毕奥萨伐尔定律
I
实验指出：
在真空及 SI制中：
dlIdlI 电流元
dB
r P
.
r
dlI sin
2dB 4π
μ o= a
( )dlI= r,a
a
§ 11-2 毕奥 萨伐尔定律萨伐尔 (Biot-savart)定律一、毕奥
dB r 2dlI∝dqdE r 2∝
r
dlI sin
2dB
a∝
真空中的磁导率μ o
μ o = 4π × 10 7 ( )H m,1 亨利,米 1( )或
4π
μ o
r
dlI sin
2dB =
a
用矢量形式表示的毕奥 萨伐尔定律
4π
μ
r
dlI
3B =
× r? o
4π
μ
r
dlI
3dB =
× ro
4π
μ
r
dlI
2= ×
r
r( )
o
用矢量形式表示的毕奥 萨伐尔定律
I
I
dB
r
dlIr
dB
4π
μ
r
dlI
3dB =
× ro
4π
μ
r
dlI
3B =
× r? o
4π
μ
r
dlI
2= ×
r
r( )
o
I = qvSn
N Sd dl= n
载流粒子数二,运动电荷的磁场
q v× r
r 3B = 4π
μ o
dB = N
dB =
4π
μ ( )sin v r,qv
r 2
o
( )sin= v r,qv Nd
r 24π
μ o
qv
r
sin
2=
Sn dl
4π
μ ao
4π
μ
r
dl sin
2=dB
I ao dl vq S+I
运动电荷除了产生磁场外，还在其周围激发电场。
πE = ε r 34
1 q
0
r
v
B
Er
q,
q v× r
r 3B = 4π
μ o而由上两式得,
B = ε 0μ o v× E
此式表明运动电荷激发的电场和磁场紧密相关。
若电荷运动速度远小于光速，
则空间一点的电场强度为：
Idl
cosβ=
al = tgβ
2dl =a secβ dβ
几何关系：
l
dl
1,载流直导线的磁场
dlI × r 的方向的方向：dB
dB 的大小,4πμ o rdlI sin2dB = a
β
r
dB
β
a
§ 11-3 毕奥 萨伐尔定律的应用
sin =sin( )+900 βa
=r a secβ a P
βsin= π4μ oaI βsin 12( )
a
l
dl dlI
β β
r
dB1 2
,β.a βI 2sec dβ cos
a secβ224π
μ o=
π d4
μ o
a cos=
I ββ
4πμ o r
dlI sin
2dB =
a
B = dβ4μ o a cosβI β
β
1
2
π?
=r a secβ
2dl =a secβ dβ
sin cosβ=a
由上面得到：
讨论：
当直线电流为“无限长”时
ββ 1 2π2 π2
B = π2μ o aI
βsinB = π4μ o aI βsin 12( )
a
β β dB1 2
I
R
x
θI P
By Bz= =0
由对称性：
2,载流圆线圈轴线上的磁场
dB
4π
μ o dlI=
r 2
4π
μ o dlI sin
2dB = r
a = 900a
π r4μ
o I
2 sinθ dl=?
dBxB =? r4πμ o I dl2 sinθ=?sinθdB=?
dlI r θ
x
y
z
sinθ = Rr
r x2 +R2 ) 21(= R
dlI dB
x
θ
θ
x
y
z
I
r
R2μ o I
r2 3=
π r 2π4
μ o I
2 a
Rr,.=
x2 +R2( ) 23
R2μ o I
2
=
π r4
μ o I
2 sinθ dlB =?
讨论：
1.磁矩
mp
I
mp
In
S
mp I= S nN
N 线圈的匝数
S 线圈所包围的面积
x2 +R2( ) 23
R2μ o I
2
=B
2.在圆心处,x = 0
R
μ o I
2=B
3.引入磁矩后,圆电流轴线处的磁感应强度可表示为,
=B x2 +R2( ) 23μ o2π mp r 3μ o2π mp=
...,,.....,...,,.,.
R
β 1 β
2
P.
= a
2μ o I
B a 2 +x 2( ) 232
n 单位长度上的匝数
Id = n dlI
dl = cscR 2β βd
l =R ctgβ
= R
2μ
o IBd d
R2+l 2( ) 22 3
l dl
β R
= R
2μ
o
R2 +l 2( ) 22 3
n dlI
3,有限长载流螺线管轴线上 P点的磁场
μ o In
2 cosβ 2 cosβ 1( )=
= R
2I
R2 + 2(2 ) 23
n
R ctgβ2
μ o cscR 2β βd( ).
= R
2μ
o
R2 +l 2( ) 22 3
n dlIBd
β=
R2I
R3 32
n
csc
μ o cscR 2β βd( ),= μ o In βd
csc2 β
= μ o In2 dβsinβ2ββ
1
μ o In βdcsc2 β=B?
Rdl = csc2β βdl =Rctgβ,由上面得到：
B μ o In2 cosβ 2 cosβ 1( )=
当螺线管为无限长时,β 2β 1 0π,
μ o InB =
...,,.....,...,,.,.
R
β 1 β
2
P
πI2
μ o l ln a
a
b+=
dS = l dxxπIB = 2μ o,Φmd,B dS=,
a b
I l
x dx
B
[ 例 1 ] 在真空中有一无限长载流直导线，
试求：通过其右侧矩形线框的磁通量。
l dxxπI2μ o= aa b+?
Φ m,B dS=?
I
实验指出：
在真空及 SI制中：
dlIdlI 电流元
dB
r P
.
r
dlI sin
2dB 4π
μ o= a
( )dlI= r,a
a
§ 11-2 毕奥 萨伐尔定律萨伐尔 (Biot-savart)定律一、毕奥
dB r 2dlI∝dqdE r 2∝
r
dlI sin
2dB
a∝
真空中的磁导率μ o
μ o = 4π × 10 7 ( )H m,1 亨利,米 1( )或
4π
μ o
r
dlI sin
2dB =
a
用矢量形式表示的毕奥 萨伐尔定律
4π
μ
r
dlI
3B =
× r? o
4π
μ
r
dlI
3dB =
× ro
4π
μ
r
dlI
2= ×
r
r( )
o
用矢量形式表示的毕奥 萨伐尔定律
I
I
dB
r
dlIr
dB
4π
μ
r
dlI
3dB =
× ro
4π
μ
r
dlI
3B =
× r? o
4π
μ
r
dlI
2= ×
r
r( )
o
I = qvSn
N Sd dl= n
载流粒子数二,运动电荷的磁场
q v× r
r 3B = 4π
μ o
dB = N
dB =
4π
μ ( )sin v r,qv
r 2
o
( )sin= v r,qv Nd
r 24π
μ o
qv
r
sin
2=
Sn dl
4π
μ ao
4π
μ
r
dl sin
2=dB
I ao dl vq S+I
运动电荷除了产生磁场外，还在其周围激发电场。
πE = ε r 34
1 q
0
r
v
B
Er
q,
q v× r
r 3B = 4π
μ o而由上两式得,
B = ε 0μ o v× E
此式表明运动电荷激发的电场和磁场紧密相关。
若电荷运动速度远小于光速，
则空间一点的电场强度为：
Idl
cosβ=
al = tgβ
2dl =a secβ dβ
几何关系：
l
dl
1,载流直导线的磁场
dlI × r 的方向的方向：dB
dB 的大小,4πμ o rdlI sin2dB = a
β
r
dB
β
a
§ 11-3 毕奥 萨伐尔定律的应用
sin =sin( )+900 βa
=r a secβ a P
βsin= π4μ oaI βsin 12( )
a
l
dl dlI
β β
r
dB1 2
,β.a βI 2sec dβ cos
a secβ224π
μ o=
π d4
μ o
a cos=
I ββ
4πμ o r
dlI sin
2dB =
a
B = dβ4μ o a cosβI β
β
1
2
π?
=r a secβ
2dl =a secβ dβ
sin cosβ=a
由上面得到：
讨论：
当直线电流为“无限长”时
ββ 1 2π2 π2
B = π2μ o aI
βsinB = π4μ o aI βsin 12( )
a
β β dB1 2
I
R
x
θI P
By Bz= =0
由对称性：
2,载流圆线圈轴线上的磁场
dB
4π
μ o dlI=
r 2
4π
μ o dlI sin
2dB = r
a = 900a
π r4μ
o I
2 sinθ dl=?
dBxB =? r4πμ o I dl2 sinθ=?sinθdB=?
dlI r θ
x
y
z
sinθ = Rr
r x2 +R2 ) 21(= R
dlI dB
x
θ
θ
x
y
z
I
r
R2μ o I
r2 3=
π r 2π4
μ o I
2 a
Rr,.=
x2 +R2( ) 23
R2μ o I
2
=
π r4
μ o I
2 sinθ dlB =?
讨论：
1.磁矩
mp
I
mp
In
S
mp I= S nN
N 线圈的匝数
S 线圈所包围的面积
x2 +R2( ) 23
R2μ o I
2
=B
2.在圆心处,x = 0
R
μ o I
2=B
3.引入磁矩后,圆电流轴线处的磁感应强度可表示为,
=B x2 +R2( ) 23μ o2π mp r 3μ o2π mp=
...,,.....,...,,.,.
R
β 1 β
2
P.
= a
2μ o I
B a 2 +x 2( ) 232
n 单位长度上的匝数
Id = n dlI
dl = cscR 2β βd
l =R ctgβ
= R
2μ
o IBd d
R2+l 2( ) 22 3
l dl
β R
= R
2μ
o
R2 +l 2( ) 22 3
n dlI
3,有限长载流螺线管轴线上 P点的磁场
μ o In
2 cosβ 2 cosβ 1( )=
= R
2I
R2 + 2(2 ) 23
n
R ctgβ2
μ o cscR 2β βd( ).
= R
2μ
o
R2 +l 2( ) 22 3
n dlIBd
β=
R2I
R3 32
n
csc
μ o cscR 2β βd( ),= μ o In βd
csc2 β
= μ o In2 dβsinβ2ββ
1
μ o In βdcsc2 β=B?
Rdl = csc2β βdl =Rctgβ,由上面得到：
B μ o In2 cosβ 2 cosβ 1( )=
当螺线管为无限长时,β 2β 1 0π,
μ o InB =
...,,.....,...,,.,.
R
β 1 β
2
P
πI2
μ o l ln a
a
b+=
dS = l dxxπIB = 2μ o,Φmd,B dS=,
a b
I l
x dx
B
[ 例 1 ] 在真空中有一无限长载流直导线，
试求：通过其右侧矩形线框的磁通量。
l dxxπI2μ o= aa b+?
Φ m,B dS=?
