习题
8-1,沿一平面简谐波的波线上，有相距的两质点与，点振动相位比点落后，已知振动周期为，求波长和波速。
解：根据题意，对于A、B两点，
而相位和波长之间又满足这样的关系：
代入数据，可得：波长λ=24m。又已知 T=2s，所以波速u=λ/T=12m/s
8-2,已知一平面波沿轴正向传播，距坐标原点为处点的振动式为，波速为，求:
（1）平面波的波动式；
（2）若波沿轴负向传播，波动式又如何?
解：（1）根据题意，距坐标原点为处点是坐标原点的振动状态传过来的，其O点振动状态传到p点需用 ，也就是说t 时刻p处质点的振动状态重复 时刻O处质点的振动状态。换而言之，O处质点的振动状态相当于 时刻p处质点的振动状态，则O点的振动方程为： 波动方程为：
（2）若波沿轴负向传播,O处质点的振动状态相当于 时刻p处质点的振动状态，则O点的振动方程为：
波动方程为：
8-3,一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知点的振动规律为，试写出：
（1）该平面简谐波的表达式；
（2）点的振动表达式（点位于点右方处）。
解：（1）仿照上题的思路，根据题意，点的振动规律为，它的振动是O点传过来的，所以O点的振动方程为：
那么该平面简谐波的表达式为：
（2）B点的振动表达式可直接将坐标，代入波动方程：
也可以根据B点的振动经过时间传给A点的思路来做。
8-4,已知一沿正方向传播的平面余弦波，时的波形如图所示，且周期为.
（1）写出点的振动表达式；
（2）写出该波的波动表达式；
（3）写出点的振动表达式；
（4）写出点离点的距离。
解：由图可知A=0.1m，λ=0.4m，由题知T= 2s，ω=2π/T=π，而u=λ/T=0.2m/s。
波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+Ф0］m 关键在于确定O点的初始相位。
由上式可知：O点的相位也可写成：φ=πt+Ф0
由图形可知,时y０=-A/2，v０＜0，∴此时的φ=2π／3，
将此条件代入，所以： 所以
点的振动表达式y=0.1cos［πt+π/3］m
（2）波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］m
（3）点的振动表达式确定方法与O点相似由上式可知：
A点的相位也可写成：φ=πt+ФA0
由图形可知,时y０=0，v０>0，∴此时的φ=-π／2，
将此条件代入，所以： 所以
A点的振动表达式y=0.1cos［πt-5π/6］m
（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程，与（3）结果相同，所以,y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］= 0.1cos［πt-5π/6］
可得到：
8-5,一平面简谐波以速度沿轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：
（1）原点的振动表达式；
（2）波动表达式；
（3）同一时刻相距的两点之间的位相差。
解：由图可知A=0.5cm，原点处的振动方程为：y=Acos（ωｔ＋φ）
t=0s时 y=A/2 v>0 可知其相位为φ1=
t=1s时 y=0 v<0 可知其相位为φ2=
代入振动方程,φ=
ω＋φ=
可得：ω= T=2π/ω=12/5
则 y=0.5cos（ｔ-）cm
（2）沿轴负方向传播，波动表达式： cm
（3）根据已知的T=12/5，，可知：
那么同一时刻相距的两点之间的位相差：
8-6,一正弦形式空气波沿直径为的圆柱形管行进，波的平均强度为，频率为，波速为。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？
解：(1)∵ I=u
∴=9.0×10-3／300=3×10-5 J·m-3
wmax=2=0.6×10-4 J·m-3
(2) W=
=3×10-5×1π/4×（0.14）２×300/300=4.62×10-7 J
8-7,一弹性波在媒质中传播的速度，振幅，频率。若该媒质的密度为，求：
（1）该波的平均能流密度；
（2）1分钟内垂直通过面积的总能量。
解：ω=2πγ=2π
（1）
（2）1分钟内垂直通过面积的总能量
W=ISt
8-8,与为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为，质点的振动比超前,设的振动方程为，且媒质无吸收，
（1）写出与之间的合成波动方程；
（2）分别写出与左、右侧的合成波动方程。
解：（1）
由题意：φ20-φ10= 设它们之间的这一点坐标为x，则
相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成为驻波。
合成波为：
在S1左侧的点距离S1为x,
合成波为：
在S2右侧的点距离S1为x,
两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。
8-9,设与为两个相干波源，相距波长，比的位相超前。若两波在在、连线方向上的强度相同且不随距离变化，问、连线上在外侧各点的合成波的强度如何？又在外侧各点的强度如何？
解：由题意：φ1-φ2=,r1
在S1左侧的点,AS1=r1,AS2=r2,A S1 S2
?φ= r2 r2
所以A=A1-A2=0，I=0； S1 S2 A
在S2左侧的点,AS1=r1,AS2=r2,r1
?φ=
所以A=A1+A2=2A，I=4I0；
8-10,测定气体中声速的孔脱（Kundt）法如下：一细棒的中部夹住，一端有盘伸入玻璃管，如图所示。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞，使棒纵向振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的频率，量度相邻波节间的平均距离，可求得管内气体中的声速。试证：。
证明：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：，再根据已知条件：量度相邻波节间的平均距离，所以： 那么：
所以波速
8-11,图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。为声源，为声音探测器，如耳或话筒。路径的长度可以变化，但路径是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强度在的第一位置时为极小值100单位，而渐增至距第一位置为的第二位置时，有极大值单位。求：
（1）声源发出的声波频率；
（2）抵达探测器的两波的振幅之比。
解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：
相邻波节与波腹的间距：可得：
声音的速度在空气中约为340m/s，所以：
根据强度是振幅的平方的关系：声音强度在的第一位置时为极小值100单位，
在第二位置有极大值单位，所以振幅的相对大小为10与30单位。极小值的原因是两个振幅相减（A1-A2=10 ）,极大值的原因是两个振幅相加（A1+A2=30 ）。
那么A1：A2=2：1 。
8-12,绳索上的波以波速传播，若绳的两端固定，相距，在绳上形成驻波，且除端点外其间有3个波节。设驻波振幅为，时绳上各点均经过平衡位置。试写出：
（1）驻波的表示式；
（2）形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。
解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：，如果绳的两端固定，那么两个端点上都是波节，根据题意除端点外其间还有3个波节，可见两端点之间有四个半波长的距离，，所以波长，，所以又已知驻波振幅为,时绳上各点均经过平衡位置，说明它们的初始相位为关于时间部分的余旋函数应为。
所以驻波方程为：
（2）由合成波的形式为：
可推出合成该驻波的两列波的波动方程为：
8-13,弦线上的驻波波动方程为：,设弦线的质量线密度为.
（1）分别指出振动势能和动能总是为零的各点位置。
（2）分别计算半个波段内的振动势能、动能和总能量。
解：（1）振动势能和动能总是为零的各点位置是的地方。
即：
可得： （k=0，）
（2）振动势能写成：
半个波段内的振动势能：
半个波段内的振动动能：
所以动能和势能之和为：
8-14,试计算：一波源振动的频率为，以速度向墙壁接近（如图所示），观察者在点听得拍音的频率为，求波源移动的速度，设声速为。
解：根据观察者不动，波源运动，即：，观察者认为接受到的波数变了：
其中u=340，分别代入，可得：
8-15,光在水中的速率为 (约等于真空中光速的).在水中有一束来自加速器的运动电子发出辐射[称切连科夫(Cherenkov)辐射]，其波前形成顶角的马赫锥，求电子的速率．
解,
思考题
8-1,下图（a）表示沿轴正向传播的平面简谐波在时刻的波形图，则图（b）表示的是：
（a）质点的振动曲线 （b）质点的振动曲线
（c）质点的振动曲线 （d）质点的振动曲线
答：图（b）在t=0时刻的相位为，所以对应的是质点n的振动曲线，选择b。
8-2,从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。.
答：（1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，两者之和为恒量。
（2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波的前进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量是守恒的。
8-3,设线性波源发射柱面波，在无阻尼、各向同性的均匀媒质中传播。问波的强度及振幅与离开波源的距离有何关系？
略
8-4,入射波波形如图所示，若固定点处将被全部反射。
（1）试画出该时刻反射波的波形；
（2）试画该时刻驻波的波形；
（3）画出经很短时间间隔（<<周期）时的驻波波形。
略
8-1,沿一平面简谐波的波线上，有相距的两质点与，点振动相位比点落后，已知振动周期为，求波长和波速。
解：根据题意，对于A、B两点，
而相位和波长之间又满足这样的关系：
代入数据，可得：波长λ=24m。又已知 T=2s，所以波速u=λ/T=12m/s
8-2,已知一平面波沿轴正向传播，距坐标原点为处点的振动式为，波速为，求:
（1）平面波的波动式；
（2）若波沿轴负向传播，波动式又如何?
解：（1）根据题意，距坐标原点为处点是坐标原点的振动状态传过来的，其O点振动状态传到p点需用 ，也就是说t 时刻p处质点的振动状态重复 时刻O处质点的振动状态。换而言之，O处质点的振动状态相当于 时刻p处质点的振动状态，则O点的振动方程为： 波动方程为：
（2）若波沿轴负向传播,O处质点的振动状态相当于 时刻p处质点的振动状态，则O点的振动方程为：
波动方程为：
8-3,一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知点的振动规律为，试写出：
（1）该平面简谐波的表达式；
（2）点的振动表达式（点位于点右方处）。
解：（1）仿照上题的思路，根据题意，点的振动规律为，它的振动是O点传过来的，所以O点的振动方程为：
那么该平面简谐波的表达式为：
（2）B点的振动表达式可直接将坐标，代入波动方程：
也可以根据B点的振动经过时间传给A点的思路来做。
8-4,已知一沿正方向传播的平面余弦波，时的波形如图所示，且周期为.
（1）写出点的振动表达式；
（2）写出该波的波动表达式；
（3）写出点的振动表达式；
（4）写出点离点的距离。
解：由图可知A=0.1m，λ=0.4m，由题知T= 2s，ω=2π/T=π，而u=λ/T=0.2m/s。
波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+Ф0］m 关键在于确定O点的初始相位。
由上式可知：O点的相位也可写成：φ=πt+Ф0
由图形可知,时y０=-A/2，v０＜0，∴此时的φ=2π／3，
将此条件代入，所以： 所以
点的振动表达式y=0.1cos［πt+π/3］m
（2）波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］m
（3）点的振动表达式确定方法与O点相似由上式可知：
A点的相位也可写成：φ=πt+ФA0
由图形可知,时y０=0，v０>0，∴此时的φ=-π／2，
将此条件代入，所以： 所以
A点的振动表达式y=0.1cos［πt-5π/6］m
（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程，与（3）结果相同，所以,y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］= 0.1cos［πt-5π/6］
可得到：
8-5,一平面简谐波以速度沿轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：
（1）原点的振动表达式；
（2）波动表达式；
（3）同一时刻相距的两点之间的位相差。
解：由图可知A=0.5cm，原点处的振动方程为：y=Acos（ωｔ＋φ）
t=0s时 y=A/2 v>0 可知其相位为φ1=
t=1s时 y=0 v<0 可知其相位为φ2=
代入振动方程,φ=
ω＋φ=
可得：ω= T=2π/ω=12/5
则 y=0.5cos（ｔ-）cm
（2）沿轴负方向传播，波动表达式： cm
（3）根据已知的T=12/5，，可知：
那么同一时刻相距的两点之间的位相差：
8-6,一正弦形式空气波沿直径为的圆柱形管行进，波的平均强度为，频率为，波速为。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？
解：(1)∵ I=u
∴=9.0×10-3／300=3×10-5 J·m-3
wmax=2=0.6×10-4 J·m-3
(2) W=
=3×10-5×1π/4×（0.14）２×300/300=4.62×10-7 J
8-7,一弹性波在媒质中传播的速度，振幅，频率。若该媒质的密度为，求：
（1）该波的平均能流密度；
（2）1分钟内垂直通过面积的总能量。
解：ω=2πγ=2π
（1）
（2）1分钟内垂直通过面积的总能量
W=ISt
8-8,与为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为，质点的振动比超前,设的振动方程为，且媒质无吸收，
（1）写出与之间的合成波动方程；
（2）分别写出与左、右侧的合成波动方程。
解：（1）
由题意：φ20-φ10= 设它们之间的这一点坐标为x，则
相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成为驻波。
合成波为：
在S1左侧的点距离S1为x,
合成波为：
在S2右侧的点距离S1为x,
两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。
8-9,设与为两个相干波源，相距波长，比的位相超前。若两波在在、连线方向上的强度相同且不随距离变化，问、连线上在外侧各点的合成波的强度如何？又在外侧各点的强度如何？
解：由题意：φ1-φ2=,r1
在S1左侧的点,AS1=r1,AS2=r2,A S1 S2
?φ= r2 r2
所以A=A1-A2=0，I=0； S1 S2 A
在S2左侧的点,AS1=r1,AS2=r2,r1
?φ=
所以A=A1+A2=2A，I=4I0；
8-10,测定气体中声速的孔脱（Kundt）法如下：一细棒的中部夹住，一端有盘伸入玻璃管，如图所示。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞，使棒纵向振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的频率，量度相邻波节间的平均距离，可求得管内气体中的声速。试证：。
证明：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：，再根据已知条件：量度相邻波节间的平均距离，所以： 那么：
所以波速
8-11,图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。为声源，为声音探测器，如耳或话筒。路径的长度可以变化，但路径是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强度在的第一位置时为极小值100单位，而渐增至距第一位置为的第二位置时，有极大值单位。求：
（1）声源发出的声波频率；
（2）抵达探测器的两波的振幅之比。
解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：
相邻波节与波腹的间距：可得：
声音的速度在空气中约为340m/s，所以：
根据强度是振幅的平方的关系：声音强度在的第一位置时为极小值100单位，
在第二位置有极大值单位，所以振幅的相对大小为10与30单位。极小值的原因是两个振幅相减（A1-A2=10 ）,极大值的原因是两个振幅相加（A1+A2=30 ）。
那么A1：A2=2：1 。
8-12,绳索上的波以波速传播，若绳的两端固定，相距，在绳上形成驻波，且除端点外其间有3个波节。设驻波振幅为，时绳上各点均经过平衡位置。试写出：
（1）驻波的表示式；
（2）形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。
解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：，如果绳的两端固定，那么两个端点上都是波节，根据题意除端点外其间还有3个波节，可见两端点之间有四个半波长的距离，，所以波长，，所以又已知驻波振幅为,时绳上各点均经过平衡位置，说明它们的初始相位为关于时间部分的余旋函数应为。
所以驻波方程为：
（2）由合成波的形式为：
可推出合成该驻波的两列波的波动方程为：
8-13,弦线上的驻波波动方程为：,设弦线的质量线密度为.
（1）分别指出振动势能和动能总是为零的各点位置。
（2）分别计算半个波段内的振动势能、动能和总能量。
解：（1）振动势能和动能总是为零的各点位置是的地方。
即：
可得： （k=0，）
（2）振动势能写成：
半个波段内的振动势能：
半个波段内的振动动能：
所以动能和势能之和为：
8-14,试计算：一波源振动的频率为，以速度向墙壁接近（如图所示），观察者在点听得拍音的频率为，求波源移动的速度，设声速为。
解：根据观察者不动，波源运动，即：，观察者认为接受到的波数变了：
其中u=340，分别代入，可得：
8-15,光在水中的速率为 (约等于真空中光速的).在水中有一束来自加速器的运动电子发出辐射[称切连科夫(Cherenkov)辐射]，其波前形成顶角的马赫锥，求电子的速率．
解,
思考题
8-1,下图（a）表示沿轴正向传播的平面简谐波在时刻的波形图，则图（b）表示的是：
（a）质点的振动曲线 （b）质点的振动曲线
（c）质点的振动曲线 （d）质点的振动曲线
答：图（b）在t=0时刻的相位为，所以对应的是质点n的振动曲线，选择b。
8-2,从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。.
答：（1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，两者之和为恒量。
（2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波的前进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量是守恒的。
8-3,设线性波源发射柱面波，在无阻尼、各向同性的均匀媒质中传播。问波的强度及振幅与离开波源的距离有何关系？
略
8-4,入射波波形如图所示，若固定点处将被全部反射。
（1）试画出该时刻反射波的波形；
（2）试画该时刻驻波的波形；
（3）画出经很短时间间隔（<<周期）时的驻波波形。
略
