕竖直轴作匀角速度转动，角速度为，求：小环平衡时距杆端点的距离.
解：根据题意，当小环能平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动，所以可列式：
所以，可得：
2-11,设质量为的带电微粒受到沿方向的电力，计算粒子在任一时刻的速度和位置，假定时，.其中为与时间无关的常数，、、、的单位分别为、、、.
解：根据题意和牛顿第二定律，可列式：，
整理可得二阶微分方程：。
令 下面分c为正负再做进一步讨论。
当,可得：
一次求导，得到：
当,可得：
一次求导，得到：
2-12,在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为，一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为，在时，球的速率为，求任一时刻球的速率和运动路程。
解：在法向上有 而
在切向上有
由上面三个式子可得
思考题
2-1,质量为m的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持平衡，如图所示．设木板和墙壁之间的夹角为?，当?逐渐增大时，小球对木板的压力将怎样变化？
解：假设墙壁对小球的压力为N1，木板对小球的压力为N2。
由受力分析图可知：
所以当所以增大，小球对木板的压力为N2将减小；
同时：
所以增大，小球对墙壁的压力也减小。
2-2,质量分别为m1和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图所示．如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为多少？
解：分别对A，B进行受力分析，由受力分析图可知：
所以
2-3,如图所示，用一斜向上的力(与水平成30°角)，将一重为G的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数?的大小为多少？
解：假设墙壁对木块的压力为N，由受力分析图可知：
整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明： 即当 此式中F无论为多大，总成立，则可得：
2-4,质量分别为和的滑块和，叠放在光滑水平桌面上，如图所示．、间静摩擦系数为，滑动摩擦系数为，系统原处于静止．今有一水平力作用于上，要使、不发生相对滑动，则应取什么范围？
解：根据题意，分别对A，B进行受力分析，要使A，B不发生相对滑动，必须使两者具有相同的加速度，所以列式：
可得：
2-5,如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上．滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计．系统无初速地释放，则物体A下落的加速度是多少？
解：分别对A，B进行受力分析，由受力分析图可知：
则可计算得到：
2-6,如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A至C的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？
(A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。
(B) 它的速率均匀增加。
(C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。
(D) 它的合外力大小不变。
(E) 轨道支持力的大小不断增加。
在下滑过程中，物体做圆周运动。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的说法不对；
速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以速率增加不均匀；
外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在变化，所以合力的大小方向也在变化。C，D的说法都不对。
下滑过程中的θ和v都在增大，所以N也在增大，
则E的说法正确。
2-7,一小珠可在半径为的竖直圆环上无摩擦地滑动，且圆环能以其竖直直径为轴转动．当圆环以一适当的恒定角速度转动，小珠偏离圆环转轴而且相对圆环静止时，小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为多大？
解：根据题意，当小珠能相对于圆环平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动，假设小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为θ，可列式：
所以，可得：
2-8,几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一竖直面上（如图所示）．为使一物体（视为质点）从斜面上端由静止滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选
(A) 60°,(B) 45°．
(C) 30°,(D) 15°．
解：根据题意，假设底边长为s，斜面的倾角为θ，可列式：
当θ=45。时，时间最短。
2-9,如图所示，小球A用轻弹簧与轻绳系住；小球B用轻绳与系住，今剪断绳和绳，在刚剪断的瞬间，、球的加速度量值和方向是否相同？
解：不同。
对于a图，在剪断绳子的瞬间，弹簧的伸长没有变化，所以弹簧的拉力F不变，A的加速度应该是由重力和弹簧的拉力提供的合力T，所以：
所以加速度大小为：，方向为水平方向。
对于b图，在剪断绳子的瞬间，绳子拉力F变化，它将提供物体做圆周运动，的加速度应该有切向加速度和法向加速度。所以：
所以加速度大小为：，方向为与绳垂直的切线方向。
2-10,两质量均为的小球穿在一光滑圆环上，并由一轻绳相连，环竖直固定放置，在图中位置由静止释放，试问释放瞬间绳上张力为多少？
解：在释放瞬间上面的小球作水平运动，下面小球作竖直运动，两者加速度大小相等，方向互相垂直。
（1）
（2）
两式联立消去
