概率论与数理统计教案开课系：数学学院主讲教师：刘亚平
Email:yapingliu66@tom.com
概率论是研究什么的？
概率论——研究随机现象并揭示其统计规律性的科学序言
§1.1随机事件及运算
1.1.1.随机试验随机试验的特点(p1)
1.可在相同条件下重复进行；
2.试验结果可能不止一个,且预知所有的可能结果;
3,试验前无法确定会是哪种结果出现。
第一章随机事件及其概率例1,抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;
例2,将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；
例3,将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;
例4,掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；
例5,记录某网站一分钟内受到的点击次数；
例6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;
例7:任选一人，记录他的身高和体重。
随机试验的例子
1.1.2 样本空间及随机事件（P2）
3.两个特殊事件,必然事件S、不可能事件φ,
6、由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为ω,
1.定义试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”,
简称“事件”.记作A、B、C等
2.基本事件和复合事件
4,样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为Ω；
5.样本点,试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为ω.
1.事件的包含与相等“A发生必导致B发生”记为A?B
A＝B? A?B且B?A.
1.1.3,事件之间关系及运算(P3)
2.
事件的和（并）“事件A与B至少有一个发生”，
记作A∪B
2’n个事件A
1
,A
2
,…,A
n
至少有一个发生，记作
i
n
i
A
1=
∪
3.事件的积（交）(p4),A与B同时发生，记作
A∩B＝AB
3’n个事件A
1
,A
2
,…,A
n
同时发生，记作A
1
A
2
…A
n
4.事件的差：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生思考：何时A-B=φ?何时A-B=A？
注：A-B=A-AB
5.互不相容（互斥）的事件：如果AB＝φ，则称A
与B为互斥事件。
6,对立（互逆）的事件：如果A∪B＝?,且AB
＝φ,则称A与B为互逆事件。
记作B=
A，
称B为A的对立事件；
如果A，B是任意两事件，则有
,,,.AA A A A B AB A Aφ=∪== =
7.完备事件组若事件A
1
,A
2
,……,A
n
为两两互不相容的事件，
并且，
1
n
i
i
A
=
=?∪
事件间的运算性质(p5)
1、交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA
2、结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，
(AB)C＝A(BC)
3、分配律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC)，
(AB)∪C＝(A∪C)(B∪C)
则称A
1
,A
2
,……,A
n
构成Ω
的一个完备事件组。
.,
,
∪∩∩∪
∪∩∪
k
k
k
k
k
k
k
k
AAAA
BAABBABA
==
==
可推广
4、德·摩根(De Morgan)律：
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以
A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、
B、C的运算关系表示下列事件：
::
::
::
::
::
::
6
5
4
3
2
1
“三人均未命中目标”
“三人均命中目标”
”“最多有一人命中目标
“恰有两人命中目标”
“恰有一人命中目标”
”“至少有一人命中目标
A
A
A
A
A
A
CBA ∪∪
CBACBACBA ∪∪
CBABCACAB ∪∪
BACACB ∪∪
ABC
ABC∩∩
例：一工人生产了n个零件，设Ai表示“第i个零件是正品”（i=1,2,….n).试用文字叙述下列事件：(1),
(2),(3)
1
n
i
i
A
=
∩
1
n
i
i
A
=
∩
1
[( )]
n
ik
nk
ki
AA
=
≠
∩
∪∩
解：（1）n个零件全为正品；
（2）至少有一个零件不是正品；
（3）有且仅有一个零件不是正品。
1
n
i
i
A
=
∪
例：设某射手对一目标接连进行三次射击，事件Ai表示该射手第i次击中目标(i=1,2,3)。试用事件的运算符号表示下列事件：
(1)前两次至少有一次击中；
(2)第二次未中；
(3)三次中至少有一次击中；
(4)三次全中；
(5)第三次中但第二次未中；
(6)前两次均未中；
(7)后两次中至少有一次未中；
(8)三次中至少有两次击中。
(1) 1 2AA∪
(2) 2A
(3) 1 2 3AAA∪∪
(4) 1 2 3AAA∩∩
(5) 3 2 3 2AAAA∩=?
(6) 1 2 1 2AAAA∩=∪
(7) 2 3 2 3AAAA∪=∩
(8) 1 2 2 3 1 3AA AA AA∪∪
定义1.2.1:(p9) 事件A在n次重复试验中出现k次，
则称k为事件A发生的频数，比值k/n称为事件A在
n次重复试验中出现的频率，记为f
n
(A).即
f
n
(A)＝k/n.
1.2,1 频率及其性质
§1.2 频率与概率
频率的性质
(1) 0≤ f
n
(A) ≤1；
(2) f
n
(?)＝1；f
n
(φ )=0
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时
，出现正反面的机会均等。
实验者nn
H
f
n
(H)
德·摩根2048 1061 0.5181
蒲丰4040 2048 0.5069
K,皮尔逊12000 6019 0.5016
K.皮尔逊24000 12012 0.5005
维尼30000 14994 0.4998
(3) 可加性：设A
1
，A
2
，…A
r
,是r 个两两互不相容的事件，即A
i
A
j
＝φ，(i≠j),i,j＝1,
2,…,有f
n
( A
1
∪ A
2
∪ …A
r
)＝f
n
(A
1
) ＋
f
n
(A
2
)+…,f
n
(A
r）
.
实践证明：当试验次数n增大时，f
n
(A) 逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，
作为事件A的概率上述概率的定义称之为概率的统计定义。
定义1.2.2(p7)若?是随机试验所对应的样本空间，对
中的每一事件A，规定一个实数P(A)。如果集合函数
P(·)满足以下三条件，则称P(A)为事件A发生的概率：
(1) 非负性：P(A) ≥0；
(2) 规范性：P(? )＝1；
(3) 可列可加性：设A
1
，A
2
，…,是一列两两互不相容的事件，即A
i
A
j
＝φ，(i≠j),i,j＝1,2,…,有
P( A
1
∪ A
2
∪ …)＝P(A
1
) ＋P(A
2
)+…,(1.1)
1.2.2,概率的公理化定义及其基本性质概率的基本性质P(7-8)
(1)P(φ)=0 ;
(3)单调性：若事件A?B，
则P(A-B)=P(A) -P(B),且
P(A)≥P(B),从而P（A)≤1；
(2) 有限可加性：设A
1
，A
2
，…A
n
,是n个两两互不相容的事件，即A
i
A
j
＝φ，(i≠j),i,j＝1,2,…,n
,则有P( A
1
∪ A
2
∪ … ∪ A
n
)＝P(A
1
) ＋P(A
2
)+…
P(A
n
);
(4)事件差A
、
B是两个事件，
则
P(A-B)=P(A)-P(AB)
()(),
() () ( )
AB AB BAB
PA PB PA B
φ==
=+?
∴
∵∪且由
(6)加法公式：对任意两事件A、B，有
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
该公式可推广到任意n个事件A
1
，A
2
，…，A
n
的情形；
A
(5)互补性：P( )＝1－P(A);
(7) 可分性：对任意两事件A、B，有
P(A)＝P(AB)＋P(A ),
B
11 11
1
12
() () () ( )
(1) ( )
n n
ii ij ijk
iijn ijkni
n
n
P A PA PAA PAAA
PAA A
=≤<≤ ≤<≤=
=? +
+?
∑∑ ∑
nullnull
∪
例：设A，B为两个事件，且P（A）=0.6,
P(B)=0.5,P(A∪B)=0.7,
(),( ).),(PAB PAB PAB求解,() () ()PAB PA PAB=?
∪又P(AB)=P(A)+P(B)-P(A B)
=0.6+0.5-0.7=0.4,
0.2,=
()1 ()0.6,PAB PAB=? =
() ( )1( )0.3.PAB PA B PA B=∪=?∪=
例：某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,
(1)他至少订有一种报纸的概率;(2)他只订甲、乙两报的概率；(3)他只订乙报的概率。
(1) ( )
() () ()
() () () ( )
30% 3 10% 0 0 0 80%
PA B C
PA PB PC
P AB P AC P BC P ABC
=++
+
=×+=
∪∪
解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报
(2) ( ) ( )PABC PAB C=?
() ( )P AB P ABC=?
(3) ( ) ( )PBAC PBA C= ∪
()PB A C=?∪
() (( )PB PBA C=? ∪
() ( ) ( ) ( )P B P BA P BC P ABC= +
0.3 0.1 0 0 0.2=+=
0.1 0 0=?=
§1.3 等可能概型等可能概型是指在一次试验中，样本空间的每个样本点被取到的可能性相等的随机试验类型，
这是一种最简单的概率类型。
古典概型几何概型
(p9)若某实验E满足
1.有限性：样本空间Ω={ω
1
,ω
2
,…,ω
n
};
2.等可能性：（公认）
P(ω
1
)=P(ω
2
)=…=P(ω
n
),
则称E为古典概型。
1.3.1 古典概型定理1.3.1P(9)在古典概型中，设样本空间Ω有
n个样本点，A是Ω中事件且A中所含样本点个数为k，则有事件A发生的概率为
()
k
PA
n
=
P(A)具有如下性质
(1) 0≤ P(A) ≤1；
(2) P(?)＝1；P(φ )=0
(3) AB＝φ，则P( A∪ B)＝P(A) ＋P(B)
此定理的结果也称为概率的古典定义。
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩
N={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
7
()
8
k
PA
n
==
加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n
1
种方法，第二种途径有n
2
种方法，则完成这件事共有
n
1
+n
2
种方法。
样本空间点要以排列或组合计算复习：排列与组合的基本概念
1、全部排列和组合分析公式基于下列两条原理：
乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有
n
1
种方法,第二步有n
2
种方法，则完成这件事共有n
1
n
2
种方法
（1）有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，
共有n
k
种排列方式.
2、排列
（2）无重复排列（选排列）：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，记录其结果后不放回，将记录结果排成一列，
共有P
n
r
=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)种排列方式.
（3）全排列：从含有n个元素的集合中随机抽取n次
，每次取一个，记录其结果后不放回，将记录结果排成一列，
共有P
n
=n!种排列方式.
（1）从含有n个元素的集合中随机抽取k 个，共有种取法.
)!(!
!
! knk
n
k
P
k
n
C
k
n
k
n
==
≡
3、组合
（2）把n个元素随机地分成m组(n>m),要求第i 组恰有n
i
个(i=1,…m)，共有分法：
!!....
!
1 m
nn
n
种分法.
例：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：
（1）每组有一名运动员的概率；
（2）3名运动员集中在一个组的概率。
解:设A:每组有一名运动员;B,3名运动员集中在一组
30!
10! 10! 10!
N ==
10 10 10
30 20 10
CCC
27!
3!
509! 9! 9!
()
203
PA
N
==
71010
27 20 10
3
()
CCC
PB
N
×
=
!!....
!
1 m
nn
n
一般地，把n个球随机地分成m组(n>m),要求第
i组恰有n
i
个球(i=1,…m)，共有分法：
习题：十个号码：1号，2号，……，10号，装于一袋中，从其中任取三个，问大小在中间的号码恰为5号的概率是多少？
解：
311
10 4 1 5
,(),NCNA CCC==
() 1
(),
6
NA
PA
N
==
更一般提法：一袋中装有n个球，其中n1个带有号码“1”，N2个带有号码“2”，……，nk个带有号码“k”,n1+n2+……nk=n。从此袋中任取
m个球，求恰有mi个带有号码“i”(i=1,2,……,k)
的概率，其中m1+m2+……mk=m.
123
123
.
mmm mk
nnn nk
m
n
CCC C
P
C
=
null
概率麦克斯威尔—波尔茨曼质点运动问题设有m个质点，每一质点以等可能落于N(N>=m)
个盒子中的每一个盒子里(设每一个盒子能容纳的质点数是没有限制的)，求事件A=“某预先指定的m个盒子各含有一个质点的概率”。
解：
(),() !,
m
NNNAm?= =
() !
(),
m
NA m
PA
NN
==
1.3.2 几何概型用计算机在[0，1]区间上任打出一个数x，
问x小于1/3的概率是多少？
随机地在单位圆内任掷一点M,问M到原点的距离小于1/2的概率是多少？
定义1.3.1(P13),设样本空间是欧氏空间的一个区域，以表示的度量（一维为长度，二维为面积，三维为体积等）。是中一个可以度量的子集，定义为事件A发生的概率，它叫几何概率。
()m?
A
()
()
()
mA
PA
M
=
例：某电台每到整点均报时，某人早上醒来后打开收音机，求他等待的时间不超过10分钟就能听到电台报时的概率。
P=1/6
例：某货运码头公能容纳一船卸货，而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时。设甲、乙两船在
24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。
{(,) | 0 24,
024}
xy x
y
= ≤ ≤
≤≤
{(,) | 2
1}
Axyxy
yx
=?>
>或
22
11
23 22
()
22
( ) 0.8793
( ) 24 24
mA
PA
m
×+×
== =
×
（蒲丰的针问题）在平面画有等距为a（a>0)的一些平行线，向平面上随意的投掷一长为l(l<a)的针。试求针与一平行线相交的概率P.
解令
M
表示针的中点；
表示针投在平面上时，与最近一条平行线的距离;
表示针与最近一条平行线的交角.
x
M
a
x
M
如上图所示，容易看出：
0,
2
0.
a
x
π
≤≤
≤≤
假定我们取直角坐标系图示，则上式表示平面上的一个矩形,如下图,而是使针与平行线（此线必为与M 点最近的平行线）
相交的充分必要条件，上面不等式表示上图中的阴影部分,
xO?
R
sin
2
l
x?≤
M
π
x
sin
2
l
x?=
0
1
sin
()
2
() 2,
()
2
d
mA l
PA
a
ma
π
π
π
== =
∫
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，
十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？
第二个人取得红球的概率是多少？
§1.4 条件概率
1.4.1 条件概率的定义若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？
已知事件A发生的条件下，
事件B发生的概率称为
A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少
？
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Q ( |?￡ o￥à
q
!N ——?BQ |?￡ o9O ——?=Q |?￡ o
4
1
)|()1( =ABP
5
22312
)()2(
2
5
=
×+×
=
P
BP
10
112
)()3(
2
5
=
×
=
P
ABP
显然，若事件A、B是古典概型的样本空间Ω中的两个事件，其中A含有n
A
个样本点,AB含有n
AB
个样本点，则
()
(|)
()
PAB
PAB
PB
=
A
AB
n
n
ABP =)|(
称为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。
定义1.4.1P(17):设A、B是Ω中的两个事件,
且P(B)>0，则
)(
)(
AP
ABP
n
n
n
n
A
AB
==
条件概率是概率，满足公理化定义三条件概率定义若对随机试验E所对应的样本空间Ω中的每一事件A，
均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：
(1)P(A) ≥0；(2) P(Ω)＝1;
(3) 设A
1
，A
2
，…,是一列两两互不相容的事件，即A
i
A
j
＝
φ，(i≠j),i,j＝1,2,…,有
P( A
1
∪ A
2
∪ … )＝P(A
1
) ＋P(A
2
)+…,
则称P(A)为事件A的概率。
容易验证：
(1) ( | )0;
(2) ( | )1;
PAB
PB
≥
=
（3）设可列个事件A
1
，A
2
，A
3
…两两互不相容，则
1
1
(|) (|).
ii
i
i
PAB PAB
∞
∞
=
=
=
∑∪
类似可以推出条件概率也满足概率的基本性质。
例：设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,
10%,从中随意抽取一件，发现不是三等品，求此产品是一等品的概率。
解：设A
i
表示“取出的产品为i等品”，i=1,2,3,则A
1
，
A
2
，A
3
两两互不相容。所求概率为
11 2
(| )PA A A =∪
11 2
12
(( )
()
PAA A
PA A
∪
∪
1
12
()
() ()
PA
PA PA
=
+
0.6 2
.
0.6 0.3 3
==
+
设A、B∈Ω，P（A）>0,P（B）>0,则
P(AB)＝P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B),(1.12)
式(1.12)就称为事件A、B的概率乘法公式。
式(1.12)还可推广到三个事件的情形：
P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB),(1.13)
一般地，有下列公式：
P(A
1
A
2
…A
n
)＝P(A
1
)P(A
2
|A
1
)...P(A
n
|A
1
…A
n－1
).
(1.14)
1.4.2 乘法公式例（P17）已知P（A）=0.6,P(C)= 0.2,P(AC)=0.1,
P(B| )=0.7,且,求
C
AB?
(|).PA BC∪
解：
()
(|)
()
PAC BC
PA BC
PC
=
∪
∪
() ()
1()
AB
PAC PBC
PC
φ=
+
=
() () ()0.5,PAC PA PAC=? =
() ()(| )PBC PCPBC=
(1 ( ))(1 ( | )PC PBC=
0.8 0.3 0.24,=×=
0.5 0.24
( | ) 0.925.
0.8
PA BC
+
∴ ==∪
1.4.3 全概率公式与贝叶斯公式例.某厂使用甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，
已知三家工厂的产品数量各占24%、30%、46%，且它们的合格率分别为94％、96％、98％。若任取一件元件，问取到的是合格品的概率是多少？
)()|()()|()()|(
332211
APABPAPABPAPABP ++=
)()()()(
321
BAPBAPBAPBP ++=
设B：取到一件合格品，
A
1
：取到的产品来自甲厂，
A
2
：取到的产品来自乙厂，
A
3
：取到的产品来自丙厂。
定义(p18)事件组A
1
，A
2
，…，A
n
(n可为∞)，
称为样本空间成Ω的一个划分或称为完备事件组
，若满足：
.,...,2,1,),(,)(;)(
1
njijiAAii
SAi
ji
n
i
i
=≠=
=
=
φ
∪
A
1
A
2…
…
…
…
…
A
n
B
定理1.4.1(i)、(p17) 设A
1
，…,A
n
是Ω的一个划分，且P(A
i
)>0，(i＝1，…，n)，
则对任何事件B∈ Ω有
1
() ( )( | ) (1.15)
n
ii
i
PB PAPBA
=
∑
＝
式(1.15)就称为全概率公式。
? ?>;A;>5vv6 $ 5}>D6 $ ?]
OK=5μ
1
()(| )
( | ),( 1,...,) (1.16)
()(| )
jj
j
n
ii
i
PA PBA
PA B j n
PAPBA
=
==
∑
式(1.16)就称为贝叶斯公式。
例：商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1
，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱
.问这一箱含有一个次品的概率是多少？
3,设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.
B
0
,B
1
,B
2
分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B
0
)=0.8,P(B
1
)=0.1,P(B
2
)=0.1
1)|(
0
=BAP
5
4
)|(
4
20
4
19
1
==
C
C
BAP
19
12
)|(
4
20
4
18
2
==
C
C
BAP
由Bayes公式:
∑
=
=
2
0
11
1
)|()(
)|()(
)|(
i
ii
BAPBP
BAPBP
ABP
0848.0
19
12
1.0
5
4
1.018.0
5
4
1.0
≈
×+×+×
×
=
习题：12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率.
解设事件A
i
、B
i
、C
i
分别表示第一、二、三次比赛时取到i个新球(i=0,1,2,3),显然,A
0
= A
1
= A
2
= φ，A
3
=
3
93
3
12
() ( 0,1,2,3)
ii
i
CC
PB i
C
==
3
9
3
3
12
( | ) ( 0,1,2,3)
i
i
C
PC B i
C
==
3
33
0
3
33
93 9
33
12 12
0
() ()( |)
0.146
ii
i
ii
i
i
PC PB PC B
CC C
CC
=
=
=
=?≈
∑
∑
并且B
0
,B
1
,B
2
,B
3
,构成一个完备事件组，从而有
§1.5 事件的独立性
1.5.1独立性两个事件的独立一般地有
(|) ()PAB PA≠
是否有(|) ()PAB PA=
例：10件产品中有4件正品，连续取两次，每次取一件，
作有放回抽样。设B、A分别表示第一、二次取得正品，
则P(A)=0.4，P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.4，故有P(A)=P(A|B).
换言之，有P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B).
1）如果事件A 与B 相互独立，而且
() 0>AP
()()BPABP =则
5]??6 $定义,设A、B是两事件，若
P(AB)＝P(A)P(B) (1.17)
则称事件A与B相互独立。
事件独立性的性质：
同理，如果
()
0PB>
()()
PAB PA=有
2）必然事件S与任意随机事件A相互独立；
不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立。
3)若随机事件A 与B 相互独立，则
BABABA与、与、与也相互独立.
相互独立．与所以，事件BA
仅证
( ) ()()PAB PAPB=
左边:
() ( )
1( )
1()()()
PAB PA B
PA B
PA PB PAB
=
=?
=+
∪
∪
右边：
( ) ( ) (1 ( ))(1 ( ))PAPB PA PB=
例：(不独立事件的例子）袋中有a 只黑球，b 只白球．每次从中取出一球，取后不放回．令：
A={ 第一次取出白球}，B={ 第二次取出白球}，
则
()
ba
b
AP
+
=
()
()
()( )
1
1
bb
PAB
abab
=
++?
所以，
() ( ) ()BAPABPBP +=得：
()
()( )
1
ab
PAB
abab
=
++?
()
()( )()( )11
1
++
+
++
=
baba
ab
baba
bb
ba
b
+
=
()
()
()AP
ABP
ABP =而，
1
1
+
=
ba
b
多个事件的独立定义、若三个事件A、B、C满足：
(1) P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),
P(BC)=P(B)P(C),
则称事件A、B、C两两相互独立；
若在此基础上还满足：
(2) P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),
则称事件A、B、C相互独立。
定义：
设A
1
，A
2
，…，A
n
(n>=2)是n个事件，如果
A
i
，A
j
是其中任意两个事件，有
P(A
i
A
j
)= P(A
i
)P(A
j
)
则称这n个事件两两独立。
定义：设A
1
，A
2
，…，A
n
(n>=2)是n个事件，如果两者有何联系和区别？
( ) ()( ) ()
()()()() ( )
()()() ()
()()()()?
=
≤<<<≤=
≤<<≤=
≤<≤=
nn
miiiiii
kjikji
jiji
APAPAPAAAP
niiiAPAPAPAAAP
nkjiAPAPAPAAAP
njiAPAPAAP
nm
nullnull
nullnull
nullnullnull
nullnull
2121
21
1)(
1
1
2121
则称n个事件A
1
，A
2
，…，A
n
相互独立。
例（P22）,把一个均匀的正四面体每个面分别标上号1，2，
3，4，再抛掷两次,设A表示“第一次出现偶数”，B表示“第二次出现奇数”，C表示“两次同奇或同偶”，问A、B、C是哪种独立关系？
81
() () (),
16 2
41
() () (),
16 4
PA PB PC
PAB PAC PBC
====
====
即A、B、C三事件两两独立,而
( ) ()(),( ) ()(),( ) ()(),PAB PAPB PBC PBPC PAC PAPC∴ =
3
11
( ) ( ) 0,()()()
28,
PABC P PAPBPC
=?= = =
故( ) ()()(),PABC PAPBPC
≠
即它们不互相独立.
N=16，N(A)=N(B)=N(C )=8,N(AB)=N(AC)=N(BC)=4.
例,(P23)甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，三人击中目标的概率分别为0.3、0.5、0.7，求目标上仅中一弹的概率。
解：以A
1
、A
2
、A
3
分别表示甲、乙、丙命中目标，B表示目标仅中一弹，则
B=
123 123 123
AAA AAA AAA∪∪
显然互不相容，所以
()PB=
123 123 123
()()()PAAA PAAA PAAA++
又A
1
、A
2
、A
3
互相独立，所以
()PB=
123 123 123
()()() ()()() ()()()PAPAPA PAPAPA PAPAPA++
0.3 0.5 0.3 0.7 0.5 0.3 0.7 0.5 0.7=××+××+××
1.5.2、事件独立性的应用
1、加法公式的简化：若事件A
1
，A
2
，…，A
n
相互独立,则
))(1(1)(1
)()....(1)...(
11
1
21
∏∏
==
=?=
=
n
i
i
n
i
i
n
n
APAP
APAPAAAP ∪∪∪
2、乘法公式的简化：若事件A
1
，A
2
，…，A
n
相互独立,
则
)()()....()...(
1
121 ∏
=
==
n
i
inn
APAPAPAAAP
(2) 并联系统
))(1(1
)(1
)()....(1)...(
1
1
1
21
∏
∏
=
=
=
=
n
i
i
n
i
i
n
n
AP
AP
APAPAAAP ∪∪∪
3、在可靠性理论上的应用
(1) 串联系统
)()()....()...(
1
121 ∏
=
==
n
i
inn
APAPAPAAAP
本章由六个概念（随机试验、事件
、概率、条件概率、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成第一章小结例1：在1～10这10个自然数中任取一数，求
（1）取到的数能被2或3整除的概率，
（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。
3:
!A— |?的数能被2整除;
B-- |?的数能被3整除
2
1
)( =AP
10
3
)( =BP
故
)()()()()1( ABPBPAPBAP?+=∪
10
1
)( =ABP
10
7
=
)(1)()2( BAPBAP ∪∩?=
10
3
=
)()()()3( ABPAPBAP?=?
5
2
=
典型题分析例2：任意将10本书放在书架上，其中有两套书，一套
3卷，一套4卷，求一列事件的概率：
(1) 3卷一套的放在一起；
(2) 4卷一套的放在一起；
(3)两套各自放在一起；
(4)两套至少有一套在一起；
(5)两套各自在一起，且按卷次排好。
8! 3! 1
()
10! 15
PA
×
==
7! 4! 1
()
10! 30
PB
×
==
5! 4! 3! 1
()
10! 210
PAB
××
==
11 1 2
()
15 30 210 21
PA B=+? =∪
5! 2 2 1
()
10! 7560
PABD
××
==
例3：(配对问题）从n双不同的鞋子中任取2r(2r<n)只，求下列事件的概率：
(1)没有成对的鞋子；
(2)只有一对鞋子；
(3) 恰有两对鞋子；
(4) 有r对鞋子.
212 22
2
22
() 2
()
rrrr
nn
nn
CC C
PA==
1222 122 22 22
21 2 1
22
() 2
()
rr rr
nn n
nn
CCC C n C
PB
CC
==
22224 124 224 24
22 2 2 2
()
()
rr rr
nn nn
nn
CCCC C C C
PC
CC
==
2
2
22
()
()
rr r
nn
rr
nn
CC C
PD
CC
==
例4：某班有N人战士，每人各有一支枪，枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，若每人随机地取走一支枪：
(1)至少有1个人拿到自己的枪的概率是多少？
(2) 求恰有k个人（0《k《N)拿到自己的枪的概率。
解：设A
i
表示第i 人拿到自己的枪，i=1，2，…，n.
11 11
1
12
(1) ( ) ( ) ( ) ( )
(1) ( )
n n
i i ij ijk
iijn ijkni
n
n
PA PA PAA PAAA
PAA A
=≤<≤ ≤<≤=
=? +
+?
∑∑ ∑
nullnull
∪
有k人拿到自己枪的概率为
()!1
1,2,
!
k
N
Nk
kN
NP
==null
所以
1
1
111
1(1)
() (1)
!
kn
NN
kk
iN
k
i
N
PA C
Pk
===
=? =
∑∑∪
11 111
(2) ( ( )) ( ) ( | )
kN kNk
ii iii
iik iik
PA A PAP A A
==+ ==+=
=∩
∩∩ ∩∪∩
1
1011 11
(1) (1)
( | )1 ( | )1
!!
ii
Nk Nk Nk Nk
ii ii
iiik i ik i
PAA PAA
ii
===+ = =+ =
=? =? =
∑∑∪∩ ∪∩
0
1(1)
!
i
Nk
k
i
N
Pi
=
=
∑
共有
k
N
C
种情形所以恰有k个拿到自己的枪的概率为
00
1 ( 1) 1 ( 1)
!! !
ii
Nk Nk
k
N
k
ii
N
C
Piki
==
=
∑∑
例5：若M件产品中包含m件废品，今在其中任取两件，求：
(1)已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的概率；(2)已知取出的两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率；(3) 取出的两件至少有一件是废品的概率；
例6,设甲、乙、丙向同的敌机射击。设击中敌机的概率分别为
0.4,0.5,0.7。若只有一人击中，飞机坠毁的概率为0.2；若有两人击中，飞机坠毁的概率为0.6；若三人击中，飞机坠毁的概率为0.9。(1) 飞机坠毁的概率，(2)若已知飞机坠毁，求被两人击中的概率。
(P31)习题35：如下图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，
求L至R是通路的概率。
思路：找一个完备事件组，将复杂事件化为简单事件后，
利用全概率公式。
!AV
ULàR1Y
^,A
i
V
U?i??è
Yi=1,2,…5
)()|(
5241
3
AAAAPAAP ∪=
42
2 pp?=
)})({()|(
54213
AAAAPAAP ∪∪=
)()()|(
54213
AAPAAPAAP ∪∪=
22
)2( pp?=
? ?à
q
T
)()|()()|()(
33
33
APAAPAPAAPAP +=
5432
2522 pppp +?+=
Email:yapingliu66@tom.com
概率论是研究什么的？
概率论——研究随机现象并揭示其统计规律性的科学序言
§1.1随机事件及运算
1.1.1.随机试验随机试验的特点(p1)
1.可在相同条件下重复进行；
2.试验结果可能不止一个,且预知所有的可能结果;
3,试验前无法确定会是哪种结果出现。
第一章随机事件及其概率例1,抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;
例2,将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；
例3,将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;
例4,掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；
例5,记录某网站一分钟内受到的点击次数；
例6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;
例7:任选一人，记录他的身高和体重。
随机试验的例子
1.1.2 样本空间及随机事件（P2）
3.两个特殊事件,必然事件S、不可能事件φ,
6、由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为ω,
1.定义试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”,
简称“事件”.记作A、B、C等
2.基本事件和复合事件
4,样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为Ω；
5.样本点,试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为ω.
1.事件的包含与相等“A发生必导致B发生”记为A?B
A＝B? A?B且B?A.
1.1.3,事件之间关系及运算(P3)
2.
事件的和（并）“事件A与B至少有一个发生”，
记作A∪B
2’n个事件A
1
,A
2
,…,A
n
至少有一个发生，记作
i
n
i
A
1=
∪
3.事件的积（交）(p4),A与B同时发生，记作
A∩B＝AB
3’n个事件A
1
,A
2
,…,A
n
同时发生，记作A
1
A
2
…A
n
4.事件的差：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生思考：何时A-B=φ?何时A-B=A？
注：A-B=A-AB
5.互不相容（互斥）的事件：如果AB＝φ，则称A
与B为互斥事件。
6,对立（互逆）的事件：如果A∪B＝?,且AB
＝φ,则称A与B为互逆事件。
记作B=
A，
称B为A的对立事件；
如果A，B是任意两事件，则有
,,,.AA A A A B AB A Aφ=∪== =
7.完备事件组若事件A
1
,A
2
,……,A
n
为两两互不相容的事件，
并且，
1
n
i
i
A
=
=?∪
事件间的运算性质(p5)
1、交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA
2、结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，
(AB)C＝A(BC)
3、分配律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC)，
(AB)∪C＝(A∪C)(B∪C)
则称A
1
,A
2
,……,A
n
构成Ω
的一个完备事件组。
.,
,
∪∩∩∪
∪∩∪
k
k
k
k
k
k
k
k
AAAA
BAABBABA
==
==
可推广
4、德·摩根(De Morgan)律：
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以
A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、
B、C的运算关系表示下列事件：
::
::
::
::
::
::
6
5
4
3
2
1
“三人均未命中目标”
“三人均命中目标”
”“最多有一人命中目标
“恰有两人命中目标”
“恰有一人命中目标”
”“至少有一人命中目标
A
A
A
A
A
A
CBA ∪∪
CBACBACBA ∪∪
CBABCACAB ∪∪
BACACB ∪∪
ABC
ABC∩∩
例：一工人生产了n个零件，设Ai表示“第i个零件是正品”（i=1,2,….n).试用文字叙述下列事件：(1),
(2),(3)
1
n
i
i
A
=
∩
1
n
i
i
A
=
∩
1
[( )]
n
ik
nk
ki
AA
=
≠
∩
∪∩
解：（1）n个零件全为正品；
（2）至少有一个零件不是正品；
（3）有且仅有一个零件不是正品。
1
n
i
i
A
=
∪
例：设某射手对一目标接连进行三次射击，事件Ai表示该射手第i次击中目标(i=1,2,3)。试用事件的运算符号表示下列事件：
(1)前两次至少有一次击中；
(2)第二次未中；
(3)三次中至少有一次击中；
(4)三次全中；
(5)第三次中但第二次未中；
(6)前两次均未中；
(7)后两次中至少有一次未中；
(8)三次中至少有两次击中。
(1) 1 2AA∪
(2) 2A
(3) 1 2 3AAA∪∪
(4) 1 2 3AAA∩∩
(5) 3 2 3 2AAAA∩=?
(6) 1 2 1 2AAAA∩=∪
(7) 2 3 2 3AAAA∪=∩
(8) 1 2 2 3 1 3AA AA AA∪∪
定义1.2.1:(p9) 事件A在n次重复试验中出现k次，
则称k为事件A发生的频数，比值k/n称为事件A在
n次重复试验中出现的频率，记为f
n
(A).即
f
n
(A)＝k/n.
1.2,1 频率及其性质
§1.2 频率与概率
频率的性质
(1) 0≤ f
n
(A) ≤1；
(2) f
n
(?)＝1；f
n
(φ )=0
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时
，出现正反面的机会均等。
实验者nn
H
f
n
(H)
德·摩根2048 1061 0.5181
蒲丰4040 2048 0.5069
K,皮尔逊12000 6019 0.5016
K.皮尔逊24000 12012 0.5005
维尼30000 14994 0.4998
(3) 可加性：设A
1
，A
2
，…A
r
,是r 个两两互不相容的事件，即A
i
A
j
＝φ，(i≠j),i,j＝1,
2,…,有f
n
( A
1
∪ A
2
∪ …A
r
)＝f
n
(A
1
) ＋
f
n
(A
2
)+…,f
n
(A
r）
.
实践证明：当试验次数n增大时，f
n
(A) 逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，
作为事件A的概率上述概率的定义称之为概率的统计定义。
定义1.2.2(p7)若?是随机试验所对应的样本空间，对
中的每一事件A，规定一个实数P(A)。如果集合函数
P(·)满足以下三条件，则称P(A)为事件A发生的概率：
(1) 非负性：P(A) ≥0；
(2) 规范性：P(? )＝1；
(3) 可列可加性：设A
1
，A
2
，…,是一列两两互不相容的事件，即A
i
A
j
＝φ，(i≠j),i,j＝1,2,…,有
P( A
1
∪ A
2
∪ …)＝P(A
1
) ＋P(A
2
)+…,(1.1)
1.2.2,概率的公理化定义及其基本性质概率的基本性质P(7-8)
(1)P(φ)=0 ;
(3)单调性：若事件A?B，
则P(A-B)=P(A) -P(B),且
P(A)≥P(B),从而P（A)≤1；
(2) 有限可加性：设A
1
，A
2
，…A
n
,是n个两两互不相容的事件，即A
i
A
j
＝φ，(i≠j),i,j＝1,2,…,n
,则有P( A
1
∪ A
2
∪ … ∪ A
n
)＝P(A
1
) ＋P(A
2
)+…
P(A
n
);
(4)事件差A
、
B是两个事件，
则
P(A-B)=P(A)-P(AB)
()(),
() () ( )
AB AB BAB
PA PB PA B
φ==
=+?
∴
∵∪且由
(6)加法公式：对任意两事件A、B，有
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
该公式可推广到任意n个事件A
1
，A
2
，…，A
n
的情形；
A
(5)互补性：P( )＝1－P(A);
(7) 可分性：对任意两事件A、B，有
P(A)＝P(AB)＋P(A ),
B
11 11
1
12
() () () ( )
(1) ( )
n n
ii ij ijk
iijn ijkni
n
n
P A PA PAA PAAA
PAA A
=≤<≤ ≤<≤=
=? +
+?
∑∑ ∑
nullnull
∪
例：设A，B为两个事件，且P（A）=0.6,
P(B)=0.5,P(A∪B)=0.7,
(),( ).),(PAB PAB PAB求解,() () ()PAB PA PAB=?
∪又P(AB)=P(A)+P(B)-P(A B)
=0.6+0.5-0.7=0.4,
0.2,=
()1 ()0.6,PAB PAB=? =
() ( )1( )0.3.PAB PA B PA B=∪=?∪=
例：某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,
(1)他至少订有一种报纸的概率;(2)他只订甲、乙两报的概率；(3)他只订乙报的概率。
(1) ( )
() () ()
() () () ( )
30% 3 10% 0 0 0 80%
PA B C
PA PB PC
P AB P AC P BC P ABC
=++
+
=×+=
∪∪
解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报
(2) ( ) ( )PABC PAB C=?
() ( )P AB P ABC=?
(3) ( ) ( )PBAC PBA C= ∪
()PB A C=?∪
() (( )PB PBA C=? ∪
() ( ) ( ) ( )P B P BA P BC P ABC= +
0.3 0.1 0 0 0.2=+=
0.1 0 0=?=
§1.3 等可能概型等可能概型是指在一次试验中，样本空间的每个样本点被取到的可能性相等的随机试验类型，
这是一种最简单的概率类型。
古典概型几何概型
(p9)若某实验E满足
1.有限性：样本空间Ω={ω
1
,ω
2
,…,ω
n
};
2.等可能性：（公认）
P(ω
1
)=P(ω
2
)=…=P(ω
n
),
则称E为古典概型。
1.3.1 古典概型定理1.3.1P(9)在古典概型中，设样本空间Ω有
n个样本点，A是Ω中事件且A中所含样本点个数为k，则有事件A发生的概率为
()
k
PA
n
=
P(A)具有如下性质
(1) 0≤ P(A) ≤1；
(2) P(?)＝1；P(φ )=0
(3) AB＝φ，则P( A∪ B)＝P(A) ＋P(B)
此定理的结果也称为概率的古典定义。
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩
N={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
7
()
8
k
PA
n
==
加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n
1
种方法，第二种途径有n
2
种方法，则完成这件事共有
n
1
+n
2
种方法。
样本空间点要以排列或组合计算复习：排列与组合的基本概念
1、全部排列和组合分析公式基于下列两条原理：
乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有
n
1
种方法,第二步有n
2
种方法，则完成这件事共有n
1
n
2
种方法
（1）有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，
共有n
k
种排列方式.
2、排列
（2）无重复排列（选排列）：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，记录其结果后不放回，将记录结果排成一列，
共有P
n
r
=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)种排列方式.
（3）全排列：从含有n个元素的集合中随机抽取n次
，每次取一个，记录其结果后不放回，将记录结果排成一列，
共有P
n
=n!种排列方式.
（1）从含有n个元素的集合中随机抽取k 个，共有种取法.
)!(!
!
! knk
n
k
P
k
n
C
k
n
k
n
==
≡
3、组合
（2）把n个元素随机地分成m组(n>m),要求第i 组恰有n
i
个(i=1,…m)，共有分法：
!!....
!
1 m
nn
n
种分法.
例：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：
（1）每组有一名运动员的概率；
（2）3名运动员集中在一个组的概率。
解:设A:每组有一名运动员;B,3名运动员集中在一组
30!
10! 10! 10!
N ==
10 10 10
30 20 10
CCC
27!
3!
509! 9! 9!
()
203
PA
N
==
71010
27 20 10
3
()
CCC
PB
N
×
=
!!....
!
1 m
nn
n
一般地，把n个球随机地分成m组(n>m),要求第
i组恰有n
i
个球(i=1,…m)，共有分法：
习题：十个号码：1号，2号，……，10号，装于一袋中，从其中任取三个，问大小在中间的号码恰为5号的概率是多少？
解：
311
10 4 1 5
,(),NCNA CCC==
() 1
(),
6
NA
PA
N
==
更一般提法：一袋中装有n个球，其中n1个带有号码“1”，N2个带有号码“2”，……，nk个带有号码“k”,n1+n2+……nk=n。从此袋中任取
m个球，求恰有mi个带有号码“i”(i=1,2,……,k)
的概率，其中m1+m2+……mk=m.
123
123
.
mmm mk
nnn nk
m
n
CCC C
P
C
=
null
概率麦克斯威尔—波尔茨曼质点运动问题设有m个质点，每一质点以等可能落于N(N>=m)
个盒子中的每一个盒子里(设每一个盒子能容纳的质点数是没有限制的)，求事件A=“某预先指定的m个盒子各含有一个质点的概率”。
解：
(),() !,
m
NNNAm?= =
() !
(),
m
NA m
PA
NN
==
1.3.2 几何概型用计算机在[0，1]区间上任打出一个数x，
问x小于1/3的概率是多少？
随机地在单位圆内任掷一点M,问M到原点的距离小于1/2的概率是多少？
定义1.3.1(P13),设样本空间是欧氏空间的一个区域，以表示的度量（一维为长度，二维为面积，三维为体积等）。是中一个可以度量的子集，定义为事件A发生的概率，它叫几何概率。
()m?
A
()
()
()
mA
PA
M
=
例：某电台每到整点均报时，某人早上醒来后打开收音机，求他等待的时间不超过10分钟就能听到电台报时的概率。
P=1/6
例：某货运码头公能容纳一船卸货，而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时。设甲、乙两船在
24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。
{(,) | 0 24,
024}
xy x
y
= ≤ ≤
≤≤
{(,) | 2
1}
Axyxy
yx
=?>
>或
22
11
23 22
()
22
( ) 0.8793
( ) 24 24
mA
PA
m
×+×
== =
×
（蒲丰的针问题）在平面画有等距为a（a>0)的一些平行线，向平面上随意的投掷一长为l(l<a)的针。试求针与一平行线相交的概率P.
解令
M
表示针的中点；
表示针投在平面上时，与最近一条平行线的距离;
表示针与最近一条平行线的交角.
x
M
a
x
M
如上图所示，容易看出：
0,
2
0.
a
x
π
≤≤
≤≤
假定我们取直角坐标系图示，则上式表示平面上的一个矩形,如下图,而是使针与平行线（此线必为与M 点最近的平行线）
相交的充分必要条件，上面不等式表示上图中的阴影部分,
xO?
R
sin
2
l
x?≤
M
π
x
sin
2
l
x?=
0
1
sin
()
2
() 2,
()
2
d
mA l
PA
a
ma
π
π
π
== =
∫
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，
十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？
第二个人取得红球的概率是多少？
§1.4 条件概率
1.4.1 条件概率的定义若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？
已知事件A发生的条件下，
事件B发生的概率称为
A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少
？
è> $ $
!?μ@?a o??￡ oCV? ?i |
Q
Q |B? |a?bí
>X??BQ |?￡ o p?=Q9 |?￡ o￥à
qH $ $
? p?=Q |?￡ o￥à
q
@ p
Q ( |?￡ o￥à
q
!N ——?BQ |?￡ o9O ——?=Q |?￡ o
4
1
)|()1( =ABP
5
22312
)()2(
2
5
=
×+×
=
P
BP
10
112
)()3(
2
5
=
×
=
P
ABP
显然，若事件A、B是古典概型的样本空间Ω中的两个事件，其中A含有n
A
个样本点,AB含有n
AB
个样本点，则
()
(|)
()
PAB
PAB
PB
=
A
AB
n
n
ABP =)|(
称为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。
定义1.4.1P(17):设A、B是Ω中的两个事件,
且P(B)>0，则
)(
)(
AP
ABP
n
n
n
n
A
AB
==
条件概率是概率，满足公理化定义三条件概率定义若对随机试验E所对应的样本空间Ω中的每一事件A，
均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：
(1)P(A) ≥0；(2) P(Ω)＝1;
(3) 设A
1
，A
2
，…,是一列两两互不相容的事件，即A
i
A
j
＝
φ，(i≠j),i,j＝1,2,…,有
P( A
1
∪ A
2
∪ … )＝P(A
1
) ＋P(A
2
)+…,
则称P(A)为事件A的概率。
容易验证：
(1) ( | )0;
(2) ( | )1;
PAB
PB
≥
=
（3）设可列个事件A
1
，A
2
，A
3
…两两互不相容，则
1
1
(|) (|).
ii
i
i
PAB PAB
∞
∞
=
=
=
∑∪
类似可以推出条件概率也满足概率的基本性质。
例：设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,
10%,从中随意抽取一件，发现不是三等品，求此产品是一等品的概率。
解：设A
i
表示“取出的产品为i等品”，i=1,2,3,则A
1
，
A
2
，A
3
两两互不相容。所求概率为
11 2
(| )PA A A =∪
11 2
12
(( )
()
PAA A
PA A
∪
∪
1
12
()
() ()
PA
PA PA
=
+
0.6 2
.
0.6 0.3 3
==
+
设A、B∈Ω，P（A）>0,P（B）>0,则
P(AB)＝P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B),(1.12)
式(1.12)就称为事件A、B的概率乘法公式。
式(1.12)还可推广到三个事件的情形：
P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB),(1.13)
一般地，有下列公式：
P(A
1
A
2
…A
n
)＝P(A
1
)P(A
2
|A
1
)...P(A
n
|A
1
…A
n－1
).
(1.14)
1.4.2 乘法公式例（P17）已知P（A）=0.6,P(C)= 0.2,P(AC)=0.1,
P(B| )=0.7,且,求
C
AB?
(|).PA BC∪
解：
()
(|)
()
PAC BC
PA BC
PC
=
∪
∪
() ()
1()
AB
PAC PBC
PC
φ=
+
=
() () ()0.5,PAC PA PAC=? =
() ()(| )PBC PCPBC=
(1 ( ))(1 ( | )PC PBC=
0.8 0.3 0.24,=×=
0.5 0.24
( | ) 0.925.
0.8
PA BC
+
∴ ==∪
1.4.3 全概率公式与贝叶斯公式例.某厂使用甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，
已知三家工厂的产品数量各占24%、30%、46%，且它们的合格率分别为94％、96％、98％。若任取一件元件，问取到的是合格品的概率是多少？
)()|()()|()()|(
332211
APABPAPABPAPABP ++=
)()()()(
321
BAPBAPBAPBP ++=
设B：取到一件合格品，
A
1
：取到的产品来自甲厂，
A
2
：取到的产品来自乙厂，
A
3
：取到的产品来自丙厂。
定义(p18)事件组A
1
，A
2
，…，A
n
(n可为∞)，
称为样本空间成Ω的一个划分或称为完备事件组
，若满足：
.,...,2,1,),(,)(;)(
1
njijiAAii
SAi
ji
n
i
i
=≠=
=
=
φ
∪
A
1
A
2…
…
…
…
…
A
n
B
定理1.4.1(i)、(p17) 设A
1
，…,A
n
是Ω的一个划分，且P(A
i
)>0，(i＝1，…，n)，
则对任何事件B∈ Ω有
1
() ( )( | ) (1.15)
n
ii
i
PB PAPBA
=
∑
＝
式(1.15)就称为全概率公式。
? ?>;A;>5vv6 $ 5}>D6 $ ?]
OK=5μ
1
()(| )
( | ),( 1,...,) (1.16)
()(| )
jj
j
n
ii
i
PA PBA
PA B j n
PAPBA
=
==
∑
式(1.16)就称为贝叶斯公式。
例：商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1
，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱
.问这一箱含有一个次品的概率是多少？
3,设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.
B
0
,B
1
,B
2
分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B
0
)=0.8,P(B
1
)=0.1,P(B
2
)=0.1
1)|(
0
=BAP
5
4
)|(
4
20
4
19
1
==
C
C
BAP
19
12
)|(
4
20
4
18
2
==
C
C
BAP
由Bayes公式:
∑
=
=
2
0
11
1
)|()(
)|()(
)|(
i
ii
BAPBP
BAPBP
ABP
0848.0
19
12
1.0
5
4
1.018.0
5
4
1.0
≈
×+×+×
×
=
习题：12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率.
解设事件A
i
、B
i
、C
i
分别表示第一、二、三次比赛时取到i个新球(i=0,1,2,3),显然,A
0
= A
1
= A
2
= φ，A
3
=
3
93
3
12
() ( 0,1,2,3)
ii
i
CC
PB i
C
==
3
9
3
3
12
( | ) ( 0,1,2,3)
i
i
C
PC B i
C
==
3
33
0
3
33
93 9
33
12 12
0
() ()( |)
0.146
ii
i
ii
i
i
PC PB PC B
CC C
CC
=
=
=
=?≈
∑
∑
并且B
0
,B
1
,B
2
,B
3
,构成一个完备事件组，从而有
§1.5 事件的独立性
1.5.1独立性两个事件的独立一般地有
(|) ()PAB PA≠
是否有(|) ()PAB PA=
例：10件产品中有4件正品，连续取两次，每次取一件，
作有放回抽样。设B、A分别表示第一、二次取得正品，
则P(A)=0.4，P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.4，故有P(A)=P(A|B).
换言之，有P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B).
1）如果事件A 与B 相互独立，而且
() 0>AP
()()BPABP =则
5]??6 $定义,设A、B是两事件，若
P(AB)＝P(A)P(B) (1.17)
则称事件A与B相互独立。
事件独立性的性质：
同理，如果
()
0PB>
()()
PAB PA=有
2）必然事件S与任意随机事件A相互独立；
不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立。
3)若随机事件A 与B 相互独立，则
BABABA与、与、与也相互独立.
相互独立．与所以，事件BA
仅证
( ) ()()PAB PAPB=
左边:
() ( )
1( )
1()()()
PAB PA B
PA B
PA PB PAB
=
=?
=+
∪
∪
右边：
( ) ( ) (1 ( ))(1 ( ))PAPB PA PB=
例：(不独立事件的例子）袋中有a 只黑球，b 只白球．每次从中取出一球，取后不放回．令：
A={ 第一次取出白球}，B={ 第二次取出白球}，
则
()
ba
b
AP
+
=
()
()
()( )
1
1
bb
PAB
abab
=
++?
所以，
() ( ) ()BAPABPBP +=得：
()
()( )
1
ab
PAB
abab
=
++?
()
()( )()( )11
1
++
+
++
=
baba
ab
baba
bb
ba
b
+
=
()
()
()AP
ABP
ABP =而，
1
1
+
=
ba
b
多个事件的独立定义、若三个事件A、B、C满足：
(1) P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),
P(BC)=P(B)P(C),
则称事件A、B、C两两相互独立；
若在此基础上还满足：
(2) P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),
则称事件A、B、C相互独立。
定义：
设A
1
，A
2
，…，A
n
(n>=2)是n个事件，如果
A
i
，A
j
是其中任意两个事件，有
P(A
i
A
j
)= P(A
i
)P(A
j
)
则称这n个事件两两独立。
定义：设A
1
，A
2
，…，A
n
(n>=2)是n个事件，如果两者有何联系和区别？
( ) ()( ) ()
()()()() ( )
()()() ()
()()()()?
=
≤<<<≤=
≤<<≤=
≤<≤=
nn
miiiiii
kjikji
jiji
APAPAPAAAP
niiiAPAPAPAAAP
nkjiAPAPAPAAAP
njiAPAPAAP
nm
nullnull
nullnull
nullnullnull
nullnull
2121
21
1)(
1
1
2121
则称n个事件A
1
，A
2
，…，A
n
相互独立。
例（P22）,把一个均匀的正四面体每个面分别标上号1，2，
3，4，再抛掷两次,设A表示“第一次出现偶数”，B表示“第二次出现奇数”，C表示“两次同奇或同偶”，问A、B、C是哪种独立关系？
81
() () (),
16 2
41
() () (),
16 4
PA PB PC
PAB PAC PBC
====
====
即A、B、C三事件两两独立,而
( ) ()(),( ) ()(),( ) ()(),PAB PAPB PBC PBPC PAC PAPC∴ =
3
11
( ) ( ) 0,()()()
28,
PABC P PAPBPC
=?= = =
故( ) ()()(),PABC PAPBPC
≠
即它们不互相独立.
N=16，N(A)=N(B)=N(C )=8,N(AB)=N(AC)=N(BC)=4.
例,(P23)甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，三人击中目标的概率分别为0.3、0.5、0.7，求目标上仅中一弹的概率。
解：以A
1
、A
2
、A
3
分别表示甲、乙、丙命中目标，B表示目标仅中一弹，则
B=
123 123 123
AAA AAA AAA∪∪
显然互不相容，所以
()PB=
123 123 123
()()()PAAA PAAA PAAA++
又A
1
、A
2
、A
3
互相独立，所以
()PB=
123 123 123
()()() ()()() ()()()PAPAPA PAPAPA PAPAPA++
0.3 0.5 0.3 0.7 0.5 0.3 0.7 0.5 0.7=××+××+××
1.5.2、事件独立性的应用
1、加法公式的简化：若事件A
1
，A
2
，…，A
n
相互独立,则
))(1(1)(1
)()....(1)...(
11
1
21
∏∏
==
=?=
=
n
i
i
n
i
i
n
n
APAP
APAPAAAP ∪∪∪
2、乘法公式的简化：若事件A
1
，A
2
，…，A
n
相互独立,
则
)()()....()...(
1
121 ∏
=
==
n
i
inn
APAPAPAAAP
(2) 并联系统
))(1(1
)(1
)()....(1)...(
1
1
1
21
∏
∏
=
=
=
=
n
i
i
n
i
i
n
n
AP
AP
APAPAAAP ∪∪∪
3、在可靠性理论上的应用
(1) 串联系统
)()()....()...(
1
121 ∏
=
==
n
i
inn
APAPAPAAAP
本章由六个概念（随机试验、事件
、概率、条件概率、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成第一章小结例1：在1～10这10个自然数中任取一数，求
（1）取到的数能被2或3整除的概率，
（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。
3:
!A— |?的数能被2整除;
B-- |?的数能被3整除
2
1
)( =AP
10
3
)( =BP
故
)()()()()1( ABPBPAPBAP?+=∪
10
1
)( =ABP
10
7
=
)(1)()2( BAPBAP ∪∩?=
10
3
=
)()()()3( ABPAPBAP?=?
5
2
=
典型题分析例2：任意将10本书放在书架上，其中有两套书，一套
3卷，一套4卷，求一列事件的概率：
(1) 3卷一套的放在一起；
(2) 4卷一套的放在一起；
(3)两套各自放在一起；
(4)两套至少有一套在一起；
(5)两套各自在一起，且按卷次排好。
8! 3! 1
()
10! 15
PA
×
==
7! 4! 1
()
10! 30
PB
×
==
5! 4! 3! 1
()
10! 210
PAB
××
==
11 1 2
()
15 30 210 21
PA B=+? =∪
5! 2 2 1
()
10! 7560
PABD
××
==
例3：(配对问题）从n双不同的鞋子中任取2r(2r<n)只，求下列事件的概率：
(1)没有成对的鞋子；
(2)只有一对鞋子；
(3) 恰有两对鞋子；
(4) 有r对鞋子.
212 22
2
22
() 2
()
rrrr
nn
nn
CC C
PA==
1222 122 22 22
21 2 1
22
() 2
()
rr rr
nn n
nn
CCC C n C
PB
CC
==
22224 124 224 24
22 2 2 2
()
()
rr rr
nn nn
nn
CCCC C C C
PC
CC
==
2
2
22
()
()
rr r
nn
rr
nn
CC C
PD
CC
==
例4：某班有N人战士，每人各有一支枪，枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，若每人随机地取走一支枪：
(1)至少有1个人拿到自己的枪的概率是多少？
(2) 求恰有k个人（0《k《N)拿到自己的枪的概率。
解：设A
i
表示第i 人拿到自己的枪，i=1，2，…，n.
11 11
1
12
(1) ( ) ( ) ( ) ( )
(1) ( )
n n
i i ij ijk
iijn ijkni
n
n
PA PA PAA PAAA
PAA A
=≤<≤ ≤<≤=
=? +
+?
∑∑ ∑
nullnull
∪
有k人拿到自己枪的概率为
()!1
1,2,
!
k
N
Nk
kN
NP
==null
所以
1
1
111
1(1)
() (1)
!
kn
NN
kk
iN
k
i
N
PA C
Pk
===
=? =
∑∑∪
11 111
(2) ( ( )) ( ) ( | )
kN kNk
ii iii
iik iik
PA A PAP A A
==+ ==+=
=∩
∩∩ ∩∪∩
1
1011 11
(1) (1)
( | )1 ( | )1
!!
ii
Nk Nk Nk Nk
ii ii
iiik i ik i
PAA PAA
ii
===+ = =+ =
=? =? =
∑∑∪∩ ∪∩
0
1(1)
!
i
Nk
k
i
N
Pi
=
=
∑
共有
k
N
C
种情形所以恰有k个拿到自己的枪的概率为
00
1 ( 1) 1 ( 1)
!! !
ii
Nk Nk
k
N
k
ii
N
C
Piki
==
=
∑∑
例5：若M件产品中包含m件废品，今在其中任取两件，求：
(1)已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的概率；(2)已知取出的两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率；(3) 取出的两件至少有一件是废品的概率；
例6,设甲、乙、丙向同的敌机射击。设击中敌机的概率分别为
0.4,0.5,0.7。若只有一人击中，飞机坠毁的概率为0.2；若有两人击中，飞机坠毁的概率为0.6；若三人击中，飞机坠毁的概率为0.9。(1) 飞机坠毁的概率，(2)若已知飞机坠毁，求被两人击中的概率。
(P31)习题35：如下图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，
求L至R是通路的概率。
思路：找一个完备事件组，将复杂事件化为简单事件后，
利用全概率公式。
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ULàR1Y
^,A
i
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Yi=1,2,…5
)()|(
5241
3
AAAAPAAP ∪=
42
2 pp?=
)})({()|(
54213
AAAAPAAP ∪∪=
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54213
AAPAAPAAP ∪∪=
22
)2( pp?=
? ?à
q
T
)()|()()|()(
33
33
APAAPAPAAPAP +=
5432
2522 pppp +?+=
