青海民族大学电信系李林
LILIN qinghaili_06@yahoo.com.cn
热力学与统计物理学 (六 )
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 2
引言第六章 近独立粒子及其最概然分布分布和微观状态的关系波尔兹曼分布玻色分布费米分布青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 3
统计力学的研究方法根据统计单位的力学性质,例如速度、动量、位置、振动、转动等,经过统计平均导出物质系统的热力学性质,将系统的微观性质与宏观性质联系起来,这就是统计力学的研究方法,
统计力学通过 宏观物质系统是由大量微观粒子组成的 这一事实出发,认为,物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集体表现,宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值,
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统计力学的基本出发点粒子是指组成宏观物质系统的基本单元,例如气体分子,金属的离子或者电子,辐射场的光子等,粒子的运动状态是指粒子的力学运动状态,
1.物质由大量的分子或粒子构成,
2.热现象 是大量分子运动的整体表现,与热现象有关的各种宏观性质,诸如,(p,V,T)关系、热容、
反应焓、传递性质、反应速率常数等,可以通过对相应 微观性质的研究经由 统计平均 得出,
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粒子运动状态的描述
2.量子描述,描述遵从量子力学运动规律的粒子,
1.经典描述,描述遵从经典力学运动规律的粒子,
从原则上讲,微观粒子是遵从量子力学运动规律的,但是在一定的极限条件下经典理论仍然具有现实的意义,
宏观现象是微观运动的结果
宏观现象与微观现象有差别青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 6
§ 6.1 粒子运动的经典描述一,粒子的运动状态描述
r:粒子自由度 (决定粒子位置所需的独立坐标数 )
则,粒子在任一时刻的力学运动状态,分别由粒子的
r 个广义坐标和广义动量在该时刻的数值确定,
1.微观描述 (使用粒子坐标和动量的方法 )
粒子能量?是其广义坐标和广义动量的函数,即,
).,,,,,,,( 2121 rr pppqqq
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.,,2,1),,( ripqHH ii
.,,2,1),,,( ripq ii
粒子运动状态的更一般描述,
:非参量,
在分析力学中,一般把以广义坐标和广义动量为自变量的能量函数写成哈密顿函数 H,即,
其运动方程 (正则运动方程 )为,
),,2,1(,riqHppHq
i
i
i
i
一,粒子的运动状态描述青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 8
2.几何表示法相空间,以 q1,q2,…,qr； p1,p2,…,pr，为直角坐标所构成的 2r 维空间,称为?空间 (相空间 ).
代表点,相空间中代表力学体系一个运动状态的点,运动状态随时间改变在?空间中移动的代表点轨迹称为 相迹,
当给定某一初始时刻 (t0)的值 (qi0,pi0),由正则运动方程就可以确定在任何时刻 (t)的 qi,pi值,即完全确定了该力学系统的运动状态,
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zmpympxmp zyx,,
二,自由粒子,线性谐振子,转子的运动状态
1.自由粒子自由粒子是不受外力作用而作自由运动的粒子,
当不存在外场作用时,理想气体的分子,金属的自由电子等都可以视为自由粒子,
当自由粒子在三维空间内运动时,自由度 r = 3。
空间维数,? = 6,位置,x,y,z.
动量,m:粒子质量能量,能量球,?mr 2?
)(2 1 222 zyx pppm
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如何在相空间中描述自由粒子的运动?
用 x和 px表示一维自由粒子的位置和动量,
以 x和 px为直角坐标构成二维的相空间 (?空间 ),
设一维容器的长度为 L,则,
x,0→ L 间的任何值,xp
L
xp
x
xp
O
经典力学的粒子,px原则上
-?→ +?间的任何值,
自由粒子的一个运动状态 (x,px)在上述范围内的相空间 (?空间 )有一个代表点,
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当自由粒子以一定的动量 px 在容器中运动时,粒子运动状态的代表点,在?空间的轨道平行于 x 轴的一条直线,直线与 x 轴的距离等于 px.
对于三维自由粒子,相空间是 6维的,
线性谐振子是质量为 m 的粒子在弹性力 F = -kx
作用下,将沿着 x 轴在原点附近作简谐振动,
2.线性谐振子在一定的条件下,分子内原子的振动,晶体中原子或者离子在其平衡位置附近的振动均可视为简谐振动,其振动的园频率,mk /
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22
2
2
2
2
1
222 xmm
pxk
m
p
线性谐振子的自由度 r = 1,在任一时刻粒子的位置由它的位移 x,动量 p=mv 确定,线性谐振子的能量是其动能和势能之和,
以 x,p为直角坐标,构成二维?相空间,振子在任一时刻运动状态由?空间中的一点表示,如果给定振子的能量?,对应的代表点的轨迹由上式确定,
x
p
1
)/()2(2 2
22
m
x
m
p即为椭圆方程,
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3.转子 是指质量为 m 的质点 A 被具有一定长度的轻杆系于原点 O 时的运动,
y
z
x
O
(m)A ⑴ 在直角坐标系中,位置 (x,y,z),
质点的能量就是其动能,
)(21 222 zyxm
⑵ 在球极坐标系 (r,?,?)中位置,
c o s,s i ns i n,c o ss i n rzryrx
质点的能量,
)s i n(21 222222 rrrm
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考虑到质点与原点间的距离保持不变,即,
质点的能量,
0?r?
)s in(21 22222 rrm
引入球极坐标下的动量,
222 s in,mrpmrp
则,相应地能量可以表示为,
2
2
2222
2
22
222222
2
22222
s i n
1
2
1
)s i n(
s i n
1
)(
2
1
)s i n(
2
1
)s i n(
2
1
pp
I
mrmr
I
mrmrmr
mr
mrmr
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式中,I=mr2是质点对原点 O的转动惯量,
自由度,2(?,?),相空间维数,4(?,?,p?,p?).
⑶ 有关 转子 内容的补充在经典力学的 球极坐标系下描述质点运动状态的广义坐标和广义动量的取值范围,
广义坐标 (?,?):?(0),?(0?2?).
广义动量 (p?,p?):原则上没有任何限制,
转子在任何时刻的位置,由其主轴 (OA)在空间的方位角 (?,?)确定,
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以细棒联结的质点 m1 和 m2 绕质心转动,
二体问题?单体问题,m(双元子分子绕质心 )
约化质量?
说明,广义动量 (p?,p?)是 转子角动量的两个分量,
p?是沿着 z 轴的分量,因为?随时间变化,p?是沿着垂直于 z 轴和主轴 OA 所构成平面 的一个变动轴的分量,
经典力学,在不受外力作用时转子的总角动量 M
守恒 (M=r? p).由于 r?p,质点的运动是在垂直于 M
的平面内运动,
21
21
mm
mm
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如果选择 z 轴 //M,质点的运动必在 xy 平面上,
I
M
I
ppMz
220,2)//(
22
补充,质点对固定点的角动量动量为 p( mv )质点,
对惯性系内某参考点 O
的角动量 M,等于质点对该参考点的位置矢量
r 与其动量 mv 的矢积,
M
·O r mv
θ
vmrM
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§ 6.2 粒子运动的量子描述一,粒子运动的 经典描述和量子描述的判别德布罗意假说,一切微观粒子,都具有波 (波动 )粒
(粒子性 )二象性,能量?,动量 p 的自由粒子?圆频率?,波矢 k 的平面波,满足德布罗意关系,
kp,
其中普朗克常数是量子物理的基本常数,其数值,
s.J 10005.1 s,J 10626.6,2 3434 hh?
量纲,[时间 ]·[能量 ]=[长度 ]·[动量 ]=[角动量 ].
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量子作用常数 是判别描述粒子运动的经典或量子的判据,
当一个物质系统任何具有作用量纲的物理量具有与普朗克常数相比拟数值时物质系统是 量子系统,
如果物质系统的每一个具有作用量纲的物理量用普朗克常数来量度都非常大时,则是 经典力学系统,
二,测不准关系 微观粒子的运动不是轨道运动,
粒子和波动二象性的一个重要的结果是 微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 20
4)()(
2
22 pq
如果以?q 表示粒子坐标的不确定值,?p表示粒子动量不确定值,则在量子力学所容许的最精确的描述中,?q 和?p 的乘积 满足不确定 (则不准 )关系 ):
测不准关系可简化表示为,
hEthpq or
可见微观粒子在客观上不可能同时具有确定的坐标位置及相应的动量,微观粒子的运动不是轨道运动,不能用坐标和动量来描述,而是用波函数来描述的,由一组 量子数 来表征,
21
量子数的数目即为粒子的自由度数,量子化 是微观粒子的基本特性,
量子化的普适法则,
,3,2,1, nnhp d q
其中,dq表示位移 (角位移 ),p是与 q对应的动量,
三,线性谐振子,自旋,自由粒子,转子的量子状态
1.线形谐振子的量子状态
,2,1,0 21
nn
n
圆频率 为?的线性谐振子的能量可能值为,
其中,n 是表征谐振子的运动状态和能量的量子数,
振子的能量是分立且等间距,分立能量称之为能级,
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2.自旋 (Uhlenbeck-Goudsmit)角动量线圈磁矩定义,当线圈面积为 A,通过的电流为 I 时,线圈的磁矩为,nIA?
n?
A
I
某些基本粒子具有内禀的角动量,称之为自旋角动量 S.自旋角动量的平方 S 2 的数值等于,
.)1(2 ssS
s:称为 自旋量子数,可以是整数或者半整数,自旋量子数的数值是基本粒子的固有属性,对于电子 s=1/2.
).(,),1(,,sssmmS ssz
自旋在空间某一本征方向 z 的投影 Sz 的可能值,
其中,ms:称自旋磁量子数,共有 (2s + 1)个可能值,
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乌伦贝克和哥德斯密脱的 电子自旋 假设,
⑴ 每个电子具有自旋角动量 S,自旋角动量在空间任何方向上的投影只能取两个数值,
.21,2 ssz mmS
⑵ 每个电子的自旋磁矩?与自旋角动量 S间关系
Sme
式中,-e,m分别是电子的电荷以及质量,
自旋在空间任意方向上的投影只能取两个数值,meSme zz 2
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 24
电子在外场 B中的能量为,
BmeBU 2
3.自由粒子 不受外力作用自由运动的粒子,
⑴ 一维自由粒子由于自由粒子波函数?p(r)归一化为?函数,采用周期性边界条件,粒子可能的运动状态,其德布罗意波波长?的整数倍等于粒子所处的 一维 容器长度 L.
,2,1,0||,|| xx nnL?
根据波矢的定义,并考虑到在一维空间中波动可以有两个传播方向,则波矢 kx 和动量 px 的可能值为,
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式中,nx是表征一维自由粒子的运动状态的量子数,
,2,1,0,22 xxxkpx nnLpk xx
一维自由粒子能量可能值也取决于量子数,
,2,1,0,22 2
2222
xxxnx nLnmmp
⑵ 三维自由粒子假设自有粒子处在边长为 L的 三维 容器内,则粒子的三个动量分量的可能值为,
,2,1,0,2,2,2 xzzyyxx nnLpnLpnLp
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三维自由粒子能量的可能值为,
2
22222
222
2 2
)(2 12 L nnnmpppmmp zyxzyxn
如果粒子局域在宏观大小的空间内运动,例如电子在原子大小的范围,核子在原子核大小的范围内运动,上述动量和能级可能值的分离性是显著的,
)( 222 zyx nnn
另外,三维自由粒子的运动状态由 3个量子数 (ni)
表征,而能级只取决于 的数值,
因此,处在同一个能级的量子状态并不只是一个,
例如,能级?1对应的量子状态?
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由能级公式可知,
3
22
1
12
Lm
nx ny nz
1 0 0
-1 0 0
0 1 0
0 -1 0
0 0 1
0 0 -1
可见能级是简并的,其简并度为 6.
如果粒子是在宏观大小的空间内运动,上述给定的动量和能级的可能值是准连续的,
例如,考虑在 体积 V= L3 内,动量在 px?px+dpx,py
py +dpy,pz? pz+dpz的范围内自由粒子量子态数,
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x
y
z
假设能级是密集的,令 n连续,
.,,,2 zyxidpLdn ii
在 V=L3内,符合上式的量子态数,
zyxzyxzyx dpdpdph
VdpdpdpLdndndn
3
3
2
根据不确定关系 △ q△ p?h,如果用坐标 q 和动量 p
来描述自由粒子的运动状态,一个状态必然对应于相空间中的一个体积 (称为 一个相格 ),对于自由度为 1 的粒子来说,相格的大小为 h.
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在球极坐标下若粒子自由度为 r,各自由度的坐标和动量的不确定值?qi和?pi满足不确定关系?qi?pi?h时相格大小,
即,将相空间的体积 Vdpxdpydpz除以相格的大小 h3而得到三维自由粒子在体积 Vdpxdpydpz内的量子态数,
rir hppqq 11
c o s,s i ns i n,c o ss i n pppppp zyx
用 (p,?,?)代替 px,py,pz.
动量空间的体积元为 p2sin?dpd?d?.所以,在体积
V内,动量大小在 p到 p+dp,动量方向在?到?+d?,?到
+d?的范围内,自由粒子可能的状态数为,?
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xp
yp
zp
0
p
d
d
sinp
dpsin
pd
dp
)sin(
dp
dd p dphVdndndn zyx s i n23?
4s in020 dd
dpph Vdndndn zyx 234
对?,?求积分,可得在体积 V内,在任意的动量方向上,动量大小在 p
到 p + dp的范围内,自由粒子的可能状态数,
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dmh Vmdmh Vdpph V 33323 )2(22244
将? =p2/(2m)内代入上式,
令上式为,D(?)d?,则,
D(?):单位能量间隔内的可能状态数,称为 态密度,
上式表明,在体积 V内,在? +d? 的能量范围内,自由粒子可能的状态数,
备注,在上述讨论中没有考虑粒子的自旋,如果粒子的自旋不等于零,还要考虑自旋的贡献,
33 )2(2)( mh VD?
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 32
.,2,1,0,)1( 22 lllM
I
M
2
2
4.转子转子的能量 等于 角动量平方和 2I 比值,
在量子理论,
.),1(,),1(,,llllmmM z
对于一定的 l值,角动量 M在某一 z轴 (本征方向 )上的投影 Mz只能取分立值,
可见,角动量 Mz共 有 (2l+1)个可能值,即自由度为
2的转子的运动状态由 l,m两个量子数表征,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 33
.,2,1,0,2 )1(
2
l?
l
I
ll?
.,2,1,0,)1(,2 22
2
lllMIMn?
在量子理论中,转子的能量是分立的,
简并 的概念如果某一能级的量子状态不止一个,该能级被称为 简并 的,简并度 是指一个能级的量子态数,
量子数为 l的转子能级?l 共 有 (2l+1)个量子态,即,
能级?l是 (2l+1)度简并的,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 34
dmh VdD 21233 )2(2)(?
zyxzyxzyx dpdpdph
VdpdpdpLdndndn
3
3
2
习题 1 试证明,在体积 V 内,在? 到? +d? 的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为,
证明,在体积 V=L3内,在 px到 px+dpx,py到 py+dpy,pz 到
pz+dpz的动量范围内,三维自由粒子可能的量子态数
(p.172,式 6.2.13)为,
用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量,并对动量方向积分,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 35
.,2 mdpdpmp
dpph V 234?
2
2
1 p
m
dmh VdD 21233 )2(2)(?
可得在体积 V 内,动量大小在 p 到 p + dp 范围内,三维自由粒子可能的量子态数为,
即,将相空间 (?空间 )体积元 4?Vp2dp(体积 V,动量球壳 4?p2dp)除以相格大小 h3 而得到的状态数,
自由粒子的能量动量关系为,
由以上两式,即得在体积 V 内,在?到? +d? 的能量范围内,三维 自由粒子的量子态数为,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 36
dm
h
LdD 21
2
2)(?
xx dx dphdn
1?
习题 2 试证明对于一维自由粒子在长度 L内,在?到
+d? 的能量范围内,量子态数为,
证明,对于一维自由粒子在?空间体积元 dxdpx 内可能的量子态数 (p.172,式 6.2.14)为,
在长度 L内,动量大小在 p到 p+dp 范围内 (注意动量可有正负两个可能的方向 )的量子态数为,
dp
h
L2
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.,2 mdpdpmp
2
2
1 p
m
将自由粒子的能量动量关系,
代入,即得在长度 L 内在?到? +d? 的能量范围内,一维 自由粒子的量子态数为,
dm
h
LdD 21
2
2)(?
习题 3 试证明对于二维自由粒子,在面积 L2 内,在?
到? +d? 的能量范围内,量子态数为,
mdh LdD 2
22
)(?
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 38
yxyx dpd x d y d phdndn 2
1?
证明,对于二维自由粒子在?空间 体积元 dxdydpxdpy
内可能的量子态数 (p.172,式 6.2.14)为,
用二维空间的极坐标 p,?描述自由粒子动量,p,?与
px,py 的关系为,
.s in,c o s pppp yx
用极坐标描述时,二维动量空间的体积元,
pdpd
在面积 L2 内,动量大小 在 p 到 p+dp 的范围内,动量方向在?到?+d?的范围内,粒子可能的状态数,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 39
220 d
pdph L2
22?
对 d?积分,有,
可得在面积 L2 内,动量大小在 p 到 p+dp的范围内 (动量方向为任意 ),二维 自由粒子的量子态数为,
2
2
h
pdpdL?
.?mdpdp?代入粒子的能量动量关系,
mdh LdD 2
22
)(?
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 40
dpph V 234?
习题 4 在极端相对论情况下,粒子的能量和动量之间满足关系式,?= cp.试求在体积 V 内在? 到? +d?
的能量范围内三维粒子的量子态数,
证明,在体积 V 内,动量大小在 p到 p+dp的范围内,三维自由粒子可能的量子态数 (p.173,式 6.2.16)为,
将极端相对论粒子的能量动量关系,? =cp 代入可得在体积 V内,在?到? +d?的能量范围内,极端相对论三维粒子的量子态数为,
dch VdD 23)(4)(?
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 41
§ 6.3 系统微观运动状态的描述一,全同粒子 与 近独立粒子
⑴ 全同粒子 系统,由具有完全相同属性 (相同的质量,自旋,电荷等 )的同类粒子所组成的粒子系统,
如自由电子组成的自由电子气体系统,
⑵ 近独立粒子,是指粒子间相互作用很弱,相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量,可以
,忽略,粒子间相互作用,将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和的粒子系统,d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 42
二,经典物理中微观运动状态的描述
⑴ 可分辨 (可跟踪的经典轨道运动 ).
⑵ 描述方式,相空间 (?空间 )中 N个点,
如理想气体组成的系统,
Ni iE 1? N:系统中粒子总数,
d
b
c
e
三,量子物理中微观运动状态的描述
⑴ 不可分辨 (物质波的非轨道概率运动 )
⑵ 描述方式,微观粒子全同性原理青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 43
⑶ 玻色子与费米子 (微观粒子分类 )
② 玻色子,自旋量子数为整数的基本粒子或复合粒子,如,光子,?介子等,
① 费米子,自旋量子数为半整数的基本粒子或复合粒子,如,电子、质子、中子等,
③ 泡利不相容原理
d
a
b
c
e
① 对于某一个粒子的各个量子态,
② 对应于每一个量子态的粒子数,
对于含有多个全同近独立的费米子系统,一个个体量子态最多能容纳一个费米子,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 44
⑷ 玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统玻耳兹曼系统,由可分辨的全同近独立粒子组成,
且处在一个个体量子态上粒子数不受限制的系统,
End
d
a
b
c
e
玻耳兹曼系统,由可分辨的全同近独立粒子组成,
且处在一个个体量子态上粒子数不受限制的系统,
玻耳兹曼系统,由可分辨的全同近独立粒子组成,
且处在一个个体量子态上粒子数不受限制的系统,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 45
粒子类别 量子态 <1> 量子态 <2> 量子态 <3>
假设系统含有两个粒子 A,B,粒子的个体量子态有 3个,讨论系统可能有的微观状态,即,两个粒子占据 3个个体量子态的可能方式,
玻耳兹曼系统,由可分辨的全同近独立粒子组成,且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统,(有 9个不同的状态 )
A B
A B
A B
A B
B A
A B
B A
A B
B A
在 玻色系统 和 费米系统 中,由于两个粒子不可分辨,令 A=B,以 A表示,
玻色系统,由玻色子组成的粒子系统,
粒子不可分辨,不受泡利不相容原理的约束,(有 6个不同的状态 )
A A
A A
A A
A A
A A
A A
费米系统,由费米子组成系统,粒子不可分辨,受不相容原理的约束,(有 3个不同的状态 )
A A
A A
A A
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§ 6.4 等概率原理
d
a
b
c
e
一,概率理论初步青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 47
1.随机事件 在一定的条件下,如果一个事件可能发生也可能不发生,这事件称为随机事件,Nm
2.概率 经验表明,在一次观测中,一个随机事件是否发生是无法预言的,但观察次数 N时,某一事件 A发生的次数 NA与总观测次数 N的比值,将趋于稳定的极限值 P(A).定义 P(A)为事件 A发生的概率,
)0( lim)A( AA NNNNP
N
3.概率的性质
)()()()( 321 ApApApAp⑴ 不相容 (互斥 )事件
⑵ 独立事件
BABA PPP,
d
a
b
c
e
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4.概率分布
⑴ 离散变量 可数的分立值
⑵ 连续变量 可取某一区间内的一切值
n
n
PPP
xxx
21
21
1i iP
x
p
a b
如果一个变量以一定的 概率取各种可能值,
称该变量为随机变量,随机变量分为,
以 X表示随机变量,
离散型随机变量的可能值?
离散型随机变量的概率值?
称 {Pi}为随机变量 X的概率分布,满足条件,
以 X表示连续型随机变量,可能取值 x
在 a与 b之间,则随机变量 X取值在 x?
x+dx内的概率 dP(x)表示为,
概率密度！,)(
)()(
x
dxxxdP
1)(b
a dxx?
满足条件,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 49
5.统计平均值
⑴ 离散型随机变量,
NNxi ii?
⑵ 连续型随机变量, dxxxX )(?
X:随机变量,可能取值,xi,N次观测中测得次数,Ni.
随机变量 X的算术平均值,
i iii iiN PxN NxX lim
随机变量 X的统计平均值,
积分遍及 x的范围,
统计平均值反映型随机变量的平均大小,
6.涨落 (均方偏差 or偏差 )
随机变量 X在其统计平均值上下涨落 的平均幅度,
2222 )()()( XxXxx i
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 50
7.统计独立随机变量的联合分布以两个随机变量 X和 Y为例,对多个随机变量说明,
以 dP(x,y)表示 X取值在 x～ dx,Y取值在 y～ dy间概率,
d x d yyxyxdP ),(),(
以 ρ (x,y)称为联合概率密度,满足以下条件,
1),(,0),( d x d yyxyx
积分遍及 X,Y的取值范围,
如果不管 Y的取值如何,X取值在 x～ dx之间的概率为,
积分遍及 Y的取值范围, dyyxdxdxx ),()(
如果随机变量 X,Y是统计独立的,由独立事件的概率,
)()(),( yxyx
由上式可以证明以下两个常用公式,
YXXY 222 )()()( YXYX
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 51
8.非统计独立随机变量的相关矩如果随机变量 X,Y不 是统计独立的,可以引入相关矩来描述其相关程度,
YXXYYYXX )()(
二,宏观状态与微观状态的区别热力学和统计物理学是研究 宏观物质系统的特性,宏观物质系统是由大量的微观粒子构成,其粒子数的典型数值为每摩尔 1023个,
作为热运动的宏观理论,热力学讨论的状态是宏观状态,由几个宏观参量表征,如,孤立系统由 N,V,E来表征系统的平衡态,系统的微观状态所讲述的是力学运动状态,在确定的宏观状态下,系统可能的微观状态是大量,
且不断地发生着极其复杂的变化,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 52
三,宏观状态与微观状态的联系宏观状态量是相应微观物理量的统计平均值,
统计物理的根本问题,确定各微观状态出现的概率,
四,等概率原理,对于平衡态的孤立系统,系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的,
说 明,
1.既然这些微观状态都同样满足具有确定 N,E,V的宏观条件,没有理由认为哪一个状态出现的概率更大一些,这些微观状态应当是平权的,
2.等概率原理是统计物理学的一个合理的基本假设,
似乎不能从更基本的原理推出,也不能直接从实验上验证,它的正确性在于从它推出的各种结论上的正确性,d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 53
§ 6.5 分布与微观状态数
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 54
假设系统由大量全同近独立粒子组成,具有确定的粒子数 N,能量 E和体积 V.约束条件,N,E,V=Constant.
一,分布 {al}
能 级?
简并度?
粒子数
l
l
l
aaa 21
21
21
对于 确定的宏观状态 下,粒子数按能级的排列方式以符号 {al}表示粒子数数列 a1,a2,…,al,… 的一个分布,
才有可能实现,EaNa
l lll l,
对于具有确定的 N,E和 V的系统,分布满足的条件,
二,微观状态 Ω
探讨与一个分布 {al}相应系统 (1-4)的微观状态问题,
能级 的简并度,
指能级 上有 个量子态,
l?
l? l?
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 55
微观状态是粒子运动状态或称为量子态,反映的是粒子运动特征,如,在某一能级上,假设有 3个粒子,这三个粒子是如何占据该能级的量子态,也就是它的微观状态,
就一个确定的分布而言,与它相应的微观状态数是确定的,不同的分布,有不同的微观状态数,
微观状态对于 玻耳兹曼系统,玻色系统,费米系统,经典系统是不同的,下面分别讨论,
1.玻耳兹曼系统
la
ll
ll
BM a
N
!
!
..
(麦克斯韦 -玻耳兹曼系统 )
对于玻耳兹曼系统,粒子可分辨,若对粒子加以编号,
则 al个粒子占据能级 上 个量子态时,彼此独立,互不关联的,分布相应系统的微观状态数为,
l? l?
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 56
2.玻色系统
3.费米系统
)!1(!
)!1(
.,?
ll
ll
lEB a
a
)!1()!1( lll a
将各种能级的结果相乘,即得到玻色系统与分布相应的微观状态数,
)!(! lll
l
aa
(玻色 -爱因斯坦系统 )
粒子不可分辨,每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制,al个粒子占据能级 上的 个量子态可能方式有,
l? l?
粒子不可分辨,每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子,al个粒子占据能级 上 个量子态,相当于从 个量子态中挑出 al个来为粒子所占据,可能有的方式为,l
l? l?
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 57
将各能级的结果相乘,得到费米系统与分布相应的微观状态数为,
l lll
l
DF aa )!(!
!
.,?
1
l
la
(经典极限条件,也称非简并性条件 )
!!!
)2)(1(
)!1(!
)!1(,.
.,Naa
aa
a
a BM
l l
a
l
l l l
lllll
ll
ll
EB
l?
!!!
)1()1(
)!1(!
!,.
.,Naa
a
a
BM
l l
a
l
l l l
llll
ll
l
DF
l?
表明,在所有的能级,粒子数都远小于量子态数,
(费米 -狄喇克系统 )
讨论,如果在玻色系统和费米系统中,任一能级 上的粒子数均远小于该能级的量子态数,即,l
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 58
4.经典系统
la
r
l
lllcl ha
N
0
!
!?
体积元?
l
l
r
l
rr
l
aaa
hhh
21
21
00
2
0
1
21
简并度?
能 级?
粒子数?
对于经典系统,粒子可分辨,处在一个相格内的经典粒子数没有限制,因此,在经典统计中与分布相应系统的微观状态数可参照玻耳兹曼系统的?M.B.直接写出,
将向空间划分为许多小体积元 (l=1,2,?),则,
l
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 59
§ 6.6 玻耳兹曼分布
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 60
根据等概率分布原理,对处于平衡态的孤立系统,每一个可能的微观状态出现的概率是相等的,即,微观状态数?最多的分布,出现的概率最大,称为最概然分布,
补充内容,斯太林公式,
)1( ln!ln mmm 其中 m是远大于 1的整数,
一,最概然分布
la
ll
ll
BM a
N
!
!
..
已知,玻耳兹曼系统 的微观状态数为,
思路,系统中粒子的最概然分布是指使微观状态数?为极大 的分布,由于 (ln?)随?的变化是单调的,可以等价地讨论使得 (ln?)为极大的 分布,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 61
对上式取对数得,
l llll aaN?ln!ln!lnln
l lll ll
l lll ll
aaaNN
aaaNN
lnlnln
ln)1( l n)1( l nln
并考虑到 N>>1,若设 al>>1,?l >>1,应用格太林式得,
为求在 约束条件,下的最大值,使用拉格朗日乘数法,取未定因子?和?,则拉格朗日函数,
l
l
l
l
l aaEN
ln)( l n
若令上式为零,得 玻耳兹曼系统中 粒子的最概然分布,
)e x p (0ln llll
l
l aa
EaNa l lll l,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 62
l lll
l ll
E
N
)ex p (
)ex p (
其中拉格朗日乘子由约束条件确定,即,
上式 (最概然分布 )给出了在最概然分布下,在能级?l
的粒子数,能级?l有?l个量子态,处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相等的,
则,处在能级为?s的量子态 s上的平均粒子数 fs为,
)ex p ()ex p ( ssl
l
l fa
l ssss ss EN )e x p (,)e x p (
相应地拉格朗日乘子约束条件也可以写为,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 63
二,经典统计的最概然分布
)ex p (
0
l
l
l ha
)e x p (),e x p (
00
l
l
l
ll
l
l
hEhN
la
ll
ll
BM a
N
!
!
..
根据,玻耳兹曼系统 的微观状态数,
la
r
l
lllcl ha
N
0
!
!?
以及,经典系统中微观状态数,
的相似性,直接写出经典统计中玻耳兹曼分布表达式,
其中?和?由下式确定,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 64
§ 6.7 玻色分布和费米分布
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 65
已知,玻色系统 的微观状态数为,
对上式取对数得,
l llll aa )!1l n (!ln)!1l n (ln
一,玻色分布的推导
)!1(!
)!1(
.,?
ll
ll
lEB a
a
考虑到 N>>1,若假设 al>>1,?l >>1,则,
l +al-1≈?l+al,?l-1≈ ωl.应用格太林式,则有,
为求在 约束条件,下的最大值,使用拉格朗日乘数法,取未定因子?和?,则拉格朗日函数,
l llllllll aaaa lnln)l n ()(ln
EaNa l lll l,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 66
ll llll aaaEN ln)l n ()( l n
若令上式为零得,玻色系统粒子的最概然分布,
1)e xp (0ln)l n ( l
l
lllll aaa
已知,费米系统 的微观状态数为,
l lll
l
DF aa )!(!
!
.,?
二,费米分布的推导
l
l
ll
l
l
l EN
1)ex p (,1)ex p (
其中拉格朗日乘子由约束条件确定,即,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 67
对上式取对数得,
l llll aa )!l n (!ln!lnln
l llllllll aaaa )l n ()(lnlnln
并考虑到 N>>1,若假设 al>>1,?l >>1,?l–al >>1,则得,
为求在 约束条件,下最大值,使用拉格朗日乘数法,取未定因子?和?,则拉格朗日函数为,
l
l
l
ll
l a
a
aEN
ln)( l n
若令上式为零得,费米系统粒子的最概然分布,
1)e xp (0ln l
l
ll
ll
l a
a
a
EaNa l lll l,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 68
l
l
ll
l
l
l EN
1)ex p (,1)ex p (
其中拉格朗日乘子由约束条件确定,即,
玻色系统和费米系统的最概然分布,给出了在最概然分布下,在能级?l的粒子数,能级?l有?l个量子态,处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相等的,
则,处在能级为?s的量子态 s上的平均粒子数 fs为,
玻色系统”“费米系统，”,::1)e x p ( 1
s
sf
l
s
s
ss
s
s EN 1)ex p (,1)ex p (
1
相应地拉格朗日乘子约束条件也可以写为,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 69
§ 6.8 三种分布的关系
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 70
1.拉格朗日乘子?和?的值由下式确定,
EaNa l lll l,
在许多实际问题,往往将? 看作由实验确定的已知参量,
而由 E确定系统的内能,或将?和?都当作由实验确定的已知参量,而由 N,E确定系统的平均总粒子数和内能,
麦克斯韦 -玻耳兹曼 分布,
)ex p ( l
l
la
玻色 - - 爱因斯坦分布,
1)ex p ( l
l
la
费米 --- 狄喇克分布,
1)ex p ( l
l
la
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 71
这时玻色和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布,由上式,
1)ex p ( 1
sl
la
这时任一量子态上的平均粒子数都远小于 1.该式就是所谓的非简并性条件,当非简并条件满足时,费米分布和玻色分布都过渡到玻耳兹曼分布,
(对所有 l).
2.如果参数?满足 exp? >>1,则有,
)ex p (1)ex p ( s
l
s
l
la
3.能级?l 有?l 个量子态,处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的,因此,处在能级?s 的量子态 s上的平均粒子数为,
sss af
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 72
微观粒子受空间限制,分定域和非定域,前者可用粒子位置来分辨粒子,对于后者须考虑微观粒子全同性原理,
5.定域系统和满足经典极限条件的玻色 (费米 )系统虽然遵从同样的分布,但它们的微观状态数是不同的,前者为?M.B.,后者为?M.B./N!,因此,对那些直接由分布函数导出的热力学量,两者具有相同的统计表达式,然而,对于例如,熵和自由能等与微观状态有关的热力学量,两者的统计表达式有差异,
6.最概然分布的推导可推广到含有多个组元的情况,
4.推导最概然分布时,应用了 N>>1,?l >>1,al-?l >>1
等条件,这些条件实际上是不满足的,这是推导过程的一个严重的缺点,在巨正则系统求平均分布的方法中可以严格地导出,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 73
dmh VdD 21233 )2(2)(?
zyxzyxzyx dpdpdph
VdpdpdpLdndndn
3
3
2
习题 5 试证明,在体积 V 内,在? 到? +d? 的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为,
证明,在体积 V=L3内,在 px到 px+dpx,py到 py+dpy,pz 到
pz+dpz的动量范围内,三维自由粒子可能的量子态数
(p.172,式 6.2.13)为,
用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量,并对动量方向积分,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 74
.,2 mdpdpmp
dpph V 234?
2
2
1 p
m
dmh VdD 21233 )2(2)(?
可得在体积 V 内,动量大小在 p 到 p + dp 范围内,三维自由粒子可能的量子态数为,
即,将相空间 (?空间 )体积元 4?Vp2dp(体积 V,动量球壳 4?p2dp)除以相格大小 h3 而得到的状态数,
自由粒子的能量动量关系为,
由以上两式,即得在体积 V 内,在?到? +d? 的能量范围内,三维 自由粒子的量子态数为,
End
LILIN qinghaili_06@yahoo.com.cn
热力学与统计物理学 (六 )
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 2
引言第六章 近独立粒子及其最概然分布分布和微观状态的关系波尔兹曼分布玻色分布费米分布青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 3
统计力学的研究方法根据统计单位的力学性质,例如速度、动量、位置、振动、转动等,经过统计平均导出物质系统的热力学性质,将系统的微观性质与宏观性质联系起来,这就是统计力学的研究方法,
统计力学通过 宏观物质系统是由大量微观粒子组成的 这一事实出发,认为,物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集体表现,宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 4
统计力学的基本出发点粒子是指组成宏观物质系统的基本单元,例如气体分子,金属的离子或者电子,辐射场的光子等,粒子的运动状态是指粒子的力学运动状态,
1.物质由大量的分子或粒子构成,
2.热现象 是大量分子运动的整体表现,与热现象有关的各种宏观性质,诸如,(p,V,T)关系、热容、
反应焓、传递性质、反应速率常数等,可以通过对相应 微观性质的研究经由 统计平均 得出,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 5
粒子运动状态的描述
2.量子描述,描述遵从量子力学运动规律的粒子,
1.经典描述,描述遵从经典力学运动规律的粒子,
从原则上讲,微观粒子是遵从量子力学运动规律的,但是在一定的极限条件下经典理论仍然具有现实的意义,
宏观现象是微观运动的结果
宏观现象与微观现象有差别青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 6
§ 6.1 粒子运动的经典描述一,粒子的运动状态描述
r:粒子自由度 (决定粒子位置所需的独立坐标数 )
则,粒子在任一时刻的力学运动状态,分别由粒子的
r 个广义坐标和广义动量在该时刻的数值确定,
1.微观描述 (使用粒子坐标和动量的方法 )
粒子能量?是其广义坐标和广义动量的函数,即,
).,,,,,,,( 2121 rr pppqqq
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 7
.,,2,1),,( ripqHH ii
.,,2,1),,,( ripq ii
粒子运动状态的更一般描述,
:非参量,
在分析力学中,一般把以广义坐标和广义动量为自变量的能量函数写成哈密顿函数 H,即,
其运动方程 (正则运动方程 )为,
),,2,1(,riqHppHq
i
i
i
i
一,粒子的运动状态描述青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 8
2.几何表示法相空间,以 q1,q2,…,qr； p1,p2,…,pr，为直角坐标所构成的 2r 维空间,称为?空间 (相空间 ).
代表点,相空间中代表力学体系一个运动状态的点,运动状态随时间改变在?空间中移动的代表点轨迹称为 相迹,
当给定某一初始时刻 (t0)的值 (qi0,pi0),由正则运动方程就可以确定在任何时刻 (t)的 qi,pi值,即完全确定了该力学系统的运动状态,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 9
zmpympxmp zyx,,
二,自由粒子,线性谐振子,转子的运动状态
1.自由粒子自由粒子是不受外力作用而作自由运动的粒子,
当不存在外场作用时,理想气体的分子,金属的自由电子等都可以视为自由粒子,
当自由粒子在三维空间内运动时,自由度 r = 3。
空间维数,? = 6,位置,x,y,z.
动量,m:粒子质量能量,能量球,?mr 2?
)(2 1 222 zyx pppm
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 10
如何在相空间中描述自由粒子的运动?
用 x和 px表示一维自由粒子的位置和动量,
以 x和 px为直角坐标构成二维的相空间 (?空间 ),
设一维容器的长度为 L,则,
x,0→ L 间的任何值,xp
L
xp
x
xp
O
经典力学的粒子,px原则上
-?→ +?间的任何值,
自由粒子的一个运动状态 (x,px)在上述范围内的相空间 (?空间 )有一个代表点,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 11
当自由粒子以一定的动量 px 在容器中运动时,粒子运动状态的代表点,在?空间的轨道平行于 x 轴的一条直线,直线与 x 轴的距离等于 px.
对于三维自由粒子,相空间是 6维的,
线性谐振子是质量为 m 的粒子在弹性力 F = -kx
作用下,将沿着 x 轴在原点附近作简谐振动,
2.线性谐振子在一定的条件下,分子内原子的振动,晶体中原子或者离子在其平衡位置附近的振动均可视为简谐振动,其振动的园频率,mk /
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 12
22
2
2
2
2
1
222 xmm
pxk
m
p
线性谐振子的自由度 r = 1,在任一时刻粒子的位置由它的位移 x,动量 p=mv 确定,线性谐振子的能量是其动能和势能之和,
以 x,p为直角坐标,构成二维?相空间,振子在任一时刻运动状态由?空间中的一点表示,如果给定振子的能量?,对应的代表点的轨迹由上式确定,
x
p
1
)/()2(2 2
22
m
x
m
p即为椭圆方程,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 13
3.转子 是指质量为 m 的质点 A 被具有一定长度的轻杆系于原点 O 时的运动,
y
z
x
O
(m)A ⑴ 在直角坐标系中,位置 (x,y,z),
质点的能量就是其动能,
)(21 222 zyxm
⑵ 在球极坐标系 (r,?,?)中位置,
c o s,s i ns i n,c o ss i n rzryrx
质点的能量,
)s i n(21 222222 rrrm
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 14
考虑到质点与原点间的距离保持不变,即,
质点的能量,
0?r?
)s in(21 22222 rrm
引入球极坐标下的动量,
222 s in,mrpmrp
则,相应地能量可以表示为,
2
2
2222
2
22
222222
2
22222
s i n
1
2
1
)s i n(
s i n
1
)(
2
1
)s i n(
2
1
)s i n(
2
1
pp
I
mrmr
I
mrmrmr
mr
mrmr
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 15
式中,I=mr2是质点对原点 O的转动惯量,
自由度,2(?,?),相空间维数,4(?,?,p?,p?).
⑶ 有关 转子 内容的补充在经典力学的 球极坐标系下描述质点运动状态的广义坐标和广义动量的取值范围,
广义坐标 (?,?):?(0),?(0?2?).
广义动量 (p?,p?):原则上没有任何限制,
转子在任何时刻的位置,由其主轴 (OA)在空间的方位角 (?,?)确定,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 16
以细棒联结的质点 m1 和 m2 绕质心转动,
二体问题?单体问题,m(双元子分子绕质心 )
约化质量?
说明,广义动量 (p?,p?)是 转子角动量的两个分量,
p?是沿着 z 轴的分量,因为?随时间变化,p?是沿着垂直于 z 轴和主轴 OA 所构成平面 的一个变动轴的分量,
经典力学,在不受外力作用时转子的总角动量 M
守恒 (M=r? p).由于 r?p,质点的运动是在垂直于 M
的平面内运动,
21
21
mm
mm
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 17
如果选择 z 轴 //M,质点的运动必在 xy 平面上,
I
M
I
ppMz
220,2)//(
22
补充,质点对固定点的角动量动量为 p( mv )质点,
对惯性系内某参考点 O
的角动量 M,等于质点对该参考点的位置矢量
r 与其动量 mv 的矢积,
M
·O r mv
θ
vmrM
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 18
§ 6.2 粒子运动的量子描述一,粒子运动的 经典描述和量子描述的判别德布罗意假说,一切微观粒子,都具有波 (波动 )粒
(粒子性 )二象性,能量?,动量 p 的自由粒子?圆频率?,波矢 k 的平面波,满足德布罗意关系,
kp,
其中普朗克常数是量子物理的基本常数,其数值,
s.J 10005.1 s,J 10626.6,2 3434 hh?
量纲,[时间 ]·[能量 ]=[长度 ]·[动量 ]=[角动量 ].
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 19
量子作用常数 是判别描述粒子运动的经典或量子的判据,
当一个物质系统任何具有作用量纲的物理量具有与普朗克常数相比拟数值时物质系统是 量子系统,
如果物质系统的每一个具有作用量纲的物理量用普朗克常数来量度都非常大时,则是 经典力学系统,
二,测不准关系 微观粒子的运动不是轨道运动,
粒子和波动二象性的一个重要的结果是 微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 20
4)()(
2
22 pq
如果以?q 表示粒子坐标的不确定值,?p表示粒子动量不确定值,则在量子力学所容许的最精确的描述中,?q 和?p 的乘积 满足不确定 (则不准 )关系 ):
测不准关系可简化表示为,
hEthpq or
可见微观粒子在客观上不可能同时具有确定的坐标位置及相应的动量,微观粒子的运动不是轨道运动,不能用坐标和动量来描述,而是用波函数来描述的,由一组 量子数 来表征,
21
量子数的数目即为粒子的自由度数,量子化 是微观粒子的基本特性,
量子化的普适法则,
,3,2,1, nnhp d q
其中,dq表示位移 (角位移 ),p是与 q对应的动量,
三,线性谐振子,自旋,自由粒子,转子的量子状态
1.线形谐振子的量子状态
,2,1,0 21
nn
n
圆频率 为?的线性谐振子的能量可能值为,
其中,n 是表征谐振子的运动状态和能量的量子数,
振子的能量是分立且等间距,分立能量称之为能级,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 22
2.自旋 (Uhlenbeck-Goudsmit)角动量线圈磁矩定义,当线圈面积为 A,通过的电流为 I 时,线圈的磁矩为,nIA?
n?
A
I
某些基本粒子具有内禀的角动量,称之为自旋角动量 S.自旋角动量的平方 S 2 的数值等于,
.)1(2 ssS
s:称为 自旋量子数,可以是整数或者半整数,自旋量子数的数值是基本粒子的固有属性,对于电子 s=1/2.
).(,),1(,,sssmmS ssz
自旋在空间某一本征方向 z 的投影 Sz 的可能值,
其中,ms:称自旋磁量子数,共有 (2s + 1)个可能值,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 23
乌伦贝克和哥德斯密脱的 电子自旋 假设,
⑴ 每个电子具有自旋角动量 S,自旋角动量在空间任何方向上的投影只能取两个数值,
.21,2 ssz mmS
⑵ 每个电子的自旋磁矩?与自旋角动量 S间关系
Sme
式中,-e,m分别是电子的电荷以及质量,
自旋在空间任意方向上的投影只能取两个数值,meSme zz 2
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 24
电子在外场 B中的能量为,
BmeBU 2
3.自由粒子 不受外力作用自由运动的粒子,
⑴ 一维自由粒子由于自由粒子波函数?p(r)归一化为?函数,采用周期性边界条件,粒子可能的运动状态,其德布罗意波波长?的整数倍等于粒子所处的 一维 容器长度 L.
,2,1,0||,|| xx nnL?
根据波矢的定义,并考虑到在一维空间中波动可以有两个传播方向,则波矢 kx 和动量 px 的可能值为,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 25
式中,nx是表征一维自由粒子的运动状态的量子数,
,2,1,0,22 xxxkpx nnLpk xx
一维自由粒子能量可能值也取决于量子数,
,2,1,0,22 2
2222
xxxnx nLnmmp
⑵ 三维自由粒子假设自有粒子处在边长为 L的 三维 容器内,则粒子的三个动量分量的可能值为,
,2,1,0,2,2,2 xzzyyxx nnLpnLpnLp
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 26
三维自由粒子能量的可能值为,
2
22222
222
2 2
)(2 12 L nnnmpppmmp zyxzyxn
如果粒子局域在宏观大小的空间内运动,例如电子在原子大小的范围,核子在原子核大小的范围内运动,上述动量和能级可能值的分离性是显著的,
)( 222 zyx nnn
另外,三维自由粒子的运动状态由 3个量子数 (ni)
表征,而能级只取决于 的数值,
因此,处在同一个能级的量子状态并不只是一个,
例如,能级?1对应的量子状态?
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 27
由能级公式可知,
3
22
1
12
Lm
nx ny nz
1 0 0
-1 0 0
0 1 0
0 -1 0
0 0 1
0 0 -1
可见能级是简并的,其简并度为 6.
如果粒子是在宏观大小的空间内运动,上述给定的动量和能级的可能值是准连续的,
例如,考虑在 体积 V= L3 内,动量在 px?px+dpx,py
py +dpy,pz? pz+dpz的范围内自由粒子量子态数,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 28
x
y
z
假设能级是密集的,令 n连续,
.,,,2 zyxidpLdn ii
在 V=L3内,符合上式的量子态数,
zyxzyxzyx dpdpdph
VdpdpdpLdndndn
3
3
2
根据不确定关系 △ q△ p?h,如果用坐标 q 和动量 p
来描述自由粒子的运动状态,一个状态必然对应于相空间中的一个体积 (称为 一个相格 ),对于自由度为 1 的粒子来说,相格的大小为 h.
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 29
在球极坐标下若粒子自由度为 r,各自由度的坐标和动量的不确定值?qi和?pi满足不确定关系?qi?pi?h时相格大小,
即,将相空间的体积 Vdpxdpydpz除以相格的大小 h3而得到三维自由粒子在体积 Vdpxdpydpz内的量子态数,
rir hppqq 11
c o s,s i ns i n,c o ss i n pppppp zyx
用 (p,?,?)代替 px,py,pz.
动量空间的体积元为 p2sin?dpd?d?.所以,在体积
V内,动量大小在 p到 p+dp,动量方向在?到?+d?,?到
+d?的范围内,自由粒子可能的状态数为,?
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 30
xp
yp
zp
0
p
d
d
sinp
dpsin
pd
dp
)sin(
dp
dd p dphVdndndn zyx s i n23?
4s in020 dd
dpph Vdndndn zyx 234
对?,?求积分,可得在体积 V内,在任意的动量方向上,动量大小在 p
到 p + dp的范围内,自由粒子的可能状态数,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 31
dmh Vmdmh Vdpph V 33323 )2(22244
将? =p2/(2m)内代入上式,
令上式为,D(?)d?,则,
D(?):单位能量间隔内的可能状态数,称为 态密度,
上式表明,在体积 V内,在? +d? 的能量范围内,自由粒子可能的状态数,
备注,在上述讨论中没有考虑粒子的自旋,如果粒子的自旋不等于零,还要考虑自旋的贡献,
33 )2(2)( mh VD?
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 32
.,2,1,0,)1( 22 lllM
I
M
2
2
4.转子转子的能量 等于 角动量平方和 2I 比值,
在量子理论,
.),1(,),1(,,llllmmM z
对于一定的 l值,角动量 M在某一 z轴 (本征方向 )上的投影 Mz只能取分立值,
可见,角动量 Mz共 有 (2l+1)个可能值,即自由度为
2的转子的运动状态由 l,m两个量子数表征,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 33
.,2,1,0,2 )1(
2
l?
l
I
ll?
.,2,1,0,)1(,2 22
2
lllMIMn?
在量子理论中,转子的能量是分立的,
简并 的概念如果某一能级的量子状态不止一个,该能级被称为 简并 的,简并度 是指一个能级的量子态数,
量子数为 l的转子能级?l 共 有 (2l+1)个量子态,即,
能级?l是 (2l+1)度简并的,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 34
dmh VdD 21233 )2(2)(?
zyxzyxzyx dpdpdph
VdpdpdpLdndndn
3
3
2
习题 1 试证明,在体积 V 内,在? 到? +d? 的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为,
证明,在体积 V=L3内,在 px到 px+dpx,py到 py+dpy,pz 到
pz+dpz的动量范围内,三维自由粒子可能的量子态数
(p.172,式 6.2.13)为,
用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量,并对动量方向积分,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 35
.,2 mdpdpmp
dpph V 234?
2
2
1 p
m
dmh VdD 21233 )2(2)(?
可得在体积 V 内,动量大小在 p 到 p + dp 范围内,三维自由粒子可能的量子态数为,
即,将相空间 (?空间 )体积元 4?Vp2dp(体积 V,动量球壳 4?p2dp)除以相格大小 h3 而得到的状态数,
自由粒子的能量动量关系为,
由以上两式,即得在体积 V 内,在?到? +d? 的能量范围内,三维 自由粒子的量子态数为,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 36
dm
h
LdD 21
2
2)(?
xx dx dphdn
1?
习题 2 试证明对于一维自由粒子在长度 L内,在?到
+d? 的能量范围内,量子态数为,
证明,对于一维自由粒子在?空间体积元 dxdpx 内可能的量子态数 (p.172,式 6.2.14)为,
在长度 L内,动量大小在 p到 p+dp 范围内 (注意动量可有正负两个可能的方向 )的量子态数为,
dp
h
L2
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 37
.,2 mdpdpmp
2
2
1 p
m
将自由粒子的能量动量关系,
代入,即得在长度 L 内在?到? +d? 的能量范围内,一维 自由粒子的量子态数为,
dm
h
LdD 21
2
2)(?
习题 3 试证明对于二维自由粒子,在面积 L2 内,在?
到? +d? 的能量范围内,量子态数为,
mdh LdD 2
22
)(?
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 38
yxyx dpd x d y d phdndn 2
1?
证明,对于二维自由粒子在?空间 体积元 dxdydpxdpy
内可能的量子态数 (p.172,式 6.2.14)为,
用二维空间的极坐标 p,?描述自由粒子动量,p,?与
px,py 的关系为,
.s in,c o s pppp yx
用极坐标描述时,二维动量空间的体积元,
pdpd
在面积 L2 内,动量大小 在 p 到 p+dp 的范围内,动量方向在?到?+d?的范围内,粒子可能的状态数,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 39
220 d
pdph L2
22?
对 d?积分,有,
可得在面积 L2 内,动量大小在 p 到 p+dp的范围内 (动量方向为任意 ),二维 自由粒子的量子态数为,
2
2
h
pdpdL?
.?mdpdp?代入粒子的能量动量关系,
mdh LdD 2
22
)(?
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 40
dpph V 234?
习题 4 在极端相对论情况下,粒子的能量和动量之间满足关系式,?= cp.试求在体积 V 内在? 到? +d?
的能量范围内三维粒子的量子态数,
证明,在体积 V 内,动量大小在 p到 p+dp的范围内,三维自由粒子可能的量子态数 (p.173,式 6.2.16)为,
将极端相对论粒子的能量动量关系,? =cp 代入可得在体积 V内,在?到? +d?的能量范围内,极端相对论三维粒子的量子态数为,
dch VdD 23)(4)(?
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 41
§ 6.3 系统微观运动状态的描述一,全同粒子 与 近独立粒子
⑴ 全同粒子 系统,由具有完全相同属性 (相同的质量,自旋,电荷等 )的同类粒子所组成的粒子系统,
如自由电子组成的自由电子气体系统,
⑵ 近独立粒子,是指粒子间相互作用很弱,相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量,可以
,忽略,粒子间相互作用,将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和的粒子系统,d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 42
二,经典物理中微观运动状态的描述
⑴ 可分辨 (可跟踪的经典轨道运动 ).
⑵ 描述方式,相空间 (?空间 )中 N个点,
如理想气体组成的系统,
Ni iE 1? N:系统中粒子总数,
d
b
c
e
三,量子物理中微观运动状态的描述
⑴ 不可分辨 (物质波的非轨道概率运动 )
⑵ 描述方式,微观粒子全同性原理青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 43
⑶ 玻色子与费米子 (微观粒子分类 )
② 玻色子,自旋量子数为整数的基本粒子或复合粒子,如,光子,?介子等,
① 费米子,自旋量子数为半整数的基本粒子或复合粒子,如,电子、质子、中子等,
③ 泡利不相容原理
d
a
b
c
e
① 对于某一个粒子的各个量子态,
② 对应于每一个量子态的粒子数,
对于含有多个全同近独立的费米子系统,一个个体量子态最多能容纳一个费米子,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 44
⑷ 玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统玻耳兹曼系统,由可分辨的全同近独立粒子组成,
且处在一个个体量子态上粒子数不受限制的系统,
End
d
a
b
c
e
玻耳兹曼系统,由可分辨的全同近独立粒子组成,
且处在一个个体量子态上粒子数不受限制的系统,
玻耳兹曼系统,由可分辨的全同近独立粒子组成,
且处在一个个体量子态上粒子数不受限制的系统,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 45
粒子类别 量子态 <1> 量子态 <2> 量子态 <3>
假设系统含有两个粒子 A,B,粒子的个体量子态有 3个,讨论系统可能有的微观状态,即,两个粒子占据 3个个体量子态的可能方式,
玻耳兹曼系统,由可分辨的全同近独立粒子组成,且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统,(有 9个不同的状态 )
A B
A B
A B
A B
B A
A B
B A
A B
B A
在 玻色系统 和 费米系统 中,由于两个粒子不可分辨,令 A=B,以 A表示,
玻色系统,由玻色子组成的粒子系统,
粒子不可分辨,不受泡利不相容原理的约束,(有 6个不同的状态 )
A A
A A
A A
A A
A A
A A
费米系统,由费米子组成系统,粒子不可分辨,受不相容原理的约束,(有 3个不同的状态 )
A A
A A
A A
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 46
§ 6.4 等概率原理
d
a
b
c
e
一,概率理论初步青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 47
1.随机事件 在一定的条件下,如果一个事件可能发生也可能不发生,这事件称为随机事件,Nm
2.概率 经验表明,在一次观测中,一个随机事件是否发生是无法预言的,但观察次数 N时,某一事件 A发生的次数 NA与总观测次数 N的比值,将趋于稳定的极限值 P(A).定义 P(A)为事件 A发生的概率,
)0( lim)A( AA NNNNP
N
3.概率的性质
)()()()( 321 ApApApAp⑴ 不相容 (互斥 )事件
⑵ 独立事件
BABA PPP,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 48
4.概率分布
⑴ 离散变量 可数的分立值
⑵ 连续变量 可取某一区间内的一切值
n
n
PPP
xxx
21
21
1i iP
x
p
a b
如果一个变量以一定的 概率取各种可能值,
称该变量为随机变量,随机变量分为,
以 X表示随机变量,
离散型随机变量的可能值?
离散型随机变量的概率值?
称 {Pi}为随机变量 X的概率分布,满足条件,
以 X表示连续型随机变量,可能取值 x
在 a与 b之间,则随机变量 X取值在 x?
x+dx内的概率 dP(x)表示为,
概率密度！,)(
)()(
x
dxxxdP
1)(b
a dxx?
满足条件,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 49
5.统计平均值
⑴ 离散型随机变量,
NNxi ii?
⑵ 连续型随机变量, dxxxX )(?
X:随机变量,可能取值,xi,N次观测中测得次数,Ni.
随机变量 X的算术平均值,
i iii iiN PxN NxX lim
随机变量 X的统计平均值,
积分遍及 x的范围,
统计平均值反映型随机变量的平均大小,
6.涨落 (均方偏差 or偏差 )
随机变量 X在其统计平均值上下涨落 的平均幅度,
2222 )()()( XxXxx i
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 50
7.统计独立随机变量的联合分布以两个随机变量 X和 Y为例,对多个随机变量说明,
以 dP(x,y)表示 X取值在 x～ dx,Y取值在 y～ dy间概率,
d x d yyxyxdP ),(),(
以 ρ (x,y)称为联合概率密度,满足以下条件,
1),(,0),( d x d yyxyx
积分遍及 X,Y的取值范围,
如果不管 Y的取值如何,X取值在 x～ dx之间的概率为,
积分遍及 Y的取值范围, dyyxdxdxx ),()(
如果随机变量 X,Y是统计独立的,由独立事件的概率,
)()(),( yxyx
由上式可以证明以下两个常用公式,
YXXY 222 )()()( YXYX
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 51
8.非统计独立随机变量的相关矩如果随机变量 X,Y不 是统计独立的,可以引入相关矩来描述其相关程度,
YXXYYYXX )()(
二,宏观状态与微观状态的区别热力学和统计物理学是研究 宏观物质系统的特性,宏观物质系统是由大量的微观粒子构成,其粒子数的典型数值为每摩尔 1023个,
作为热运动的宏观理论,热力学讨论的状态是宏观状态,由几个宏观参量表征,如,孤立系统由 N,V,E来表征系统的平衡态,系统的微观状态所讲述的是力学运动状态,在确定的宏观状态下,系统可能的微观状态是大量,
且不断地发生着极其复杂的变化,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 52
三,宏观状态与微观状态的联系宏观状态量是相应微观物理量的统计平均值,
统计物理的根本问题,确定各微观状态出现的概率,
四,等概率原理,对于平衡态的孤立系统,系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的,
说 明,
1.既然这些微观状态都同样满足具有确定 N,E,V的宏观条件,没有理由认为哪一个状态出现的概率更大一些,这些微观状态应当是平权的,
2.等概率原理是统计物理学的一个合理的基本假设,
似乎不能从更基本的原理推出,也不能直接从实验上验证,它的正确性在于从它推出的各种结论上的正确性,d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 53
§ 6.5 分布与微观状态数
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 54
假设系统由大量全同近独立粒子组成,具有确定的粒子数 N,能量 E和体积 V.约束条件,N,E,V=Constant.
一,分布 {al}
能 级?
简并度?
粒子数
l
l
l
aaa 21
21
21
对于 确定的宏观状态 下,粒子数按能级的排列方式以符号 {al}表示粒子数数列 a1,a2,…,al,… 的一个分布,
才有可能实现,EaNa
l lll l,
对于具有确定的 N,E和 V的系统,分布满足的条件,
二,微观状态 Ω
探讨与一个分布 {al}相应系统 (1-4)的微观状态问题,
能级 的简并度,
指能级 上有 个量子态,
l?
l? l?
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 55
微观状态是粒子运动状态或称为量子态,反映的是粒子运动特征,如,在某一能级上,假设有 3个粒子,这三个粒子是如何占据该能级的量子态,也就是它的微观状态,
就一个确定的分布而言,与它相应的微观状态数是确定的,不同的分布,有不同的微观状态数,
微观状态对于 玻耳兹曼系统,玻色系统,费米系统,经典系统是不同的,下面分别讨论,
1.玻耳兹曼系统
la
ll
ll
BM a
N
!
!
..
(麦克斯韦 -玻耳兹曼系统 )
对于玻耳兹曼系统,粒子可分辨,若对粒子加以编号,
则 al个粒子占据能级 上 个量子态时,彼此独立,互不关联的,分布相应系统的微观状态数为,
l? l?
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 56
2.玻色系统
3.费米系统
)!1(!
)!1(
.,?
ll
ll
lEB a
a
)!1()!1( lll a
将各种能级的结果相乘,即得到玻色系统与分布相应的微观状态数,
)!(! lll
l
aa
(玻色 -爱因斯坦系统 )
粒子不可分辨,每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制,al个粒子占据能级 上的 个量子态可能方式有,
l? l?
粒子不可分辨,每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子,al个粒子占据能级 上 个量子态,相当于从 个量子态中挑出 al个来为粒子所占据,可能有的方式为,l
l? l?
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 57
将各能级的结果相乘,得到费米系统与分布相应的微观状态数为,
l lll
l
DF aa )!(!
!
.,?
1
l
la
(经典极限条件,也称非简并性条件 )
!!!
)2)(1(
)!1(!
)!1(,.
.,Naa
aa
a
a BM
l l
a
l
l l l
lllll
ll
ll
EB
l?
!!!
)1()1(
)!1(!
!,.
.,Naa
a
a
BM
l l
a
l
l l l
llll
ll
l
DF
l?
表明,在所有的能级,粒子数都远小于量子态数,
(费米 -狄喇克系统 )
讨论,如果在玻色系统和费米系统中,任一能级 上的粒子数均远小于该能级的量子态数,即,l
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 58
4.经典系统
la
r
l
lllcl ha
N
0
!
!?
体积元?
l
l
r
l
rr
l
aaa
hhh
21
21
00
2
0
1
21
简并度?
能 级?
粒子数?
对于经典系统,粒子可分辨,处在一个相格内的经典粒子数没有限制,因此,在经典统计中与分布相应系统的微观状态数可参照玻耳兹曼系统的?M.B.直接写出,
将向空间划分为许多小体积元 (l=1,2,?),则,
l
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 59
§ 6.6 玻耳兹曼分布
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 60
根据等概率分布原理,对处于平衡态的孤立系统,每一个可能的微观状态出现的概率是相等的,即,微观状态数?最多的分布,出现的概率最大,称为最概然分布,
补充内容,斯太林公式,
)1( ln!ln mmm 其中 m是远大于 1的整数,
一,最概然分布
la
ll
ll
BM a
N
!
!
..
已知,玻耳兹曼系统 的微观状态数为,
思路,系统中粒子的最概然分布是指使微观状态数?为极大 的分布,由于 (ln?)随?的变化是单调的,可以等价地讨论使得 (ln?)为极大的 分布,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 61
对上式取对数得,
l llll aaN?ln!ln!lnln
l lll ll
l lll ll
aaaNN
aaaNN
lnlnln
ln)1( l n)1( l nln
并考虑到 N>>1,若设 al>>1,?l >>1,应用格太林式得,
为求在 约束条件,下的最大值,使用拉格朗日乘数法,取未定因子?和?,则拉格朗日函数,
l
l
l
l
l aaEN
ln)( l n
若令上式为零,得 玻耳兹曼系统中 粒子的最概然分布,
)e x p (0ln llll
l
l aa
EaNa l lll l,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 62
l lll
l ll
E
N
)ex p (
)ex p (
其中拉格朗日乘子由约束条件确定,即,
上式 (最概然分布 )给出了在最概然分布下,在能级?l
的粒子数,能级?l有?l个量子态,处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相等的,
则,处在能级为?s的量子态 s上的平均粒子数 fs为,
)ex p ()ex p ( ssl
l
l fa
l ssss ss EN )e x p (,)e x p (
相应地拉格朗日乘子约束条件也可以写为,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 63
二,经典统计的最概然分布
)ex p (
0
l
l
l ha
)e x p (),e x p (
00
l
l
l
ll
l
l
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la
ll
ll
BM a
N
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..
根据,玻耳兹曼系统 的微观状态数,
la
r
l
lllcl ha
N
0
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!?
以及,经典系统中微观状态数,
的相似性,直接写出经典统计中玻耳兹曼分布表达式,
其中?和?由下式确定,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 64
§ 6.7 玻色分布和费米分布
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 65
已知,玻色系统 的微观状态数为,
对上式取对数得,
l llll aa )!1l n (!ln)!1l n (ln
一,玻色分布的推导
)!1(!
)!1(
.,?
ll
ll
lEB a
a
考虑到 N>>1,若假设 al>>1,?l >>1,则,
l +al-1≈?l+al,?l-1≈ ωl.应用格太林式,则有,
为求在 约束条件,下的最大值,使用拉格朗日乘数法,取未定因子?和?,则拉格朗日函数,
l llllllll aaaa lnln)l n ()(ln
EaNa l lll l,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 66
ll llll aaaEN ln)l n ()( l n
若令上式为零得,玻色系统粒子的最概然分布,
1)e xp (0ln)l n ( l
l
lllll aaa
已知,费米系统 的微观状态数为,
l lll
l
DF aa )!(!
!
.,?
二,费米分布的推导
l
l
ll
l
l
l EN
1)ex p (,1)ex p (
其中拉格朗日乘子由约束条件确定,即,
d
a
b
c
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青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 67
对上式取对数得,
l llll aa )!l n (!ln!lnln
l llllllll aaaa )l n ()(lnlnln
并考虑到 N>>1,若假设 al>>1,?l >>1,?l–al >>1,则得,
为求在 约束条件,下最大值,使用拉格朗日乘数法,取未定因子?和?,则拉格朗日函数为,
l
l
l
ll
l a
a
aEN
ln)( l n
若令上式为零得,费米系统粒子的最概然分布,
1)e xp (0ln l
l
ll
ll
l a
a
a
EaNa l lll l,
d
a
b
c
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青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 68
l
l
ll
l
l
l EN
1)ex p (,1)ex p (
其中拉格朗日乘子由约束条件确定,即,
玻色系统和费米系统的最概然分布,给出了在最概然分布下,在能级?l的粒子数,能级?l有?l个量子态,处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相等的,
则,处在能级为?s的量子态 s上的平均粒子数 fs为,
玻色系统”“费米系统，”,::1)e x p ( 1
s
sf
l
s
s
ss
s
s EN 1)ex p (,1)ex p (
1
相应地拉格朗日乘子约束条件也可以写为,
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 69
§ 6.8 三种分布的关系
d
a
b
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e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 70
1.拉格朗日乘子?和?的值由下式确定,
EaNa l lll l,
在许多实际问题,往往将? 看作由实验确定的已知参量,
而由 E确定系统的内能,或将?和?都当作由实验确定的已知参量,而由 N,E确定系统的平均总粒子数和内能,
麦克斯韦 -玻耳兹曼 分布,
)ex p ( l
l
la
玻色 - - 爱因斯坦分布,
1)ex p ( l
l
la
费米 --- 狄喇克分布,
1)ex p ( l
l
la
d
a
b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 71
这时玻色和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布,由上式,
1)ex p ( 1
sl
la
这时任一量子态上的平均粒子数都远小于 1.该式就是所谓的非简并性条件,当非简并条件满足时,费米分布和玻色分布都过渡到玻耳兹曼分布,
(对所有 l).
2.如果参数?满足 exp? >>1,则有,
)ex p (1)ex p ( s
l
s
l
la
3.能级?l 有?l 个量子态,处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的,因此,处在能级?s 的量子态 s上的平均粒子数为,
sss af
d
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b
c
e
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 72
微观粒子受空间限制,分定域和非定域,前者可用粒子位置来分辨粒子,对于后者须考虑微观粒子全同性原理,
5.定域系统和满足经典极限条件的玻色 (费米 )系统虽然遵从同样的分布,但它们的微观状态数是不同的,前者为?M.B.,后者为?M.B./N!,因此,对那些直接由分布函数导出的热力学量,两者具有相同的统计表达式,然而,对于例如,熵和自由能等与微观状态有关的热力学量,两者的统计表达式有差异,
6.最概然分布的推导可推广到含有多个组元的情况,
4.推导最概然分布时,应用了 N>>1,?l >>1,al-?l >>1
等条件,这些条件实际上是不满足的,这是推导过程的一个严重的缺点,在巨正则系统求平均分布的方法中可以严格地导出,
d
a
b
c
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青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 73
dmh VdD 21233 )2(2)(?
zyxzyxzyx dpdpdph
VdpdpdpLdndndn
3
3
2
习题 5 试证明,在体积 V 内,在? 到? +d? 的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为,
证明,在体积 V=L3内,在 px到 px+dpx,py到 py+dpy,pz 到
pz+dpz的动量范围内,三维自由粒子可能的量子态数
(p.172,式 6.2.13)为,
用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量,并对动量方向积分,
青海民族大学电信系 李林 第六章 近独立粒子及其最概然分布 74
.,2 mdpdpmp
dpph V 234?
2
2
1 p
m
dmh VdD 21233 )2(2)(?
可得在体积 V 内,动量大小在 p 到 p + dp 范围内,三维自由粒子可能的量子态数为,
即,将相空间 (?空间 )体积元 4?Vp2dp(体积 V,动量球壳 4?p2dp)除以相格大小 h3 而得到的状态数,
自由粒子的能量动量关系为,
由以上两式,即得在体积 V 内,在?到? +d? 的能量范围内,三维 自由粒子的量子态数为,
End
