大学物理（英文第三版）：15Chapter34 Quantum mechanics

Chapter 34 Quantum Mechanics
Chapter 34
Quantum Mechanics
1,Heisenberg Uncertainty Principle
2,Schr?dinger’s Equation
Chapter 34 Quantum Mechanics
§ 34-2 The Wave Function and Its Interpretation;
The Double-slit Experiment
1,Wave function
The important properties of any wave are its
wavelength,frequency,and amplitude.
hfE?
1) Wave length is a measure of the energy.
2) The amplitude is related to the intensity of
the wave.
a) For eletromagnetic wave
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ph /
1) Wave length is related to momentum.
2) What corresponds to the amplitude of a
matter wave?
a) For De Broglie’s wave
In quantum mechanics,this role is played by the
wave function,which given the symbol,which is
given the symbol,It represents the
displacement as a function of time and position.?
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1） 经典的波与波函数
)(π2c o s),( 0
xtEtxE
)(π2c o s),( 0 xtHtxH
电磁波
)(π2c o s),( xtAtxy机械波
]eR e [),( )(π2i
xt
Atxy
经典波为 实 函数
2） 量子力学波函数（ 复函数 ）
),,,( tzyxΨ描述 微观 粒子运动的 波 函数
Wave Function:
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tiezyxtzyx ),,(),,,(
f 2?
— angular frequency of matter wave
The wave function can be written in two forms,
The time-dependent version;
and the time-independent version:
),,( zyx?
— involves a wave function with only
spatial dependence (steady state situations).
is complex in the math sense,? 12i
Two questions arise:
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2,Statistical Meaning of De Broglie’s Wave:
Particle,Energy? ; Momentum p; Quantities N
Wave,wavelength? ; Frequency f ; Amplitude E0
The numbers of particles N? I? E02
The intensity of De Broglie’s wave somewhere is
proportional to the square of the electric field
strength.
Their Relation:
在某处德布罗意波的强度与粒子在该处邻近出现的概率成正比,
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3,Double-slit experiment 电子双缝的衍射实验减弱入射电子束的强度，让一个一个电子依次通过双缝，则随着电子树的积累，衍射图样依次如图。
7个电子 100个电子底片上出现一个个的点子?电子具有 粒子性。
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70000
3000 20000
随着电子增多，逐渐形成衍射图样。
来源于,一个电子”所具有的波动性,而不是电子间相互作用的结果。
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电子数 N=7100300020000电子数 70000
单个粒子在哪一处出现是偶然事件；
大量粒子的分布有确定的统计规律。
出现概率小 出现概率大电子双缝干涉图样
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玻恩 （ M.Born）,尽管单个电子的去向是概率性的,但其概率在一定条件下 （ 如双缝 ）,还是有确定的规律的 。
德布罗意波 并不是经典的波那样是代表实在物理量的波动 。 在双缝实验中 。 不管入射 波强度如何小,
经典的波在缝后的屏幕上都,应该,显示出强弱连续分布的衍射条纹,只是亮度微弱而已 。 但图中明确地显示物质波的主体仍是粒子,而且该种粒子的运动并不具有经典的振动形式 。
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|? |2,which we call the probability density
德布罗意波 并不像经典波那样代表实在的物理量的波动，而是刻画粒子在空间的概率分布的概率波。
The probability (per unit time) of detecting
a particle in a small volume centered on a
given point in a matter wave is proportional
to the value of |? |2 at that point,
r?电子的状态用波函数? 描述，在 处附近
dV内发现粒子的概率是 波函数的模方 。
—— 玻恩 1926年给出的?的统计解释
4,Probability Density
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某一时刻出现在某点附近在体积元 中的粒子的 概率为
Vd
VΨVΨ dd *2?Ψ
1d2 VΨ归一化条件某一时刻在整个空间内发现粒子的 概率为波函数的统计意义
*2Ψ
概率密度 表示在某处 单位 体积内粒子出现的 概率,
正实数
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§ 34-3 Heisenberg’s Uncertainty Principle(不确定度 )
Heisenberg's uncertainty principle,proposed in
1927 by German physicist Werner Heisenberg,It
states that measured values cannot be assigned to
the position and the momentum of a particle
simultaneously with unlimited precision.r
p?
For the components of and,Heisenberg's
principle gives the following limits in terms
of =h/2?.?
r? p?
zyx pzpypx,,
Heisenberg uncertainty (indeterminancy) principle
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海森伯于 1927 年提出不确定原理对于微观粒子 不 能 同时 用确定的位置和确定的动量来描述,
hpy y
hpx x
hpz z
不确定关系
Where are the uncertainty of
the momentum in the x,y and z directions,zyx ppp a nd,
sJ10055.12 sJ10626.62 34
34


h?
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For ideal homochromatic plane-wave 理想的单色平面波,
xp ;0
0 p x
For example,if
Even with the best measuring instruments that
technology could ever provide,each product of a
position uncertainty and a momentum
uncertainty in above equations will be greater
than ; it can never be less.?
当粒子位置的不确定度?x小时,动量的 不确定度?p就大,
反之亦然,即 微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量,
hQuantum physics Classical physics
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1） 微观粒子 同一 方向上的坐标与动量 不可同时 准确测量,它们的精度存在一个终极的不可逾越的限制,
2） 不确定的根源是,波粒二象性,这是自然界的根本属性,
物理意义
3） 对 宏观 粒子，因 很小，所以可视为位置和动量 能同时 准确测量,
h 0 xpx
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1smkg2 vmp解 子弹的动量例 1 一颗质量为 10 g 的子弹，具有 的速率,若其动量的不确定范围为动量的 (这在宏观范围是十分精确的 ),则该子弹位置的不确定量范围为多大?
1sm200
%01.0
14 smkg102%01.0 pp
动量的不确定范围
m103.3m
102
1063.6 30
4
34



p
hx
位置的不确定量范围
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Example 34-1,34-2,and 34-3 on page
797-798
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p
h
b
hp
x
hpx x
bs i n
一级最小衍射角电子经过缝时的 位置不确定,bx
bppp x
s i n
电子经过缝后 x 方向动量不确定用电子衍射说明不确定关系
y
x
hp?
hp?b
电子的单缝衍射实验
o
hpx x考虑衍射次级有
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Another useful form of the uncertainty principle
relates energy and time:
))(( tE
The energy of an object can be uncertain,or may
even be nonconserved,by an amount?E for a
time?t?h/(2E).
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量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等价的理论 —— 矩阵 力学和 波动 力学,
相对论量子力学 （ 1928年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程,
薛定谔（ Erwin Schrodinger，
1887~1961）奥地利物理学家,
1926年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学,并建立了量子力学的近似方法,
..
§ 34-5,6,7,8,9,10 The Schrodinger Equation P799
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Chapter 34 Quantum Mechanics
薛定谔（ Erwin Schr?dinger,1887--1961）
奥地利物著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、
原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。
薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。在经典极限下，薛定谔方程可
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薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。
由于他的影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理学和生物学相结合，形成了现代分子生物学的最显著的特点之一。
薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于 1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。
以过渡到哈密顿方程。薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子 (如电子等 )运动状态的基本定律，
在粒子运动速率远小于光速的条件下适用。
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How do we find the wave function?
Sound waves and waves on strings
are described by the equations of
Newtonian mechanics,Light
waves are described by Maxwell's
equations,Matter waves are
described by Schr?dinger's
equation,advanced in 1926 by
Austrian physicist Erwin
Schr?dinger,He got the Nobel
Prize of Physics in 1933.
Erwin Schrodinger
薛定谔
1887-1961
Set up Q,M,in 1926
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自由粒子 薛定谔方程的建立自由 粒子平面波函数上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
Ψ
h
p
x
Ψ
2
22
2
2 π4

E Ψ
ht
Ψ π2i
自由粒子 )c(v kEE? k2 2 mEp?
t
Ψh
x
Ψ
m
h


π2iπ8 2
2
2
2一维运动自由粒子的含时 薛定谔方程
)(π2i
0 e),(
pxEthtxΨ
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t
ΨhΨtxE
x
Ψ
m
h


π2
i),(
π8 p2
2
2
2
一维运动粒子的含时薛定谔方程若粒子在势能为 的势场中运动 pk EEEpE
where E is the total mechanical energy (potential
energy plus kinetic energy) of the moving particle,
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质量为 m 的粒子在势场中运动的波函数 ),( txΨΨ?
)(pp xEE?粒子在 恒定势场 中的运动
hEtxtxtxΨ /π2i0 e)()()(),(
在 势场 中 一维 运动粒子的 定态 薛定谔方程
0)()(π8
d
d
p2
2
2
2
xEE
h
m
x

Chapter 34 Quantum Mechanics
0)(π8 p2
2
2
2
2
2
2
2



EE
h
m
zyx
在 三维 势场中运动粒子的 定态 薛定谔方程 time
independent
拉普拉斯算子 2
2
2
2
2
2
2
zyx?



0)(π8 p2
2
2 EE
h
m
定态 薛定谔方程定态 波函数 ),,( zyx?
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波函数的 标准条件,单值的，有限的和连续的,
1ddd,,2 zyx zyx?1） 可归一化 ;
zyx?
,,2） 和 连续 ;
),,( zyx?3） 为有限的、单值函数,
1） 能量 E 不随时间变化；
2） 概率密度 不随时间变化,2?
定态波函数性质
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Some requirements imposed on wave function:
1,It should be a continuous function.
Since the probability should be continuous from
point to point and not to take discontinuous jumps.
2,It should be normalized (归一化 ).
For a single particle,the probability of finding
it at one point or another must exactly 1.
122s p a c ea l l dxdV
Normalization condition
The probabilities summed over all space
should be 100 percent.
单值、有限和连续的
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Particle in an Infinitely Deep Square Well Potential
U(x)= 0 0 < x < L∞ x≤0,x≥L
LxE
h
m
x 0 0
π8
d
d
2
2
2
2

Letting a particle of mass m is confined to a 1D
box of width L,The particle is trapped in this box
and collisions with the walls are perfectly elastic.
2
2
2 π8
h
mEk? 0)(
d
)(d 2
2
2
xkx x
Chapter 34 Quantum Mechanics
0)(d )(d 22
2
xkx x 2
2
2 π8
h
mEk?
kxBkxAx c o ss i n)(
0)(,0)0( L
From we have B= 0,then,0)0(
kxAx s i n)(
Its general solution is:
boundary condition,阱外找到粒子的概率为零波函数连续,
From,we have 0)(?L? 0s i n)( kLAL?
,,,nLnk 321,,t h e n xL
nA
n
s i n?
Chapter 34 Quantum Mechanics
12dπs i nd 20 220 ALxxLnAx LL nn
LA
2,3,2,1
πs i n2 nx
L
n
Ln?
Find the constant A,using normalization condition
,3,2,1 πs i n2 22 nL xnLn?
So,the probability of finding particle at position
x in the well在势阱内坐标 x 处找到粒子的概率为,
Particle is more likely to be found in some
places than in others.
2
2
2 π8
h
mEk?From
,,,nLn 321,
Chapter 34 Quantum Mechanics
,3,2,1 8 22
2
nnmLhE n
)12(
8 2
2
1 nmL
hEEE
nn
The energy level of particle in the well:
The energy E can only have certain quantized
energies 粒子能量只能取分立,不连续的值，能量是量子化的,
Where integer n is called the quantum number of
the state,That the lowest energy E1 (is called the
zero-point energy) is not zero means that the
particle in the box can never be at rest.
The separation between energy levels 相邻两能级的间隔为,
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0)]([8 2
2
2
2
xUE
h
m
dx
d
,3,2,1 πs i n2 nxLnLn?
)(),( xtx nn
tnEie
is called the wave function of eigenstate n 能量本征波函数 ;The state of particle related to it
is the energy eigenstate 能量本征态,
,3,2,1 8 22
2
nnmLhE n
The energy level of particle in the well:
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定态波函数是驻波形式,边界处是 波节,
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n 时，?
Quantum?Classical
| 2Ψ n|
-L/2 L/2
n很大
En
0At large enough quantum numbers,the
predictions of quantum physics merge smoothly
with those of classical physics.
Correspondence
Principle (玻尔对应原理 ):
P799
Examples from P806 to 807.
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一维势阱问题
pE axxE
ax


,0,
0,0
p
粒子 势能 满足的 边界 条件
pE
pE
a xo
1） 是固体物理金属中自由电子的简化模型；
2） 数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来,
意义
0)(π8dd 2
2
2
2
xh mEx薛定谔方程
Chapter 34 Quantum Mechanics
),0(,0 axx axxE,0,p?
2
2π8
h
mEk?
axE 0,0p
0π8
d
d
2
2
2
2

h
mE
x
0dd 22
2
kx
kxBkxAx c o ssi n)(
波函数的 标准条件,单值、有限和连续,
0,0,0 Bx kxAx si n)(?
pE
a xo
Chapter 34 Quantum Mechanics
nkaka,0s i n?
2
2π8
h
mEk?
2
2
2
8 ma
hnE?
,3,2,1, nank? 量子数基态 能量 )1(,
8 2
2
1 nma
hE
激发态 能量 ),3,2(,
8 2
2
2 n
ma
hnE
n
一维无限深方势阱中粒子的 能量 是 量子化 的,
0si n, kaAax 0s i n ka
pE
a xo
Chapter 34 Quantum Mechanics
022
2

k
x
kxAx si n)(?
xanAx πs i n)(
归一化 条件 1dd
0
*2
xx
a
1dπs i n0 22 xxanA a
)0(,πs i n2)( axxanax
,3,2,1, nank? 量子数
pE
a xo
aA
2?
Chapter 34 Quantum Mechanics
pE
a xo
xanax πs i n2)( 22概率密度
2
2
2
8 ma
hnE
n?能量
0π8
d
d
2
2
2
2

h
mE
x
波动方程
)0(,πsi n2 axxana
)(x?
),0(,0 axx
波函数
,3,2,1?n量子数
Chapter 34 Quantum Mechanics
0?x 2a a
1?n
2?n
3?n
4?n
n?
0?x 2a a
2n?
xanAx πs i n)( xanax πs i n2)( 22
0p?E
1E
14E
19E
116E
Chapter 34 Quantum Mechanics
例,电子在 的势阱中,m100.1 2a
eV1054.7
8
2 152
2
n
ma
hnE （ 近似于连续 ）
当 时,（ 能量分立 ） eV4.75nm10.0 nEa
当 很大时，,量子效应不明显，能量可视为 连续 变化，此即为 经典对应,
amn,,0 E
物理意义
eV1077.3
8
152
2
2
2 n
ma
hnE
Chapter 34 Quantum Mechanics
一维方势垒 隧道效应
)(p xE
axx,0,0
axE0,p0
一维方势垒
0pEE?
粒子的能量
0pE
)(p xE
ao x
粒子在 x < 0 区域里，其能量小于势垒高度，经典物理来看是不能越过势垒达到 x
> a的区域。
Chapter 34 Quantum Mechanics
U
势垒
1 2 3
势垒穿透经典理论
1.E >U0的粒子,越过势垒。
2.E <U0的粒子,不能越过势垒。
a
量子理论
1.E > U0的粒子，也存在被弹回的概率 —— 反射波。
2.E < U0的粒子，也可能越过势垒到达 3区 —
— 隧道效应 。
Chapter 34 Quantum Mechanics
o a x
)( xE p
0PE
量子力学中，由于粒子的波粒二象性粒子在势垒内和势垒后区域的波函数都不为 0。
o a x
)(x?
1? 2? 3?粒子的能量不足以超越势垒，但在势垒中似乎有一个“隧道”，能使少量粒子穿过势垒。
隧道效应
Chapter 34 Quantum Mechanics
1? 2? 3?
)(x?
a xo
粒子的能量虽 不 足以超越势垒,但在势垒中似乎有一个隧道,能使少量粒子穿过而进入的区域,所以人们形象地称之为 隧道效应,
ax?
隧道效应的本质,来源于微观粒子的波粒二相性,
Chapter 34 Quantum Mechanics
隧道效应来源于微观粒子的波粒二象性。电子扫描隧道显微镜（ STM） 给出了晶体表面的三维图。
钻石中的原子已被看到
1981年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成了扫描遂穿显微镜 ( STM ),可观测固体表面原子排列的状况,1986年宾尼希又研制了原子力显微镜,
应用
Chapter 34 Quantum Mechanics
狮子的能量大于 U才能出来！
不好，狮子出来啦！
经典理论量子理论救命
U
U