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开课系：数学学院主讲教师：刘亚平
Email:yapingliu66@tom.com
§8.1 基本概念
8.1.问题的提出例：某车间用一台包装机包装食盐，设包得的袋装盐重服从正态分布。长期实践表明，其标准差为10kg，当机器正常工作时，其均值为500g。为检验某天包装机是否正常，从该天所包装的盐中任取16袋，称得其样本平均值为510g，试问：该天机器工作是否正常？
例：随机抽查了100个铸件，其表面的砂眼数如下表示：
砂眼数i
频数n
i
0 1 2 3 4 5 6
14 27 26 20 7 3 3
试问：铸件的砂眼数是否泊松分布？
两类问题参数假设检验非参数假设检验
8.1.2.假设检验的基本思想:
小概率事件的实际推断原理显著性水平接受域拒绝域临界值原假设，备择假设检验统计量
8.1.3.双侧检验与单侧检双侧假设：
00 10
:,:.HHμμ μμ=≠
单侧假设：
右侧假设：
00 10
:,:.HHμμ μμ=>
00 10
:,:.μμ μμ≤>或左侧假设：
00 10
:,:.HHμμ μμ=<
00 10
:,:.HHμμ μμ≥<或第一类错误或弃真错误第二类错误或取伪错误
8.1.4.两类错误
P{拒绝H
0
|H
0
为真}
P{接受H
0
|H
0
为假}
8.1.5.假设检验的基本步骤：
(1) 根据实际情况提出原假设H
0
和备择假设H
1;
(2) 假设H
0
成立，构造适当检验统计量W;
(3)对于给定的检验水平α，根据统计量W的分布查表确定临界值和拒绝域；
(4)根据样本观察值计算统计量的值，并将其与临界值比较；
(5)下结论：若检验统计量的观察值落入拒绝域，就拒绝H
0
，否则接受H
0
§8.2 一个正态总体参数的假设检验设总体X~N(μ，σ
2
)，X
1
，
…
，X
n
为来自总体X的一个容量为n的样本
1
1
,
n
i
i
XX
n
=
=
∑
22
1
1
()
1
n
i
i
SXX
n
=
=?
∑
1、已知σ
2
，总体均值μ的假设检验
(2)假设原假设H
0
成立，构造检验统计量
0
~(0,1)
/
X
UN
n
μ
σ
=
(1)建立原假设和备择假设（双侧假设）
8.2.1 一个正态总体均值的假设检验
00 100
:,,(,HHμμ μμ μ=≠已知)
α/2
α/2
2
α
μ
1
2
0
α
μ
1-α
(3)对于给定的检验水平(显著性水平) α，查U的1- α/2分位点使得
1/2α
μ
1/2
{| | }PU
α
μα
>=
(4)拒绝域为
1/2
{| | }U
α
μ
>
将样本观察值代入比较后下结论。
这种检验方法称为U检验法。
(2)假设原假设H
0
成立，构造样本函数
~(0,1)
/
X
UN
n
μ
σ
=
(1)建立原假设和备择假设（右侧假设）
00 100
:,:(,HHμμ μμμ≤>已知)
(3)对于给定的检验水平(显著性水平) α，查U的1- α/2分位点使得
1 α
μ
1
{}PU
α
μα
>=
当H
0
成立时，
0
,
//
X X
U
nn
μ μ
σσ

=≤
0
11
{}{}
//
X X
nn
αα
μ μ
μμ
σσ


>?>
0
11
{}{},
//
X X
PP
nn
αα
μ μ
μμα
σσ


>≤>=
0
1
{}.
/
X
P
n
α
μ
μα
σ
>≤
(4)拒绝域为
1
{}U
α
μ
>
例：某种橡胶的伸长率X~N(0.53,0.015
2
)，现改进配方，
已知改进配方后的橡胶伸长率的方差不变，问改进配方后橡胶的平均伸长率有无显著变化( α=0.05)?
例：已知某种元件的使用寿命(单位：h)服从标准差为σ=120h的正态分布。按要求，该种元件的使用寿命不得低于1800h才算合格，今从一批这种元件中随机抽取36件，测得其寿命平均值为1750h。试问：
这批元件是否合格(α=0.05)?
2、σ
2
未知，总体均值μ的假设检验
(2)假设原假设H
0
成立，构造检验统计量
0
~( 1)
/
X
ttn
Sn
μ?
=?
(1)建立原假设和备择假设（双侧假设）
00 100
:,,(,HHμμ μμ μ=≠已知)
(3)对于给定的检验水平(显著性水平) α，查t的1- α/2分位点使得
1/2
(1)tn
α?
1/2
{| | ( 1)}Pt n
α
μα
>?=
(4)拒绝域为
1/2
{| | }t
α
μ
>
将样本观察值代入比较后下结论。
这种检验方法称为t检验法。
2
(1)tn
α
1
2
0(1)tn
α
1-α
右侧假设类似
t > t
1-α
(n-1)U> μ
1-α
μ >μ
0
μ= μ
0
t < - t
1-α
(n-1)U < -μ
1-α
μ < μ
0
μ= μ
0
|t| > t
1-α/2
(n-1)|U| > μ
1-α/2
μ≠μ
0
μ= μ
0
在显著性水平α下关于H
0
的拒绝域
σ
2
未知σ
2
已知
H
1
H
0
一个正态总体均值的假设检验表
0
/
X
U
n
μ
σ
=
0
/
X
t
Sn
μ?
=
例：已知某炼铁厂铁水含铁量服从均值为4.53的正态分布，某日随机测定了9炉铁水，含碳量如下
4.43,4.50,4.58,4.42,4.47,4.60,4.53,4.46,4.42
问该日铁水平均含碳量是否仍为4.53(α=0.05)?
8.2.2 一个正态总体方差的假设检验
1、已知μ，总体均值σ
2
的假设检验
(2)假设原假设H
0
成立，构造检验统计量
222
0
2
1
0
1
()~()
n
i
i
Xnχμχ
σ
=
=?
∑
22 22 2
00100
:,,(.HHσσ σσ σ=≠已知)
(1)建立原假设和备择假设（双侧假设）
(3)对于给定的检验水平(显著性水平) α，查χ
0
2
的1- α/2分位点使得
22
1/2 /2
() ()nn
αα
χχ
和
22 22
0/2 01/2
{()},{ ()}
22
PnP n
αα
χχ χχ
<=> =
(4)拒绝域为
22 22
0/2 01/2
{() ()}nn
αα
χχ χχ
<>或将样本观察值代入比较后下结论。
2、μ未知，总体均值σ
2
的假设检验
(2)假设原假设H
0
成立，构造检验统计量
2
222
22
1
00
(1) 1
()~(1)
n
i
i
nS
XX nχχ
σσ
=
==
∑
22 22 2
00100
:,,(.HHσσ σσ σ=≠已知)
(1)建立原假设和备择假设（双侧假设）
(3)对于给定的检验水平(显著性水平) α，查χ
2
的1- α/2分位点使得
22
1/2 /2
(1) (1)nn
αα
χχ
和
22 22
0/2 01/2
{ ( 1)},{ ( 1)}
22
PnP n
αα
χχ χχ
<?= >?=
(4)拒绝域为
22 22
0/2 01/2
{(1) (1)}nn
αα
χχ χχ
<?>?或将样本观察值代入比较后下结论。
这种检验方法称为χ
2
检验法。
(2)假设原假设H
0
成立，构造函数
2
22
2
(1)
~(1)
nS
nχχ
σ
=?
22 22 2
00100
:,,(.HHσσ σσ σ≥<已知)
(1)建立原假设和备择假设（左侧假设）
(3)对于给定的检验水平(显著性水平) α，查χ
2
的α分位点使得
2
(1)n
α
χ?
(3)对于给定的检验水平(显著性水平) α，查χ
2
的α分位点使得
2
(1)n
α
χ?
2
2
2
(1)
{(1)},
nS
Pn
α
χα
σ
<?=
当H
0
成立时，
22
0
(1) (1)nS nS
σσ

≥
22
0
(1) (1)
{ (1)}{ (1)}
nS nS
nn
αα
χχ
σσ

<<?
22
0
(1) (1)
{(1)}{(1)}
nS nS
PnPn
αα
χχα
σσ

<?≤<?=
2
2
2
0
(1)
{ (1)},
nS
Pn
α
χα
σ
<?≤
(4)拒绝域为
2
2
2
0
(1)
{(1)}
nS
n
α
χ
σ
<?
χ
2
> χ
2
1- α
(n-1)χ
0
2
> χ
2
1- α
(n)
σ
2
> σ
2
0
σ
2
= σ
2
0
χ
2
< χ
2
α
(n-1)χ
0
2
< χ
2
α
(n)
σ
2
< σ
2
0
σ
2
= σ
2
0
χ
2
> χ
2
α/2
(n-1)
或χ
2
< χ
2
1- α/2
(n-1)
χ
0
2
> χ
2
α/2
(n)
或χ
0
2
< χ
2
1- α/2
(n)
σ
2
≠ σ
2
0
σ
2
= σ
2
0
在显著性水平α下关于H
0
的拒绝域
μ未知μ已知
H
1
H
0
一个正态总体方差的假设检验表
22
0
2
1
0
1
()
n
i
i
Xχμ
σ
=
=?
∑
2
2
2
0
(1)nS
χ
σ
=
例：已知尼纶纤维度在正常条件下服从方差σ
2
=0.044
2
的正态分布，某日随机抽取6根纤维，测得其纤度为
1.35,1.50,1.56,1.48,1.44,1.53,问该日纤度的总体方差是否仍为0.044
2
(α=0.05)?