? ?c
? ?c
???
M
???
M
开课系：数学学院主讲教师：刘亚平
Email:yapingliu66@tom.com
3.1 一维连续型随机变量及其分布
1,定义5}CA6对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-∞<x<+∞)，使对任意实数a，b(a<b)
，都有
()()
b
a
Pa X b f xdx<≤
∫
＝
则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数,
常记为X～f(x),(-∞<x<+∞)
3.1.1 一维概率密度密度函数的几何意义为
()()
b
a
Pa X b f xdx<≤
∫
＝
2,密度函数的性质
(1) 非负性f(x)≥0，(-∞<x<∞)；
(2) 归一性
.1)(＝
∫
+∞
∞?
dxxf
性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；
x
aexf
=)(
设随机变量X的概率密度为求常数a.
答:
2
1
=a
f (x)
0
x
1
?i
L
p ?e j s5?65,∞I?I ∞65
P{X=c}" 0 b?
^
∫
≤≤
<≤<<
b
a
dxxfbXaP
bXaPbXaP
)(}{
}{}{
＝＝
＝
连续型随机变量取单个值的概率为零连续型随机变量的一个重要特点:
我们不能认为：{}()！afaXP ==
例：设X 是连续型随机变量，其密度函数为
()
()
<<?
=
其它0
2024
2
xxxc
xf
解：⑴．由密度函数的性质；求：⑴．常数c
{}．⑵．1>XP
() 1=
∫
+∞
∞?
dxxf
()
∫
+∞
∞?
= dxxf1得
() () ()
∫∫∫
+∞
∞?
++=
2
2
0
0
dxxfdxxfdxxf
()
∫
=
2
0
2
24 dxxxc
2
0
32
3
2
2
= xxc c
3
8
=
8
3
=c所以，
{} ()
∫
+∞
=>
1
1 dxxfXP⑵．() ()
∫∫
+∞
+=
2
2
1
dxxfdxxf
()
∫
=
2
1
2
24
8
3
dxxx
2
1
32
3
2
2
8
3
= xx
2
1
=
例：某电子元件的寿命（单位：小时）是以
()
>
≤
=
100
100
1000
2
x
x
x
xf
为密度函数的连续型随机变量．求5 个同类型的元件在使用的前150 小时内恰有2 个需要更换的概率.
解：设：A={ 某元件在使用的前150 小时内需要更换}
() { }150≤= XPAP则检验5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5
重Bernoulli试验．
B={ 5 个元件中恰有2 个的使用寿命不超过150
小时}
( )
∫
∞?
=
150
dxxf
∫
=
150
100
2
100
dx
x
3
1
=
()
32
2
5
3
2
3
1
×
×= CBP则
243
80
=
3.1.2 一维连续型分布函数若X是连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则X的分布函数为
() ( ) (),
x
Fx PX x ftdt x
∞
=≤=?∞<<+∞
∫
连续型随机变量的分布函数一定是连续的。
定理：设随机变量X的分布函数为F(x),
密试函数为f(x),若x是f(x)的连续点，则
)(
)(
xf
dx
xdF
=
的密度函数为设随机变量X
()
<<?
≤<
=
其它0
212
10
xx
xx
xf
的分布函数．试求X
解：
() ()
∫
∞?
=≤
x
dttfxFx时，当0
0=
() ()
∫
∞?
=≤<
x
dttfxFx时，当10
() ()
∫∫
+=
∞?
x
dttfdttf
0
0
例：
∫
=
x
tdt
0
2
2
x
=
() ()
∫
∞?
=<<
x
dttfxFx时，当21
() () ()
∫∫∫
++=
∞?
x
dttfdttfdttf
1
1
0
0
()
∫∫
+=
x
dtttdt
1
1
0
2
12
2
1
2
+?= xx
() ()
∫
∞?
=>
x
dttfxFx时，当2
() () () ()
∫∫∫∫
+++=
∞?
x
dttfdttfdttfdttf
2
2
1
1
0
0
()
∫∫
+=
2
1
1
0
2 dtttdt
1=
的分布函数量综上所述，可得随机变X
()
≤
<<?+?
≤<
≤
=
x
xx
x
x
x
x
xF
21
2112
2
10
2
00
2
2
的分布函数为设连续型随机变量X
() ()+∞<<∞?+= xarctgxxF
π
1
2
1
的密度函数．试求X
解：
()，则的密度函数为设xfX
() ()xFxf
′
=
()+∞<<∞?
+
= x
x
2
1
11
π
例：
1．均匀分布定义3.2.1P(68):若随机变量X 的密度函数为
()
≤≤
=
其它0
1
bxa
ab
xf
记作X ~ U [a,b]
3.2 几种常用的连续型随机变量则称随机变量X服从区间[a，b]上的均匀分布。
均匀分布的概率背景
[]
[]
该子区间的位置无关．间的长度成正比，而与取值的概率与该子区上的任意一个子区间上，在区间变量上的均匀分布，则随机，服从区间如果随机变量
baX
baX
[]上取值是等可能的．，在区间量这时，可以认为随机变baX
X
X
a
b
x
l
l
0
∫
+
=+≤<
lc
c
dxxflcXcP )(}{
.
1
ab
l
dx
ab
lc
c
=
=
∫
+
均匀分布的分布函数
[]
的分布函数为则上的均匀分布，，服从区间若随机变量
X
baX
()
<
≤≤
<
=
xb
bxa
ab
ax
ax
xF
1
0
ab
x
F (x)
0
1
例：设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是7:00 到7:30
之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
[]上的均匀分布．，服从区间则300X
其密度函数为
()
≤≤
=
其它0
300
30
1
x
xf
解：设该乘客于7时X分到达此站令：B={ 候车时间不超过5分钟}
() { } { }30251510 ≤≤+≤≤= XPXPBP则
∫∫
+=
30
25
15
10
30
1
30
1
dxdx
3
1
=
2．指数分布定义3.2.2p(69):如果随机变量X 的密度函数为
()
≤
>
=
00
0
x
xe
xf
xλ
λ
的指数分布．参数为服从为常数，则称随机变量其中
λ
λ 0>
记作X ~ e(λ)
()是其密度函数，则有：的指数分布，参数为设xfX λ~
()；，有⑴．对任意的0≥xfx
() () ()
∫∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+=
0
0
dxxfdxxfdxxf⑵．
∫
+∞
=
0
dxe
xλ
λ．1=
由此可知，
0
x
e
λ
+∞
=?
()确是一密度函数．
≤
>
=
00
0
x
xe
xf
xλ
λ
指数分布的分布函数的分布函数为则指数分布，服从参数若随机变量
X
X λ
()
>?
≤
=
01
00
xe
x
xF
xλ
例:
分钟之间的概率．钟到分话间，求你需等待好在你前面走进公用电
．如果某人刚为参数的指数随机变量以
（单位：分钟）是间设打一次电话所用的时
20
10
10
1
=λ
X
解：
的密度函数为X
()
≤
>
=
00
0
10
1
10
x
xe
xf
x
() { }2010 ≤≤= XPBP则令：B={ 等待时间为10~20分钟}
∫
=
20
10
10
10
1
dxe
x
20
10
10
10
1
x
e
=
21
= ee
2325.0=
()
()
≤
>
Γ
=
00
0
1
x
xex
r
xf
xr
r
λ
λ
()
~XrλΓ，
3,Γ-分布.
定义,如果随机变量X 的密度函数为
(其中r>0，λ>0为参数)
则称随机变量X服从参数为(r,λ)的Γ-分布.
记作：
Γ-函数
()
∫
+∞
=Γ
0
1
dxexr
xr
() ()
1rrrΓ+=Γ．
()．，π=
Γ=Γ
2
1
11
() ( )
1nnΓ=?！．
Γ-函数的定义：
Γ-函数的定义域：(0,+ )
∞
Γ-函数的性质：
如果n为自然数，则
()，得，则由如果111 =Γ=r ()
≤
>
=
00
0
x
xe
xf
xλ
λ
的指数分布．这正是参数为λ
分布的一个特例．这说明指数分布是?Γ
说明：
() ( )
1rn n n=Γ=?如果，由！得
()
()
≤
>
=
00
0
!1
1
x
xex
n
xf
xn
n
λ
λ
要的分布之一．分布，它是排队论中重我们称此分布为Erlang
(1)
(2)
为自然数，则有，其中，如果n
n
r
2
1
2
== λ
()
≤
>
Γ
=
00
0
2
2
1
2
1
2
2
x
xex
n
xf
xn
n
()
的分布之一．它是数理统计学中重要
．分布，记作的为我们称此分布为自由度nn
22
χχ?
(3)
4．正态分布
()
()
()+∞<<∞?=
xexf
x
2
2
2
2
1
σ
μ
σπ
，为参数，其中0>+∞<<∞?σμ
( )
2
~ σμ，NX
x
f (x)
0
μ
定义,如果随机变量X 的密度函数为则称随机变量X服从参数为( )的正态分布.
2
,μσ
记作：
() ()+∞<<∞?=
xex
x
2
2
2
1
π
标准正态分布的密度函数为若
2
0,1μσ==
，我们称N(0，1)为标准正态分布。
()
()
()+∞<<∞?
>=
x
exf
x
0
2
1
2
2
2σ
μ
σπ
()
()
1
2
1
2
2
2
==
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
dxedxxf
x
σ
μ
σπ
密度函数的验证设
()
2
~XNμσ，
，f(x)是其密度函数，则有：
下面验证：
() 1
2
1
2
2
==
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
dxedxx
x
π
2
2
2
x
Iedxπ
+∞
∞
==
∫
首先验证：
或验证：
2
2
2
2
2
x
Iedxπ
+∞
∞
==
∫
∫∫∫
∞+
∞?
∞+
∞?
∞+
∞?
=
dyedxedxe
yxx
22
2
2
222
dydxee
yx
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
=
22
22
dydxe
yx
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+
=
2
22
现在需要证明：
cos sinxr yrθθ==，，
2
2
2
2
00
r
Iderd
π
θ
+∞
=
∫∫
+∞
=
0
2
2
2
r
eπ π2=
2
2
2
x
edx π
+∞
∞
=
∫
作极坐标变换：
则有因此，
综上所述，
()
()
()+∞<<∞?=
xexf
x
2
2
2
2
1
σ
μ
σπ
()
是一个密度函数．
确本条件，因此满足密度函数的两项基xf
正态分布密度函数的图形性质
()
()
()
我们有：由高等数学中的知识，
数对于正态分布的密度函
+∞<<∞?=
xexf
x
2
2
2
2
1
σ
μ
σπ
{}{}hXPXhP
h
x
+≤<=≤<?
>
=
μμμμ
μ
，有这表明：对于任意的对称，⑴．曲线关于直线
0
x
f (x)
0
μh?μ
h+μ
()
()
()
越小．落在该区间中的概率就变量越远时，随机间离同样长度的区间，当区对于的值就越小．这表明，越远，离取到最大值时，⑵．当
X
xfx
f
xfx
μ
μ
σπ
μ
μ
2
1
=
=
()
()轴为渐近线．以曲线处有拐点；在⑶．曲线
Oxxfy
xxfy
=
±==σμ
()
()
确定．
所图形的位置完全由参数因此其形状．轴平行移动，但不改变图形沿的的值，则固定，而改变⑷．若
μ
μσ
xfy
x
xf
=
()
()
()
()
的取值越分散．形越平坦，这表明的图越大时，，当附近的概率越大；反之落在图形越陡，因而越小时，可知，当的最大值为的值，由于固定，而改变⑸．若
X
xfy
Xxfy
f
xf
=
=
=
σμ
σ
σπ
μ
σμ
2
1
x
f (x)
0
μ
1
μ
正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：
⑴．正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，
则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．
⑵．正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的．
⑶．正态分布可以作为许多分布的近似分布．
标准正态分布
()，则其密度函数为，如果随机变量10~ NX
() ()∞+∞?=
,
2
1
2
2
x
ex
π
() () ()+∞<<∞?==Φ
∫∫
∞?
∞?
xdtedttx
x tx
2
2
2
1
π
其分布函数为
a
S?
s?V b
() { }xXPxx ≤=Φ≥我们可直接查表求出对于0
() ()
∫∫
∞?
∞?
==?Φ
x tx
dtedttx
2
2
2
1
π
，我们可由公式如果0<x
，得，作变换dudtut?=?=
()
∫
∞+
=?Φ
x u
duex
2
2
2
1
π
∫
+∞
=
x
u
due
2
2
2
1
π
∫
∞?
=
x u
due
2
2
2
1
1
π
()xΦ?=1
x0
)(x?
x-x
正态分布与标准正态分布的关系
() )1,0(~~
2
N
X
YNX
σ
μ
σμ
=，则，设
() { } }{ y
X
PyYPyF
Y
≤
=≤=
σ
μ
()
∫
+
∞?
=
y t
dte
σμ
σ
μ
σπ
2
2
2
2
1
，代入上式，得，则作变换
σσ
μ dt
du
t
u =
=
()
∫
∞?
=
y
u
Y
dueyF
2
2
2
1
π
()yΦ=
}{ yXP σμ+≤=
=≤=∴ }{)( xXPxF
X
)(}{
σ
μ
σ
μ
σ
μ?
Φ=
≤
xxX
P
()函数．是标准正态分布的分布其中，xΦ
).()
-b
(b}X P{a
,
σ
μ
σ
μ?
Φ?Φ=<<
<
a
ba有故对任意的
=≤=∴ }{)( xXPxF
X
)(}{
σ
μ
σ
μ
σ
μ?
Φ=
≤
xxX
P
例:
()
{}{ }．；⑵．⑴．
，试求：，设随机变量
2121
10~
<<?<≤ XPXP
NX
解：
{}()()1221 Φ?Φ=<≤ XP⑴．
84134.097725.0?=
13591.0=
{}()()1221?Φ?Φ=<≤? XP⑵．
() ()[]112 ΦΦ=
84134.0197725.0 +?=
81859.0=
()
{}{}{}．；⑶．；⑵．⑴．
，试求：，设随机变量
06251
92~
>>?<≤ XPXPXP
NX
解：
{} )1()5(51 FFXP?=<≤⑴．
)
3
21
()
3
25
(
Φ?
Φ= ()
Φ?Φ=
3
1
1
() 1
3
1
1?
Φ+Φ=
162930.084134.0?+=
47064.0=
例:
{}{}62162 ≤=>? XPXP⑵．
6261 ≤?≤= XP
{}841 ≤≤= XP
)]
3
24
()
3
28
([1
Φ?
Φ?=
( )()[]221?Φ?Φ?=
()[]212 Φ?×=
()0455.097725.012 =?×=
{} {}010 ≤?=> XPXP⑶．
)
3
20
(1
Φ?=
Φ?=
3
2
1
7486.0
3
2
=
Φ=
例:
设对某型号工件长度的测量误差X服从参数为(0，
0.25)(单位：mm)，
(1)对此工件测量一次，求误差的绝对值不大于0.98
的概率；
(2)对此工件独立测量50次，求至少有2次测量误差的绝对值大于0.98的概率。
解：
(1)设X表示该工件长度的测量误差。则X ～N(0,0.25)
(| | 0.98) ( 0.98 0.98)pX P X≤=?≤≤
0.98 0.98
()( )
0.5 0.5
=Φ?Φ?
2 (1.96) 1 2 0.975 1 0.95;=Φ?=×?=
(2)Y表示“50次测量中误差的绝对值大于0.98的次数”
则有Y ～B(50,0.05).
λ=50*0.05=2.5,则Y近似服从P(2.5).所以
( 2) 0.7127PY≥=
例.设X～N(μ,σ
2
),求P{μ-3σ<X<μ+3σ}
'52T=;FFDA; y??¨?Yè a1
]??e,μ ? ? @ σ? $ ?>-
{??e $,μ ?K@ σ?￥′
?1@ σ e5;
? é
e??è¨S·S′ @ σT
H
L?
3áV?￥·S43′
L-?
H?T
;V
ü
3áCsè;
定义3.3.1,对于二维随机变量( X,Y ),如果存在非负函数f (x,y )，使得对于任意的实数a<b,
c<d，有：
(,)(,)
bd
ac
Pa X bc Y d f xydxdy<≤ <≤=
∫∫
则称( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数f (x,y )
称为二维随机变量( X,Y )的概率密度，或称为X 和
Y 的联合概率密度。
3.3.1二维联合密度及联合分布函数
3.3 二维连续型随机变量及其分布
(X,Y)～f (x,y)，(x,y)∈R
2
∫∫
∞?∞?
=
yx
dudvvufyxF,),(),(
二维随机变量的分布函数为按定义，概率密度f (x,y )具有以下性质：;0),(1
0
≥yxf;1),(),(2
0
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
=∞∞= Fdxdyyxf
2
(,)
(,).
Fxy
fxy
xy
=
4
0
设G 是平面上的一个区域，点( X,Y )落在
G内的概率为：
∫∫
=∈
G
dxdyyxfGYXP,),(}),{(
3
0
设（X，Y）的分布函数为F(x,y),f(x,y)在(x,y)
处连续，则有在几何上z = f (x,y)表示空间的一个曲面，上式即表示P{(X,Y)∈G}的值等于以G 为底，以曲面
z = f (x,y)为顶的柱体体积例
()的密度函数为，设二维随机变量YX；常数求⑴c
解：
由密度函数的性质，得⑴
()
()
>>
=
+?
其它
，
，
0
00
43
yxce
yxf
yx
()的联合分布函数；，求⑵YX
{}．，求⑶2010 <<<< YXP
()
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= dxdyyxf，1
()
∫∫
+∞ +∞
+?
=
00
43
dxdyec
yx
dyedxec
yx
∫∫
+∞
+∞
=
0
4
0
3
12
c
=
．所以，12=c
x
y
0,0 >> yx
()；，0=yxF
时，或当00 ≤≤ yx
()yxF，)2( {}yYxXP ≤≤=，
时，且当00 >> yx
()yxF，
dvedue
y
v
x
u
∫∫
=
0
4
0
3
12
()
∫∫
∞?∞?
=
x
y
dudvvuf，
{}yYxXP ≤≤=，
( )
∫∫
+?
=
x
y
vu
dudve
00
43
12
( )( )
yx
ee
43
11
=
()
()()
>>
=
其它
，
，所以，
0
0011
43
yxee
yxF
yx
dyedxe
yx
∫∫
=
2
0
4
1
0
3
12
()
∫∫
<<<<
=
2010 yx
dxdyyxf
，
，
()
∫∫
+?
=
1
0
2
0
43
12 dxdye
yx
( )( )
83
11
= ee
{}．，⑶．2010 <<<< YXP
二维均匀分布
()的密度函数为，如果二维随机变量YX
AD其面积为是平面上的有界区域，设
()
上的均匀分布．
服从区域，则称二维随机变量DYX
( )
()
()
∈
=
Dyx
Dyx
A
yxf
，
，
，
0
1
3.3.2二维均匀分布和二维正态分布二元正态分布
()的密度函数为，二维随机变量设YX
() ( )
的正态分布，记作
，，，服从参数为，则称随机变量rYX
2
2
2
121
σσμμ
()
()
()()()()
+
=
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
2
12
1
exp
12
1
σ
μ
σσ
μμ
σ
μ
σπσ
yyxrx
r
r
yxf，
()
22
121 2
~,XY N rμμσσ，，，
()21，=∞+<<?∞ i
i
μ
()210，=> i
i
σ 11 <<? r
3.3.1边缘分布二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)，关于X的边缘分布函数为
F
X
(x)＝P{X≤x}=F (x,+∞)＝
[(,)].
x
ftydydt
+∞
∞?∞
∫∫
关于Y的边缘分布函数为
F
Y
(y)＝P{Y≤y} =F (+∞,y)＝
[(,)].
y
fxudxdu
+∞
∞?∞
∫∫
定理3.3.3 设二维随机变量(X，Y)的联合密度为f(x,y),
则X的边缘密度为
() (,),,
X
fx fxydy x
+∞
∞
=?∞<+∞
∫
Y的边缘密度为
() (,),,
Y
fy fxydx y
+∞
∞
=?∞<+∞
∫
例.设(X,Y)的概率密度为
2
(,)
0
cx yx
fxy
≤<
=
其它
（1）求常数c;(2)求关于X及Y的边缘概率密度
3,(1)?BB?
∫∫
=
1
0
2
1
x
x
cdydx
6=? c
==
∫
∞
∞?
dyyxfxf
X
),()()2(
00 1xx<>或
10)(66
2
2
≤≤?=
∫
xxxdy
x
x
() (,)
Y
fy fxydx
∞
∞
==
∫
00 1yy<>或
66( )0 1
y
y
dx y y y=?≤≤
∫
1
()
2
pY≥
1
2
()
Y
fydy
+∞
=
∫
1
1
2
6( )yydy=?
∫
()
()
()()()()
+
=
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
2
12
1
exp
12
1
σ
μ
σσ
μμ
σ
μ
σπσ
yyxrx
r
r
yxf，
定理3.3.4,设(X,Y) ～N(μ
1
,μ
2; σ
1
2
,σ
2
2;r)，则X及Y
的边缘分布有X～N(μ
1
,σ
1
2
)，Y～N(μ
2
,σ
2
2
)
解：
（X，Y）的联合密度为
()
()()()()
22
1122
2
2
2
1
21
xrxyy
r
μμμμ
σσσσ
+
在中，
() ( )
∫
+∞
∞?
= dyyxfxf
X
，
()
()()()()
+
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
12
1
σ
μ
σσ
μμ
σ
μ yyxrx
r
()
()
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
212
1
σ
μ
σ
μ
σ
μ?
=
xx
r
y
r
对y进行配方
()
()
()
dy
x
r
y
r
e
r
xf
x
X
∫
∞+
∞?
=
2
1
1
2
2
2
2
2
21
12
1
exp
12
1
2
1
2
1
σ
μ
σ
μ
σπσ
σ
μ
21
2
21
1
1
yx
ur
r
μμ
σσ
=?
令：
2
2
1 r
dy
du
=
σ
则，
作变换，
所以，
()
()
dueexf
u
x
X
∫
∞+
∞?
=
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
σ
μ
πσ
()
π
πσ
σ
μ
2
2
1
2
1
2
1
2
1
=
x
e
( )
2
1
2
1
2
1
2
1
σ
μ
σπ
=
x
e
()
()
()+∞<<∞?=
xexf
x
X
2
1
2
1
2
1
2
1
σ
μ
σπ
()
2
11
~XNμσ∴，
()
( )
()+∞<<∞?=
yeyf
y
Y
2
2
2
2
2
2
2
1
σ
μ
σπ
()
2
22
~YNμσ∴，
由（X，Y）的密度函数可知，X与Y的地位是对称的，
因此有结论（一）
二元正态分布的边缘分布是一元正态分布，且两个边缘分布中的参数与二元正态分布的参数r无关。
结论（二）
随机变量(X,Y)的联合密度一般不能由其两个边缘密度唯一确定。
3.4 条件分布与随机变量的独立性定义3.4.1,给定y，设对任意固定的正数h>0，极限
0
0
lim { | }
{,}
lim
{}
h
h
PX x y h Y y h
PX xy h Y y h
Py h Y y h
+
+
→
→
≤?<≤+
≤?<≤+
=
<≤+
存在，则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数.
记作
}|{)|(
|
yYxXPyxF
YX
=≤≡
类似地，可以定义
|
(|) { | }
YX
FyxPYyXx≡≤ =
3.4.1 条件分布
)(
),(
)|(
|
yf
duvuf
yxF
Y
x
YX
∫
∞?
=
() 0
Y
fy≠
定理3.4.1,p(80)设(X,Y)的联合密度为f(x,y)，当时，有当
() 0
X
fx≠
时，有
|
(,)
(|)
()
y
YX
X
fxvdv
Fyx
fx
∞
=
∫
若记为在Y=y条件下X的条件概率密度，
则由定理3.4.1知,当时，
,
)|(
|
yxf
YX
0)( ≠yf
Y
)(
),(
)|(
)|(
|
|
yf
yxf
x
yxF
yxf
Y
YX
YX
=
=
类似地，当时
0)( ≠xf
X
)(
),(
)|(
)|(
|
|
xf
yxf
y
xyF
xyf
X
XY
XY
=
=
|
|
(,) () ( | )
() (| )
XYX
YXY
fxy f xf yx
fyf xy
=
=
例.已知(X,Y)的概率密度为
22
1
(,)
0
ax y x y
fxy
<<
=
其它
(3)求条件概率密度
(4)求条件概率
3 1
{| }
42
PY X>=
(1)求常数a
(2)求边缘概率密度及
1
3
{|}
4
2
PY X>>
x
y
1
(1) a=21/4，
(2)
24
21
(1 ),1 1
()
8
0,
X
xx x
fx
<<
=
其它
5
2
7
,0 1
()
2
0,
Y
yy
fy
<<
=
其它
(3)当-1<x<1时，有
2
4
|
2
,1
(,)
(|)
1
()
0,
YX
X
y
xy
fxy
fyx
x
fx
<<
==
其它当-1<x<1时，有
3
2
2
|
3
,(,)
(|)
2
()
0,
XY
Y
xy y x yfxy
fxy
fy
<<
==
其它
（4）
3 1
{| }
42
PY X>=
3
|
4
1
( | )
2
YX
fydy
+∞
=
∫
13
(,)
1
24
3
{|}
4
1
2
()
2
PX Y
PY X
PX
>>
>>=
>
13
24
1
2
(,)
()
X
fxydydx
fxdx
+∞ +∞
+∞
=
∫∫
∫
7
15
=
3.4.2 独立性
?l@;A;?]5E@6
!=?
M
ef￥ ós?f
1 F(x,y)，边缘分布函数为F
X
(x)，F
Y
(y)，若 ?i￥
L
?9?μ F(x,y)=F
X
(x)F
Y
(y)
则称X与Y相互独立。
定义,设n维随机变量(X
1,
X
2
,...X
n
)的分布函数为
F(x
1
,x
2
,...x
n
),(X
1,
X
2
,...X
n
)的k（1≤k<n)维边缘分布函数就随之确定，如关于(X
1,
X
2
的边缘分布函数是
F
X1,X2(
x
1
,x
2
,)=F(x
1
,x
2,
∞,∞...∞)
若X
k
的边缘分布函数为F
Xk
(x
k
),k=1,2,…,n,
)()....()(),...(
211
21
nXXXn
xFxFxFxxF
n
=
则称X
1,
X
2
,...X
n
相互独立，或称(X
1,
X
2
,...X
n
)是独立的。
定理3.4.3：设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为f(x，y)，边缘密度f
x
(x)，f
y
(y)，则X与Y独立的充分必条件是有f(x，y)、f
x
(x)、f
y
(y)的一切公共连续点处有
(,) () ()
XY
fxy f xf y=
对连续型随机变量有下面的定理：
设X
1
，X
2
，…，X
n
为n 个连续型随机变量，且
X
1
，X
2
，…，X
n
相互独立，则在公共连续点处有
f (x
1
,x
2
,…,x
n
)＝f
X
1
(x
1
)f
X
2
(x
2
)…f
X
n
(x
n
)。
例
()
≤≤≤≤+
=
其它
，
，
0
2010
3
1
2
yxxyx
yxf
解：
时，当10 ≤≤ x
() ( )
∫
+∞
∞?
= dyyxfxf
X
，
∫
+=
2
0
2
3
1
dyxyx
xx
3
2
2
2
+=
设二维随机变量(X，Y)的密度函数为试判断随机变量X与Y是否相互独立？
()
≤≤+
=
其它0
10
3
2
2
2
xxx
xf
X
时，当20 ≤≤ y
() ( )
∫
+∞
∞?
= dxyxfyf
Y
，
∫
+=
1
0
2
3
1
dxxyx y
6
1
3
1
+=
所以，随机变量X的密度函数为所以，随机变量Y的密度函数为
()
≤≤+
=
其它0
20
6
1
3
1
yy
yf
Y
()()()yfxfyxf
YX
≠，
所以，随机变量X与Y不独立。
由于当0<x<1，0<y<2时，
()
2
2
201
3
0
X
xx x
fx
+≤≤
=
其它
()
2
1
01,0 2
,
3
0
xxy x y
fxy
+≤≤≤≤
=
其它
()
()
()()()()
+
=
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
2
12
1
exp
12
1
σ
μ
σσ
μμ
σ
μ
σπσ
yyxrx
r
r
yxf，
()
()
()+∞<<∞?=
xexf
x
X
2
1
2
1
2
1
2
1
σ
μ
σπ
定理3.4.3,设(X,Y) ～N(μ
1
,μ
2; σ
1
2
,σ
2
2;r)，则X及Y
独立的充分必要条件是r=0.
证明：(X，Y)的联合密度为又因为X的边缘密度函数为
()
()()
+
=
2
2
2
2
2
1
2
1
21
2
1
exp
2
1
σ
μ
σ
μ
σπσ
yx
yxf，
()
()
()+∞<<∞?=
yeyf
y
Y
2
2
2
2
2
2
2
1
σ
μ
σπ
() ()yfxf
YX
=
Y的边缘密度函数为所以，当r=0时，(X，Y)的联合密度函数为故X与Y相互独立。
特别地，我们有
，有，实数相互独立，则对任意的与反之，如果随机变量
yx
YX
()()()yfxfyxf
YX
=，
即，
()()()
2121
μμμμ
YX
fff?=，
21
2
21
2
1
2
1
12
1
σπσπ
σσπ
=
r
由此，有r=0.
> aB?ZE
?e?s5?69 $ $,∞I $?I $8 ∞9 $fJt5e61
M
e $
￥f
5 V5 pf￥s?f
F
Y
(y) " P{Y≤y}" P {g(X) ≤y}"
∫
≤ y)x(g
dx)x(f
?a pf￥
áf
dy
ydF
yf
Y
Y
)(
)( =
NE9?,s?f
E,;
3.5.1一维随机变量函数的分布
3.5 随机变量函数的分布例1.设X～U(-1,1),求Y=X
2
的分布函数与概率密度。
()
() ()
2
2
1
11
()
2
0
()
X
YX
xy
x
fx ygx x
Fy PY y f xdx
≤
< <
===
∴ =≤=
∫
∵
其它当y<0时0)( =yF
Y
() 1
Y
Fy=
当y ≥1时当0≤y<1时
ydxF
y
y
Y
==
∫
2
1
<<
==
其它0
10
2
1
)(')(
y
y
yFyf
YY
一般方法的步骤Y=f(X)：
(1) 确定Y的取值范围R(Y)；
（2）求Y的分布函数,任意y ∈R(Y),
F
Y
(y) " P{Y≤y}" P {g(X) ≤y}"
（3）对分布函数求导，
(4) 最后总结，
∫
≤ y)x(g
dx)x(f
dy
ydF
yf
Y
Y
)(
)( =
'( ) ( )
()
0
Y
Y
Fy yRY
fy
∈
=
其它
? ?@;B;>]5EC6;
!e￥à
q
á1s
e
5?69?Jt5?6
^?￥?ì??f
O Qf
t
:>
5?6μ ???
5fJt5e69
^ ??
M
à
q
á1
F
Y
(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}
=P{X ≤ g
-1
(y)}=F
X
(g
-1
(y))
3
!t5?61?ì?95t
:>
5?69?ì??
?9V7ht
:>
5?6j ’K=;
[ ?i y ∈(α，β)μs
?f
1
11'
(()|[()]|,
()
0,
X
Y
fg y g y y
fy
αβ
<<
=
其它其中，区间（）为Y的值域。
,αβ
∴f￥à
q
á1
f
Y
(y)=F′(g
-1
(y))=f
X
(g
-1
(y))[g
-1
(y)] ￡? y ∈(α，β)
!t5?61?ì?h5t
:>
5?69?ì???hV7
ht
:>
5?6j $ ￡I=;
[ ?i y ∈(α，β)μs?f
1
F
Y
(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}
=P{X ≥g
-1
(y)}=1-F
X
(g
-1
(y))
∴f￥à
q
á1
f
Y
(y)= F′(g
-1
(y))= f
X
(g
-1
(y))[g
-1
(y)] ￡? y ∈(α，β)
例：设随机变量X～N（μ，σ
2
），Y=10
X
，求Y的分布函数。
11'
(()|[()]|,
()
0,
X
Y
fg y g y y
fy
αβ
<<
=
其它
2
2
(lg )
2
'
lg
,0
(()|[()]|
2
0,
y
X
e
ey
flgy lgy
y
μ
σ
πσ
<<+∞
=?=
其它
2、线性变换和平方变换定理3.5.2 设随机变量X有密度函数f
X
(x)，则
（1）若Y=aX+b，则有
1
() ( ),();
||
YX
yb
fy f yRY
aa
=∈
（2）若Y=X
2
，则有
1
( ) [ ( ) ( )],( ).
2
YXX
fy f y f y yRY
y
=+?∈
() ()
2
()
YX
xy
Fy PY y f xdx
≤
=≤=
∫
当y<0时
0)( =yF
Y
当y ≥0时
()
y
X
y
f xdx
=
∫
(1) 对于Y=aX+b由定理3.5.1易得。
(2) 对于Y=X
2
有
'
1
() () [ ( ) ( )],().
2
YY X X
fy Fy f y f y yRY
y
∴ == +? ∈
例.已知X～N(0,1),.求.
2
YX=
()
Y
fy
解当X~N (0,1)时,Y=X
2
≥0,以记X的密度,则
()x?
()()
22
1
22
1
()
2
11 1
22 2
1
,
2
Y
yy
y
fy y y
y
ee
y
ye
ππ
π
=+?
=+
=
即
()
1
22
1
,0
2
0,0.
y
Y
ye y
fy
y
π
>
=
≤
Y是服从自由度为1的分布,记作Y～
即为Γ（1/2，1/2）
2
χ
2
(1).χ
3.5.2二维随机变量函数的分布P（88）
> aB?ZE5 s?f
E 6 $ $ $ $ $ ?
ef ~ s5??6 9 $ $
,∞I $?9?I $8 ∞9 $gJs5e9f61
M
e￥f
5 pg￥
áf
￥B?ZE1
(1) 确定Z的取值范围z∈R(Z)；
（2）求Z的分布函数，任取z∈R(Z)，F
Z
(z) " P{Z≤z}
" P {f(X,Y) ≤z}" P { (X,Y) ? G(z)}
（3）对分布函数求导，
(4) 最后总结，
(,) ()
(,)
XY Gz
fxydxdy
∈
=
∫∫
()
()
Z
Z
dF z
fz
dz
=
'( ) ( )
()
0
Z
Z
Fz zRZ
fz
∈
=
其它例：设随机变量X，Y相互独立，其密度函数分别为
1,0 1
()
0,
X
x
fx
≤≤
=
其它
,0
()
0,
y
Y
ey
fy
>
=
其它求随机变量Z=2X+Y的分布函数与密度函数。
(1) R(Z)=(0，+∞);
(2) 任意取z∈(0，+∞);
() ( ) (2 )
Z
Fz PZ z P X Y z=≤= +≤
当z/2≤1时，
2
2
() (,)
z
zx
Z
Fz fxydydx
∞?∞
=
∫∫
2
2
00
z
zx
y
edydx
=
∫∫
11
22 2
z
z
e
=+?
当z/2>1时，
12
00
()
zx
y
Z
Fz edydx
=
∫∫
2
1
1( )
2
zz
ee
=
(3)对分布函数求导，得
2
1
(1 ),0 2
2
()
1
(),2
2
z
Z
zz
ez
fz
eez
≤≤
=
>
(4)归纳总结，得
2
1
(1 ),0 2
2
1
() ( ),2
2
0,
z
zz
Z
ez
fz e e z
≤≤
=?>
其它
? a ???￥
T#
M
￥ VF?
定理3.5.3：设二维随机变量（X，Y）的联合密度为
f(x,y)，Z=X+Y，则Z的密度函数为
∫∫
∞
∞?
∞
∞
=?=
－
或
.),(),()( dxxzxdyyyzfzf
Z
若X与Y相互独立，则Z＝X＋Y的密度函数
.dx)xz(f)x(fdy)y(f)yz(f)z(f
YXYXZ
=
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
或
＝
这个公式叫X与Y的卷积公式.
() { } { }
()
Z
xyz
Fz PZ z PXY z
fx ydxdy
+≤
=≤=+≤
=
∫∫
，
()
∫∫
∞?
+∞
∞?
=
xz
dyyxfdx，
作变换y=u-x，则有证明：取z∈R（Z），则Z的分布函数为
() ( )
()
z
Z
z
Fz dx fx uxdu
du f x u x dx
+∞
∞?∞
+∞
∞?∞
=?
=?
∫∫
∫∫
，
，
z
x+y=z
x+y≤ z
x
y
O
x + y = z
() ( )
[]
z
Z
Fz f xuxdxdu
+∞
∞?∞
=?
∫∫
，
即有
() () ()
()
[]
z
ZZ
d
fz Fz fxuxdxdu
dz
fx z xdx
+∞
∞?∞
+∞
∞
′
==?
=?
∫∫
∫
，
，
由分布函数与密度函数之间的关系，上式对z求导，可得Z=X+Y的密度函数为注意到在前面的积分中
() () ()
zx
Z
xyz
Fz fx ydxdy dx fx ydy
+∞?
+ ≤?∞?∞
==
∫∫ ∫ ∫
，，
我们是先对y，后对x积分的，若将其改成先对x，后对y积分，
通过类似的计算，有特别地，如果随机变量X与Y相互独立，则有
()()()yfxfyxf
YX
=，
此时，我们有
() ( )
Z
fz fzy ydy
+∞
∞
=?
∫
，
或者
() ( ) ()
ZXY
fz fzyfydy
+∞
∞
=?
∫
() () ( )
ZXY
f z f x f zxdx
+∞
∞
=?
∫
我们称上式为函数与的卷积，记作()
X
f x ()
Y
fy
() ()yfxf
YX
*
因此，我们有以下结论：
如果随机变量X与Y相互独立，则它们的和Z=X+Y的密度函数等于X与Y密度函数的卷积:
() () ()yfxfzf
YXZ
*=
() () ( )
∫
+∞
∞?
= dxxzfxfzf
YXZ
() ( ) ()
∫
+∞
∞?
= dyyfyzfzf
YXZ
()
<<
=
其它0
101 x
xf
X ()
<<
=
其它0
101 y
yf
Y
() () ( )
∫
+∞
∞?
= dxxzfxfzf
YXZ
例,设随机变量X与Y相互独立，都服从区间(0,1)上的均匀分布,
令Z=X+Y，试求随机变量Z的密度函数.
解：
由题意，可知
()
Z
fz
设随机变量Z=X+Y的密度函数为，则有
() () ( )
ZXY
fz fxfzxdx
+∞
∞
=?
∫
01,0 1xzx<< <?<
x
z
0=? xz
1=? xz
0
1
1
2
的密度函数为综上所述，我们可得
YXZ +=
(1) 若或
0,z ≤
2,( ) 0.
Z
zfz≥=
(2) 若
0
01,()1.
z
Z
zfz dxz<≤ = =
∫
(3) 若
1
1
12,()12.
Z
z
z f zdxz
<< = =?
∫
()
01
21 2
0
Z
zz
fz z z
<≤
=? <<
其它
x
z
0=? xz
1=? xz
0
1
1
2
定理3.5.4(正态分布的可加性) 设X～N(μ
1
,σ
1
2
),
Y～N(μ
2
,σ
2
2
)且X与Y独立，则
Z=X+Y～N(μ
1
+μ
2
,σ
1
2
+σ
2
2
)
证明由正态分布的密度及卷积公式
22
12
12 1 2
() () ( )
()( )11
exp,
22
ZXY
fz fxfzxdx
xzx
dx
μμ
πσ σ σ σ
+∞
∞
+∞
∞
=?
=?+
∫
∫
展开被积函数的指数，整理可得
2
(2)
12
1
(),
2
ax bx c
Z
f zedx
πσ σ
+∞
+
∞
=
∫
其中
22
12 1 2
22 2 2 2
12 1 1 2
()11 1 1 1
,,.
zz
ab c
μμ μ μ
σσ σ σ σ σ
=+=+ =+
不难计算
2
2
(2)
,
ac b
ax bx c
a
edxe
a
π
+∞
+
∞
=?
∫
代入后可得
[]
2
12
22
12
()
2( )
22
12
1
(),
2
z
Z
fz e
μμ
σσ
πσ σ
+
+
=
+
由此可知
22
121 2
(,)ZXYNμμσσ=+ + +～
一般地，有定理3.5.5 设随机变量X
1
,X
2
，...,X
n
独立且X
i
服从正态分布N(μ
i
,σ
i
2
),i=1,...,n,则
22
111
~(,)
nnn
ii ii ii
cX N c cμσ
===
∑∑∑
其中c1,c2,…为常数。
() { }
Z
X
Fz PZ z P z
Y
=≤= ≤
二．商的分布
()
Z
fz．
X
Z
Y
=，
设(X,Y)是二维连续型随机变量，其联合密度函数为f(x,y)
令下面计算随机变量Z的密度函数首先计算随机变量Z的分布函数().
Z
Fz
()
∫∫
≤
=
z
y
x
dxdyyxf，
() ()
∫∫∫∫
<≤>≤
+=
00 yz
y
x
yz
y
x
dxdyyxfdxdyyxf
，，
，，
x
y
yzx ≤
yzx ≥
() ()
∫∫∫∫
<≥>≤
+=
00 yzyxyzyx
dxdyyxfdxdyyxf
，，
，，
() ()
∫∫∫∫
+∞
∞?∞?
+∞
+=
zy
zy
dxyxfdydxyxfdy，，
0
0
在第一个积分中，作变换x=uy，则dx=udy，当下x=zy时，u=z；
当时，注意到y>0，因而有；x →?∞ u →?∞
() ( )
() ()
00
.
zy
z
zz
dy f x y dx dy f uy y ydu
du yf uy y dy du y f uy y dy
+∞ +∞
∞?∞
+∞ +∞
∞?∞
=
==
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
，，
同理在第二个积分中，作变换x=uy，则dx=udy，当x=zy时，u=z；
当时，注意到y>0，因而有；
x →+∞
u →?∞
() ( )yduyuyfdydxyxfdy
zzy
∫∫∫∫
∞
∞?
+∞
∞?
=，，
00
()( )dyyuyfydu
z
∫∫
∞?∞?
=
0
，()dyyuyfydu
z
∫∫
∞?∞?
=
0
，
() () ()
()
0
0
zz
Z
z
F z du y f uy y dy du y f uy y dy
yf uy ydydu
+∞
∞?∞?∞
+∞
∞?∞
=+
=
∫∫ ∫∫
∫∫
，，
，
所以，由密度函数的定义有
() (,)
Z
fz yfzyydy
+∞
∞
=
∫
特别地，如果随机变量X与Y相互独立，则有
()()()yfxfyxf
YX
=，
此时，我们有
() ()()
∫
+∞
∞?
= dyyfyzfyzf
YXZ
解：
的密度函数．量
，试求随机变的指数分布，令与数为相互独立，分别服从参与设随机变量
Z
Y
X
Z
YX
=
21
λλ
由题意，可知
()
≤
>
=
00
0
1
1
x
xe
xf
x
X
λ
λ
()
≤
>
=
00
0
2
2
y
ye
yf
y
Y
λ
λ
例：
Y
X
Z =设：
相互独立性，我们有与由随机变量YX
() ()()
∫
+∞
∞?
= dyyfyzfyzf
YXZ
，⑴．若0≤z ( )．0=zf
Z
y
z
0,0 >> yz
，⑵．若0>z
()zf
Z
∫
+∞
=
0
21
21
dyeey
yyz λλ
λλ
0,0yz y>>
()
∫
+∞
+?
=
0
21
12
dyey
yzλλ
λλ
()
2
12
21
zλλ
λλ
+
=
的密度函数为所以，
Y
X
Z =
()
()
≤
>
+
=
00
0
2
12
21
z
z
z
zf
Z
λλ
λλ
4.Max、Min型随机变量的分布定理3.5.8 设X、Y是两个相互独立的随机变量，
其分布函数分别是F
X
(x),F
Y
(y).又设M=max{X,Y},
N=Min{X,Y},则M,N也是随机变量，且M,N的分布函数为
F
M
(z)＝F
X
(z) F
Y
(z)
( ) 1 [1 ( )][1 ( )].
NXY
Fz Fz Fz=
证明由定义及X、Y的独立性，有
() ( ) (,)
( ) ( ) () (),
M
XY
Fz PM z PX zY z
PX z PY z F z F z
=≤=≤≤
=≤?≤=?
() ( ) 1 ( )
1(,)
1( )( )
1[1 ( )][1 ( )]
1 [1 ( )][1 ( )]
N
XY
Fz PN z PN z
PX zY z
PX zPY z
PX z PY z
Fz Fz
=≤=?>
=? > >
=? > >
= ≤? ≤
=
定理3.5.9设X
1
,X
2
,…,X
n
相互独立，其分布函数分别为F
1
(x
1
),F
2
(x
2
),…,F
n
(x
n
)，设
M＝max{X
1
,X
2
,…,X
n
},N＝min{X
1
,X
2
,…,X
n
}
则，M和N的分布函数分别为：
F
M
(z)＝F
1
(z) … F
n
(z)
.)](1[1)(
1
∏
=
=
n
i
iN
zFzF
推论设X
1
,X
2
,…,X
n
相互独立,且有相同的分布函数
F(x),则
F
M
(z)＝[F(z)]
n
F
N
(z)＝1-[1-F(z)]
n
典型题分析例：设随机变量X有分布函数为
0,0
(),0,
3
1,
3
x
Fx Atgx x
x
π
π
<
=≤≤
>
求常数A及概率P(|X|≤π/6).
解：连续型随机变量分布函数一定是连续的。
0
3
() lim ()1
33
x
xF Fx
π
ππ
→+
∴ ===在,有
3
3
A?=
(| | ) ( )
666
Px P x
πππ
≤=?≤≤ () ( )
66
FF
ππ
=
31
0
36 3
tg
π
=?=
6
6
()fxdx
π
π
=
∫
6
2
0
3
sec
3
xdx
π
=
∫
例：设电源电压U～N(220,225)(单位:V)有三种情况：
(1)不超过200V；
(2)在200V ～240V之间；
(3)超过240V。
在上述三种情况下，某型号电子元件损坏的概率分别为0.1,0.01,0.2,问：
(1)任取一个这种元件，求元件损坏的概率；
(2)若已知电子元件损坏，电压最可能在什么区间？
解：设B表示任取一个电子元件损坏；A
i
表示电压处于第i种情况，i=1,2,3.显然A
1
,A
2
,A
3
构成一个划分。
1
() ( 200)PA PU=≤
200 220
()(0.8)
25
=Φ =Φ?
1 (0.8) 1 0.7881 0.2119=?Φ =? =
2
( ) (200 240)PA P U=<≤ (0.8) ( 0.8)=Φ?Φ?
2 (0.8) 1 0.5762=Φ?=
3
( ) ( 240)PA PU=>
1 (0.8) 0.2119=?Φ =
由全概率公式得
3
1
() ( )( | )
0.2119 0.1 0.5762 0.01 0.2119 0.2
0.0693
ii
i
PB PAPB A
=
=
=×+×+×
=
∑
例：设随机变量Ｘ的密度函数为
||
() ( 0)
x
a
fx Ce a
=>
(1)试确定常数Ｃ；
(2)求Ｘ的分布函数；
(3)求P{|X|<2};
(4)求Y=X
2
/4的密度函数。
例：设随机变量(X,Y)的联合密度函数为
,0
(,)
0,
y
cxe x y
fxy
<<<+∞
=
其它
(1)求常数c,
(2)求边缘概率密度，Ｘ与Ｙ是否独立？
(3)求f
X|Y
(x|y)及f
Y|X
(y|x),
(4)求（Ｘ，Ｙ）的联合分布函数，
(5)求Ｚ＝Ｘ＋Ｙ的密度函数，
(6)求Ｍ＝max(X,Y)和m=min(X,Y)的密度函数；
(7)求Ｐ（Ｘ＋Ｙ<１）
? ?c
???
M
???
M
开课系：数学学院主讲教师：刘亚平
Email:yapingliu66@tom.com
3.1 一维连续型随机变量及其分布
1,定义5}CA6对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-∞<x<+∞)，使对任意实数a，b(a<b)
，都有
()()
b
a
Pa X b f xdx<≤
∫
＝
则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数,
常记为X～f(x),(-∞<x<+∞)
3.1.1 一维概率密度密度函数的几何意义为
()()
b
a
Pa X b f xdx<≤
∫
＝
2,密度函数的性质
(1) 非负性f(x)≥0，(-∞<x<∞)；
(2) 归一性
.1)(＝
∫
+∞
∞?
dxxf
性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；
x
aexf
=)(
设随机变量X的概率密度为求常数a.
答:
2
1
=a
f (x)
0
x
1
?i
L
p ?e j s5?65,∞I?I ∞65
P{X=c}" 0 b?
^
∫
≤≤
<≤<<
b
a
dxxfbXaP
bXaPbXaP
)(}{
}{}{
＝＝
＝
连续型随机变量取单个值的概率为零连续型随机变量的一个重要特点:
我们不能认为：{}()！afaXP ==
例：设X 是连续型随机变量，其密度函数为
()
()
<<?
=
其它0
2024
2
xxxc
xf
解：⑴．由密度函数的性质；求：⑴．常数c
{}．⑵．1>XP
() 1=
∫
+∞
∞?
dxxf
()
∫
+∞
∞?
= dxxf1得
() () ()
∫∫∫
+∞
∞?
++=
2
2
0
0
dxxfdxxfdxxf
()
∫
=
2
0
2
24 dxxxc
2
0
32
3
2
2
= xxc c
3
8
=
8
3
=c所以，
{} ()
∫
+∞
=>
1
1 dxxfXP⑵．() ()
∫∫
+∞
+=
2
2
1
dxxfdxxf
()
∫
=
2
1
2
24
8
3
dxxx
2
1
32
3
2
2
8
3
= xx
2
1
=
例：某电子元件的寿命（单位：小时）是以
()
>
≤
=
100
100
1000
2
x
x
x
xf
为密度函数的连续型随机变量．求5 个同类型的元件在使用的前150 小时内恰有2 个需要更换的概率.
解：设：A={ 某元件在使用的前150 小时内需要更换}
() { }150≤= XPAP则检验5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5
重Bernoulli试验．
B={ 5 个元件中恰有2 个的使用寿命不超过150
小时}
( )
∫
∞?
=
150
dxxf
∫
=
150
100
2
100
dx
x
3
1
=
()
32
2
5
3
2
3
1
×
×= CBP则
243
80
=
3.1.2 一维连续型分布函数若X是连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则X的分布函数为
() ( ) (),
x
Fx PX x ftdt x
∞
=≤=?∞<<+∞
∫
连续型随机变量的分布函数一定是连续的。
定理：设随机变量X的分布函数为F(x),
密试函数为f(x),若x是f(x)的连续点，则
)(
)(
xf
dx
xdF
=
的密度函数为设随机变量X
()
<<?
≤<
=
其它0
212
10
xx
xx
xf
的分布函数．试求X
解：
() ()
∫
∞?
=≤
x
dttfxFx时，当0
0=
() ()
∫
∞?
=≤<
x
dttfxFx时，当10
() ()
∫∫
+=
∞?
x
dttfdttf
0
0
例：
∫
=
x
tdt
0
2
2
x
=
() ()
∫
∞?
=<<
x
dttfxFx时，当21
() () ()
∫∫∫
++=
∞?
x
dttfdttfdttf
1
1
0
0
()
∫∫
+=
x
dtttdt
1
1
0
2
12
2
1
2
+?= xx
() ()
∫
∞?
=>
x
dttfxFx时，当2
() () () ()
∫∫∫∫
+++=
∞?
x
dttfdttfdttfdttf
2
2
1
1
0
0
()
∫∫
+=
2
1
1
0
2 dtttdt
1=
的分布函数量综上所述，可得随机变X
()
≤
<<?+?
≤<
≤
=
x
xx
x
x
x
x
xF
21
2112
2
10
2
00
2
2
的分布函数为设连续型随机变量X
() ()+∞<<∞?+= xarctgxxF
π
1
2
1
的密度函数．试求X
解：
()，则的密度函数为设xfX
() ()xFxf
′
=
()+∞<<∞?
+
= x
x
2
1
11
π
例：
1．均匀分布定义3.2.1P(68):若随机变量X 的密度函数为
()
≤≤
=
其它0
1
bxa
ab
xf
记作X ~ U [a,b]
3.2 几种常用的连续型随机变量则称随机变量X服从区间[a，b]上的均匀分布。
均匀分布的概率背景
[]
[]
该子区间的位置无关．间的长度成正比，而与取值的概率与该子区上的任意一个子区间上，在区间变量上的均匀分布，则随机，服从区间如果随机变量
baX
baX
[]上取值是等可能的．，在区间量这时，可以认为随机变baX
X
X
a
b
x
l
l
0
∫
+
=+≤<
lc
c
dxxflcXcP )(}{
.
1
ab
l
dx
ab
lc
c
=
=
∫
+
均匀分布的分布函数
[]
的分布函数为则上的均匀分布，，服从区间若随机变量
X
baX
()
<
≤≤
<
=
xb
bxa
ab
ax
ax
xF
1
0
ab
x
F (x)
0
1
例：设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是7:00 到7:30
之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
[]上的均匀分布．，服从区间则300X
其密度函数为
()
≤≤
=
其它0
300
30
1
x
xf
解：设该乘客于7时X分到达此站令：B={ 候车时间不超过5分钟}
() { } { }30251510 ≤≤+≤≤= XPXPBP则
∫∫
+=
30
25
15
10
30
1
30
1
dxdx
3
1
=
2．指数分布定义3.2.2p(69):如果随机变量X 的密度函数为
()
≤
>
=
00
0
x
xe
xf
xλ
λ
的指数分布．参数为服从为常数，则称随机变量其中
λ
λ 0>
记作X ~ e(λ)
()是其密度函数，则有：的指数分布，参数为设xfX λ~
()；，有⑴．对任意的0≥xfx
() () ()
∫∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+=
0
0
dxxfdxxfdxxf⑵．
∫
+∞
=
0
dxe
xλ
λ．1=
由此可知，
0
x
e
λ
+∞
=?
()确是一密度函数．
≤
>
=
00
0
x
xe
xf
xλ
λ
指数分布的分布函数的分布函数为则指数分布，服从参数若随机变量
X
X λ
()
>?
≤
=
01
00
xe
x
xF
xλ
例:
分钟之间的概率．钟到分话间，求你需等待好在你前面走进公用电
．如果某人刚为参数的指数随机变量以
（单位：分钟）是间设打一次电话所用的时
20
10
10
1
=λ
X
解：
的密度函数为X
()
≤
>
=
00
0
10
1
10
x
xe
xf
x
() { }2010 ≤≤= XPBP则令：B={ 等待时间为10~20分钟}
∫
=
20
10
10
10
1
dxe
x
20
10
10
10
1
x
e
=
21
= ee
2325.0=
()
()
≤
>
Γ
=
00
0
1
x
xex
r
xf
xr
r
λ
λ
()
~XrλΓ，
3,Γ-分布.
定义,如果随机变量X 的密度函数为
(其中r>0，λ>0为参数)
则称随机变量X服从参数为(r,λ)的Γ-分布.
记作：
Γ-函数
()
∫
+∞
=Γ
0
1
dxexr
xr
() ()
1rrrΓ+=Γ．
()．，π=
Γ=Γ
2
1
11
() ( )
1nnΓ=?！．
Γ-函数的定义：
Γ-函数的定义域：(0,+ )
∞
Γ-函数的性质：
如果n为自然数，则
()，得，则由如果111 =Γ=r ()
≤
>
=
00
0
x
xe
xf
xλ
λ
的指数分布．这正是参数为λ
分布的一个特例．这说明指数分布是?Γ
说明：
() ( )
1rn n n=Γ=?如果，由！得
()
()
≤
>
=
00
0
!1
1
x
xex
n
xf
xn
n
λ
λ
要的分布之一．分布，它是排队论中重我们称此分布为Erlang
(1)
(2)
为自然数，则有，其中，如果n
n
r
2
1
2
== λ
()
≤
>
Γ
=
00
0
2
2
1
2
1
2
2
x
xex
n
xf
xn
n
()
的分布之一．它是数理统计学中重要
．分布，记作的为我们称此分布为自由度nn
22
χχ?
(3)
4．正态分布
()
()
()+∞<<∞?=
xexf
x
2
2
2
2
1
σ
μ
σπ
，为参数，其中0>+∞<<∞?σμ
( )
2
~ σμ，NX
x
f (x)
0
μ
定义,如果随机变量X 的密度函数为则称随机变量X服从参数为( )的正态分布.
2
,μσ
记作：
() ()+∞<<∞?=
xex
x
2
2
2
1
π
标准正态分布的密度函数为若
2
0,1μσ==
，我们称N(0，1)为标准正态分布。
()
()
()+∞<<∞?
>=
x
exf
x
0
2
1
2
2
2σ
μ
σπ
()
()
1
2
1
2
2
2
==
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
dxedxxf
x
σ
μ
σπ
密度函数的验证设
()
2
~XNμσ，
，f(x)是其密度函数，则有：
下面验证：
() 1
2
1
2
2
==
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
dxedxx
x
π
2
2
2
x
Iedxπ
+∞
∞
==
∫
首先验证：
或验证：
2
2
2
2
2
x
Iedxπ
+∞
∞
==
∫
∫∫∫
∞+
∞?
∞+
∞?
∞+
∞?
=
dyedxedxe
yxx
22
2
2
222
dydxee
yx
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
=
22
22
dydxe
yx
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+
=
2
22
现在需要证明：
cos sinxr yrθθ==，，
2
2
2
2
00
r
Iderd
π
θ
+∞
=
∫∫
+∞
=
0
2
2
2
r
eπ π2=
2
2
2
x
edx π
+∞
∞
=
∫
作极坐标变换：
则有因此，
综上所述，
()
()
()+∞<<∞?=
xexf
x
2
2
2
2
1
σ
μ
σπ
()
是一个密度函数．
确本条件，因此满足密度函数的两项基xf
正态分布密度函数的图形性质
()
()
()
我们有：由高等数学中的知识，
数对于正态分布的密度函
+∞<<∞?=
xexf
x
2
2
2
2
1
σ
μ
σπ
{}{}hXPXhP
h
x
+≤<=≤<?
>
=
μμμμ
μ
，有这表明：对于任意的对称，⑴．曲线关于直线
0
x
f (x)
0
μh?μ
h+μ
()
()
()
越小．落在该区间中的概率就变量越远时，随机间离同样长度的区间，当区对于的值就越小．这表明，越远，离取到最大值时，⑵．当
X
xfx
f
xfx
μ
μ
σπ
μ
μ
2
1
=
=
()
()轴为渐近线．以曲线处有拐点；在⑶．曲线
Oxxfy
xxfy
=
±==σμ
()
()
确定．
所图形的位置完全由参数因此其形状．轴平行移动，但不改变图形沿的的值，则固定，而改变⑷．若
μ
μσ
xfy
x
xf
=
()
()
()
()
的取值越分散．形越平坦，这表明的图越大时，，当附近的概率越大；反之落在图形越陡，因而越小时，可知，当的最大值为的值，由于固定，而改变⑸．若
X
xfy
Xxfy
f
xf
=
=
=
σμ
σ
σπ
μ
σμ
2
1
x
f (x)
0
μ
1
μ
正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：
⑴．正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，
则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．
⑵．正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的．
⑶．正态分布可以作为许多分布的近似分布．
标准正态分布
()，则其密度函数为，如果随机变量10~ NX
() ()∞+∞?=
,
2
1
2
2
x
ex
π
() () ()+∞<<∞?==Φ
∫∫
∞?
∞?
xdtedttx
x tx
2
2
2
1
π
其分布函数为
a
S?
s?V b
() { }xXPxx ≤=Φ≥我们可直接查表求出对于0
() ()
∫∫
∞?
∞?
==?Φ
x tx
dtedttx
2
2
2
1
π
，我们可由公式如果0<x
，得，作变换dudtut?=?=
()
∫
∞+
=?Φ
x u
duex
2
2
2
1
π
∫
+∞
=
x
u
due
2
2
2
1
π
∫
∞?
=
x u
due
2
2
2
1
1
π
()xΦ?=1
x0
)(x?
x-x
正态分布与标准正态分布的关系
() )1,0(~~
2
N
X
YNX
σ
μ
σμ
=，则，设
() { } }{ y
X
PyYPyF
Y
≤
=≤=
σ
μ
()
∫
+
∞?
=
y t
dte
σμ
σ
μ
σπ
2
2
2
2
1
，代入上式，得，则作变换
σσ
μ dt
du
t
u =
=
()
∫
∞?
=
y
u
Y
dueyF
2
2
2
1
π
()yΦ=
}{ yXP σμ+≤=
=≤=∴ }{)( xXPxF
X
)(}{
σ
μ
σ
μ
σ
μ?
Φ=
≤
xxX
P
()函数．是标准正态分布的分布其中，xΦ
).()
-b
(b}X P{a
,
σ
μ
σ
μ?
Φ?Φ=<<
<
a
ba有故对任意的
=≤=∴ }{)( xXPxF
X
)(}{
σ
μ
σ
μ
σ
μ?
Φ=
≤
xxX
P
例:
()
{}{ }．；⑵．⑴．
，试求：，设随机变量
2121
10~
<<?<≤ XPXP
NX
解：
{}()()1221 Φ?Φ=<≤ XP⑴．
84134.097725.0?=
13591.0=
{}()()1221?Φ?Φ=<≤? XP⑵．
() ()[]112 ΦΦ=
84134.0197725.0 +?=
81859.0=
()
{}{}{}．；⑶．；⑵．⑴．
，试求：，设随机变量
06251
92~
>>?<≤ XPXPXP
NX
解：
{} )1()5(51 FFXP?=<≤⑴．
)
3
21
()
3
25
(
Φ?
Φ= ()
Φ?Φ=
3
1
1
() 1
3
1
1?
Φ+Φ=
162930.084134.0?+=
47064.0=
例:
{}{}62162 ≤=>? XPXP⑵．
6261 ≤?≤= XP
{}841 ≤≤= XP
)]
3
24
()
3
28
([1
Φ?
Φ?=
( )()[]221?Φ?Φ?=
()[]212 Φ?×=
()0455.097725.012 =?×=
{} {}010 ≤?=> XPXP⑶．
)
3
20
(1
Φ?=
Φ?=
3
2
1
7486.0
3
2
=
Φ=
例:
设对某型号工件长度的测量误差X服从参数为(0，
0.25)(单位：mm)，
(1)对此工件测量一次，求误差的绝对值不大于0.98
的概率；
(2)对此工件独立测量50次，求至少有2次测量误差的绝对值大于0.98的概率。
解：
(1)设X表示该工件长度的测量误差。则X ～N(0,0.25)
(| | 0.98) ( 0.98 0.98)pX P X≤=?≤≤
0.98 0.98
()( )
0.5 0.5
=Φ?Φ?
2 (1.96) 1 2 0.975 1 0.95;=Φ?=×?=
(2)Y表示“50次测量中误差的绝对值大于0.98的次数”
则有Y ～B(50,0.05).
λ=50*0.05=2.5,则Y近似服从P(2.5).所以
( 2) 0.7127PY≥=
例.设X～N(μ,σ
2
),求P{μ-3σ<X<μ+3σ}
'52T=;FFDA; y??¨?Yè a1
]??e,μ ? ? @ σ? $ ?>-
{??e $,μ ?K@ σ?￥′
?1@ σ e5;
? é
e??è¨S·S′ @ σT
H
L?
3áV?￥·S43′
L-?
H?T
;V
ü
3áCsè;
定义3.3.1,对于二维随机变量( X,Y ),如果存在非负函数f (x,y )，使得对于任意的实数a<b,
c<d，有：
(,)(,)
bd
ac
Pa X bc Y d f xydxdy<≤ <≤=
∫∫
则称( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数f (x,y )
称为二维随机变量( X,Y )的概率密度，或称为X 和
Y 的联合概率密度。
3.3.1二维联合密度及联合分布函数
3.3 二维连续型随机变量及其分布
(X,Y)～f (x,y)，(x,y)∈R
2
∫∫
∞?∞?
=
yx
dudvvufyxF,),(),(
二维随机变量的分布函数为按定义，概率密度f (x,y )具有以下性质：;0),(1
0
≥yxf;1),(),(2
0
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
=∞∞= Fdxdyyxf
2
(,)
(,).
Fxy
fxy
xy
=
4
0
设G 是平面上的一个区域，点( X,Y )落在
G内的概率为：
∫∫
=∈
G
dxdyyxfGYXP,),(}),{(
3
0
设（X，Y）的分布函数为F(x,y),f(x,y)在(x,y)
处连续，则有在几何上z = f (x,y)表示空间的一个曲面，上式即表示P{(X,Y)∈G}的值等于以G 为底，以曲面
z = f (x,y)为顶的柱体体积例
()的密度函数为，设二维随机变量YX；常数求⑴c
解：
由密度函数的性质，得⑴
()
()
>>
=
+?
其它
，
，
0
00
43
yxce
yxf
yx
()的联合分布函数；，求⑵YX
{}．，求⑶2010 <<<< YXP
()
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= dxdyyxf，1
()
∫∫
+∞ +∞
+?
=
00
43
dxdyec
yx
dyedxec
yx
∫∫
+∞
+∞
=
0
4
0
3
12
c
=
．所以，12=c
x
y
0,0 >> yx
()；，0=yxF
时，或当00 ≤≤ yx
()yxF，)2( {}yYxXP ≤≤=，
时，且当00 >> yx
()yxF，
dvedue
y
v
x
u
∫∫
=
0
4
0
3
12
()
∫∫
∞?∞?
=
x
y
dudvvuf，
{}yYxXP ≤≤=，
( )
∫∫
+?
=
x
y
vu
dudve
00
43
12
( )( )
yx
ee
43
11
=
()
()()
>>
=
其它
，
，所以，
0
0011
43
yxee
yxF
yx
dyedxe
yx
∫∫
=
2
0
4
1
0
3
12
()
∫∫
<<<<
=
2010 yx
dxdyyxf
，
，
()
∫∫
+?
=
1
0
2
0
43
12 dxdye
yx
( )( )
83
11
= ee
{}．，⑶．2010 <<<< YXP
二维均匀分布
()的密度函数为，如果二维随机变量YX
AD其面积为是平面上的有界区域，设
()
上的均匀分布．
服从区域，则称二维随机变量DYX
( )
()
()
∈
=
Dyx
Dyx
A
yxf
，
，
，
0
1
3.3.2二维均匀分布和二维正态分布二元正态分布
()的密度函数为，二维随机变量设YX
() ( )
的正态分布，记作
，，，服从参数为，则称随机变量rYX
2
2
2
121
σσμμ
()
()
()()()()
+
=
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
2
12
1
exp
12
1
σ
μ
σσ
μμ
σ
μ
σπσ
yyxrx
r
r
yxf，
()
22
121 2
~,XY N rμμσσ，，，
()21，=∞+<<?∞ i
i
μ
()210，=> i
i
σ 11 <<? r
3.3.1边缘分布二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)，关于X的边缘分布函数为
F
X
(x)＝P{X≤x}=F (x,+∞)＝
[(,)].
x
ftydydt
+∞
∞?∞
∫∫
关于Y的边缘分布函数为
F
Y
(y)＝P{Y≤y} =F (+∞,y)＝
[(,)].
y
fxudxdu
+∞
∞?∞
∫∫
定理3.3.3 设二维随机变量(X，Y)的联合密度为f(x,y),
则X的边缘密度为
() (,),,
X
fx fxydy x
+∞
∞
=?∞<+∞
∫
Y的边缘密度为
() (,),,
Y
fy fxydx y
+∞
∞
=?∞<+∞
∫
例.设(X,Y)的概率密度为
2
(,)
0
cx yx
fxy
≤<
=
其它
（1）求常数c;(2)求关于X及Y的边缘概率密度
3,(1)?BB?
∫∫
=
1
0
2
1
x
x
cdydx
6=? c
==
∫
∞
∞?
dyyxfxf
X
),()()2(
00 1xx<>或
10)(66
2
2
≤≤?=
∫
xxxdy
x
x
() (,)
Y
fy fxydx
∞
∞
==
∫
00 1yy<>或
66( )0 1
y
y
dx y y y=?≤≤
∫
1
()
2
pY≥
1
2
()
Y
fydy
+∞
=
∫
1
1
2
6( )yydy=?
∫
()
()
()()()()
+
=
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
2
12
1
exp
12
1
σ
μ
σσ
μμ
σ
μ
σπσ
yyxrx
r
r
yxf，
定理3.3.4,设(X,Y) ～N(μ
1
,μ
2; σ
1
2
,σ
2
2;r)，则X及Y
的边缘分布有X～N(μ
1
,σ
1
2
)，Y～N(μ
2
,σ
2
2
)
解：
（X，Y）的联合密度为
()
()()()()
22
1122
2
2
2
1
21
xrxyy
r
μμμμ
σσσσ
+
在中，
() ( )
∫
+∞
∞?
= dyyxfxf
X
，
()
()()()()
+
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
12
1
σ
μ
σσ
μμ
σ
μ yyxrx
r
()
()
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
212
1
σ
μ
σ
μ
σ
μ?
=
xx
r
y
r
对y进行配方
()
()
()
dy
x
r
y
r
e
r
xf
x
X
∫
∞+
∞?
=
2
1
1
2
2
2
2
2
21
12
1
exp
12
1
2
1
2
1
σ
μ
σ
μ
σπσ
σ
μ
21
2
21
1
1
yx
ur
r
μμ
σσ
=?
令：
2
2
1 r
dy
du
=
σ
则，
作变换，
所以，
()
()
dueexf
u
x
X
∫
∞+
∞?
=
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
σ
μ
πσ
()
π
πσ
σ
μ
2
2
1
2
1
2
1
2
1
=
x
e
( )
2
1
2
1
2
1
2
1
σ
μ
σπ
=
x
e
()
()
()+∞<<∞?=
xexf
x
X
2
1
2
1
2
1
2
1
σ
μ
σπ
()
2
11
~XNμσ∴，
()
( )
()+∞<<∞?=
yeyf
y
Y
2
2
2
2
2
2
2
1
σ
μ
σπ
()
2
22
~YNμσ∴，
由（X，Y）的密度函数可知，X与Y的地位是对称的，
因此有结论（一）
二元正态分布的边缘分布是一元正态分布，且两个边缘分布中的参数与二元正态分布的参数r无关。
结论（二）
随机变量(X,Y)的联合密度一般不能由其两个边缘密度唯一确定。
3.4 条件分布与随机变量的独立性定义3.4.1,给定y，设对任意固定的正数h>0，极限
0
0
lim { | }
{,}
lim
{}
h
h
PX x y h Y y h
PX xy h Y y h
Py h Y y h
+
+
→
→
≤?<≤+
≤?<≤+
=
<≤+
存在，则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数.
记作
}|{)|(
|
yYxXPyxF
YX
=≤≡
类似地，可以定义
|
(|) { | }
YX
FyxPYyXx≡≤ =
3.4.1 条件分布
)(
),(
)|(
|
yf
duvuf
yxF
Y
x
YX
∫
∞?
=
() 0
Y
fy≠
定理3.4.1,p(80)设(X,Y)的联合密度为f(x,y)，当时，有当
() 0
X
fx≠
时，有
|
(,)
(|)
()
y
YX
X
fxvdv
Fyx
fx
∞
=
∫
若记为在Y=y条件下X的条件概率密度，
则由定理3.4.1知,当时，
,
)|(
|
yxf
YX
0)( ≠yf
Y
)(
),(
)|(
)|(
|
|
yf
yxf
x
yxF
yxf
Y
YX
YX
=
=
类似地，当时
0)( ≠xf
X
)(
),(
)|(
)|(
|
|
xf
yxf
y
xyF
xyf
X
XY
XY
=
=
|
|
(,) () ( | )
() (| )
XYX
YXY
fxy f xf yx
fyf xy
=
=
例.已知(X,Y)的概率密度为
22
1
(,)
0
ax y x y
fxy
<<
=
其它
(3)求条件概率密度
(4)求条件概率
3 1
{| }
42
PY X>=
(1)求常数a
(2)求边缘概率密度及
1
3
{|}
4
2
PY X>>
x
y
1
(1) a=21/4，
(2)
24
21
(1 ),1 1
()
8
0,
X
xx x
fx
<<
=
其它
5
2
7
,0 1
()
2
0,
Y
yy
fy
<<
=
其它
(3)当-1<x<1时，有
2
4
|
2
,1
(,)
(|)
1
()
0,
YX
X
y
xy
fxy
fyx
x
fx
<<
==
其它当-1<x<1时，有
3
2
2
|
3
,(,)
(|)
2
()
0,
XY
Y
xy y x yfxy
fxy
fy
<<
==
其它
（4）
3 1
{| }
42
PY X>=
3
|
4
1
( | )
2
YX
fydy
+∞
=
∫
13
(,)
1
24
3
{|}
4
1
2
()
2
PX Y
PY X
PX
>>
>>=
>
13
24
1
2
(,)
()
X
fxydydx
fxdx
+∞ +∞
+∞
=
∫∫
∫
7
15
=
3.4.2 独立性
?l@;A;?]5E@6
!=?
M
ef￥ ós?f
1 F(x,y)，边缘分布函数为F
X
(x)，F
Y
(y)，若 ?i￥
L
?9?μ F(x,y)=F
X
(x)F
Y
(y)
则称X与Y相互独立。
定义,设n维随机变量(X
1,
X
2
,...X
n
)的分布函数为
F(x
1
,x
2
,...x
n
),(X
1,
X
2
,...X
n
)的k（1≤k<n)维边缘分布函数就随之确定，如关于(X
1,
X
2
的边缘分布函数是
F
X1,X2(
x
1
,x
2
,)=F(x
1
,x
2,
∞,∞...∞)
若X
k
的边缘分布函数为F
Xk
(x
k
),k=1,2,…,n,
)()....()(),...(
211
21
nXXXn
xFxFxFxxF
n
=
则称X
1,
X
2
,...X
n
相互独立，或称(X
1,
X
2
,...X
n
)是独立的。
定理3.4.3：设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为f(x，y)，边缘密度f
x
(x)，f
y
(y)，则X与Y独立的充分必条件是有f(x，y)、f
x
(x)、f
y
(y)的一切公共连续点处有
(,) () ()
XY
fxy f xf y=
对连续型随机变量有下面的定理：
设X
1
，X
2
，…，X
n
为n 个连续型随机变量，且
X
1
，X
2
，…，X
n
相互独立，则在公共连续点处有
f (x
1
,x
2
,…,x
n
)＝f
X
1
(x
1
)f
X
2
(x
2
)…f
X
n
(x
n
)。
例
()
≤≤≤≤+
=
其它
，
，
0
2010
3
1
2
yxxyx
yxf
解：
时，当10 ≤≤ x
() ( )
∫
+∞
∞?
= dyyxfxf
X
，
∫
+=
2
0
2
3
1
dyxyx
xx
3
2
2
2
+=
设二维随机变量(X，Y)的密度函数为试判断随机变量X与Y是否相互独立？
()
≤≤+
=
其它0
10
3
2
2
2
xxx
xf
X
时，当20 ≤≤ y
() ( )
∫
+∞
∞?
= dxyxfyf
Y
，
∫
+=
1
0
2
3
1
dxxyx y
6
1
3
1
+=
所以，随机变量X的密度函数为所以，随机变量Y的密度函数为
()
≤≤+
=
其它0
20
6
1
3
1
yy
yf
Y
()()()yfxfyxf
YX
≠，
所以，随机变量X与Y不独立。
由于当0<x<1，0<y<2时，
()
2
2
201
3
0
X
xx x
fx
+≤≤
=
其它
()
2
1
01,0 2
,
3
0
xxy x y
fxy
+≤≤≤≤
=
其它
()
()
()()()()
+
=
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
2
12
1
exp
12
1
σ
μ
σσ
μμ
σ
μ
σπσ
yyxrx
r
r
yxf，
()
()
()+∞<<∞?=
xexf
x
X
2
1
2
1
2
1
2
1
σ
μ
σπ
定理3.4.3,设(X,Y) ～N(μ
1
,μ
2; σ
1
2
,σ
2
2;r)，则X及Y
独立的充分必要条件是r=0.
证明：(X，Y)的联合密度为又因为X的边缘密度函数为
()
()()
+
=
2
2
2
2
2
1
2
1
21
2
1
exp
2
1
σ
μ
σ
μ
σπσ
yx
yxf，
()
()
()+∞<<∞?=
yeyf
y
Y
2
2
2
2
2
2
2
1
σ
μ
σπ
() ()yfxf
YX
=
Y的边缘密度函数为所以，当r=0时，(X，Y)的联合密度函数为故X与Y相互独立。
特别地，我们有
，有，实数相互独立，则对任意的与反之，如果随机变量
yx
YX
()()()yfxfyxf
YX
=，
即，
()()()
2121
μμμμ
YX
fff?=，
21
2
21
2
1
2
1
12
1
σπσπ
σσπ
=
r
由此，有r=0.
> aB?ZE
?e?s5?69 $ $,∞I $?I $8 ∞9 $fJt5e61
M
e $
￥f
5 V5 pf￥s?f
F
Y
(y) " P{Y≤y}" P {g(X) ≤y}"
∫
≤ y)x(g
dx)x(f
?a pf￥
áf
dy
ydF
yf
Y
Y
)(
)( =
NE9?,s?f
E,;
3.5.1一维随机变量函数的分布
3.5 随机变量函数的分布例1.设X～U(-1,1),求Y=X
2
的分布函数与概率密度。
()
() ()
2
2
1
11
()
2
0
()
X
YX
xy
x
fx ygx x
Fy PY y f xdx
≤
< <
===
∴ =≤=
∫
∵
其它当y<0时0)( =yF
Y
() 1
Y
Fy=
当y ≥1时当0≤y<1时
ydxF
y
y
Y
==
∫
2
1
<<
==
其它0
10
2
1
)(')(
y
y
yFyf
YY
一般方法的步骤Y=f(X)：
(1) 确定Y的取值范围R(Y)；
（2）求Y的分布函数,任意y ∈R(Y),
F
Y
(y) " P{Y≤y}" P {g(X) ≤y}"
（3）对分布函数求导，
(4) 最后总结，
∫
≤ y)x(g
dx)x(f
dy
ydF
yf
Y
Y
)(
)( =
'( ) ( )
()
0
Y
Y
Fy yRY
fy
∈
=
其它
? ?@;B;>]5EC6;
!e￥à
q
á1s
e
5?69?Jt5?6
^?￥?ì??f
O Qf
t
:>
5?6μ ???
5fJt5e69
^ ??
M
à
q
á1
F
Y
(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}
=P{X ≤ g
-1
(y)}=F
X
(g
-1
(y))
3
!t5?61?ì?95t
:>
5?69?ì??
?9V7ht
:>
5?6j ’K=;
[ ?i y ∈(α，β)μs
?f
1
11'
(()|[()]|,
()
0,
X
Y
fg y g y y
fy
αβ
<<
=
其它其中，区间（）为Y的值域。
,αβ
∴f￥à
q
á1
f
Y
(y)=F′(g
-1
(y))=f
X
(g
-1
(y))[g
-1
(y)] ￡? y ∈(α，β)
!t5?61?ì?h5t
:>
5?69?ì???hV7
ht
:>
5?6j $ ￡I=;
[ ?i y ∈(α，β)μs?f
1
F
Y
(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}
=P{X ≥g
-1
(y)}=1-F
X
(g
-1
(y))
∴f￥à
q
á1
f
Y
(y)= F′(g
-1
(y))= f
X
(g
-1
(y))[g
-1
(y)] ￡? y ∈(α，β)
例：设随机变量X～N（μ，σ
2
），Y=10
X
，求Y的分布函数。
11'
(()|[()]|,
()
0,
X
Y
fg y g y y
fy
αβ
<<
=
其它
2
2
(lg )
2
'
lg
,0
(()|[()]|
2
0,
y
X
e
ey
flgy lgy
y
μ
σ
πσ
<<+∞
=?=
其它
2、线性变换和平方变换定理3.5.2 设随机变量X有密度函数f
X
(x)，则
（1）若Y=aX+b，则有
1
() ( ),();
||
YX
yb
fy f yRY
aa
=∈
（2）若Y=X
2
，则有
1
( ) [ ( ) ( )],( ).
2
YXX
fy f y f y yRY
y
=+?∈
() ()
2
()
YX
xy
Fy PY y f xdx
≤
=≤=
∫
当y<0时
0)( =yF
Y
当y ≥0时
()
y
X
y
f xdx
=
∫
(1) 对于Y=aX+b由定理3.5.1易得。
(2) 对于Y=X
2
有
'
1
() () [ ( ) ( )],().
2
YY X X
fy Fy f y f y yRY
y
∴ == +? ∈
例.已知X～N(0,1),.求.
2
YX=
()
Y
fy
解当X~N (0,1)时,Y=X
2
≥0,以记X的密度,则
()x?
()()
22
1
22
1
()
2
11 1
22 2
1
,
2
Y
yy
y
fy y y
y
ee
y
ye
ππ
π
=+?
=+
=
即
()
1
22
1
,0
2
0,0.
y
Y
ye y
fy
y
π
>
=
≤
Y是服从自由度为1的分布,记作Y～
即为Γ（1/2，1/2）
2
χ
2
(1).χ
3.5.2二维随机变量函数的分布P（88）
> aB?ZE5 s?f
E 6 $ $ $ $ $ ?
ef ~ s5??6 9 $ $
,∞I $?9?I $8 ∞9 $gJs5e9f61
M
e￥f
5 pg￥
áf
￥B?ZE1
(1) 确定Z的取值范围z∈R(Z)；
（2）求Z的分布函数，任取z∈R(Z)，F
Z
(z) " P{Z≤z}
" P {f(X,Y) ≤z}" P { (X,Y) ? G(z)}
（3）对分布函数求导，
(4) 最后总结，
(,) ()
(,)
XY Gz
fxydxdy
∈
=
∫∫
()
()
Z
Z
dF z
fz
dz
=
'( ) ( )
()
0
Z
Z
Fz zRZ
fz
∈
=
其它例：设随机变量X，Y相互独立，其密度函数分别为
1,0 1
()
0,
X
x
fx
≤≤
=
其它
,0
()
0,
y
Y
ey
fy
>
=
其它求随机变量Z=2X+Y的分布函数与密度函数。
(1) R(Z)=(0，+∞);
(2) 任意取z∈(0，+∞);
() ( ) (2 )
Z
Fz PZ z P X Y z=≤= +≤
当z/2≤1时，
2
2
() (,)
z
zx
Z
Fz fxydydx
∞?∞
=
∫∫
2
2
00
z
zx
y
edydx
=
∫∫
11
22 2
z
z
e
=+?
当z/2>1时，
12
00
()
zx
y
Z
Fz edydx
=
∫∫
2
1
1( )
2
zz
ee
=
(3)对分布函数求导，得
2
1
(1 ),0 2
2
()
1
(),2
2
z
Z
zz
ez
fz
eez
≤≤
=
>
(4)归纳总结，得
2
1
(1 ),0 2
2
1
() ( ),2
2
0,
z
zz
Z
ez
fz e e z
≤≤
=?>
其它
? a ???￥
T#
M
￥ VF?
定理3.5.3：设二维随机变量（X，Y）的联合密度为
f(x,y)，Z=X+Y，则Z的密度函数为
∫∫
∞
∞?
∞
∞
=?=
－
或
.),(),()( dxxzxdyyyzfzf
Z
若X与Y相互独立，则Z＝X＋Y的密度函数
.dx)xz(f)x(fdy)y(f)yz(f)z(f
YXYXZ
=
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
或
＝
这个公式叫X与Y的卷积公式.
() { } { }
()
Z
xyz
Fz PZ z PXY z
fx ydxdy
+≤
=≤=+≤
=
∫∫
，
()
∫∫
∞?
+∞
∞?
=
xz
dyyxfdx，
作变换y=u-x，则有证明：取z∈R（Z），则Z的分布函数为
() ( )
()
z
Z
z
Fz dx fx uxdu
du f x u x dx
+∞
∞?∞
+∞
∞?∞
=?
=?
∫∫
∫∫
，
，
z
x+y=z
x+y≤ z
x
y
O
x + y = z
() ( )
[]
z
Z
Fz f xuxdxdu
+∞
∞?∞
=?
∫∫
，
即有
() () ()
()
[]
z
ZZ
d
fz Fz fxuxdxdu
dz
fx z xdx
+∞
∞?∞
+∞
∞
′
==?
=?
∫∫
∫
，
，
由分布函数与密度函数之间的关系，上式对z求导，可得Z=X+Y的密度函数为注意到在前面的积分中
() () ()
zx
Z
xyz
Fz fx ydxdy dx fx ydy
+∞?
+ ≤?∞?∞
==
∫∫ ∫ ∫
，，
我们是先对y，后对x积分的，若将其改成先对x，后对y积分，
通过类似的计算，有特别地，如果随机变量X与Y相互独立，则有
()()()yfxfyxf
YX
=，
此时，我们有
() ( )
Z
fz fzy ydy
+∞
∞
=?
∫
，
或者
() ( ) ()
ZXY
fz fzyfydy
+∞
∞
=?
∫
() () ( )
ZXY
f z f x f zxdx
+∞
∞
=?
∫
我们称上式为函数与的卷积，记作()
X
f x ()
Y
fy
() ()yfxf
YX
*
因此，我们有以下结论：
如果随机变量X与Y相互独立，则它们的和Z=X+Y的密度函数等于X与Y密度函数的卷积:
() () ()yfxfzf
YXZ
*=
() () ( )
∫
+∞
∞?
= dxxzfxfzf
YXZ
() ( ) ()
∫
+∞
∞?
= dyyfyzfzf
YXZ
()
<<
=
其它0
101 x
xf
X ()
<<
=
其它0
101 y
yf
Y
() () ( )
∫
+∞
∞?
= dxxzfxfzf
YXZ
例,设随机变量X与Y相互独立，都服从区间(0,1)上的均匀分布,
令Z=X+Y，试求随机变量Z的密度函数.
解：
由题意，可知
()
Z
fz
设随机变量Z=X+Y的密度函数为，则有
() () ( )
ZXY
fz fxfzxdx
+∞
∞
=?
∫
01,0 1xzx<< <?<
x
z
0=? xz
1=? xz
0
1
1
2
的密度函数为综上所述，我们可得
YXZ +=
(1) 若或
0,z ≤
2,( ) 0.
Z
zfz≥=
(2) 若
0
01,()1.
z
Z
zfz dxz<≤ = =
∫
(3) 若
1
1
12,()12.
Z
z
z f zdxz
<< = =?
∫
()
01
21 2
0
Z
zz
fz z z
<≤
=? <<
其它
x
z
0=? xz
1=? xz
0
1
1
2
定理3.5.4(正态分布的可加性) 设X～N(μ
1
,σ
1
2
),
Y～N(μ
2
,σ
2
2
)且X与Y独立，则
Z=X+Y～N(μ
1
+μ
2
,σ
1
2
+σ
2
2
)
证明由正态分布的密度及卷积公式
22
12
12 1 2
() () ( )
()( )11
exp,
22
ZXY
fz fxfzxdx
xzx
dx
μμ
πσ σ σ σ
+∞
∞
+∞
∞
=?
=?+
∫
∫
展开被积函数的指数，整理可得
2
(2)
12
1
(),
2
ax bx c
Z
f zedx
πσ σ
+∞
+
∞
=
∫
其中
22
12 1 2
22 2 2 2
12 1 1 2
()11 1 1 1
,,.
zz
ab c
μμ μ μ
σσ σ σ σ σ
=+=+ =+
不难计算
2
2
(2)
,
ac b
ax bx c
a
edxe
a
π
+∞
+
∞
=?
∫
代入后可得
[]
2
12
22
12
()
2( )
22
12
1
(),
2
z
Z
fz e
μμ
σσ
πσ σ
+
+
=
+
由此可知
22
121 2
(,)ZXYNμμσσ=+ + +～
一般地，有定理3.5.5 设随机变量X
1
,X
2
，...,X
n
独立且X
i
服从正态分布N(μ
i
,σ
i
2
),i=1,...,n,则
22
111
~(,)
nnn
ii ii ii
cX N c cμσ
===
∑∑∑
其中c1,c2,…为常数。
() { }
Z
X
Fz PZ z P z
Y
=≤= ≤
二．商的分布
()
Z
fz．
X
Z
Y
=，
设(X,Y)是二维连续型随机变量，其联合密度函数为f(x,y)
令下面计算随机变量Z的密度函数首先计算随机变量Z的分布函数().
Z
Fz
()
∫∫
≤
=
z
y
x
dxdyyxf，
() ()
∫∫∫∫
<≤>≤
+=
00 yz
y
x
yz
y
x
dxdyyxfdxdyyxf
，，
，，
x
y
yzx ≤
yzx ≥
() ()
∫∫∫∫
<≥>≤
+=
00 yzyxyzyx
dxdyyxfdxdyyxf
，，
，，
() ()
∫∫∫∫
+∞
∞?∞?
+∞
+=
zy
zy
dxyxfdydxyxfdy，，
0
0
在第一个积分中，作变换x=uy，则dx=udy，当下x=zy时，u=z；
当时，注意到y>0，因而有；x →?∞ u →?∞
() ( )
() ()
00
.
zy
z
zz
dy f x y dx dy f uy y ydu
du yf uy y dy du y f uy y dy
+∞ +∞
∞?∞
+∞ +∞
∞?∞
=
==
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
，，
同理在第二个积分中，作变换x=uy，则dx=udy，当x=zy时，u=z；
当时，注意到y>0，因而有；
x →+∞
u →?∞
() ( )yduyuyfdydxyxfdy
zzy
∫∫∫∫
∞
∞?
+∞
∞?
=，，
00
()( )dyyuyfydu
z
∫∫
∞?∞?
=
0
，()dyyuyfydu
z
∫∫
∞?∞?
=
0
，
() () ()
()
0
0
zz
Z
z
F z du y f uy y dy du y f uy y dy
yf uy ydydu
+∞
∞?∞?∞
+∞
∞?∞
=+
=
∫∫ ∫∫
∫∫
，，
，
所以，由密度函数的定义有
() (,)
Z
fz yfzyydy
+∞
∞
=
∫
特别地，如果随机变量X与Y相互独立，则有
()()()yfxfyxf
YX
=，
此时，我们有
() ()()
∫
+∞
∞?
= dyyfyzfyzf
YXZ
解：
的密度函数．量
，试求随机变的指数分布，令与数为相互独立，分别服从参与设随机变量
Z
Y
X
Z
YX
=
21
λλ
由题意，可知
()
≤
>
=
00
0
1
1
x
xe
xf
x
X
λ
λ
()
≤
>
=
00
0
2
2
y
ye
yf
y
Y
λ
λ
例：
Y
X
Z =设：
相互独立性，我们有与由随机变量YX
() ()()
∫
+∞
∞?
= dyyfyzfyzf
YXZ
，⑴．若0≤z ( )．0=zf
Z
y
z
0,0 >> yz
，⑵．若0>z
()zf
Z
∫
+∞
=
0
21
21
dyeey
yyz λλ
λλ
0,0yz y>>
()
∫
+∞
+?
=
0
21
12
dyey
yzλλ
λλ
()
2
12
21
zλλ
λλ
+
=
的密度函数为所以，
Y
X
Z =
()
()
≤
>
+
=
00
0
2
12
21
z
z
z
zf
Z
λλ
λλ
4.Max、Min型随机变量的分布定理3.5.8 设X、Y是两个相互独立的随机变量，
其分布函数分别是F
X
(x),F
Y
(y).又设M=max{X,Y},
N=Min{X,Y},则M,N也是随机变量，且M,N的分布函数为
F
M
(z)＝F
X
(z) F
Y
(z)
( ) 1 [1 ( )][1 ( )].
NXY
Fz Fz Fz=
证明由定义及X、Y的独立性，有
() ( ) (,)
( ) ( ) () (),
M
XY
Fz PM z PX zY z
PX z PY z F z F z
=≤=≤≤
=≤?≤=?
() ( ) 1 ( )
1(,)
1( )( )
1[1 ( )][1 ( )]
1 [1 ( )][1 ( )]
N
XY
Fz PN z PN z
PX zY z
PX zPY z
PX z PY z
Fz Fz
=≤=?>
=? > >
=? > >
= ≤? ≤
=
定理3.5.9设X
1
,X
2
,…,X
n
相互独立，其分布函数分别为F
1
(x
1
),F
2
(x
2
),…,F
n
(x
n
)，设
M＝max{X
1
,X
2
,…,X
n
},N＝min{X
1
,X
2
,…,X
n
}
则，M和N的分布函数分别为：
F
M
(z)＝F
1
(z) … F
n
(z)
.)](1[1)(
1
∏
=
=
n
i
iN
zFzF
推论设X
1
,X
2
,…,X
n
相互独立,且有相同的分布函数
F(x),则
F
M
(z)＝[F(z)]
n
F
N
(z)＝1-[1-F(z)]
n
典型题分析例：设随机变量X有分布函数为
0,0
(),0,
3
1,
3
x
Fx Atgx x
x
π
π
<
=≤≤
>
求常数A及概率P(|X|≤π/6).
解：连续型随机变量分布函数一定是连续的。
0
3
() lim ()1
33
x
xF Fx
π
ππ
→+
∴ ===在,有
3
3
A?=
(| | ) ( )
666
Px P x
πππ
≤=?≤≤ () ( )
66
FF
ππ
=
31
0
36 3
tg
π
=?=
6
6
()fxdx
π
π
=
∫
6
2
0
3
sec
3
xdx
π
=
∫
例：设电源电压U～N(220,225)(单位:V)有三种情况：
(1)不超过200V；
(2)在200V ～240V之间；
(3)超过240V。
在上述三种情况下，某型号电子元件损坏的概率分别为0.1,0.01,0.2,问：
(1)任取一个这种元件，求元件损坏的概率；
(2)若已知电子元件损坏，电压最可能在什么区间？
解：设B表示任取一个电子元件损坏；A
i
表示电压处于第i种情况，i=1,2,3.显然A
1
,A
2
,A
3
构成一个划分。
1
() ( 200)PA PU=≤
200 220
()(0.8)
25
=Φ =Φ?
1 (0.8) 1 0.7881 0.2119=?Φ =? =
2
( ) (200 240)PA P U=<≤ (0.8) ( 0.8)=Φ?Φ?
2 (0.8) 1 0.5762=Φ?=
3
( ) ( 240)PA PU=>
1 (0.8) 0.2119=?Φ =
由全概率公式得
3
1
() ( )( | )
0.2119 0.1 0.5762 0.01 0.2119 0.2
0.0693
ii
i
PB PAPB A
=
=
=×+×+×
=
∑
例：设随机变量Ｘ的密度函数为
||
() ( 0)
x
a
fx Ce a
=>
(1)试确定常数Ｃ；
(2)求Ｘ的分布函数；
(3)求P{|X|<2};
(4)求Y=X
2
/4的密度函数。
例：设随机变量(X,Y)的联合密度函数为
,0
(,)
0,
y
cxe x y
fxy
<<<+∞
=
其它
(1)求常数c,
(2)求边缘概率密度，Ｘ与Ｙ是否独立？
(3)求f
X|Y
(x|y)及f
Y|X
(y|x),
(4)求（Ｘ，Ｙ）的联合分布函数，
(5)求Ｚ＝Ｘ＋Ｙ的密度函数，
(6)求Ｍ＝max(X,Y)和m=min(X,Y)的密度函数；
(7)求Ｐ（Ｘ＋Ｙ<１）
