习题
9-1,在容积V=3L的容器中盛有理想气体，气体密度为=1.3g/L。容器与大气相通排出一部分气体后，气压下降了0.78atm。若温度不变，求排出气体的质量。
解：根据题意，可得：，
所以当温度不变时，气体的压强和密度成正比，初始密度为1.3g/L，后来的密度为：
则排除的气体的质量为：
大气压为1atm，容器与大气相通即=1atm，也就是=1+0.78=1.78atm
9-2.有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边。如果其中的一边装有0.1kg某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边装入的同一温度的氧气质量为多少？
解：根据题意，温度相同的两个气体，活塞停留在圆筒的正中央，则两边的体积和压强相同，又,
，
所以两个气体摩尔数相同，
可得：，代入数据：，所以：
=1.6kg
9-3.如图所示，两容器的体积相同，装有相同质量的氮气和氧气。用一内壁光滑的水平细玻璃管相通，管的正中间有一小滴水银。要保持水银滴在管的正中间，并维持氧气温度比氮气温度高30oC，则氮气的温度应是多少？
解：根据题意，水银滴停留在管的正中央，则两边的体积和压强相同，又,，所以
，可得到：T1=210K。
9-4,高压氧瓶：，，每天用，，为保证瓶内，能用几天？
解：根据题意 ，可得：
9-5,如图，长金属管下端封闭，上端开口，置于压强为的大气中。在封闭端加热达，另一端保持，设温度沿管长均匀变化。现封闭开口端，并使管子冷却到，求管内压强。
解：根据题意管子一端，另一端保持，所以函数 其中 。
当封闭开口端，并使管子冷却到时，
两式相等，所以
9-6,氢分子的质量为，如果每秒有个氢分子沿着与容器器壁的法线成角的方向以的速率撞击在面积上(碰撞是完全弹性的)，则器壁所承受的压强为多少？
解：根据气体压强公式,
9-7.一容器内储有氧气，其压强p=1.0atm，温度T=300K，求容器内氧气的
（1）分子数密度；
（2）分子间的平均距离；
（3）分子的平均平动动能；
（4）分子的方均根速度。
解：(1)由气体状态方程p=nkT 得
n=p/(kT)=(1×1.013×10５)/(1.38×10-23×300) =2.45×1025
(2) 分子间的平均距离可近似计算
(3) 分子的平均平动动能
=(3/2)kT=(3/2)×1.38×10-23×300=6.21×10-21 J
(4) 方均根速度
9-8,在标准状态下，若氧气(视为刚性双原子分子的理想气体)和氦气的体积比，则其内能之比为多少？
解：根据，可得：,
那么内能之比为：
9-9.水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即H2O→H2→+0.5O2，内能增加了多少？
解：水蒸气分解后，一份的三原子的内能变成了1.5份的双原子的内能，所以内能的变化为：
9-10.体积为20L的钢瓶中盛有氧气（视为刚性双原子气体），使用一段时间后，测得瓶中气体的压强为2atm，此时氧气的内能为多少？
解：由理想气体状态方程：，以及双原子气体内能公式：
可得到：
9-11.已知某种理想气体，其分子方均根率为400m/s，当起压强为1atm时，求气体的密度。
解：由气体方程：
可得到：
所以：
9-12.容器的体积为2V0，绝热板C将其隔为体积相等的A、B两个部分，A内储有1mol单原子理想气体，B内储有2mol双原子理想气体，A、B两部分的压强均为p0。
（1）求A、B两部分气体各自的内能；
（2）现抽出绝热板C，求两种气体混合后达到平衡时的压强和温度。
解：（1）由理想气体内能公式：
A中气体为1mol单原子理想气体：
B中气体为2mol双原子理想气体：
（2）混合前总内能
由于
所以
混合后，温度为，内能不变
9-13,金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动（与容器中的气体分子类似），设金属中共有个自由电子，其中电子的最大速率为 ，电子速率在之间的概率为：
式中为常数．则电子的平均速率为多少？
答：
9-14,大量粒子（个）的速率分布函数图象如图所示，试求：（1）速率小于的分子数约为多少？
（2）速率处在到之间的分子数约为多少？
（3）所有个粒子的平均速率为多少？
（4）速率大于的那些分子的平均速率为多少？
解：根据题意：
所以
速率小于的分子数：
（2）速率处在到之间的分子数：
（3）所有个粒子的平均速率：先写出这个分段函数的表达式：
（）
f（v）= （）
（）
0 （）
（4）速率大于的那些分子的平均速率
9-15,理想气体分子沿方向的速度分布函数：，试据此推导压强公式（已知：）.
解：压强的计算式为：
所以关键在求出N个分子在x方向上速度分量平方的平均值,
，根据速度分布函数，可得：
那么利用,可得：
9-16,在麦克斯韦分布下，（1）计算温度和时氧气分子最可几速率和；（2）计算在这两温度下的最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率；（3）计算时氧分子在处单位速率区间内分子数占总分子的比率。
解：根据最可几速率的定义：
（1）温度：
,
（2）在最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率就是麦克斯韦分布函数：
T=300K，V=394m/s代入：
T=600K,V=558m/s代入：
（3）计算时氧分子在处单位速率区间内分子数占总分子的比率。
即将T=300K，v=788m/s代入：
得,
9-17,试将质量为的单原子理想气体速率分布函数改写成按动能分布的函数形式，然后求出其最可几动能及平均动能。
解：根据题意将中所有的速度用来代替，则得到：=。
其最可几动能也就是所对应的动能，为
平均动能
9-18,一容器体积为，一导热隔板把它分成相等的两半，开始时左边盛有压强为的理想气体，右边为真空。在隔板上有一面积为的小孔，求打开小孔后左右两边压强和与时间的关系（已知单位时间与器壁单位面积相撞的分子数为）。
解：设某时刻左、右分子数分别为N、N0-N，则在dt内左面分子数变化为
由P=NkT/V得：,由此解得
由N1+N2=N0可得p1+p2=p0，
9-19,试求升高到什么高度时大气压强将减至地面的75%。设空气的温度为，空气的摩尔质量为。
解：根据题意,,由求：
已知T=273k；=，则；。把这些值代入，则可得：压强随高度变化的规律z=(RT)/(μg)ln(p０/p)
z=(8.31×273/0.0289×9.8)ln(1/0.75)=2.3×10３ m
9-20,气缸内盛有一定量的氢气(可视作理想气体)，当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞频率和平均自由程的变化情况怎样？
解：根据平均碰撞频率的定义：
以及 ，，
可得到，
所以当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞频率也将增大一倍。
而平均自由程的概念为：
所以当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均自由程将减小一倍。
9-21,（1）分子的有效直径的数量级是多少？（2）在常温下，气体分子的平均速率的数量级是多少？（3）在标准状态下气体分子的碰撞频率的数量级是多少？
解：（1）由，假设标准状态下一摩尔的气体，其体积为，有效直径为：，大约为10-10m。
（2），大约为100——1000m/s。
（3），大约为108——109/s。
思考题
9-1,气体在平衡状态时有何特征？平衡态与稳定态有什么不同？气体的平衡态与力学中所指的平衡有什么不同？
答：平衡态的特征,
(1) 系统与外界在宏观上无能量和物质的交换
(2) 系统的宏观性质不随时间改变。
热平衡态是指,在无外界的影响下，不论系统初始状态如何，经过足够长的时间后，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。
它与稳定态或力学中的平衡不是一个概念。
1.平衡态是一种热动平衡状态。处在平衡态的大量分子并不是静止的，它们仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间 改变。例如：粒子数问题：箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。
2平衡态是一种理想状态
9-2,对一定量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小面增大；当体积不变时，压强随温度的升高而增大。从宏观来看，这两种变化同样使压强增大；从微观来看，它们是否有区别?
答：有区别。从微观上看：
当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大是因为：当一定时，体积减小，n越大，即单位时间内碰撞到器壁的分子越多，则P就越大；
当体积不变时，压强随温度的升高而增大是因为：当n一定时，越大，即单位时间内分子对器壁的碰撞越厉害，则P就越大。
9-3,在推导理想气体压强公式的过程中，什么地方用到了理想气体的分子模型?什么地方用到了平衡态的概念?什么地方用到了统计平均的概念？压强的微观统计意义是什么?
答：压强的求解公式中用到了理想气体的分子模型，把分子作为质点来研究；
对每个分子状态的假定用到了平衡态的概念；
从一个分子对器壁的作用力推广到所有分子对器壁的作用力，计算分子的平均速度都用到了统计平均的概念；
压强的微观统计意义是压强是大量分子碰撞器壁的平均效果，是对大量分子对时间对面积的一个统计平均值。对一个分子而言，它对器壁的碰撞是偶然的，但就大量分子而言，其碰撞的统计平均效果就表现为持续的均匀压强。
9-4,容器内有质量为，摩尔质量为的理想气体，设容器以速度作定向运动，今使容器突然停止，问：（1）气体的定向运动机械能转化什么形式的能量？（2）下面两种气体分子速度平方的平均值增加多少？单原子分子；②双原子分子；（3）如果容器再从静止加速到原来速度，那么容器内理想气体的温度是否还会改变?为什么?
答：（1）一般来说，气体的宏观运动不会影响其微观的内动能，但是当容器忽然停止运动时，大量分子的定向运动的动能将通过与器壁的以及分子间的碰撞而转换为热运动的能量，会使容器内气体的问题有所升高。
（2），所以：，温度增加多少，其速度平方的平均值也做相应的增加。
（3）宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．所以当容器再从静止加速到原来速度，那么容器内理想气体的温度不会改变。
9.5 叙述下列式的物理意义：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
答：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为。
(2)在平衡态下，分子平均平动动能。
(3)在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量。
(4) 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为。
(5) 由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的系统的内能为。
(6) 由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的系统的内能的变化为。
9-6,氦气、氧气分子数均为，，速率分布曲线如图，且阴影面积为，求：（1）哪条是氦气的速率分布曲线？（2）；（3）的意义？(4)为多少？对应的物理意义是什么？
答：（1）由可知，对于氧气和氦气，即使，氦气的VP还是大于氧气，所以图形中，VP大的曲线是氦气，即B图是氦气的。
（2）
（3）的意义：在这速率附近、速率区间dv内的氦气和氧气的分子数相同。
（4）为在v0右边的两曲线的面积差乘以N；
对应的物理意义是v0→∞的速率区间内氦气分子比氧气分子多多少个。
9-7,两种理想气体分子数分别为和，某一温度下，速率分布函数分别为 和，问此温度下和组成系统的速率分布函数如何？
答：
9-1,在容积V=3L的容器中盛有理想气体，气体密度为=1.3g/L。容器与大气相通排出一部分气体后，气压下降了0.78atm。若温度不变，求排出气体的质量。
解：根据题意，可得：，
所以当温度不变时，气体的压强和密度成正比，初始密度为1.3g/L，后来的密度为：
则排除的气体的质量为：
大气压为1atm，容器与大气相通即=1atm，也就是=1+0.78=1.78atm
9-2.有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边。如果其中的一边装有0.1kg某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边装入的同一温度的氧气质量为多少？
解：根据题意，温度相同的两个气体，活塞停留在圆筒的正中央，则两边的体积和压强相同，又,
，
所以两个气体摩尔数相同，
可得：，代入数据：，所以：
=1.6kg
9-3.如图所示，两容器的体积相同，装有相同质量的氮气和氧气。用一内壁光滑的水平细玻璃管相通，管的正中间有一小滴水银。要保持水银滴在管的正中间，并维持氧气温度比氮气温度高30oC，则氮气的温度应是多少？
解：根据题意，水银滴停留在管的正中央，则两边的体积和压强相同，又,，所以
，可得到：T1=210K。
9-4,高压氧瓶：，，每天用，，为保证瓶内，能用几天？
解：根据题意 ，可得：
9-5,如图，长金属管下端封闭，上端开口，置于压强为的大气中。在封闭端加热达，另一端保持，设温度沿管长均匀变化。现封闭开口端，并使管子冷却到，求管内压强。
解：根据题意管子一端，另一端保持，所以函数 其中 。
当封闭开口端，并使管子冷却到时，
两式相等，所以
9-6,氢分子的质量为，如果每秒有个氢分子沿着与容器器壁的法线成角的方向以的速率撞击在面积上(碰撞是完全弹性的)，则器壁所承受的压强为多少？
解：根据气体压强公式,
9-7.一容器内储有氧气，其压强p=1.0atm，温度T=300K，求容器内氧气的
（1）分子数密度；
（2）分子间的平均距离；
（3）分子的平均平动动能；
（4）分子的方均根速度。
解：(1)由气体状态方程p=nkT 得
n=p/(kT)=(1×1.013×10５)/(1.38×10-23×300) =2.45×1025
(2) 分子间的平均距离可近似计算
(3) 分子的平均平动动能
=(3/2)kT=(3/2)×1.38×10-23×300=6.21×10-21 J
(4) 方均根速度
9-8,在标准状态下，若氧气(视为刚性双原子分子的理想气体)和氦气的体积比，则其内能之比为多少？
解：根据，可得：,
那么内能之比为：
9-9.水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即H2O→H2→+0.5O2，内能增加了多少？
解：水蒸气分解后，一份的三原子的内能变成了1.5份的双原子的内能，所以内能的变化为：
9-10.体积为20L的钢瓶中盛有氧气（视为刚性双原子气体），使用一段时间后，测得瓶中气体的压强为2atm，此时氧气的内能为多少？
解：由理想气体状态方程：，以及双原子气体内能公式：
可得到：
9-11.已知某种理想气体，其分子方均根率为400m/s，当起压强为1atm时，求气体的密度。
解：由气体方程：
可得到：
所以：
9-12.容器的体积为2V0，绝热板C将其隔为体积相等的A、B两个部分，A内储有1mol单原子理想气体，B内储有2mol双原子理想气体，A、B两部分的压强均为p0。
（1）求A、B两部分气体各自的内能；
（2）现抽出绝热板C，求两种气体混合后达到平衡时的压强和温度。
解：（1）由理想气体内能公式：
A中气体为1mol单原子理想气体：
B中气体为2mol双原子理想气体：
（2）混合前总内能
由于
所以
混合后，温度为，内能不变
9-13,金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动（与容器中的气体分子类似），设金属中共有个自由电子，其中电子的最大速率为 ，电子速率在之间的概率为：
式中为常数．则电子的平均速率为多少？
答：
9-14,大量粒子（个）的速率分布函数图象如图所示，试求：（1）速率小于的分子数约为多少？
（2）速率处在到之间的分子数约为多少？
（3）所有个粒子的平均速率为多少？
（4）速率大于的那些分子的平均速率为多少？
解：根据题意：
所以
速率小于的分子数：
（2）速率处在到之间的分子数：
（3）所有个粒子的平均速率：先写出这个分段函数的表达式：
（）
f（v）= （）
（）
0 （）
（4）速率大于的那些分子的平均速率
9-15,理想气体分子沿方向的速度分布函数：，试据此推导压强公式（已知：）.
解：压强的计算式为：
所以关键在求出N个分子在x方向上速度分量平方的平均值,
，根据速度分布函数，可得：
那么利用,可得：
9-16,在麦克斯韦分布下，（1）计算温度和时氧气分子最可几速率和；（2）计算在这两温度下的最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率；（3）计算时氧分子在处单位速率区间内分子数占总分子的比率。
解：根据最可几速率的定义：
（1）温度：
,
（2）在最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率就是麦克斯韦分布函数：
T=300K，V=394m/s代入：
T=600K,V=558m/s代入：
（3）计算时氧分子在处单位速率区间内分子数占总分子的比率。
即将T=300K，v=788m/s代入：
得,
9-17,试将质量为的单原子理想气体速率分布函数改写成按动能分布的函数形式，然后求出其最可几动能及平均动能。
解：根据题意将中所有的速度用来代替，则得到：=。
其最可几动能也就是所对应的动能，为
平均动能
9-18,一容器体积为，一导热隔板把它分成相等的两半，开始时左边盛有压强为的理想气体，右边为真空。在隔板上有一面积为的小孔，求打开小孔后左右两边压强和与时间的关系（已知单位时间与器壁单位面积相撞的分子数为）。
解：设某时刻左、右分子数分别为N、N0-N，则在dt内左面分子数变化为
由P=NkT/V得：,由此解得
由N1+N2=N0可得p1+p2=p0，
9-19,试求升高到什么高度时大气压强将减至地面的75%。设空气的温度为，空气的摩尔质量为。
解：根据题意,,由求：
已知T=273k；=，则；。把这些值代入，则可得：压强随高度变化的规律z=(RT)/(μg)ln(p０/p)
z=(8.31×273/0.0289×9.8)ln(1/0.75)=2.3×10３ m
9-20,气缸内盛有一定量的氢气(可视作理想气体)，当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞频率和平均自由程的变化情况怎样？
解：根据平均碰撞频率的定义：
以及 ，，
可得到，
所以当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞频率也将增大一倍。
而平均自由程的概念为：
所以当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均自由程将减小一倍。
9-21,（1）分子的有效直径的数量级是多少？（2）在常温下，气体分子的平均速率的数量级是多少？（3）在标准状态下气体分子的碰撞频率的数量级是多少？
解：（1）由，假设标准状态下一摩尔的气体，其体积为，有效直径为：，大约为10-10m。
（2），大约为100——1000m/s。
（3），大约为108——109/s。
思考题
9-1,气体在平衡状态时有何特征？平衡态与稳定态有什么不同？气体的平衡态与力学中所指的平衡有什么不同？
答：平衡态的特征,
(1) 系统与外界在宏观上无能量和物质的交换
(2) 系统的宏观性质不随时间改变。
热平衡态是指,在无外界的影响下，不论系统初始状态如何，经过足够长的时间后，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。
它与稳定态或力学中的平衡不是一个概念。
1.平衡态是一种热动平衡状态。处在平衡态的大量分子并不是静止的，它们仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间 改变。例如：粒子数问题：箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。
2平衡态是一种理想状态
9-2,对一定量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小面增大；当体积不变时，压强随温度的升高而增大。从宏观来看，这两种变化同样使压强增大；从微观来看，它们是否有区别?
答：有区别。从微观上看：
当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大是因为：当一定时，体积减小，n越大，即单位时间内碰撞到器壁的分子越多，则P就越大；
当体积不变时，压强随温度的升高而增大是因为：当n一定时，越大，即单位时间内分子对器壁的碰撞越厉害，则P就越大。
9-3,在推导理想气体压强公式的过程中，什么地方用到了理想气体的分子模型?什么地方用到了平衡态的概念?什么地方用到了统计平均的概念？压强的微观统计意义是什么?
答：压强的求解公式中用到了理想气体的分子模型，把分子作为质点来研究；
对每个分子状态的假定用到了平衡态的概念；
从一个分子对器壁的作用力推广到所有分子对器壁的作用力，计算分子的平均速度都用到了统计平均的概念；
压强的微观统计意义是压强是大量分子碰撞器壁的平均效果，是对大量分子对时间对面积的一个统计平均值。对一个分子而言，它对器壁的碰撞是偶然的，但就大量分子而言，其碰撞的统计平均效果就表现为持续的均匀压强。
9-4,容器内有质量为，摩尔质量为的理想气体，设容器以速度作定向运动，今使容器突然停止，问：（1）气体的定向运动机械能转化什么形式的能量？（2）下面两种气体分子速度平方的平均值增加多少？单原子分子；②双原子分子；（3）如果容器再从静止加速到原来速度，那么容器内理想气体的温度是否还会改变?为什么?
答：（1）一般来说，气体的宏观运动不会影响其微观的内动能，但是当容器忽然停止运动时，大量分子的定向运动的动能将通过与器壁的以及分子间的碰撞而转换为热运动的能量，会使容器内气体的问题有所升高。
（2），所以：，温度增加多少，其速度平方的平均值也做相应的增加。
（3）宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．所以当容器再从静止加速到原来速度，那么容器内理想气体的温度不会改变。
9.5 叙述下列式的物理意义：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
答：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为。
(2)在平衡态下，分子平均平动动能。
(3)在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量。
(4) 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为。
(5) 由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的系统的内能为。
(6) 由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的系统的内能的变化为。
9-6,氦气、氧气分子数均为，，速率分布曲线如图，且阴影面积为，求：（1）哪条是氦气的速率分布曲线？（2）；（3）的意义？(4)为多少？对应的物理意义是什么？
答：（1）由可知，对于氧气和氦气，即使，氦气的VP还是大于氧气，所以图形中，VP大的曲线是氦气，即B图是氦气的。
（2）
（3）的意义：在这速率附近、速率区间dv内的氦气和氧气的分子数相同。
（4）为在v0右边的两曲线的面积差乘以N；
对应的物理意义是v0→∞的速率区间内氦气分子比氧气分子多多少个。
9-7,两种理想气体分子数分别为和，某一温度下，速率分布函数分别为 和，问此温度下和组成系统的速率分布函数如何？
答：
