习题
3-1,如图，一质点在几个力作用下沿半径为R=20m的圆周运动，其中有一恒力F=0.6iN，求质点从A开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B的过程中，力F所做的功。
解：
由做功的定义可知：
3-2,质量为m=0.5kg的质点，在xOy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t2,y=0.5(SI),从t=2s到t=4s这段时间内，外力对质点的功为多少？
由做功的定义可知：
3-3.劲度系数为k的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。
根据小球是被缓慢提起的，刚脱离地面时所受的力为F=mg，
可得此时弹簧的伸长量为：
由做功的定义可知：
3-4.如图，一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力数值为N，求质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功。
分析：Wf直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。
解：求在B点的速度,N-G= 可得：
由动能定理：
3-5.一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为，其中和单位分别为和．
（1）计算当将弹簧由拉伸至过程中，外力所做之功；
（2）此弹力是否为保守力?
解：
（1）由做功的定义可知：
（2）由计算结果可知，做功与起点和终点的位置有关，与其他因素无关，所以该弹力为保守力。
3-6,一质量为的物体，在力的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻此力所做功的功率为多少。
解：要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：
所以功率为：
3-7,一质点在三维力场中运动．已知力场的势能函数为
.
（1）求作用力；
（2）当质点由原点运动到、、位置的过程中，试任选一路径，计算上述力所做的功。其中的单位为，的单位为，的单位为.
解：（1）由作用力和势能的关系：
（2）取一个比较简单的积分路径：，则积分可得：
=9a-9b-3c
3-8,轻弹簧的上端固定，下端悬挂质量为的重物。已知弹簧原长为，劲度系数为，重物在点达到平衡，此时弹簧伸长了，如图所示。取轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置；力的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置时系统的总势能。
解：（1）取弹簧原长位置为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置（坐标设为）时系统的总势能：
（2）取力的平衡位置为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置（坐标设为）时系统的总势能：
所以
3-9,在密度为的液面上方，悬挂一根长为，密度为的均匀棒，棒的端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在的条件下，求细棒下落过程中的最大速度，以及细棒能进入液体的最大深度。
解：分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候，所以：,则。
在下落过程中，利用功能原理：
所以：
进入液体的最大深度H为细棒运动的速度为零时：
所以
3-10,若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力的作用，设阻力与速度的大小成正比，比例系数为常数，即，试求质量为的卫星，开始在离地心（为地球半径）陨落到地面所需的时间。
解：根据题意，假设在离地心处质点的速度为v1，地面上的速度为v2。提供卫星运动的力为万有引力：，所以
在这个过程中阻力的作用时间可通过动量定理求出：
通过分离变量取积分，可得：
3-11,一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为，质量为，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？
解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则：
3-12,起重机用钢丝绳吊运质量为的物体时以速率匀速下降，当起重机突然刹车时，因物体仍有惯性运动使钢丝绳有微小伸长。设钢丝绳劲度系数为，求它伸长多少?所受拉力多大?(不计钢丝绳本身质量)
解：当起重机忽然刹车时，物体的动能将转换为钢丝绳的弹性势能：由，可得：
分析物体的受力，可得到绳子的拉力为：
3-13,在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体、边上再放一物体，它们质量分别为和，弹簧劲度系数为，原长为．用力推，使弹簧压缩，然后释放。求：
（1）当与开始分离时，它们的位置和速度；
（2）分离之后．还能往前移动多远?
解：（1）当A和B开始分离时，两者具有相同的速度，根据能量守恒，可得到：，所以：;
（2）分离之后，A的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以：
,则,
3-14,已知地球对一个质量为的质点的引力为（为地球的质量和半径)。
（1）若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；
（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能．比较两种情况下的势能差．
解：（1）取无穷远处势能为零，计算地面处的势能为：
（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：
两种情况下势能差是完全一样的。
3-15,试证明在离地球表面高度为处，质量为的质点所具有的引力势能近似可表示为.
解：由万有引力的势能函数值，在离地球表面高度为处，质量为的质点所具有的引力势能为：
如果以地面作为零电势处，则质点所具有的引力势能近似可表示为.
思考题3
3-1,求证：一对内力做功与参考系的选择无关。
证明：对于系统里的两个质点而言，一对内力做功可表示为：A=
由于外力的存在，质点1.2的运动情况是不同的。
上式可写为：A=
也就是内力的功与两个质点的相对位移有关，与参考系的选择无关。
3-2,叙述质点和质点组动能变化定理，写出它们的表达式，指出定理的成立条件。
质点的动能变化定理：物体受外力作用下，从A运动B，其运动状态变化，速度为V1变化到V2，即动能变化。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
质点系的动能定理,质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功和质点系内非保守力的功三者之和。即质点系总动能的增量等于外力和内力做功之和。
公式表达：
3-3,和两物体放在水平面上，它们受到的水平恒力一样，位移也一样，但一个接触面光滑，另一个粗糙．力做的功是否一样?两物体动能增量是否一样?
答：根据功的定义：W=
所以当它们受到的水平恒力一样，位移也一样时，两个功是相等的；
当时由于光滑的接触面摩擦力不做功，粗糙的接触面摩擦力做功，所以两个物体的总功不同，动能的增量就不相同。
3-4,按质点动能定理，下列式子：
是否成立?这三式是否是质点动能定理的三个分量式?试作分析。
答：不成立，因为功是标量，不分方向，没有必要这么写。
3-5,在劲度系数为的弹簧下，如将质量为的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长多少?如瞬间挂上让其自由下落弹簧又伸长多少?
答：如将质量为的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长为mg=kx，所以
如瞬间挂上让其自由下落，弹簧伸长应满足能量守恒：，所以
3-6,试根据力场的力矢量分布图判断哪些力场一定是非保守的?
图[d]、[f]为非保守力，因为如果对其取环路积分必定不为零。
3-1,如图，一质点在几个力作用下沿半径为R=20m的圆周运动，其中有一恒力F=0.6iN，求质点从A开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B的过程中，力F所做的功。
解：
由做功的定义可知：
3-2,质量为m=0.5kg的质点，在xOy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t2,y=0.5(SI),从t=2s到t=4s这段时间内，外力对质点的功为多少？
由做功的定义可知：
3-3.劲度系数为k的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。
根据小球是被缓慢提起的，刚脱离地面时所受的力为F=mg，
可得此时弹簧的伸长量为：
由做功的定义可知：
3-4.如图，一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力数值为N，求质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功。
分析：Wf直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。
解：求在B点的速度,N-G= 可得：
由动能定理：
3-5.一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为，其中和单位分别为和．
（1）计算当将弹簧由拉伸至过程中，外力所做之功；
（2）此弹力是否为保守力?
解：
（1）由做功的定义可知：
（2）由计算结果可知，做功与起点和终点的位置有关，与其他因素无关，所以该弹力为保守力。
3-6,一质量为的物体，在力的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻此力所做功的功率为多少。
解：要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：
所以功率为：
3-7,一质点在三维力场中运动．已知力场的势能函数为
.
（1）求作用力；
（2）当质点由原点运动到、、位置的过程中，试任选一路径，计算上述力所做的功。其中的单位为，的单位为，的单位为.
解：（1）由作用力和势能的关系：
（2）取一个比较简单的积分路径：，则积分可得：
=9a-9b-3c
3-8,轻弹簧的上端固定，下端悬挂质量为的重物。已知弹簧原长为，劲度系数为，重物在点达到平衡，此时弹簧伸长了，如图所示。取轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置；力的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置时系统的总势能。
解：（1）取弹簧原长位置为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置（坐标设为）时系统的总势能：
（2）取力的平衡位置为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置（坐标设为）时系统的总势能：
所以
3-9,在密度为的液面上方，悬挂一根长为，密度为的均匀棒，棒的端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在的条件下，求细棒下落过程中的最大速度，以及细棒能进入液体的最大深度。
解：分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候，所以：,则。
在下落过程中，利用功能原理：
所以：
进入液体的最大深度H为细棒运动的速度为零时：
所以
3-10,若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力的作用，设阻力与速度的大小成正比，比例系数为常数，即，试求质量为的卫星，开始在离地心（为地球半径）陨落到地面所需的时间。
解：根据题意，假设在离地心处质点的速度为v1，地面上的速度为v2。提供卫星运动的力为万有引力：，所以
在这个过程中阻力的作用时间可通过动量定理求出：
通过分离变量取积分，可得：
3-11,一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为，质量为，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？
解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则：
3-12,起重机用钢丝绳吊运质量为的物体时以速率匀速下降，当起重机突然刹车时，因物体仍有惯性运动使钢丝绳有微小伸长。设钢丝绳劲度系数为，求它伸长多少?所受拉力多大?(不计钢丝绳本身质量)
解：当起重机忽然刹车时，物体的动能将转换为钢丝绳的弹性势能：由，可得：
分析物体的受力，可得到绳子的拉力为：
3-13,在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体、边上再放一物体，它们质量分别为和，弹簧劲度系数为，原长为．用力推，使弹簧压缩，然后释放。求：
（1）当与开始分离时，它们的位置和速度；
（2）分离之后．还能往前移动多远?
解：（1）当A和B开始分离时，两者具有相同的速度，根据能量守恒，可得到：，所以：;
（2）分离之后，A的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以：
,则,
3-14,已知地球对一个质量为的质点的引力为（为地球的质量和半径)。
（1）若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；
（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能．比较两种情况下的势能差．
解：（1）取无穷远处势能为零，计算地面处的势能为：
（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：
两种情况下势能差是完全一样的。
3-15,试证明在离地球表面高度为处，质量为的质点所具有的引力势能近似可表示为.
解：由万有引力的势能函数值，在离地球表面高度为处，质量为的质点所具有的引力势能为：
如果以地面作为零电势处，则质点所具有的引力势能近似可表示为.
思考题3
3-1,求证：一对内力做功与参考系的选择无关。
证明：对于系统里的两个质点而言，一对内力做功可表示为：A=
由于外力的存在，质点1.2的运动情况是不同的。
上式可写为：A=
也就是内力的功与两个质点的相对位移有关，与参考系的选择无关。
3-2,叙述质点和质点组动能变化定理，写出它们的表达式，指出定理的成立条件。
质点的动能变化定理：物体受外力作用下，从A运动B，其运动状态变化，速度为V1变化到V2，即动能变化。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
质点系的动能定理,质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功和质点系内非保守力的功三者之和。即质点系总动能的增量等于外力和内力做功之和。
公式表达：
3-3,和两物体放在水平面上，它们受到的水平恒力一样，位移也一样，但一个接触面光滑，另一个粗糙．力做的功是否一样?两物体动能增量是否一样?
答：根据功的定义：W=
所以当它们受到的水平恒力一样，位移也一样时，两个功是相等的；
当时由于光滑的接触面摩擦力不做功，粗糙的接触面摩擦力做功，所以两个物体的总功不同，动能的增量就不相同。
3-4,按质点动能定理，下列式子：
是否成立?这三式是否是质点动能定理的三个分量式?试作分析。
答：不成立，因为功是标量，不分方向，没有必要这么写。
3-5,在劲度系数为的弹簧下，如将质量为的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长多少?如瞬间挂上让其自由下落弹簧又伸长多少?
答：如将质量为的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长为mg=kx，所以
如瞬间挂上让其自由下落，弹簧伸长应满足能量守恒：，所以
3-6,试根据力场的力矢量分布图判断哪些力场一定是非保守的?
图[d]、[f]为非保守力，因为如果对其取环路积分必定不为零。
