?
1c
?
1c
M
￥
3+?
M
￥
3+?
开课系：数学学院主讲教师：刘亚平
Email:yapingliu66@tom.com
§4.1 数学期望
4.1.1 数学期望的定义例：某自动化车床在一天内加工的零件中，出现次品的数量X
是一个随机变量。由多日统计，得X的分布律如下：
0.10
3
0.040.440.270.15p
i
4210X
问车床平均一天出几个次品？
设车床工作100天，按分布律，理想化后可得平均值为
4
0
0*0.15 1*0.27 2*0.44 3*0.10 4*0.04
1.61
kk
k
x
xp
=
=++++
==
∑
定义4.1.1.P(107) 若离散型随机变量X～
P{X=x
k
}=p
k
,k=1,2,…n,如果级数
∑
=
=
n
k
kk
pxXE
1
)(
1
n
kk
k
xp
=
∑
绝对收敛，则称此级数为随机变量X的数学期望（均值）。
记为数学期望——描述随机变量取值的平均特征
：的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们
：甲击中的环数；X
：乙击中的环数；Y
X8 910
P 0.1 0.3 0.6
Y8910
P 0.2 0.5 0.3
平较高？试问哪一个人的射击水例：
解：
为甲、乙的平均环数可写
5.96.0103.091.08 =×+×+×=EX
1.93.0105.092.08 =×+×+×=EY
的好．，甲的射击水平要比乙因此，从平均环数上看定义4.1.2.P(108) 若连续型随机变量X～f(x),
如果广义积分
() ()EX xf xdx
∞
∞
=
∫
()xf x dx
∞
∞
∫
绝对收敛，则称此积分为随机变量
X的数学期望（均值）。记为例：设随机变量X～e(λ)，求E（X）。
解：
,0
()
0,
x
ex
Xfx
λ
λ
>
=
～
其它由定义有
() ()EX xfxdx
∞
∞
=
∫
0
x
edx
λ
λ
+∞
=
∫
0
1
()
x
xe d x
λ
λλ
λ
+∞
=
∫
11
(2)
λλ
=Γ =
，其密度函数为分布服从设随机变量CauchyX
由于
()
∫
+∞
∞?
dxxfx
() ()+∞<<∞?
+
= x
x
xf
2
1
11
π
∫
+∞
∞?
+
= dx
x
x
2
1
1
π
∫
+∞
+
=
0
2
1
2
dx
x
x
π
()
+∞
+=
0
2
1ln
1
x
π
+∞=
()不绝对收敛，这表明积分
∫
+∞
∞?
dxxxf
不存在．因而EX
例例：设随机变量X的分布律为
3:
求随机变量Y=X
2
的数学期望
X
P
k
-1 0 1
3
1
3
1
3
1
Y
P
k
1 0
3
1
3
2
3
2
3
1
0
3
2
1)( =?+?=∴ YE
4.1.2 随机变量函数的数学期望定理4.1.1 P(108) 设X为随机变量，Y=g(X)是X的函数
(1)若离散型随机变量X～P{X=x
k
}=p
k
,k=1,2,…,
如果级数
1
()
kk
k
gx p
∞
=
∑
绝对收敛，则
1
() (( )) ( )
kk
k
EY EgX gx p
∞
=
==
∑
(2)若连续型随机变量X～f(x),如果广义积分
() ()gxfxdx
∞
∞
∫
绝对收敛，则
() (( ) ()()EY EgX gx f xdx
∞
∞
==
∫
仅证明离散型随机变量函数的期望:已知X的分布律，
易知Y=g(x)的分布律，如下表
g(x
i
)
p
i
x
i
g(x
2
)g(x
1
)Y=g(X)
p
2
p
1
p
ij
……x
2
x
1
X
由离散型随机变量期望的定义，知
1
() (( )) ( )
kk
k
EY EgX gx p
∞
=
==
∑
定理4.1.2 P(108) 设(X,Y)为二维随机变量，Z=g(X,Y)
是X的函数
(1)若离散型随机变量(X,Y)～P{(X,Y)=(x
i
,y
j
)}=p
ij
,
i,j=1,2,…,如果级数绝对收敛，则
,1
() (( ) (,)
ijij
ij
EY EgX gx y p
∞
=
==
∑
(2)若连续型随机变量(X,Y)～f(x,y),如果广义积分
(,) (,)g x yfx y dxdy
∞∞
∞?∞
∫∫
绝对收敛，则
() ((,) (,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy
∞∞
∞?∞
==
∫∫
,1
(,)
ijij
ij
gx y p
∞
=
∑
例：设X服从N(0，1)分布，求E(X
2
),E(X
3
),E(X
4
)
2
2
2
1
)(
x
exf
=
π
dxe
x
XE
x
2
2
2
2
2
)(
∞
∞?
∫
=
π
2
2
2
x
de
x
∞
∞?
∫
=
π
dxe
x
2
2
2
1
∞
∞?
∫
=
π
1=
dxe
x
XE
x
2
3
3
2
2
)(
∞
∞?
∫
=
π
0=
dxe
x
XE
x
2
4
4
2
2
)(
∞
∞?
∫
=
π
2
3
2
2
x
de
x
∞
∞?
∫
=
π
dxe
x
x
2
2
2
2
3
∞
∞?
∫
=
π
3=
例：设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)
x y 1 2
0 0.15 0.15
1 0.45 0.25
3:
=)(XYE 15.010 ×× 15.020 ××+
45.011 ××+ 25.021 ××+
95.0=
例：
EX=
∫∫∫∫
∞
∞
∞
∞?
=?=
0
1
0
1
3
1
2),(
x
dyxdxdxdyyxxf
E(-3X+2Y)=
3
1
)23(2
0
1
0
1
∫∫
=+?
x
dyyxdx
EXY=
∫∫∫∫
∞
∞
∞
∞?
=?=
0
1
0
1
12
1
2),(
x
ydyxdxdxdyyxxyf
∈
=
其它；,0
),(,2
),(
Ayx
yxf
解：
0
y
x
01 =++ yx
设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，
y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。
求EX，E(-3X+2Y)，EXY。
例：设供电公司在某指定时段的供电量X（万kWh）
在[10，20]上均匀分布，而用户的需求量Y在[10，30]
上均匀分布。设公司每供电1kWh获利0.1元，若需求量超过供电量，则公司可从电网上取得附加电量来补充，每供电1kWh获利0.05元。求该公司在这段时间内获利的数学期望。
解：X与Y相互独立，易知
1
,10 20,10 30
(,) (,)
200
0,
xy
XY f xy
≤≤ ≤≤
=
～
其它
Z表示公司在这段时间获得的利润，则
(,)ZgXY=
0.1,
0.1 0.05( )
YXY
XYXXY
≥
=
+? <
() (,)(,)E Z g x y f x y dxdy
+∞ +∞
∞?∞
=
∫∫
12
11
0.1 0.05( )
200 200
DD
y dxdy y x dxdy=? +
∫∫ ∫∫
20 20 30
10 10 10
0.1 0.05( )
200 200
x
x
ydydx yxdyx=? +?
∫∫ ∫∫
1.7083( )=万元
1,E(c)=c,c为常数;
2,E(cX)=cE(X),c为常数;
￡
ü,?￡
ü ???
M
f? b
!X~f(x),5
∫
∞
∞?
= dxxcxfcXE )()(
)()( XcEdxxxfc ==
∫
∞
∞?
4.1.3 数学期望的性质
3,E(X+Y)=E(X)+E(Y);
￡
ü:
!(X,Y)~f(x,y)
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
+=+ dxdyyxfyxYXE ),()()(
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dxdyyxxf ),(
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
+ dxdyyxyf ),(
dxdyyxfx ]),([
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
=
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
+ dydxyxfy ]),([
dxxxf
X
∫
∞
∞?
= )( dyyyf
Y
∫
∞
∞?
+ )(
)()( YEXE +=
4,线性性：设X
i
(i=1,2,…,n) 是n个随机变量，c
i
(i=1,2,…,n) 是n个常数，则
11
() ()
nn
ii i i
ii
EcX cEX
==
=
∑∑
结合性质(2)和性质(3)，得如下结论：
5.若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).
￡
ü:设(X,Y)~f(x,y)
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dxdyyxxyfXYE ),()(
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dxdyyfxxyf
YX
)()(
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dyyyfdxxxf
YX
)()(
)()( YEXE=
一般地，若X
1
，X
2
，…，X
n
相互独立，则有
11
() ()
nn
ii
ii
EX EX
==
=
∏∏
例：设随机变量X ~e(2),Y~e(4).
(1)求Z=2X-3Y
2
的数学期望；
(2)若X与Y相互独立，求W=3XY的数学期望。
解：由题意知
2
2,0
()
0,
x
ex
Xfx
>
=
～
其它
4
4,0
()
0,
y
ey
Yfy
>
=
～
其它由线性性，有
2
() 2( ) 3( )EZ EX EY=?
35
(2) (3)
16 8
=Γ? Γ =
3
()3()()
8
EW EX EY==
例：
对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第n件仍未发现废品则认为这批产品合格。
假设产品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平均需抽查的件数。
解：
设X为停止检查时，抽样的件数，则X的可能取值为1,2,…,n，且
=
=
==
.,;1,,2,1,
}{
1
1
nkq
nkpq
kXP
n
k
null
，于是其中pq?=1
1
1
1
1
)(
=
+=
∑
n
n
k
k
nqpkqXE
1
1
1
1
1
1?
=
=
+?=
∑∑
n
n
k
k
n
k
k
nqkqkq
1122
22
))1()2(2(
))1(321(
+?+?+++?
++++=
nnn
n
nqqnqnqq
qnqq
null
null
12
1
++++=
n
qqq null
p
p
q
q
nn
)1(1
1
1
=
=
1
1
1
1
)1()(
=
+?=
∑
n
n
k
k
nqqkqXE
§4.2 方差
4.2.1 方差的定义在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度，
可用E|X-EX|，但不方便；所以通常用E(X-EX)
2
来度量随机变量X与其均值EX的偏离程度。
定义4.2.1:P(114)设X是随机变量，若E(X-EX)
2
存在，
则定义
D(X)= E(X-EX)
2
称其为随机变量X的方差，记作DX，Var(X)，
称为标准差。
DX
方差是一种特殊的数学期望。是描述随机变量取值波动程度（离散程度）的一个数字特征。
=?
=
∫
∑
∞
∞?
∞
=
连续型情形离散型情形
,)()]([
},{)]([
)(
2
1
2
dxxfXEx
xXPXEx
XD k
kk
计算方差的常用公式：
D(X)=E(X
2
)-[E(X)]
2
.
：的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们
：甲击中的环数；X
：乙击中的环数；Y
平较高？试问哪一个人的射击水例：
X8 910
P 0.3 0.2 0.5
Y8 910
P 0.2 0.4 0.4
解：
．比较两个人的平均环数甲的平均环数为
5.0102.093.08 ×+×+×=EX
( )环2.9=
乙的平均环数为
4.0104.092.08 ×+×+×=EY ()环2.9=
的方差分别为的，但两个人射击环数是一样，甲乙两人的射击水平因此，从平均环数上看
() () ( )5.02.9102.02.993.02.98
222
×?+×?+×?=DX
76.0=
() () ( )4.02.9104.02.992.02.98
222
×?+×?+×?=DY
624.0=
，由于DXDY <
甲稳定．这表明乙的射击水平比
4.2.2 方差的性质
1) D(c)=0
反之，若D（X）=0，则存在常数C，使P{X=C}=1,
且C=E(X);
(2) D(aX)=a
2
D(X),a为常数，且D(aX+b)=a
2
D(X)；
￡
ü:
222
)]([)()( aXEXaEaXD?=
222
)]([)( XaEXEa?=
})]([)({
222
XEXEa?=
(3)若X，Y 独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y),
D(X-Y)=D(X)+D(Y);
￡
ü:
22
)]([}){()( YXEYXEYXD +?+=+
})]([)]()][([2)]({[
}2{
22
22
YEYEXEXE
YXYXE
++?
++=
)()(2)(2
)()(
YEXEXYE
YDXD
+
+=
XDY? ?)()()( YEXEXYE =?
)()()( YDXDYXD +=+∴
4,设X
i
(i=1,2,…,n) 是相互独立的n个随机变量，c
i
(i=1,2,…,n) 是n个常数，则
2
11
() ()
nn
ii i i
ii
DcX cDX
==
=
∑∑
5,DX=0 ù存在c为常数，使得P{X=c}=1。
事实上c=EX。
∑∑
==
=
n
i
n
i
iin
XDXDXX
11
1
)()(,...独立，则若定理：设随机变量X的数学期望E（X），方差D（X）
均存在，且D（X）>0，定义一个新的随机变量
()
*
XEX
X
DX
=
则EX*=0,DX*=1。
称X*是随机变量X的标准化了的随机变量。
证明：由期望与方差的性质易得。
1.0-1分布的数学期望和方差
10
1
X
Pp p
EX=p
2,二项分布B(n,p)
∑
=
=
n
k
knk
pp
knk
n
kXE
1
)1(
)!(!
!
)(
nkppCkXP
knkk
n
,...1.0)1(}{ =?==
§4.3 几个重要分布的期望和方差
2
10
1
X
Pp p
EX
2
=p
DX= EX
2
-(Ex)
2
=p-p
2
=pq
knk
n
k
pp
knk
n
=
=
∑
)1(
)!()!1(
!
1
)1(11
1
)1(
)!()!1(
)!1(
=
=
∑
knk
n
k
pp
knk
n
np
np=
lnl
n
l
l
n
ppCnpkl
=
=
∑
1
1
0
1
)1(1令
∑
=
=
n
k
knk
pp
knk
kn
1
)1(
)!()!1(
!
∑
=
+?
=
n
k
knk
pp
knk
nk
1
)1(
)!()!1(
!)11(
∑
∑
=
=
+
=
n
k
knk
n
k
knk
pp
knk
n
pp
knk
nk
1
1
)1(
)!()!1(
!
)1(
)!()!1(
!)1(
∑
=
=
n
k
knk
pp
knk
n
kXE
1
22
)1(
)!(!
!
)(
∑
∑
=
=
+
=
n
k
knk
n
k
knk
pp
knk
n
pp
knk
n
1
2
)1(
)!()!1(
!
)1(
)!()!2(
!
∑
∑
=
+
=
+
+
=
1
0
11
1
2
0
22
2
)1(
)1()1(
n
j
jnjj
n
n
l
lnll
n
ppnC
ppCnn
nppnn +?=
2
)1(
)1(
)1()(
222
pnp
pnnppnnXD
=
+?=∴
ZE=:
!
=
0
1
i
X
?iQ
k
YqA?
3
?iQ
k
YqA??
3
5
∑
=
=
n
i
i
XX
1
[]
2
2
)()()(
iii
XEXEXD?=
∑
=
=
n
i
i
XDXD
1
)()(
)1()1(
1
pnppp
n
i
=?=
∑
=
)1(
2
pppp?=?=
3.泊松分布
...,2,1,0,
!
}{~ ===
ke
k
kXPX
k
λ
λ
∑∑
∞
=
∞
=
=
==
01
1;
)!1(!
)(
kk
kk
k
ee
k
kXE λ
λ
λ
λ
λλ
∑∑
∞
=
∞
=
==
01
22
)!1(!
)(
kk
kk
k
ek
e
k
kXE
λ
λ
λλ
??
λ
λ
λ
=
=
∑
∞
=
1
)!1(
)(
k
k
k
e
XE
Hλ p?¤
λ
λ
λ
e
k
k
k
k
)1(
)!1(
1
1
+=
∑
∞
=
λ
λ
λ
e
k
k
k
=
∑
∞
=1
)!1(
)1(
)!1(
1
λλ
λ
λ
+=
∑
∞
=
k
k
k
ek
λ=∴ )(XD
4,均匀分布U(a,b)
<<
=
,,0
,,
1
)(~
其他
bxa
ab
xfX
∫
+
=
=
b
a
ba
dx
ab
x
XE ;
2
)(
2222
2
1
() ;
33
b
a
xbabab
EX dx
ba ba
++
== =
∫
[]
2
2
2
()
() ( ) ( ),
12
ba
DX EX EX
=? =
5.指数分布
≤
>
=
00
0
)(
x
xe
xf
xλ
λ
λ
1
=
dxexXE
x
∫
∞
=
0
)(
λ
λ
∫
∞
=
0
x
xde
λ
dxexe
xx
∫
∞
∞
+?=
0
0
λλ
(2)
λ
Γ
=
22
0
()
x
EX x e dx
λ
λ
∞
=
∫
22
(3) 2
λλ
Γ
==
[ ]
2
2
2
1
() ( ) (),DX EX EX
λ
=? =
6,Γ-分布Γ (α，β)
() ()
1
0
00
x
xe x
fx
x
α
αβ
β
α
>
Γ=
≤
()
1
0
()
x
EX x x e dx
α
αβ
β
α
∞
=
Γ
∫
(1)
()
αα
βα β
Γ+
==
Γ
()
21
0
()
x
EX x x e dx
α
αβ
β
α
∞
=
Γ
∫
22
(2) (1)
()
ααα
βα β
Γ+ +
==
Γ
[]
2
2
2
() ( ) (),DX EX EX
α
β
=? =
7,正态分布N(μ,σ
2
)
∞<<∞?
σπ
=
σ
μ?
x,e
2
1
)x(f~X
2
2
2
)x(
dxe
x
XE
x
2
2
2
)(
2
)(
σ
μ
σπ
∞
∞?
∫
=;
2
2
2
dte
tx
t
t
σ
π
μσ
σ
μ
∞
∞?
∫
+?
=令
μ=
)(,
2
1
)()(
2
2
2
)(
22
t
x
dxexXEDX
x
=
=?=
∫
∞
∞?
σ
μ
σπ
μμ
σ
μ
∫∫∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
===
2
2
2
2
2
2
22
222
222
ttt
tdedtetdte
t
π
σ
π
σ
π
σ
2
2
2
2
2
22
2
|
2
σ
π
σ
π
σ
=+?=
∫
∞
∞?
∞
∞?
dtete
tt
例：设随机变量X，Y，Z相互独立，且已知X~
N（2，4），Y~e(2)，Z~Γ（3，2），设
(1)W=2X+3XYZ-Z+5，求E（W）；
(2)U=3X-2Y+Z-4，求D（U）。
解：E(X)=2，E(Y)=1/2，E(Z)=3/2，且X，Y，Z
相互独立，故得
( ) 2( ) 3( )()() () 5EW EX EXEYEZ EZ=+?+
2*23*2*1/2*3/23/2512=+?+=
() 9()4() ()DU DX DY DZ=++
3
9*4 4*1/4 3/4 37
4
=+ +=
§4.4 矩、协方差和相关系数
4.4.1 原点矩与中心矩定义4.4.1,设X是随机变量，若E(X
k
)存在，k=1,2,…,
则称
(),1,2,.
k
k
mEX k==
为X的k阶原点矩，简称为k阶矩。
若E[X-E(X)]
k
存在，k=1,2,…,则称
[()],1,2.
k
k
EX EX kμ=? =
为X的k阶中心矩。
定义4.4.2,设X,Y是随机变量，k,l是正整数，若
E{[X-(X)]
k
[Y-E(Y)]
l
}存在，则称它为X与Y的k+l
阶混合中心矩。
定理4.4.1:设随机变量X~N（μ，σ
2
),其k 阶中心矩记为μ
k
,则
(1)!,
k
k
kkσ
μ
=
是偶
0,k是奇
4.4.2 协方差与协方差阵定义4.4.3:设（X，Y）为二维的随机变量，若X与Y的的1+1阶混合中心矩存在，记为
COV(X,Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}.
称为X与Y的协方差,易见
COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).
为计算协方差的常用公式。
显然，当X=Y时有COV(X,Y)=D（X）。
协方差的性质
(1) COV(X,Y)=COV(Y,X);
(2) COV(X,a)=0,COV(X,X)=D(X);
(3) COV(aX,bY)=abCOV(X,Y),其中a,b为常数；
(4) COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);
(5) D(X Y)=D(X)+D(Y) 2COV(X,Y).
±±
(6) 若X与Y独立，则COV(X,Y)=0。
11 11
(,) (,)
nm nm
ii ii ij i j
ij ij
Cov a X bY ab Cov X Y
== ==
=
∑∑ ∑∑
对于二维随机变量(X，Y)，称矩阵
() (,)
(,) ()
DX CovXY
V
Cov X Y D Y
=
为（X，Y）的协方差阵。
对于二维随机变量(X1，X2，…，Xn)，记
(,),,1,2,...,
ij i j
Cov X X i j nσ ==
则称矩阵
11 1
1
n
nnn
V
σσ
σσ
=
null
nullnullnull
null
为(X1，X2，…，Xn）的协方差阵。是一个n阶对称阵例:设随机变量X～B（4,0.5),Y ～N(0,1),
COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y
的方差与协方差
4.4.3 相关系数定义4.4.4 若随机变量X，Y的方差和协方差均存在,且DX>0,DY>0，则
DYDX
)Y,Xcov(
XY
=ρ=ρ
称为X与Y的相关系数.
称为X与Y的标准化随机变量，易知EX
*
=0，DX
*
=1.且
).(),cov(
****
YXEYX
XY
==ρ
DX
)X(EX
X
*
=
定理4.4.3若随机变量X，Y的方差和协方差均存在，记
*
()YEY
Y
DY
=
相关系数的性质
(1) |ρ
XY
|≤1，ρ
XY
= ρ
YX；
(2) |ρ
XY
|=1?存在常数a,b 使P{Y= aX+b}=1；
(3) X与Y不相关?ρ
XY=0;
正线性相关负线性相关正相关负相关不相关
è
!(X,Y)?V u×D:0<x<1,0<y<x
￥ (
s?, pXDY￥M1"
D
1
x=y
2(,)
(,)
0
xy D
fxy
∈
=
其它
3
3
2
2)(
0
1
0
==
∫∫
x
dyxdxXE
3
1
2)(
0
1
0
==
∫∫
x
ydydxYE
4
1
2)(
0
1
0
==
∫∫
x
ydyxdxXYE
36
1
)()()(),( =?= YEXEXYEYXCOV
18
1
9
4
2)(
0
1
0
2
=?=
∫∫
x
dydxxXD
18
1
9
1
2)(
0
2
1
0
=?=
∫∫
x
dyydxYD
==
)()(
),(
YDXD
YXCOV
XY
ρ
2
1
XY
XY
XYUX
XYUX
ρ
ρ
求）
求
,),1,1(~2
,),1,0(~)1
2
2
=?
=
31)
45
4
)(,
12
1
)(,
4
1
)(,
3
1
)(,
2
1
)( ===== YDXDXYEYEXE
968.0
45
4
12
1
12
1
≈
×
=
XY
ρ
2)
0)(,0)( == XYEXE
0=
XY
ρ
例：
22
121 2
(,)~ (,,,,),XY N rμμσσ
定理4.4.7:若（X，Y）服从二维正态分布，则X与
Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。
定理4.4.6:设则X与Y的相关系数
.
XY
rρ=
又因为：
2
1
2
1
2
)(
1
2
1
)(
σ
μ
σπ
=
x
X
exf
，
2
2
2
2
2
)(
2
2
1
)(
σ
μ
σπ
=
y
Y
eyf
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dxdyyxfyxYXCov ),())((),(
21
μμ
,,,,
2
22
2
11
σμσμ==== DYEYDXEX
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dydxeeyx
xyx
2
2
1
1
2
2
2
22
1
2
1
][
)1(2
1
2
)(
21
2
21
))((
12
1
σ
μ
ρ
σ
μ
ρσ
μ
μμ
ρσπσ
()
() ()()()
+
=
2
2
2
2
21
21
2
2
1
2
1
2
12
1
exp
2
1
21
2
1
σ
μ
σσ
μμρ
σ
μ
ρ
ρσπσ
yyxx
yxf，
令
][
1
1
1
1
2
2
2
σ
μ
ρ
σ
μ
ρ
=
xy
t，
1
1
σ
μ?
=
x
u，
2
21
1
2
21
1)
1
1
( ρσσ
ρσσ
=
=
1
1
2
2
1
2
1
0
1
1
1
1
1
1
=
=
σ
σ
ρ
σ
ρ
ρ
y
u
x
u
y
t
x
t
J
2
2
211
)1(,σρρμσμ utyux +?=?=?则
∫∫∫∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
+= dtteduuedtedueu
tutu
22
2
21
22
2
21
2222
2
1
2 π
ρσσ
π
σρσ
21
21
022
2
σρσππ
π
σρσ
=+?=
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dydxeeyx
xyx
2
2
1
1
2
2
2
22
1
2
1
][
)1(2
1
2
)(
21
2
21
))((
12
1
σ
μ
ρ
σ
μ
ρσ
μ
μμ
ρσπσ
=),( YXCOV
2
2
2
11
)1(
,
σρρμ
σμ
uty
ux
+?=?
=?
2
21
1 ρσσ=J
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
+?
= dtdueutu
tu
2
21
22
2
21
2
21
1)1(
12
1
22
ρσσρρσσ
ρσπσ
故
ρρ =
XY
。
第四章小结基本概念：
数学期望、方差、协方差（阵）、相关系数、不相关、分位点重点与难点：
期望和方差的计算、期望和方差的性质、
函数期望的计算、重要分布的期望与方差、协方差与相关系数的计算、不相关与独立的区别例
|||,|]1,0[~,YXDYXEUYX，且相互独立。求：设解：
x
y
0
1
1
.10,101),(
,101)(,101)(
<<<<=
<<=<<=
yxyxf
yyfxxf
YX
典型题分析
∫∫
=
1
00
)(2
x
dyyxdx
∫
=
1
0
2
2
)
2
(2 dx
x
x
3
1
=
2
2
)( YXEYXEYXD=?
先求：
=?
2
YXE
∫∫∫∫
=?=?
∞
∞?
∞
∞?
1
0
1
0
||),(|||| dxdyyxdxdyyxfyxYXE
∫∫∫∫
+?=
1
0
1
000
)()(
y
x
dxxydydyyxdx
x
y
0
xy =
1
1
=?
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
dxdyyxfyx ),(||
2
∫∫
1
0
1
0
2
|| dxdyyx
6
1
)2(
1
0
1
0
22
=+?=
∫∫
dxdyyxyx
2
2
)( YXEYXEYXD=?
则：
18
1
)
3
1
(
6
1
2
=?=
∫∫
=
1
0
1
0
2
)( dxdyyx
解：
()，记，
，，是二个随机变量，已知，设
1cov
41
=
==
YX
DYDXYX
YXYX?=?= 22 ηξ，
ξη
ρ求：．
()YXDD 2?=ξ ()YXDYDX，cov44?+=
14441 ×?×+=
13=
()YXDD?= 2η ()YXDYDX，cov44?+=
14414 ×?+×= 4=
例：
()( )YXYX= 22covcov，，ηξ
( )()()()YYYXXYXX，，，，cov2covcov4cov2 +=
()DYYXDX 2cov52 +?=，
421512 ×+×?×=
5=
所以，
()
ηξ
ηξ
ρ
ηξ
DD
，
，
cov
=
413
5
=
26
135
=
1c
?
1c
M
￥
3+?
M
￥
3+?
开课系：数学学院主讲教师：刘亚平
Email:yapingliu66@tom.com
§4.1 数学期望
4.1.1 数学期望的定义例：某自动化车床在一天内加工的零件中，出现次品的数量X
是一个随机变量。由多日统计，得X的分布律如下：
0.10
3
0.040.440.270.15p
i
4210X
问车床平均一天出几个次品？
设车床工作100天，按分布律，理想化后可得平均值为
4
0
0*0.15 1*0.27 2*0.44 3*0.10 4*0.04
1.61
kk
k
x
xp
=
=++++
==
∑
定义4.1.1.P(107) 若离散型随机变量X～
P{X=x
k
}=p
k
,k=1,2,…n,如果级数
∑
=
=
n
k
kk
pxXE
1
)(
1
n
kk
k
xp
=
∑
绝对收敛，则称此级数为随机变量X的数学期望（均值）。
记为数学期望——描述随机变量取值的平均特征
：的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们
：甲击中的环数；X
：乙击中的环数；Y
X8 910
P 0.1 0.3 0.6
Y8910
P 0.2 0.5 0.3
平较高？试问哪一个人的射击水例：
解：
为甲、乙的平均环数可写
5.96.0103.091.08 =×+×+×=EX
1.93.0105.092.08 =×+×+×=EY
的好．，甲的射击水平要比乙因此，从平均环数上看定义4.1.2.P(108) 若连续型随机变量X～f(x),
如果广义积分
() ()EX xf xdx
∞
∞
=
∫
()xf x dx
∞
∞
∫
绝对收敛，则称此积分为随机变量
X的数学期望（均值）。记为例：设随机变量X～e(λ)，求E（X）。
解：
,0
()
0,
x
ex
Xfx
λ
λ
>
=
～
其它由定义有
() ()EX xfxdx
∞
∞
=
∫
0
x
edx
λ
λ
+∞
=
∫
0
1
()
x
xe d x
λ
λλ
λ
+∞
=
∫
11
(2)
λλ
=Γ =
，其密度函数为分布服从设随机变量CauchyX
由于
()
∫
+∞
∞?
dxxfx
() ()+∞<<∞?
+
= x
x
xf
2
1
11
π
∫
+∞
∞?
+
= dx
x
x
2
1
1
π
∫
+∞
+
=
0
2
1
2
dx
x
x
π
()
+∞
+=
0
2
1ln
1
x
π
+∞=
()不绝对收敛，这表明积分
∫
+∞
∞?
dxxxf
不存在．因而EX
例例：设随机变量X的分布律为
3:
求随机变量Y=X
2
的数学期望
X
P
k
-1 0 1
3
1
3
1
3
1
Y
P
k
1 0
3
1
3
2
3
2
3
1
0
3
2
1)( =?+?=∴ YE
4.1.2 随机变量函数的数学期望定理4.1.1 P(108) 设X为随机变量，Y=g(X)是X的函数
(1)若离散型随机变量X～P{X=x
k
}=p
k
,k=1,2,…,
如果级数
1
()
kk
k
gx p
∞
=
∑
绝对收敛，则
1
() (( )) ( )
kk
k
EY EgX gx p
∞
=
==
∑
(2)若连续型随机变量X～f(x),如果广义积分
() ()gxfxdx
∞
∞
∫
绝对收敛，则
() (( ) ()()EY EgX gx f xdx
∞
∞
==
∫
仅证明离散型随机变量函数的期望:已知X的分布律，
易知Y=g(x)的分布律，如下表
g(x
i
)
p
i
x
i
g(x
2
)g(x
1
)Y=g(X)
p
2
p
1
p
ij
……x
2
x
1
X
由离散型随机变量期望的定义，知
1
() (( )) ( )
kk
k
EY EgX gx p
∞
=
==
∑
定理4.1.2 P(108) 设(X,Y)为二维随机变量，Z=g(X,Y)
是X的函数
(1)若离散型随机变量(X,Y)～P{(X,Y)=(x
i
,y
j
)}=p
ij
,
i,j=1,2,…,如果级数绝对收敛，则
,1
() (( ) (,)
ijij
ij
EY EgX gx y p
∞
=
==
∑
(2)若连续型随机变量(X,Y)～f(x,y),如果广义积分
(,) (,)g x yfx y dxdy
∞∞
∞?∞
∫∫
绝对收敛，则
() ((,) (,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy
∞∞
∞?∞
==
∫∫
,1
(,)
ijij
ij
gx y p
∞
=
∑
例：设X服从N(0，1)分布，求E(X
2
),E(X
3
),E(X
4
)
2
2
2
1
)(
x
exf
=
π
dxe
x
XE
x
2
2
2
2
2
)(
∞
∞?
∫
=
π
2
2
2
x
de
x
∞
∞?
∫
=
π
dxe
x
2
2
2
1
∞
∞?
∫
=
π
1=
dxe
x
XE
x
2
3
3
2
2
)(
∞
∞?
∫
=
π
0=
dxe
x
XE
x
2
4
4
2
2
)(
∞
∞?
∫
=
π
2
3
2
2
x
de
x
∞
∞?
∫
=
π
dxe
x
x
2
2
2
2
3
∞
∞?
∫
=
π
3=
例：设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)
x y 1 2
0 0.15 0.15
1 0.45 0.25
3:
=)(XYE 15.010 ×× 15.020 ××+
45.011 ××+ 25.021 ××+
95.0=
例：
EX=
∫∫∫∫
∞
∞
∞
∞?
=?=
0
1
0
1
3
1
2),(
x
dyxdxdxdyyxxf
E(-3X+2Y)=
3
1
)23(2
0
1
0
1
∫∫
=+?
x
dyyxdx
EXY=
∫∫∫∫
∞
∞
∞
∞?
=?=
0
1
0
1
12
1
2),(
x
ydyxdxdxdyyxxyf
∈
=
其它；,0
),(,2
),(
Ayx
yxf
解：
0
y
x
01 =++ yx
设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，
y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。
求EX，E(-3X+2Y)，EXY。
例：设供电公司在某指定时段的供电量X（万kWh）
在[10，20]上均匀分布，而用户的需求量Y在[10，30]
上均匀分布。设公司每供电1kWh获利0.1元，若需求量超过供电量，则公司可从电网上取得附加电量来补充，每供电1kWh获利0.05元。求该公司在这段时间内获利的数学期望。
解：X与Y相互独立，易知
1
,10 20,10 30
(,) (,)
200
0,
xy
XY f xy
≤≤ ≤≤
=
～
其它
Z表示公司在这段时间获得的利润，则
(,)ZgXY=
0.1,
0.1 0.05( )
YXY
XYXXY
≥
=
+? <
() (,)(,)E Z g x y f x y dxdy
+∞ +∞
∞?∞
=
∫∫
12
11
0.1 0.05( )
200 200
DD
y dxdy y x dxdy=? +
∫∫ ∫∫
20 20 30
10 10 10
0.1 0.05( )
200 200
x
x
ydydx yxdyx=? +?
∫∫ ∫∫
1.7083( )=万元
1,E(c)=c,c为常数;
2,E(cX)=cE(X),c为常数;
￡
ü,?￡
ü ???
M
f? b
!X~f(x),5
∫
∞
∞?
= dxxcxfcXE )()(
)()( XcEdxxxfc ==
∫
∞
∞?
4.1.3 数学期望的性质
3,E(X+Y)=E(X)+E(Y);
￡
ü:
!(X,Y)~f(x,y)
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
+=+ dxdyyxfyxYXE ),()()(
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dxdyyxxf ),(
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
+ dxdyyxyf ),(
dxdyyxfx ]),([
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
=
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
+ dydxyxfy ]),([
dxxxf
X
∫
∞
∞?
= )( dyyyf
Y
∫
∞
∞?
+ )(
)()( YEXE +=
4,线性性：设X
i
(i=1,2,…,n) 是n个随机变量，c
i
(i=1,2,…,n) 是n个常数，则
11
() ()
nn
ii i i
ii
EcX cEX
==
=
∑∑
结合性质(2)和性质(3)，得如下结论：
5.若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).
￡
ü:设(X,Y)~f(x,y)
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dxdyyxxyfXYE ),()(
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dxdyyfxxyf
YX
)()(
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dyyyfdxxxf
YX
)()(
)()( YEXE=
一般地，若X
1
，X
2
，…，X
n
相互独立，则有
11
() ()
nn
ii
ii
EX EX
==
=
∏∏
例：设随机变量X ~e(2),Y~e(4).
(1)求Z=2X-3Y
2
的数学期望；
(2)若X与Y相互独立，求W=3XY的数学期望。
解：由题意知
2
2,0
()
0,
x
ex
Xfx
>
=
～
其它
4
4,0
()
0,
y
ey
Yfy
>
=
～
其它由线性性，有
2
() 2( ) 3( )EZ EX EY=?
35
(2) (3)
16 8
=Γ? Γ =
3
()3()()
8
EW EX EY==
例：
对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第n件仍未发现废品则认为这批产品合格。
假设产品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平均需抽查的件数。
解：
设X为停止检查时，抽样的件数，则X的可能取值为1,2,…,n，且
=
=
==
.,;1,,2,1,
}{
1
1
nkq
nkpq
kXP
n
k
null
，于是其中pq?=1
1
1
1
1
)(
=
+=
∑
n
n
k
k
nqpkqXE
1
1
1
1
1
1?
=
=
+?=
∑∑
n
n
k
k
n
k
k
nqkqkq
1122
22
))1()2(2(
))1(321(
+?+?+++?
++++=
nnn
n
nqqnqnqq
qnqq
null
null
12
1
++++=
n
qqq null
p
p
q
q
nn
)1(1
1
1
=
=
1
1
1
1
)1()(
=
+?=
∑
n
n
k
k
nqqkqXE
§4.2 方差
4.2.1 方差的定义在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度，
可用E|X-EX|，但不方便；所以通常用E(X-EX)
2
来度量随机变量X与其均值EX的偏离程度。
定义4.2.1:P(114)设X是随机变量，若E(X-EX)
2
存在，
则定义
D(X)= E(X-EX)
2
称其为随机变量X的方差，记作DX，Var(X)，
称为标准差。
DX
方差是一种特殊的数学期望。是描述随机变量取值波动程度（离散程度）的一个数字特征。
=?
=
∫
∑
∞
∞?
∞
=
连续型情形离散型情形
,)()]([
},{)]([
)(
2
1
2
dxxfXEx
xXPXEx
XD k
kk
计算方差的常用公式：
D(X)=E(X
2
)-[E(X)]
2
.
：的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们
：甲击中的环数；X
：乙击中的环数；Y
平较高？试问哪一个人的射击水例：
X8 910
P 0.3 0.2 0.5
Y8 910
P 0.2 0.4 0.4
解：
．比较两个人的平均环数甲的平均环数为
5.0102.093.08 ×+×+×=EX
( )环2.9=
乙的平均环数为
4.0104.092.08 ×+×+×=EY ()环2.9=
的方差分别为的，但两个人射击环数是一样，甲乙两人的射击水平因此，从平均环数上看
() () ( )5.02.9102.02.993.02.98
222
×?+×?+×?=DX
76.0=
() () ( )4.02.9104.02.992.02.98
222
×?+×?+×?=DY
624.0=
，由于DXDY <
甲稳定．这表明乙的射击水平比
4.2.2 方差的性质
1) D(c)=0
反之，若D（X）=0，则存在常数C，使P{X=C}=1,
且C=E(X);
(2) D(aX)=a
2
D(X),a为常数，且D(aX+b)=a
2
D(X)；
￡
ü:
222
)]([)()( aXEXaEaXD?=
222
)]([)( XaEXEa?=
})]([)({
222
XEXEa?=
(3)若X，Y 独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y),
D(X-Y)=D(X)+D(Y);
￡
ü:
22
)]([}){()( YXEYXEYXD +?+=+
})]([)]()][([2)]({[
}2{
22
22
YEYEXEXE
YXYXE
++?
++=
)()(2)(2
)()(
YEXEXYE
YDXD
+
+=
XDY? ?)()()( YEXEXYE =?
)()()( YDXDYXD +=+∴
4,设X
i
(i=1,2,…,n) 是相互独立的n个随机变量，c
i
(i=1,2,…,n) 是n个常数，则
2
11
() ()
nn
ii i i
ii
DcX cDX
==
=
∑∑
5,DX=0 ù存在c为常数，使得P{X=c}=1。
事实上c=EX。
∑∑
==
=
n
i
n
i
iin
XDXDXX
11
1
)()(,...独立，则若定理：设随机变量X的数学期望E（X），方差D（X）
均存在，且D（X）>0，定义一个新的随机变量
()
*
XEX
X
DX
=
则EX*=0,DX*=1。
称X*是随机变量X的标准化了的随机变量。
证明：由期望与方差的性质易得。
1.0-1分布的数学期望和方差
10
1
X
Pp p
EX=p
2,二项分布B(n,p)
∑
=
=
n
k
knk
pp
knk
n
kXE
1
)1(
)!(!
!
)(
nkppCkXP
knkk
n
,...1.0)1(}{ =?==
§4.3 几个重要分布的期望和方差
2
10
1
X
Pp p
EX
2
=p
DX= EX
2
-(Ex)
2
=p-p
2
=pq
knk
n
k
pp
knk
n
=
=
∑
)1(
)!()!1(
!
1
)1(11
1
)1(
)!()!1(
)!1(
=
=
∑
knk
n
k
pp
knk
n
np
np=
lnl
n
l
l
n
ppCnpkl
=
=
∑
1
1
0
1
)1(1令
∑
=
=
n
k
knk
pp
knk
kn
1
)1(
)!()!1(
!
∑
=
+?
=
n
k
knk
pp
knk
nk
1
)1(
)!()!1(
!)11(
∑
∑
=
=
+
=
n
k
knk
n
k
knk
pp
knk
n
pp
knk
nk
1
1
)1(
)!()!1(
!
)1(
)!()!1(
!)1(
∑
=
=
n
k
knk
pp
knk
n
kXE
1
22
)1(
)!(!
!
)(
∑
∑
=
=
+
=
n
k
knk
n
k
knk
pp
knk
n
pp
knk
n
1
2
)1(
)!()!1(
!
)1(
)!()!2(
!
∑
∑
=
+
=
+
+
=
1
0
11
1
2
0
22
2
)1(
)1()1(
n
j
jnjj
n
n
l
lnll
n
ppnC
ppCnn
nppnn +?=
2
)1(
)1(
)1()(
222
pnp
pnnppnnXD
=
+?=∴
ZE=:
!
=
0
1
i
X
?iQ
k
YqA?
3
?iQ
k
YqA??
3
5
∑
=
=
n
i
i
XX
1
[]
2
2
)()()(
iii
XEXEXD?=
∑
=
=
n
i
i
XDXD
1
)()(
)1()1(
1
pnppp
n
i
=?=
∑
=
)1(
2
pppp?=?=
3.泊松分布
...,2,1,0,
!
}{~ ===
ke
k
kXPX
k
λ
λ
∑∑
∞
=
∞
=
=
==
01
1;
)!1(!
)(
kk
kk
k
ee
k
kXE λ
λ
λ
λ
λλ
∑∑
∞
=
∞
=
==
01
22
)!1(!
)(
kk
kk
k
ek
e
k
kXE
λ
λ
λλ
??
λ
λ
λ
=
=
∑
∞
=
1
)!1(
)(
k
k
k
e
XE
Hλ p?¤
λ
λ
λ
e
k
k
k
k
)1(
)!1(
1
1
+=
∑
∞
=
λ
λ
λ
e
k
k
k
=
∑
∞
=1
)!1(
)1(
)!1(
1
λλ
λ
λ
+=
∑
∞
=
k
k
k
ek
λ=∴ )(XD
4,均匀分布U(a,b)
<<
=
,,0
,,
1
)(~
其他
bxa
ab
xfX
∫
+
=
=
b
a
ba
dx
ab
x
XE ;
2
)(
2222
2
1
() ;
33
b
a
xbabab
EX dx
ba ba
++
== =
∫
[]
2
2
2
()
() ( ) ( ),
12
ba
DX EX EX
=? =
5.指数分布
≤
>
=
00
0
)(
x
xe
xf
xλ
λ
λ
1
=
dxexXE
x
∫
∞
=
0
)(
λ
λ
∫
∞
=
0
x
xde
λ
dxexe
xx
∫
∞
∞
+?=
0
0
λλ
(2)
λ
Γ
=
22
0
()
x
EX x e dx
λ
λ
∞
=
∫
22
(3) 2
λλ
Γ
==
[ ]
2
2
2
1
() ( ) (),DX EX EX
λ
=? =
6,Γ-分布Γ (α，β)
() ()
1
0
00
x
xe x
fx
x
α
αβ
β
α
>
Γ=
≤
()
1
0
()
x
EX x x e dx
α
αβ
β
α
∞
=
Γ
∫
(1)
()
αα
βα β
Γ+
==
Γ
()
21
0
()
x
EX x x e dx
α
αβ
β
α
∞
=
Γ
∫
22
(2) (1)
()
ααα
βα β
Γ+ +
==
Γ
[]
2
2
2
() ( ) (),DX EX EX
α
β
=? =
7,正态分布N(μ,σ
2
)
∞<<∞?
σπ
=
σ
μ?
x,e
2
1
)x(f~X
2
2
2
)x(
dxe
x
XE
x
2
2
2
)(
2
)(
σ
μ
σπ
∞
∞?
∫
=;
2
2
2
dte
tx
t
t
σ
π
μσ
σ
μ
∞
∞?
∫
+?
=令
μ=
)(,
2
1
)()(
2
2
2
)(
22
t
x
dxexXEDX
x
=
=?=
∫
∞
∞?
σ
μ
σπ
μμ
σ
μ
∫∫∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
===
2
2
2
2
2
2
22
222
222
ttt
tdedtetdte
t
π
σ
π
σ
π
σ
2
2
2
2
2
22
2
|
2
σ
π
σ
π
σ
=+?=
∫
∞
∞?
∞
∞?
dtete
tt
例：设随机变量X，Y，Z相互独立，且已知X~
N（2，4），Y~e(2)，Z~Γ（3，2），设
(1)W=2X+3XYZ-Z+5，求E（W）；
(2)U=3X-2Y+Z-4，求D（U）。
解：E(X)=2，E(Y)=1/2，E(Z)=3/2，且X，Y，Z
相互独立，故得
( ) 2( ) 3( )()() () 5EW EX EXEYEZ EZ=+?+
2*23*2*1/2*3/23/2512=+?+=
() 9()4() ()DU DX DY DZ=++
3
9*4 4*1/4 3/4 37
4
=+ +=
§4.4 矩、协方差和相关系数
4.4.1 原点矩与中心矩定义4.4.1,设X是随机变量，若E(X
k
)存在，k=1,2,…,
则称
(),1,2,.
k
k
mEX k==
为X的k阶原点矩，简称为k阶矩。
若E[X-E(X)]
k
存在，k=1,2,…,则称
[()],1,2.
k
k
EX EX kμ=? =
为X的k阶中心矩。
定义4.4.2,设X,Y是随机变量，k,l是正整数，若
E{[X-(X)]
k
[Y-E(Y)]
l
}存在，则称它为X与Y的k+l
阶混合中心矩。
定理4.4.1:设随机变量X~N（μ，σ
2
),其k 阶中心矩记为μ
k
,则
(1)!,
k
k
kkσ
μ
=
是偶
0,k是奇
4.4.2 协方差与协方差阵定义4.4.3:设（X，Y）为二维的随机变量，若X与Y的的1+1阶混合中心矩存在，记为
COV(X,Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}.
称为X与Y的协方差,易见
COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).
为计算协方差的常用公式。
显然，当X=Y时有COV(X,Y)=D（X）。
协方差的性质
(1) COV(X,Y)=COV(Y,X);
(2) COV(X,a)=0,COV(X,X)=D(X);
(3) COV(aX,bY)=abCOV(X,Y),其中a,b为常数；
(4) COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);
(5) D(X Y)=D(X)+D(Y) 2COV(X,Y).
±±
(6) 若X与Y独立，则COV(X,Y)=0。
11 11
(,) (,)
nm nm
ii ii ij i j
ij ij
Cov a X bY ab Cov X Y
== ==
=
∑∑ ∑∑
对于二维随机变量(X，Y)，称矩阵
() (,)
(,) ()
DX CovXY
V
Cov X Y D Y
=
为（X，Y）的协方差阵。
对于二维随机变量(X1，X2，…，Xn)，记
(,),,1,2,...,
ij i j
Cov X X i j nσ ==
则称矩阵
11 1
1
n
nnn
V
σσ
σσ
=
null
nullnullnull
null
为(X1，X2，…，Xn）的协方差阵。是一个n阶对称阵例:设随机变量X～B（4,0.5),Y ～N(0,1),
COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y
的方差与协方差
4.4.3 相关系数定义4.4.4 若随机变量X，Y的方差和协方差均存在,且DX>0,DY>0，则
DYDX
)Y,Xcov(
XY
=ρ=ρ
称为X与Y的相关系数.
称为X与Y的标准化随机变量，易知EX
*
=0，DX
*
=1.且
).(),cov(
****
YXEYX
XY
==ρ
DX
)X(EX
X
*
=
定理4.4.3若随机变量X，Y的方差和协方差均存在，记
*
()YEY
Y
DY
=
相关系数的性质
(1) |ρ
XY
|≤1，ρ
XY
= ρ
YX；
(2) |ρ
XY
|=1?存在常数a,b 使P{Y= aX+b}=1；
(3) X与Y不相关?ρ
XY=0;
正线性相关负线性相关正相关负相关不相关
è
!(X,Y)?V u×D:0<x<1,0<y<x
￥ (
s?, pXDY￥M1"
D
1
x=y
2(,)
(,)
0
xy D
fxy
∈
=
其它
3
3
2
2)(
0
1
0
==
∫∫
x
dyxdxXE
3
1
2)(
0
1
0
==
∫∫
x
ydydxYE
4
1
2)(
0
1
0
==
∫∫
x
ydyxdxXYE
36
1
)()()(),( =?= YEXEXYEYXCOV
18
1
9
4
2)(
0
1
0
2
=?=
∫∫
x
dydxxXD
18
1
9
1
2)(
0
2
1
0
=?=
∫∫
x
dyydxYD
==
)()(
),(
YDXD
YXCOV
XY
ρ
2
1
XY
XY
XYUX
XYUX
ρ
ρ
求）
求
,),1,1(~2
,),1,0(~)1
2
2
=?
=
31)
45
4
)(,
12
1
)(,
4
1
)(,
3
1
)(,
2
1
)( ===== YDXDXYEYEXE
968.0
45
4
12
1
12
1
≈
×
=
XY
ρ
2)
0)(,0)( == XYEXE
0=
XY
ρ
例：
22
121 2
(,)~ (,,,,),XY N rμμσσ
定理4.4.7:若（X，Y）服从二维正态分布，则X与
Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。
定理4.4.6:设则X与Y的相关系数
.
XY
rρ=
又因为：
2
1
2
1
2
)(
1
2
1
)(
σ
μ
σπ
=
x
X
exf
，
2
2
2
2
2
)(
2
2
1
)(
σ
μ
σπ
=
y
Y
eyf
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dxdyyxfyxYXCov ),())((),(
21
μμ
,,,,
2
22
2
11
σμσμ==== DYEYDXEX
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dydxeeyx
xyx
2
2
1
1
2
2
2
22
1
2
1
][
)1(2
1
2
)(
21
2
21
))((
12
1
σ
μ
ρ
σ
μ
ρσ
μ
μμ
ρσπσ
()
() ()()()
+
=
2
2
2
2
21
21
2
2
1
2
1
2
12
1
exp
2
1
21
2
1
σ
μ
σσ
μμρ
σ
μ
ρ
ρσπσ
yyxx
yxf，
令
][
1
1
1
1
2
2
2
σ
μ
ρ
σ
μ
ρ
=
xy
t，
1
1
σ
μ?
=
x
u，
2
21
1
2
21
1)
1
1
( ρσσ
ρσσ
=
=
1
1
2
2
1
2
1
0
1
1
1
1
1
1
=
=
σ
σ
ρ
σ
ρ
ρ
y
u
x
u
y
t
x
t
J
2
2
211
)1(,σρρμσμ utyux +?=?=?则
∫∫∫∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
+= dtteduuedtedueu
tutu
22
2
21
22
2
21
2222
2
1
2 π
ρσσ
π
σρσ
21
21
022
2
σρσππ
π
σρσ
=+?=
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dydxeeyx
xyx
2
2
1
1
2
2
2
22
1
2
1
][
)1(2
1
2
)(
21
2
21
))((
12
1
σ
μ
ρ
σ
μ
ρσ
μ
μμ
ρσπσ
=),( YXCOV
2
2
2
11
)1(
,
σρρμ
σμ
uty
ux
+?=?
=?
2
21
1 ρσσ=J
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
+?
= dtdueutu
tu
2
21
22
2
21
2
21
1)1(
12
1
22
ρσσρρσσ
ρσπσ
故
ρρ =
XY
。
第四章小结基本概念：
数学期望、方差、协方差（阵）、相关系数、不相关、分位点重点与难点：
期望和方差的计算、期望和方差的性质、
函数期望的计算、重要分布的期望与方差、协方差与相关系数的计算、不相关与独立的区别例
|||,|]1,0[~,YXDYXEUYX，且相互独立。求：设解：
x
y
0
1
1
.10,101),(
,101)(,101)(
<<<<=
<<=<<=
yxyxf
yyfxxf
YX
典型题分析
∫∫
=
1
00
)(2
x
dyyxdx
∫
=
1
0
2
2
)
2
(2 dx
x
x
3
1
=
2
2
)( YXEYXEYXD=?
先求：
=?
2
YXE
∫∫∫∫
=?=?
∞
∞?
∞
∞?
1
0
1
0
||),(|||| dxdyyxdxdyyxfyxYXE
∫∫∫∫
+?=
1
0
1
000
)()(
y
x
dxxydydyyxdx
x
y
0
xy =
1
1
=?
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
dxdyyxfyx ),(||
2
∫∫
1
0
1
0
2
|| dxdyyx
6
1
)2(
1
0
1
0
22
=+?=
∫∫
dxdyyxyx
2
2
)( YXEYXEYXD=?
则：
18
1
)
3
1
(
6
1
2
=?=
∫∫
=
1
0
1
0
2
)( dxdyyx
解：
()，记，
，，是二个随机变量，已知，设
1cov
41
=
==
YX
DYDXYX
YXYX?=?= 22 ηξ，
ξη
ρ求：．
()YXDD 2?=ξ ()YXDYDX，cov44?+=
14441 ×?×+=
13=
()YXDD?= 2η ()YXDYDX，cov44?+=
14414 ×?+×= 4=
例：
()( )YXYX= 22covcov，，ηξ
( )()()()YYYXXYXX，，，，cov2covcov4cov2 +=
()DYYXDX 2cov52 +?=，
421512 ×+×?×=
5=
所以，
()
ηξ
ηξ
ρ
ηξ
DD
，
，
cov
=
413
5
=
26
135
=
