?
tc
?
tc
?
9
?
9
开课系：数学学院主讲教师：刘亚平
Email:yapingliu66@tom.com
§7.1 点估计
F(x;θ)也可用分布律或密度函数代替.
定义7.1.1 设总体X分布函数为F(x; θ),θ∈Θ。其中θ为未知参数,Θ为参数空间,X
1
，
…
，X
n
是X的一个样本，观察值为x
1
，x
2
，…，x
n
。构造统计量(X
1
，
…
，X
n
)，用它的观察值(x
1
，x
2
，…，x
n
)来估计未知参数θ,则称（x
1
，x
2
，…，x
n
）为θ的一个估计值，
称(X
1
，
…
，X
n
)为θ的一个估计量，它是一个随机变量。简记为
θ
θ
θ
θ
θ
点估计的一般方法是矩估计法与极大似然法。
矩估计法基本原理：用样本矩作为总体同阶矩的估计，即
1
1
(),
n
rr
rir
i
mEX X A
n
=
== =
∑
例：设X
1
，
…
，X
n
为取自总体B(m,p),的样本，
其中m已知，0<p<1未知，求p的矩估计。
例：设X
1
，
…
，X
n
为取自任意总体X的样本，且X的期望得和方差均存在，求参数的矩估计。
2
,σμ
μ
2
σ
极大似然法基本原理：在参数空间中，选择一个参数的估计，
使得观察值出现的概率最大。
设总体X为离散型随机变量，它的分布律为
{}(,)PX x Pxθ==
其中为未知参数,样本观察值x
1
,x
2
,…x
n,
,根据极大似然思想，如何用x
1
,x
2
,…x
n
估计?
θ
θ
记
112 2
() {,,}
nn
LPXxXxXxθ === = "
1
(,).
n
i
i
pxθ
=
=
∏
称函数为似然函数。
()L θ
设总体X为连续型随机变量，它的密度函数为
~(,)Xfxθ
其中为未知参数,样本观察值x
1
,x
2
,…x
n,
,似然函数如何写?
()L θ
θ
1
() (,).
n
i
i
Lfxθθ
=
=
∏
连续型总体的似然函数定义7.1.2：设总体X仅含一个未知参数，
并且总体的分布律或密度函数已知，x1,x2
x3,…,xn为一组样本观察值。若存在的一个值，使得时
θ
1
(,,)
n
xxθ !
θ
θθ=
则称是的极大似然估计值。统计量是的极大似然估计值。
1
(,,)
n
xxθ !
1
(,,)
n
XXθ !
θ
θ
() max ()LLθθ=
极大似然法的一般步骤：
(1)写出似然函数；
(2)对似然函数求对数；
1
() (,).
n
i
i
Lfxθθ
=
=
∏
1
(,).
n
i
i
pxθ
=
=
∏
或
(4)令导数为0；解方程
ln ( ) 0,
d
L
d
θ
θ
=
(5) 方程的解为未知参数的极大似然估计。
(3)对求对数后的似然函数求导；
例：设X
1
，
…
，X
n
为取自总体B(m,p),的样本，
其中m已知，0<p<1未知，求p的极大似然估计。
例.设X
1
，…，X
n
为取自参数为λ的泊松分布总体的样本，求λ的极大似然估计例：设X
1
，
…
，X
n
为取自总体的样本，求参数的极大似然估计。
2
,σμ
),(
2
σμN
的概率密度为：解：X
})(
2
1
exp{
2
1
),;(
2
2
2
μ
σσπ
σμ= xxf
似然函数为：
∏
=
=
n
i
i
xL
1
2
2
2
})(
2
1
exp{
2
1
),( μ
σ
σπ
σμ
∑
=
=
n
i
i
x
nn
L
1
2
2
)(
2
1
)ln(
2
)2ln(
2
ln μ
σ
σπ
=?+
=?
=
=
∑
∑
=
=
0)(
)2(
1
2
n
-
0][
1
0
ln
0
ln
2
1
222
1
2
2
μ
σσ
μ
σ
σ
μ
n
i
i
n
i
i
x
nx
L
L
即：令
∑
∑
=
=
=
==
n
i
i
n
i
i
XX
n
xx
n
1
22
1
)(
1
1
σ
μ解得：
§7.2 估计量的评选标准
7.2.1无偏性
^
Eθθ=
定义7.2.1：设的数学期望等于参数,即
^^
1
(,,)
n
XXθθ= "
θ
则称是参数的无偏估计量。
反之称为有偏估计量。
^
1
(,,)
n
XXθ "
θ
1
1
() ( )
n
i
i
EX E X
n
=
=
∑
例：设总体X服从任意分布，且，
是来自总体的样本，证明样本均值和样本方差分别是和的无偏估计量，而样本二阶中心矩是有偏估计量.
2
,EX DXμσ==
1
,,
n
XX !
X
2
S
μ
2
σ
2
1
1
[( )]
n
i
i
EXX
n
=
∑
1
1
(),
n
i
i
EX E X
n
μ
=
===
∑
22
1
1
()
n
i
i
EXnX
n
=
=?
∑
22
1
1
(() ()
n
i
i
EX nEX
n
=
=?
∑
2
1n
n
σ
=
22
1
11
() [ ( )]
1
n
i
i
ES E X X
nn
=
=?
∑
2
σ=
7.2.2有效性定义7.2.2,设和是的两个无偏估计量，若
^^
22
1
(,,)
n
XXθθ= "
^^
11
1
(,,)
n
XXθθ= "
θ
^^
12
DDθθ<
则称比有效。
^
1
θ
^
2
θ
例：设总体X在上服从均匀分布，
是样本，证明：和都是的无偏估计，问哪一个更有效？
[0,]θ
1
,,
n
XX !
1
2Xθ=
θ
2
1
1
max{}
i
in
n
X
n
θ
≤≤
+
=
7.2.3 一致性定义7.2.3:P(190)若对任意的ε>0,有
lim (| | ) 1
n
n
P θθε
→∞
<=
则称是的一致估计量（或称相合估计量）
θ
θ
例：设X
1
，
…
，X
n
为取自任意总体X的样本，且X的期望得和方差均存在，证明样本均值是总体均值的一致估计量。
μ
2
σ
X
μ
§7.3 区间估计
7.3.1 置信区间
^^
12
{}1*P θθθ α<< =?
定义：设总体X的分布函数F(x；θ)含有未知参数θ
，对于给定值α（0< α<1),若由样本X
1
,
…
,X
n
确定的两个统计量和使
^
1
1
(,,)
n
XXθ "
^
2
1
(,,)
n
XXθ "
则称随机区间为θ的置信度为1?α的置信区间。
^^
12
(,)θθ
和分别称为1?α的置信上限和置信下限。
^
1
θ
^
2
θ
1?α称为置信水平（置信度）
区间估计的基本思想：
(1)设X1，X2，…，Xn是总体X的样本，取未知参数
θ的一个较优的无偏点估计;
^
1
(,,)
n
XXθ "
(2)从无偏估计θ出发，构造一个样本的函数
1
(,,;)
n
WWX Xθ= !
且W的分布已知，仅含有一个未知数θ，W的分位点可查表；
(3)对于给定的置信水平1-α，查W的α/2与1- α/2分位点
a,b,使得
{}1Pa W b α<<=?
(4)从不等式a<W<b中解出θ，得出等价形式
11
(,,)
n
XXθ !
21
(,,)
n
XXθθ<< !
则随机区间为所求θ的置信度为1?α的置信区间。此时有
^^
12
(,)θθ
^^
12
{}1P θθθ α<< =?
7.3.2 正态总体未知参数的置信区间
（1）一个正态总体的情形
。，的置信区间下，来确定在置信度的一个样本。为总体设
][1
),(~,,
21
2
1
θθμα
σμ
NXxx
n
"
1、已知σ
2
= σ
0
2
，求总体均值μ的置信区间
(2)构造样本函数
0
~(0,1)
/
X
UN
n
μ
σ
=
(1)是一个较优的无偏点估计;
X
μ
α/2
α/2
2
α
μ
1
2
0
α
μ
1-α
(3)对于给定的置信水平1-α，查U的α/2与1- α/2分位点使得
/2 1 /2
,
αα
μμ
1/2
{| | } 1PU
α
μα
<=?
(4)解不等式
1/2
||U
α
μ
<
得置信区间为
00
1/2 1/2
(,)XX
nn
αα
σσ
μμ
+
例：从某厂生产的一种钢球中随机抽取7个，测得它们的直径(单位：mm)为
5.52,5.41,5.18,5.32,5.64,5.22,5.76
若钢球直径服从正态分N（μ，0.16
2
)，求这种钢球平均直径μ的置信度为95%的置信区间。
2、σ
2
未知，求总体均值μ的置信区间
(2) 构造样本函数
~( 1)
/
X
ttn
Sn
μ?
=?
(1)是一个较优的无偏点估计;
X
μ
(3)对于给定的置信水平1-α，查t(n-1)的α/2与
1- α/2分位点使得
/2 1 /2
(1),(1)tn t n
αα?
2
(1)tn
α
1
2
0(1)tn
α
1-α
/2 1 /2
{(1) (1)}
1
Pt n t t n
αα
α
<<?
=?
(4)解不等式
1/2
|| ( 1)tt n
α?
<?
得置信区间为
1/2 1/2
((1),(1))
SS
Xt n Xt n
nn
αα
+?
例：从某厂生产的一种钢球中随机抽取7个，测得它们的直径(单位：mm)为
5.52,5.41,5.18,5.32,5.64,5.22,5.76
若钢球直径服从正态分N（μ，σ
2
)，且σ
2
未知，求这种钢球平均直径μ的置信度为95%的置信区间。
3、μ未知，求总体方差σ
2
的置信区间
(2) 构造样本函数
2
22
2
(1)
~(1)
nS
nχχ
σ
=?
(1)是一个较优的无偏点估计;
2
S
2
σ
(3)对于给定的置信水平1-α，查χ
2
的α/2与
1- α/2分位点使得
22
/2 1 /2
,
αα
χχ
222
/2 1 /2
{(1) (1)}1Pn n
αα
χχχ α
< <? =?
(4)解不等式
222
/2 1 /2
(1) (1)nn
αα
χχχ
< <?
得置信区间为
22
2
22
1/2 /2
(1) (1)
(1) (1)
nS nS
nn
αα
σ
χχ
<<
例:设某机床加工的零件长度，),(~
2
σμNX
今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下：
12.15,12.12,12.01,12.08,
12.09,12.16,12.03,12.01,
12.06,12.13,12.07,12.11,
12.08,12.01,12.03,12.06,
在置信度为95%时，试求总体方差的置信区间。
2
σ
tc
?
tc
?
9
?
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开课系：数学学院主讲教师：刘亚平
Email:yapingliu66@tom.com
§7.1 点估计
F(x;θ)也可用分布律或密度函数代替.
定义7.1.1 设总体X分布函数为F(x; θ),θ∈Θ。其中θ为未知参数,Θ为参数空间,X
1
，
…
，X
n
是X的一个样本，观察值为x
1
，x
2
，…，x
n
。构造统计量(X
1
，
…
，X
n
)，用它的观察值(x
1
，x
2
，…，x
n
)来估计未知参数θ,则称（x
1
，x
2
，…，x
n
）为θ的一个估计值，
称(X
1
，
…
，X
n
)为θ的一个估计量，它是一个随机变量。简记为
θ
θ
θ
θ
θ
点估计的一般方法是矩估计法与极大似然法。
矩估计法基本原理：用样本矩作为总体同阶矩的估计，即
1
1
(),
n
rr
rir
i
mEX X A
n
=
== =
∑
例：设X
1
，
…
，X
n
为取自总体B(m,p),的样本，
其中m已知，0<p<1未知，求p的矩估计。
例：设X
1
，
…
，X
n
为取自任意总体X的样本，且X的期望得和方差均存在，求参数的矩估计。
2
,σμ
μ
2
σ
极大似然法基本原理：在参数空间中，选择一个参数的估计，
使得观察值出现的概率最大。
设总体X为离散型随机变量，它的分布律为
{}(,)PX x Pxθ==
其中为未知参数,样本观察值x
1
,x
2
,…x
n,
,根据极大似然思想，如何用x
1
,x
2
,…x
n
估计?
θ
θ
记
112 2
() {,,}
nn
LPXxXxXxθ === = "
1
(,).
n
i
i
pxθ
=
=
∏
称函数为似然函数。
()L θ
设总体X为连续型随机变量，它的密度函数为
~(,)Xfxθ
其中为未知参数,样本观察值x
1
,x
2
,…x
n,
,似然函数如何写?
()L θ
θ
1
() (,).
n
i
i
Lfxθθ
=
=
∏
连续型总体的似然函数定义7.1.2：设总体X仅含一个未知参数，
并且总体的分布律或密度函数已知，x1,x2
x3,…,xn为一组样本观察值。若存在的一个值，使得时
θ
1
(,,)
n
xxθ !
θ
θθ=
则称是的极大似然估计值。统计量是的极大似然估计值。
1
(,,)
n
xxθ !
1
(,,)
n
XXθ !
θ
θ
() max ()LLθθ=
极大似然法的一般步骤：
(1)写出似然函数；
(2)对似然函数求对数；
1
() (,).
n
i
i
Lfxθθ
=
=
∏
1
(,).
n
i
i
pxθ
=
=
∏
或
(4)令导数为0；解方程
ln ( ) 0,
d
L
d
θ
θ
=
(5) 方程的解为未知参数的极大似然估计。
(3)对求对数后的似然函数求导；
例：设X
1
，
…
，X
n
为取自总体B(m,p),的样本，
其中m已知，0<p<1未知，求p的极大似然估计。
例.设X
1
，…，X
n
为取自参数为λ的泊松分布总体的样本，求λ的极大似然估计例：设X
1
，
…
，X
n
为取自总体的样本，求参数的极大似然估计。
2
,σμ
),(
2
σμN
的概率密度为：解：X
})(
2
1
exp{
2
1
),;(
2
2
2
μ
σσπ
σμ= xxf
似然函数为：
∏
=
=
n
i
i
xL
1
2
2
2
})(
2
1
exp{
2
1
),( μ
σ
σπ
σμ
∑
=
=
n
i
i
x
nn
L
1
2
2
)(
2
1
)ln(
2
)2ln(
2
ln μ
σ
σπ
=?+
=?
=
=
∑
∑
=
=
0)(
)2(
1
2
n
-
0][
1
0
ln
0
ln
2
1
222
1
2
2
μ
σσ
μ
σ
σ
μ
n
i
i
n
i
i
x
nx
L
L
即：令
∑
∑
=
=
=
==
n
i
i
n
i
i
XX
n
xx
n
1
22
1
)(
1
1
σ
μ解得：
§7.2 估计量的评选标准
7.2.1无偏性
^
Eθθ=
定义7.2.1：设的数学期望等于参数,即
^^
1
(,,)
n
XXθθ= "
θ
则称是参数的无偏估计量。
反之称为有偏估计量。
^
1
(,,)
n
XXθ "
θ
1
1
() ( )
n
i
i
EX E X
n
=
=
∑
例：设总体X服从任意分布，且，
是来自总体的样本，证明样本均值和样本方差分别是和的无偏估计量，而样本二阶中心矩是有偏估计量.
2
,EX DXμσ==
1
,,
n
XX !
X
2
S
μ
2
σ
2
1
1
[( )]
n
i
i
EXX
n
=
∑
1
1
(),
n
i
i
EX E X
n
μ
=
===
∑
22
1
1
()
n
i
i
EXnX
n
=
=?
∑
22
1
1
(() ()
n
i
i
EX nEX
n
=
=?
∑
2
1n
n
σ
=
22
1
11
() [ ( )]
1
n
i
i
ES E X X
nn
=
=?
∑
2
σ=
7.2.2有效性定义7.2.2,设和是的两个无偏估计量，若
^^
22
1
(,,)
n
XXθθ= "
^^
11
1
(,,)
n
XXθθ= "
θ
^^
12
DDθθ<
则称比有效。
^
1
θ
^
2
θ
例：设总体X在上服从均匀分布，
是样本，证明：和都是的无偏估计，问哪一个更有效？
[0,]θ
1
,,
n
XX !
1
2Xθ=
θ
2
1
1
max{}
i
in
n
X
n
θ
≤≤
+
=
7.2.3 一致性定义7.2.3:P(190)若对任意的ε>0,有
lim (| | ) 1
n
n
P θθε
→∞
<=
则称是的一致估计量（或称相合估计量）
θ
θ
例：设X
1
，
…
，X
n
为取自任意总体X的样本，且X的期望得和方差均存在，证明样本均值是总体均值的一致估计量。
μ
2
σ
X
μ
§7.3 区间估计
7.3.1 置信区间
^^
12
{}1*P θθθ α<< =?
定义：设总体X的分布函数F(x；θ)含有未知参数θ
，对于给定值α（0< α<1),若由样本X
1
,
…
,X
n
确定的两个统计量和使
^
1
1
(,,)
n
XXθ "
^
2
1
(,,)
n
XXθ "
则称随机区间为θ的置信度为1?α的置信区间。
^^
12
(,)θθ
和分别称为1?α的置信上限和置信下限。
^
1
θ
^
2
θ
1?α称为置信水平（置信度）
区间估计的基本思想：
(1)设X1，X2，…，Xn是总体X的样本，取未知参数
θ的一个较优的无偏点估计;
^
1
(,,)
n
XXθ "
(2)从无偏估计θ出发，构造一个样本的函数
1
(,,;)
n
WWX Xθ= !
且W的分布已知，仅含有一个未知数θ，W的分位点可查表；
(3)对于给定的置信水平1-α，查W的α/2与1- α/2分位点
a,b,使得
{}1Pa W b α<<=?
(4)从不等式a<W<b中解出θ，得出等价形式
11
(,,)
n
XXθ !
21
(,,)
n
XXθθ<< !
则随机区间为所求θ的置信度为1?α的置信区间。此时有
^^
12
(,)θθ
^^
12
{}1P θθθ α<< =?
7.3.2 正态总体未知参数的置信区间
（1）一个正态总体的情形
。，的置信区间下，来确定在置信度的一个样本。为总体设
][1
),(~,,
21
2
1
θθμα
σμ
NXxx
n
"
1、已知σ
2
= σ
0
2
，求总体均值μ的置信区间
(2)构造样本函数
0
~(0,1)
/
X
UN
n
μ
σ
=
(1)是一个较优的无偏点估计;
X
μ
α/2
α/2
2
α
μ
1
2
0
α
μ
1-α
(3)对于给定的置信水平1-α，查U的α/2与1- α/2分位点使得
/2 1 /2
,
αα
μμ
1/2
{| | } 1PU
α
μα
<=?
(4)解不等式
1/2
||U
α
μ
<
得置信区间为
00
1/2 1/2
(,)XX
nn
αα
σσ
μμ
+
例：从某厂生产的一种钢球中随机抽取7个，测得它们的直径(单位：mm)为
5.52,5.41,5.18,5.32,5.64,5.22,5.76
若钢球直径服从正态分N（μ，0.16
2
)，求这种钢球平均直径μ的置信度为95%的置信区间。
2、σ
2
未知，求总体均值μ的置信区间
(2) 构造样本函数
~( 1)
/
X
ttn
Sn
μ?
=?
(1)是一个较优的无偏点估计;
X
μ
(3)对于给定的置信水平1-α，查t(n-1)的α/2与
1- α/2分位点使得
/2 1 /2
(1),(1)tn t n
αα?
2
(1)tn
α
1
2
0(1)tn
α
1-α
/2 1 /2
{(1) (1)}
1
Pt n t t n
αα
α
<<?
=?
(4)解不等式
1/2
|| ( 1)tt n
α?
<?
得置信区间为
1/2 1/2
((1),(1))
SS
Xt n Xt n
nn
αα
+?
例：从某厂生产的一种钢球中随机抽取7个，测得它们的直径(单位：mm)为
5.52,5.41,5.18,5.32,5.64,5.22,5.76
若钢球直径服从正态分N（μ，σ
2
)，且σ
2
未知，求这种钢球平均直径μ的置信度为95%的置信区间。
3、μ未知，求总体方差σ
2
的置信区间
(2) 构造样本函数
2
22
2
(1)
~(1)
nS
nχχ
σ
=?
(1)是一个较优的无偏点估计;
2
S
2
σ
(3)对于给定的置信水平1-α，查χ
2
的α/2与
1- α/2分位点使得
22
/2 1 /2
,
αα
χχ
222
/2 1 /2
{(1) (1)}1Pn n
αα
χχχ α
< <? =?
(4)解不等式
222
/2 1 /2
(1) (1)nn
αα
χχχ
< <?
得置信区间为
22
2
22
1/2 /2
(1) (1)
(1) (1)
nS nS
nn
αα
σ
χχ
<<
例:设某机床加工的零件长度，),(~
2
σμNX
今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下：
12.15,12.12,12.01,12.08,
12.09,12.16,12.03,12.01,
12.06,12.13,12.07,12.11,
12.08,12.01,12.03,12.06,
在置信度为95%时，试求总体方差的置信区间。
2
σ
