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开课系：数学学院主讲教师：刘亚平
Email:yapingliu66@tom.com
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k
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Yq
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YqOJ??Q
l?B?;
奇异型（混合型）
连续型非离散型离散型随机变量随机变量的分类：
随机变量定义：如果随机变量X 的取值是有限个或可列无穷个，
则称X 为离散型随机变量．
2.2离散型随机变量定义(P33)若随机变量X取值x
1
,x
2
,…,x
n
,
…且取这些值的概率依次为p
1
,p
2
,…,p
n
,
…,则称X为离散型随机变量，而称
P{X=x
k
}=p
k
,(k=1,2,… )
为X的分布律或概率分布。可表为
X～P{X=x
k
}=p
k
,(k=1,2,… )，
或…
~X
Xx
1
x
2
… x
K
…
P
k
p
1
p
2
… p
k
…
(1) p
k
≥ 0,k＝1,2,… ;
(2)
∑
≥1
.1
k
k
p＝
.}{
3
5
3
32
C
CC
kXP
kk?
＝＝
例：设袋中有5只球，其中有2只白、3只黑。
现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为
k的概率。
解k可取值0，1，2
分布律的性质例：某人投篮，命中率为0.7，规则是：投中后或投了4次后就停止投篮，以X表示投篮的次数，求X的分布律。
解：设A
i
第i次投中目标，i=1,2,3,4
则A
1
,A
2,
…A
4,
相互独立且
P(A
i
)=0.7,i=1,2,…4,X={1,2,3,4},
1
{1}()0.7PX PA== =
12
{ 2}{ }0.3 0.7 0.21PX PAA== =× =
{4}?PX==
123
{ 3}{ }0.3 0.3 0.7 0.063PX PAAA== =×× =
1234 1234
34
{4}{ }
0.3 0.7 0.3 0.027
PX PAAAA AAAA==
=×+=
∪
例：设随机变量X 的分布律为
{} ()null，，21
4
1
=
== ncnXP
n
解：由随机变量的性质，得
{}
∑∑
∞
=
∞
=
===
11
4
1
1
n
n
n
cnXP
该级数为等比级数，故有
{}
∑∑
∞
=
∞
=
===
11
4
1
1
n
n
n
cnXP
4
1
1
4
1
=c
所以
．3=c
试求常数c.
例:某人对某目标射击，直到击中为止，命中率为p，以X表示射击的次数，求X的分布律。
X
p
1 2 3 …… k ……
p pq pq
2
…… pq
k-1
……
即X的概率分布为
X～P{X=k}=pq
k-1
(k=1,2,… )
称X服从几何分布。
如果随机变量X 的分布律为
{} ()()nMk
C
CC
kXP
n
N
kn
MN
k
M
，，，，min10 null===
均为自然数．，，其中nMN
()的超几何分布．，，服从参数为则称随机变量nMNX
+?è¨￥ ? ??s?
B超几何分布例：一批产品有N 件，其中有M 件次品，其余N-M 件为正品．现从中取出n 件．
令：X：取出n 件产品中的次品数．则X 的分布律为
{} ()()nMk
C
CC
kXP
n
N
kn
MN
k
M
，，，，min10 null===
()
分布的超几何，，服从参数为此时，随机变量nMNX
=
m ú5Or{|?yyv6à?D=[s?
1,(0-1)分布(p37)
若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称
X服从(0－1)分布(两点分布)
X～P{X＝k}＝p
k
(1－p)
1－k
,(0<p<1) k＝0，1
或
X
k
p
1
0
p
p?1
2,?l设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为
n重贝努里试验.
定理2.2.1:在贝努里试验中，若事件A发生的概率为p，
则在n次试验中事件A下好发生k次的概率为
),...,1,0(,)1(}{ nkppkXP
knk
k
n
C
=?==
证明：
?l?;?;@5}@D6G
!
M
e￥ V
|′1
=>? l{ $i O |?t′￥à
qsY
1
{} (1),(0,1.,)(2.8)
k
knk
n
PX k p p k n
C
==? =
则称X服从参数为n，p的二项分布，记为X~B（n,p)
当n=1时，二项分布X~B（1,p)，即为(0-1)分布例:从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.
(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.
(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.
3G5>6?5i9e ~O5C9><@69?
^9e￥s?
p1G
6,...,1,0
3
2
3
1
}{
6
6
=
==
kCkXP
kk
k
}6{}5{}5{)2( =+==≥ XPXPXP
729
13
3
1
3
2
3
1
65
5
6
=
+
=C
二项分布的分布形态由此可知，二项分布的分布
{}
{}
()
()pq
kq
kpn
kXP
kXP
=
+
+=
=
=
1
1
1
1
{}kXP =
先是随着k 的增大而增大，达到其最大值后再随着
k 的增大而减少．这个使得
{}kXP =
达到其最大值的k
0
称为该二项分布的最可能次数。
若X~B(n,p)，则可以证明：
如果(n+1)p不是整数，则k
0
=[(n+1)p];
如果(n+1)p是整数，则k
0
= (n+1)p，
或k
0
=(n+1)p-1.
例:某人射击的命中率为0.02，
他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。
泊松定理(p40),设随机变量X
n
~B(n,p),(n
＝1,2,…),且n很大，p很小，记λ=np，则
,...2,1,0,
!
}{ =≈=
ke
k
kXP
k
λ
λ
解设X表示400次独立射击中命中的次数，
则X～B(400,0.02)，故
P{X≥2}＝1－P{X＝0}－P {X＝1}
＝1－0.98
400
－(400)(0.02)(0.98
399
)=…
证明：
n
np λ=令：
()
()()( )
1
12 1
1
nk
kk
n
knk
nn
Cp p
nn n n k
knn
λλ
+
=?
null
！
kn
n
k
n
nn
k
nnk
=
λλ
1
1
1
2
1
1
1
!
null
对于固定的k，有
kk
n
n
n
n
n
n
np λλλλ===
∞→∞→∞→
limlimlim得由
n
n
n
kn
n
n
n
kn
n
n
nn
λ
λ
λλ
∞→
∞→
=
1lim1lim
λ?
=e
所以，
()
kn
n
k
n
k
n
n
ppC
∞→
1lim
12 1
lim 1 1 1 1
!
nk
k
nn
n
k
knn n n
λλ
→∞
=
null
1121
lim lim 1 1 1 lim 1
!
nk
k
n
n
nn n
k
knn
λ
λ
→∞ →∞ →∞
=
null
k
e
k
λ
λ
=
！
上题用泊松定理取λ =np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有
P{X≥2}＝1－P{X＝0}－P {X＝1}
＝1－(1＋8)e
－8
＝0.996981.
（三,）泊松(Poisson)分布P(λ)
X～P{X＝k}＝,
k＝0,1,2,… (λ>0)
λ?
λ
e
!k
k
泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，
当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数λ=np的泊松分布作业：P60,2,4,5,7,8,10
例.设某国每对夫妇的子女数X服从参数为λ的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e
-2
.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。
()
2
3}1{}0{1),(~
==+==≤ eXPXPXPpX且λ∵
}2{}1{}0{1}3{ =?=?=?=≥ XPXPXPXP
323.051
!2
2
!1
2
1
22
2
2
1
2
≈?==
eeee
解:由题意,
23
2
=?=+
λλ
λλ
eee
例,进行独立重复试验，每次成功的概率为p，
令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，
求X的分布律。
解:m=1时,
,...2,1,)1(}{
1
=?==
kppkXP
k
m>1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,…
m
pmXP == }{
P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并且在前m次试验中成功了m-1次}
,...2,1,)1(}{
11
1
++=?==∴
mmmkpppCkXP
mkmm
k
pppC
mm
m
)1(
11
=
2.3一维随机变量的分布函数一、分布函数的概念.
定义2.3.1(P42)设X是随机变量，对任意实数x，事件{X≤x}的概率P{X≤x}称为随机变量X的分布函数。
记为F(x)，即
F(x)＝P {X≤x}.
易知，对任意实数a,b (a<b),
P {a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝F(b)－F(a).
x
X
二、分布函数的性质(P43)
1、单调不减性：若x
1
<x
2
,则F(x
1
)≤F(x
2
);
2、归一性：对任意实数x，0≤F(x)≤1，且;1)x(Flim)(F,0)x(Flim)(F
xx
==+∞==?∞
+∞→?∞→
).x(F)x(Flim)0x(F
0
xx
0
0
==+
+
→
3、右连续性：对任意实数x，
一般地，对离散型随机变量
X～P{X= x
k
}＝p
k
,k＝1,2,…
其分布函数为
∑
≤
=≤=
xxk
k
k
pxXPxF
:
}{)(
例1设随机变量X具分布律如右表解
)(xF
x0
1
1 2
}{)( xXPxF ≤＝
0.30.60.1P
210X
试求出X的分布函数。
≥
<≤
<≤
<
2,1
21,7.0
10,1.0
1,0
x
x
x
x
＝
例2向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：F(x)=P{X≤x}
>
≤≤
<
≤∴
1,1
10,
0,0
)()(
x
xx
x
xXPxF＝＝
)(xF
x
10
1
当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1
当0≤x≤1时,
kxxXPxF =≤≤= }0{)(
特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1
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M
1=?
_
b
ω∈?
ωω
二维离散型随机变量二维非离散型随机变量
2.4 二维离散型随机变量定义：将n个随机变量X
1
，X
2
，...,X
n
构成一个n维向量(X
1,
X
2
,...,X
n
)称为
n维随机变量。
一维随机变量X——R
1
上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)——R
2
上的随机点坐标
n维随机变量(X
1
,X
2
,…,X
n
)———R
n
上的随机点坐标多维随机变量的研究方法也与一维类似，
用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律
?=?
M
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w
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M
b
2.4.1 联合分布
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M
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p
M
eDf￥ ós?
p;
V:1
(X,Y)～P{X＝x
i
,Y＝y
j
,}＝p
ij，
(i,j＝1,2,… )，
X
Y y
1
y
2
…y
j
…
p
11
p
12
..,P
1j
..,
p
21
p
22
..,P
2j
..,
p
i1
p
i2
..,P
ij
..,
...
.
..
...,..,..
...,..,..
联合分布律的性质(1) p
ij
≥0,i,j＝1,2,…；
(2)
1p
1i1j
ij
＝
∑∑
≥≥
x
1
x
2
x
i
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:
è; $?μBo￡ o
oa o ?o oCV?
? |
1oe afsYV
U
1o o?￡ o#a o￥?
b p5>6
e af￥ ós? 5?69
]5?e:f?J>6;
11 2
123
4
6
6
{1,1}
15
CCC
PX Y
C
=== =
13
13
4
6
1
{1,0}
15
CC
PX Y
C
=== =
13
23
4
6
2
{0,1}
15
CC
PX Y
C
=== ={ 0,0} 0PX Y===
22
23
4
6
3
{0,2}
15
CC
PX Y
C
=== =
121
123
4
6
3
{1,2}
15
CCC
PX Y
C
=== =
X
Y
0
1
0 1 2
2
15
3
15
3
15
6
15
1
15
0
因为
{|X-Y|=1}= {(0,1),(1,0),(1,2)}
所以P {|X-Y|=1}
=2/15+1/15+3/15=6/15
定义2.4.3P(46)：设(X,Y)是二维随机变量，任意(x,y)∈R
2
,
则称
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}
为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。
2.4.2 联合分布函数
00
,yx
(){}
00
,,,yyxxyx ≤<?∞≤<?∞
几何意义：分布函数F( )
表示随机点(X,Y)落在区域中的概率。如图阴影部分：
对于(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)∈R
2
,(x
1
<x
2，
y
1
<y
2
),则
P{x
1
<X≤ x
2，
y
1
<y≤y
2
}
＝F(x
2
,y
2
)－F(x
1
,y
2
)－F (x
2
,y
1
)＋F (x
1
,y
1
).
(x
1
,y
1
)
(x
2
,y
2
)
(x
2
,y
1
)
(x
1
,y
2
)
分布函数F(x,y)具有如下性质：
0),(lim),( ==?∞?∞
∞→
∞→
yxFF
y
x
1),(lim),( ==∞∞
∞→
∞→
yxFF
y
x
且
0),(lim),( ==?∞
∞→
yxFyF
x
0),(lim),( ==?∞
∞→
yxFxF
y
(1)归一性对任意(x,y) ∈R
2
,0≤ F(x,y) ≤ 1,
(2)单调不减对任意y ∈R,当x
1
<x
2
时，
F(x
1
,y) ≤ F(x
2
,y)；
对任意x ∈R,当y
1
<y
2
时，
F(x,y
1
) ≤ F(x,y
2
).
);y,x(F)y,x(Flim)y,0x(F
0
xx
0
0
==+
+
→
).y,x(F)y,x(Flim)0y,x(F
0
yy
0
0
==+
+
→
(3)右连续对任意x∈R,y∈R,
(4)矩形不等式对于任意(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)∈R
2
,(x
1
<x
2，
y
1
<y
2
),
F(x
2
,y
2
)－F(x
1
,y
2
)－F (x
2
,y
1
)＋F (x
1
,y
1
)≥0.
反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。
例：设X与Y的联合分布列如下表，F（X，Y）是联合分布函数，求F（0，0），F（0.5，1.2)及F（0.5，2.2).
x 1 2
0 0.15 0.10
1 0.35 0.45
解：由分布函数定义可得
(0,0) ( 0,0) ( ) 0,FFXYPφ=≤≤==
(0.5,1.2) ( 0.5,1.2) ( 0,1) 0.15,FFXYPXY=≤≤====
(0.5,2.2) ( 0.5,2.2)
(0,1)(0,2)
0.25.
FFXY
PX Y PX Y
=≤≤
===+==
=
y
F
Y
(y)＝F (+∞,y)＝＝P{Y≤y}称为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.
)y,x(Flim
y +∞→
)y,x(Flim
x +∞→
2.4.3 边缘分布定义：设=?
M
5e9 $f6￥s?f
1S5e9f69 ?i
(x,y)∈R
2
，定义
F
X
(x)＝F (x,+∞)＝＝P{X≤x}
称为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数；
边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。
若随机变量X与Y的联合分布律为(p47)
(X,Y)～P{X＝x
i
,Y＝y
j
,}＝p
ij，
i,j＝1,2,…
记
P{X＝x
i
}＝p
i
.
＝，i＝1,2,…∑
≥1j
ij
p
∑
≥1i
ij
p
P{Y＝y
j
}＝p
.
j
＝，j＝1,2,…
边缘分布律则有如下定理定理2.4.2 设二维离散型随机变量(X，Y) 有联合分布律
P{X＝x
i
,Y＝y
j
,}＝p
ij，
i,j＝1,2,…则对任意两个实数x，y有
(),(),
ij
XiY j
xx yy
Fx pFy p
≤≤
==
∑∑
证明由F(x,y) 及F
X
(x)、F
Y
(y)的定义，有
1
() (,),
ii
Xiji
xxj xx
Fx PX xY p p
∞
≤= ≤
=≤<+∞= =
∑∑ ∑
1
() (,),
jj
Yi
yyi yy
Fy PX Y y p p
∞
≤= ≤
=<+∞≤= =
∑∑ ∑
推论在上述定理条件下，(X,Y)关于X和Y的边缘分布律分别是
(),1,2,
(),1,2.
ii
jj
PX x p i
PY y p j
== =
== =
null
null
边缘分布律自然也满足分布律的性质。
例.已知(X,Y)的分布律为
x\y 1 0
1 1/10 3/10
0 3/10 3/10
求X、Y的边缘分布律。
解：
x\y10p
i.
1 1/10 3/10
0 3/10 3/10
p
.j
故关于X和Y的分布律分别为：
X1 0 Y 1 0
P 2/5 3/5 P 2/5 3/5
2/5
3/5
2/5 3/5
2.5 条件分布与随机变量的独立性设随机变量X与Y的联合分布律为
(X,Y)～P{X＝x
i
,Y＝y
j
,}＝p
ij，
(i,j＝1,2,… )，
X和Y的边缘分布律分别为
,...2,1}{
1
====
∑
≥
ippxXP
j
ijii
,...2,1}{
1
====
∑
≥
jppyYP
i
ijjj
为Y＝y
j
的条件下，X的条件分布律;
,...2,1,}|{
.
|
==== j
p
p
yYxXPp
j
ij
jiji
＝
定义2.5.1(p49),设(X,Y)是二维离散型随机变量，若对固定的j(j=1,2,…),p
.
j
>0,则称同理，对固定的i (i=1,2,…),p
i
.
>0,称
,...2,1,}|{
.
|
==== j
p
p
xXyYPP
i
ij
ijij
＝
为X＝x
i
的条件下，Y的条件分布律;
条件分布律自然也满足分布律的性质。
è; $?μBo￡ o
oa o ?o oCV?
? |
1oe afsYV
U
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M
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Hf￥Hqs?
p b
11 2
123
4
6
6
{1,1}
15
CCC
PX Y
C
=== =
13
13
4
6
1
{1,0}
15
CC
PX Y
C
=== =
13
23
4
6
2
{0,1}
15
CC
PX Y
C
=== =
{ 0,0} 0PX Y===
22
23
4
6
3
{0,2}
15
CC
PX Y
C
=== =
121
123
4
6
3
{1,2}
15
CCC
PX Y
C
=== =
X
Y
0
1
p
.
j
0 1 2 p
i
.
2
15
3
15
3
15
6
15
1
15
0
1
3
2
3
1
15
8
15
6
15
1
联合分布与边缘分布如下表所示
]5eJ>?fJ?6
12
2
1
2
p
p
==
]5fJ>?eJ=6
01
0
2
5
p
p
==
Y|X=1 0 1 2
P
k
1
10
6
10
3
10
此时条件概率与无条件概率不相等定义2.5.2(p50),设随机变量X与Y的联合分布律为
(X,Y)～P{X＝x
i
,Y＝y
j
,}＝p
ij，
(i,j＝1,2,… )，
且对一切的i,j，均有
p
ij =
p
i
.
p
.
j
则称随机变量X与Y互相独立。
定理2.5.1,设X，Y是两个独立的离散型随机变量，
G1，G2是实数轴R上两个任意集合（它们可以相同）
则
12 1 2
(,)()()PX GY G PX GPY G∈∈=∈ ∈
证明略
6B??l ?
M
eDf? ? ?T
?i
L
nIo9pIqμ
}?nIe ≤o9pIf ≤q?J}?nIe ≤o?}?pIf ≤q? b
w
]
B> ?=? ? ??
M
ef
￥ ós?f
1 F(x,y)，边缘分布函数为F
X
(x)，
F
Y
(y)，且eDf? ?5 ?i￥
L
?9?μ
F(x,y)=F
X
(x)F
Y
(y)
'
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Yq?pIf ≤q?? ?5?
M
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M
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H?s? A
^?5e9f6￥
B V
|′?9H?s?￥e??? ós
?' V b
例.已知随机变量(X,Y)的分布律为
x 1 2
0 0.15 0.15
1 a b
且知X与Y独立，求a、b的值。
y
p
.
j
p
i
.
因为(0.15+a)*0.3=0.15，所以a=0.35
同理(0.15+b)* 0.3=0.15，所以b=0.35
0.3
0.7
0.5 0.5
1
EX,设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，
求此昆虫产卵数X与下一代只数Y的联合分布律.
......
...
...
...,..,..
0
1
m
50
e
X
Y 0 1 … k … m …
0 … 0 … 0 …
… 0 … 0 …
50
10e
50
40e
50
50
0.2
!
m
m
e
m
50 1 1
50
0.8 0.2
!
m
m
m
eC
m
50
50
0.8 0.2
!
m
kk mk
m
eC
m
50
50
0.8
!
m
m
e
m
...
...
............
...,..
2.6 随机变量函数的分布
2.6.1 B? ? ??
M
f
￥s?
p
设一维离散型随机变量X的分布律为，
X～P(X＝x
i
)＝p
i
，i＝1,2,…
则Y＝g(X)～P{Y＝y
j
}＝P(X＝x
i
) ＝p
k
,
k＝1,2,…
g(x
i
)
p
i
x
i
g(x
2
)g(x
1
)Y=g(X)
p
2
p
1
p
ij
……x
2
x
1
X
注意相同值要合并例：设随机变量X具分布律如右表设
0.30.60.1P
210X
X
Y=sin
2
π
求Y的分布律。
解：Y的可能取值为0，1
X
(0)(sin 0)( 0)( 2)0.4,
2
PY P PX PX
π
== == =+ ==
X
(1) (sin 1) ( 1)0.6.
2
PY P PX
π
== == ==
2.6.2 =? ? ??
M
f
￥s?
p
设二维离散型随机变量（X，Y），
(X,Y)～P(X＝x
i
,Y＝y
j
)＝p
ij
，i,j＝1,2,…
则Z＝g(X,Y)～P{Z＝z
k
}＝＝p
k
,
k＝1,2,…
∑
=
kji
zyxgki
ij
p
),(:,
g(x
i
,y
j
)
p
14
(x
i
,y
j
)
g(x
1
,y
2
)g(x
1
,y
1
)Z=g(X,Y)
p
13
p
12
p
ij
……(x
1
,y
2
)(x
1
,y
1
)(X,Y)
例：设二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布如下，
x 1 2 3
0 0.15 0.05 0.20
1 0.10 0.25 0.25
y
求Z=XY，W=X+Y的概率分布。
321000Z
3
0.25
(1,2)
2
0.10
(1,1)
4321W
0.250.200.050.15p
ij
(1,3)(0,3)(0,2)(0,1)(X,Y)
3210Z
0.250.10 0.250.40p
4321W
0.450.15 0.250.15p
Z的概率分布：
W的概率分布：
例：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1
分布，其分布律均为
X0 1
P q p
(1) 求W＝X＋Y的分布律;
(2) 求V＝max(X,Y)的分布律；
(3) 求U＝min(X,Y)的分布律。
(4)求w与V的联合分布律。
U＝min(X,Y)
V＝max(X,Y)
W＝X＋Y
p
ij
(1,1)(1,0)(0,1)(0,0)(X,Y)
2
q
pq pq
2
p
01 1
2
1
0
0
01
V
W
0
1
0 1 2
2
q
00
0
pq2
2
p
2.6.3
M
￥ VF?
X、Y相互独立且服从相同的分布，若它们的和X+Y也服从同一分布，则称此分布具有可加性。
定理2.6.1P(54)(离散型卷积公式）设X与Y为互相独立的离散型随机变量，其可能取值均为0，1，2，…，则
Z=X+Y有分布律
0
() ()( ),0,12,.
k
i
PZ k pX iPY k i k
=
== = =? =
∑
证明：
定理2.6.2(二项分布的可加性) 设X，Y相互独立，且
X~B（m,p),Y~B（n,p),则Z=X+Y ~B（m+n,p).
证明：由二项分布的分布律及卷积公式，得
0
( ) ( ) ( ),0,1,2,...
k
i
PZ k pX iPY k i k m n
=
== = =? = +
∑
0
.
k
i i mi ki ki nki k k mnk
mn mn
i
Cpq C p q C pq
+ +?
+
=
∑
null
定理2.6.3 设X
1
，X
2
，…X
n
相互独立，且
X
i
~B（n
i
,p),则
11
(,).
nn
ii
ii
XBnp
==
∑∑
～
特别地，当X
i
~B（1,p)，有
1
(,).
n
i
i
XBnp
=
∑
～
第二章小结五个基本概念：
随机变量、概率分布、分布函数、边缘分布、条件分布两个重要分布：
二项分布、泊松分布三处难点：
二项分布与泊松分布的关系、随机变量函数的分布、
随机变量的可加性典型题分析
X 12…
n
…
P
2
1
2
2
1
…
n
2
1
…
()
==
为偶数若为奇数若
X
X
XgY
1
1
的分布律．试求随机变量Y
解：
例1:设离散型随机变量X的分布律为
{} {}
∑
==?=
为奇数n
nXPYP 1
{}
∑
∞
=
+==
0
12
k
kXP
∑
∞
=
+
=
0
12
2
1
k
k
3
2
=
{} { }
∑
===
为偶数n
nXPYP 1 {}
∑
∞
=
==
0
2
k
kXP
∑
∞
=
=
0
2
2
1
k
k
3
1
=
Y-11
P
3
2
3
1
的分布律为所以，随机变量Y
例：设随机变量X的分布函数为
}{)( xXPxF ≤＝
0,1
0.1,0 1
0.7,1 4
1,4
x
x
x
x
<
≤<
≤<
≥
＝
求X的分布律.
例：实验器具中产生甲、乙两类细菌的机会是相等的，且产生的细菌数X服从参数为λ的泊松分布，试求(1)产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；(2)在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率。
解：由题意知X的分布律为
{},0,12,.
!
k
PX k e k
k
λ
λ
== =
产生k个细菌且全是甲类细菌的概率为
1
()
!2
k
k
e
k
λ
λ
产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率的概率为
2
1
1
() ( 1)
!2
k
k
k
peee
k
λ
λλ
λ
∞
=
==?
∑
P{有2个乙类细菌|产生的细菌中无甲类}=
2
22
22
11 1
(1) (1)
22 8
eee e
λλ
λλ
=?
例：假设某地在任何长为t(周)的时间发生地震的次数N(t)
服从参数为λt的泊松分布，
(1)设T表示直到下一次地震发生所需的时间(单位：周)，
求T的概率分布；
(2)求在相邻两周内到少发生3次地震的概率；
(3)求在连续8周无地震的情形下，在未来8周中仍无地震的概率。
解：由题意知N(t)的分布律为
{ ( ) },0,1,2,...
!
k
PNt k e k
k
λ
λ
== =
对任意t有
{}{()0}
t
PT t PNt e
λ?
>= ==
所以(1)T的分布函数为
()1,0(0)
()
0,0
t
pT t e t
Ft
t
λ
λ
≤=? > >
=
≤
(2)
22
{(2) 3}1(12 2 )PN e
λ
λλ
≥=?++
(3)
16
8
8
( 16)
{16| 8}
(8)
t
t
t
pT e
PT T e
PT e
≥
≥≥= ==
≥
例：设X、Y是独立且同服从参数为λ的泊松分布的随机变量，分别求M=max{X,Y}和
N=min{X,Y}的分布律。
类似求N的概率分布，N的可能取值0,1,2,…
11
00 00
2
1
22
2
0
()(,)(,)
(,) (,)
!!!!
2,0,1,2,...
!! (!)
kkkk
kk kk
ji ji
kk k
k
j
pM k PX kY X PX YY k
PX kY j PX iY k e e e e
kjki
eee k
kj k
λλλλ
λλλ
λλλλ
λλ
== ==
=
== = ≤+ < =
=+=== +
=+=
∑∑ ∑∑
∑
解：先求M的概率分布，M的可能取值0,1,2,…
11
2
22
2
1
()(,)(,)
(,) (,)
!!! !
2,0,1,2,...
!!(!)
kkk k
jk ik jk ik
kk k
jk
pN k PX kY X PX YY k
PX kY j PX iY k e e e e
kjk i
eee k
kj k
λλλ λ
λλλ
λλλ λ
λλ
∞∞ ∞∞
==+ ==+
∞
=+
== = ≥+ > =
=+ === +
=+=
∑∑ ∑∑
∑
例：设X、Y都是取整数值的随机变量，（X、Y）的联合分布律为：
(1 )
,
(,)
!( )!
0,,
0,0 1
nm nm
pp
emn
PX nY m
mnm
mn
p
λ
λ
λ
≤
===
>
><<
求X及Y的边缘分布律。
解：
00
0
(1 )
P(X=n)= (,)
!( )!
(1 ),0,1,2,...
!!
nm nm
nn
mm
n
mm nm
n
m
pp
PX nY m e
mnm
ee
Cp p n
nn
λ
λλ
λ
==
=
===
=?==
∑∑
∑
(1 )
(1 )
P(Y=m)= (,)
!( )!
() (1 ) ()
!()! !
()
,0,1,2,...
!
nm nm
nm nm
mnmnmm
p
nm
mp
pp
PX nY m e
mnm
pe p pe
e
mnmm
pe
m
m
λ
λλ
λ
λ
λ
λλ λ
λ
∞∞
==
∞
=
===
==
==
∑∑
∑
?=c
? ??
M
? ??
M
开课系：数学学院主讲教师：刘亚平
Email:yapingliu66@tom.com
?;>
M
ω
ω
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M
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Yq
NJ??Q
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YqOJ??Q
l?B?;
奇异型（混合型）
连续型非离散型离散型随机变量随机变量的分类：
随机变量定义：如果随机变量X 的取值是有限个或可列无穷个，
则称X 为离散型随机变量．
2.2离散型随机变量定义(P33)若随机变量X取值x
1
,x
2
,…,x
n
,
…且取这些值的概率依次为p
1
,p
2
,…,p
n
,
…,则称X为离散型随机变量，而称
P{X=x
k
}=p
k
,(k=1,2,… )
为X的分布律或概率分布。可表为
X～P{X=x
k
}=p
k
,(k=1,2,… )，
或…
~X
Xx
1
x
2
… x
K
…
P
k
p
1
p
2
… p
k
…
(1) p
k
≥ 0,k＝1,2,… ;
(2)
∑
≥1
.1
k
k
p＝
.}{
3
5
3
32
C
CC
kXP
kk?
＝＝
例：设袋中有5只球，其中有2只白、3只黑。
现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为
k的概率。
解k可取值0，1，2
分布律的性质例：某人投篮，命中率为0.7，规则是：投中后或投了4次后就停止投篮，以X表示投篮的次数，求X的分布律。
解：设A
i
第i次投中目标，i=1,2,3,4
则A
1
,A
2,
…A
4,
相互独立且
P(A
i
)=0.7,i=1,2,…4,X={1,2,3,4},
1
{1}()0.7PX PA== =
12
{ 2}{ }0.3 0.7 0.21PX PAA== =× =
{4}?PX==
123
{ 3}{ }0.3 0.3 0.7 0.063PX PAAA== =×× =
1234 1234
34
{4}{ }
0.3 0.7 0.3 0.027
PX PAAAA AAAA==
=×+=
∪
例：设随机变量X 的分布律为
{} ()null，，21
4
1
=
== ncnXP
n
解：由随机变量的性质，得
{}
∑∑
∞
=
∞
=
===
11
4
1
1
n
n
n
cnXP
该级数为等比级数，故有
{}
∑∑
∞
=
∞
=
===
11
4
1
1
n
n
n
cnXP
4
1
1
4
1
=c
所以
．3=c
试求常数c.
例:某人对某目标射击，直到击中为止，命中率为p，以X表示射击的次数，求X的分布律。
X
p
1 2 3 …… k ……
p pq pq
2
…… pq
k-1
……
即X的概率分布为
X～P{X=k}=pq
k-1
(k=1,2,… )
称X服从几何分布。
如果随机变量X 的分布律为
{} ()()nMk
C
CC
kXP
n
N
kn
MN
k
M
，，，，min10 null===
均为自然数．，，其中nMN
()的超几何分布．，，服从参数为则称随机变量nMNX
+?è¨￥ ? ??s?
B超几何分布例：一批产品有N 件，其中有M 件次品，其余N-M 件为正品．现从中取出n 件．
令：X：取出n 件产品中的次品数．则X 的分布律为
{} ()()nMk
C
CC
kXP
n
N
kn
MN
k
M
，，，，min10 null===
()
分布的超几何，，服从参数为此时，随机变量nMNX
=
m ú5Or{|?yyv6à?D=[s?
1,(0-1)分布(p37)
若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称
X服从(0－1)分布(两点分布)
X～P{X＝k}＝p
k
(1－p)
1－k
,(0<p<1) k＝0，1
或
X
k
p
1
0
p
p?1
2,?l设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为
n重贝努里试验.
定理2.2.1:在贝努里试验中，若事件A发生的概率为p，
则在n次试验中事件A下好发生k次的概率为
),...,1,0(,)1(}{ nkppkXP
knk
k
n
C
=?==
证明：
?l?;?;@5}@D6G
!
M
e￥ V
|′1
=>? l{ $i O |?t′￥à
qsY
1
{} (1),(0,1.,)(2.8)
k
knk
n
PX k p p k n
C
==? =
则称X服从参数为n，p的二项分布，记为X~B（n,p)
当n=1时，二项分布X~B（1,p)，即为(0-1)分布例:从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.
(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.
(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.
3G5>6?5i9e ~O5C9><@69?
^9e￥s?
p1G
6,...,1,0
3
2
3
1
}{
6
6
=
==
kCkXP
kk
k
}6{}5{}5{)2( =+==≥ XPXPXP
729
13
3
1
3
2
3
1
65
5
6
=
+
=C
二项分布的分布形态由此可知，二项分布的分布
{}
{}
()
()pq
kq
kpn
kXP
kXP
=
+
+=
=
=
1
1
1
1
{}kXP =
先是随着k 的增大而增大，达到其最大值后再随着
k 的增大而减少．这个使得
{}kXP =
达到其最大值的k
0
称为该二项分布的最可能次数。
若X~B(n,p)，则可以证明：
如果(n+1)p不是整数，则k
0
=[(n+1)p];
如果(n+1)p是整数，则k
0
= (n+1)p，
或k
0
=(n+1)p-1.
例:某人射击的命中率为0.02，
他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。
泊松定理(p40),设随机变量X
n
~B(n,p),(n
＝1,2,…),且n很大，p很小，记λ=np，则
,...2,1,0,
!
}{ =≈=
ke
k
kXP
k
λ
λ
解设X表示400次独立射击中命中的次数，
则X～B(400,0.02)，故
P{X≥2}＝1－P{X＝0}－P {X＝1}
＝1－0.98
400
－(400)(0.02)(0.98
399
)=…
证明：
n
np λ=令：
()
()()( )
1
12 1
1
nk
kk
n
knk
nn
Cp p
nn n n k
knn
λλ
+
=?
null
！
kn
n
k
n
nn
k
nnk
=
λλ
1
1
1
2
1
1
1
!
null
对于固定的k，有
kk
n
n
n
n
n
n
np λλλλ===
∞→∞→∞→
limlimlim得由
n
n
n
kn
n
n
n
kn
n
n
nn
λ
λ
λλ
∞→
∞→
=
1lim1lim
λ?
=e
所以，
()
kn
n
k
n
k
n
n
ppC
∞→
1lim
12 1
lim 1 1 1 1
!
nk
k
nn
n
k
knn n n
λλ
→∞
=
null
1121
lim lim 1 1 1 lim 1
!
nk
k
n
n
nn n
k
knn
λ
λ
→∞ →∞ →∞
=
null
k
e
k
λ
λ
=
！
上题用泊松定理取λ =np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有
P{X≥2}＝1－P{X＝0}－P {X＝1}
＝1－(1＋8)e
－8
＝0.996981.
（三,）泊松(Poisson)分布P(λ)
X～P{X＝k}＝,
k＝0,1,2,… (λ>0)
λ?
λ
e
!k
k
泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，
当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数λ=np的泊松分布作业：P60,2,4,5,7,8,10
例.设某国每对夫妇的子女数X服从参数为λ的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e
-2
.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。
()
2
3}1{}0{1),(~
==+==≤ eXPXPXPpX且λ∵
}2{}1{}0{1}3{ =?=?=?=≥ XPXPXPXP
323.051
!2
2
!1
2
1
22
2
2
1
2
≈?==
eeee
解:由题意,
23
2
=?=+
λλ
λλ
eee
例,进行独立重复试验，每次成功的概率为p，
令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，
求X的分布律。
解:m=1时,
,...2,1,)1(}{
1
=?==
kppkXP
k
m>1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,…
m
pmXP == }{
P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并且在前m次试验中成功了m-1次}
,...2,1,)1(}{
11
1
++=?==∴
mmmkpppCkXP
mkmm
k
pppC
mm
m
)1(
11
=
2.3一维随机变量的分布函数一、分布函数的概念.
定义2.3.1(P42)设X是随机变量，对任意实数x，事件{X≤x}的概率P{X≤x}称为随机变量X的分布函数。
记为F(x)，即
F(x)＝P {X≤x}.
易知，对任意实数a,b (a<b),
P {a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝F(b)－F(a).
x
X
二、分布函数的性质(P43)
1、单调不减性：若x
1
<x
2
,则F(x
1
)≤F(x
2
);
2、归一性：对任意实数x，0≤F(x)≤1，且;1)x(Flim)(F,0)x(Flim)(F
xx
==+∞==?∞
+∞→?∞→
).x(F)x(Flim)0x(F
0
xx
0
0
==+
+
→
3、右连续性：对任意实数x，
一般地，对离散型随机变量
X～P{X= x
k
}＝p
k
,k＝1,2,…
其分布函数为
∑
≤
=≤=
xxk
k
k
pxXPxF
:
}{)(
例1设随机变量X具分布律如右表解
)(xF
x0
1
1 2
}{)( xXPxF ≤＝
0.30.60.1P
210X
试求出X的分布函数。
≥
<≤
<≤
<
2,1
21,7.0
10,1.0
1,0
x
x
x
x
＝
例2向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：F(x)=P{X≤x}
>
≤≤
<
≤∴
1,1
10,
0,0
)()(
x
xx
x
xXPxF＝＝
)(xF
x
10
1
当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1
当0≤x≤1时,
kxxXPxF =≤≤= }0{)(
特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1
?l?;A;>
]AA
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^
k￥"'
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μBμ?
L
e5 $ $6f
66D
-?5?5e9 $f61 =?
M
1=?
_
b
ω∈?
ωω
二维离散型随机变量二维非离散型随机变量
2.4 二维离散型随机变量定义：将n个随机变量X
1
，X
2
，...,X
n
构成一个n维向量(X
1,
X
2
,...,X
n
)称为
n维随机变量。
一维随机变量X——R
1
上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)——R
2
上的随机点坐标
n维随机变量(X
1
,X
2
,…,X
n
)———R
n
上的随机点坐标多维随机变量的研究方法也与一维类似，
用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律
?=?
M
5e9 $f6o
|à V
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5?
v
9 $?
w
69 $5v9 $w">9 $?9 $ … 65?5e9 $f61
=? ? ??
M
b
2.4.1 联合分布
?l?;A;?G ?=? ? ??
M
5e9 $f6 |5?
v
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w
6
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M
5e9 $f6￥s?
p
M
eDf￥ ós?
p;
V:1
(X,Y)～P{X＝x
i
,Y＝y
j
,}＝p
ij，
(i,j＝1,2,… )，
X
Y y
1
y
2
…y
j
…
p
11
p
12
..,P
1j
..,
p
21
p
22
..,P
2j
..,
p
i1
p
i2
..,P
ij
..,
...
.
..
...,..,..
...,..,..
联合分布律的性质(1) p
ij
≥0,i,j＝1,2,…；
(2)
1p
1i1j
ij
＝
∑∑
≥≥
x
1
x
2
x
i
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:
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oa o ?o oCV?
? |
1oe afsYV
U
1o o?￡ o#a o￥?
b p5>6
e af￥ ós? 5?69
]5?e:f?J>6;
11 2
123
4
6
6
{1,1}
15
CCC
PX Y
C
=== =
13
13
4
6
1
{1,0}
15
CC
PX Y
C
=== =
13
23
4
6
2
{0,1}
15
CC
PX Y
C
=== ={ 0,0} 0PX Y===
22
23
4
6
3
{0,2}
15
CC
PX Y
C
=== =
121
123
4
6
3
{1,2}
15
CCC
PX Y
C
=== =
X
Y
0
1
0 1 2
2
15
3
15
3
15
6
15
1
15
0
因为
{|X-Y|=1}= {(0,1),(1,0),(1,2)}
所以P {|X-Y|=1}
=2/15+1/15+3/15=6/15
定义2.4.3P(46)：设(X,Y)是二维随机变量，任意(x,y)∈R
2
,
则称
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}
为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。
2.4.2 联合分布函数
00
,yx
(){}
00
,,,yyxxyx ≤<?∞≤<?∞
几何意义：分布函数F( )
表示随机点(X,Y)落在区域中的概率。如图阴影部分：
对于(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)∈R
2
,(x
1
<x
2，
y
1
<y
2
),则
P{x
1
<X≤ x
2，
y
1
<y≤y
2
}
＝F(x
2
,y
2
)－F(x
1
,y
2
)－F (x
2
,y
1
)＋F (x
1
,y
1
).
(x
1
,y
1
)
(x
2
,y
2
)
(x
2
,y
1
)
(x
1
,y
2
)
分布函数F(x,y)具有如下性质：
0),(lim),( ==?∞?∞
∞→
∞→
yxFF
y
x
1),(lim),( ==∞∞
∞→
∞→
yxFF
y
x
且
0),(lim),( ==?∞
∞→
yxFyF
x
0),(lim),( ==?∞
∞→
yxFxF
y
(1)归一性对任意(x,y) ∈R
2
,0≤ F(x,y) ≤ 1,
(2)单调不减对任意y ∈R,当x
1
<x
2
时，
F(x
1
,y) ≤ F(x
2
,y)；
对任意x ∈R,当y
1
<y
2
时，
F(x,y
1
) ≤ F(x,y
2
).
);y,x(F)y,x(Flim)y,0x(F
0
xx
0
0
==+
+
→
).y,x(F)y,x(Flim)0y,x(F
0
yy
0
0
==+
+
→
(3)右连续对任意x∈R,y∈R,
(4)矩形不等式对于任意(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)∈R
2
,(x
1
<x
2，
y
1
<y
2
),
F(x
2
,y
2
)－F(x
1
,y
2
)－F (x
2
,y
1
)＋F (x
1
,y
1
)≥0.
反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。
例：设X与Y的联合分布列如下表，F（X，Y）是联合分布函数，求F（0，0），F（0.5，1.2)及F（0.5，2.2).
x 1 2
0 0.15 0.10
1 0.35 0.45
解：由分布函数定义可得
(0,0) ( 0,0) ( ) 0,FFXYPφ=≤≤==
(0.5,1.2) ( 0.5,1.2) ( 0,1) 0.15,FFXYPXY=≤≤====
(0.5,2.2) ( 0.5,2.2)
(0,1)(0,2)
0.25.
FFXY
PX Y PX Y
=≤≤
===+==
=
y
F
Y
(y)＝F (+∞,y)＝＝P{Y≤y}称为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.
)y,x(Flim
y +∞→
)y,x(Flim
x +∞→
2.4.3 边缘分布定义：设=?
M
5e9 $f6￥s?f
1S5e9f69 ?i
(x,y)∈R
2
，定义
F
X
(x)＝F (x,+∞)＝＝P{X≤x}
称为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数；
边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。
若随机变量X与Y的联合分布律为(p47)
(X,Y)～P{X＝x
i
,Y＝y
j
,}＝p
ij，
i,j＝1,2,…
记
P{X＝x
i
}＝p
i
.
＝，i＝1,2,…∑
≥1j
ij
p
∑
≥1i
ij
p
P{Y＝y
j
}＝p
.
j
＝，j＝1,2,…
边缘分布律则有如下定理定理2.4.2 设二维离散型随机变量(X，Y) 有联合分布律
P{X＝x
i
,Y＝y
j
,}＝p
ij，
i,j＝1,2,…则对任意两个实数x，y有
(),(),
ij
XiY j
xx yy
Fx pFy p
≤≤
==
∑∑
证明由F(x,y) 及F
X
(x)、F
Y
(y)的定义，有
1
() (,),
ii
Xiji
xxj xx
Fx PX xY p p
∞
≤= ≤
=≤<+∞= =
∑∑ ∑
1
() (,),
jj
Yi
yyi yy
Fy PX Y y p p
∞
≤= ≤
=<+∞≤= =
∑∑ ∑
推论在上述定理条件下，(X,Y)关于X和Y的边缘分布律分别是
(),1,2,
(),1,2.
ii
jj
PX x p i
PY y p j
== =
== =
null
null
边缘分布律自然也满足分布律的性质。
例.已知(X,Y)的分布律为
x\y 1 0
1 1/10 3/10
0 3/10 3/10
求X、Y的边缘分布律。
解：
x\y10p
i.
1 1/10 3/10
0 3/10 3/10
p
.j
故关于X和Y的分布律分别为：
X1 0 Y 1 0
P 2/5 3/5 P 2/5 3/5
2/5
3/5
2/5 3/5
2.5 条件分布与随机变量的独立性设随机变量X与Y的联合分布律为
(X,Y)～P{X＝x
i
,Y＝y
j
,}＝p
ij，
(i,j＝1,2,… )，
X和Y的边缘分布律分别为
,...2,1}{
1
====
∑
≥
ippxXP
j
ijii
,...2,1}{
1
====
∑
≥
jppyYP
i
ijjj
为Y＝y
j
的条件下，X的条件分布律;
,...2,1,}|{
.
|
==== j
p
p
yYxXPp
j
ij
jiji
＝
定义2.5.1(p49),设(X,Y)是二维离散型随机变量，若对固定的j(j=1,2,…),p
.
j
>0,则称同理，对固定的i (i=1,2,…),p
i
.
>0,称
,...2,1,}|{
.
|
==== j
p
p
xXyYPP
i
ij
ijij
＝
为X＝x
i
的条件下，Y的条件分布律;
条件分布律自然也满足分布律的性质。
è; $?μBo￡ o
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? |
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U
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11 2
123
4
6
6
{1,1}
15
CCC
PX Y
C
=== =
13
13
4
6
1
{1,0}
15
CC
PX Y
C
=== =
13
23
4
6
2
{0,1}
15
CC
PX Y
C
=== =
{ 0,0} 0PX Y===
22
23
4
6
3
{0,2}
15
CC
PX Y
C
=== =
121
123
4
6
3
{1,2}
15
CCC
PX Y
C
=== =
X
Y
0
1
p
.
j
0 1 2 p
i
.
2
15
3
15
3
15
6
15
1
15
0
1
3
2
3
1
15
8
15
6
15
1
联合分布与边缘分布如下表所示
]5eJ>?fJ?6
12
2
1
2
p
p
==
]5fJ>?eJ=6
01
0
2
5
p
p
==
Y|X=1 0 1 2
P
k
1
10
6
10
3
10
此时条件概率与无条件概率不相等定义2.5.2(p50),设随机变量X与Y的联合分布律为
(X,Y)～P{X＝x
i
,Y＝y
j
,}＝p
ij，
(i,j＝1,2,… )，
且对一切的i,j，均有
p
ij =
p
i
.
p
.
j
则称随机变量X与Y互相独立。
定理2.5.1,设X，Y是两个独立的离散型随机变量，
G1，G2是实数轴R上两个任意集合（它们可以相同）
则
12 1 2
(,)()()PX GY G PX GPY G∈∈=∈ ∈
证明略
6B??l ?
M
eDf? ? ?T
?i
L
nIo9pIqμ
}?nIe ≤o9pIf ≤q?J}?nIe ≤o?}?pIf ≤q? b
w
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B> ?=? ? ??
M
ef
￥ ós?f
1 F(x,y)，边缘分布函数为F
X
(x)，
F
Y
(y)，且eDf? ?5 ?i￥
L
?9?μ
F(x,y)=F
X
(x)F
Y
(y)
'
Yq?nIe ≤o?D
Yq?pIf ≤q?? ?5?
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H?s? A
^?5e9f6￥
B V
|′?9H?s?￥e??? ós
?' V b
例.已知随机变量(X,Y)的分布律为
x 1 2
0 0.15 0.15
1 a b
且知X与Y独立，求a、b的值。
y
p
.
j
p
i
.
因为(0.15+a)*0.3=0.15，所以a=0.35
同理(0.15+b)* 0.3=0.15，所以b=0.35
0.3
0.7
0.5 0.5
1
EX,设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，
求此昆虫产卵数X与下一代只数Y的联合分布律.
......
...
...
...,..,..
0
1
m
50
e
X
Y 0 1 … k … m …
0 … 0 … 0 …
… 0 … 0 …
50
10e
50
40e
50
50
0.2
!
m
m
e
m
50 1 1
50
0.8 0.2
!
m
m
m
eC
m
50
50
0.8 0.2
!
m
kk mk
m
eC
m
50
50
0.8
!
m
m
e
m
...
...
............
...,..
2.6 随机变量函数的分布
2.6.1 B? ? ??
M
f
￥s?
p
设一维离散型随机变量X的分布律为，
X～P(X＝x
i
)＝p
i
，i＝1,2,…
则Y＝g(X)～P{Y＝y
j
}＝P(X＝x
i
) ＝p
k
,
k＝1,2,…
g(x
i
)
p
i
x
i
g(x
2
)g(x
1
)Y=g(X)
p
2
p
1
p
ij
……x
2
x
1
X
注意相同值要合并例：设随机变量X具分布律如右表设
0.30.60.1P
210X
X
Y=sin
2
π
求Y的分布律。
解：Y的可能取值为0，1
X
(0)(sin 0)( 0)( 2)0.4,
2
PY P PX PX
π
== == =+ ==
X
(1) (sin 1) ( 1)0.6.
2
PY P PX
π
== == ==
2.6.2 =? ? ??
M
f
￥s?
p
设二维离散型随机变量（X，Y），
(X,Y)～P(X＝x
i
,Y＝y
j
)＝p
ij
，i,j＝1,2,…
则Z＝g(X,Y)～P{Z＝z
k
}＝＝p
k
,
k＝1,2,…
∑
=
kji
zyxgki
ij
p
),(:,
g(x
i
,y
j
)
p
14
(x
i
,y
j
)
g(x
1
,y
2
)g(x
1
,y
1
)Z=g(X,Y)
p
13
p
12
p
ij
……(x
1
,y
2
)(x
1
,y
1
)(X,Y)
例：设二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布如下，
x 1 2 3
0 0.15 0.05 0.20
1 0.10 0.25 0.25
y
求Z=XY，W=X+Y的概率分布。
321000Z
3
0.25
(1,2)
2
0.10
(1,1)
4321W
0.250.200.050.15p
ij
(1,3)(0,3)(0,2)(0,1)(X,Y)
3210Z
0.250.10 0.250.40p
4321W
0.450.15 0.250.15p
Z的概率分布：
W的概率分布：
例：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1
分布，其分布律均为
X0 1
P q p
(1) 求W＝X＋Y的分布律;
(2) 求V＝max(X,Y)的分布律；
(3) 求U＝min(X,Y)的分布律。
(4)求w与V的联合分布律。
U＝min(X,Y)
V＝max(X,Y)
W＝X＋Y
p
ij
(1,1)(1,0)(0,1)(0,0)(X,Y)
2
q
pq pq
2
p
01 1
2
1
0
0
01
V
W
0
1
0 1 2
2
q
00
0
pq2
2
p
2.6.3
M
￥ VF?
X、Y相互独立且服从相同的分布，若它们的和X+Y也服从同一分布，则称此分布具有可加性。
定理2.6.1P(54)(离散型卷积公式）设X与Y为互相独立的离散型随机变量，其可能取值均为0，1，2，…，则
Z=X+Y有分布律
0
() ()( ),0,12,.
k
i
PZ k pX iPY k i k
=
== = =? =
∑
证明：
定理2.6.2(二项分布的可加性) 设X，Y相互独立，且
X~B（m,p),Y~B（n,p),则Z=X+Y ~B（m+n,p).
证明：由二项分布的分布律及卷积公式，得
0
( ) ( ) ( ),0,1,2,...
k
i
PZ k pX iPY k i k m n
=
== = =? = +
∑
0
.
k
i i mi ki ki nki k k mnk
mn mn
i
Cpq C p q C pq
+ +?
+
=
∑
null
定理2.6.3 设X
1
，X
2
，…X
n
相互独立，且
X
i
~B（n
i
,p),则
11
(,).
nn
ii
ii
XBnp
==
∑∑
～
特别地，当X
i
~B（1,p)，有
1
(,).
n
i
i
XBnp
=
∑
～
第二章小结五个基本概念：
随机变量、概率分布、分布函数、边缘分布、条件分布两个重要分布：
二项分布、泊松分布三处难点：
二项分布与泊松分布的关系、随机变量函数的分布、
随机变量的可加性典型题分析
X 12…
n
…
P
2
1
2
2
1
…
n
2
1
…
()
==
为偶数若为奇数若
X
X
XgY
1
1
的分布律．试求随机变量Y
解：
例1:设离散型随机变量X的分布律为
{} {}
∑
==?=
为奇数n
nXPYP 1
{}
∑
∞
=
+==
0
12
k
kXP
∑
∞
=
+
=
0
12
2
1
k
k
3
2
=
{} { }
∑
===
为偶数n
nXPYP 1 {}
∑
∞
=
==
0
2
k
kXP
∑
∞
=
=
0
2
2
1
k
k
3
1
=
Y-11
P
3
2
3
1
的分布律为所以，随机变量Y
例：设随机变量X的分布函数为
}{)( xXPxF ≤＝
0,1
0.1,0 1
0.7,1 4
1,4
x
x
x
x
<
≤<
≤<
≥
＝
求X的分布律.
例：实验器具中产生甲、乙两类细菌的机会是相等的，且产生的细菌数X服从参数为λ的泊松分布，试求(1)产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；(2)在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率。
解：由题意知X的分布律为
{},0,12,.
!
k
PX k e k
k
λ
λ
== =
产生k个细菌且全是甲类细菌的概率为
1
()
!2
k
k
e
k
λ
λ
产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率的概率为
2
1
1
() ( 1)
!2
k
k
k
peee
k
λ
λλ
λ
∞
=
==?
∑
P{有2个乙类细菌|产生的细菌中无甲类}=
2
22
22
11 1
(1) (1)
22 8
eee e
λλ
λλ
=?
例：假设某地在任何长为t(周)的时间发生地震的次数N(t)
服从参数为λt的泊松分布，
(1)设T表示直到下一次地震发生所需的时间(单位：周)，
求T的概率分布；
(2)求在相邻两周内到少发生3次地震的概率；
(3)求在连续8周无地震的情形下，在未来8周中仍无地震的概率。
解：由题意知N(t)的分布律为
{ ( ) },0,1,2,...
!
k
PNt k e k
k
λ
λ
== =
对任意t有
{}{()0}
t
PT t PNt e
λ?
>= ==
所以(1)T的分布函数为
()1,0(0)
()
0,0
t
pT t e t
Ft
t
λ
λ
≤=? > >
=
≤
(2)
22
{(2) 3}1(12 2 )PN e
λ
λλ
≥=?++
(3)
16
8
8
( 16)
{16| 8}
(8)
t
t
t
pT e
PT T e
PT e
≥
≥≥= ==
≥
例：设X、Y是独立且同服从参数为λ的泊松分布的随机变量，分别求M=max{X,Y}和
N=min{X,Y}的分布律。
类似求N的概率分布，N的可能取值0,1,2,…
11
00 00
2
1
22
2
0
()(,)(,)
(,) (,)
!!!!
2,0,1,2,...
!! (!)
kkkk
kk kk
ji ji
kk k
k
j
pM k PX kY X PX YY k
PX kY j PX iY k e e e e
kjki
eee k
kj k
λλλλ
λλλ
λλλλ
λλ
== ==
=
== = ≤+ < =
=+=== +
=+=
∑∑ ∑∑
∑
解：先求M的概率分布，M的可能取值0,1,2,…
11
2
22
2
1
()(,)(,)
(,) (,)
!!! !
2,0,1,2,...
!!(!)
kkk k
jk ik jk ik
kk k
jk
pN k PX kY X PX YY k
PX kY j PX iY k e e e e
kjk i
eee k
kj k
λλλ λ
λλλ
λλλ λ
λλ
∞∞ ∞∞
==+ ==+
∞
=+
== = ≥+ > =
=+ === +
=+=
∑∑ ∑∑
∑
例：设X、Y都是取整数值的随机变量，（X、Y）的联合分布律为：
(1 )
,
(,)
!( )!
0,,
0,0 1
nm nm
pp
emn
PX nY m
mnm
mn
p
λ
λ
λ
≤
===
>
><<
求X及Y的边缘分布律。
解：
00
0
(1 )
P(X=n)= (,)
!( )!
(1 ),0,1,2,...
!!
nm nm
nn
mm
n
mm nm
n
m
pp
PX nY m e
mnm
ee
Cp p n
nn
λ
λλ
λ
==
=
===
=?==
∑∑
∑
(1 )
(1 )
P(Y=m)= (,)
!( )!
() (1 ) ()
!()! !
()
,0,1,2,...
!
nm nm
nm nm
mnmnmm
p
nm
mp
pp
PX nY m e
mnm
pe p pe
e
mnmm
pe
m
m
λ
λλ
λ
λ
λ
λλ λ
λ
∞∞
==
∞
=
===
==
==
∑∑
∑
