?
Bc
?
Bc
?d9'?
M
?d9'?
M
开课系：数学学院主讲教师：刘亚平
Email:yapingliu66@tom.com
§6.1 总体和样本
1,总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。
个体：总体中的每个元素为个体。
例如：某工厂生产的电视机的寿命是一个总体，每一台电视机的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。
2,样本：来自总体的部分个体X
1
，
…
，X
n
如果满足：
（1）随机性：X
i
，i=1,…,n与总体同分布.
（2）独立性：X
1
，…，X
n
相互独立；
则称为容量为n 的简单随机样本，简称样本。
而称X
1
，…，X
n
的一次观察结果为样本观察值，
记为x
1
，…，x
n
来自总体X的随机样本X
1
，
…
，X
n
可记为（X
1
，
…
，
X
n
)为n维随机变量。且它们相互独立服从相同分布。
显然，样本联合分布函数为
∏
=
=
n
i
in
xFxxxF
1
21
*
)(),,,( null
∏
=
=
n
i
in
xfxxxf
1
21
*
)(),,,( null
(1)当总体X~f(x)，则（X
1
，
…
，X
n
)的联合密度为
(2)当总体X~P(X=x
i
)=p
i
，则（X
1
，
…
，X
n
)的联合分布列为
112 2
1
(,,,)
n
nn i
i
PX x X x X x p
=
== ==
∏
null
§6.3 统计量及三种常用分布
6.3.1 统计量定义6.3.1P(163)：设(X
1
，
…
，X
n
)为来自总体X的一个容量为n的样本，g (X
1
，
…
，X
n
)是
(X
1
，
…
，X
n
)的函数，且g中不含任何未知参数，
则称这类样本函数为统计量。
例:
.
.)(;
)(;;
2
);,,,min(
1
2
2
1
11
21
σ
μ
σ
μ
n
nXXXX
n
XXXX
XXX
nn
nn
n
+++
+++
null
null
null
设 为来自总体的一个样本，
问下列随机变量中哪那些是统计量
n
XX null,
1
),(~
2
σμNX
已知，未知其中
2
,σμ
(1)统计量是随机变量;
(2)样本观察值x
1
，…，x
n
代入统计量，得统计观察值g(x
1
，…，x
n
)。
几个常用的统计量：
,
1
.1
1
∑
=
=
n
i
i
X
n
X样本均值
3.样本k阶矩
1
1
1
1
(),
n
k
k
i
i
n
k
k
i
i
AX
n
BXX
n
=
=
=
=?
∑
∑
原 矩中心矩点
,)(
)(
1
1
.2
2
1
22
SS
XX
n
S
n
i
i
=
=
∑
=
标准差样本均方差样本方差
22
1
1
[]
1
n
i
i
XnX
n
=
=?
∑
它们的观察值分别为：
∑
=
=
n
i
i
x
n
x
1
1
][
1
1
)(
1
1
1
2
2
1
22
∑∑
==
=?
=
n
i
i
n
i
i
xnx
n
xx
n
s
∑
=
=
n
i
i
xx
n
s
1
2
)(
1
1
null2,1,
1
1
==
∑
=
kx
n
a
n
i
k
ik
null2,1,)(
1
1
=?=
∑
=
kxx
n
b
n
i
k
ik
1、χ
2
分布统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布：
χ
2
—分布、t —分布和F—分布。
定义6.3.2P(164)：设(X
1
，
…
，X
n
)为来自标准正态总体N(0,1)的样本，称统计量
22
1
n
i
i
Xχ
=
=
∑
所服从的分布是自由度为n的χ
2
分布，记作χ
2
~ χ
2
(n).
6.3.2 三种常用分布定理6.3.1 χ
2
(n)分布实质上就是参数为n/2,1/2的Γ分布，
即χ
2
(n)的密度函数为
/2
1
1
22
2(/2)
,0
()
0,0
n
nx
n
xe x
fx
x
Γ
>
=
≤
性质：(p165)
(1)可加性若χ
2
~ χ
2
(n
1
)，χ
2
~ χ
2
(n
2
)，且χ
1
2
，
χ
2
2
独立，则χ
1
2
+ χ
2
2
~ χ
2
(n
1
+n
2
).
一般地，若χ
i
2
~ χ
2
(n
i
)且互相独立，(i=1,2,3…)，则
22
11
()
nn
ii
ii
nχχ
==
∑∑
～
(2)期望与方差若χ
2
~ χ
2
(n)，则
E(χ
2
)= n，D(χ
2
)=2n
χ
2
(n)~Γ(n/2，1/2)
分位点设X~ χ
2
(n)，若对于α：0<α<1，
存在
0)(
2
>n
α
χ
满足
,)}({
2
αχ
α
=≥ nXP
则称
)(
2
n
α
χ
为)(
2
nχ
分布的上α分位点。
)(
2
n
α
χ
定义6.3.3P(106):若X~N(0,1),Y~χ
2
(n),X与
Y独立，则
~().
/
X
Ttn
Yn
=
t(n)称为自由度为n的t分布。记作t~t(n)
2、t 分布可以证明t(n) 的概率密度函数为
1
2
2
1
()
2
() (1 ),
()
2
n
n
t
ft t
n
n
nπ
+
+
Γ
=+?∞<∞
Γ
基本性质,
(1) f(t)关于t=0(纵轴)对称。
(2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即
∞<<?∞
π
=?=
∞→
x,e
2
1
)t()t(flim
2
t
n
2
lim ( ) (0,1)
n
tn N
→∞
=或分位点设T～t(n)，若对α:0<α<1,存在t
α
(n)>0，满足
P{T≥t
α
(n)}=α，则称t
α
(n)为t(n)的上侧分位点
)(nt
α
1
() ()tn tn
αα?
=?
45
(),
n
tn
αα
μ
>
≈
，
当时
()tn
α?
3、F 分布
定义6.3.4P(106):设随机变量X
1
~χ
2
(n
1
)，
X
2
~χ
2
(n
2
)，且X
1
，X
2
独立，则
).n,n(F~
n/
n/
F
21
22
11
η
η
=
称为第一自由度为n
1
，第二自由度为n
2
的F—
分布,其概率密度为
1
1
1 12
1
/2
12
2
12
()/2
21
2
2
()(/)
2
,0
()
()( )(1 )
2
0,0
n
n
n nn
nn
nn x
x
nn
fx
x
n
x
+
+
Γ
>
=
ΓΓ +
≤
F分布的分位点对于α：0<α<1，
若存在F
α
(n
1
,n
2
)>0，
满足
P{F≥F
α
(n
1
,n
2
)}=α，
则称F
α
(n
1
,n
2
)为
F(n
1
,n
2
)的上侧α分位点；
),(
21
nnF
α
),(
1
),(
12
211
nnF
nnF
α
α
=
§6.4 抽样分布定理
6.4.1 一个总体的统计量的分布
1
1
,
n
i
i
XX
n
=
=
∑
22
1
1
()
1
n
i
i
SXX
n
=
=?
∑
定理6.4.1：设总体X有E(X)=μ，D(X)=σ2，
X
1
，
…
，X
n
为来自总体X的一个容量为n的样本，则
2
(),()EX DX
n
σ
μ==
定理6.4,2：设总体X~N(0,1)，X
1
，
…
，X
n
为来自总体X的一个容量为n的样本，则
2
(1) ~ (,)XN
n
σ
μ
(2) ~ (0,1)
/
X
N
n
μ
σ
定理6.4.3：设总体X~N(μ，σ
2
)，X
1
，
…
，X
n
为来自总体X的一个容量为n的样本，记
2
2
1
1
()
n
i
i
YXμ
σ
=
=?
∑
则
2
()Ynχ～
定理6.4.4：设总体X~N(μ，σ
2
)，X
1
，
…
，X
n
为来自总体X的一个容量为n的样本，则
(2)
(1) 与S
2
独立；
X
2
2
2
(1)
~(1)
nS
nχ
σ
定理6.4.5：设总体X~N(μ，σ
2
)，X
1
，
…
，X
n
为来自总体X的一个容量为n的样本，则
~( 1)
/
X
tn
Sn
μ?
定理6.4.6：设X
1
，
…
，X
n
为来自任意总体X的一个容量为n的样本，若E(X)=μ，D(X)=σ
2
>0存在，当n较大时，近似地有
2
(1) ~ (,)XN
n
σ
μ
(2) ~ (0,1)
/
X
N
Sn
μ?
6.4.2 两个总体的统计量的分布（总体X与Y独立）
1
1
,
n
i
i
YY
n
=
=
∑
1
1
,
n
i
i
XX
n
=
=
∑
1
22
1
1
1
1
()
1
n
i
i
SXX
n
=
=?
∑
2
22
2
1
2
1
()
1
n
i
i
SYY
n
=
=?
∑
定理6.4.7：设两独立总体X~N(μ
1
，σ
1
2
)，Y~N(μ
2
，σ
2
2
)，
则统计量
22
12
12
12
~(,)XY N
nn
σσ
μμ +
从而有
12
22
12
12
()
~(0,1)
XY
N
nn
μμ
σσ
+
例：在两互相独立的总体N(30，15)以及N(40,10)中分别抽取容量为15,20的两个样本，求它们的样本均值的绝对值不大于12的概率。
15 10
~ (30 40,) ( 10,1.5)
15 20
XYN N+=?
定理6.4.8：设两独立且等方差总体X~N(μ
1
，σ
2
)，
Y~N(μ
2
，σ
2
)，则统计量
12
12
12
()
(1) ~ ( 2)
11
W
XY
Ttn
S
nn
μμ
=+?
+
其中
22
112 2
12
(1) ( 1)
2
W
nSnS
S
nn
+?
=
+?
2
1
12
2
2
(2) ~ ( 1,1)
S
Fn n
S
Bc
?
Bc
?d9'?
M
?d9'?
M
开课系：数学学院主讲教师：刘亚平
Email:yapingliu66@tom.com
§6.1 总体和样本
1,总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。
个体：总体中的每个元素为个体。
例如：某工厂生产的电视机的寿命是一个总体，每一台电视机的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。
2,样本：来自总体的部分个体X
1
，
…
，X
n
如果满足：
（1）随机性：X
i
，i=1,…,n与总体同分布.
（2）独立性：X
1
，…，X
n
相互独立；
则称为容量为n 的简单随机样本，简称样本。
而称X
1
，…，X
n
的一次观察结果为样本观察值，
记为x
1
，…，x
n
来自总体X的随机样本X
1
，
…
，X
n
可记为（X
1
，
…
，
X
n
)为n维随机变量。且它们相互独立服从相同分布。
显然，样本联合分布函数为
∏
=
=
n
i
in
xFxxxF
1
21
*
)(),,,( null
∏
=
=
n
i
in
xfxxxf
1
21
*
)(),,,( null
(1)当总体X~f(x)，则（X
1
，
…
，X
n
)的联合密度为
(2)当总体X~P(X=x
i
)=p
i
，则（X
1
，
…
，X
n
)的联合分布列为
112 2
1
(,,,)
n
nn i
i
PX x X x X x p
=
== ==
∏
null
§6.3 统计量及三种常用分布
6.3.1 统计量定义6.3.1P(163)：设(X
1
，
…
，X
n
)为来自总体X的一个容量为n的样本，g (X
1
，
…
，X
n
)是
(X
1
，
…
，X
n
)的函数，且g中不含任何未知参数，
则称这类样本函数为统计量。
例:
.
.)(;
)(;;
2
);,,,min(
1
2
2
1
11
21
σ
μ
σ
μ
n
nXXXX
n
XXXX
XXX
nn
nn
n
+++
+++
null
null
null
设 为来自总体的一个样本，
问下列随机变量中哪那些是统计量
n
XX null,
1
),(~
2
σμNX
已知，未知其中
2
,σμ
(1)统计量是随机变量;
(2)样本观察值x
1
，…，x
n
代入统计量，得统计观察值g(x
1
，…，x
n
)。
几个常用的统计量：
,
1
.1
1
∑
=
=
n
i
i
X
n
X样本均值
3.样本k阶矩
1
1
1
1
(),
n
k
k
i
i
n
k
k
i
i
AX
n
BXX
n
=
=
=
=?
∑
∑
原 矩中心矩点
,)(
)(
1
1
.2
2
1
22
SS
XX
n
S
n
i
i
=
=
∑
=
标准差样本均方差样本方差
22
1
1
[]
1
n
i
i
XnX
n
=
=?
∑
它们的观察值分别为：
∑
=
=
n
i
i
x
n
x
1
1
][
1
1
)(
1
1
1
2
2
1
22
∑∑
==
=?
=
n
i
i
n
i
i
xnx
n
xx
n
s
∑
=
=
n
i
i
xx
n
s
1
2
)(
1
1
null2,1,
1
1
==
∑
=
kx
n
a
n
i
k
ik
null2,1,)(
1
1
=?=
∑
=
kxx
n
b
n
i
k
ik
1、χ
2
分布统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布：
χ
2
—分布、t —分布和F—分布。
定义6.3.2P(164)：设(X
1
，
…
，X
n
)为来自标准正态总体N(0,1)的样本，称统计量
22
1
n
i
i
Xχ
=
=
∑
所服从的分布是自由度为n的χ
2
分布，记作χ
2
~ χ
2
(n).
6.3.2 三种常用分布定理6.3.1 χ
2
(n)分布实质上就是参数为n/2,1/2的Γ分布，
即χ
2
(n)的密度函数为
/2
1
1
22
2(/2)
,0
()
0,0
n
nx
n
xe x
fx
x
Γ
>
=
≤
性质：(p165)
(1)可加性若χ
2
~ χ
2
(n
1
)，χ
2
~ χ
2
(n
2
)，且χ
1
2
，
χ
2
2
独立，则χ
1
2
+ χ
2
2
~ χ
2
(n
1
+n
2
).
一般地，若χ
i
2
~ χ
2
(n
i
)且互相独立，(i=1,2,3…)，则
22
11
()
nn
ii
ii
nχχ
==
∑∑
～
(2)期望与方差若χ
2
~ χ
2
(n)，则
E(χ
2
)= n，D(χ
2
)=2n
χ
2
(n)~Γ(n/2，1/2)
分位点设X~ χ
2
(n)，若对于α：0<α<1，
存在
0)(
2
>n
α
χ
满足
,)}({
2
αχ
α
=≥ nXP
则称
)(
2
n
α
χ
为)(
2
nχ
分布的上α分位点。
)(
2
n
α
χ
定义6.3.3P(106):若X~N(0,1),Y~χ
2
(n),X与
Y独立，则
~().
/
X
Ttn
Yn
=
t(n)称为自由度为n的t分布。记作t~t(n)
2、t 分布可以证明t(n) 的概率密度函数为
1
2
2
1
()
2
() (1 ),
()
2
n
n
t
ft t
n
n
nπ
+
+
Γ
=+?∞<∞
Γ
基本性质,
(1) f(t)关于t=0(纵轴)对称。
(2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即
∞<<?∞
π
=?=
∞→
x,e
2
1
)t()t(flim
2
t
n
2
lim ( ) (0,1)
n
tn N
→∞
=或分位点设T～t(n)，若对α:0<α<1,存在t
α
(n)>0，满足
P{T≥t
α
(n)}=α，则称t
α
(n)为t(n)的上侧分位点
)(nt
α
1
() ()tn tn
αα?
=?
45
(),
n
tn
αα
μ
>
≈
，
当时
()tn
α?
3、F 分布
定义6.3.4P(106):设随机变量X
1
~χ
2
(n
1
)，
X
2
~χ
2
(n
2
)，且X
1
，X
2
独立，则
).n,n(F~
n/
n/
F
21
22
11
η
η
=
称为第一自由度为n
1
，第二自由度为n
2
的F—
分布,其概率密度为
1
1
1 12
1
/2
12
2
12
()/2
21
2
2
()(/)
2
,0
()
()( )(1 )
2
0,0
n
n
n nn
nn
nn x
x
nn
fx
x
n
x
+
+
Γ
>
=
ΓΓ +
≤
F分布的分位点对于α：0<α<1，
若存在F
α
(n
1
,n
2
)>0，
满足
P{F≥F
α
(n
1
,n
2
)}=α，
则称F
α
(n
1
,n
2
)为
F(n
1
,n
2
)的上侧α分位点；
),(
21
nnF
α
),(
1
),(
12
211
nnF
nnF
α
α
=
§6.4 抽样分布定理
6.4.1 一个总体的统计量的分布
1
1
,
n
i
i
XX
n
=
=
∑
22
1
1
()
1
n
i
i
SXX
n
=
=?
∑
定理6.4.1：设总体X有E(X)=μ，D(X)=σ2，
X
1
，
…
，X
n
为来自总体X的一个容量为n的样本，则
2
(),()EX DX
n
σ
μ==
定理6.4,2：设总体X~N(0,1)，X
1
，
…
，X
n
为来自总体X的一个容量为n的样本，则
2
(1) ~ (,)XN
n
σ
μ
(2) ~ (0,1)
/
X
N
n
μ
σ
定理6.4.3：设总体X~N(μ，σ
2
)，X
1
，
…
，X
n
为来自总体X的一个容量为n的样本，记
2
2
1
1
()
n
i
i
YXμ
σ
=
=?
∑
则
2
()Ynχ～
定理6.4.4：设总体X~N(μ，σ
2
)，X
1
，
…
，X
n
为来自总体X的一个容量为n的样本，则
(2)
(1) 与S
2
独立；
X
2
2
2
(1)
~(1)
nS
nχ
σ
定理6.4.5：设总体X~N(μ，σ
2
)，X
1
，
…
，X
n
为来自总体X的一个容量为n的样本，则
~( 1)
/
X
tn
Sn
μ?
定理6.4.6：设X
1
，
…
，X
n
为来自任意总体X的一个容量为n的样本，若E(X)=μ，D(X)=σ
2
>0存在，当n较大时，近似地有
2
(1) ~ (,)XN
n
σ
μ
(2) ~ (0,1)
/
X
N
Sn
μ?
6.4.2 两个总体的统计量的分布（总体X与Y独立）
1
1
,
n
i
i
YY
n
=
=
∑
1
1
,
n
i
i
XX
n
=
=
∑
1
22
1
1
1
1
()
1
n
i
i
SXX
n
=
=?
∑
2
22
2
1
2
1
()
1
n
i
i
SYY
n
=
=?
∑
定理6.4.7：设两独立总体X~N(μ
1
，σ
1
2
)，Y~N(μ
2
，σ
2
2
)，
则统计量
22
12
12
12
~(,)XY N
nn
σσ
μμ +
从而有
12
22
12
12
()
~(0,1)
XY
N
nn
μμ
σσ
+
例：在两互相独立的总体N(30，15)以及N(40,10)中分别抽取容量为15,20的两个样本，求它们的样本均值的绝对值不大于12的概率。
15 10
~ (30 40,) ( 10,1.5)
15 20
XYN N+=?
定理6.4.8：设两独立且等方差总体X~N(μ
1
，σ
2
)，
Y~N(μ
2
，σ
2
)，则统计量
12
12
12
()
(1) ~ ( 2)
11
W
XY
Ttn
S
nn
μμ
=+?
+
其中
22
112 2
12
(1) ( 1)
2
W
nSnS
S
nn
+?
=
+?
2
1
12
2
2
(2) ~ ( 1,1)
S
Fn n
S
